The Complexity of Two-Person Zero-Sum Games in Extensive Form ...

23

Transcript of The Complexity of Two-Person Zero-Sum Games in Extensive Form ...

Page 1: The Complexity of Two-Person Zero-Sum Games in Extensive Form ...

����� ���� �� ��������� ��������������! #"$�% &'�! (���*),+�� -/.�� �0"�1% 23�,�$�!%�"4��5� 6,� #�

7!8:9<;<=?>A@!BDCECF>�GIH J�KELMGNBPORQR> SDKEO<O<BUT

J�BWVD>�L�XY>�GAZ1[D[D\

]_^?`Nacbedgfhai�jlknmpolqro:sct?kvu1w�sNmyxzkn{�qex|sNmDx|jgsY}c~h��og�ns��Wkvx���~h�W�lul�Wknug{���qr� ����kvu#myxzt�qex|sc{�kvs�mD��~htp�lugkvxzsYx��Y~h�Fo:sct�my~�u

� sct|~r��my�l��{�qh��sNm�knu0xzjgs�s��1xzsNulmzkvw�s4��~ht|����i�jgs�ogt|~h�g�nsc��~r���Ws�x|sct|��kvugknug{���jls�xzjlsct�q�og�nqI��sct���kvxzjkn��o�sNty��s�}�x_t|sN}Nqr�n�*}cqhu {��lqrt�qru x|scs0jgkn��mzsc�v�#q�}�sctzx|qhkvu¡olqI��~r¢,k£m�mzjg~e��u xz~¤�:s¦¥�§��Fjlqht|�¨�ª©ªjgscu�:~rx|j«og�£qI�hsNt|m4jlqIw�s�kv��o:sctz��sN}�x¬tzs�}cqh�v�F­px|jgk£m¬k£m#sNwhscu�jlqht|�gsct���®!~�tzsN~ewhsNtN­Ux|jgs���qe�1����kvu¤�:scjlqIw1kn~htmyxzt�qex|sc{��#~r�Dmy�l}�j�q$og�£qI�hsNt?��qI�#��mys�kntzt�qex|kv~�ulqr�1u1�g�¬�:sct�mN�?i�j1�lmN­e��~ht¯{�qr��s�mP��kvxzj�kn��o�sNty��s�}�x¯t|sN}Nqr�n�E­}c~h��og�Wx|kvul{_x|jgs¬��qe�1����kvu¦myxzt�qex|sc{���~�t�x|jgs�weqh�v�gs�~r�°x|jgs�{ qr��s#k£m4q�jlqht|�0ogt|~h�l�vsN���4±g~�t$q_{�qh�²s��kvxzjo�sNty��s�}�x¬t|sN}Nqr�n�E­P�Ys�oltzs�mysNu�x¬qhu¤qr�n{h~ht|kvxzjg�3��~ht¬}c~h��og�Wx|kvug{Aq0��qr�1�F��knu¤��sNjlqIw1kv~�t#m�x|t|qrxzsc{��h­��jlkn}�j0t|�gulm�knu�x|kv��s(o:~h�n�1ug~h��k£qr�°³µ´¦¶�·g¸#¹�³vº�¸�»y¼4¶µ·l¸�½ ¾e¿�¸�¶EÀz¸�¸c�

ÁrÂWÃ1ÄÆÅÇ1È�ÉUÊr˦Ç1È�Ì�ÍeÇWÎ�ÏUÐUÑDÒ�ÊrÍIÈ#Ó(Î�ÇWÔ�Ô�̵ÕPÍeÇ1È�̵Ögפ×�ÐpË_Ñ<ÊeØcÔeÙ*Â1ÄWÚ�ÄgÛ:Ü°ÝWÃgÞ�ÂWÂ:ß

à¬á â¨ã²ä?å°æ_çéè0ê�ä<ë�æ²ã

ì ×lÈ�Ì�Î4ØcÊrÍIÊr×lÈ�εíWÜ4Î�̵È�È�Î�ÊÆÇ1È�È�Êr×�È�̵Ög×ïî4ÇWÔéðUÊeñWÖWÈ�ÊrðïÈ�ÖRÍIÖgË!òpÐUÈ�Ç1È�Ì�ÖgרÇWÎ(ÇWÔ�ò<ÊrÍIÈ�Ô!ÖWó�Ô�ÖgÎ�ÐUÈ�̵Ög×�ÍIÖgרÍIÊeòpÈ�ÔéÌ�×ô ÇWË!Ê�È�ÉUÊeÖWØ�íWß*õ¬ÉUʲÍIÖgËéòpÐUÈ�Ç1È�̵ÖgרÇWÎ?ÍIÖgË!òpÎ�ÊIöD̵ÈzíéÖWó¯ð¨Ìµ÷?ÊeØ�Êr×�È4Ô�ÖgÎ�ÐUÈ�̵Ög×AÍIÖgרÍIÊeò¨È�Ô(ÍeÇW×Æñ1Ç1Ø�í¦ðUØcÇWÔ�È�Ì�ÍeÇWÎ�εíWßÏ:ÖgË!ÊÆî$ÖWØ�ø,ɨÇWÔ�Ñ<ÊeÊr×RðUÖg×UÊÆÖg×ùÇWרÇWεí:úrÌ�× ô È�ɨÊÆÍIÖgË!òPεÊIöDÌ�ÈyíªÖWó¬ÍIÖgË!òPÐUÈ�Ì�× ô ÇMû²ÇWÔ�Éùü�ý:ШÌ�Î�̵ÑpØcÌ�ШË�Ì�×ô Êr×UÊeØcÇWÎ�×UÖWØcËéÇWÎ�óFÖWØcË ô ÇWË!ÊrÔeÜYÑpÐUÈ�È�ɨÌ�Ô�ÌþÔ²Ô�È�Ì�Î�Î�ÇWתÖWò<Êrסò¨Ø�ÖWÑpÎ�Êrˤß_ÿ*Ç1ØcÌþÇ1È�̵ÖgרÔ�ÖWó$È�ɨÌ�Ô²ò¨Ø�ÖWÑPεÊrË�Ç1Ø�ÊøD×UÖhî¬×�È�Ö¡Ñ<ÊÆû����yɨÇ1ØNð���Ô�ÊeÊ���ÌþεÑ<ÖgÇÇWרð�?ÊrË!ÊrÎ�µÁrÂWÃW ���Nß,Ó$ÖgË!òPεÊIöDÌ�Èyí,ÇWרÇWεíDÔ�Ì�Ô�ÖWó#ÖWÈ�ÉUÊeØ!Ô�ÖgÎþÐUÈ�̵Ög×ÍIÖgרÍIÊeò¨È�Ô�î4ÇWÔ�ðUÖg×UÊ!Ì�× Ú²Êr× ô ÇWרð���Ç1òpÇWð¨Ì�ËéÌ�È�Øc̵ÖgÐ ÁrÂWÃW � ß��²Î�Ô�ÖUÜ°Ô�ÊeÊ��¯Ð¨ÍeÇWÔ ÁrÂ���� � óFÖWØ�Ç�Ô�ÐUØ�ñWÊeíWß���×È�ɨÌ�Ô*òpÇ1ò<ÊeØrÜgî$ʬÊIöUÇWËéÌ�×UÊ#È�ɨʬÍIÖgË!òpεÊIöU̵Èzí�ÖWó°Ô�ÖgÎ�ñ:Ì�× ô Èyî$Ö���ò?ÊeØNÔ�Ög×éúeÊeØ�Ö��yÔcÐ¨Ë ô ÇWËéÊrÔ�Ì�×0ÊIöDÈ�ÊrרÔ�Ì�ñWʬóFÖWØcˤß

��× ô ÇWË!Ê�È�ÉUÊeÖWØ�í���Ô�ÊeÊWÜ�óEÖWØ0ÊIöUÇWË!òpεÊWÜ��²î$Êr× ÁrÂWÃ�� � Ü�ÖWئÅMÍ ��Ì�רÔ�Êeí ÁrÂWÛ�� � �_È�ÉUÊeØ�Ê�Ç1Ø�Ê�Èyî$ÖªËéÇWÌ�×óFÖWØcËéÔ�óEÖWØ4Ø�Êeò¨ØcÊrÔ�Êr×lÈ�Ìþ× ô_ô ÇWË!ÊrÔrÜ:È�ɨÊ"!$#�%'&)(�*�+ #�%,&0Ü ô Ì�ñ:Ì�× ô È�ÉUʲòpÇríWÖ1÷°Ô4óFÖWØ$ÇWÎ�Î?ÍIÖgË�ÑpÌ�רÇ1È�̵Ög×pÔ�ÖWó¯Ô�È�ØcÇ1È-�Ê ô í!ÍcÉUÖgÌþÍIÊrÔeÜ�ÇWרðéÈ�ÉUÊ".0/213.4!65,798�.:+4#�%,&0Ü�ðUÊrÔcÍIØc̵ÑpÌ�× ô È�ÉUÊ ô ÇWË!ʬÇWÔ*Ç�È�ØcÊeÊWÜlî¬É¨ÌþÍcÉ!Ì�Ô�ÍIÖgרÔcÌ�ðUÊeØ�Êrð0È�ÉUÊ�Ë!ÖWØ�ÊרÇ1È�ÐUØNÇWÎYØcÊeò¨Ø�ÊrÔ�Êr×�È�Ç1È�̵Ög×°ß�õ#ɨÊ�ÍIÖgË!òPεÊIöDÌ�Èyí«ÖWó$Ô�ÖgεñDÌ�× ô È�É¨Ê ô ÇWËéÊéðUÊeò<Êrרð¨ÔeÜPÖWó�ÍIÖgÐUØcÔ�ÊWÜ°Ög×MÈ�ɨÊ�ØcÊeò¨Ø�Ê4�Ô�Êr×�È�Ç1È�̵Ög×°ÜUÔ�Ì�×pÍIÊ�È�ÉUÊ�Ô�Ì�úeÊrÔ�ÖWó¯È�ÉUÊ�Èzî�Ö!ØcÊeò¨Ø�ÊrÔ�Êr×�È�Ç1È�̵ÖgרÔ4Ç1Ø�Ê�×UÖWÈ4ò<ÖgεíD×UÖgËéÌ�ÇWÎ�Î�í_Ø�ÊrÎ�Ç1È�Êrð�ß��|×ÆÈ�ɨÌ�Ô�òpÇ1ò<ÊeØ

;-<>=-?�@0A�BDCE=-F BHG'IKJLG,CE? M BD=NAPORQ-ST=-F Q-=,UVOWB3@XF IYGXA3Z�[:F\ST]4=NAD^�S_B9` UaOWB3@'FRIYGXA3Z2UbJK@'cTS_IYG'ADF Sd@�e'f,g,h4i Uj@'F\ZlknmporqscdCt@'Z =-F�us=Nv^�=w@0ADQyx�JL=NFWBD=yAwU�z,i'h|{H@0A�A�`}u:G,@,Z2U�O @XFl~,G'^�=,U�JK@XcdS_I�G'ADF\Sd@te4i �0�XhXv9z,h'e,eR�

� k�mpo�qscTCt@,Z =NFEu:=-^�=-@XADQ3x}JL=-F BD=NAwURz4iXh�{>@XA�A�`|usG4@'Z2U OR@'Ft~,G'^�=,U\JK@'cTS_IYG'ADF Sd@�e4i �0�XhXv9z,h'e,eRU�@'F\ZtORQ3x\G G,c\G'Ibo�@XBDx\=NCt@XB�vSTQw@'cbORQ-ST=-F Q-=-^-U\�V=-caq:]WST]t[>F\ST]4=yAD^�STB9` U �V=-caq:]WST]�URk9^nA3@'=-c��

Á

Page 2: The Complexity of Two-Person Zero-Sum Games in Extensive Form ...

î$ÊAð¨Ì�ÔcÍeШÔ�Ô�È�ÉUʦÊIö:È�ÊrרÔc̵ñWʦóFÖWØcˤß���×UÊA×UÖ:ð¨ÊéÖWó4È�ÉUʦÈ�Ø�ÊeÊ��FÈ�ÉUÊ�%w#W#�1 ��Ì�Ô�ð¨Ì�Ô�È�Ìþ× ô ШÌ�Ô�ɨÊrð ÇWÔ�ÇÔ�È�Ç1ØcÈ�Ì�× ôò<ÖgÌ�×�Èeß�ü�ÇWÍcÉ�×UÖg×�È�ÊeØcËéÌ�×pÇWÎp×UÖDðUÊ�ÌþÔ*Êr̵È�ÉUÊeØ4Ç�ðUÊrÍeÌ�Ô�̵Ögצò<ÖgÌ�×lÈ�óEÖWØ$Ög×UʲÖWó�È�ÉUÊ�òpÎ�ÇríWÊeØNÔeÜDÖWØ$Ç ��� (�! � .�!$#��2.Ø�Êeò¨ØcÊrÔ�Êr×lÈ�Ìþ× ô Ç�ØcÇW×pðUÖgË3Ë!Ö�ñWÊWß�� òpÇ1È�ÉéóFØ�ÖgË3È�ÉUʬØ�Ö:ÖWÈ�È�Ö�Ç�È�ÊeØcËéÌþרÇWΨ×UÖDðUʬÌ�Ô�ÍeÇWÎ�εÊrð¦Ç��$*�(�1ßP��צÊrð ô ÊεÊrÇWð¨Ìþ× ô óEØ�ÖgË Ç�×UÖDðUÊ#Çrî4Çrí!óFØ�ÖgË3È�ÉUÊ#Ø�Ö:ÖWÈ�ðUÊr×UÖWÈ�ÊrÔ�Ç�ò<ÖgÔ�Ô�̵ÑPεÊ$ËéÖhñWʬóFÖWØ�È�ɨʬÍIÖWØ�Ø�ÊrÔ�ò<ÖgרðpÌ�× ô òpÎ�ÇríWÊeØ$Ì�×ÍeÇWÔ�ʲÈ�ɨÇ1È�רÖ:ðUÊ�Ì�Ô�Ø�ÊrÇWÍNÉUÊrðAðpÐUØcÌ�× ô È�ɨÊ#òpÎ�ÇhíWß*ü�ÇWÍcÉÆÍcÉpÇWרÍIʲרÖ:ðUÊ#ÉpÇWÔ�Ç_ò¨Ø�ÖWÑpÇ1ÑpÌþÎ�̵Èyí�ð¨Ì�Ô�È�ØN̵ÑpÐUÈ�̵Ög×�Ö�ñWÊeØ̵È�Ô�Ë!ÖhñWÊrÔrß�� òpÇríWÖ1÷ ñWÊrÍIÈ�ÖWØhÜ�ÍIÖg×�È�ÇWÌ�רÌ�× ô ÊrÇWÍcÉ�òpÎþÇríWÊeØ� Ô�òpÇhíWÖ1÷�Ü�ÌþÔ_ÇWÔ�Ô�ÖDÍeÌ�Ç1È�Êrðùî¬ÌµÈ�É�ÊrÇWÍcÉùÈ�ÊeØc˦Ì�רÇWÎ×UÖDðUÊWß«õ#ÉUÊAÈyî$Ö���òpÎ�ÇhíWÊeØ ô ÇWË!ÊÆÌþÔ��R. %-#� 35��V&�̵ó4È�ÉUÊAÔcÐ¨Ë ÖWó#È�ɨʦòpÇhíWÖ1÷<Ô�È�Ö È�ÉUʦÈzî�Ö¡òpÎ�ÇhíWÊeØcÔ�Ç1È�ÊrÇWÍNÉÈ�ÊeØcËéÌþרÇWÎ<×UÖ:ð¨Ê�ÌþÔ4úeÊeØ�ÖUß�õ#ÉUÊ�Ô�ÊeÈ(ÖWó�ÇWÎ�Î<ðUÊrÍeÌþÔ�̵Ögפ×UÖDðUÊrÔ4óFÖWØ#Ç0òpÎ�ÇríWÊeØ�Ì�Ô4òpÇ1Ø�È�̵È�Ì�Ög×UÊrð�Ì�×lÈ�Ö 7�!W+ #�%,&�(�1n7n#�!5 .W1�5���� ÉUÊrצÈ�ÉUÊ#òpÎþÇríWÊeØ�ɨÇWÔ�È�Ö_ðUÊrÍeÌ�ð¨Ê#î¬É¨Ì�ÍNÉ!Ë!ÖhñWÊ�È�Ö_È�Ç1øWÊWÜDÉUʬÌ�Ô�Çrî4Ç1Ø�ʬÖWó<È�ÉUʬÌþ×UóEÖWØNËéÇ1È�̵Ög×!Ô�ÊeÈ�ɨʬÌ�ÔÇ1ÈeÜDÑpÐUÈ$ðUÖ�ÊrÔ$×UÖWÈ$ø:רÖhî'È�ÉUʲÊIöDÇWÍIÈ(×UÖDðUʬî�̵È�ɨÌ�×!È�ɨʲÔ�ÊeÈeß*õYÖ�ÊrרÔ�ÐUØ�Ê�È�ɨÇ1È$È�ÉUÊ�òPÎ�ÇríWÊeØ4î¬Ì�ÎþΨ×UÖWÈ�Ñ<ʲÇ1ÑpεÊÈ�Ö�ð¨Êrð¨Ð¨ÍIʬɨÌþÔ�ÊIöDÇWÍIÈ4εÖDÍeÇ1È�̵Ög×°Ü�È�ÉUÊ�×:ШË�Ñ?ÊeØ�ÖWó�Ë!ÖhñWÊrÔ$ÊrËéÇWרÇ1È�Ìþ× ô óFØ�ÖgË È�ÉUʲ×UÖDðUʬɨÇWÔ�È�Ö_Ñ<Ê#È�ÉUʲÔ�ÇWË!ÊóFÖWØ�ÊeñWÊeØ�íª×UÖDðUÊéÌ�סÈ�ÉUʦÌþ×UóEÖWØNËéÇ1È�̵ÖgסÔ�ÊeÈeßAõ¬ÉUÊ!Ë!ÖhñWÊrÔ�Ç1È_ð¨Ì£÷<ÊeØ�Êr×�È�×UÖDðUÊrÔ�ÖWó$È�ÉUʦÔ�ÇWË!ÊAÌ�×UóFÖWØcËéÇ1È�̵Ög×Ô�ÊeÈ#Ç1Ø�Ê�È�ɨÊeØ�ÊeóEÖWØcÊ ô ØcÖgÐUò<Êrð¤Ì�×lÈ�Ö0Êrý:Ш̵ñ1ÇWεÊrרÍIÊ�ÍeÎ�ÇWÔ�Ô�ÊrÔeÜDî¬É¨Ì�ÍNÉÆÍIÖWØcØ�ÊrÔ�ò<ÖgרðÆÈ�Ö!È�ÉUÊ�ò<ÖgÔ�Ô�̵ÑPεÊ�ðUÊrÍeÌþÔ�̵ÖgרÔ4ÇòpÎ�ÇhíWÊeØ#ÍeÇWפËéÇ1øWÊ�Ç1È(È�ɨÇ1È#Ì�רóEÖWØc˦Ç1È�̵Ög×AÔ�ÊeÈl�FÊrÇWÍNÉðUÊrÍeÌþÔ�̵Ög×ÆðUÊeÕp×UÊrÔ$Ög×UÊ�Ë!Ö�ñWÊ�óEØcÖgË�ÊrÇWÍcÉ«×UÖDðUÊ�Ì�×ÆÈ�ÉUÊÌ�×UóFÖWØcËéÇ1È�Ì�Ög×ÆÔ�ÊeÈ'�NßP�zÈ#ÌþÔ(×UÖWØcËéÇWÎ�Î�í¦ÇWÔ�Ô�ШËéÊrð�È�ɨÇ1È#ÇW׫Ì�×UóFÖWØcËéÇ1È�Ì�Ög×ÆÔ�ÊeÈ#Ì�Ô(×UÖWÈ(ñDÌ�Ô�̵È�Êrð�Ë!ÖWØ�Ê�È�ÉpÇW×�ÖgרÍIÊð¨ÐUØNÌ�× ô Ög×UÊ�òpÎ�ÇhíWß

�����b%w.�5,1n%w(�13.����!óEÖWØ�ÇÆòpÎ�ÇhíWÊeØ�Ì�Ô²ÇWתÇWÔ�Ô�Ì ô רËéÊr×lȲÖWó�Ç�ðUÊrÍeÌ�Ôc̵Ög×È�Ö¤ÊrÇWÍNÉ¡ÖWó�ɨÌþÔ�Ì�רóEÖWØc˦Ç1È�̵Ög×MÔ�ÊeÈ�Ôeß���'. � (�8R7�#�%l5,1n%w(�13.�����Ì�Ô4ÇWפÇWÔ�Ô�Ì ô רË!Êr×�È$ÖWó�Ç�ò¨Ø�ÖWÑpÇ1ÑpÌþÎ�̵ÈyíéðpÌ�Ô�È�Øc̵ÑPÐUÈ�̵Ög×!Ö�ñWÊeجÈ�ÉUÊ�ò<ÖgÔ�Ô�̵ÑPεÊ�ðUÊrÍeÌþÔ�̵ÖgרÔ$Ç1ÈÇW×�íÆÌ�רóEÖWØc˦Ç1È�̵Ög×AÔ�ÊeÈeÜpÌ�ß ÊWߵܨ̵È(Ì�Ô4Ç0òpÎ�ÇW×ÆóFÖWØ#εÖDÍeÇWÎ<ØcÇWרðUÖgËéÌ�úrÇ1È�̵Ög×°ß�� & 7�/a.���541n%-(�13.�����óFÖWØ#Ç0òpÎ�ÇhíWÊeØ#Ì�Ô(Çò¨Ø�ÖWÑPÇ1ÑpÌ�Î�̵Èzí¦ð¨Ì�Ô�È�Øc̵ÑpÐUÈ�Ì�ÖgצÖ�ñWÊeØ�ÇWÎ�ΰòPÐUØ�Ê�Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔ¬óEÖWجÈ�ɨÇ1È#òpÎ�ÇhíWÊeØrß

õ#É¨Ê ô ÇWË!Ê�Ì�Ô�Ô�ÇWÌþð!È�Ö�ÉpÇrñWʲî¬ÌµÈ�É��6. %9+W. � 1H79!R+4#�%,&)(�1n7�#�!é̵ó?ÊrÇWÍcÉ�Ì�×UóFÖWØcËéÇ1È�̵ÖgצÔ�ÊeÈ�ÍIÖgרÔcÌ�Ô�È�Ô*ÖWó°ÊIöUÇWÍIÈ�εíÖg×UÊ_רÖ:ðUÊWßE�?ÊeØcË!ÊrÎ�Ö� Ô#õ#ÉUÊeÖWØ�ÊrË ��Ô�ÊeÊ �<ÊeØcË!ÊrεÖ�£ÁrÂDÁ�� ��ÇWרð¤ñWÖg× û¬ÊrÐpËéÇWר׫ÇWרðMÅ«ÖWØ ô Êr×pÔ�È�ÊeØc× �Ár �a�R���ÇWÔ�Ô�ÊeØcÈ�ÔéÈ�ÉUÊ«ÊIöUÌ�Ô�È�Êr×pÍIÊ«ÖWó�ÖWòpÈ�Ì�ËéÇWÎ(òpШØ�Ê«Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔ¦óEÖWئÈyî$Ö���ò?ÊeØNÔ�Ög× úeÊeØcÖ��yÔ�Ð¨Ë ô ÇWË!ÊrÔAî¬ÌµÈ�É�ò<ÊeØ�óFÊrÍIÈÌ�×UóFÖWØcËéÇ1È�Ì�Ög×°ß���ÐpÉ¨× ��ÁrÂWÛ����¬ÊIö:È�Êrרð¨Êrð«È�ɨÌ�Ô#È�ÉUÊeÖWØ�ÊrË È�Ö"!K��ò<ÊeØcÔ�Ög× ô ÇWË!ÊrÔ�î¬ÌµÈ�É«ò?ÊeØcóEÊrÍIȬÌþ×UóEÖWØNËéÇ1È�̵Ög×°ßõ#ÉUÊ�ò¨Ø�ÊrÔ�Êr×pÍIÊ�ÖWó�×UÖg×�È�Øc̵ñDÌ�ÇWÎPÌ�×UóFÖWØcËéÇ1È�̵Ög×AÔ�ÊeÈ�Ô4ÍIÖgË!òpÎ�Ì�ÍeÇ1È�ÊrÔ�È�ÉUÊ ô ÇWË!Ê�Ô�Ì ô רÌ�ÕpÍeÇW×lÈ�Î�íWß>�$#�ÑpØcÐUÈ�Ê4��óFÖWØcÍIÊ�%Ë!ÊeÈ�ÉUÖDð,ÖWó(Ô�ÖgÎ�ñ:Ì�× ô Ç ô ÇWË!Ê�Ì�סÊIö:È�Êr×pÔ�̵ñWʦóFÖWØcË Ì�Ô�È�ÖÈ�ØNÇWרÔ�Î�Ç1È�ʦÌ�È_Ì�×�È�Ö×UÖWØcËéÇWÎ*óEÖWØcË«ßÆõ#ÉpÌ�Ô�Êr×lÈ�ÇWÌþÎ�ÔÎ�Ì�Ô�È�Ì�× ô ÇWÎ�Î�È�ÉUÊÆò?ÖgÔcÔ�̵ÑpεÊ!òPÐUØ�ÊAÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔ0óFÖWØ�ÊrÇWÍNÉ�òpÎ�ÇríWÊeØhÜ*ÇWרðRÈ�ɨÊAòpÇhíWÖ1÷ óFÖWØ�ÊrÇWÍNÉ�Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô íùÍIÖgË �ÑpÌ�×pÇ1È�̵Ög×°ß'õ#ÉUÊMÔ�È�ÇWרð¨Ç1Øcð Ô�ÖgÎ�ÐUÈ�̵Ög× ÍIÖgרÍIÊeò¨ÈÆóEÖWØAÈyî$Ö���òpÎ�ÇríWÊeؤúeÊeØcÖ��yÔ�Ð¨Ë ô ÇWË!ÊrÔ�Ì�ÔéÈ�ÉUÊ 54(��&�b*�.' (�6#�79!$1��ËéÇ öV�yËéÌ�× Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔ,�(î¬ÉpÌ�ÍcÉMÌ�Ô�ÇAÔ�ò<ÊrÍeÌ�ÇWίÍeÇWÔ�Ê�ÖWó�È�ɨÊ*)"(\5 �,+.- �b7�* 7��4%,7/�V& óFÖWØ�×UÖg×b��úeÊeØ�Ö��yÔ�ÐpË ô ÇWËéÊrÔeßõ#ÉUʲÔ�ÖgÎ�ÐUÈ�Ì�ÖgצÖWó¯Ç ô ÇWË!Ê�Ì�×A×UÖWØcËéÇWÎPóEÖWØNË Ì�Ô$ШÔ�ÐpÇWÎ�εí!Ç�˦̣ö:ÊrðAÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô íÆóEÖWØ$ÊeñWÊeØ�íAòpÎ�ÇríWÊeØhß��|×AÈ�ÉUÊ�ÍeÇWÔ�ÊÖWó<Èyî$Ö���ò<ÊeØcÔ�Ög×AúeÊeØ�Ö��yÔ�Ð¨Ë ô ÇWË!ÊrÔeÜDÖWò¨È�Ì�ËéÇWÎpËéÌ£öDÊrðéÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔ�óFÖWØ�È�ÉUÊ#òPÎ�ÇríWÊeØcÔ�ÍeÇWצÑ<Ê(óFÖgШרð!Ñ:í!Ô�ÖgεñDÌ�× ôÇéÎ�Ìþ×UÊrÇ1Ø(ò¨Ø�Ö ô ØcÇW˦ËéÌ�× ô ò¨Ø�ÖWÑPεÊrˤß

��Ðpɨ×���ÁrÂWÛ�����Ô�ɨÖhî$Êrð�È�ÉpÇ1È�óFÖWØ�Ç Î�Ç1Ø ô ÊÆÍeÎ�ÇWÔ�Ô�ÖWó ô ÇWË!ÊrÔeÜ�ø:×UÖ�î¬×ùÇWÔ ô ÇWË!ÊrÔ0î�̵È�É0�6. %9+W. � 1�%w. � (�*�*nÜÑ<ÊrɨÇrñD̵ÖWØ#Ô�È�ØNÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔ#Ç1Ø�Ê1#�ÇWÔ ô Ö:ÖDð2%0ÇWÔ#ËéÌ£öDÊrð�Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔeß��|×�È�Ш̵È�Ì�ñWÊrεíWÜUÇ ô ÇWËéÊ�î¬ÌµÈ�ÉÆò<ÊeØ�óFÊrÍIÈ$ØcÊrÍeÇWÎ�ΰÌ�ÔÖg×UÊ#Ì�×0î�ɨÌ�ÍcÉ0ÊrÇWÍNÉéòpÎþÇríWÊeØ�ðUÖ:ÊrÔ*×UÖWÈ�óEÖWØ ô ÊeÈ�ÇW×lí:È�ɨÌ�× ô ÇWרð�ÜlÌ�×0òpÇ1Ø�È�ÌþÍeШÎ�Ç1ØrÜ1Ø�ÊrË!ÊrË�Ñ<ÊeØcÔ*ÇWÎ�ÎUÉpÌ�Ô�ò¨Ø�ÊeñD̵ÖgШÔË!Ö�ñWÊrÔeß�|×ùÖWÈ�ÉUÊeئî�ÖWØcðpÔeÜ�Ç1È!ÊrÇWÍNÉïò<ÖgÌ�×�È�Ì�×ùÈ�ÉUÊ ô ÇWËéÊWÜ�È�ÉUʤòPÎ�ÇríWÊeØ!Ø�ÊrËéÊrË_Ñ<ÊeØcÔ0î¬ÉpÇ1ÈéÌ�×UóFÖWØcËéÇ1È�̵Ög×Ô�ÊeÈ�ÔéɨʫɨÇWÔ0ñ:ÌþÔ�̵È�Êrð�Ш×�È�Ì�Î$È�ɨÇ1È!ò<ÖgÌ�×�Èeß ��×�Ô�ШÍNÉ ô ÇWË!ÊrÔeÜ(ÇW×lí�ËéÌ£öDÊrð�Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô íïÌ�×pð¨Ð¨ÍIÊrÔ0Ç¡Ñ<ÊrɨÇrñD̵ÖWØÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô í�î�̵È�É�È�ÉUÊÔcÇWË!ÊòpÇhíWÖ1÷<Ôrß��|ȦÍeÇW× ÊrÇWÔ�Ì�εíùÑ<ÊÔ�ÉUÖ�î¬×�È�ɨÇ1ÈAî¬ÌµÈ�ÉUÖgÐUÈ!ò<ÊeØ�óFÊrÍIÈéØ�ÊrÍeÇWÎþÎ�Ü�òPÇríWÖ1÷°Ôî¬É¨ÌþÍcÉ,ÍeÇW×�Ñ<ʦÇWÍcɨÌ�ÊeñWÊrðRî¬Ì�È�ÉRËéÌ£öDÊrð,Ô�È�ØNÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔ0ËéÇrí,×UÖWÈ�Ñ<ʦÇWÍcɨÌ�Êeñ Ç1ÑpÎ�Êéî¬ÌµÈ�ɪÑ<ÊrɨÇhñ:Ì�ÖWØ�Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô Ì�ÊrÔ��Ô�ÊeÊ�ü�öUÇWË!òpεÊ��:ßµß3�a�Nß|�|ȬÔ�ÊeÊrËéÔ¬È�ɨÇ1ȬÑ:í�òpÎ�ÇríDÌ�× ô ǦËéÌ£öDÊrð«Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô í¤î¬ÉpÌ�ÍcÉ«ÍeÇW×p×UÖWÈ#Ñ<Ê_ðUÊrÔ�ÍIØN̵Ñ<ÊrðÆÇWÔ²ÇÑ<ÊrɨÇrñD̵ÖWØ�Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô íWÜYÇAòPÎ�ÇríWÊeØ�ËéÌ ô ÉlȲÖWѨÈ�ÇWÌ�סË!ÖWØ�Ê!Ì�רóEÖWØc˦Ç1È�̵Ög×È�ÉpÇW× ÌþÔ²ÇWÎþεÖhî$Êrð Ñ�í É¨Ì�Ô²Ì�×UóFÖWØcËéÇ1È�̵Ög×òpÇ1Ø�È�Ì�È�̵Ög×°ß�õ#É�ÐpÔeÜ�È�ÉUʤóFÊrÇWÔ�̵ÑPÌ�Î�̵Èzí,ÖWó�òPÎ�ÇríDÌ�× ô Ç,Ëé̵ö:Êrð�Ô�È�ØNÇ1È�Ê ô í�ÍIÖg×�È�ØcÇWð¨ÌþÍIÈ�ÔéÈ�ÉUÊ«Ô�È�ØNШÍIÈ�ÐUØ�ʤÖWó²È�ÉUÊô ÇWË!ÊWß4�ªÊ_Ç1Ø�Ê�È�ÉUÊeØ�ÊeóFÖWØ�Ê_Ìþ×lÈ�ÊeØ�ÊrÔ�È�Êrð«Ì�×�ÕpרðpÌ�× ô_ô Ö:ÖDð¤Ñ<ÊrɨÇrñD̵ÖWجÔ�È�ØNÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔ#óFÖWØ(È�ÉUÊ_ÍeÇWÔ�Ê_ÖWó�Ì�Ëéò?ÊeØcóEÊrÍIÈØ�ÊrÍeÇWÎ�Î�ß

Page 3: The Complexity of Two-Person Zero-Sum Games in Extensive Form ...

