Transformacion de Esfuerzos

UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI

FACULTAD DE INGENIERIAS

CARRERA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

TRABAJO PRÁCTICO

CURSO:

RESISTENCIA DE MATERIALES I

DOCENTE:

ING. CESAR CONDORI

CICLO:

V

ALUMNO:

LUPACA FLORES, JALMER DAVID

CODIGO: 121021051P

MOQUEGUA - PERU

UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI RESISTENCIA DE MATERIALES I

TRANSFORMACIÓN DE ESFUERZOS

ING. CESAR CONDORI Página 2


DIAGONALIZACION DEL TENSOR DE ESFUERZOS

CIRCULO DE MOHR



CONSTRUCCION DEL CIRCULO DE MOHR:



Transformación de esfuerzo planoEn temas anteriores tocados se mostró que el estado general de esfuerzo en un punto se caracteriza mediante seis componentes independientes de esfuerzo normal y esfuerzo cortante, que actúan sobre las caras de un elemento de material ubicado en ese punto, figura 1(a). Sin embargo, este estado de esfuerzo no se encuentra con frecuencia en la práctica de la ingeniería. En su lugar, los ingenieros suelen hacer aproximaciones o simplificaciones de las cargas sobre un cuerpo con el fin de que el esfuerzo producido en un elemento de la estructura o un elemento mecánico pueda analizarse en un solo plano. Cuando se presenta este caso, se dice que el material está sometido a esfuerzo plano, figura 1(b). Por ejemplo, si no hay carga en la superficie de un cuerpo, entonces las componentes de los esfuerzos normal y cortante serán iguales a cero sobre la cara de un elemento que se encuentre en esta superficie. En consecuencia, las componentes de esfuerzo correspondientes en la cara opuesta también serán cero, por lo que el material en el punto estará sometido a esfuerzo plano. Este caso se analizó a lo largo del capítulo anterior.

Por lo tanto, el estado general de esfuerzo plano en un punto se representa mediante una

combinación de dos componentes de esfuerzo normal σ x yσ y ' y una componente de

esfuerzo cortante, τ xy que actúan en las cuatro caras del elemento. Por conveniencia, aquí se verá este estado de esfuerzo sobre el plano x-y, figura 2(a). Si este estado de esfuerzo se define sobre un elemento que tiene una orientación diferente como la mostrada en la figura 2(b), entonces estará sometido a tres componentes de esfuerzo diferentes definidas

como σ x ' , σ y ' , τ x ' y ' .En otras palabras, el estado de esfuerzo plano en el punto está representado únicamente por dos componentes de esfuerzo normal y una componente de esfuerzo cortante que actúan sobre un elemento que tiene una orientación específica en el punto. En esta sección, se mostrará cómo transformar las componentes de esfuerzo de la orientación de un elemento mostrada en la figura ll(a) a la orientación del elemento en la figura ll(b). Esto es equivalente a conocer dos componentes de fuerza, es decir, Fx y Fy, dirigidas a lo largo de los ejes X y Y, que producen una fuerza



resultante FR, y luego tratar de encontrar las componentes de fuerza Fx’ y Fy’ dirigidas a lo largo de los ejes X’ y Y’, de manera que produzcan la misma resultante. La transformación de la fuerza sólo debe tener en cuenta la magnitud y la dirección de la componente de fuerza. Sin embargo, la transformación de las componentes de esfuerzo es más difícil ya que la transformación debe tener en cuenta la magnitud y la dirección de cada componente de esfuerzo, y la orientación del área sobre la que actúa cada componente.

PROCEDIMIENTO DEL ANALISIS.

Si se conoce el estado de esfuerzo en un punto para una orientación dada de un elemento de material, figura III(a), entonces el estado de esfuerzo en un elemento que tiene alguna

otra orientación θ , figura III(b), puede determinarse mediante el siguiente procedimiento.

• Para determinar las componentes de esfuerzo normal y cortante σ x ' , τ x ' y ' , que actúan sobre la cara +x’ del elemento, figura III(b), seccione el elemento de la figura III(b) como se muestra en La figura lll(c). Si el área seccionada es ∆A, entonces las áreas adyacentes del

segmento serán ∆A senθ y ∆A cosθ .

• Dibuje el diagrama de cuerpo libre del segmento, el cual debe mostrar las fuerzas que actúan sobre el segmento, figura lll(d). Esto se hace al multiplicar las componentes de esfuerzo sobre cada cara por el área sobre la que actúan.

• Aplique las ecuaciones de fuerza de equilibrio en las direcciones X’ y Y’ El área ∆A se cancelará de las ecuaciones y entonces será posible determinar las dos componentes de

esfuerzo desconocidas σ x 'y τ x ' y ' .

• Si debe determinarse σ x ' que actúa sobre la cara +y’ del elemento en la figura lll(b), entonces es necesario considerar un segmento del elemento, como se muestra en la figura lll(e) y seguir el mismo procedimiento que se acaba de describir. Sin embargo, aquí el

esfuerzo cortante τ x ' y 'no debe determinarse si ya se calculó previamente, puesto que es complementario; es decir, debe tener la misma magnitud en cada una de las cuatro caras del elemento, figura lll(b).



Ecuaciones generales de Transformación de esfuerzo plano.

El método para transformar las componentes de esfuerzo normal y cortante de los ejes de coordenadas X y Y a los ejes X’ y Y’ , analizado en la sección anterior, puede desarrollarse de manera general y expresarse como un conjunto de ecuaciones de transformación de esfuerzo.

