Transformada de Laplace.doc
-
Upload
paavlo-munoz -
Category
Documents
-
view
215 -
download
2
Transcript of Transformada de Laplace.doc
Teoría de ControlTeoría de ControlCurso 2001
Transformada de Laplace - Conceptos Básicos
Definición:
Sea f (t) una función de t definida para t > 0. La Transformada de Laplace de f(t) se
define como:
L { f (t) } = F(s) = ∫ e-st f(t)dt
Algunas Propiedades de la Transformada de Laplace:
1. Suma y Resta
Sean F1(s) y F2(s) las transformadas de Laplace de f1(t) y f2(t) respectivamente. Entonces:
L { f1(t) f2(t) } = F1(s) F2(s)
2. Multiplicación por una constante
Sea k una constante y F(s) la transformada de Laplace de f(t). Entonces:
L { kf(t)} = kF(s)
3. Diferenciación
Sea F(s) la transformada de Laplace de f(t), y f(0) es el límite de f(t) cuando t tiende a cero. La
Transformada de Laplace de la derivada con respecto al tiempo de f(t) es:
L { df(t)/dt} = sF(s) - lím f(t) = sF(s) - f(0)
En general, para las derivadas de orden superior de f(t):
L { dnf(t)/dtn} = sn F(s) - sn-1 f(0) - sn-2 f(1)(0) - ..... - f (n-1)(0).
4. Teorema del Valor Inicial
Si la Transformada de Laplace de f(t) es F(s), entonces:
Lím f(t) = Lím s F(s)
si el límite existe.
Transformadas de Laplace de algunas Funciones Elementales:
1
0
t 0
t 0 s
Teoría de ControlTeoría de ControlCurso 2001
f(t) L {f(t)} = F(s)
1 K k/s
2 t 1/s2
3 tn n!/sn+1
4 eat 1/ s-a
5 sen at a/ s2 + a2
6 cos at s/ s2 + a2
7 senh at a/ s2 - a2
8 cosh at s/ s2 - a2
Ejercicio Resuelto:
Hallar la Transformada de Laplace de la siguiente f(t) por medio del uso de tabla:
f(t) = 3 e -4t + 1/2 cos 5t + 3/4 t3 + 8
Aplico Transformada de Laplace:
L {f(t)} = L { 3 e -4t + 1/2 cos 5t + 3/4 t3 + 8 } (1)
Ya que la Transformada de Laplace de una suma es igual a la suma de las Transformadas de
Laplace de cada término, (1) se puede expresar como:
L {f(t)} = L { 3 e - 4t } + L { 1/2 cos 5t } + L { 3/4 t3 } + L { 8 } (2)
Ahora sólo queda reemplazar cada término de (2) por su correspondiente Transformada
expresada en la tabla, y aplicar las propiedades:
L {f(t)} = F(s) = 3*( 1/s+4 ) + 1/2*( s/s2 + 25 ) + 3/4*( 3! / s4 ) + 8/s
por lo tanto:
F(s) = 3/s+4 + s / 2*( s2 + 25) + 9/2 t - 4 + 8/s
Transformada Inversa de Laplace - Conceptos Básicos
2
Teoría de ControlTeoría de ControlCurso 2001
Definición:
Sea F(s) la Transformada de Laplace de una función f (t). La Transformada Inversa de Laplace
(o Antitransformada) de F(s) se denota:
L-1 { F(s)} = f(t)
Método para hallar la Antitransformada de Laplace:
Existen varios métodos para determinar la antitransformada de Laplace; en este apunte se
explicará el Método de las Fracciones Parciales.
Cualquier función racional de la forma P(s) / Q(s), donde P(s) y Q(s) son polinomios en los
cuales el grado de P(s) es menor que el de Q(s), puede escribirse como una suma de
fracciones parciales de la forma A / (as + b)r , donde A es una constante y r = 1,2,3 .... Al hallar
las antitransformadas de cada fracción parcial, se halla L-1 { P(s)/ Q(s)}.
Ejercicio resuelto : Hallar L-1 { (3s + 7) / (s2 - 2s - 3)}
Como se ve, es de la forma L-1 { P(s)/ Q(s)}, donde P(s) = 3s + 7 y Q(s) = s2 - 2s - 3; se
puede observar también que el grado de Q(s) > P(s).
El polinomio Q(s) se puede expresar como s2 - 2s - 3 = (s+1)(s-3). Entonces:
3s + 7 3s + 7 A B (1)
s2 - 2s - 3 (s - 3)(s + 1) s - 3 s + 1
Multiplicando por (s - 3)(s + 1) se obtiene:
3s + 7 = A (s + 1) + B (s - 3) = (A + B)s + A - 3B (2)
Igualando los coeficientes de las potencias iguales de s a ambos lados de la ecuación
resultante (2), hallo los valores de los coeficientes A y B:
A + B = 3
A - 3B = 7
Calculando, resulta A = 4 y B = -1. Reemplazando en (1) :
3s + 7 A B 4 1 (3)
3
Teoría de ControlTeoría de ControlCurso 2001
(s - 3)(s + 1) s - 3 s + 1 s - 3 s + 1
Para hallar la Antitransformada de Laplace, se busca en la Tabla de Transformadas de Laplace
y se reemplazan los términos:
L -1 3s + 7 L -1 4 L -1 1
(s - 3)(s + 1) s - 3 s + 1
4 L -1 1 L -1 1
s - 3 s + 1
f (t) = 4 e 3t - e - t
Aplicación de la Transformada de Laplace a las Ecuaciones Diferenciales
4
Teoría de ControlTeoría de ControlCurso 2001
La Transformada de Laplace presenta gran utilidad para resolver ecuaciones
diferenciales. Si se quiere resolver una ecuación diferencial de segundo orden:
d2y/dt2 + dy/dt + y = F(t) o sea y'' + y' + y = F(t) (1)
donde y son constantes sometidas a ciertas condiciones iniciales o condiciones de frontera
y(0) = A e y'(0) = B (2).
Tomando la Transformada de Laplace a cada lado de (1) y usando (2), se obtiene una
ecuación algebraica para determinar L { y(t)} = Y(s). La solución requerida se obtiene al calcular
la antitransformada de Laplace de Y(s).
Ejercicio resuelto : Resolver y'' + y = t , con y(0) = 1 , y'(0) = -2.
Tomando la Transformada de Laplace en ambos lados de la ecuación diferencial, y
utilizando las condiciones iniciales dadas, se tiene:
L { y''} + L { y } = L { t }
s2 Y(s) - s y(0) - y'(0) + Y(s) = 1/s2
s2 Y(s) - s + 2 + Y(s) = 1/s2
Entonces: Y(s) * [s2 + 1] = 1/s2 + (s - 2)
Despejando Y(s):
Y(s) = [1/s2 + (s - 2)] / [s2 + 1]
Y(s) = 1/s2 - 1/s2 + 1 + s/s2 + 1 - 2/ s2 + 1
Y(s) = 1/s2 + s/s2 + 1 - 3/s2 + 1
Aplicando Antitransformada a cada término:
L -1 {Y(s)} = L -1 {1/s2 + s/s2 + 1 - 3/s2 + 1}
Se obtiene de la tabla:
y(t) = t + cos t - 3 sen t
5