� ÊrɨÇhñ:̵ÖWØéÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔéÇWÎ�Ô�Ö¡ÉpÇrñWʤÈ�ÉUʤÇWðUñ1ÇW×lÈ�Ç ô ÊÈ�ɨÇ1È!εÊrÔ�Ô0Ë!ÊrË!ÖWØ�íùÔ�òpÇWÍIʤÌ�Ô�Ø�Êrý:Ш̵Ø�Êrð�óFÖWØ!È�ÉUÊr̵ØÌ�Ë!òPεÊrË!Êr×�È�Ç1È�̵Ög×éÈ�ɨÇW×ÆËéÌ£öDÊrðéÖgרÊrÔeß�õ#ÉUÊ�ðpÌ�Ë!ÊrרÔ�Ì�Ög×!ÖWó°È�ÉUÊ�˦̣ö:ÊrðAÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô íAñWÊrÍIÈ�ÖWØ4ÌþÔ�È�ÉUʲ×�ÐpË_Ñ<ÊeØ�ÖWóÇrñ1ÇWÌ�Î�Ç1ÑPεÊ�òPÐUØ�Ê�Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔeÜ°î¬ÉpÌ�ÍcÉ¡ËéÇhí ô Ø�Ö�î ÊIö:ò<Ög×UÊr×�È�Ì�ÇWÎ�εí�î¬Ì�È�ÉÈ�ÉUÊ!×:ШË�Ñ?ÊeزÖWó�Ìþ×UóEÖWØNËéÇ1È�̵Ög×Ô�ÊeÈ�Ôeßõ#ÉUÊÆð¨Ì�Ë!Êr×pÔ�̵ÖgתÖWó(È�ÉUÊAÑ<ÊrɨÇrñD̵ÖWØ0Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô í ô ØcÖhî¬Ô�Ögרεí,Î�Ìþ×UÊrÇ1Øcεí î¬ÌµÈ�ÉRÈ�ɨÌ�Ô_×:ШË�Ñ<ÊeØrß��UÖWØ0ÊIöDÇWËéòpεÊWÜ��ШÉp× ��ÁrÂWÛ1Ä2��ð¨ÊrÔ�ÍIØc̵Ñ<Êrð ÇùÈ�ØcÌ�ñ:Ì�ÇWÎ�ò<ÖWøWÊeØ ô ÇWË!ÊWÜ�Ì�× î�ɨÌ�ÍcÉ È�ÉUʪÔ�Ì�ËéòpεÊIö�ÖWó�Ëé̵ö:Êrð'Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô Ì�ÊrԤɨÇWÔð¨Ì�ËéÊrרÔ�̵Ög× ÃDÁrÂDÁ î¬ÉpÌ�εʫÈ�ÉUÊ #�ÍeÐUÑ<Ê�%,ÖWó_Ñ?ÊrÉpÇrñD̵ÖWØÆÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔ�ɨÇWÔÆð¨Ì�Ë!ÊrרÔc̵Ög× Á��:ß Ó4εÊrÇ1ØcεíWÜ(ÕPרð¨Ì�× ôÖWò¨È�Ì�˦ÇWÎ�Ñ<ÊrɨÇhñ:Ì�ÖWØ«Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔ«ÌþÔÆËéÖWØ�ʪò¨ØcÇWÍIÈ�Ì�ÍeÇWβÊeñWÊr× Ìþ× ô ÇWËéÊrÔ«î¬ÌµÈ�É ò<ÊeØ�óFÊrÍIÈ�Ø�ÊrÍeÇWÎ�Î�ß�ÏUÌ�רÍIÊ¡È�ÉUÊËéÌ£öDÊrð¤Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô Ì�ÊrÔ¬Ì�רðpШÍIÊ�Ñ?ÊrÉpÇrñD̵ÖWØ#Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔrÜp̵È#Ì�Ô4ò<ÖgÔ�Ô�Ì�ÑpεÊ�Ì�×�ò¨ØcÌ�×pÍe̵òpεÊ�È�ÖéÔ�ÖgεñWÊ�È�ÉUÊ�רÖWØcËéÇWÎ<óFÖWØcËô ÇWË!Ê¡È�Ö ô ÊeÈ�ÇW× ÖWò¨È�Ì�˦ÇWÎ�Ëé̵ö:Êrð Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô íWÜ�ÇWרð ÍIÖgËéòpÐUÈ�Ê È�ÉUÊMÑ<ÊrɨÇhñ:Ì�ÖWØÆÔ�È�ØNÇ1È�Ê ô í Ì�רðpШÍIÊrðïÑ:íï̵Èeßì ×UóEÖWØcÈ�ШרÇ1È�ÊrεíWÜ<̵È�˦ÇríÈ�Ç1øWÊ0ÊIöDò<Ög×UÊr×lÈ�ÌþÇWίÈ�Ì�ËéÊ_È�Ö�È�ØcÇWרÔ�óFÖWØcË È�ÉUÊ_ÊIöDÈ�ÊrרÔ�Ì�ñWÊ ô ÇWËéÊ�Ì�×�È�ÖÆÈ�ÉUÊ�רÖWØcËéÇWÎóFÖWØcˤßH�zÈ$Ì�Ô*È�ɨÊeØ�ÊeóEÖWØcʬñWÊeØ�íéðUÊrÔc̵ØcÇ1ÑpεÊ(È�Ö0ɨÇhñWʲÇ_È�ÊrÍcɨרÌþý�ÐUʬóEÖWØ$Õpרð¨Ìþ× ô ÇWצÖWò¨È�ÌþËéÇWΨÑ<ÊrɨÇhñ:̵ÖWØ$Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô íð¨ÌµØcÊrÍIÈ�εí¦óFØ�ÖgË È�ÉUÊ_ÊIö:È�ÊrרÔc̵ñWÊ�óEÖWØNˤß

��×�È�ɨÌ�ÔéòpÇ1ò<ÊeØrÜ�î$ÊÔ�È�Шð¨í�È�ÉUÊMÍIÖgË!òpεÊIöU̵Èyí�ÖWó�È�ÉUʤò¨ØcÖWÑpεÊrË ÖWó�ÕpרðpÌ�× ô ÖWò¨È�Ì�ËéÇWÎ��FÖWØÆËéÇ öV�yËéÌ�×$�Ñ<ÊrɨÇrñD̵ÖWØ«Ô�È�ØNÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔ«óFÖWØ ô ÇWË!ÊrÔî¬ÌµÈ�É ÇWרð î�̵È�ÉUÖgÐUÈ�ò<ÊeØ�óFÊrÍIȤØ�ÊrÍeÇWÎ�Î�ß õ#ɨØ�ÖgÐ ô ÉUÖgÐUÈ�È�ÉUʪòPÇ1ò?ÊeØhÜ�î$ÊØ�ÊrÔ�È�ØNÌ�ÍIÈ�ÖgÐUØNÔ�ÊrεñWÊrÔ�Ô�ÖgεÊrεí0È�Ö�Èzî�Ö���ò<ÊeØcÔ�Ög×AúeÊeØcÖ��yÔ�Ð¨Ë ô ÇWË!ÊrÔeß���×ÆÏ:ÊrÍIÈ�̵Ög× �:ßd�_î�Ê�Ô�ÉUÖ�î È�ɨÇ1È$Õpרð¨Ìþ× ô ÇW×líÈyí:ò<Ê�ÖWó¯ËéÇ öV�yËéÌ�×ÆÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô íWܨÊr̵È�ɨÊeØ$òPÐUØ�ÊWÜ:Ñ?ÊrÉpÇrñD̵ÖWØrÜ:ÖWØ4˦̣ö:Êrð�Ü�óFÖWØ(Ç�òPÎ�ÇríWÊeØ4î¬ÌµÈ�ÉÆÌ�Ë!ò<ÊeØ�óFÊrÍIÈ$Ø�ÊrÍeÇWÎ�Î�ÜDÌ�Ôû����yɨÇ1Øcð�ÜpÊeñWÊrנ̵óYÈ�É¨Ê ô ÇWË!Ê0ɨÇWԬרÖAÍcÉpÇWרÍIÊ�Ë!Ö�ñWÊrÔ�ÇWרð«È�ÉUÊ�ÖWÈ�ÉUÊeزòpÎ�ÇríWÊeØ�ɨÇWÔ¬ò?ÊeØcóEÊrÍIȬÌþ×UóEÖWØNËéÇ1È�̵Ög×°ß�|ó*Ñ<ÖWÈ�ÉMòPÎ�ÇríWÊeØcÔ�ÉpÇrñWÊéÌ�Ë!ò<ÊeØ�óFÊrÍIȬØcÊrÍeÇWÎ�Î�Ü°ÇWרð¡ÍcɨÇW×pÍIÊéË!ÖhñWÊrÔ�Ç1ØcÊ0ÇWÎþεÖhî$Êrð°Ü°È�ÉUÊ�ò¨Ø�ÖWÑpÎ�ÊrË ÖWó�Õpרð¨Ì�× ô ÇËéÇ öV�yËéÌ�×!òPÐUØ�ʬÔ�È�ØNÇ1È�Ê ô íéÌ�Ô���� �'�yÍIÖgË!òPεÊeÈ�Ê ��Ô�ÊeÊ���Ç1Ø�ÊeíéÇW×pð�WÖgÉpרÔ�Ög× ÁrÂ��1 � �Nß��|×AÏDÊrÍIÈ�̵Ög× �:ß �:Ü:î$Ê�Ô�ÉUÖ�îÈ�ɨÇ1È!Ì�×�Ç ô ÇWË!ʤî¬ÌµÈ�É�Ì�Ëéò?ÊeØcóEÊrÍIÈ�Ø�ÊrÍeÇWÎ�Î�Ü�È�ɨÊ�Ë¦Ç öa�yËéÌþ×�Ñ<ÊrɨÇhñ:Ì�ÖWØ0Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô íù˦ÇríùØ�Êrεí,Ög×�̵ØcØcÇ1È�̵ÖgרÇWÎ×:ШË_Ñ<ÊeØcÔrßMõ#É:ШÔeÜ�È�ÉUÊeíRÍeÇW×p×UÖWÈ0Ñ?ÊÆÍIÖgË!òpÐUÈ�ÊrðùÊIöUÇWÍIÈ�εí�Ìþ×RÇW×�í�×:ШË_Ñ<ÊeØ�ÖWó�Ô�È�ÊeòpÔrß ��×�ÏDÊrÍIÈ�̵Ög× �«î$Êò¨Ø�ÊrÔ�Êr×lÈ«ÇW×�ÇWÎ ô ÖWØc̵È�É¨Ë óFÖWØ«Õp×pð¨Ì�× ô ÖWò¨È�Ì�ËéÇWÎ�Ñ?ÊrÉpÇrñD̵ÖWØ«Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔMóFÖWØ ô ÇWË!ÊrÔ«î�̵È�É'ò<ÊeØ�óEÊrÍIȤØcÊrÍeÇWÎ�Î�Üî¬É¨ÌþÍcÉ«ØNШרԲÌ�׫È�Ì�ËéÊ_ò<ÖgεíD×UÖgËéÌ�ÇWÎYÌ�׫È�ÉUÊ0Ô�̵úeÊ�ÖWó*È�ÉUÊ ô ÇWË!Ê0È�Ø�ÊeÊWß�õ#ɨÌ�Ô¬Ì�Ô¬È�ɨÊ�Õ¨ØNÔ�È�Ë!ÊeÈ�ɨÖ:ðMÈ�ɨÇ1È�ÍeÇW×Ô�ÖgεñWÊ ô ÇWË!ÊrÔ²î¬ÌµÈ�ɨÖgÐUÈ#ò<ÊeØ�óFÊrÍIÈ�Ì�×UóFÖWØcËéÇ1È�Ì�Ög׫Ì�׫È�ÌþË!Ê_ò<ÖgεíD×UÖgËéÌ�ÇWίÌ�פÈ�ÉUÊ0Ô�̵úeÊ�ÖWó�È�ÉUÊ ô ÇWË!Ê0È�Ø�ÊeÊWß�õ#ÉUÊÑ<ÊrÔ�È$È�ÊrÍcɨרÌþý�ÐUÊrÔ$ÐUò�È�Ö0×UÖhî ɨÇhñWÊ�Ô�ÖgεñWÊrðÆÈ�ÉUÊ ô ÇWË!Ê�Ì�צÈ�ÌþË!Ê�ò<ÖgεíD×UÖgËéÌþÇWÎpÌ�צÈ�ÉUÊ�Ô�̵úeʲÖWó¯×UÖWØcËéÇWÎPóFÖWØcˤÜî¬É¨ÌþÍcɤÌ�Ô(ÊIöDò<Ög×UÊr×�È�Ì�ÇWΰÌ�×�È�ÉUÊ_Ôc̵úeÊ�ÖWóYÈ�É¨Ê ô ÇWË!Ê�È�Ø�ÊeÊWß

�á � ��������� ë�ä��0æ�è�ä����*å����*ê�ä å��*ê������

�!#" $&%('*),+�-/.�0214365718-:9;)<-/0=5�%�.?>@-/AB5DCB)#EF3G02183H5I18-:9J)#-/0

� ÊrɨÇrñD̵ÖWØéÔ�È�ØNÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔ!î$ÊeØ�Ê�Õ¨ØcÔ�È0Ì�×�È�Ø�Ö:ðpШÍIÊrðRÑ:í ��Ðpɨ×���ÁrÂWÛ����NßLK�Ê�ÇWÎþÔ�ÖªÌ�×lÈ�ØcÖ:ð¨ÐpÍIÊrðRÈ�ÉUʤ×UÖWÈ�Ì�Ög×�ÖWóÌ�Ë!ò<ÊeØ�óFÊrÍIȬØcÊrÍeÇWÎ�Î�Ü<ÇWרðMÔcÉUÖhî$Êrð È�ɨÇ1È ��Ì��#Ì�×MÇ ô ÇWËéÊ�î�̵È�Éò<ÊeØ�óFÊrÍIȬØcÊrÍeÇWÎ�ίÑ<ÊrɨÇhñ:Ì�ÖWزÔ�È�ØNÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔ�Ç1Ø�Ê0#�ÇWÔô Ö:Ö:ð�ÇWÔ %«ËéÌ£öDÊrð,Ô�È�ØNÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔeÜ�ÇWרð ��Ì�Ì9�²Ì�ó$×UÖWÈ�ÇWÎ�Î�òpÎ�ÇhíWÊeØcÔ_ɨÇhñWʦò<ÊeØ�óFÊrÍIÈ�Ø�ÊrÍeÇWÎ�Î�È�ɨÊr×,È�ÉUÊeØ�ÊAËéÇrí¡ÊIöUÌ�Ô�ÈËéÌ£öDÊrð«Ô�È�ØNÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔ²î¬É¨Ì�ÍNÉ«Ç1Ø�Ê #�ÔcÐUò<ÊeØc̵ÖWØrß %���Ø�ÖWò<ÖgÔ�̵È�̵Ög×��:ßµß �éÑ<ÊrεÖhî Ì�Ô¬ÇéÔcÌ�Ë!òpÎµÊ ô ÊrרÊeØcÇWÎ�̵úrÇ1È�̵Ög×ÖWó�È�ÉUÊÇ1Ñ<ÖhñWÊWß

�ªÊéÕpØcÔ�È�Ì�×�È�Ø�ÖDð¨Ð¨ÍIÊ0Ô�ÖgË!ʦ×UÖWÈ�Ç1È�Ì�Ög×°ßéõ#ÉUÊ!Ô�ÊeÈ�ÖWó$òpÐUØcÊ0Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔ�ÖWó$òpÎ�ÇhíWÊeØNM¬Ì�Ô�ð¨Êr×UÖWÈ�ÊrðªÑ:íPOIQ|ßõ#ÉUÊéÔ�ÊeÈ�ÖWó(Ì�×UóFÖWØcËéÇ1È�̵ÖgסÔ�ÊeÈ�Ô_Ñ?ÊrÎ�Ög× ô Ì�× ô È�Ö«òpÎþÇríWÊeØRM�Ç1Ø�ʦðUÊr×UÖWÈ�ÊrðRÑ�í=S Q ßT�UÖWØRUWVXS Q ÇWרðZY�V[O Q ÜεÊeÈ\Ya�]U��_ðUÊr×UÖWÈ�ÊÆÈ�ÉUÊÆË!ÖhñWÊ�ò¨Ø�ÊrÔcÍIØc̵Ñ<ÊrðªÑ:íZY�Ç1ÈRU_ßMõ#ÉUÊAÔ�ÊeÈ�ÖWó#Ñ<ÊrɨÇhñ:Ì�ÖWØ�Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô Ì�ÊrÔ�ÖWó¬òpÎ�ÇríWÊeØ^M�Ì�ÔðUÊr×UÖWÈ�Êrð«Ñ�í�_ Q ß��UÖWØa`ZV�_ Q ÜUî$Ê�ðUÊr×UÖWÈ�Ê�Ñ:í�`cb2�]U���È�ÉUÊ�ÍIÖg×pð¨ÌµÈ�̵ÖgרÇWÎ?ò¨ØcÖWÑpÇ1ÑpÌ�Î�Ì�Èyí!î¬ÌµÈ�ÉÆî¬ÉpÌ�ÍcɤÇ0Ë!Ö�ñWÊd�Ì�Ô*ÍNÉUÖgÔ�Êr×ÆШרðUÊeØB`�Ü ô ̵ñWÊr×AÈ�ɨÇ1ÈBU'Ì�Ô�Ø�ÊrÇWÍNÉUÊrð°ß��|ófeÌ�Ô*Ç�ËéÌ£öDÊrðéÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô íéóFÖWØ�òPÎ�ÇríWÊeØgM�Ü�È�ɨÊr×éóFÖWØ�ÊeñWÊeØ�íYhViOIQ|Ülî$Ê�ðUÊr×UÖWÈ�Ê�Ñ�í\e��,Y���È�ÉUʬò¨Ø�ÖWÑpÇ1ÑpÌþÎ�̵Èyí�î¬ÌµÈ�É!î�ɨÌ�ÍcÉTeÍcɨÖ�ÖgÔ�ÊrÔ$Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô í�Ygß�õ#ÉUʬÊIö:ò<ÊrÍIÈ�ÊrðAòpÇríWÖ1÷óFÖWØ�òpÎþÇríWÊeØjM$Ш×pðUÊeØ�ÇAÍIÖgË_ÑpÌþרÇ1È�̵Ög×MÖWó*Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔlknm �oe�prqse � ���Fî�ÉUÊeØ�ÊWÜ<Ì�׫òpÇ1ØcÈ�Ì�ÍeШÎ�Ç1ØrÜpÊrÇWÍcÉGeFt0ËéÇríÑ<Ê�Ç0òpÐUØ�Ê�ÖWØ�Ç!Ñ<ÊrɨÇrñD̵ÖWØ#Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô íj�¬Ì�Ô(ðUÊr×UÖWÈ�Êrð¤Ñ:ívuwQN�,kt�Nß

Page 4: The Complexity of Two-Person Zero-Sum Games in Extensive Form ...

��Á4qrÁR� ��Á4qX��� ��� qrÁR� ��� qX�����ÁR� � � Ä Ä Ä����� Ä Ä Ä � �

õYÇ1ÑpÎ�ÊéÁ1Ù�õ#ÉUÊ�×UÖWØNËéÇWÎ<óEÖWØNË ÖWó�È�ÉUÊ ô ÇWË!ÊWß

õ#ɨÊ�óEÖgÎ�Î�Öhî¬Ì�× ô ð¨ÊeÕpר̵È�̵Ög×�Ì�Ô(ðpÐUÊ�È�Ö ��ШÉp×°Ù

��������� �������������� ��̵ñWÊr×ùÇ˦̣ö:ÊrðRÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô í e Q ÖWó(òpÎþÇríWÊeØ^M�Ü�ð¨Êr×UÖWÈ�ÊAÑ:í��#ÊrÎ��oe Q ��È�ɨʦó�ÇWËéÌ�εí ÖWó#ÇWÎ�ÎÌ�×UóFÖWØcËéÇ1È�Ì�Ög×AÔ�ÊeÈ�Ô�U V SBQ�Ô�ШÍcÉÆÈ�ɨÇ1È(È�ɨÊeØ�Ê�ÊIöDÌ�Ô�È�Ô$Ç0Ëé̵ö:Êrð�Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô í�e b óFÖWØ(È�ÉUÊ�ÖWÈ�ÉUÊeØ(òpÎ�ÇhíWÊeØrÜUÔ�Ö0È�ɨÇ1ÈO�Ì�Ô#Ø�ÊrÇWÍcÉUÊrðî¬ÌµÈ�É�ò<ÖgÔ�̵È�Ì�ñWʲòpØ�ÖWÑpÇ1ÑpÌ�Îþ̵Èyíéî�ÉUÊr×�È�ÉUÊrÔ�Ê_Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔ �oe�p(ÇW×pðve � �4Ç1Ø�Ê�òpÎþÇríWÊrð°ß

��������� �������������� ��̵ñWÊr×�ÇW×�Ç1Ø�ÑpÌ�È�ØcÇ1Ø�íéËéÌ£öDÊrðÆÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô íTe�ÜDî$ʲð¨ÊeÕp×UʲÈ�ÉUÊ"7�!��� � . �"�'. � (�8R7�#�%�5,1n%w(�13.����`�ÇWÔ#óEÖgÎ�Î�Öhî¬ÔeßB�¨ÖWØ�ÇW×�í�ËéÖhñWÊjd¨ÜpεÊeÈ

` b �]Ul�Bm��� �"!$# %'&)(�*,+.-/!10�2 !$-3%40�5 b e��,Y��1687 �9�:!;# %'&<(=*1+>->!,0 e��,Y\�16 ̵ó U�V?�¬ÊrÎP�oe:�� !$# !;-@%40�5 b e��,Y\� ̵ó UBAV?�¬ÊrÎP�oe:�DC

EGFH�=IJ��KL�� ����M�����.NO� �_Ð¨É¨× ÁrÂWÛ�� � �8P �a(�& . 1n%w.'. � (\5��6. %9+W. � 1}%0. � (�*�*�7 + (�!���#�!j* � 7 +E+ #�% (�! �*�b(��#RQ+��V! � 1n7�#�!&uTSL+ #�%�(�!2� �b(�7�%)#-+"& 7�/a.�� 5,1n%w(�13.���7�.45lkUSt(�!���+4#�%).0( ��� �$*�(�2.4% M;S|7 + `:Q�VX_ Q�795"7�!��� � .�� ���e�Q,S�1 � .4!

uvpW�o`Fp qse � ��m*u=pR�oe�prqse � �(�!��

u � �oe�p qs` � �Bm*u � �oe�p qse � �VCõ#É:ШÔeܯÌþתÈ�ÉUʦÍeÇWÔ�ÊAÖWó4ò?ÊeØcóEÊrÍIÈ�ØcÊrÍeÇWÎ�Î�Ög×UÊ¦Ë¦Ì ô ÉlÈ�ÇWÔ�î$ÊrÎ�Î*ШÔ�ʦÑ?ÊrÉpÇrñD̵ÖWØ_Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô Ì�ÊrÔeÜ�ÔcÌ�רÍIÊéÈ�ÉUÊeí¡íD̵ÊrÎ�ðÈ�ÉUÊ_ÔcÇWË!Ê�òpÇríWÖ1÷RÇW×pð«Ç1Ø�Ê_ÍIÖgË!òPÐUÈ�Ç1È�̵ÖgרÇWÎ�Î�í¦ÊrÇWÔ�̵ÊeجÈ�֦ɨÇWרð¨Î�ÊWß

��× È�ÉUÊ!ÍeÇWÔ�Ê0ÖWó�Ì�Ë!ò<ÊeØ�óFÊrÍIȬØcÊrÍeÇWÎ�Î�Ü<Ñ<ÊrɨÇrñD̵ÖWØ�Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔ�ÍeÇW×p×UÖWÈ�ÇWεî$Çhí:Ô�íD̵ÊrÎ�ðMÖWò¨È�Ì�˦ÇWίòpÇhíWÖ1÷<ÔrܯÇWÔÍeÇW׫Ñ<Ê�Ô�ÊeÊr×MÌ�×�È�ÉUÊ�óFÖgÎ�εÖ�î¬Ì�× ô ÊIöDÇWËéòpεÊWÙ

WDX'Y=Z I[��\�O���/]^� �|×RÈ�ÉUÊ ô ÇWË!ÊAÈ�ØcÊeÊAÖWó���Ì ô ÐUØcÊMÁ1Ü�òpÎ�ÇhíWÊeØ �X��ÉpÇWÔ�Ì�Ëéò?ÊeØcóEÊrÍIÈ�ØcÊrÍeÇWÎ�Î�ß1�ªÊ�ðUÊr×UÖWÈ�ÊÆÈ�ÉUÊòpÐUØcʲÔ�È�ØNÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔ#ÖWóYòpÎ�ÇríWÊeØ}��Ñ:í��,YV�]U��w�$ÇWרð�È�ÉUÊ�òpШØ�Ê�Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔ(ÖWó�òpÎ�ÇhíWÊeØE�0��Ñ:í �,YV�,_�p,��q YV�,_ � �w�Nß�õ#ÉUÊ×UÖWØc˦ÇWάóFÖWØcË ÖWó�È�ÉUÊ Ç1Ñ<Ö�ñWÊ ô ÇWËéÊ Ì�ÔÆÔ�ÉUÖ�î¬× Ì�× õ�Ç1ÑpεÊùÁ1ß õ#ɨÊÖWò¨È�Ì�˦ÇWÎ�Ô�È�ØNÇ1È�Ê ô í óFÖWØAòpÎþÇríWÊeØ �éÌ�Ôe�pR��ÁR��m e�pR�����Bm p� ß�õ#ÉUÊ�ÖWò¨È�ÌþËéÇWΰÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô í¤óFÖWØ#òpÎ�ÇhíWÊeØ}�0�$Ì�ÔeÙ

e � ��Á4qrÁR�gm e � ��� qX����m p� ��ÁR�e � ��Á4qX���gm e � ��� qrÁR�gm'Ä

õ#ÉUÊeØcÊeóEÖWØ�ÊWܰШÔcÌ�× ô ÇÆËéÌ£öDÊrðMÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô íWÜ�òpÎ�ÇhíWÊeØ��0�#ÍeÇWסÇWÔ�Ô�ÐUØ�Ê�ÇW× ÊIö:ò<ÊrÍIÈ�Êrð¡òpÇhíWÖ1÷�ÖWó��:ß���×MÈ�ÉUÊ�ÖWÈ�ÉUÊeØɨÇWרð�ܨ̵ó¯òpÎþÇríWÊeØt�0�4ШÔ�ÊrÔ¬Ç0Ñ?ÊrÉpÇrñD̵ÖWجÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô ív`�ÜUî¬ÌµÈ�Év`��,_ p ��ma`MÇW×pðv`��,_ � ��mabPÜUÈ�ɨÊr×

u � �w��ÁR��qR��`Jq;bj�w� m �<`=bu � �w������qR��`Jq;bj�w� m � ��Á � `p�4��Á � bj�

Page 5: The Complexity of Two-Person Zero-Sum Games in Extensive Form ...

−40−4 00000��Ì ô ÐUØ�ÊéÁ1Ù�� ô ÇWË!Ê_È�Ø�ÊeÊ�î¬ÉUÊeØcÊ�òpÎ�ÇríWÊeØ}�0�$ÉpÇWÔ#Ì�Ë!ò<ÊeØ�óFÊrÍIÈ4Ø�ÊrÍeÇWÎ�Î�ß

Û

Page 6: The Complexity of Two-Person Zero-Sum Games in Extensive Form ...