Convención de signos. En primer lugar se debe establecer una convención de signos para las componentes de esfuerzo. Para ello, los ejes +x y +x’ se usan para definir la normal hacia afuera de un lado del elemento.

Entonces σ x yσ x ' son positivos cuando actúan en las direcciones positivas x y x’, y τ xy yτ x ' y 'son positivos cuando actúan en las direcciones positivas Y y Y’, figura 9-5.

La orientación del plano en el que se deben determinar las componentes de esfuerzo normal y cortante estará definida por el ángulo u, que se mide desde el eje +x hasta el eje +x’ de la figura 9-5b. Observe que los dos conjuntos de ejes con tilde y sin tilde en esta figura forman sistemas coordenadas derechos; es decir, los ejes positivos z (o z’) se establecen mediante la regla de la mano derecha. Al curvar los dedos desde x (o x’) hacia y (o y’) se obtiene la dirección para el eje z (o z’) positivo que apunta hacia fuera, a lo largo del pulgar. El ángulo u será positivo siempre que siga la curvatura de los dedos de la mano derecha, es decir en sentido anti horario como se muestra en la figura v(b).



Componentes de esfuerzo normal y cortante. Si se usa la convención de signos establecida, el elemento de la figura vi(a) se secciona a lo largo del plano inclinado y se aísla el segmento mostrado en la figura vi(b).

Suponiendo que el área seccionada es ∆A, entonces las caras horizontal y vertical del

segmento tiene un área de ∆A senθ y ∆A cosθ respectivamente.



Estas dos ecuaciones pueden simplificarse utilizando las identidades trigonométricas sen2θ

= 2 senθcosθ , sen2θ= (1 - cos2θ )>2 y cos2θ= (1 + cos2θ )>2, en cuyo caso,

Si se requiere el esfuerzo normal que actúa en la dirección y’, éste puede obtenerse

simplemente al sustituir (θ = θ + 90°) para θ en la ecuación, figura vi(b). De aquí se obtiene:

Esfuerzos principales y esfuerzo cortante máximo en el plano.

A partir de las ecuaciones, se observa que las magnitudes de σ x ' yτ x ' y ' dependen del ángulo de inclinación u de los planos sobre los que actúan estos esfuerzos. En la práctica de la ingeniería suele ser importante determinar la orientación del elemento que hace que el esfuerzo normal sea máximo y mínimo, y la orientación que causa que el esfuerzo cortante sea máximo. En esta sección se considerará cada uno de estos problemas. Esfuerzos principales en el plano. Para determinar el esfuerzo normal máximo y mínimo, es necesario diferenciar la ecuación con respecto a u e igualar el resultado a cero. De lo anterior se obtiene



Al resolver esta ecuación resulta la orientación θ=θpde los planos donde ocurre el esfuerzo normal máximo y mínimo.

La solución tiene dos raíces, θp 1 yθ p 2En específico, los valores de 2θp 1 y 2θp 2 están

separados a 180°, por lo queθp 1y θp 2 estarán separados a 90°. Si se deben obtener los

esfuerzos normales requeridos, es necesario sustituir los valores de θp 1y θp 2en la ecuación.

Para ello, es posible obtener el seno y el coseno necesarios de 2θp 1 y 2θp 2en los triángulos en gris de la figura M. La construcción de estos triángulos se basa en la ecuación,

suponiendo que τ xy y (σ x - σ Y ) son ambas cantidades positivas o negativas.

Al sustituir estos valores en la ecuación trigonométrica para después simplificarla, se obtiene

Dependiendo del signo elegido, este resultado proporciona el esfuerzo normal máximo o

mínimo que actúa en un punto del plano, cuando σ 1 ≥ σ 2 . Este conjunto particular de valores se denomina esfuerzos principales en el plano, y los planos correspondientes sobre los que actúan se llaman planos principales de esfuerzo, figura N. Por otra parte, si las

relaciones trigonométricas para θp 1Oθp 2se sustituyen en la ecuación, puede verse que τ x ' y '= 0; en otras palabras, ningún esfuerzo cortante actúa sobre los planos principales



Esfuerzo cortante máximo en el plano. La orientación de un elemento que está sometido al esfuerzo cortante máximo sobre sus lados puede determinarse al obtener la

derivada de la ecuación con respecto a θ y al igualar el resultado a cero. De aquí resulta

Las dos raíces de esta ecuación, θS 1YθS 2 , pueden determinarse a partir de los triángulos en

gris que se muestran en la figura O. En comparación con la ecuación, tan tanθS es el

recíproco negativo de tan 2θp y por ende cada raíz 2us está a 90° de 2θp , y las raíces θSy up están separadas por 45°. Por lo tanto, un elemento sometido al esfuerzo cortante máximo estará a 45° de la posición de un elemento que está sometido al esfuerzo principal.

Si se usa cualquiera de las raíces θS 1oθS2 , el esfuerzo cortante máximo puede encontrarse

tomando los valores trigonométricos de sen2θS ycos 2θSde la figura O y sustituyéndolos en la ecuación.

El resultado es

El valor de τmaxen el plano calculado a partir de esta ecuación se conoce como el esfuerzo cortante máximo en el plano, ya que actúa sobre el elemento en el plano x-y. Al sustituir



los valores para sen2θSy cos2θS , en la ecuación, se observa que también hay un esfuerzo normal promedio sobre los planos de esfuerzo cortante máximo en el plano. Se obtiene


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