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17-Jun-2020
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p117 Section 2.3 The Product & Quotient Rules & Higher­Order Derivatives

• Find the derivative of a function using the Product Rule • Find the derivative of a function using the Quotient Rule • Find the derivative of a trigonometric function • Find a higher­order derivative of a function

Theorem 2.7: The Product Rule The product of two differentiable functions f & g is itself differentiable. Moreover,  the derivative of fg is the first function times the derivative of the second, plus the  second function times the derivative of the first.

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Theorem 2.8: The Quotient Rule The quotient f/g of two differentiable functions f and g is itself differentiable at all  values of x for which g(x) ≠ 0. Moreover, the derivative f/g is given by the  denominator times the derivative of the numerator minus the numerator times the  derivative of the denominator, all divided by the square of the denominator.

** Look hard to remember? Here's a trick:   The Quotient Rule is the derivative of HI/HO, and it goes like this:

HO DE HI ­ HI DE HO / HO HO

** Another thing to remember ­ use parenthesis a lot!! And be sure to  rewrite/simplify (if needed) before differentiating!!

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76.  The radius of a right circular cylinder is give by √(t + 2) and its height is  (1/2)√t, where t is time in seconds and the dimensions are in inches. Find the  rate of change of the volume with respect to time.

78.  Boyle's Law: This law states that if the temperature of a gas remains constant,  its pressure is inversely proportional to its volume. Use the derivative to show that  the rate of change of the pressure is inversely proportional to the square of the  volume.

** IV: "y varies inversely with x" y = k/x

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80. Determine whether there exist any values of x in the interval [0, 2π] such that the  rate of change of f(x) = sec x and the rate of change of g(x) = csc x are equal.

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An acceleration function can be found by differentiating a velocity function (in other  words, by finding the second derivative of the position function)

** 1st derivative = velocity ** 2nd derivative = acceleration

Example 10: Finding the Acceleration Due to Gravity Because the moon has no atmosphere, a falling object on the moon encounters no  air resistance. In 1971, astronaut David Scott demonstrated that a feather and a  hammer fall at the same rate on the moon. The position function for each of these  falling objects is given by:

s(t) = ­0.81t2 + 2 where s(t) is the height in meters and t is the time in seconds. What is the ratio of  earth's gravitational force to the moon's?

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