õ#ÉUÊ�Ë¦Ç öDÌ�Ë�ШË�ÊIöDò<ÊrÍIÈ�Êrð«òpÇhíWÖ1÷,È�ɨÇ1È#òpÎ�ÇhíWÊeØt�0�$ÍeÇW×ÇWÔ�Ô�ШØ�Ê�ɨÌ�ËéÔ�Êrεó¯Ì�ÔeÙËéÇ ö�2�& � � 2 p�� ËéÌ�×����<`�b7q � ��Á � `K�4��Á � b6�� m Á C

û�ÖWÈ�Ê�È�ɨÇ1È(̵ó°òpÎ�ÇhíWÊeØ|�0�*òpÎ�Çhí:Ô�È�ÉUÊ�ËéÌ£öDÊrðÆÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô í�Ô�ÉUÖhî�×AÌ�×AÊrý:ШÇ1È�̵Ög× ��ÁR�NÜUÈ�ÉUÊr×�ÉUʲØ�ÊrÍeÇWÎ�Î�Ô�î¬É¨ÌþÍcÉòpÐUØcÊ�Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô íÉUÊ�Ì�Ô#Ô�ÐUòpò?ÖgÔ�Êrð�È�Ö¦òpÎ�Çhí¤ÇWרðÍeÇW×È�ÉUÊeØ�ÊeóFÖWØ�Ê�ðUÊrðpШÍIÊ�È�ÉUÊ_ÇWÍIÈ�ÐpÇWÎY×UÖDðUÊ�ÉUÊ�Ì�Ô¬Ç1Èeß(õ#É:ШÔeÜШÔ�Ìþ× ô ÇÆËéÌ£öDÊrðÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô í ô ̵ñWÊrÔ²òpÎ�ÇhíWÊeØ �0�#ËéÖWØ�Ê�Ì�רóEÖWØc˦Ç1È�̵Ög׫È�ɨÇW× Ì�Ô�ò<ÊeØcËé̵È�È�ÊrðÑ�í¤È�ÉUÊ0Ô�È�ØcÐpÍIÈ�ÐUØ�Ê_ÖWóÈ�ÉUÊ ô ÇWË!ÊWßP��×ÆÖWØcðUÊeØ(È�Ö0Ø�ÊrËéÇWÌþ×Aî�̵È�ɨÌ�צÈ�ÉUÊ�Ì�×UóFÖWØcËéÇ1È�̵Ög×ÆÔ�È�ØcШÍIÈ�ШØ�ʲð¨ÊeÕp×UÊrðÆÑ�íAÈ�ÉUÊ ô ÇWË!ÊWÜUÈ�ÉUÊ�òpÎ�ÇhíWÊeØÍeÇWנШÔ�Ê�ÖgרÎ�íAÑ<ÊrɨÇhñ:̵ÖWزÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔrß#õ#ÉUÊeØ�ÊeóFÖWØ�ÊWܨóFØ�ÖgË Ç¦î�ÖWØNÔ�È-�yÍeÇWÔ�Ê�ÖWò¨È�Ì�Ëé̵úrÇ1È�Ì�Ög׫ò<ÖgÌ�×�È(ÖWó�ñ:̵Êeî_ܨÈ�ÉUÊÑ<ÊrÔ�È#Ç!òpÎþÇríWÊeØ#î¬Ì�È�ɤÌ�Ë!ò<ÊeØ�óFÊrÍIÈ(Ø�ÊrÍeÇWÎ�ΰÍeÇW×ð¨ÖéÌ�Ô(È�֦ШÔ�Ê�È�ÉUÊ�ËéÇ öV�yËéÌ�פÑ<ÊrɨÇhñ:̵ÖWØ#Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô íWß

�!] l)#%g.�) %B9*'n5I+�� '*) % 02183H5I18-:9J)#-/0

��פÈ�ɨÌ�Ô(Ô�ШÑpÔ�ÊrÍIÈ�̵Ögפî$Ê_Ô�È�ÐpðUíAÈ�ɨÊ_ÍIÖgË!òpεÊIöU̵ÈzíAÖWó�ÕpרðpÌ�× ô ËéÇ öa�y˦Ì�׫Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô Ì�ÊrÔ¬Ì�×«Ç ô ÇWË!Ê�î¬ÉUÊeØcÊ�Ög×UÊÖWó�È�ÉUÊ�òpÎþÇríWÊeØcÔ�ðUÖ�ÊrÔ�×UÖWȬɨÇhñWÊ_ò<ÊeØ�óFÊrÍIÈ#Ø�ÊrÍeÇWÎ�Î�ß���פÖWØcðUÊeØ�È�Ö¦ð¨Ì�Ô�ÍeÐpÔ�Ô4È�ÉUÊ�ÍIÖgËéòpεÊIöU̵ÈyíÆÖWó�È�ɨÌ�Ô(ò¨ØcÖWÑpεÊrˤÜî$Ê�Ë�ШÔ�È�Õ¨ØcÔ�ȲðUÊeÕp×UÊ�È�ÉUÊ�εÊr× ô È�ÉÖWó*È�ɨÊ�Ì�×UòPÐUÈeß p ÏDÌ�רÍIÊ�È�ÉUÊ ô ÇWËéÊ�Ì�Ô�ðUÊeÕp×UÊrðMÑ:í¤È�ÉUÊ_È�Ø�ÊeÊWÜ°Ì�×pÍeÎ�Шð¨Ì�× ôÈ�ÉUÊ0Ì�×UóFÖWØcËéÇ1È�̵Ög×Ô�ÊeÈ�ÔeÜ<È�ÉUÊ�òpÇríWÖ1÷°ÔeÜ°ÇWרðMÈ�ÉUÊ�òpØ�ÖWÑpÇ1ÑpÌ�Îþ̵È�̵ÊrÔ(ÇWÔ�Ô�ÖDÍeÌ�Ç1È�ÊrðMî¬ÌµÈ�ÉMÈ�ÉUÊ_ØNÇWרðUÖgË�Ë!ÖhñWÊrÔeÜ<î$ÊðUÊeÕpרʲÈ�ɨÊ�Ôc̵úeÊ�ÖWóYÈ�ÉUÊ ô ÇWË!Ê�ÇWÔ4óEÖgÎ�Î�Öhî¬ÔeßB��̵ØNÔ�ÈeÜUÇWÔ(ШÔ�ШÇWÎ�ÜDÈ�ÉUÊ�Ô�Ì�úeʲÖWó�ÇWפÌ�×�È�Ê ô ÊeØ� éÌ�Ô��F뵅 ô � ��Á���� ��_���Wßõ#ÉUÊ«Ôc̵úeÊ«ÖWó�ǪØcÇ1È�̵Ög×pÇWÎ#×�ÐpË_Ñ<ÊeئÌ�ÔéÈ�ÉUÊÔ�ШË�ÖWó�È�ÉUÊMÔ�̵úeÊrÔéÖWó�̵È�Ô¦×�ШËéÊeØcÇ1È�ÖWØAÇWרð ðUÊr×UÖgËéÌ�×pÇ1È�ÖWئÌ�×È�ÉUÊÆØ�Êrð¨Ð¨ÍIÊrðùóFÖWØcˤߪõ#ÉUÊ�Ô�̵úeÊÆÖWó¬Ç ô ÇWË!Ê�Êrý:ШÇWÎ�Ô�È�ÉUÊ�Ô�Ð¨Ë ÖWó#È�ÉUÊ�Ô�̵úeÊrÔ�ÖWó¬È�ɨÊAòpÇhíWÖ1÷<Ô¦ÇWרðRÖWó�È�ÉUÊò¨Ø�ÖWÑPÇ1ÑpÌ�Î�̵È�Ì�ÊrÔ�ÇWÔ�Ô�Ö:ÍeÌ�Ç1È�Êrðî¬ÌµÈ�É�ØcÇW×pðUÖgË Ë!ÖhñWÊrÔrß

EGFH�=IJ��KL�� ����M����������� ! (�#�!L.� �$*�(�2.4%��2(�& .���7n1 � �'� (�! � . &)#�8�.45 SE1 � . �$%w#&�4* .4& #w+��2. � 7 ��79! ��� � . 1 � .4%1 � . �$*�(�2.4% � (�!�(\5X5��b%w. (�! .X/��6. � 13.�� �b(���#;Qr#-+l(�1�* .0(�5,1��! "� � .4%0.#� 795�( ��798�.4! %w(�1n7�#�!$(�* ! �V& �'.4%�$ 795 7�!1 � . � *Y(\5'5¬û � �

% %w#W#-+'&Rõ#ɨÊeØ�Ê(ÊIöDÌþÔ�È�Ô�Ç�òPÐUØ�ʬÔ�È�ØNÇ1È�Ê ô í!î¬É¨Ì�ÍNÉéËéÇ öUÌ�Ëé̵úeÊrÔ�È�ɨʬòpÎ�ÇhíWÊeØ� Ô*ÊIöDò<ÊrÍIÈ�ÊrðéòpÇhíWÖ1÷Ø�ÊrÎ�Ç1È�Ì�ñWÊ#È�ÖÈ�ÉUÊ�Êr×�È�̵Ø�Ê0Ô�ÊeÈ�ÖWó�Ëé̵ö:Êrð Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔrß�õ#É�ÐpÔ�̵ȲÔ�Ð)(¦ÍIÊrÔ²È�Ö¤ð¨Ì�ÔcÍeШÔ�Ô#òPÐUØ�Ê�Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔeßl�|È�È�Ç1øWÊrÔ_Î�Ì�×UÊrÇ1ØÈ�Ì�Ë!Ê�È�Ö ô ÐUÊrÔcÔ¬Ç0òpÐUØcÊ�Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô í�óEÖWØ�È�ÉUÊ�òpÎ�ÇhíWÊeØ�ÇWרð¤ÍIÖgËéòpÐUÈ�Ê�È�ÉUÊ_ÊIö:ò<ÊrÍIÈ�Êrð¤òpÇhíWÖ1÷R̵È(íD̵ÊrÎ�ð¨Ôeß

EGFH�=IJ��KL�� ����M�����+*O��, #�%�(�!2�.-\79! � #-+�5,1n%w(�13.���7D.,5� N. 7�1 � . % ���b%w.9S4�X. � (�8R7�#�% S�#�%�& 7Y/V. �/$ S�1 � . �L%-#&� *�. & #-+�2. � 7 ��79! ��� � .W1 � .4% �L*Y(�2. % �0� � (�! ���j(�%w(�! 13.'."(�!�.0/��6. � 13. ���b(��#RQ #-+�(�1�* .0(\541��OS �a5,79! �)1 � .l54(�7 ��- 7�!�� #-+5,1n%w(�13.���7D.,5 S�7 5¬û��. � (�% � .48�.4! 7 + �L*Y(�2. % � � (\5 �6. %9+W. � 1�%0. � (�*�*>(�!�� 1 � .4%0. (�%w. !$# ��� (�! � ."&)#�8�.45��

% %w#W#-+'&ªõ#ÉUÊ$ò¨Ø�Ö:ÖWó ô Ö:ÊrÔ�Ñ�í�Ø�Êrð¨Ð¨ÍIÈ�̵Ög×�óFØ�ÖgË È�ÉUÊ.� �yÔ�Ç1È�Ì�Ô�ÕpÇ1ÑPÌ�Î�̵Èzí�ò¨Ø�ÖWÑpεÊrË ��Ô�ÊeÊ ��Ç1ØcÊeí�ÇWרðw�WÖgÉpרÔ�Ög× ÁrÂ��1 � �Nß���̵ñWÊr×21 ÍeÎ�ÇWШÔ�ÊrÔ `/Q43�b8Q5376 Q��oMgm3Á4q C C C2q01 �NÜ<î¬ÉUÊeØ�Ê8� `7Q q;b8Q q96�Q���:;�=<Fp q?><Jp q C C C q0<5@IqA><5@5�gÜî�Ê_ÍIÖg×pÔ�È�ØcШÍIÈ#Ç0Èzî�Ö���ò<ÊeØcÔ�Ög×úeÊeØ�Ö��yÔ�Ð¨Ë ô ÇWË!Ê_ÇWÔ(óFÖgÎ�εÖ�î¬ÔeßP��ÎþÇríWÊeØ}�$Ô�È�Ç1Ø�È�Ô¬Ñ�í�ÍcÉUÖ:ÖgÔ�Ì�× ô Ç!×�ШË�Ñ<ÊeØ@Mî¬ÉUÊeØ�ÊéÁCB[MDBE1ªß��|×�È�Ш̵È�̵ñWÊrÎ�íWÜUòpÎ�ÇríWÊeØ}�4ÍNÉUÖ:ÖgÔ�ÊrÔ¬ÇéÍeÎþÇWШÔ�ÊWß��¯ÊeÈgd4p q#d � ÇWרðTdGF�ðUÊr×UÖWÈ�Ê�Ìþרð¨Ì�ÍIÊrÔ4Ô�ШÍNÉÈ�ɨÇ1È

� `7Q q;b8Q q96 QH�I:J�=< bK q?>< bK q0< bML q?>< bML q0< b�N qA>< b�N � C��Î�ÇhíWÊeØ �X��ÌþÔ_È�ÉUÊr×ùÌ�×UóFÖWØcË!Êrð,ÖWó#È�ÉUÊAËéÊrË_Ñ<ÊeØcÔ�ÖWóPO mQ��d p q#d � q#d F �gÜ�ÖgרÊÆÇ1È0ÇÈ�ÌþË!ÊWÜ�ÇWÍeÍIÖWØcð¨Ì�× ô È�Ö×�ШËéÊeØcÌ�ÍeÇWΰÖWØcð¨ÊeØrßE��Î�ÇhíWÊeØ��X�$ɨÇWÔ�È�ÖAÍNÉUÖ:ÖgÔ�Ê�óFÖWجÊrÇWÍNÉvd=VRO Êr̵È�ÉUÊeØ#< b ÖWØS>< b ß(û¬ÖgרÊeÈ�ÉUÊrεÊrÔ�ÔeÜ?òpÎ�ÇhíWÊeØK �Kx ST^pZ =HT\F\S_BDSTG,FVU STcTca@XcT^�G�^�=NAD]4=:M\^$SdF OW=-QNBDSTG,F gPI�G'A @XF�@XcT`GW-STFYX�BDx =:Q-G'CE?\cT=HZRS_B�`�G'IVBDx =>@Xc[X,G'ADS_BDx CE^K? AD=-^�=NFWBD=-ZEBDx =NAD=,�

Ý

Page 7: The Complexity of Two-Person Zero-Sum Games in Extensive Form ...

�0�(ɨÇWÔ#ÖgרÎ�í !ùÌ�×UóFÖWØcËéÇ1È�̵Ög×Ô�ÊeÈ�ÔeÜPÍIÖWØcØ�ÊrÔ�ò<Ögרð¨Ì�× ô È�ÖAÈ�ÉUÊ�Ì�רð¨ÌþÍIÊrÔBdTm Á4q C C C2q !�ÜPÔ�ÖAÈ�ɨÇ1Ȳî¬ÉUÊr׫ÉUÊ�Ì�ÔÌ�×UóFÖWØcË!Êrð¤ÖWó�ÇW× Ì�רð¨ÊIöwd¨Ü<ɨÊ�ðUÖ:ÊrÔ�רÖWȬØ�ÊrÍeÇWÎ�Î�ÇW×�í¤ÖWó*ɨÌ�Ô#òpØ�Êeñ:Ì�ÖgШԬÍNÉUÖgÌ�ÍIÊrÔ²ÖWØ�ÊeñWÊr×MÈ�ÉUÊ0Ì�רð¨ÌþÍIÊrÔ#ÉUÊɨÇWÔ�Ñ<ÊeÊr×�òpØ�ÊrÔ�Êr×�È�Êrð0î¬ÌµÈ�É°ÜW̵ópÇ1È�ÇWÎ�Î�ß�û�ÖWÈ�Ê(È�ɨÇ1ÈeÜlÌ�×�È�Ш̵È�Ì�ñWÊrεíWÜ1î¬ÉUÊr×�òpÎ�ÇhíWÊeØ��0�¯Ì�Ô�ò¨Ø�ÊrÔ�Êr×lÈ�Êrð�î¬ÌµÈ�Éld¨ÜlÉUÊø:×UÖ�î¬Ô(ÖgרÎ�íAÈ�ɨÇ1È�Ç!ÍeÎ�ÇWШÔ�Ê�î¬ÉpÌ�ÍcɤÍIÖg×�È�ÇWÌ�רÔ�d¦É¨ÇWÔ#Ñ?ÊeÊrפÍNÉUÖgÔ�Êr×°ß(ÏDÌ�רÍIÊ�ÉUÊ�ð¨Ö�ÊrÔ#רÖWÈ#Ø�ÊrË!ÊrË�Ñ<ÊeØ#ɨÌ�Ôò¨Ø�ÊeñD̵ÖgШÔ4Ë!ÖhñWÊrÔrÜPÉUÊ�ðUÖ:ÊrÔ(×UÖWȬÉpÇrñWÊ_ÇW×�íAÖWÈ�ɨÊeجÌ�×UóFÖWØcËéÇ1È�̵Ög×�Ç1Ñ<ÖgÐUÈ(È�ÉUÊ�ÍeÎþÇWШÔ�ÊWß$ÏDÌþרÍIÊ�È�ÉUÊ�òpÎ�ÇhíWÊeØ� ÔðUÊrÍeÌ�Ô�̵ÖgתÇ1È�Ç×UÖ:ð¨Ê0ÌþתÌ�×UóFÖWØcËéÇ1È�̵ÖgסÔ�ÊeÈ dMɨÇWÔ�È�Ö¤Ñ<Ê!È�ÉUÊéÔcÇWË!ÊéóFÖWØ�ÇWÎ�Î�ÍeÎ�ÇWШÔ�ÊrÔ_ÍIÖg×lÈ�ÇWÌ�×pÌ�× ô dUÜYÈ�ÉUÊòpÎ�ÇríWÊeØ Ô�ðUÊrÍeÌ�Ô�̵Ög×�Ç1È�È�ɨÇ1È�Ì�×UóFÖWØcËéÇ1È�̵Ög×�Ô�ÊeÈ�ÍIÖWØ�Ø�ÊrÔ�ò?Ög×pð¨Ô¯ÊIöUÇWÍIÈ�εí�È�Ö�ÇW×0ÇWÔ�ÔcÌ ô רË!Êr×�ÈYÖWó?DzÈ�ØcÐUÈ�Éb��ñ1ÇWÎ�ÐUÊÈ�Ö�< b ßP�zó�È�ÉUÊ�Ô�ÊeȬÖWó�ÍcÉUÖgÌ�ÍIÊrÔ²ËéÇWðUÊ�Ñ:í�òpÎ�ÇhíWÊeØ}�0�$Ì�×lÈ�ÊeØNÔ�ÊrÍIÈ�Ô#È�ÉUÊ�Ô�ÊeÈ � `/Q q;b8Q q96 QH�gܨÈ�ÉUÊr×MÉUÊ�Ø�ÊrÍIÊr̵ñWÊrÔ²ÇòpÇríWÖ1÷ ÖWó�Á¬óFØ�ÖgË�òpÎ�ÇhíWÊeØ���ßj�²È�ÉUÊeØ�î¬ÌþÔ�Ê�ÉUÊ�Ø�ÊrÍIÊr̵ñWÊrÔ(ÄDß��|È$ÌþÔ�ÊrÇWÔ�í¦È�Ö0Ô�ÊeÊ�È�ɨÇ1È$òpÎ�ÇhíWÊeØ|�0�*ÍeÇW×�ÇWÔ�Ô�ÐUØ�Ê�ÇòpÇríWÖ1÷,ÖWó(Á_Ì�ó�ÇWרð«Ögרεí�̵óYÈ�ɨÊ_ÍIÖg× Ò�ШרÍIÈ�̵ÖgפÖWó�È�É¨Ê ô ̵ñWÊr× 1 ÍeÎþÇWШÔ�ÊrÔ¬ÉpÇWÔ¬ÇéÔ�Ç1È�ÌþÔ�óEíDÌ�× ô ÇWÔcÔ�Ì ô רË!Êr×�Èeßõ#ÉUÊ�Ô�̵úeÊ�ÖWó�È�ÉUÊ�È�ØcÊeÊ_Ì�Ô � � 1 �Nß

õ¯ÖªÍIÖgË!òpÎ�ÊeÈ�ʤÈ�ÉUÊ�ò¨Ø�Ö:ÖWó#óEÖWØ!È�ɨÊ�ÍeÇWÔ�ÊrÔ!ÖWó¬Ñ<ÊrɨÇhñ:̵ÖWØ!ÇWרð�Ëé̵ö:Êrð�Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô Ì�ÊrÔeÜ�×UÖWÈ�ʤÈ�ÉpÇ1È0ÔcÌ�רÍIÊ�È�ÉUÊËéÇ öDÌþË�Ð¨Ë òpÇríWÖ1÷�Ìþ×�È�ÉUÊ ô ÇWËéÊMÌ�ÔMÁ1Ü#Ǫò¨Ø�ÖWÑpÇ1ÑPÌ�Î�Ì�Ô�È�ÌþÍAÔ�È�ØNÇ1È�Ê ô íïî¬É¨Ì�ÍNÉ ô ШÇ1ØcÇW×�È�ÊeÊrÔ�ÇW× ÊIöDò<ÊrÍIÈ�ÊrðòpÇríWÖ1÷RÖWó#Á�Ë�ШÔ�ȬÑ<Ê_Ǧò¨Ø�ÖWÑpÇ1ÑPÌ�Î�Ì�Ô�È�ÌþͲ˦̣ö:È�ШØ�Ê�ÖWó�òpÐUØcÊ_Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔ²ÊrÇWÍNÉMÖWó�î�ɨÌ�ÍcÉMÇWÔ�Ô�ÐUØcÊrÔ¬ÇAòpÇríWÖ1÷ÖWó4Á1ß

EGFH�=IJ��KL�� ����M����������� + �$*�(�2.4% � � (�5 �6. %9+W. � 1E%0. � (�*9*P#�% 7 + 1 � . %w. (�%0. !$# ��� (�! � .)&)#�8�.45"7�! 1 � . �2(�& . S1 � . !�1 � . �$%w#&�4* .4& #w+,�a. � 7 ��7�! � � � . 1 � . %��$*�(�2.4% �0� � (�! ���6(�%-(�!$13.X. ( � .4%41D(�79! ��7�8�. ! %-(�1n7n#�!L(�* �b(��#RQ�V5'7�! � ���b%w. 5,1n%w(�13.���7�.45�7 5#û��. � #�& �$* . 13. �

% %w#W#-+'& ��×ñD̵Êeî�ÖWó��*Ø�ÖWò<ÖgÔ�Ì�È�̵Ög×��:ßµß Ý:Ü<î�Ê0×UÊeÊrðMÖgרεí«Ô�ɨÖhî È�ɨÇ1È�È�ɨÊ_ò¨Ø�ÖWÑPεÊrË Ì�Ô�Ì�×û���ß?û�Öhî_ÜPî$ÊÍeÇW× ô ÐUÊrÔcԲǦòpÐUØ�Ê�Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô íGY�óFÖWجòPÎ�ÇríWÊeØ��0�(Ì�×MÎ�Ì�×UÊrÇ1Ø#È�ÌþË!ÊWß²Ó$ÖgרÔcÌ�ðUÊeجÈ�ɨÊ_ò¨Ø�ÖWÑPεÊrË ÖWó�ÍIÖgË!òPÐUÈ�Ì�× ôÇ�Ñ?ÊrÔ�ȲØcÊrÔ�ò<ÖgרÔ�Ê0ÖWó�òPÎ�ÇríWÊeØ���È�ÖiYlß"�|ó�òpÎþÇríWÊeØ��0��òpÎ�Çhí:ÔNYlÜ�È�ÉUÊrת̵ó�òpÎ�ÇhíWÊeØ���ɨÇWÔ�ò?ÊeØcóEÊrÍIÈ�Ø�ÊrÍeÇWÎ�Î�Ü�È�ÉUÊô ÇWË!Ê�Ø�Êrð¨Ð¨ÍIÊrÔ�È�֪ǠÖg×UÊ4��òpÎ�ÇhíWÊeØ ô ÇWË!Ê�î¬ÌµÈ�É�ò?ÊeØcóEÊrÍIÈ�Ø�ÊrÍeÇWÎ�Î�ß��|ó#È�ÉUÊeØ�ʤÇ1Ø�Ê�×UÖ¡ÍcɨÇW×pÍIÊ«Ë!ÖhñWÊrÔeÜ�È�ÉUÊô ÇWË!Ê�Ñ<ÊrÍIÖgË!ÊrÔ4ÍIÖgË!òpεÊeÈ�ÊrεíAðUÊeÈ�ÊeØcËéÌ�×pÌ�Ô�È�Ì�Í1ß�K¬Êr×pÍIÊWÜUóEÖWØ(È�ÉUʲò¨Ø�ÖWÑPεÊrË3ÖWóYÕpרð¨Ìþ× ô òpÐUØcÊ�Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô Ì�ÊrÔeܨ̵ÈÍeÇWפÑ<Ê�È�Ø�ÊrÇ1È�ÊrðMÇWÔ#Ç ô ÇWË!Ê�î¬Ì�È�ÉAò<ÊeØ�óFÊrÍIÈ(Ì�×UóFÖWØcËéÇ1È�̵Ög×�ß �ªÊ�î�Ì�Î�Î?Ô�ÉUÖhî�Î�Ç1È�ÊeØ���Ô�ÊeÊ�Ï:ÊrÍIÈ�̵Ög×1�:ß ���4È�ɨÇ1ÈÌ�×È�ɨÊrÔ�Ê!ÍeÇWÔ�ÊrÔ�òpÎ�ÇhíWÊeØl� Ô²ò¨Ø�ÖWÑPεÊrË ÍeÇWסÑ<Ê0Ô�ÖgεñWÊrð¡Ì�×Mò?ÖgÎ�í:×UÖg˦Ì�ÇWÎ�È�Ì�ËéÊWÜ<ÇW×pðMÉUÊr×pÍIÊ�È�ɨÊ�ÊIöDò<ÊrÍIÈ�ÊrðòpÇríWÖ1÷ ô ШÇ1ØNÇW×lÈ�ÊeÊrðMÈ�ÖéòpÎ�ÇhíWÊeØ}�0�$Ñ:íÆòPÎ�ÇríDÌ�× ô È�ÉUÊ ô ШÊrÔ�Ô�ÊrðÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô í&Y�ÍeÇW׫Ñ<Ê�óEÖgÐpרð¤Ì�פò<ÖgεíD×UÖgËéÌ�ÇWÎÈ�Ì�Ë!ÊWß�ªÊ0ɨÇrñWÊ�Ô�ÉUÖ�î¬×«È�ɨÇ1È�Õpרð¨Ìþ× ô ËéÇ öa�y˦Ì�׫Ñ<ÊrɨÇhñ:̵ÖWØ�Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔ²Ì�Ô¬û����yÉpÇ1Øcð°ß �ªÊ�ɨÇhñWÊ�ÇWÎ�Ô�ÖAÔ�ÉUÖ�î¬×

È�ɨÇ1È�Õpרð¨Ì�× ô ÇW×RÖWò¨È�Ì�ËéÇWÎ*˦̣ö:ÊrðRÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô í,Ì�Ô�û����yÉpÇ1Øcð°ß ��×UʦÔ�ÉUÖgÐpÎ�ðª×UÖWÈ�ʦÈ�ÉpÇ1È_ÇW×,ÖWò¨È�ÌþËéÇWÎ*ËéÌ£öDÊrðÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô í«ÍeÇW×Ñ<Ê�ÍIÖgË!òpÐUÈ�ÊrðóEØ�ÖgË È�ÉUÊ_×UÖWØc˦ÇWÎ<óEÖWØcË ÖWóYÈ�É¨Ê ô ÇWË!Ê_Ñ:í¤Ô�ÖgεñDÌ�× ô ÇéÎ�Ìþ×UÊrÇ1Ø(ò¨Ø�Ö ô ØcÇW˦ËéÌ�× ôò¨Ø�ÖWÑPεÊrˤß�õ¬É¨Ì�ÔeÜ°ÉUÖ�î�ÊeñWÊeØrÜ�È�Ç1øWÊrÔ_ËéÖWØ�Ê!È�ɨÇWסò<ÖgεíD×UÖgËéÌ�ÇWÎYÈ�Ì�Ë!ÊWßéÅMÇ öa�yËéÌþסÑ?ÊrÉpÇrñD̵ÖWØ�Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔ�ÍeÇW×Ñ<Ê�óEÖgÐpרð¤Ð¨Ô�Ì�× ô רÖgרÎ�Ì�×UÊrÇ1Ø4ÖWò¨È�ÌþËé̵úrÇ1È�̵Ög×�È�ÊrÍNɨרÌ�ý:ÐUÊrÔ(î¬ÉpÌ�ÍcÉ�î¬ÌþÎ�Î<×UÖWÈ#Ñ<Ê�ð¨Ì�Ô�ÍeШÔcÔ�Êrð¤Ì�×�È�ɨÌ�Ô4òPÇ1ò?ÊeØhß

� ��F �4[�[ Y F�� �������O��� 1K795Yû��. � #�& �$* . 13.}1D# �2. � 7 �2. S ��798�.4! ( �'. � (�8 7n#�%�541n%-(�13.�����#w+ �$*�(�2.4% � (�!��"(�%-(�1n7n#�!L(�*!2�b& �X. % �OS � � . 1 � . %�1 � .4%0. .0/�795,1�5�( ���b%0.�541n%-(�13.���� #-+4�$*Y(���. % �0� � � 7 �'� ��7D.4* �\5�(�! .0/��6. � 13. ���b(��#RQ #-+l(�1* .0(\541 � �

% %w#W#-+'&�õ¬ÉUÊ�òpØ�ÖWÑpεÊrË�Ì�Ô4Ì�×Æû �ïÔcÌ�רÍIÊ�̵È�È�Ç1øWÊrÔ¬Î�Ì�×UÊrÇ1Ø$È�Ì�Ë!Ê�È�Ö ô ÐUÊrÔ�Ô(Ç�òpÐUØcʲÔ�È�ØNÇ1È�Ê ô íAóFÖWØ4òpÎ�ÇríWÊeØE�X�ÇWרð¡ÍeÇWÎ�ÍeШÎ�Ç1È�Ê0È�ÉUÊ0ÊIöDò?ÊrÍIÈ�Êrð òpÇhíWÖ1÷�Ì�È�íD̵ÊrÎ�ð¨Ôrß�õ¬ÉUÊ�û����yÉpÇ1Øcð¨×UÊrÔ�Ô�óFÖgÎ�εÖhî�Ô�óFØ�ÖgË�È�ÉUÊ0ÍIÖgרÔ�È�ØcÐpÍIÈ�̵Ög×Ì�× �*Ø�ÖWò<ÖgÔ�Ì�È�̵Ög× �:ßµß Ý:ß

Page 8: The Complexity of Two-Person Zero-Sum Games in Extensive Form ...

� � Z:Y F�� �O�����'� õ#ɨÌ�Ô�ØcÊrÔ�ШεÈ�Ì�Ô�ÇWÎ�Ô�Ö¤È�ØcÐUÊéóFÖWØ_ËéÌ£öDÊrðªÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô Ì�ÊrÔ_̵ó�È�ÉUÊéÌ�×UòpШȲÈ�ÖÈ�ÉUÊéÇWÎ ô ÖWØc̵È�ÉpË�Ì�Ô�ÇËéÌ£öDÊrðéÔ�È�ØNÇ1È�Ê ô í¦Ì�צÔ�òpÇ1ØcÔ�Ê#ØcÊeò¨Ø�ÊrÔ�Êr×�È�Ç1È�̵Ög× ��Ì�ß ÊWßµÜ�È�ÉUÊ�úeÊeØ�Ö0ÍIÖ�ÖWØcðpÌ�רÇ1È�ÊrÔ�Ç1ØcÊ�×UÖWÈ$Î�Ì�Ô�È�Êrð$�Nß>�|È�Ì�Ô*ÔcÉUÖhî¬×AÌ�×��ÖgÎ�Î�ÊeجÇWרðÅÊ ô Ì�ð¨ðUÖ ��ÁrÂW �a�(È�ɨÇ1ȬÊeñWÊeØ�í«ËéÌ£öDÊrð«Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô í«ÉpÇWÔ¬ÇW׫Êrý:Ш̵ñ1ÇWεÊr×�È#ËéÌ£öDÊrð«Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô í¤î�ÉUÖgÔ�ÊÔ�̵úeÊéÌþÔ²ÎþÌ�×UÊrÇ1Ø�Ì�סÈ�ÉUÊéÔ�Ì�úeÊ�ÖWó$È�ÉUÊ ô ÇWË!Ê!È�ØcÊeÊWßéõ#ÉUÊrÔ�Ê #�Ô�ËéÇWÎþÎ(%�ËéÌ£öDÊrðªÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔ�ÍeÇW×,Ñ?Ê!ШÔ�ÊrðªÌ�סÈ�ÉUÊò¨Ø�Ö:ÖWó�ÖWó>��Ø�ÖWò<ÖgÔ�̵È�̵Ög× �:ßµß Ý:ß

��× ��Ø�ÖWò<ÖgÔ�̵È�̵Ög× �:ßµß ��Ü*î�ʤÔ�ɨÖhî$Êrð�È�ÉpÇ1È�Ì�×ùÇ ÍIÊeØ�È�ÇWÌ�×�ÍeÎ�ÇWÔ�Ô�ÖWó ô ÇWË!ÊrÔrÜ*È�ÉUÊÆò¨Ø�ÖWÑpεÊrË�ÖWó¬ðUÊeÈ�ÊeØc˦Ì�רÌ�× ôî¬ÉUÊeÈ�ɨÊeØ_òpÎ�ÇhíWÊeØ"�X��ÍeÇW×�ÇWÔ�ÔcÐUØ�ʦǠÍIÊeØ�È�ÇWÌ�×�òpÇríWÖ1÷ Ì�×,òpШØ�ʦÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô Ì�ÊrÔ�Ì�Ô�û����yÍIÖgË!òpÎ�ÊeÈ�ÊWßõ#ÉUÊéóFÖgÎ�εÖ�îE�Ì�× ô ��Ø�ÖWò<ÖgÔ�̵È�̵ÖgתÔcÉUÖhî¬Ô�È�ɨÇ1È�óFÖWØ ô ÇWË!ÊrÔ�×UÖWÈ_Ì�סÈ�ÉpÇ1È_ÍeÎ�ÇWÔ�ÔeÜ�È�ÉUÊ!ò¨ØcÖWÑpεÊrË Ì�Ô�ÍIÖgËéòpεÊeÈ�ʦóFÖWØ_Ç«ÉpÌ ô ÉUÊeØÍIÖgË!òpÎ�ÊIöD̵ÈzíÆÍeÎþÇWÔ�Ô��FóFÖWجÈ�ÉUÊ�ò¨ØcÊrÍeÌ�Ô�Ê�ðUÊeÕp×p̵È�̵Ög×�Ô�ÊeÊ ��Ç1ØcÊeí�ÇW×pð&�WÖgɨ×pÔ�Ög× ÁrÂ��1 � �Nß

EGFH�=IJ��KL�� ����M���������'��� � . �L%-#&� *�. & #-+ �a. � 7 ��7�! �)SH7�!�(��2(�& . ��7n1 � �'� (�! � .�&)#�8�.45#� � . %w. �0#�1 � �L*Y(�2. %X5� (�8�. 7�& �j.4%�+ . � 1�%0. � (�*9*@SS� � .W1 � .4% #�!L. #-+ 1 � . �$*�(�2.4%'5 � (�! (\5'5 �b%w. ( � . %,1D(�7�! �b(���#;QQ�OS �V5,79! �ªòpÐUØ�ÊÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô Ì�ÊrÔ9S�795j� � � � #�& �$*�.W13.��

% %w#W#-+'&�õ¬ÉUÊ�òpØ�ÖWÑpεÊrË�Ì�Ô4Ì�×v� � � ÜDÑ<ÊrÍeÇWШÔ�Ê�î�Ê�×UÊeÊrð�Ög×pεí¦ÍcɨÊrÍ�ø�î¬ÉUÊeÈ�ÉUÊeØ4È�ÉUÊeØcʲÊIöUÌ�Ô�È�Ô(Ç�òpШØ�ʲÔ�È�ØcÇ1È-�Ê ô ívYHp#óFÖWجòpÎ�ÇhíWÊeØt�(Ô�ШÍNɤÈ�ɨÇ1È#óFÖWØ�ÇW×�í�òpÐUØ�Ê�Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô í&Y � ÖWó�òpÎ�ÇhíWÊeØ}�0��ÜUÈ�ÉUÊ�ÊIöDò?ÊrÍIÈ�ÊrðMòpÇhíWÖ1÷ªÐpרðUÊeØY8p4ÇWרðvY � Ì�Ô ô ØcÊrÇ1È�ÊeØ#È�ɨÇW×7�°ß�ÏDÌþרÍIÊ�Ñ<ÖWÈ�É=Y8p4ÇWרðvY � ɨÇrñWÊ�Ô�Ì�úeÊ�ò<ÖgεíD×UÖgËéÌ�ÇWÎPÌ�×AÈ�ÉUʲÔc̵úeÊ�ÖWóYÈ�ÉUʲÈ�Ø�ÊeÊWÜÈ�ɨÌ�Ô(ÍeÇW׫Ñ<Ê�ðUÖgרÊ�Ì�×&��� � ß

�ïÍeÇW×UÖgרÌ�ÍeÇWÎD��� �'�yÍIÖgË!òpÎ�ÊeÈ�Ê�ò¨ØcÖWÑpεÊrË�ÌþÔ¯È�ÉUÊ$óFÖgÎ�εÖhî�Ì�× ô Ù ô ̵ñWÊr×�Ç�ðpÌ�ÔFÒ�ШרÍIÈ�̵Ög×�ÖWó�ÍeÎ�ÇWШÔ�ÊrÔ|��`7Q�� b8Q�� 6 QD�NÜî¬ÉUÊeØ�Ê

� `/Q q;b8Q q96 QH�� J�=<Jprq?><Fp q C C C�q0<4@/q ><4@7q�� p q >� p q C C C q����Rq >���C�ðUÊeÈ�ÊeØcËéÌ�רÊ�î¬ÉUÊeÈ�ÉUÊeØ

��� <Jp q C C C q0<5@j�4����� p q C C C q������t�Q 5 p ��`7Q�� b8Q���6�QD� C �����

õ#ÉUÊ�ò¨Ø�Ö:ÖWó�Ì�Ô�Ñ:íRØ�ÊrðpШÍIÈ�̵Ög×�È�ÖªÈ�ɨÌ�Ô�ò¨ØcÖWÑpεÊrË¤ß �ªÊMÍIÖgרÔ�È�ØcШÍIÈéÇ¡Èzî�Ö���ò<ÊeØcÔ�Ög×�úeÊeØ�Ö��yÔ�Ð¨Ë ô ÇWËéÊÇWÔóEÖgÎ�Î�Öhî¬Ôeß ��ר̵È�ÌþÇWÎ�εíWܯÈ�ɨÊÆÍNɨÇWרÍIÊÆòpÎ�ÇríWÊeØ�ØcÇWרð¨ÖgËéεíªÍcÉUÖ:ÖgÔ�ÊrÔ^M�Ü�î¬ÉUÊeØcÊMÁ2B M.B�,ÌþÔ�ÇMÍeÎ�ÇWШÔ�ÊWß��¯ÊeÈO�ÇWרð���ðUÊr×UÖWÈ�Ê0È�ÉUÊ!Ô�ÊeÈ�Ô�ÖWó$Ì�רð¨ÌþÍIÊrÔ¬ÖWó�ÊIöDÌ�Ô�È�Êr×lÈ�Ì�ÇWÎþεíÇWרð¡Ð¨×¨Ì�ñWÊeØcÔ�ÇWÎ�εí �FØ�ÊrÔ�ò?ÊrÍIÈ�Ì�ñWÊrεí6��ý:ШÇW×�È�̵ըÊrðñ Ç1ØcÌþÇ1ÑpεÊrÔ�î¬É¨Ì�ÍNÉAÇ1ò¨ò<ÊrÇ1Ø4Ì�×ÆÍeÎ�ÇWШÔ�ÊjM�ßP��ÎþÇríWÊeØE��Ì�Ô�È�ÉUÊr×�Ì�×UóFÖWØcË!Êrð¦ÖWó¯È�ÉUÊ�Ì�רðpÌ�ÍIÊrÔ;dV O�Ög×UʲÑ�í¦Ög×UÊWÜÇWרð!ɨÇWÔ�È�Ö�ÍNÉUÖ�ÖgÔ�ʬÇ�ñ ÇWÎþÐUÊ4ÖWóPñ1ÇWÎ�ÐUÊ(ÖWó?Êr̵È�ÉUÊeØ*Ä�ÖWجÁ4óFÖWØ*ÊrÇWÍNÉ!ÖWóPÈ�ɨÊrˤß���Ô*Ìþ× ��Ø�ÖWò<ÖgÔ�̵È�̵Ög×��:ßµß Ý:Ü:È�ÉUÊòpÎ�ÇríWÊeØ�ɨÇWÔ�Ögרεí !«Ì�×UóFÖWØcËéÇ1È�̵Ög×0Ô�ÊeÈ�ÔrÜlÖg×UÊ(óFÖWØ*ÊrÇWÍcÉ^d^m Á4q C C C�q !�ß�õ#É:ШÔeÜWòpÎ�ÇhíWÊeØP��ÍeÇWר×UÖWÈ�ðUÊeÈ�ÊeØNËéÌ�×UÊî¬É¨Ì�ÍNÉ ÍeÎþÇWШÔ�Ê0î$ÇWÔ�òPÌ�Í�øWÊrð¡Ñ:íMÍNɨÇWרÍIÊWß"��óFÈ�ÊeØ�òpÎ�ÇhíWÊeØl�¬ËéÇ1øWÊrÔ�ɨÌþÔ²ÍNÉUÖgÌ�ÍIÊWÜ�òPÎ�ÇríWÊeØl�0� ô Ö�ÊrÔ�È�ɨØ�ÖgÐ ô ÉÈ�ÉUÊAÔ�ÇWËéÊéò¨Ø�ÖDÍIÊrð¨ÐUØ�ʦóEÖWØ�È�ÉUʦÌ�רðpÌ�ÍIÊrÔ��vV��ßÏDÌþרÍIÊ!òpÎ�ÇhíWÊeØ��0��ɨÇWÔI1 Ì�×UóFÖWØcËéÇ1È�̵Ög×RÔ�ÊeÈ�ÔeÜ�Ög×UʦóFÖWØÊrÇWÍcÉ��am Á4q C C C�q01ªÜDÉUÊ�ÍeÇWר×UÖWÈ4ðUÊeÈ�ÊeØcËéÌ�רʬÈ�ÉUÊ�ÍeÎ�ÇWШÔ�Ê�òpÌ�ÍcøWÊrð¦Ñ:í¦ÍcÉpÇWרÍIÊWÜU×UÖWØ�È�ɨʲÍNÉUÖgÌ�ÍIÊrÔ4ËéÇWðUʲÑ�íòpÎ�ÇríWÊeØ}�Nßj�|ó�È�ÉUÊ�ñ ÇWÎþÐUÊrÔ(óFÖWØ#È�ÉUÊ�ñ1Ç1ØcÌ�Ç1ÑpÎ�ÊrÔ(Ì�פÍeÎ�ÇWШÔ�ÊlMcÜpÇWÔ¬ÍNÉUÖgÔ�Êr׫Ñ:íÆÈ�ÉUÊ�Èyî$Ö¦òpÎþÇríWÊeØcÔeÜ ô ̵ñWÊ_Ç0ñ1ÇWÎ�ÐUÊÖWó�Á�È�Ö!È�ÉUÊ�ÍeÎ�ÇWÐpÔ�Ê�ÍcÉUÖgÔ�Êr׫Ñ�íÆÍcɨÇWרÍIÊWÜpÈ�ÉUÊr×�òpÎ�ÇhíWÊeØE� ô ÊeÈ�Ô#Ç0òpÇhíWÖ1÷ªÖWó�Á1ß��²È�ɨÊeØ�î¬Ì�Ô�ÊWÜ:Ñ<ÖWÈ�É�òpÎ�ÇhíWÊeØcÔô ÊeÈ�Ç0òpÇhíWÖ1÷,ÖWó�ÄDß

�|×'È�ÉUÊ ô ÇWËéÊRðUÊrÔ�ÍIØcÌ�Ñ?Êrð Ç1Ñ<ÖhñWÊWÜ�òpÎþÇríWÊeØ �ÆÍeÇW× ÇWÔ�Ô�ÐUØcÊ,Ç�òpÇríWÖ1÷ ô Ø�ÊrÇ1È�ÊeØMÈ�ɨÇW× Ä�̵ó�ÇW×pð'Ögרεí Ì�óÊrý�ШÇ1È�Ì�Ög×�������ÌþÔ�È�ØcÐUÊWß ��Ô�ÔcШË!ÊéÈ�ɨÇ1È_Êrý�ШÇ1È�Ì�Ög×�������ÌþÔ�È�ØcÐUÊWÜ�ÇWרð,εÊeÈ� ?V �hÄ qrÁ � @ Ñ<ÊéÇ«Ô�Ç1È�Ì�Ô�óEíDÌ�× ôÇWÔ�Ô�Ì ô רËéÊr×lÈ(ÖWó�È�ØcÐUÈ�Éb��ñ1ÇWÎ�ÐUÊrÔ4È�ÖS<Fp q C C C q0<4@Pß�ÏDШò¨ò<ÖgÔ�Ê�òpÎ�ÇríWÊeØ}�$ШÔ�ÊrÔ! ÇWÔ#ÉpÌ�Ô(Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô íWß$û¬Ö¦Ë¦Ç1È�È�ÊeØî¬É¨Ç1ȬòPÎ�ÇríWÊeØ��0�� Ô�Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô í#"�Ì�ÔeÜpÈ�ɨÊeØ�Ê�î�Ì�Î�Î�ÇWεî4ÇríDÔ²Ñ<Ê�Ô�ÖgË!Ê0ÍeÎ�ÇWШÔ�ÊRM4î¬É¨Ì�ÍNÉÌ�Ô�È�ØcÐUÊ�ШרðUÊeØ$ ÇWרð

Ã

Page 9: The Complexity of Two-Person Zero-Sum Games in Extensive Form ...

"�ß�õ¬É¨Ì�Ô!ÍeÎ�ÇWШÔ�ʤî¬Ì�Î�Î�Ñ<Ê�ÍNÉUÖgÔ�Êr× Ñ�í�ÍcɨÇW×pÍIÊ«î¬ÌµÈ�É�ò<ÖgÔ�̵È�Ì�ñWÊÆòpØ�ÖWÑpÇ1ÑpÌ�Îþ̵ÈyíWÜ*ÇWרðïÈ�ÉUÊeØ�ÊeóFÖWØ�ÊWÜ�È�ɨÊeØ�Ê«Ì�ÔÇMò<ÖgÔ�Ì�È�̵ñWÊAòpØ�ÖWÑpÇ1ÑpÌ�Îþ̵Èyí¡È�ɨÇ1È!òpÎþÇríWÊeØ���î¬ÌþÎ�Î ô ÊeÈéÇ¡ò<ÖgÔ�̵È�Ì�ñWʦòpÇhíWÖ1÷�ß�õ#ɨÌ�Ô�Ì�Ë!òPÎ�̵ÊrÔ�È�ÉpÇ1È�òPÎ�ÇríWÊeØ��� ÔÊIö:ò<ÊrÍIÈ�Êrð�òpÇhíWÖ1÷ ÌþÔ�ò<ÖgÔ�Ì�È�̵ñWÊWß�Ó$Ög×�ñWÊeØcÔ�ÊrεíWÜ$Ô�ÐUò¨ò<ÖgÔ�ÊÆÈ�ɨÇ1È ������Ì�Ô0ó�ÇWÎ�Ô�ÊWÜ�ÇWרð�εÊeÈ Ñ<Ê�ǪÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô íóEÖWØ�òpÎþÇríWÊeØl��ß�õ#ÉUÊeØ�Ê0ÊIöUÌ�Ô�È�Ô�Ç�È�ØcÐUÈ�Éb��ñ1ÇWÎ�ÐUÊ0ÇWÔ�Ô�Ì ô רË!Êr×�È "[VE�hÄ qrÁ � � óFÖWØ �cprq C C C2q�����Ü�Ô�ШÍNÉ¡È�ɨÇ1È�ÇWÎ�ÎÍeÎ�ÇWШÔ�ÊrÔ�Ç1Ø�Ê�óFÇWÎþÔ�Ê�ÐpרðUÊeØ� ÇWרð#"�ß��|ó*òpÎ�ÇhíWÊeØ��#òpÎ�Çhí:Ô$ 'È�ÉUÊr× òpÎ�ÇhíWÊeØ��X�#ËéÇríMòpÎ�Çrí#"�ß ��× È�ɨÌ�Ô²ÍeÇWÔ�ÊÇWÎ�Î?È�ÉUÊ�ÍeÎ�ÇWШÔ�ÊrÔ(Ç1Ø�Ê�ó�ÇWÎ�Ô�ÊWÜUÇWרðÆÈ�ÉUÊeØcÊeóEÖWØ�Ê�ÇWÎþÎPÖWó�ÍcɨÇW×pÍIÊ� Ô¬Ë!Ö�ñWÊrÔ ô ̵ñWÊ�òpÎ�ÇhíWÊeØE��Ç�òpÇhíWÖ1÷¡ÖWó�ÄDß�õ#É:ШÔeÜòpÎ�ÇríWÊeØ}�4ÍeÇW×p×UÖWȬÇWÔ�Ô�ШØ�Ê�Ç0ò<ÖgÔ�̵È�̵ñWÊ�òpÇhíWÖ1÷�ß

� � Z:Y F�� �O���������_ì רÎ�Ì�øWÊP�*Ø�ÖWò<ÖgÔ�̵È�Ì�Ög×��:ßµß Ý:ÜWÈ�ɨÊ*ò¨Ø�Ö:ÖWó�ÖWó6��Ø�ÖWò<ÖgÔ�̵È�̵Ög×l�:ßµß�ÁeÄ�ÊIö:È�ÊrרðpÔ¯×UÊr̵È�ɨÊeØ�È�Ö¬ËéÌ£öDÊrð×UÖWزÈ�ÖAÑ<ÊrɨÇhñ:Ì�ÖWزÔ�È�ØNÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔeÜ°Ô�Ì�רÍIÊ�̵ȲØ�ÊrÎ�̵ÊrÔ¬Ög×È�ÉUÊ0ÇWÔ�Ô�ÐpË!ò¨È�̵Ög×È�ɨÇ1È�òPÎ�ÇríWÊeØ��0�� Ô�Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô íMÌ�Ô�ÍcÉUÖgÔ�Êr×ÑpÇWÔ�Êrð«Ögפø:רÖhî¬ÎµÊrð ô Ê�ÖWóYòPÎ�ÇríWÊeØ � Ô#Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô íWß

�!�� � ' 5I+�� '*)#% >@-/A�5DCB)<EF3X02183H5I14-/9�� ' 5�� 36-���)<36- )#3H3H5I1H)<EJ%�5�� %�' >@-:3c0��×RÇ«Èzî�Ö���ò<ÊeØcÔ�Ög×�úeÊeØcÖ��yÔ�Ð¨Ë ô ÇWË!ÊAî�̵È�ɪò<ÊeØ�óFÊrÍIÈ_Ø�ÊrÍeÇWÎ�Î�Ü�̵ó4È�ÉUÊAòpÇríWÖ1÷°Ô0Ç1Ø�ÊÆØcÇ1È�̵ÖgרÇWÎ�×�ШË�Ñ<ÊeØcÔeÜYÈ�ÉUÊr×È�ÉUÊeØ�ÊAÊIöDÌþÔ�È_ÖWò¨È�ÌþËéÇWÎ�Ëé̵ö:Êrð�Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔ�î¬É¨Ì�ÍNÉRШÔ�ʦÖgרεí¡ØcÇ1È�Ì�ÖgרÇWÎ*ò¨ØcÖWÑpÇ1ÑpÌ�Î�Ì�È�̵ÊrÔeßAõ¬É�ШÔrÜYÈ�ÉUÊAòpÎ�ÇhíWÊeØcÔÇWÎ�Ô�Ö!ɨÇhñWÊ�ËéÇ öV�yËéÌ�×ÆÑ<ÊrɨÇrñD̵ÖWØ(Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô ̵ÊrԬШÔ�Ì�× ô ØcÇ1È�̵ÖgרÇWÎ<×:ШË�Ñ?ÊeØNÔeßH�zÈ(Ì�Ô4Ì�×�È�ÊeØ�ÊrÔ�È�Ì�× ô È�Ö!ÖWÑpÔ�ÊeØ�ñWÊ�È�ɨÇ1ÈÈ�ɨÌ�Ô(ÌþÔ#×UÖWÈ(È�ØcÐUÊ�Ìþ× ô ÇWË!ÊrÔ#î�̵È�ɤÌ�Ë!ò<ÊeØ�óFÊrÍIÈ4Ø�ÊrÍeÇWÎ�Î�ܨÇWÔ�Ô�ÉUÖhî�פÌ�×�È�ÉUÊ�óFÖgÎ�εÖ�î¬Ì�× ô ÊIöUÇWË!òpεÊWÙ

WDX'Y=Z I[��\�O����� ��� Ó$Ög×pÔ�Ì�ðUÊeØ�DzÈyî$Ö���ò<ÊeØcÔ�Ög×!úeÊeØ�Ö��yÔcÐ¨Ë ô ÇWË!Ê(î¬É¨ÊeØ�Ê4òpÎ�ÇríWÊeØ��YÍcɨÖ�ÖgÔ�ÊrÔ¬Á4qX��ÖWØ �:ß���Î�ÇhíWÊeØ�0�°Ì�ÔY×UÖWȯÌ�×UóFÖWØcË!Êrð�ÖWóUòpÎ�ÇríWÊeØ>�� ÔYÍNÉUÖgÌ�ÍIÊ�î�ÉUÊr×_ÉUÊ�ɨÇWÔ¯È�Ö²ÍcÉUÖ:ÖgÔ�Ê$Õ¨ØcÔ�ȯÑ?ÊeÈzî�ÊeÊr×� UÖWØ��#ÇWרð_È�ɨÊr×°Ü�î�̵È�ÉUÖgÐUÈØ�ÊrÍeÇWÎ�ÎþÌ�× ô ɨÌ�Ô�Õ¨ØcÔ�È(ÍcɨÖgÌ�ÍIÊWÜUÑ<ÊeÈyî$ÊeÊr×��ïÇWרð��0ß*õ#ɨʲòPÇríWÖ1÷¡È�Ö!òpÎ�ÇríWÊeØE�X��Ì�Ô ��̵ó¯È�ɨÊ�ÍNÉUÖgÌ�ÍIÊrÔ#Ç1ØcʲÊrÌ�È�ÉUÊeØ��Á4qR�� q����w�¬ÖWØ���� qR���2q����w�NÜ�Á�̵ó�È�ÉUÊeí«Ç1Ø�Ê�Êr̵È�ÉUÊeØ�� � qR�� q����w�¬ÖWØ�� � qR���2q��|�w�NÜ�ÇWרðÄAÖWÈ�ÉUÊeØ�î�Ì�Ô�ÊWß#õ#ÉUÊ ô ÇWË!ÊÈ�Ø�ÊeÊ_ÌþÔ4ò?ÖWØcÈ�ØcÇríWÊrðMÌ�×v��Ì ô ÐUØ�Ê��:ß

Ú²Êr×UÖWÈ�Ê!Ñ:í?`RÇWרð bÈ�ɨÊ�ò¨ØcÖWÑpÇ1ÑpÌ�Î�Ì�È�̵ÊrÔ(ÖWó�ÍNÉUÖ:ÖgÔ�Ì�× ô �ÇWרð��¬Ü?ØcÊrÔ�ò<ÊrÍIÈ�̵ñWÊrεíWÜ°ÇWרð Ñ�í!>`Pm ��Á � `K�ÇWרð�>b�m ��Á � b6�(È�ÉUÊ�ò¨Ø�ÖWÑpÇ1ÑpÌþÎ�̵È�̵ÊrÔ4ÖWó*ÍNÉUÖ�ÖgÔcÌ�× ô �éÇWרð��0Ü?Ø�ÊrÔ�ò<ÊrÍIÈ�̵ñWÊrÎ�íW߬õ#É:ШÔeÜpòPÎ�ÇríWÊeØ��0�� Ô¬òpØ�ÖWÑpεÊrËÌ�Ô4È�ÖAÕpרð `Jq;bvV Ä qrÁ � Ô�ÖéÇWÔ#È�Ö¦Ë¦Ç öDÌ�˦̵úeÊ�È�ÉUÊ�óFÖgÎ�εÖhî�Ì�× ô óFÐpרÍIÈ�̵Ög×°Ù� ��`Jq;bj��m'ËéÌþ×2� �H`=bXq ��>` >bGq8`D>b �;>`�b � C�|È#ÍeÇW׫Ñ<Ê�ñWÊeØc̵ըÊrð�È�ÉpÇ1È

� ��`Jq;bj��m �� � �H`=b ̵ó `.� b B Á�ÇW×pð«Ìµó `�� p� È�ɨÊr× b B `� b��ÛH` � ÁR���>`D>b ̵ó `.� b"! Á�ÇWרð̵óT`�#%$� È�ÉUÊr× b&! � � � �<`K�' b�/� � ÛH`K�`D>b �;>`�b ̵ó p� # `�#%$� ÇWרð `� b��ÛH` � ÁR� B b B � � � �<`K�' b�/� � ÛH`K�

õ#ɨÊ�ó�ШרÍIÈ�̵Ög× � ��`;q;b6�YÌ�Ô�Ô�ɨÖhî¬×0Ì�×^��Ì ô ÐUØ�Ê.�:ßH�zÈ�ÍeÇW×0ÊrÇWÔ�Ì�Î�í�Ñ<Ê$Ô�ÊeÊr×0È�ÉpÇ1È�È�ɨÊ4Ë¦Ç öa�yËéÌþ×�ÌþÔ�Ç1È�È�ÇWÌþ×UÊrðî¬ÉUÊr×

�H`�bwm �6��Á � `K�4��Á � b6��m�`>��Á � bj� � ��Á � `K�,b Cõ#ɨÌþÔ(Ì�Ë!òpÎ�Ì�ÊrÔ �H`H��Á � `K��ma` � � ��Á � `K� � ÜpÔ�Ö¦ÛH` � � ÛH`��'Á m'Ä!ÇWרð?`=m'Ä C�Á���Û)(+* Û��Nß

õ#ɨÊ�óFÇWÍIȲÈ�ɨÇ1ȲÈ�ÉUÊ�Ë¦Ç öa�yËéÌþ׫Ñ<ÊrɨÇrñD̵ÖWجÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔ²Ø�Êrý:Ш̵Ø�Ê_Ì�Ø�ØcÇ1È�̵ÖgרÇWί×�ШË�Ñ<ÊeØcÔ#ɨÇWÔ²Ì�Ë!òPÎ�Ì�ÍeÇ1È�̵ÖgרÔî¬ÌµÈ�É Ø�Ê ô Ç1Øcð È�Ö�È�ÉUÊ ÍIÖgË!òpεÊIöU̵Èzí�ÖWó�Õpרð¨Ì�× ô È�ɨÊrˤß�õ#ÉUÊMËéÇ öa�y˦Ì�×ïÑ<ÊrɨÇhñ:̵ÖWØÆÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô í ÍeÇW×p×UÖWÈAÑ<ÊÍIÖgË!òpШÈ�Êrð¦Ñ:í¦ÇW×�í¦ÇWÎ ô ÖWØc̵È�ÉpË3Ì�צÖg×UÊ�ÖWó¯È�ÉUÊ�Ô�È�ÇW×pð¨Ç1ØcðÆÍIÖgË!òpεÊIöU̵ÈyíéÍeÎþÇWÔ�Ô�ÊrÔeß��|È�ØcÊrý�ШÌ�Ø�ÊrÔ*È�ÉUʲÇ1ÑpÌ�Î�Ì�Èyí0È�ÖÔ�ÖgεñWÊ�ÇWÎ ô ÊeѨØcÇWÌ�ͲÊrý:ШÇ1È�̵ÖgרÔeß*û�Ög×UÊeÈ�ÉUÊrÎ�ÊrÔ�ÔeÜUÈ�ÉUÊ�ÍIÖgË!òPεÊIöDÌ�Èyí¦ÖWó�ðUÊrÍeÌ�ðpÌ�× ô î¬ÉUÊeÈ�ÉUÊeØ#Ç0òpÎþÇríWÊeØ#ÍeÇW׫ÇWÔ�ÔcÐUØ�ÊÇ�ÍIÊeØ�È�ÇWÌ�×0òpÇhíWÖ1÷7���Fî¬É¨Ì�ÍNÉ�î4ÇWÔ�ð¨Ì�ÔcÍeШÔ�Ô�Êrð�Ì�×�È�ÉUÊ4ò¨Ø�ÊeñD̵ÖgШÔ�Ô�ÊrÍIÈ�̵Ög×$�YÌ�Ô�Ë!ÊrÇWרÌ�× ô óFШÎ:Ì�×�È�ÉUÊ(ШÔ�ШÇWÎ:Ë!ÖDðUÊrÎÖWó�ÍIÖgË!òpÐUÈ�Ç1È�Ì�Ög×°ß

Â

Page 10: The Complexity of Two-Person Zero-Sum Games in Extensive Form ...

��Ì ô ÐUØ�ÊE�:Ù�õ#ÉUÊ ô ÇWË!Ê4È�Ø�ÊeÊ4ÖWóPÇ ô ÇWË!Ê4î¬ÌµÈ�É�Ì�Ë!ò<ÊeØ�óFÊrÍIÈYØcÊrÍeÇWÎ�ÎlóFÖWØ�î¬É¨ÌþÍcÉ�È�ÉUÊ4ÖWò¨È�Ì�ËéÇWÎ�Ñ<ÊrɨÇrñD̵ÖWØ�Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô íØ�Êrý:Ш̵Ø�ÊrÔ(Ì�Ø�ØcÇ1È�̵ÖgרÇWÎ<×:ШË�Ñ?ÊeØNÔeß

��á �n� ��� �*å�� � ë�äf� ���å�� �*ê�ä å���ê���� �

��׫È�ɨÌ�Ô¬Ô�ÊrÍIÈ�̵Ög×°ÜPî�Ê�ð¨Ì�Ô�ÍeШÔcÔ(È�ÉUÊ�ÍIÖgËéòpεÊIöU̵Èyí�ÖWó*ÍIÖgË!òpШÈ�Ì�× ô È�ÉUÊ�ËéÇ öa�y˦Ì�׫Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô íMÌ�×Ç!Èzî�Ö���ò<ÊeØcÔ�Ög×úeÊeØ�Ö��yÔ�ÐpË ô ÇWË!Ê#î¬Ì�È�É�ò<ÊeØ�óFÊrÍIÈ�Ø�ÊrÍeÇWÎ�ÎDî�ɨÌ�ÍcÉ0Ì�Ô ô Ì�ñWÊr×éÌ�×�È�ÉUÊ(ÊIöDÈ�ÊrרÔ�̵ñWÊ(óFÖWØcË¤ß � í �_Ð¨É¨× Ô�È�ÉUÊeÖWØ�ÊrË ��Ô�ÊeÊÏ:ÊrÍIÈ�̵Ög× �:ß�ÁR�NÜPÌ�×�Ç ô ÇWË!Ê�î¬ÌµÈ�ÉÆò<ÊeØ�óFÊrÍIÈ$ØcÊrÍeÇWÎ�Î�ÜDÑ<ÊrɨÇrñD̵ÖWØ(Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔ¬Ç1Ø�Ê�ÇWÔ ô Ö�ÖDð¤ÇWÔ#Ëé̵ö:Êrð�Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô Ì�ÊrÔeßõ#ÉUÊeØcÊeóEÖWØ�ÊWÜUÈ�É¨Ê ô ÇWË!Ê_ɨÇWÔ¬Ç 54(��&�b*�. �b#�7�! 1¯Ì�×�Ñ<ÊrɨÇhñ:Ì�ÖWØ#Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔeß

�|È�Ì�Ô²î�ÊrÎ�Î�øD×UÖhî�×MÈ�ÉpÇ1È�Ç�Ô�ÇWðpð¨ÎµÊ�ò?ÖgÌþ×lÈ�ÍeÇWסÑ<Ê�ÍIÖgË!òPÐUÈ�Êrð¡ÇWÔ�óEÖgÎ�Î�Öhî¬ÔeßN��̵ØNÔ�ÈeÜ°Êr×�ÐpË!ÊeØcÇ1È�Ê!ÇWÎ�Î�È�ÉUÊòpÐUØcÊéÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔ_ÖWó$Ñ<ÖWÈ�ÉRòpÎ�ÇríWÊeØNÔeÜYÇWרð ô Êr×UÊeØcÇ1È�ʦÈ�ɨÊéòpÇríWÖ1÷ ËéÇ1È�ØcÌ£ö�� m ���cQ b �^V � �� @ ܯî�ÉUÊeØ�Ê81ÇWרð !¡Ç1Ø�Ê�È�ÉUʲ×:ШË�Ñ<ÊeØcÔ�ÖWóYòpÐUØ�ʲÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔ#ÖWó¯òpÎ�ÇhíWÊeØ|��ÇWרðÆòpÎ�ÇhíWÊeØE�0�NÜ:Ø�ÊrÔ�ò<ÊrÍIÈ�̵ñWÊrÎ�íWß�ÅÖWØ�Ê�ò¨ØcÊrÍeÌ�Ô�ÊrεíWÜεÊeÈ�cQ b Ñ<Ê�È�ÉUÊ�ÇWË!ÖgШ×�È(È�ɨÇ1È#òpÎþÇríWÊeØt�$òpÇríDÔ(È�Ö!òpÎþÇríWÊeØt�0�$î¬ÉUÊr×�È�ɨÊeíÆÍNÉUÖ�ÖgÔ�Ê�È�ÉUÊr̵Ø@M È�ÉÇWרð d� È�ÉòpÐUØ�ÊÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô Ì�ÊrÔeÜ�Ø�ÊrÔ�ò<ÊrÍIÈ�̵ñWÊrεíWß ��Î�ÇhíWÊeØ��0��Ì�Ô�È�ÉUÊr×�εÖ:ÖWø:Ì�× ô óEÖWØ�ǤñWÊrÍIÈ�ÖWØ�� V � @ Ô�ШÍNÉ,È�ɨÇ1È � @Q 5 p `/Q�m ÁÇWרð�� ! � ÜYÔ�ÖMÇWÔ�È�ÖMË¦Ç öDÌ�˦̵úeÊ �°Ü�Ô�ÐUÑDÒ�ÊrÍIÈ�È�Ö ���%! ��� �Fî¬ÉUÊeØcÊ�� m ��Á4q C C C2qrÁR� % V � � �Nß�õ#É:ШÔeÜòpÎ�ÇhíWÊeØ��0�¬Ô�ÖgεñWÊrÔ�Ç�Î�Ì�רÊrÇ1جò¨Ø�Ö ô ØNÇWËéËéÌ�× ô ò¨Ø�ÖWÑpÎ�ÊrË î¬Ì�È�É ! ��Á�ñ Ç1ØNÌ�Ç1ÑpεÊrÔ²ÇWרð 1 Ì�רÊrý�ШÇWÎþ̵È�̵ÊrÔeß�ÏDÌ�רÍIÊÑ<ÖWÈ�É 1 ÇWרð !�ËéÇrí ô Ø�Öhî ÊIöDò<Ög×UÊr×�È�Ì�ÇWÎ�εí¤Ì�×MÈ�ÉUÊ!Ô�̵úeÊ�ÖWó�È�ÉUÊ ô ÇWË!Ê!È�Ø�ÊeÊWÜ°È�ÉpÌ�Ô�Ô�ÖgÎ�ÐUÈ�̵Ög× ËéÇríMØ�Êrý:Ш̵Ø�ÊÊIöDò?ÖgרÊr×lÈ�Ì�ÇWÎYÈ�Ì�Ë!ÊWßl��׫È�ɨÊ�ÖWÈ�ÉUÊeØ�ɨÇW×pð°ÜPÔ�ÌþרÍIÊ_È�ÉUÊ0Î�Ì�רÊrÇ1جò¨Ø�Ö ô ØNÇWËéËéÌ�× ô ò¨Ø�ÖWÑpεÊrË ÍeÇW× Ñ?Ê�Ô�ÖgεñWÊrð Ì�×ò<ÖgεíD×UÖgËéÌ�ÇWÎ?È�Ì�Ë!ÊWܨÌ�È(óEÖgÎ�Î�Öhî¬Ô4È�ɨÇ1ȬÈ�ɨÌ�Ô#Ë!ÊeÈ�ɨÖ:ð¤ðUÖ:ÊrԬרÖWÈ(Ø�Êrý�Ðp̵Ø�Ê�Ë!ÖWØ�Ê�È�ÉpÇWפÊIö:ò<Ög×UÊr×�È�Ì�ÇWÎ<È�Ì�ËéÊWß

�|óU×UÊrÍIÊrÔ�Ô�Ç1Ø�íWÜWÈ�ɨÊ�Ñ<ÊrɨÇrñD̵ÖWØw�yÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô í�Êrý:ШÌ�Î�̵ÑpØcÌ�Ð¨Ë ÍeÇW×_È�ɨÊr×�Ñ<Ê�ÖWѨÈ�ÇWÌþ×UÊrð�Ñ:í�ÍIÖg×lñWÊeØ�È�Ìþ× ô È�ɨÊ�ËéÌ£öDÊrðÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô Ì�ÊrÔ_Ì�×�È�Ö�Ñ?ÊrÉpÇrñD̵ÖWØ�Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔrß0õ¬ÉUÊ!×�ШË�Ñ<ÊeØ�ÖWó�ñ1Ç1ØcÌ�Ç1ÑPεÊrÔ�ðUÊrÔ�ÍIØc̵ÑPÌ�× ô Ç�Ñ<ÊrɨÇhñ:Ì�ÖWØ�Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô íªÌ�Ôò<ÖgεíD×UÖgËéÌ�ÇWÎPÌ�×ÆÈ�ÉUÊ�Ô�̵úeÊ�ÖWó¯È�ÉUÊ ô ÇWËéÊ�È�Ø�ÊeÊWß�õ#É:ШÔeÜD̵È(Ì�Ô4ÍIÖgרÍIÊr̵ñ1Ç1ÑpεÊ�È�ɨÇ1È(Ç!Ô�ÇWð¨ðpεÊ4��ò<ÖgÌ�×lÈ$Ì�×ÆÑ<ÊrɨÇrñD̵ÖWØÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô Ì�ÊrÔ¦ÍeÇW×�Ñ<ʤÍIÖgË!òpÐUÈ�Êrð ð¨ÌµØ�ÊrÍIÈ�εíWÜ$Ì�×ùò<Ögεí:רÖgËéÌ�ÇWÎ�È�Ì�Ë!ÊWÜ$î¬ÌµÈ�ÉUÖgÐUÈ�È�ÉUÊÍIÖg×pÔ�È�ØcШÍIÈ�̵Ög×�ÖWó�ËéÌ£öDÊrðÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô Ì�ÊrÔeß ��ÐUØ ô ÖgÇWÎ(ÉUÊeØ�ÊAÌþÔ_È�ÖªÔ�ÉUÖ�î�È�ɨÇ1È�Ì�ó(È�ÉUÊ ô ÇWËéÊ�ÉpÇWÔ�ò<ÊeØ�óFÊrÍIÈ�Ø�ÊrÍeÇWÎ�Î��FÑpÐUÈ0×UÖWÈ�רÊrÍIÊrÔ�Ô�Ç1ØcÌ�Î�íò<ÊeØ�óFÊrÍIÈ#Ì�×UóFÖWØcËéÇ1È�̵Ög×$�NÜUÈ�ɨÊrפÈ�ÉUÊ�ò¨Ø�ÖWÑPεÊrË ÍeÇW׫Ñ<Ê�Ô�ÖgεñWÊrðMÌ�×�ò<Ögεí:רÖgËéÌ�ÇWÎPÈ�Ì�Ë!ÊWß

ÁeÄ

Page 11: The Complexity of Two-Person Zero-Sum Games in Extensive Form ...

��Ì ô ÐUØ�Ê �:Ù���È�ɨØ�ÊeÊ�ð¨Ì�Ë!Êr×pÔ�̵ÖgרÇWÎ<Ì�ËéÇ ô Ê�ÖWó � ��`;q;b6�NÜpÈ�ÉUÊ�òpÇhíWÖ1÷ ô ШÇ1ØcÇW×�È�ÊeÊrð«È�ÖéòpÎþÇríWÊeØ}�X��î¬ÉUÊrפÐpÔ�Ì�× ôÈ�ÉUÊ_Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô í�òpÇW̵Ø��Eö<Ü í6�Nß

ÁWÁ

Page 12: The Complexity of Two-Person Zero-Sum Games in Extensive Form ...

õ#ɨÊÆËéÇ öV�yËéÌ�×ùÑ<ÊrɨÇhñ:̵ÖWØ!Ô�È�ØNÇ1È�Ê ô íùÍeÇWררÖWÈ�Ñ<Ê�ð¨ÌµØ�ÊrÍIÈ�Î�íªÈ�ØcÇWרÔ�Î�Ç1È�Êrð�Ìþ×lÈ�Ö¡Ç¡Î�Ì�×UÊrÇ1Ø�ò¨Ø�Ö ô ØcÇW˦ËéÌ�× ôò¨Ø�ÖWÑPεÊrˤÜ�ÔcÌ�רÍIʬÈ�ɨÊ�òpÇhíWÖ1÷MÌ�Ô$×UÖWÈ4Ç�Î�Ìþ×UÊrÇ1Ø�ó�ШרÍIÈ�̵ÖgצÖWó�È�ÉUʲò¨Ø�ÖWÑpÇ1ÑPÌ�Î�̵È�̵ÊrÔ�È�ÉpÇ1È$ðUÊrÔcÍIØc̵Ñ<Ê#È�ÉUʲÑ<ÊrɨÇrñD̵ÖWØÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô íWß$õ#É:ШÔeÜD̵È$ÌþÔ�×UÖWÈ(ÍeεÊrÇ1Ø(î�ÉUÊeÈ�ÉUÊeØ4È�ÉUʲò¨Ø�ÖWÑpεÊrË�ÍeÇW×�Ñ<Ê�óFÖWØcË�ШÎ�Ç1È�Êrð�ÇWÔ4Ç0Î�Ì�×UÊrÇ1Ø$ò¨Ø�Ö ô ØcÇW˦ËéÌ�× ôò¨Ø�ÖWÑPεÊrË î¬ÌµÈ�É ð¨ÌþË!ÊrרÔ�̵Ög×pÔ¦È�ɨÇ1ÈMÇ1Ø�ʪÑ<ÖgШרðUÊrð Ñ:í'Ç�ò<ÖgεíD×UÖgËéÌþÇWβÌþ×'È�ÉUÊ,Ô�̵úeʪÖWó�È�ÉUÊ ô ÇWË!ÊRÈ�Ø�ÊeÊWßû�Ög×UÊeÈ�ÉUÊrεÊrÔ�ÔrÜgî�ʬî¬Ì�Î�Î:Ô�ÉUÖ�î Ì�×0È�ÉUÊ#×UÊIöDÈ*Ô�ÊrÍIÈ�̵ÖgצÈ�ɨÇ1È*̵È*ÍeÇW×!Ñ<Ê(óFÖWØcË�ШÎ�Ç1È�Êrð!ÇWÔ*Ç�ÎþÌ�×UÊrÇ1Ø�ò¨Ø�Ö ô ØcÇW˦ËéÌ�× ôò¨Ø�ÖWÑPεÊrË î¬Ì�È�É Ç�ò<Ögεí:רÖgËéÌ�ÇWÎ#×:ШË�Ñ?ÊeØAÖWó�ñ1Ç1ØcÌ�Ç1ÑpεÊrÔÆÇWרð ÇW× ÊIö:ò<Ög×UÊr×�È�Ì�ÇWά×:ШË�Ñ<ÊeØAÖWó_ÍIÖg×pÔ�È�ØcÇWÌ�×�È�Ôeß�*ØcÖWÑpεÊrËéÔ�ÖWó°È�ÉpÌ�Ô*Ô�ÖWØ�È$ÍeÇW×AÔ�ÖgË!ÊeÈ�Ì�Ë!ÊrÔ�Ñ<Ê#Ô�ÖgεñWÊrðÆШÔ�Ì�× ô È�ɨʬÊrÎ�Î�Ì�òpÔ�ÖgÌ�ð0Ë!ÊeÈ�ÉUÖDð ��ÇWÔ$Ì�× ��Ø�ÖWÈ�Ô�ÍcɨÊrÎH.W1H(�* �£ÁrÂWÃWà ���$Ìþצò<ÖgεíD×UÖgËéÌ�ÇWÎPÈ�Ì�Ë!Ê�ðUÊrÔ�òP̵È�Ê�È�ÉUÊ�óFÇWÍIÈ(È�ɨÇ1È4È�ÉUÊ�×:ШË�Ñ<ÊeØ�ÖWó�ÍIÖgרÔ�È�ØcÇWÌ�×�È�Ô(Ì�Ô$ÊIöDò?ÖgרÊr×lÈ�Ì�ÇWÎ�ß*õ#ɨÌ�ÔÍeÇW×�Ñ<Ê�ðUÖgרÊ�î¬É¨Êr×AÈ�ɨʲÍIÖgרÔ�È�ØcÇWÌ�×�È�Ô$Ç1ØcÊ�רÖWÈ4ÎþÌ�Ô�È�ÊrðAÊIö:òpÎþÌ�Íe̵È�εíWÜ�ÑpÐUÈ�ØNÇ1È�ÉUÊeØ ô Êr×UÊeØcÇ1È�Êrð«ðUíDרÇWËéÌþÍeÇWÎ�εí!ÇWÔÈ�ÉUÊ_רÊeÊrð«Ç1ØcÌ�Ô�ÊrÔrß*õ#ÉUÊ�ÇWÎ ô ÖWØcÌ�È�É¨Ë Ì�Ô(ðUÊrÔ�ÍIØN̵Ñ<Êrð¤Ì�×Ï:ÊrÍIÈ�̵Ög×¨Ô �:ß �!ÇWרð �:ß3�Uß

��!#" �\-:3�� -�� 1&36-�� 5�� � 5f%g.(02143 �� 1 B3H-7. ) %�� EF36' 5I1H)<EJ% 0 -D1H0�|ó$Ç�òpÎþÇríWÊeØ_ɨÇWÔ�ò?ÊeØcóEÊrÍIÈ�Ø�ÊrÍeÇWÎþÎ�È�ÉUÊr×,ɨÌþÔ²Ìþ×UóEÖWØNËéÇ1È�̵ÖgתÔ�ÊeÈ�Ô�Ë�ШÔ�È�ÉpÇrñWÊAǤÍIÊeØcÈ�ÇWÌ�×,Ô�È�ØcÐpÍIÈ�ÐUØ�ÊWß���סÈ�ɨÌ�ÔÔ�ÊrÍIÈ�̵Ög×�Ü*î�Ê�Ô�ÉUÖ�î È�ɨÇ1È�È�ÉUʤÌ�×UóFÖWØcËéÇ1È�̵Ög×ùÔ�ÊeÈ�Ô�ÖWó�ÇMòpÎ�ÇhíWÊeØ!î¬ÌµÈ�É�ò?ÊeØcóEÊrÍIÈ�Ø�ÊrÍeÇWÎ�Î�óEÖWØNË Ç + #�%0.,5,1�Ü$Ì�ß ÊWßµÜÇ�Ô�ÊeÈ�ÖWó�ð¨ÌþÔFÒ�ÖgÌþ×lÈ�È�Ø�ÊeÊrÔeß���×,Ï:ÊrÍIÈ�̵Ög× �:ß Û:Ü�î$Ê!ÍIÖg×lÈ�Ì�×:ÐUÊ0È�Ö«Ì�×�ñWÊrÔ�È�Ì ô Ç1È�Ê0È�ÉUÊ0Ø�ÊrÎ�Ç1È�Ì�ÖgרÔ�ɨ̵òMÑ<ÊeÈyî$ÊeÊrתÈ�ÉUÊÔ�È�ØcÐpÍIÈ�ÐUØ�Ê�ÖWó�È�ÉUÊ_Ì�×UóFÖWØcËéÇ1È�Ì�ÖgפÔ�ÊeÈ�Ô#ÇWרð¤È�ɨÊ_ÍIÖgË!òpεÊIöU̵ÈzíAÖWó�È�ÉUÊ�Ø�ÊrÔcШεÈ�Ì�× ô0ô ÇWË!ÊWß

�|óU_�ÇWרð�� Ç1Ø�ÊéÈzî�Ö Ì�×UóFÖWØcËéÇ1È�̵ÖgסÔ�ÊeÈ�Ô_ÖWó(ǤòpÎ�ÇhíWÊeØNM�ܯî$ʦÔ�Çhí¡È�ɨÇ1È _ �$%w. � .��2.,5�¦ÜYÇWרðªð¨Êr×UÖWÈ�Ê_���éÜ?̵ó�È�ÉUÊeØcÊ_ÊIöUÌ�Ô�ȬñWÊeØcÈ�Ì�ÍIÊrÔP<ZV:_ ÇW×pð �&V ��Ô�ÐpÍcÉMÈ�ɨÇ1È#<ªÌ�Ô¬È�ÉUÊ0Î�ÇWÔ�È�ð¨ÊrÍeÌ�Ô�̵Ög×M×UÖ:ð¨Ê�ÖWó*òpÎ�ÇhíWÊeØM�Ög×ïÈ�ÉUÊMòpÇ1È�ÉïóFØ�ÖgË È�ɨÊØ�Ö:ÖWÈéÈ�Ö �pß ��× Ì�×UóFÖWØcËéÇ1È�̵Ög× Ô�ÊeȦî¬ÉpÌ�ÍcÉïÌþÔ¦×UÖWÈéòpØ�ÊrÍIÊrðUÊrðïÑ:íïÇW×�í�ÖWÈ�ÉUÊeØÌ�×UóFÖWØcËéÇ1È�Ì�Ög× Ô�ÊeÈ_Ì�Ô�ÍeÇWÎ�εÊrð 79!j7n1n7�(�*vÜ�ÇWרð¡Ög×UÊéî�ɨÌ�Ícɪð¨Ö�ÊrÔ�×UÖWÈ_ò¨Ø�ÊrÍIÊrðUÊéÇW×�íMÖWÈ�ɨÊeØ�Ì�×UóFÖWØcËéÇ1È�Ì�Ög× Ô�ÊeÈ_Ì�ÔÍeÇWÎ�εÊrð 13.4%,& 7�!$(�*nß

EGFH�=IJ��KL�� �����NO�������#� � ."%w. *Y(�1n7�#�!� 7�!��� � .45"(}+ #�%0.,541�#�! S Q �

% %w#W#-+'& �|È#Ô�Ð)(AÍIÊrÔ(È�Ö¦Ô�ÉUÖ�î È�ɨÇ1È#ÊrÇWÍNÉÌ�×UóFÖWØcËéÇ1È�Ì�Ög×ÆÔ�ÊeȬɨÇWÔ(Ç1ȬË!ÖgÔ�È(Ög×UÊ1#�òpÇ1Ø�Êr×�ÈeÜ %¦Ì�ß ÊWßµÜUÈ�ɨÊeØ�Ê�ðUÖ×UÖWÈ�ÊIöDÌ�Ô�È�ðpÌ�Ô�È�Ì�רÍIȲÌ�×UóFÖWØcËéÇ1È�̵Ög× Ô�ÊeÈ�Ô _�Ü�_��FÜ�ÇWרð���ÖWó�òpÎ�ÇríWÊeØ M�ÜYÔ�ШÍcÉ È�ɨÇ1È _��� ÇWרð _�����éßÏDÐUò¨ò<ÖgÔ�ÊWÜ<È�Ö¤È�ÉUÊéÍIÖg×�È�ØcÇ1Ø�íWÜYÈ�ɨÇ1È�Ô�ШÍNɪÌ�×UóFÖWØcËéÇ1È�̵ÖgסÔ�ÊeÈ�Ô�ÊIöUÌ�Ô�Èeß ��ÊeÈ <[V _�ÇWרð��PV�� Ñ<Ê!×UÖDðUÊrÔÔ�ШÍcÉéÈ�ɨÇ1È�<�Ì�Ô�È�ÉUʬÎ�ÇWÔ�È*ðUÊrÍeÌ�Ô�̵Ög×!רÖ:ðUÊ(ÖWó<òpÎþÇríWÊeØBMYÖg×!È�ÉUÊ#òpÇ1È�ÉéóEØ�ÖgË È�ÉUÊ#Ø�Ö:ÖWÈ*È�Ö �PÜ�ÇWרðéÎ�ÊeÈ <���V _��ÇWרð�� � V���Ñ<Ê0×UÖ:ð¨ÊrÔ�Ô�ÐpÍcÉ È�ɨÇ1È < � Ì�Ô¬È�ɨÊ�Î�ÇWÔ�È�ð¨ÊrÍeÌ�Ô�̵Ög× ×UÖDðUÊ_Ög× È�ÉUÊ0òpÇ1È�É óFØ�ÖgË�È�ÉUÊ�ØcÖ�ÖWÈ�È�Ö � � ßÏDÌ�רÍIÊ!È�ÉUÊeØcÊéÌ�Ô�ǫШ×pÌ�ý�ШÊ�òpÇ1È�ÉRóEØcÖgË�È�ÉUÊ!Ø�Ö:ÖWÈ�È�Ö �PÜ�ÇWרð,ÖgרεíÖgרÊéÖWó <�ÇWרð <��t� < Am <�� ��ÍeÇW×,Ñ<ÊÈ�ÉUÊAÎ�ÇWÔ�È_×UÖDðUÊéÖWó(òpÎ�ÇhíWÊeØRM²Ög×RÈ�ÉpÌ�Ô�òpÇ1È�É°Ü�̵È�óFÖgÎ�εÖ�î¬Ô�È�ÉpÇ1È ��Am ����ߤõ#É:ШÔeܯÈ�ɨÊeØ�ÊAÇ1Ø�ÊAÈyî$Ö ðpÌ�Ô�È�Ì�רÍIÈòpÇ1È�ɨԲóEØcÖgË È�ÉUÊ�ØcÖ�ÖWÈ�Ì�×�È�Ö��!Ü°òpÇWÔcÔ�Ì�× ô È�ÉUØ�ÖgÐ ô É Èzî�Ö«ð¨ÌþÔ�È�Ì�רÍIȲÌ�×UóFÖWØcËéÇ1È�̵Ög× Ô�ÊeÈ�Ô�ÖWó�òPÎ�ÇríWÊeØlM�ß�õ#ɨÌ�ÔÍIÖg×lÈ�ØcÇWðpÌ�ÍIÈ�Ô#È�ÉUÊ�ÇWÔ�Ô�ШË!òpÈ�̵Ög×ÆÖWó�ò<ÊeØ�óFÊrÍIÈ(Ø�ÊrÍeÇWÎ�Î�ß

� ��F �4[�[ Y F�� NO��������, #�% ( �L*Y(�2. %I��7n1 � �6.4%�+ . � 1�%0. � (�*9*@S|1 � ."%w. *Y(�1n7�#�!� 7�!��� � .45"( �b(�%41n7n(�*H#�% �2. % #�! 1 � .7�!W+4#�%'&)(�1n7�#�! 5W. 1�5��

� ��F �4[�[ Y F�� NO���.NO��, #�%�( �L*Y(�2. %���7n1 � �6.4%�+ . � 1:%w. � (�*�*@S�1 � .4%0.�.0/�7 541>(�1:* .0(\541H#�!L. 79! 7�1n7�(�* 7�!W+ #�%,&�(�1n7n#�! 5 . 1�S(�!�� (�1�* .0(\541E#�!L."13.4%,& 79!$(�*s7�!W+4#�%'&)(�1n7�#�! 5W. 1��

ÁW�

Page 13: The Complexity of Two-Person Zero-Sum Games in Extensive Form ...

��!] �EF3c'+ �#571H) %B9[1HA�- 0 -D1&E �R>@-/A�5DCB)<EF3P02183H5I14-/9J)<-/0�ªÊ(Õ¨ØcÔ�È�×UÊeÊrð0È�Ö�Ô�ɨÖhîïÉUÖ�î�È�Ö²óFÖWØcË�ШÎ�Ç1È�Ê4È�ÉUÊ4ÖWò¨È�Ì�˦̵úrÇ1È�̵Ög×�ò¨Ø�ÖWÑpÎ�ÊrË�ÖWóPÕpרð¨Ì�× ô Ç�ËéÇ öV�yËéÌ�×�Ñ<ÊrɨÇrñD̵ÖWØÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô í!ÇWÔ�Ç *�79!K.0(�% �L%-# ��%-(�& & 7�! � �L%-#&� *�. &0ß��ªÊ#ðUÊeÕp×UÊ(DzñWÊrÍIÈ�ÖWØ � mr��`Fp q C C C�q;` � � % ÖWó?Ç�ò<ÖgεíD×UÖgËéÌ�ÇWÎ×:ШË_Ñ<ÊeزÖWót!$#�! !L.��a(�1n798�.�ðUÊrÍeÌ�Ôc̵Ög×ñ1Ç1ØcÌ�Ç1ÑPεÊrÔ¬î�ɨÌ�ÍcÉMðUÊrÔ�ÍIØcÌ�Ñ?Ê ��Ì�× ÇAËéÇW×p×UÊeØ�È�ÖÆÑ<Ê�ÊIö:òpÎþÇWÌ�×UÊrð«Ñ<ÊrεÖ�î��Ç!Ñ<ÊrɨÇhñ:̵ÖWØ�Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô í¤óFÖWØ#òpÎ�ÇhíWÊeØ}�0��ߨõ#ÉUÊrÔ�Ê�ñ1Ç1ØcÌ�Ç1ÑPεÊrÔ(ɨÇrñWÊ�È�ÉUÊ�ò¨ØcÖWò?ÊeØcÈyíÆÈ�ɨÇ1È#óFÖWجÇW×lí�òpШØ�Ê�Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô íY�ÖWó*òpÎþÇríWÊeØ��NÜ?È�ÉUÊeØ�Ê�ÊIöDÌ�Ô�È�Ô�ÇÆÎ�Ì�×UÊrÇ1Ø�óFÐpרÍIÈ�̵Ög× � ! ����� m��

% ! �ïî�ÉUÖgÔ�Ê_ñ1ÇWÎ�ÐUÊ�Ì�Ô�È�ÉUÊ_òpÇhíWÖ1÷�È�ÖÆòpÎ�ÇhíWÊeØ��X�î¬ÉUÊr×�òPÎ�ÇríWÊeØ �$ШÔ�ÊrÔ#Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô í&Y�ÇWרð�òpÎ�ÇhíWÊeØ}�0�$ШÔ�ÊrÔ(È�ɨÊ�Ñ<ÊrɨÇrñD̵ÖWØ#Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô í«ð¨ÊrÔ�ÍIØc̵Ñ<ÊrðÆÑ�í �$ß

�ªÊ�×UÖhî�ðUÊeñWÊrεÖWò�È�ÉUÊAÔ�í:Ô�È�ÊrË ÖWó#ÍIÖgרÔ�È�ØNÇWÌ�×lÈ�Ô_î¬É¨Ì�ÍNÉ � ÉpÇWÔ�È�Ö¡Ô�Ç1È�Ì�Ô�óFíWß��#ÊrÍeÇWÎ�Î�È�ɨÇ1È_È�ɨÊAË!Ö�ñWÊrÔÊrËéÇWרÇ1È�Ìþ× ô óFØ�ÖgË ÇRרÖ:ðUÊ ��Ç1Ø�ÊÌþרðUÊIöDÊrð�Ñ�í�×:ШË_Ñ<ÊeØcÔÁ4qX� q������þß��¯ÊeÈ�p� �6�!ðUÊr×UÖWÈ�ÊÈ�ÉUÊ×:ШË_Ñ<ÊeØéÖWóò<ÖgÔ�Ô�̵ÑPεÊAË!Ö�ñWÊrÔéÇ1È �pß�ÏDÐUò¨ò<ÖgÔ�Ê _ m �=<Fp q C C C2q0<��Y�Ì�Ô0ÇW×�Ì�×UóFÖWØcËéÇ1È�̵Ög×ùÔ�ÊeÈeßùû¬ÊrÍIÊrÔ�ÔcÇ1ØcÌ�εíWÜ p� <Jp,�wm����� m p� <��R�NܨÇWרðÆî�Ê�ÍeÇWפðUÊrרÖWÈ�Ê p�,_l�Bm p� <Jp,�Nß��²×ÆÌþרðUÊIö ��ÁCB�SB p� <K�w��ÖWó�Ç�ËéÖhñWÊ�ÊrËéÇW×pÇ1È�Ì�× ôóFØ�ÖgË�ÇMðUÊrÍeÌ�Ô�̵Ög×R×UÖ:ð¨Ê�<�ÖWó(òPÎ�ÇríWÊeØ^M�Ì�Ô�ÍeÇWÎ�εÊrð�Ç �2. � 795'7�#�!MÖWó(È�ÉpÇ1È_òpÎ�ÇhíWÊeØrߤû¬ÖWÈ�ÊÆÈ�ɨÇ1È�Ì�×,ÇW×�íªòpÐUØ�ÊÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô í0ÖWó<òpÎ�ÇhíWÊeØBM�Ü�È�ÉUÊ#ðUÊrÍeÌ�Ô�Ì�Ög×0óEÖWØ*ÇWÎ�ÎDÈ�ɨʬ×UÖDðUÊrÔ�Ì�×0È�ÉUÊ#Ô�ÇWËéʬÌ�×UóFÖWØcËéÇ1È�̵Ög×0Ô�ÊeÈ�Ë�ШÔ�È�Ñ?Ê4È�ÉUÊ#ÔcÇWË!ÊWß�ªÊ0Ô�Çrí«È�ÉpÇ1ȲÇÆ×UÖDðUÊC<ªÌ�Ô"% �b* . � #�61¯Ñ�í«Ô�È�ØNÇ1È�Ê ô íGY�ÖWó�òpÎ�ÇhíWÊeØ ��Ü<̵ó�Ög×È�ÉUÊ�òpÇ1È�ÉMóEØ�ÖgË È�ÉUÊ�Ø�Ö�ÖWȲÈ�Ö <¯ÜÈ�ÉUÊeØ�Ê_ÊIöDÌ�Ô�È�Ô#Ç1ȬεÊrÇWÔ�È(ÖgרÊ_ðUÊrÍeÌ�Ô�Ì�Ög×�ÖWóYòpÎþÇríWÊeØ}�$î¬É¨ÌþÍcɤÌ�Ô#רÖWÈ(È�Ç1øWÊr×MШ×pðUÊeØ(Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô í&Ylß

�UÖWØMÊrÇWÍcÉ�×UÖ:ð¨Ê <YÜ�εÊeÈ ��� <p��ðUÊr×UÖWÈ�ÊRÈ�ÉUʪò¨Ø�ÖDð¨Ð¨ÍIÈ�ÖWó0ÇWÎ�Î�È�ÉUʪò¨Ø�ÖWÑPÇ1ÑpÌ�Î�̵È�Ì�ÊrÔ¦ÍIÖWØ�Ø�ÊrÔ�ò?Ög×pð¨Ì�× ô È�ÖØcÇWרð¨ÖgË�ËéÖhñWÊrÔ¬ÇWÎ�Ög× ô È�ÉUÊ�òpÇ1È�É�óEØcÖgË�È�ÉUÊ�Ø�Ö�ÖWÈ4È�Ö8<Yܨ̵ó¯ÇW×�í��UÖWÈ�ÉUÊeØcî¬Ì�Ô�ÊWÜUεÊeÈ���� <K�Bm Á1ß4ÏDÌ�ËéÌ�ÎþÇ1ØcεíWÜgóFÖWØÇ0Ñ<ÊrɨÇrñD̵ÖWØ#Ô�È�ØNÇ1È�Ê ô í�`�ÜpεÊeÈ `�� <K�(ðUÊr×UÖWÈ�Ê�È�ÉUÊ�òpØ�Ö:ðpШÍIÈ�ÖWó�ÇWÎ�Î<È�ÉUÊ�òpØ�ÖWÑpÇ1ÑpÌ�Îþ̵È�̵ÊrÔ�ÇWÔcÔ�Ì ô ×UÊrð�Ñ:í`RÈ�ÖéÈ�ÉUÊðUÊrÍeÌ�Ôc̵ÖgרÔ4ÖWó�òpÎ�ÇríWÊeØ �0��Ç1òpò?ÊrÇ1ØNÌ�× ô Ög׫È�ÉUÊ�òPÇ1È�ɤóEØcÖgË È�ÉUÊ�Ø�Ö:ÖWÈ(È�Ö�<Yß

��Ì�ñWÊr×ÆÇW×�í!òpÐUØcÊ�Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô í=Y²ÖWó�òpÎ�ÇhíWÊeØ��*ÇW×pðAÇW×�íéÑ<ÊrɨÇrñD̵ÖWØ4Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô í`MÖWó�òPÎ�ÇríWÊeØ|�0��ÜgóFÖWØ4ÇW×�í¦×UÖDðUÊ<¯ÜpÈ�ÉUÊeØ�Ê�Ì�Ô(Ç!î$ÊrÎ�ÎY�yð¨ÊeÕp×UÊrð�ò¨Ø�ÖWÑPÇ1ÑpÌ�Î�̵Èzí��P� <��s`Bq Y��4È�ÉpÇ1È#È�ÉUÊ�×UÖDðUÊ <î�Ì�Î�Î?Ñ<Ê�Ø�ÊrÇWÍcÉUÊrðMð¨ÐUØcÌþ× ô È�ɨÊ�òpÎ�ÇríÖWó�È�ÉUÊ�Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô Ì�ÊrÔ Y�ÇWרðv`*ß

EGFH�=IJ��KL�� �����NO���>]'��� + ( !L#��2.P< 795�!$#�1�% �b* . � #�61 �'�)541n%-(�13.����wY #-+ �$*�(�2.4% � S�1 � . !

�P� <��s`Bq Y���m���� <p� `�� <K� C� � 795 �$%w#&�0(&� 79*�7n1 � 795�1 � . %w.�+4#�%0. 7�!��2. �6.4!��a.4! 1E#-+ Y �

% %w#W#-+'&�ÏUÐUò¨ò<ÖgÔ�Ê�<MÌ�Ô4×UÖWÈ4ØcШεÊrðÆÖgÐUÈ4Ñ:í�Ylß��|×ÆÈ�ɨÌ�Ô4ÍeÇWÔ�Ê��P� <��s`Bq Y��$Ì�Ô$Êrý�ШÇWÎ<È�Ö!È�ɨʲòpØ�Ö:ðpШÍIÈ�ÖWóYÈ�ÉUÊò¨Ø�ÖWÑpÇ1ÑpÌþÎ�̵È�̵ÊrÔ(ÇWÔ�ÔcÌ ô ×UÊrðMÑ�í�`�È�Ö�È�ÉUÊ0ðUÊrÍeÌ�Ô�Ì�ÖgרÔ#ÖWó*òPÎ�ÇríWÊeØ��0�(î¬ÉpÌ�ÍcÉMÎ�̵Ê_Ög× È�ÉUÊ�òpÇ1È�ÉMóEØcÖgË È�ɨÊ�Ø�Ö:ÖWÈÈ�Ö <¯Ü�ÇWרð¡È�ÉUÊéò¨ØcÖWÑpÇ1ÑpÌ�Î�Ì�È�̵ÊrÔ¬ÍIÖWØ�ØcÊrÔ�ò<Ögרð¨Ì�× ô È�ÖÍNɨÇWרÍIÊ ��Ì�ß ÊWßéרÇ1È�ÐUØ�Ê� Ô'��Ë!ÖhñWÊrÔ_Ög×,È�ÉUÊ!È�Ø�ÊeÊAÇWεÖg× ôÈ�ÉUÊ_Ô�ÇWË!Ê�òPÇ1È�É°ß��׫ñD̵Êeî ÖWóP�*Ø�ÖWò<ÖgÔ�̵È�Ì�Ög× �:ßµß3�UܰεÊeÈ��P� <��s`>�#ð¨Êr×UÖWÈ�Ê�È�ɨÊ_ò¨Ø�ÖWÑPÇ1ÑpÌ�Î�̵Èzí¦È�ɨÇ1È�×UÖDðUÊC<¡î¬Ì�ÎþΰÑ<Ê�Ø�ÊrÇWÍcɨÊrð°Ü

ò¨Ø�Ö�ñ:ÌþðUÊrð¤ÌµÈ#Ì�Ô(×UÖWȬØcШεÊrð�ÖgÐUÈ(Ñ:íÆòpÎ�ÇríWÊeØ �Nß

�^Y�� � NO��������� ! ( �2(�&).C��7n1 � �6. %9+W. � 1P%0. � (�*9*@SP7 + <Fp"(�!�� < � (�%w.�!$# �2.,5�79! 1 � .�5 (�& .�79!W+ #�%,&)(�1n7n#�!�5W. 1�#-+�$*�(�2.4% �0� S�1 � .4!

`�� <Fp,�Bm `�� < � �GC� #�%w.X#�8�. % S�7 +��795�( �a. � 795'7�#�! (�1 < p (�!���< � SP* .0(&��79! � 1D#�� p (�!�� � � %0.,5��6. � 1n798�.4* �HS�1 � . !

`�� � p,�Bm `�� � � �GCÁ��

Page 14: The Complexity of Two-Person Zero-Sum Games in Extensive Form ...

% %w#W#-+'&�õ#ÉUÊ_ÇWÔcÔ�ШË!ò¨È�Ì�ÖgפÖWó�ò?ÊeØcóEÊrÍIÈ#ØcÊrÍeÇWÎ�ίÌ�ËéòpÎ�̵ÊrÔ$È�ɨÇ1È�È�ÉUÊ_Ô�ÊeÈ�Ô�ÖWó�ò¨Ø�ÖWÑpÇ1ÑpÌþÎ�̵ÈyíAñ ÇWÎþÐUÊrÔ¬ÇWÔ�ÔcÌ ô ×UÊrðÑ�í�`ïÇWÎ�Ög× ô È�ÉUÊ0òpÇ1È�ɡεÊrÇWð¨Ì�× ô óEØcÖgË È�ɨÊ�ØcÖ�ÖWÈ�È�Ö�<Fp�ÇWרð < � Ç1Ø�Ê!Ì�ðUÊr×�È�Ì�ÍeÇWÎ�ßl�²×¨ð¡Ô�Ì�רÍIÊ�<Fp�ÇWרð < �Ç1Ø�Ê_Ì�×�È�ÉUÊ�ÔcÇWË!Ê_Ì�×UóFÖWØcËéÇ1È�Ì�ÖgפÔ�ÊeÈeܨÈ�ÉUÊeí¤Ë�ШÔ�È#ÇWÔ�Ô�Ì ô פÈ�ÉUÊ�Ô�ÇWË!Ê_ò¨Ø�ÖWÑpÇ1ÑpÌþÎ�̵Èyí¦È�ÖéÈ�ÉUÊ�ðUÊrÍeÌ�Ôc̵Ög× ¨ß�|ó <,Ì�Ô�ǤðUÊrÍeÌþÔ�̵Ög× ×UÖ:ð¨Ê�ÖWó�òpÎ�ÇríWÊeØl�X�¬ÇWרð «Ì�Ô�ǤðUÊrÍeÌ�Ôc̵Ög×MÇ1È <YÜ�εÊeÈ�� <Jq V��ðUÊr×UÖWÈ�Ê �pÜ°î¬É¨ÊeØ�Ê �Ì�Ô

È�ÉUÊ_ÍNɨÌ�Î�ðÆÖWó <ØcÊrÇWÍcÉUÊrðÑ�íÆÈ�Ç1ø:Ìþ× ô È�ÉUÊ�ðUÊrÍeÌþÔ�̵Ög× ¨ß�ªÊ²ÇWÔ�Ô�Ì ô ×éÇ�ñ1Ç1ØcÌ�Ç1ÑPÎµÊ ` � È�Ö�ÊrÇWÍNÉAרÖ:ðUÊV<ÆÌ�×0È�ÉUÊ ô ÇWËéÊ#È�Ø�ÊeÊWß���×lÈ�ШÌ�È�̵ñWÊrεíWÜ ` � ðUÊr×UÖWÈ�ÊrÔB`�� <K�NÜlî�ÉUÊeØ�Ê

`�ÌþÔ4È�ÉUÊ_ÍIÖWØ�Ø�ÊrÔ�ò?Ög×pð¨Ì�× ô Ñ<ÊrɨÇrñD̵ÖWØ#Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô í¤óFÖWØ#òpÎþÇríWÊeØ}�X�Nßõ#ɨÊ�ÍIÖgרÔ�È�ØcÇWÌ�×�È�Ô(Ög×È�ÉUÊ�ñ Ç1ØNÌ�Ç1ÑpεÊrÔ ` � Ç1Ø�Ê�ðUÊeØcÌ�ñWÊrð«ÇWÔ(óFÖgÎ�εÖhî�ÔeÙ� �¯ÊeÈ < � Ñ<Ê�È�ÉUÊ�Ìþר̵È�Ì�ÇWÎ<×UÖDðUÊWß*õ#ÉUÊr× ` ��� m Á C � ���

� �¯ÊeÈV_ m �=<Fp q C C C�q0<��G��Ñ?Ê�ÇW×�í�Ì�×UóFÖWØcËéÇ1È�̵ÖgפÔ�ÊeȬÖWóYòpÎþÇríWÊeØt�0��ߨõ#ÉUÊ�Ìþ×UóEÖWØNËéÇ1È�̵Ög×�Ô�ÊeÈV_ Ì�Ë!ò<ÖgÔ�ÊrÔÍIÖg×pÔ�È�ØcÇWÌ�×�È�Ô¬ÇWÔ(óFÖgÎ�εÖ�î¬ÔeßB�UÖWØ�ÊeñWÊeØ�í � wm Á4q C C C2q p�,_l�w�NÜ

` - � K 2 � 0 m ` - � L 2 � 0 m �����=m ` - ��� 2 � 0 C �/�a�

õ¬É¨Ì�Ô(ÍIÖgרÔ�È�ØNÇWÌ�×lȬÊr×UóEÖWØNÍIÊrÔ#È�ÉUÊ�Ô�ÊrÍIÖg×pðɨÇWεó�ÖWó��¨ÇWÍIÈ �:ßµß Û:ß��|×�È�Ш̵È�Ì�ñWÊrεíWܨ̵È#Ë!ÊrÇWרԬÈ�ɨÇ1È#È�ÉUÊ_ò¨Ø�ÖWÑ6�Ç1ÑPÌ�Î�̵Èzí¦ÖWó�È�Ç1ø:Ìþ× ô ÇW×lí¤ðUÊrÍeÌþÔ�̵Ög× ¦Ë�ШÔ�È(Ñ<Ê�È�ÉUÊ�Ô�ÇWË!Ê_Ç1ȬÇWÎþΰ×UÖ:ð¨ÊrÔ(Ì�פÈ�ÉUÊ�Ì�רóEÖWØc˦Ç1È�̵ÖgפÔ�ÊeÈeß

� �¯ÊeÈ _ Ñ<Ê_ÇWסÌ�רóEÖWØc˦Ç1È�̵Ög׫Ô�ÊeȲÖWó*òpÎ�ÇhíWÊeØ��0�NÜPÇWרðMÎ�ÊeÈ#<¡Ñ<Ê�ÇW× Ç1Ø�Ñp̵È�ØNÇ1Ø�í¤×UÖ:ð¨Ê�Ì�×"_�ß�õ¬ÉUÊr׫î$ÊÇWÎþÔ�ÖéØ�Êrý:Ш̵Ø�Ê�È�ɨÇ1ÈeÙ t - � 0

� 5 p ` - � 2 � 0 m ` � C ����

õ¬É¨Ì�Ô!ÍIÖgרÔ�È�ØNÇWÌ�×lÈ!óFÖWØcÍIÊrÔAÍIÖgרÔ�Ì�Ô�È�Êr×pÍIí�Ñ<ÊeÈyî$ÊeÊr×ïÈ�ɨʤò¨Ø�ÖWÑpÇ1ÑpÌþÎ�̵ÈyíRÖWó�Ø�ÊrÇWÍNɨÌ�× ô ÇR×UÖ:ð¨Ê�ÇW×pð�È�ÉUÊòpØ�ÖWÑpÇ1ÑpÌ�Îþ̵È�̵ÊrÔ#ÖWó�Ø�ÊrÇWÍcɨÌþ× ô ̵È�Ô�ÍcɨÌ�ÎþðUØ�Êr×°ß�û�ÖWÈ�Ê!È�ɨÇ1È�Ñ?ÊrÍeÇWÐpÔ�Ê�ÖWó�Êrý�ÐpÇ1È�̵Ög× �/�a�NÜ�Êrý:ШÇ1È�̵Ög×��Û��²Ì�ÔÇWÍIÈ�ÐpÇWÎ�εíÆÈ�ØcÐUÊ�óFÖWجÊeñWÊeØ�í�<iV�_�ß

� �¨ÖWØéÇW×líRרÖ:ðUÊ �,×UÖWÈ�Ñ<ÊrεÖg× ô Ì�× ô È�Ö òpÎ�ÇhíWÊeØ �X�NÜYÈ�ÉUÊAðUÊrÍeÌþÔ�̵Ög×ùËéÇWðUÊAÇ1È �ªË�ШÔ�È0×UÖWÈ�Ç ÷<ÊrÍIÈ0È�ÉUÊñ1Ç1ØcÌ�Ç1ÑPεÊrÔeß �#ÊrÍeÇWÎþÎ�È�ɨÇ1ÈG` � Ì�Ô�ðUÊeÕp×UÊrð¡È�ÖMðUÊeò<Êrרð¡ÖgרεíMÖg×,òpÎ�ÇhíWÊeØ��0�� Ô�ðUÊrÍeÌ�Ô�Ì�ÖgרÔeܯÇWרðª×¨ÖWÈ�Ög×ÍNɨÇWרÍIÊ�ðUÊrÍeÌ�Ô�̵Ög×pÔ4ÖWجðUÊrÍeÌ�Ô�Ì�ÖgרÔ4Ñ<ÊrεÖg× ô Ì�× ô È�ÖéòpÎþÇríWÊeØ}��ß��ªÊ_È�ɨÊeØ�ÊeóEÖWØcÊ�Ø�Êrý:Ш̵Ø�Ê

`��m ` - 2 p 0 m ` - 2 � 0 m �����=m ` - 2 t - 0�0 C ����

�ªÊ!×UÖWÈ�Ê�È�ɨÇ1ȲרÖWÈ�ÇWÎ�ÎYÖWó�È�ÉUÊrÔ�Ê�Êrý�ÐpÇ1È�̵ÖgרÔ�î¬Ì�Î�ΰÑ<Ê�Ì�רðUÊeò<ÊrרðUÊr×�ÈeܨÑpШȬÇAÔcÌ�Ë!òpεÊ�Ì�רð¨Ð¨ÍIÈ�Ì�ñWÊ�Ç1Ø ô ШË!Êr×�ÈÔ�ÉUÖ�î¬Ô¤È�ɨÇ1ÈÈ�ÉUÊR×:ШË_Ñ<ÊeؤÖWó0Êrý:ШÇ1È�̵ÖgרÔeÜ�òpÎþШÔ�È�ÉUÊ,×:ШË_Ñ<ÊeØ«ÖWó�ñ1Ç1ØcÌ�Ç1ÑpεÊrԤרÊeÊrðUÊrð È�Ö ð¨ÊrÔ�ÍIØc̵Ñ<Ê¡È�ÉUÊÑ<ÊrɨÇrñD̵ÖWØ#Ô�È�ØNÇ1È�Ê ô íWÜPÊrý:ШÇWÎ�Ô(È�ɨÊ�ð¨Ì�Ë!ÊrרÔc̵Ög×ÆÖWó�È�ɨÊ�ñWÊrÍIÈ�ÖWØ �4ß

EGFH�=IJ��KL�� �����NO���+*O�#� � .4%0."7 5�( #�!L.� -1D# w#�!L. � #�%,%0.,5��6#�!��2. ! � ."�X. 1 ��.'.4! !$#�!j!K.��2(�1n798�."8�. � 1D#�%'5 � 54(�1n795 +��\7�! � . - �6(�1n7n#�!j5�� ���NÜ>�/�a�NÜs��Û�� S�(�!�� ��Ý���#�!�1 � ."#�!L. � (�! �HS�(�!�� �X. � (�8 7n#�%�541n%-(�13.���7D.,5�` #-+ �$*�(�2.4% �0� #�!1 � . #�1 � .4% � (�!����

Á��

Page 15: The Complexity of Two-Person Zero-Sum Games in Extensive Form ...

% %w#W#-+'& �ªÊAðUÊrÔ�ÍIØN̵Ñ<Ê�È�ɨʦÍIÖWØ�Ø�ÊrÔ�ò<Ögרð¨ÊrרÍIÊéÇWÔ�óFÖgÎ�εÖ�î¬Ôeß ��̵ñWÊr×�ǤÑ<ÊrɨÇrñD̵ÖWØ�Ô�È�ØNÇ1È�Ê ô íP`*Ü�Î�ÊeÈV` � m`�� <K�Nß�ü�ý�ÐpÇ1È�̵Ög× �/�a��È�ÉUÊr×ÆóFÖgÎ�εÖ�î¬Ô�óFØ�ÖgË �¨ÇWÍIÈ �:ßµß Û:ß�õ¬ÉUÊ�ØcÊrÔ�È�ÖWó¯È�ÉUÊ�Êrý�ШÇ1È�Ì�ÖgרÔ�óFÖgÎ�εÖ�î Ì�ËéË!Êrð¨ÌþÇ1È�ÊrεíóEØ�ÖgË È�ÉUÊ�ðUÊeÕpרÌ�È�̵ÖgרÔeß

��̵ñWÊr× ÇW× ��î¬ÉpÌ�ÍcÉ'Ô�Ç1È�Ì�Ô�Õ¨ÊrÔ¤ÇWÎ�Î�È�ÉUÊ,ÍIÖgרÔ�È�ØcÇWÌ�×�È�Ôeܲð¨ÊeÕp×UÊ¡È�ÉUʪÑ<ÊrɨÇrñD̵ÖWØ«Ô�È�ØNÇ1È�Ê ô í ` ÇWÔcÔ�Ö:ÍeÌþÇ1È�Êrðî¬ÌµÈ�É �'ÇWÔ�óEÖgÎþεÖhî¬Ôrß���ÊeÈ _3Ñ<Ê!ÇWתÌ�×UóFÖWØcËéÇ1È�Ì�Ög× Ô�ÊeÈ�ÖWó�òpÎ�ÇhíWÊeØ��0��Ü?ÇW×pðªÎµÊeÈ � �m Á4q C C C2q p�,_l�w�²Ñ<ÊÇW×lí¤ðUÊrÍeÌ�Ôc̵Ög×°ß�Ó4ÉUÖ:ÖgÔ�Ê�ÇW׫Ç1Ø�ÑP̵È�ØcÇ1Ø�í <iV _�ܨÇWרð«ðUÊeÕP×UÊ

` � �,_l�Bm ` - � 2 � 0` � Cõ#ɨÌ�Ô�Ì�Ô�î$ÊrÎ�ÎY�yð¨ÊeÕp×UÊrð!ÇWרðéÌþרðUÊeò<ÊrרðUÊr×�ÈYÖWó�<Æð¨ÐUÊ(È�Ö�Êrý:ШÇ1È�̵Ög×��/�a�Nß*Ú�ÐUʬÈ�Ö�Êrý�ÐpÇ1È�̵Ög× ��Û��NÜ:î�Ê(ÖWÑpÈ�ÇWÌ�×È�ɨÇ1È t - � 0

� 5 p ` � �,_l�[m� t - � 0� 5 p ` - � 2 � 0` � m Á C

�zÈ�Ì�Ô�ÊrÇWÔ�íªÈ�ÖMñWÊeØc̵óFí È�ÉpÇ1È_óFÖWØ_È�ɨÌ�ÔN`*Ü�`�� 6a�Nm `��!óFÖWØ�ÇWÎ�ÎD6Uߤü�ý:ШÇ1È�̵Ög×�� ��� ô ШÇ1ØcÇW×�È�ÊeÊrÔ�È�ɨÇ1È_ÖgרÎ�íÇAÔ�Ìþ× ô εÊ_ñWÊrÍIÈ�ÖWØ � ÍIÖWØ�Ø�ÊrÔ�ò?Ög×pð¨Ô¬È�ÖÆÊrÇWÍcÉ¡Ñ<ÊrɨÇhñ:Ì�ÖWزÔ�È�ØNÇ1È�Ê ô íWß��ªÊ0ÉpÇrñWÊ0È�É�ÐpÔ²ð¨ÊeÕp×UÊrð Ç¦Ög×UÊ4��È�Ö���ÖgרÊÍIÖWØ�Ø�ÊrÔ�ò<ÖgרðUÊr×pÍIÊWßõ#ɨÊ�ÍIÖgרÔ�È�ØNШÍIÈ�̵Ög×AÖWó°È�ÉUÊ�ñWÊrÍIÈ�ÖWØ��ÇWרðAÈ�ÉUÊ�ÍIÖgרÔ�È�ØcÇWÌ�×�È�Ô�Ì�Ô$Ì�Î�ÎþШÔ�È�ØcÇ1È�ÊrðéÌþ×éÈ�ÉUÊ�óEÖgÎ�Î�Öhî¬Ì�× ô ÊIöDÇWËéòpεÊWß

��Ì ô ÐUØ�Ê��UÙ�� ô ÇWË!Ê�È�ØcÊeÊ�î¬ÌµÈ�É�ò<ÊeØ�óFÊrÍIÈ(Ø�ÊrÍeÇWÎ�Î�ßWDX'Y=Z I[�� N'��� �4� Ó$ÖgרÔ�ÌþðUÊeØ_È�ÉUÊ ô ÇWË!Ê�È�Ø�ÊeʤÌ�× ��Ì ô ÐUØ�Ê �UÜ*î¬É¨ÊeØ�ÊAÑ<ÖWÈ�É�òpÎ�ÇhíWÊeØcÔ!ɨÇrñWÊ�ò<ÊeØ�óFÊrÍIÈ�ØcÊrÍeÇWÎ�Î�ß�ªÊ�î¬Ì�ÎþΨØ�Êeò¨ØcÊrÔ�Êr×lÈ(È�ɨÊ�Ô�ÊeÈ$ÖWóYÑ<ÊrɨÇrñD̵ÖWØ(Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔ#ÖWóYòpÎþÇríWÊeØE�0�*î�̵È�ÉAÎþÌ�×UÊrÇ1Ø(Ì�×UÊrý:ШÇWÎ�̵È�Ì�ÊrÔeß�Ó$Ög×pÔ�Ì�ðUÊeØ(Ç

ÁrÛ

Page 16: The Complexity of Two-Person Zero-Sum Games in Extensive Form ...

ñWÊrÍIÈ�ÖWØ �Zm ��`Jp q C C C�q;`�F��R� % î¬É¨ÖgÔ�Ê�ÍIÖgË!ò<Ög×UÊr×lÈ�Ô4ÍIÖWØ�ØcÊrÔ�ò<ÖgרðÆÈ�Ö�È�ɨʲ×UÖDðUÊrÔ$ÖWó¯È�ɨÊ�È�Ø�ÊeÊWß�ü�ý:ШÇ1È�̵Ög× � ���Ì�Ë!òPÎ�̵ÊrÔ$È�ɨÇ1ÈeÙ `Fp m Á C �D���õ#ÉUÊ�Ìþ×UóEÖWØNËéÇ1È�̵ÖgפÔ�ÊeÈ _gp¬Ì�Ë!òpÎ�Ì�ÊrÔ�È�ɨÊ�óEÖgÎ�Î�Öhî¬Ì�× ô ÍIÖg×pÔ�È�ØcÇWÌ�×�È�ÔeÙ` � m `�� ��Ã��`Fp � m `�� C ��Â��ÇWרð¤È�ÉpÇ1È ` � � `�� m ` � C ��ÁeÄ2�õ#ÉUÊ�Ô�ÊeÈV_ � Ì�Ô(ǦÔ�Ì�× ô εÊeÈ�ÖgפÔ�ÊeÈeÜpÔ�̵֦È#ÌþË!òpÎ�̵ÊrÔ�ÖgרεíÆÈ�ÉUÊ�ÍIÖgרÔ�È�ØcÇWÌ�×�ÈeÙ`���� `�� m ` $ C ��ÁWÁR�õ#ÉUÊ�Ìþ×UóEÖWØNËéÇ1È�̵ÖgפÔ�ÊeÈ _ F�Ì�Ë!òpÎ�Ì�ÊrÔ�È�ɨÊ�óEÖgÎ�Î�Öhî¬Ì�× ô ÍIÖg×pÔ�È�ØcÇWÌ�×�È�ÔeÙ`Fp � m ` � $ ��ÁW���`Fpsp m ` � � ��Á����` p � � ` psp m ` � C ��Á��a�õ#ÉUÊ�Ìþ×UóEÖWØNËéÇ1È�̵ÖgפÔ�ÊeÈ _ $ Ì�Ë!òpÎ�Ì�ÊrÔ�È�ɨÊ�ÍIÖgרÔ�È�ØcÇWÌ�×�È�ÔeÙ` � � m ` � � ��ÁrÛ��` � � m ` � � ��ÁrÝ��` � � � ` � � m `Fp F C ��ÁR���õ#ÉUÊ�Ô�ÊeÈV_ � ÇWÎ�Ô�ÖéÌ�Ë!òpÎ�Ì�ÊrÔ�Ög×pεí¦È�ÉUÊ�ÍIÖgרÔ�È�ØcÇWÌ�×�ÈeÙ`�F p�� `4F � m `Jp � C ��ÁrÃ���UÖWØ _��1Ü

`4F0F m `�F � ��ÁrÂ��`4F $ m `�F�� ���1Ä2�`�F0F � `4F $ m `�� C ���DÁR�ü�ÇWÍNÉRÖWó4È�ÉUÊA×UÖ:ð¨ÊrÔ�ÖWó(òpÎ�ÇhíWÊeØ���ÇWרðªÈ�ÉUÊAÍcɨÇWרÍIÊÆ×UÖDðUÊ ��×UÖDðUÊrÔéÁ1Ü Ã:Ü Â:Ü�ÁeÄDÜ�ÁWÁ1Ü�ÁW�:Ü4ÇWרð ����ÇWÎ�Ô�ÖÌþË!òpÎ�̵ÊrÔÍIÖgרÔ�È�ØNÇWÌ�×lÈ�ÔrÙ

`Jp m ` � m `4F m ` $ �������` � m ` F � m ` p � �������`�� m `Fp�� m `Fp� ��� �a�`Jp � m `Fp�� m `Fp�� ���W��`Jpsp m ` � � m ` � p ���W��`Jp � m ` �s� m ` � F �������`� m `Fp F m `Fp $ C ���W��

ÁrÝ

Page 17: The Complexity of Two-Person Zero-Sum Games in Extensive Form ...

� � Z:Y F�� N'��� �'� û¬ÖWÈ�ʦÈ�ɨÇ1È�Ë!ÖgÔ�È�ÖWó$È�ÉUÊ0Êrý�ШÇ1È�Ì�ÖgרÔ�ðUÊeÕp×UÊrð Ñ:íÈ�ɨÌþÔ�òpØ�Ö:ÍIÊrÔcÔ�Ç1Ø�Ê!Êrý�ÐpÇ1È�̵ÖgרÔ�óFÖWØcÍeÌ�× ôÈ�ÉUÊ(Êrý:ШÇWÎ�̵Èzí_ÖWó?Èyî$Ö�ð¨Ì£÷<ÊeØ�Êr×�È�ñ1Ç1ØcÌ�Ç1ÑPεÊrÔeÜgÔ�Ì�×pÍIÊ$È�ɨÊ(òpÇ1È�ɨÔ�È�Ö�È�ÉUÊ(Èzî�Ö_רÖ:ðUÊrÔ�òpÇWÔcÔ�È�ÉUØ�ÖgÐ ô É�ÊIöUÇWÍIÈ�εí0È�ÉUÊÔ�ÇWË!Ê$Ì�×UóFÖWØcËéÇ1È�̵Ög×�Ô�ÊeÈ�ÔYÖWó¨òpÎ�ÇhíWÊeØ:�0��ß ÏDÌþרÍIÊ*È�ÉUÊ4ÍIÖgË!òpεÊIöU̵Èzí²ÖWópÈ�ÉUÊ�ÇWÎ ô ÖWØN̵È�É¨Ë òpØ�ÊrÔ�Êr×�È�Êrð�Ì�×0Ï:ÊrÍIÈ�̵Ög× �:ß3�ðUÊeò<Êrרð¨Ô$ÉUÊrÇhñ:Ì�Î�í¦Ög×�È�ÉUÊ�×:ШË_Ñ<ÊeØ4ÖWó¯ñ1Ç1ØcÌ�Ç1ÑPεÊrÔeÜ:î�Ê�ËéÇhíAÑ<Ê�Ç1ÑpεÊ�È�ÖéÔ�Ì ô ×p̵ÕpÍeÇW×�È�εí!Ø�Êrð¨Ð¨ÍIÊ�̵È�Ô4ØNШררÌ�× ôÈ�Ì�Ë!Ê_Ñ�í¤Ð¨×¨Ì�óEíDÌ�× ô ñ Ç1ØNÌ�Ç1ÑpεÊrÔ ô ШÇ1ØNÇW×lÈ�ÊeÊrðMÈ�Ö¦Ñ<Ê�Êrý:ШÇWÎ�ß�õ¬É¨Ì�Ô(ШרÌ�ÕpÍeÇ1È�̵Ög×�ò¨Ø�ÖDÍIÊrÔ�Ô�ÍeÇW׫Ñ<Ê_ÍeÇ1Ø�ØcÌ�Êrð¤ÖgÐUÈÌ�×�ò<ÖgεíD×UÖgËéÌ�ÇWÎ?È�Ì�ËéÊWß

õ#ɨÊ(ÖWò¨È�Ì�Ëé̵úrÇ1È�Ì�Ög×0ò¨Ø�ÖWÑpεÊrË ÖWó<òpÎþÇríWÊeØP�0��ÍeÇWÎ�Î�Ô*óEÖWØ�ÇW×��ªî¬É¨Ì�ÍNÉ!ËéÇ öUÌ�Ëé̵úeÊrÔ�È�ÉUÊ�ËéÌ�רÌ�Ë�ШË�ÖWó � ! �����ÖhñWÊeØ�ÇWÎ�Î<òpШØ�Ê�Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔ Y�ÖWó�òpÎ�ÇhíWÊeØt��ßj�|׫ÖgÐUØ#ÍIÖgרÔ�È�ØcÐpÍIÈ�̵ÖgװܨÈ�ÉUÊ�ó�ШרÍIÈ�Ì�Ög×¨Ô � ! ������È�Ç1øWÊ�È�ÉUÊ�óFÖWØcˤÙ

� ! ������m �&�-/!10 ��� 6a��� � ` �\q

î¬ÉUÊeØcÊ � ��Ì�Ô¬È�ÉUÊ�òpÇríWÖ1÷ùÈ�ÖÆòPÎ�ÇríWÊeØ��0�(Ç1È�ǦÈ�ÊeØNËéÌ�רÇWÎY×UÖ:ð¨Ê�6UÜ°ÇWרð�� �,Y��#ðUÊrרÖWÈ�ÊrÔ�È�ɨÊ�Ô�ÊeÈ�ÖWó�È�ÊeØc˦Ì�רÇWÎ×UÖDðUÊrÔ#î�ɨÌ�ÍcÉMÇ1Ø�Ê0×UÖWÈ�ØNШεÊrð¤ÖgÐUȲÑ:í&Yg߬õ¬ÉUÊ_ó�ШרÍIÈ�̵Ög×pÔ¬ÍIÖWØ�Ø�ÊrÔ�ò?Ög×pð¨Ì�× ô È�ÖÆÈ�ÉUÊ ô ÇWËéÊ�ÖWóB��Ì ô ШØ�Ê ��Ç1Ø�ÊÎ�Ì�Ô�È�Êrð�Ñ?ÊrÎ�Öhî�ß

WDX'Y=Z I[�� N'�����'� �|×�È�É¨Ê ô ÇWË!Ê�ÖWó�ü�öUÇWË!òpÎ�Ê��:ßµß ��ÜPòpÎ�ÇhíWÊeØ}�4ɨÇWÔ(Õ¨ñWÊ�òPÐUØ�Ê�Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔrÙY p Ù L�]U p �Bm Áwq�$�]U � ��m ÁY � Ù L�]U;p,�Bm Áwq�$�]U � ��m �YGF Ù L�]U;p,�Bm �Y $ Ù L�]U;p,�Bm �=q�$�]U F ��m ÁY � Ù L�]U;p,�Bm �=q�$�]U F ��m � C

õ#É:ШÔeÜUÈ�ÉUÊ�ÎþÌ�×UÊrÇ1Ø(ò¨Ø�Ö ô ØNÇWËéËéÌ�× ô ò¨ØcÖWÑpεÊrË Ì�ÔeÙÅÇ öUÌ�ËéÌ�úeÊ �Ô�ШÑDÒ�ÊrÍIÈ(È�Ö � B � p�� ` p�� � � � � ` � � � � �s� ` �s�

� B �:p��9`Jp�� � � � p;` � p�� � � F9` � F� B � � $ ` � $ � � � � ` � � ��� � � � ` � � ��� � � � ` � � � ��Á � �K� � � � ` � � � ��Á � �K� � � � ` � �� B � F � `�F � � � F0F `�F0F � � F $ `�F $� B � F p$`�F p�� � F � `�F � � � F � `�F � � � F��9`4F��`iV�� q

î¬ÉUÊeØcÊ�� ðUÊrרÖWÈ�ÊrÔ(È�ÉUÊ_Ô�ÊeȬÖWó�×UÖg×p×UÊ ô Ç1È�̵ñWÊ�ñWÊrÍIÈ�ÖWØcÔ ��î¬ÉpÌ�ÍcɤÔ�Ç1È�ÌþÔ�óEí��D����L���WÃ��Nß

õ#ɨÊ�×:ШË�Ñ<ÊeØ$ÖWó�òpÐUØcÊ�Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔ(ÖWó�òpÎ�ÇhíWÊeØt��ËéÇhí ô ØcÖhî ÊIöDò<Ög×UÊr×lÈ�ÌþÇWÎ�εíéî¬Ì�È�ÉAÈ�ɨÊ�Ô�̵úeÊ�ÖWóYÈ�ɨÊ�È�Ø�ÊeÊWß��̵ñWÊr× ÇAñWÊrÍIÈ�ÖWØ �4Ü?ÉUÖ�î�ÊeñWÊeØhÜ?È�ɨÊeØ�Ê�ÌþÔ¬ÇAò?ÖgÎ�í:×UÖg˦Ì�ÇWÎY��È�Ì�Ë!Ê�ò¨ØcÖ:ÍIÊrð¨Ð¨Ø�Ê_óFÖWØ�ÕPרð¨Ì�× ô ǦòpÐUØ�Ê�Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô íiYî¬É¨ÌþÍcÉ0ËéÌ�רÌþËé̵úeÊrÔ � ! �����Nß�õ¬ÉUÊ4ò¨Ø�ÖDÍIÊrð¨ÐUØ�Ê$Ì�Ô�ò?ÖgÎ�í:×UÖg˦Ì�ÇWÎgÈ�Ì�ËéÊ$ØcÊ ô Ç1Øcð¨ÎµÊrÔ�Ô�ÖWóPÈ�ÉUÊ(×�ШË�Ñ<ÊeØ�ÖWóPÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô Ì�ÊrÔÖWó�òPÎ�ÇríWÊeØl��Ü?ÔcÌ�רÍIÊ0̵ȲÇhñWÖgÌ�ð¨Ô�Î�ÌþÔ�È�Ì�× ô È�ÉUÊrˤßG�¬Ç1È�ɨÊeØrÜ�̵È�ð¨ÌµØ�ÊrÍIÈ�Î�í«ÍIÖgË!òpÐUÈ�ÊrÔ�È�ÉUÊ!ËéÌþרÌ�Ëé̵úrÌþ× ô Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô íYlܨî¬É¨Ì�ÍNÉÌ�Ô¬ÇWÍIÈ�ШÇWÎ�εí�òpÎ�ÇhíWÊeØ}�� Ô"#�Ñ<ÊrÔ�ȬØ�ÊrÔ�ò<ÖgרÔ�Ê�%!È�Ö��4ß(õ#ÉUÊ_ÇWÎ ô ÖWØN̵È�É¨Ë óFÖWجÕp×pð¨Ì�× ô ÇéÑ<ÊrÔ�ȬØ�ÊrÔ�ò<ÖgרÔ�ÊÈ�Ö¦Ç ô Ì�ñWÊrפÑ<ÊrɨÇrñD̵ÖWجÔ�È�ØNÇ1È�Ê ô í�ÌþÔ ô ̵ñWÊr׫Ì�×�È�ɨÊ�óEÖgÎþεÖhî¬Ìþ× ô Ô�ÊrÍIÈ�̵Ög×°ß

ÁR�

Page 18: The Complexity of Two-Person Zero-Sum Games in Extensive Form ...

��!�� �=-/021&3H-70��@E;%�0 - > � 5�� �<5��J-/3��i)<1HA��@-/3�� -�� 1&3H-�� 5�� ���̵ñWÊr×�ÇW×�í ô ÇWË!Ê�È�Ø�ÊeÊ�î¬ÉUÊeØcʬòpÎ�ÇhíWÊeØ|��ɨÇWÔ$ò<ÊeØ�óEÊrÍIÈ$Ø�ÊrÍeÇWÎ�Î�Ü�î$ʲÍeÇW×�ÕPרðéÈ�ÉUʲÑ<ÊrÔ�È$Ø�ÊrÔ�ò<ÖgרÔ�Ê�ÖWó�òpÎ�ÇhíWÊeØ��È�Ö0ÇW×lí¦Ë¦Ì£ö:ÊrðAÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô íéÖWó¯òpÎ�ÇríWÊeØ��0��ß&�'Ì�Î�Ô�Ög× ��ÁrÂ�������Ô�ÉUÖhî�Ô�È�ɨÇ1È$î¬ÉUÊrצòpÎ�ÇhíWÊeØ��X� Ô�ËéÌ£öDÊrð¦Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô íÆÌ�ÔÕUöDÊrð°Ü:È�ÉUÊ ô ÇWË!Ê�Ø�Êrð¨Ð¨ÍIÊrÔ$È�Ö!Ç�Ög×UÊ4��òpÎ�ÇhíWÊeØ ô ÇWË!Ê �FÖgרεí¦òpÎ�ÇríWÊeØ|��òpÎ�ÇríDÌ�× ô ��î¬ÌµÈ�ÉÆÍcɨÇW×pÍIÊ�Ë!ÖhñWÊrÔeÜUî�ÉUÊeØ�ÊÇWÎ�Î4È�ÉUʤÌ�רóEÖWØc˦Ç1È�̵Ög×�Ô�ÊeÈ�ÔéÇ1Ø�Ê�5,79! ��*�.W1D#�!65�ß �ªÊ¤î¬Ì�Î�Î ô ̵ñWÊǪÔ�ÌþË!òpεÊÆË!ÊeÈ�ÉUÖDð�óEÖWئÍIÖgËéòpÐUÈ�Ì�× ô Ç¡Ñ<ÊrÔ�ÈØ�ÊrÔ�ò<ÖgרÔ�ʲóFØ�ÖgË È�ɨÊ�ÖWØcÌ ô Ì�×pÇWÎ ô ÇWËéÊ_È�Ø�ÊeÊ_ÇW×pð¤È�ÉUÊ�ËéÌ£öDÊrð¤Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô í¤ÖWó�òpÎþÇríWÊeØt�0��ß

ì Ô�Ì�× ô È�ÉUÊ�Ëé̵ö:ÊrðAÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô í¦ÖWó°òPÎ�ÇríWÊeØ��0��Ül̵È�ÌþÔ*ÊrÇWÔ�í!È�Ö0ÍIÖgË!òpÐUÈ�Ê�óEÖWØ$ÊeñWÊeØ�í¦×¨Ö:ðUÊ�<ÆÈ�ɨʬò¨Ø�ÖWÑPÇ1ÑpÌ�Î�̵Èzí�P� <K�!ÖWó�Ø�ÊrÇWÍcÉpÌ�× ô È�ɨÇ1ÈÆ×UÖDðUÊWÜ$ÇWÔcÔ�ШËéÌ�× ô òpÎ�ÇríWÊeØ �0òpÎ�Çhí:ÔAǪòpÐUØ�ÊMÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô í�î¬É¨ÌþÍcÉïðUÖ:ÊrԦרÖWȦØcШÎ�Ê7<ÖgÐUÈeß"��ШØ�ÍeÇWÎþÍeШÎ�Ç1È�̵Ög×MÖWó�ÇÆÑ<ÊrÔ�ȲØ�ÊrÔ�ò<ÖgרÔ�Ê�òpÐUØ�Ê�Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô í ò¨Ø�ÖDÍIÊeÊrð¨Ô²Ñ<ÖWÈ�È�ÖgË�ÐUò�Ü<óEØcÖgË È�ɨÊ�È�ÊeØc˦Ì�רÇWÎ×UÖDðUÊrÔ�È�Ö È�ɨÊAØ�Ö:ÖWÈeÜ*ШÔ�Ìþ× ô È�ÉUÊÆòpÇ1Ø�È�ÌþÇWÎ*ÖWØcðUÊeØ!Ì�×pð¨Ð¨ÍIÊrð,Ög×�È�ÉUʤÌ�×UóFÖWØcËéÇ1È�Ì�Ög×RÔ�ÊeÈ�Ô�ÖWó#òpÎþÇríWÊeØ � ��ÇWÔ0Ì�×�*ØcÖWò?ÖgÔc̵È�̵Ög× �:ßµß�ÁR�Nß,Ó$ÖgרÍeÐUØcØ�Êr×lÈ�Î�íMî¬Ì�È�É,È�ÉUÊÆÍIÖgË!òpÐUÈ�Ç1È�̵Ög×�ÖWó#È�ÉUÊAÑ<ÊrÔ�È_Ø�ÊrÔ�ò?Ög×pÔ�ʦÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô íWÜ�î$Ê�ÇWÎ�Ô�ÖÍIÖgË!òpШÈ�Ê$óFÖWØ�ÊrÇWÍcÉ!×UÖDðUÊ <¯ÜWDzñ ÇWÎþÐUÊ��:� <K�Nß�õ#ɨÌþÔ¯Ø�ÊeòpØ�ÊrÔ�Êr×�È�ÔYÈ�ɨÊ$ÍIÖgרðp̵È�̵ÖgרÇWÎ�ÊIö:ò<ÊrÍIÈ�Êrð�òpÇhíWÖ1÷ÆÈ�Ö�òpÎ�ÇhíWÊeØ��Ü ô ̵ñWÊrפÈ�ɨÇ1È < Ì�Ô4Ø�ÊrÇWÍNÉUÊrð«ÇWרð¤È�ÉpÇ1È#Ç!Ñ<ÊrÔ�È4Ø�ÊrÔ�ò<ÖgרÔ�Ê�Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô í«ÌþÔ(ШÔ�Êrð¤Ì�×ÆÈ�ÉUÊ_ÔcÐUÑ ô ÇWË!Ê�ÖWØcÌ ô ÌþרÇ1È�Ì�× ôÇ1È <Yß

õ#ɨÊ�ÍIÖgרÔ�È�ØcШÍIÈ�Ì�Ögפò¨Ø�ÖDÍIÊeÊrð¨Ô#ÇWÔ¬óEÖgÎ�Î�Öhî¬ÔeÙ

� �¨ÖWجÊeñWÊeØ�í¤È�ÊeØc˦Ì�רÇWÎ<×UÖDðUÊC6UÜ�s� 6V�Bm*u=pR� 6a�DC

� �¯ÊeÈD<¤Ì�Ô�Ç_×UÖDðUʬרÖWÈ�Ñ<ÊrεÖg× ô Ì�× ô È�Ö�òpÎþÇríWÊeØ��NÜ:Ô�ШÍcÉAÈ�ɨÇ1È��AÇW×pð�Y²É¨ÇhñWÊ�Ñ<ÊeÊr×ÆÍIÖgË!òpÐUÈ�Êrð¦óEÖWØ4ÇWÎ�ΨÖWó< Ô(ÍcɨÌþÎ�ðUØ�Êr×°ß�õ#ÉUÊ�×UÖDðUÊ <«Ì�Ô$Êr̵È�ÉUÊeØ(Ç!ÍcÉpÇWרÍIÊ�×UÖDðUÊ�ÖWØ(Ç!×UÖDðUʲÖWó¯òpÎþÇríWÊeØE�0��ßa��×ÆÊr̵È�ÉUÊeØ(ÍeÇWÔ�ÊWÜUî$ÊÍeÇW×RÍIÖgË!òpÐUÈ�Ê � � � <p�am �P� <;q V�' �P� <p�NÜYî¬ÉpÌ�ÍcÉ¡Ì�Ô²È�ÉUÊ0ò¨Ø�ÖWÑPÇ1ÑpÌ�Î�̵Èzí�È�ɨÇ1È�È�ÉUÊ!ðUÊrÍeÌ�Ô�Ì�Ög× Ì�Ô²È�Ç1øWÊr×Ç1È�< ô ̵ñWÊr׫È�ɨÇ1È <MÌþÔ(Ø�ÊrÇWÍcɨÊrð°ß��ªÊ�ð¨ÊeÕp×UÊ

�s� <p��mt - � 0� 5 p � � � <p��s� <;q V�GC

� �¯ÊeÈ � m;� � p q C C C�q�� �G��Ñ?Ê�ÇW׫Ìþ×UóEÖWØNËéÇ1È�̵ÖgפÔ�ÊeÈ#Ñ<ÊrεÖg× ô Ì�× ô È�ÖéòpÎ�ÇhíWÊeØt�NܨÔcШÍcɤÈ�ÉpÇ1È�«ÇWרðiY_ɨÇhñWÊÑ<ÊeÊr×�ÍIÖgË!òpÐUÈ�ÊrðRóEÖWØ�ÇWÎ�Î�È�ÉUÊÆÍcɨÌ�ÎþðUØ�ÊrסÖWó(ÇW×lí,רÖ:ðUÊAÌ�×��éߤÏDÌþרÍIÊéòpÎ�ÇhíWÊeØ���ɨÇWÔ_ò?ÊeØcóEÊrÍIÈ�ØcÊrÍeÇWÎ�Î�ÜÉpÌ�Ô*Ö�î¬×¦òpØ�Êeñ:Ì�ÖgШÔ*ðUÊrÍeÌ�Ôc̵ÖgרÔ*ÍeÇWררÖWÈ$Ì�×��pÐUÊrרÍIÊ(î¬ÉpÌ�ÍcÉéרÖ:ðUʲÌ�× � Ì�Ô�Ø�ÊrÇWÍcɨÊrð°Ü�ÑPÐUÈ�ÖgרÎ�í�î�ÉUÊeÈ�ÉUÊeØ� Ì�Ô�Ø�ÊrÇWÍcÉUÊrðªÇ1È�ÇWÎ�Î�ß ��× ÖWÈ�ÉUÊeØ�î�ÖWØcðpÔeÜ°ÇÆרÖ:ðUÊ��GV�� Ì�Ô�ØcШεÊrðMÖgÐUÈ�̵ó*ÇWרð Ögרεí«Ìµó�ÊeñWÊeØ�íM×UÖDðUÊ� �;V ��Ì�Ô#ØNШεÊrð¤ÖgÐUÈeß#õ¬ÉUÊeØ�ÊeóFÖWØ�ÊWÜP×UÖÆËéÇ1È�È�Êeزî¬É¨Ç1È�Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô í«òpÎ�ÇhíWÊeØ �#ÐpÔ�ÊrÔeÜpÈ�ɨÊ�ШרÍIÖg×pð¨ÌµÈ�̵ÖgרÇWÎòpØ�ÖWÑpÇ1ÑpÌ�Îþ̵Èyí!ÖWóYØ�ÊrÇWÍcɨÌþ× ô È�ÉUÊ�×UÖDðUÊrÔ4Ì�×�� î¬Ì�ÎþÎpÊr̵È�ɨÊeØ$Ñ<Ê �P� �b��óFÖWØ#ÇWÎ�Î�V � ÖWØ#Ä�óFÖWØ#ÇWÎ�Î��V �éß��×�È�ÉUÊ�Ô�ÊrÍIÖg×pð«ÍeÇWÔ�ÊWܨÈ�ÉUÊ�ð¨ÊrÍeÌ�Ô�̵Ög×�Ç1È �3ɨÇWÔ(×UÖ!ÊI÷<ÊrÍIÈeß�õ#É:ШÔeÜDÈ�ÉUÊ�ð¨ÊrÍeÌ�Ô�̵Ög×�Ç1È �3ÍeÇWפÑ<Ê�ËéÇWðUÊÐpÔ�Ì�× ô È�ÉUÊ#òpØ�ÖWÑpÇ1ÑpÌ�Îþ̵È�̵ÊrÔ �P� �b�NÜDÌ�רðUÊeò<ÊrרðUÊr×�È�εí�ÖWó°ÇW×�í0ð¨ÊrÍeÌ�Ô�̵Ög×0È�ɨÇ1È�î¬Ì�Î�Î:Ñ<Ê#ËéÇWðUÊ#Î�Ç1È�ÊeØ�Ög×°ß �ªÊÈ�ɨÊeØ�ÊeóEÖWØcʬÍcÉUÖ:ÖgÔ�Ê Ya� � ��È�Ö_Ñ<Ê(È�ÉUÊ�ðUÊrÍeÌ�Ô�̵Ög× pÜPÁCB SB p� � �NÜlî�ɨÌ�ÍcɦËéÇ öDÌþËé̵úeÊrÔ�È�ÉUÊ#ÊIöDò¨Ø�ÊrÔcÔ�̵Ög×

�Q 5 p �P� �4Q3��s� �4Q q V� C

�ªÊ�È�ÉUÊr׫ðUÊeÕP×UÊ�:� � Q3�Bm �s� �4Q q V�DC

õ#ɨÊ�ÍIÖgË!òpεÊIöU̵ÈyíÆÖWó�ðUÊrÇWÎ�Ì�× ô î¬Ì�È�É�ÊrÇWÍcÉ ×UÖ:ð¨Ê�ÌþÔ#Î�Ì�×UÊrÇ1Ø(Ì�×�È�ɨÊ_×�ÐpË_Ñ<ÊeØ(ÖWó�Êrð ô ÊrÔ#ÊrËéÇW×pÇ1È�Ì�× ô óFØ�ÖgËÈ�ÉUÊé×UÖDðUÊéШ×pðUÊeØ�ÍIÖgרÔ�Ì�ðUÊeØNÇ1È�̵Ög×°ß!õ#ÉUÊeØ�ÊeóFÖWØ�ÊWÜYÈ�ÉUÊéÇWÎ ô ÖWØc̵È�ÉpË ØcШרÔ�Ì�סÈ�ÌþË!ÊéÎ�Ì�×UÊrÇ1Ø�Ì�סÈ�ɨÊéÔ�̵úeÊ!ÖWó4È�ÉUÊÈ�Ø�ÊeÊWß

ÁrÃ

Page 19: The Complexity of Two-Person Zero-Sum Games in Extensive Form ...

��!�� �EJ' � �1H)#%�9 1HAB-L' 5I+ �r'*)#% >@-/AB5:C�)#EF3X0�183H5I18-:9����×�ÏDÊrÍIÈ�̵Ög× �:ßd� î�ʤÔ�ɨÖhî$Êrð�ÉUÖhî È�Ö¡óFÖWØcË�ÐpÎ�Ç1È�Ê�È�ÉUʤËéÇ öa�y˦Ì�×ùÑ?ÊrÉpÇrñD̵ÖWØ!Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô íùÖWó�Ç òpÎ�ÇhíWÊeØ!î¬ÌµÈ�Éò<ÊeØ�óFÊrÍIȯØ�ÊrÍeÇWÎ�Î�ÇWÔYDzÎ�Ì�רÊrÇ1Ø�ò¨Ø�Ö ô ØcÇW˦ËéÌ�× ô òpØ�ÖWÑpεÊrˤßYõ#ÉUÊ�×:ШË�Ñ<ÊeدÖWó¨ÍIÖgרÔ�È�ØNÇWÌ�×lÈ�Ô�Ì�×�ÖgШØYØ�ÊeòpØ�ÊrÔ�Êr×�È�Ç1È�̵Ög×ÖWó�È�ÉUÊMò¨Ø�ÖWÑpεÊrË Ì�ÔéÊrý:ШÇWÎ�È�ÖRÈ�ÉUÊ ×�ШË�Ñ<ÊeئÖWó�òpШØ�ÊÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô Ì�ÊrÔAÖWó�È�ɨÊÖWÈ�ÉUÊeØÆòpÎ�ÇhíWÊeØrß õ#ɨÌ�Ô¦ÍeÇW× Ñ<ÊÊIöDò?ÖgרÊr×lÈ�Ì�ÇWΰÌþ×AÈ�ɨÊ�Ô�̵úeÊ�ÖWó�È�ÉUÊ ô ÇWË!Ê�È�Ø�ÊeÊWܨî�ɨÌ�ÍcÉ�î$ÖgШÎ�ð�Ô�ÊeÊrË È�ÖéÊr×lÈ�ÇWÌþΰÇWפÊIö:ò<Ög×UÊr×�È�Ì�ÇWΰÇWÎ ô ÖWØN̵È�ɨˤß

�UÖWØcÈ�ШרÇ1È�ÊrεíWÜ°ÖgÐUزò¨Ø�ÖWÑPεÊrË Ñ<ÊrεÖg× ô Ô#È�Ö¤ÇAÍeÎþÇWÔ�Ô²ÖWó�ÍIÖgË_ÑPÌ�רÇ1È�ÖWØcÌ�ÇWÎYÖWò¨È�Ì�˦̵úrÇ1È�̵Ög×Mò¨Ø�ÖWÑpεÊr˦Ô#î¬É¨ÌþÍcÉɨÇhñWÊ�ò?ÖgÎ�í:×UÖg˦Ì�ÇWÎY��È�Ì�Ë!Ê"#�Ô�ÊeòpÇ1ØcÇ1È�̵Ög×ÆÖWØcÇWÍeÎ�ÊrÔeß %���Î�È�ÉUÖgÐ ô ÉAî�Ê�ɨÇhñWÊ�ÊIö:ò<Ög×UÊr×�È�Ì�ÇWÎ�εíé˦ÇW×lí¦Ìþ×UÊrý�ÐpÇWÎ�̵È�̵ÊrÔeÜÈ�ÉUÊeØ�ÊAÊIöDÌþÔ�È�Ô�Çò<Ögεí:רÖgËéÌ�ÇWÎ�È�Ì�ËéʦÇWÎ ô ÖWØc̵È�ÉpË���È�ɨÇ1È�È�ÊrÔ�È�Ô�î¬ÉUÊeÈ�ÉUÊeØ0Ç ô ̵ñWÊr×�ò<ÖgÌ�×�È_Ô�Ç1È�Ì�Ô�ÕpÊrÔ�ÇWÎ�Î�È�ÉUÊÌ�×UÊrý:ШÇWÎ�Ì�È�̵ÊrÔeÜ1ÇWרð!̵óp×UÖWÈeÜlÕpרð¨Ô�Ç�ñ:Ì�ÖgÎ�Ç1È�Êrð0Ög×UÊWß��UÖWØ�È�ɨÌ�Ô�ÍeÎþÇWÔ�Ô�ÖWóPò¨ØcÖWÑpεÊrËéÔeÜ1È�ÉUÊ4ÊrÎ�Îþ̵òpÔ�ÖgÌ�ð�Ë!ÊeÈ�ÉUÖDð!ÍeÇW×Ñ<Ê_Ç1ò¨òpÎþ̵Êrð¤È�ÖAÔ�ÖgεñWÊ�È�ɨÊ�ÍIÖgË�ÑpÌ�רÇ1È�ÖWØcÌþÇWΰÖWò¨È�Ì�ËéÌ�úrÇ1È�̵Ög׫ò¨ØcÖWÑpεÊrË Ì�×ò<Ögεí:רÖgËéÌ�ÇWÎ<È�Ì�Ë!Ê ��Ô�ÊeÊ ��Ø�ÖWÈ�Ô�ÍcɨÊrÎ. 1|(�* � ÁrÂWÃWà � �4ÇWÔ(î$Ê_Ô�ɨÖhî Ñ<ÊrεÖ�î�ß

��× ÖgÐUØ�ò¨Ø�ÖWÑpεÊrË«Ü#È�ÉUÊeØ�ʪÇ1Ø�Ê¡Èyî$Ö�Èyí:ò<ÊrÔ�ÖWó�Ì�רÊrý�ШÇWÎþ̵È�̵ÊrÔeß���̵ØcÔ�ÈeÜ�î�ʪɨÇhñWʪÈ�ÉUÊ¡Êrý�ШÇ1È�Ì�ÖgרÔÆÈ�ɨÇ1ÈÍIÖgרÔ�È�ØNÇWÌ�×�È�ÉUÊ*ñWÊrÍIÈ�ÖWØ ��È�Ö¬ðUÊrÔcÍIØc̵Ñ<Ê�Ç(Ñ<ÊrɨÇrñD̵ÖWدÔ�È�ØNÇ1È�Ê ô í�ÖWó�òpÎþÇríWÊeØs�X�Nß'�ªÊ�ÇWÎþÔ�֬ɨÇhñWÊ�È�ÉUÖgÔ�Ê�Ì�×UÊrý:ШÇWÎ�̵È�̵ÊrÔî¬É¨ÌþÍcÉ�Ë!ÖDðUÊrÎ?È�ÉUÊ�Ø�Êrý:Ш̵Ø�ÊrË!Êr×�È$È�ɨÇ1È(È�ɨÌ�Ô4Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô í ô ШÇ1ØNÇW×lÈ�ÊeÊ_Ç0ÍIÊeØ�È�ÇWÌþפñ ÇWÎþÐUÊ²Ç ô ÇWÌþרÔ�È#ÇWÎ�Î<Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô Ì�ÊrÔÖWó�òpÎ�ÇhíWÊeØ}��ÜPÇWÔ²ðUÊrÔ�ÍIØcÌ�Ñ?Êrð¤Ç1Ñ<Ö�ñWÊW߬õ#ÉUÊ_Ô�ÊeòpÇ1ØcÇ1È�̵Ög×ÖWØcÇWÍeεÊ�רÊeÊrð¨Ô#È�Ö�ÍcÉUÊrÍcø̵ó�ÇWÎ�Î�È�ɨÊ�Ì�×UÊrý:ШÇWÎ�Ì�È�̵ÊrÔ(Ç1Ø�ÊÔ�Ç1È�Ì�Ô�Õ¨Êrð°Ü�ÇWרð�̵ó(×UÖWÈeÜ*È�Ö¡Õpרð�ÇñD̵ÖgÎ�Ç1È�Êrð�Ì�רÊrý�ШÇWÎþ̵ÈyíWßG�UÖWØ!È�ÉUÊ�Ì�×UÊrý:ШÇWÎ�̵È�̵ÊrÔ�ÖWó#È�ÉUÊ�Õ¨ØcÔ�È�Èyí:ò<ÊWÜ�È�ɨÌ�ÔÈ�ÊrÔ�È!Ì�Ô�ÊrÇWÔ�Ì�Î�í,ÇWÍeÍIÖgË!òpÎ�Ì�ÔcÉUÊrð�Ìþ×Rò<ÖgεíD×UÖgËéÌ�ÇWÎ�È�Ì�Ë!ÊWßP�UÖWØ!È�ÉUÊ�Ì�×UÊrý:ШÇWÎ�Ì�È�̵ÊrÔ�ÖWó#È�ɨÊ�Ô�ÊrÍIÖgרðùÈyí:ò?ÊWÜ�È�ɨÌ�ÔÌ�Ô!ÊrÔcÔ�Êr×lÈ�ÌþÇWÎ�εíùÈ�ÉUÊ«Ñ<ÊrÔ�È!Ø�ÊrÔ�ò<ÖgרÔ�Ê«ÇWÎ ô ÖWØc̵È�É¨Ë ðUÊrÔ�ÍIØc̵Ñ<Êrð�Ì�×�È�ɨʫò¨Ø�ÊeñD̵ÖgШÔéÔ�ÊrÍIÈ�̵Ög×°ß �|ÈéÕp×pð¨Ô!ǪÑ<ÊrÔ�ÈØ�ÊrÔ�ò<ÖgרÔ�Ê^Y0ÖWó�òpÎ�ÇríWÊeØ���È�Ö�Ç�ÍIÊeØ�È�ÇWÌþ×MÑ<ÊrɨÇhñ:Ì�ÖWزÔ�È�ØNÇ1È�Ê ô íWÜYË!ÖDðUÊrεÊrðMÑ�í �4Ü?ÖWó�òpÎ�ÇhíWÊeØ��X�NßL�zó�È�ÉUÊ0òpÇríWÖ1÷È�Ö�òpÎ�ÇhíWÊeØ��X�¬Ì�Ô²Ç1È�Î�ÊrÇWÔ�È�È�ɨÊ0ÍeШØ�Ø�Êr×�È ��Ü<È�ÉUÊrסÇWÎ�ίÈ�ɨÊ�Ì�רÊrý�ШÇWÎþ̵È�̵ÊrÔ#ÖWó�È�ÉUÊ�Ô�ÊrÍIÖgרð¡Èyí:ò<Ê�Ç1Ø�Ê!Ô�Ç1È�ÌþÔ�Õ¨Êrð°ß�|ó�×UÖWÈeÜ°È�ÉUÊr× È�ÉUÊ0Ì�×UÊrý:ШÇWÎ�̵Èzí«ÇWÔ�Ô�ÖDÍeÌ�Ç1È�Êrð¡î¬ÌµÈ�ÉXY!Ì�Ô²ÇÆñ:Ì�ÖgÎ�Ç1È�Êrð¡Ì�×UÊrý:ШÇWÎ�̵ÈzíWß � ÇWÔ�Êrð¡ÖgסÈ�ÉUÊ0Ô�ÊeòpÇ1ØNÇ1È�̵Ög×ÖWØcÇWÍeεÊ�ðUÊeÕp×UÊrð!Ç1Ñ<ÖhñWÊWÜ:È�ÉUÊ(ÊrÎ�Îþ̵òpÔ�ÖgÌ�ð�ÇWÎ ô ÖWØcÌ�È�É¨Ë ô ̵ñWÊrÔ*ÐpÔ*Ç�ò<ÖgεíD×UÖgËéÌ�ÇWÎ�È�Ì�Ë!Ê#ÇWÎ ô ÖWØN̵È�ɨˤÜlÌþ×0È�ÉUʬÔ�̵úeÊ(ÖWóÈ�ÉUÊ ô ÇWË!Ê�È�Ø�ÊeÊWÜUóFÖWØ$ÕPרð¨Ì�× ô ËéÇ öa�y˦Ì�×AÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔ(Ì�×AÇ ô ÇWËéʲî�ÉUÊeØ�ʲÑ?ÖWÈ�ÉAòpÎ�ÇhíWÊeØcÔ4ɨÇrñWÊ�ò<ÊeØ�óFÊrÍIÈ�ØcÊrÍeÇWÎ�Î�ß

��!�� �\-:3�� -�� 1i' -/' EF3 � 5f%g. ��5f381H)<5�� � � EF36.�-:3H-/.() %�� EF36' 5I1H)<EJ%�0 -D1H0

�ªÊMÔcÉUÖhî$Êrð Ì�× �*Ø�ÖWò<ÖgÔ�̵È�Ì�Ög× �:ßµß�ÁÈ�ɨÇ1ȦÈ�ɨʫØ�ÊrÎ�Ç1È�̵Ög×� ô ̵ñWÊrÔ¦ÇRóEÖWØcÊrÔ�ȦÔ�È�ØcÐpÍIÈ�ÐUØ�ʤÈ�ÖRÈ�ɨʫóFÇW˦Ì�εíRÖWóÌ�×UóFÖWØcËéÇ1È�Ì�Ög× Ô�ÊeÈ�Ô¤ÖWó�Ç�òpÎþÇríWÊeؤî¬ÌµÈ�É ò<ÊeØ�óFÊrÍIȤØ�ÊrÍeÇWÎ�Î�ß ��× È�ÉUʪÖWÈ�ÉUÊeØÉpÇWרð°Ü¬È�ÉpÌ�ÔÆØ�ÊrÎ�Ç1È�̵Ög× ËéÇhí Ñ<ÊóFÖWØcË ÇAóFÖWØ�ÊrÔ�È�ÊeñWÊrסî¬É¨Êr×MÈ�ɨÊ�òPÎ�ÇríWÊeØ�ðUÖ:ÊrÔ�×UÖWÈ�ɨÇrñWÊ!ò<ÊeØ�óFÊrÍIÈ�Ø�ÊrÍeÇWÎ�Î�ßl�UÖWØ�ÊIöUÇWË!òpÎ�ÊWÜ<Ìþ×È�ÉUÊ ô ÇWË!Ê!ÖWóü�öUÇWË!òpÎ�Ê��:ßµß�ÁW�:ÜYòpÎ�ÇhíWÊeØ��0��ÉpÇWÔ�Èyî$ÖÌ�×UóFÖWØcËéÇ1È�̵ÖgסÔ�ÊeÈ�ÔrÜ�Ög×UÊ!ÖWó$î¬É¨Ì�ÍNÉ ÌþÔ�È�ɨÊéÍcɨÌ�ÎþðMÖWó$È�ÉUÊ!ÖWÈ�ÉUÊeØhÜ�ÑpÐUÈðUÖ:ÊrÔ#×UÖWȬÉpÇrñWÊ�ò<ÊeØ�óFÊrÍIÈ#Ø�ÊrÍeÇWÎ�Î�ß

�ªÊ!ÍeÇW× ò¨Ø�Ö�ñ:Ì�ð¨Ê_Ô�ÖgË!Ê0Ì�×�È�Ш̵È�̵Ög×óEÖWزÈ�ÉUÊ ô Êr×UÊeØcÇWÎ�ÍeÇWÔ�Ê0ÖWó�ÇéóFÖWØ�ÊrÔ�ȲÖWó�Ì�×UóFÖWØcËéÇ1È�Ì�Ög×Ô�ÊeÈ�Ôeß �ªÊ0Ô�ÇríÈ�ɨÇ1ȬÇ0òPÎ�ÇríWÊeØ#î�ÉUÖgÔ�Ê�ó�ÇWËéÌ�εíéÖWó�Ì�רóEÖWØc˦Ç1È�̵Ög×�Ô�ÊeÈ�Ô(óFÖWØcËéÔ#Ç0óFÖWØ�ÊrÔ�È#ɨÇWÔ �6.4%�+ . � 1�& .4&)#�%�� ßE��ÇWË!ÊrÔ¬î¬ÌµÈ�Éò<ÊeØ�óFÊrÍIȲË!ÊrËéÖWØ�í¤î�ÊeØcÊ�Õ¨ØNÔ�È�ðUÊeÕP×UÊrðÑ:í �²ø1ÇWð¨Ç���ÁrÂWÃ����Nß��YÊeØcóEÊrÍIÈ�Ë!ÊrË!ÖWØcí«Ë!ÊrÇWרԲÈ�ɨÇ1ȲÊeñWÊr×MÈ�ɨÖgÐ ô ÉÇ«òPÎ�ÇríWÊeØ!ËéÇhí,×UÖWÈ_Ø�ÊrËéÊrË_Ñ<ÊeØ0ɨÌ�Ô�òpØ�Êeñ:Ì�ÖgШÔ�Ë!Ö�ñWÊrÔeÜ*ÉUÊAרÊeñWÊeØ�óFÖWØ ô ÊeÈ�Ô�ÇW×lí:È�ɨÌ�× ô ÉUÊAÖgרÍIÊAøD×UÊeî�ß �×:ШË_Ñ<ÊeØ(ÖWó�Ë�ШεÈ�ÌY�yÇ ô Êr×�È ô ÇWË!ÊrԲɨÇrñWÊ_ÔcШÍcɫǦÔ�È�ØcШÍIÈ�ÐUØcÊWß

�|ÈéÌ�Ô!Ì�×�È�ÊeØ�ÊrÔ�È�Ì�× ô È�Ö,Ì�×lñWÊrÔ�È�Ì ô Ç1È�Ê«È�ÉUÊÍIÖgËéòpεÊIöU̵Èyí�ÖWó²ÕPרð¨Ì�× ô ËéÇ öV�yËéÌ�×�Ñ<ÊrɨÇrñD̵ÖWØéÔ�È�ØNÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔéóFÖWØô ÇWË!ÊrÔ¬î¬ÌµÈ�ÉÆò<ÊeØ�óEÊrÍIÈ#ËéÊrË!ÖWØ�íWß�ü*öDÇWË!òPεÊ��:ßµß�ÁW�éÔ�ÉUÖ�î¬Ô4È�ɨÇ1È#ÊeñWÊr׫óEÖWجÇ0òPÎ�ÇríWÊeØ#î�̵È�É�ò<ÊeØ�óEÊrÍIÈ(Ë!ÊrËéÖWØ�íWÜÇÆËéÇ öa�y˦Ì�׫Ñ<ÊrɨÇhñ:̵ÖWزÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô í˦ÇríШÔ�Ê�̵Ø�ØNÇ1È�̵ÖgרÇWÎ�×:ШË�Ñ?ÊeØNÔeß#õ#É:ШÔeÜPÌ�ȬÍeÇWר×UÖWȲÑ<Ê_óFÖWØcË�ÐpÎ�Ç1È�ÊrðÇWÔ�ÇÎ�Ì�רÊrÇ1Ø�ò¨Ø�Ö ô ØcÇWËé˦Ì�× ô ò¨Ø�ÖWÑpεÊrË«ß)��סÈ�ÉUÊéÖWÈ�ÉUÊeØ_ÉpÇWרð°Ü�È�ÉUÊéû����yÉpÇ1Øcð¨×UÊrÔ�Ô�òpØ�Ö�ÖWó4×U֫εÖg× ô ÊeØ�ÉUÖgÎ�ð¨Ô�óFÖWØÈ�ɨÌ�Ô¬ÍeÇWÔ�ÊWÜ?ÇWÔ�È�ÉUÊ_Ìþ×UóEÖWØNËéÇ1È�̵Ög׫Ô�ÊeÈ�ԲШÔ�ÊrðÌ�× �*ØcÖWò?ÖgÔc̵È�̵Ög×��:ßµß ÝéØ�Êrý�Ðp̵Ø�Ê�ǦËéÖWØ�Ê�ÍIÖgË!òPεÊIö«Ì�×UóFÖWØcËéÇ1È�̵Ög×Ô�È�ØcÐpÍIÈ�ÐUØ�ÊWß���פòpÇ1Ø�È�Ì�ÍeÐpÎ�Ç1ØrÜpÓ$ÖWØ�ÖgÎ�ÎþÇ1Ø�í �:ßµß Ã¦×UÖéεÖg× ô ÊeجÇ1òpòpÎ�̵ÊrÔeß

ÁrÂ

Page 20: The Complexity of Two-Person Zero-Sum Games in Extensive Form ...

��ÇWËéÊrÔ4î¬ÌµÈ�ÉÆò<ÊeØ�óEÊrÍIÈ4Ë!ÊrË!ÖWØcí¦óFÖWØcË�Ç�ÔcÐUÑ°ÍeÎ�ÇWÔ�Ô*ÖWóYÈ�ÉUÊ�ÍeÎ�ÇWÔ�Ô$ÖWó ô ÇWËéÊrÔ4î¬ÉUÖgÔ�Ê�ÍIÖgË!òpÎ�ÊeÈ�Ê�Ìþ× �pÇ1È�̵Ög×ɨÇWÔ(ò<ÊeØ�óFÊrÍIÈ(Ø�ÊrÍeÇWÎ�Î�ß

õ#ɨÊAÈ�ÊeØcË #�ÍIÖgË!òPεÊeÈ�ʤÌ�× �pÇ1È�̵Ög× %«î4ÇWÔ�ð¨ÊeÕp×UÊrð�Ñ�íRÚ�ÇWεøWÊeí ��ÁrÂWÛ����Nß �²×�79& & . ��7�(�13. 79!��|(�1n7�#�!,ÖWóÇWסÌ�×UóFÖWØcËéÇ1È�̵Ög×MòpÇ1Ø�È�Ì�È�̵Ög×MÌþÔ�ÇÆòpÇ1Ø�È�Ì�È�̵Ög×î�ÉUÊeØ�Ê�Ög×UÊ�ÖWó�È�ÉUÊ!Ì�×UóFÖWØcËéÇ1È�̵Ög×MÔ�ÊeÈ�Ô�ɨÇWÔ²Ñ<ÊeÊrסÔ�òpÎ�̵ÈeÜ?Ô�Ö¤ÇWÔÈ�Ö¤ÊrרÇ1ÑpÎ�Ê�È�ɨÊ!òpÎ�ÇríWÊeØ�È�Ö¤ØcÊrË!ÊrË_Ñ<ÊeØ�Ög×UÊ!ÖWó$ɨÌ�Ô²Öhî�תðUÊrÍeÌ�Ô�̵Ög×pÔeß"�²×ªÌ�×UóFÖWØcËéÇ1È�̵Ög×MòpÇ1Ø�È�Ì�È�̵Ög×=S Ì�Ô�ÇW×7�!��|(�1n7n#�!!ÖWó7S � ̵ó<È�ÉUÊeØ�ʲÊIöUÌ�Ô�È;S�p q C C C q<S�t_Ô�ШÍcÉAÈ�ɨÇ1È�S@p�mLS ÇWרð^S�tlmLS � ÇW×pðhS�Q��;p4Ì�Ô�ÇW×�Ì�˦Ë!Êrð¨Ì�Ç1È�ÊÌ�× �PÇ1È�̵ÖgצÖWóISBQYóEÖWØ@M m Á4q C C C�q � Á1ßP�²×¤Ì�×UóFÖWØcËéÇ1È�̵Ög×AòpÇ1Ø�È�Ì�È�̵Ög×\S �PÌ�Ô4Ç � #�& �L*�.W13.�7�!��E(�1n7�#�!¦ÖWóIS ̵ó�̵ÈÌ�Ô(ÇW×MÌ�× �pÇ1È�̵Ög×ÆÖWó�S ÇWרððUÖ�ÊrÔ¬×UÖWÈ#ɨÇrñWÊ�ÇW׫Ì�ËéËéÊrð¨Ì�Ç1È�Ê�Ì�× �PÇ1È�̵Ög×°ß

Ú�ÇWεøWÊeí���ÁrÂWÛ����4Ô�ÉUÖ�î¬Ô$È�ɨÇ1È$Ìþ× �pÇ1È�Ì�× ô È�ÉUÊ�Ì�×UóFÖWØcËéÇ1È�̵Ög×AòpÇ1Ø�È�̵È�Ì�ÖgרÔ�Ì�×ÆÇ ô ÇWË!Ê�ò¨Ø�ÖDð¨Ð¨ÍIÊrÔ$ÇW×ÆÊrý�ШÌ�ñ2�ÇWεÊr×�È ô ÇWËéÊWÜ�Ì�ß ÊWßµÜ�óEÖWØ!ÇW×�í,òpÐUØcʦÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô íùÍIÖgË_ÑpÌþרÇ1È�̵Ög×ùÌ�×,È�ÉUÊ�Ì�× �PÇ1È�Êrð ô ÇWË!ÊWÜ*È�ɨÊeØ�ÊAÊIöUÌ�Ô�È�Ô�ÇMòpÐUØ�ÊÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô íªÍIÖgË�ÑpÌ�רÇ1È�Ì�Ög× Ìþ×MÈ�ɨÊ!ÖWØcÌ ô Ì�רÇWÎ ô ÇWË!Êéî�ɨÌ�ÍcÉ ô ̵ñWÊrÔ�È�ɨÊéÔ�ÇWË!Ê!òpÇhíWÖ1÷�ß � ÇWÔ�ÊrðªÖgתÈ�ɨÌþÔ�ØcÊrÔ�ШεÈeÜÖgÐUØ�Ñ?ÊrÔ�È�Ø�ÊrÔ�ò<ÖgרÔ�ÊéÇWÎ ô ÖWØc̵È�ɨË�ÖWó�ÏDÊrÍIÈ�̵Ög× �:ß �ÍeÇW×RÑ<ÊéË!ÖDð¨ÌµÕ¨Êrð¡È�֠ɨÇWרð¨Î�Ê ô ÇWË!ÊrÔ_î�ÉUÖgÔ�ʦÍIÖgË!òPεÊeÈ�ÊÌ�× �PÇ1È�̵Ög×ïɨÇWÔ¦ò?ÊeØcóEÊrÍIÈéØcÊrÍeÇWÎ�Î�Ü(ÇWרðïÌ�×ïòpÇ1Ø�È�Ì�ÍeШÎþÇ1ØrÜ ô ÇWËéÊrÔ¦î¬Ì�È�É�ò<ÊeØ�óEÊrÍIÈÆË!ÊrË!ÖWØ�íWßM�¬ÊrÍeÇWÎ�Î#È�ɨÇ1ÈAÈ�ÉUÊÇWÎ ô ÖWØcÌ�È�ɨË�Ì�ר̵È�Ì�ÇWÎþεí�È�Ç1øWÊrÔ¬Ç ô ÇWË!Ê�È�Ø�ÊeÊ�ÇWרð�Ç0ËéÌ£öDÊrðÆÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô íAóFÖWØ(Ög×UÊ�ÖWó¯È�ɨʲòPÎ�ÇríWÊeØcÔrÜDÇW×pðÆÍIØcÊrÇ1È�ÊrÔ¬ÇÖg×UÊ4��ò<ÊeØcÔ�Ög× ô ÇWË!Ê0È�Ø�ÊeÊ0óFÖWØ�È�ÉUÊ�ÖWÈ�ɨÊeØ�òpÎ�ÇríWÊeØhÜ?î�̵È�ÉÈ�ɨÊ0ÔcÇWË!Ê�Ìþ×UóEÖWØNËéÇ1È�̵Ög× Ô�È�ØcШÍIÈ�ÐUØcÊWß��|ó�È�ÉUÊ0òpÎ�ÇhíWÊeØɨÇWÔ¬ò?ÊeØcóEÊrÍIȬËéÊrË!ÖWØ�íWܨÈ�ÉUÊr×È�ÉUÊ�óFÖgÎ�εÖ�î¬Ì�× ô È�ÊrÍNɨרÌ�ý:ÐUÊ_ÍeÇW×Ñ?Ê�ÐpÔ�Êrð°ß�õ¬ÉUÊ ô ÇWË!Ê�Ì�Ô ô ØcÇWð¨ÐpÇWÎ�εíAÌþ× �pÇ1È�ÊrðШ×�È�Ì�Î�Ì�È�Ì�Ô�ÍIÖgË!òpÎ�ÊeÈ�ÊrεíRÌ�× �PÇ1È�Êrð°ß �²ÍeÍIÖWØcð¨Ì�× ô È�Ö �²ø1ÇWð¨Ç Ô�òpÇ1ò<ÊeØrÜ�È�ÉUÊ�ÍIÖgË!òpεÊeÈ�ʤÌ�× �PÇ1È�̵Ög×,ÖWó ô ÇWËéÊrÔî¬ÌµÈ�É¡ò<ÊeØ�óFÊrÍIÈ_Ë!ÊrËéÖWØ�íªÉ¨ÇWÔ�ò<ÊeØ�óFÊrÍIÈ�Ø�ÊrÍeÇWÎ�Î�ß � Ñ<ÊrÔ�È-��ØcÊrÔ�ò<ÖgרÔ�Ê0òpÐUØ�ÊéÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô í,Ì�Ô�È�ÉUÊr×,óEÖgШ×pðªóEÖWØ_È�ɨÌ�Ô×UÊeî ô ÇWËéÊWß �²ÍeÍIÖWØcð¨Ì�× ô È�ÖMÚ²ÇWÎ�øWÊeí� Ô_Ø�ÊrÔ�ШεÈeܯÈ�ÉUÊeØ�ÊéÌ�Ô�Ç«òpÐUØ�Ê!Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô í,ÌþסÈ�ÉUÊ!ÖWØcÌ ô Ì�×pÇWÎ ô ÇWË!Êéî¬É¨ÌþÍcÉíD̵ÊrÎ�ð¨Ô4È�ÉUÊ�Ô�ÇWË!Ê_òPÇríWÖ1÷�ß#ÏUÌ�רÍIÊ�È�ÉUÊ_Ô�ÊeÈ#ÖWó�Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔ²Ì�פÈ�ÉUÊ_ÖWØcÌ ô Ì�רÇWÎ ô ÇWËéÊ�Ì�Ô#ÇAÔ�ÐUÑpÔ�ÊeÈ(ÖWó�È�ɨÊ_Ô�ÊeȬÖWóÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô Ì�ÊrÔ¬Ì�×�È�ÉUÊ�Ì�× �pÇ1È�Êrð ô ÇWË!ÊWÜPÈ�ɨÌ�Ô(Ô�È�ØNÇ1È�Ê ô í«Ë�ШÔ�È(Ñ?Ê�ÖWòpÈ�Ì�ËéÇWΰÌ�×�È�ÉUÊ_ÖWØcÌ ô Ì�רÇWÎ ô ÇWË!ÊWß

� ÊrεÖ�î î�Ê ô Ì�ñWÊ�ÇWÎ ô ÖWØc̵È�ɨ˦Ô�óFÖWØ(ÕpרðpÌ�× ô È�ɨÊ�ÍIÖgË!òpεÊeÈ�Ê�Ì�×��pÇ1È�̵Ög×ÆÖWóYÇ ô ÇWË!Ê�ÇW×pð�óEÖWØ(È�ØcÇW×pÔ�óEÖWØNËéÌ�× ôÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô Ì�ÊrÔ�Ì�×0È�ɨʬÌ�× �pÇ1È�Êrð ô ÇWË!ʬÈ�Ö�Êrý:Ш̵ñ1ÇWεÊr×�È*Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔrÜ:Ì�ß ÊWßµÜ:Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔ�íD̵ÊrÎ�ð¨Ì�× ô È�ÉUÊ�Ô�ÇWË!ʬòPÇríWÖ1÷°ÔeÜÌ�×�È�ÉUÊ_ÖWØcÌ ô Ì�רÇWÎ ô ÇWË!ÊWß

� [��=�=F)��� Z NO�������'� õYØcÇrñWÊeØcÔ�Ê«ÊrÇWÍcÉ È�Ø�ÊeÊÌ�×�È�ÉUʤóFÖWØ�ÊrÔ�È!ÖWó�Ì�×UóFÖWØcËéÇ1È�Ì�Ög×�Ô�ÊeÈ�Ô!óFØ�ÖgË È�ÉUʤØ�Ö:ÖWÈéðUÖ�î¬×°ßõ#ÉUÊ�Ø�Ö:ÖWÈ!Ì�×UóFÖWØcËéÇ1È�̵Ög×�Ô�ÊeÈéÌþÔ�Î�ÊeóEÈ!ÇWÔéÌ�Ôrß�õ#ÉUÊ�ÇWÎ ô ÖWØcÌ�È�ɨË�ò¨Ø�ÖDÍIÊeÊrð¨Ô0Ø�ÊrÍeÐUØNÔ�̵ñWÊrεíWß �²Ô�Ô�ÐpË!Ê�È�ɨÇ1ÈéÇWÎ�ÎÈ�ÉUÊ«Ì�רóEÖWØc˦Ç1È�̵Ög×�Ô�ÊeÈ�Ô!Ög×�È�ÉUʤòpÇ1È�É�óFØ�ÖgË�È�ÉUʤØcÖ�ÖWÈ!È�ÖªÈ�ÉUÊ«ÍeШØ�Ø�Êr×�È0Ìþ×UóEÖWØNËéÇ1È�̵Ög×�Ô�ÊeÈ _�ÉpÇrñWÊ«Ñ<ÊeÊr×òpÇ1Ø�È�Ì�È�̵Ög×UÊrð°ß*õ#ɨÊ_Ô�ÊeÈV_ ËéÇrí«É¨ÇhñWÊ�Ô�ÊeñWÊeØNÇWÎ�òpÇ1Ø�Êr×�ȬÌ�רóEÖWØc˦Ç1È�̵ÖgפÔ�ÊeÈ�ÔeÜpÔcÇrí ��p q C C C2q �:t�ß �ªÊ_È�ÉUÊeØ�ÊeóFÖWØ�ÊòpÇ1Ø�È�Ì�È�̵Ög× _ïÌ�×�È�Ö�Ô�ШÑpÔ�ÊeÈ�Ô _gp q C C C�q9_�tlÜWÔ�Ö�È�ɨÇ1ÈYÊrÇWÍNÉ0Ô�ÐUÑpÔ�ÊeÈ�Ì�רÍeÎ�ÐpðUÊrÔ�ÍcÉpÌ�Î�ðUØ�Êr×�ÖWóUÖgרεí�Ög×UÊ4Ì�×UóFÖWØcËéÇ1È�̵Ög×Ô�ÊeÈeß ÏDò?ÊrÍeÌ�ÕpÍeÇWÎ�εíWÜ4εÊeÈ�_ Q�Ñ?ÊMÈ�ÉUÊMÔ�ÊeȦÖWó�×UÖDðUÊrÔ � V _�î¬É¨Ì�ÍNÉïÇ1Ø�Ê¡ðUÊrÔ�ÍIÊrרð¨ÇW×�È�ÔAÖWó�ÇR×UÖDðUÊÌ�× �DQ|ßõ#ɨÌþÔ�ò¨Ø�ÊrÔ�ÊeØcñWÊrÔ_È�ÉUÊÆÈ�Ø�ÊeÊ�Ô�È�ØcШÍIÈ�ШØ�ÊWß��UÖWØ0ÊrÇWÍcÉ�×UÊeî�Ì�×UóFÖWØcËéÇ1È�̵Ög×RÔ�ÊeÈ _ Q Ü�ÇWרð�óFÖWØ_ÊrÇWÍcÉ�ð¨ÊrÍeÌ�Ô�̵Ög× pÜ� im Á4q C C C2q p� �:Q3�w�Nܯî$ÊéðUÊeÕp×UÊ _ �Q È�Ö«Ñ<Ê0È�ÉUÊéÔ�ÊeÈ�ÖWó4×UÖDðUÊrÔ��ZV _;Q4î¬É¨Ì�ÍNÉ¡Ç1Ø�ÊéØ�ÊrÇWÍNÉUÊrð,óFØ�ÖgË �:Q�ñDÌ�ÇðUÊrÍeÌ�Ôc̵Ög× pß�õ#ɨÊrÔ�Ê�ÔcÐUÑpÔ�ÊeÈ�Ô²óFÖWØcË È�ÉUÊ0ÕpרÇWÎYòpÇ1Ø�È�̵È�Ì�Ög×MÖWóU_�ß_õ¬ÉUÊ�òpØ�Ö:ÍIÊrÔcÔ�ÍIÖg×lÈ�Ì�×:ÐUÊrÔ�Ø�ÊrÍeШØcÔ�̵ñWÊrεíWßl�|ÈÌ�Ô#ÍeÎ�ÊrÇ1Ø�È�ɨÇ1È�È�ɨÌ�Ô#ÇWÎ ô ÖWØc̵È�É¨Ë ÌþÔ#ò<ÖgεíD×UÖgËéÌ�ÇWÎ<Ì�פÈ�ɨÊ�×:ШË_Ñ<ÊeØ#ÖWó�×UÖDðUÊrÔ�Ì�פÈ�ÉUÊ ô ÇWËéÊ�È�Ø�ÊeÊ �FÑpÐUȬרÖWȬÌ�×È�ÉUÊ_×:ШË�Ñ<ÊeØ(ÖWóYÖWØcÌ ô Ì�רÇWΰÌ�×UóFÖWØcËéÇ1È�Ì�Ög×ÆÔ�ÊeÈ�Ô'�Nß

� Z ZTY N'���������#� � ."7�!W+ #�%'&)(�1n7�#�! �6(�%,1n7n1n7�#�!TS � �a.��P!L.�� 79! P *3�2#�%'7n1 � &� � ����� 795�1 � . � #�& �$* . 13.�79!��|( 1n7�#�! #-+�1 � . #�%,7 ��7�!$(�*��6(�%,1n7n1n7�#�!TS �

% %w#W#-+'&'ü�ÇWÍcɪÔ�È�Êeò¡Ìþ×È�ÉUÊ!ÇWÎ ô ÖWØN̵È�ɨË�Ì�× �pÇ1È�ÊrÔ�È�ÉUÊ0ÖWØcÌ ô Ì�×pÇWÎ�òpÇ1Ø�È�Ì�È�̵Ög×°ß�ÏDÌ�רÍIÊ�È�ÉUÊ�ÕPרÇWίØcÊrÔ�ШεȲɨÇWÔò?ÊeØcóEÊrÍIÈÆØ�ÊrÍeÇWÎ�Î�̵ܲȦóFÖgÎ�εÖ�î¬ÔÆóEØcÖgË È�ɨʠÇWÔ�ÔcШË!ò¨È�̵Ög× ÖWó_ò<ÊeØ�óFÊrÍIÈ�Ë!ÊrË!ÖWØ�íïÈ�ÉpÇ1ÈÆÈ�ÉpÌ�Ô�ɨÇWÔÆÈ�ÖùÑ<Ê È�ÉUÊÍIÖgË!òpεÊeÈ�Ê_Ìþ× �pÇ1È�̵Ög×°ß

�1Ä

Page 21: The Complexity of Two-Person Zero-Sum Games in Extensive Form ...

�ªÊé×UÖ�î ØcШנÈ�ÉUÊ!ÇWÎ ô ÖWØcÌ�È�ɨË�óEÖWØ�ÍIÖgË!òPÐUÈ�Ì�× ô ÇÆÑ<ÊrÔ�È�Ø�ÊrÔ�ò<ÖgרÔ�Ê�Ög×vS � Ü°È�Ö ô ÊeÈ�Ç�òpÐUØ�Ê0Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô íPY �î¬É¨ÌþÍcɤÌ�Ô(Ç!Ñ<ÊrÔ�È(ØcÊrÔ�ò<ÖgרÔ�Ê�È�ÖéÈ�ÉUÊ_˦̣ö:Êrð¤Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô íveªÖWóYòPÎ�ÇríWÊeØ �0�Nß6�²Ô(ÊIöDòpÎ�ÇWÌ�×UÊrð¤Ç1Ñ<Ö�ñWÊWÜIY �?Ì�×pð¨Ð¨ÍIÊrÔ(ÇòpÐUØcÊ4Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô íTY(ÖgצÈ�ÉUÊ(ÖWØcÌ ô Ì�×pÇWÎ ô ÇWËéÊWÜ�î¬Ì�È�É!Ì�ðUÊr×�È�Ì�ÍeÇWÎDòpÇríWÖ1÷�ß*õ#ÉUÊ#ÍIÖg×pÔ�È�ØcШÍIÈ�̵Ög×éÖWófY¬ò¨Ø�ÖDÍIÊeÊrð¨Ô�óFØ�ÖgËÈ�ÉUʲØ�Ö:ÖWÈ�Ô$Ìþ×éÈ�ÉUʲóEÖWØcÊrÔ�È�ÖWó�Ìþ×UóEÖWØNËéÇ1È�̵ÖgצÔ�ÊeÈ�Ô�ÖWó¯òpÎ�ÇríWÊeØ|�*ðUÖ�î¬×AÈ�Ö�È�ÉUÊ�εÊrÇhñWÊrÔeß���ÊeÈ _ Ñ<Ê�Ç�Ø�Ö:ÖWÈ�Ì�×AÈ�ÉUÊóFÖWØ�ÊrÔ�Èeß0ÏUÌ�רÍIÊ _3î$ÇWÔ�רÖWÈ�òpÇ1Ø�È�̵È�̵ÖgרÊrð°Ü<î�Ê!ÍeÇWתðUÊeÕpרÊwYV�,_l�am?Y �n�,_��Nß�õ#ɨÊ�ÍIÖgרÔ�È�ØcШÍIÈ�̵ÖgתÍIÖg×�È�Ì�×:ÐUÊrÔÌ�רðpШÍIÈ�̵ñWÊrεíWß ��ÊeÈ _ Ñ?ÊÆÇW×�Ì�×UóFÖWØcËéÇ1È�̵Ög×�Ô�ÊeÈ�ÔcШÍcÉùÈ�ɨÇ1È�óEÖWØ!ÇWÎ�Î$ÇWרÍIÊrÔ�È�ÖWØNÔ ��ÖWóV_�Ü�YV� � ��ɨÇWÔ�Ñ<ÊeÊr×ðUÊeÕpרÊrð°ß���ÊeÈgU'Ñ<ʲÈ�ÉUÊ�Ô�ÊeÈ4ÖWóY×UÖDðUÊrÔ$Ì�×?_ î�ɨÌ�ÍcÉÆÇ1Ø�Ê�×UÖWÈ$ØcШεÊrð¦ÖgÐUÈ4Ñ�í¦È�ÉUÊ�òPÇ1Ø�È�Ì�ÇWÎ?Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô ívYgß*û�ÖWÈ�ÊÈ�ɨÇ1È*È�ɨʬÇWεØ�ÊrÇWðUí�ðUÊeÈ�ÊeØcËéÌþ×UÊrð0òpÇ1Ø�È�Ô�ÖWóFY�Ç1Ø�ʬÔ�Ð (¦Íe̵Êr×�È�È�Ö�ðUÊeÈ�ÊeØcËéÌþ×UÊ4î¬É¨Ì�ÍNÉ!×UÖ:ð¨ÊrÔ*Ì�× _ È�ɨʬÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô íY�ØcШÎ�ÊrÔ#ÖgÐUÈeß �zÈ�Ì�Ô¬ÍeÎ�ÊrÇ1زóFØ�ÖgË È�ÉUÊ0ÍIÖgרÔ�È�ØcШÍIÈ�Ì�Ög×ÖWóFS �¯È�ɨÇ1ÈaU V=S �Fß �ªÊ!ðUÊeÕP×UÊ^YV�,_l� m Y ���]U��Nß²õ#ÉUÊó�ÇWÍIÈ�È�ɨÇ1È�È�ÉUÊ!ÖWØcÌ ô ÌþרÇWÎYÌþ×UóEÖWØNËéÇ1È�̵Ög× òpÇ1Ø�È�̵È�Ì�Ög× ÌþÔ²Ç�óFÖWØ�ÊrÔ�È�ÌþÔ²ÍIØNШÍeÌ�ÇWÎ�ÉUÊeØ�ÊWß��²È�ÉUÊeØ�î¬ÌþÔ�ÊWÜ°È�ÉUÊeØ�Ê!ËéÌ ô É�ÈɨÇhñWÊ�Ñ<ÊeÊr×éÈzî�Ö�òpÇ1È�ɨÔ�óEØcÖgË3È�ÉUÊ�Ø�Ö:ÖWÈ�Ì�×UóFÖWØcËéÇ1È�Ì�Ög×éÔ�ÊeÈ�È�Ö _�Ü:ÍeÇWШÔ�Ì�× ô U È�Ö�ÍIÖg×lÈ�ÇWÌþ×AË!ÖWØcʬÈ�ɨÇW×AÖg×UʬÖWóÈ�ÉUÊ�Ì�×UóFÖWØcËéÇ1È�̵ÖgפÔ�ÊeÈ�Ô²Ì�× S �Fß|��פÈ�ɨÇ1ȲÍeÇWÔ�ÊWÜ?ÇAÍIÖg× �pÌ�ÍIȬî�ÖgШÎþðɨÇhñWÊ�Ç1ØcÌ�Ô�Êr×Ì�פÈ�ɨÊ�ðUÊeÕp×p̵È�̵Ög×�ÖWóBYa�,_��Nßõ#ÉUÊ�òpØ�Ö:ÍIÊrÔcÔ#×UÖhî�ÍIÖg×lÈ�Ì�×:ÐUÊrÔ¬Ø�ÊrÍeÐUØcÔ�Ì�ñWÊrεíWß

õ#ɨÊòpÇhíWÖ1÷�ÇWÔ�Ô�ÖDÍeÌ�Ç1È�Êrð î¬ÌµÈ�É Y¡ÌþÔ¦Ì�ðUÊr×�È�Ì�ÍeÇWάÈ�Ö�È�ÉUÊMòpÇríWÖ1÷ ÇWÔ�Ô�ÖDÍeÌ�Ç1È�Êrð î¬ÌµÈ�ÉnY �þܬÑ?ÊrÍeÇWÐpÔ�ÊÑ<ÖWÈ�ÉÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô Ì�ÊrÔ#ØcШÎ�ʲÖgШÈ#ÊIöDÇWÍIÈ�Î�íÆÈ�ɨÊ_Ô�ÇWË!Ê�Ô�ÊeȬÖWó�רÖ:ðUÊrÔ(ÌþפÈ�ÉUÊ�È�Ø�ÊeÊWß

õ#ɨÊMÍIÖgרÔ�È�ØNШÍIÈ�̵Ög× ò¨Ø�ÊrÔ�Êr×�È�Êrð Ç1Ñ<Ö�ñWÊWܬÈ�Ö ô ÊeÈ�ÉUÊeؤî¬Ì�È�ÉïÈ�ÉUÊ Ñ<ÊrÔ�ȦØ�ÊrÔ�ò?Ög×pÔ�ÊÇWÎ ô ÖWØcÌ�È�É¨Ë óFØ�ÖgË Ï:ÊrÍ,�È�̵Ög× �:ß �:ÜUÊIö:È�Êr×pð¨Ô�È�ɨÊ�Ø�ÊrÔcШεÈ�ÖWó¯È�ÉUʬò¨ØcÊeñ:̵ÖgÐpÔ�Ô�ÊrÍIÈ�Ì�ÖgצÈ�Ö!ÍeÇWÔ�ÊrÔ$î¬ÉUÊeØcʲ×UÖWÈ$Ñ<ÖWÈ�ɦòPÎ�ÇríWÊeØcÔ$ɨÇhñWʲò<ÊeØ�óFÊrÍIÈØ�ÊrÍeÇWÎ�Î�ß>�|ó<òpÎ�ÇhíWÊeØ��0��ɨÇWÔ�ò<ÊeØ�óFÊrÍIÈ*Ø�ÊrÍeÇWÎ�Î?ÇWרðéòPÎ�ÇríWÊeØ���ɨÇWÔ�ò<ÊeØ�óFÊrÍIÈ�ËéÊrË!ÖWØ�íWÜ:È�ÉUÊeØ�Ê�ÌþÔ�Ô�È�Ì�ÎþÎUÇ_ò<ÖgεíD×UÖgËéÌ�ÇWÎÈ�Ì�Ë!Ê�ÇWÎ ô ÖWØc̵È�ɨË�óFÖWجÕp×pð¨Ì�× ô ËéÇ öV�yËéÌ�×�Ñ<ÊrɨÇrñD̵ÖWØ#Ô�È�ØNÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔ¬óFÖWØ#òpÎþÇríWÊeØt�0��ß

� á � æ²ã0êB�cè\�<ë�æ�ã

�ªÊ�ɨÇrñWÊ�ÊIöUÇWËéÌ�×UÊrðAÈ�ÉUÊ�ÍIÖgË!òpεÊIöU̵Èzí!ÖWó�Õpרð¨Ìþ× ô ËéÇ öV�yËéÌ�×ÆÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔ4Ì�×AÈyî$Ö���ò<ÊeØcÔ�Ög×ÆúeÊeØ�Ö��yÔ�ÐpË ô ÇWËéÊrÔÌ�צÊIö:È�ÊrרÔc̵ñWÊ�óFÖWØcË¤ß ì ×lÈ�ÌþÎp×UÖ�î�ÜDÈ�ÉUʬî$ÖWØ�ø!Ög×ÆÈyî$Ö���ò<ÊeØcÔ�Ög×AúeÊeØ�Ö��yÔ�Ð¨Ë ô ÇWË!ÊrÔ4ɨÇWÔ$ÍIÖgרÍIÊr×�È�ØcÇ1È�Êrð¤Ë!ÖgÔ�È�εíÖg×AÈ�ÉUÊ�×UÖWØNËéÇWΨóFÖWØcË�ÇWרðéÖg×ÆËéÌ£öDÊrð¦Ô�È�ØNÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔeß*õ#ɨÌþÔ�Ç1ò¨ò¨ØcÖgÇWÍcÉAÊr×lÈ�ÇWÌ�ÎþÔ*È�ÉUʲÈ�ØcÇWרÔ�óFÖWØcËéÇ1È�Ì�Ög×éÖWó°ÊeñWÊeØ�íô ÇWË!Ê«Ì�×�È�Ö È�ÉUʤ×UÖWØcËéÇWÎ�óEÖWØNˤÜ*î¬É¨ÌþÍcÉùÌ�Ô_óFØ�Êrý:ÐUÊr×�È�εí,ÊIöDò?ÖgרÊr×lÈ�Ì�ÇWÎ4Ì�×�È�ÉUÊ�Ô�̵úeÊ�ÖWó¬È�ɨÊAÖWØcÌ ô Ì�רÇWÎ ô ÇWË!ÊÈ�Ø�ÊeÊWߦõYÖ«ÇrñWÖgÌþð,È�ɨÌ�Ô�ÊIöDò<Ög×UÊr×�È�Ì�ÇWÎ�ò¨Ø�ÖDÍIÊrÔ�ÔeܯÌ�È�ÌþÔ�×UÊrÍIÊrÔ�Ô�Ç1Ø�í¡È�Ö«ÖWÑpÈ�ÇWÌ�תǫÔ�ÖgÎ�ШÈ�̵Ögסð¨ÌµØ�ÊrÍIÈ�εíMóEØcÖgË�È�ÉUÊô ÇWË!Ê�È�Ø�ÊeÊWß�ÏUÌ�רÍIʲÈ�ÉUÊ�ËéÌ£öDÊrðAÔ�È�ØNÇ1È�Ê ô íÆÔ�ÖgÎþÐUÈ�̵Ög×ÆÇWÎ�Ô�Ö0Ø�Êrý:Ш̵Ø�ÊrÔ�ÊIö:ò<Ög×UÊr×�È�Ì�ÇWÎ?Ô�̵úeÊWÜUÇ0ð¨Ì£÷<ÊeØ�Êr×�È$Ô�ÖgÎþÐUÈ�̵Ög×ÍIÖgרÍIÊeò¨ÈeÜPÈ�ÉUÊ�Ñ<ÊrɨÇrñD̵ÖWجÔ�È�ØcÇ1È�Ê ô íWÜPË�ШÔ�È(Ñ<Ê�ШÔ�Êrð�ß

õ#ɨÊAØ�ÊrÔcШεÈ�Ô�ÖWó¬È�ɨÌ�Ô�òpÇ1ò<ÊeØ�ËéÇ1òùÈ�ÉUÊ�ÍIÖgË!òpεÊIöU̵Èzí,ÖWó#È�ɨÌ�Ô�ò¨Ø�ÖWÑPεÊrË�Ì�×ùÇMñ Ç1ØcÌ�ÊeÈyí,ÖWó¬ÍeÇWÔ�ÊrÔeߪõ#ÉUÊÍIÖgË!òpÎ�ÊIöD̵ÈzíÆÌþÔ#Ô�ÉUÖ�î¬×�È�ÖéÑ<Ê�ð¨ÌµØ�ÊrÍIÈ�Î�í¦Ø�ÊrÎ�Ç1È�Êrð«È�Ö¦È�ÉUÊ�Ë!ÊrËéÖWØ�íAÖWó�È�ÉUÊ_Èyî$ÖéòpÎ�ÇhíWÊeØcԬɨÇhñWÊWß �'ÉUÊrפÑ<ÖWÈ�ÉòpÎ�ÇhíWÊeØcÔ_ÉpÇrñWʦò<ÊeØ�óFÊrÍIÈ�Ø�ÊrÍeÇWÎ�Î�ܯÈ�ÉUʦÔ�ÖgÎ�ÐUÈ�̵ÖgתÖWó4È�ÉUÊ ô ÇWË!ʦÌ�Ô�ÍIÖgËéòpÐUÈ�Ç1ÑpεÊAÌ�סò<Ögεí:רÖgËéÌ�ÇWÎ�È�Ì�Ë!ÊWß �zó4Ç1ÈË!ÖgÔ�ȦÖg×UʤòpÎ�ÇhíWÊeئɨÇWÔ!ò<ÊeØ�óFÊrÍIÈ!Ø�ÊrÍeÇWÎ�Î�Ü�È�ÉUÊ«ò¨ØcÖWÑpεÊrË�Ì�Ôéû����yÍIÖgË!òPεÊeÈ�ÊWß �|ó�×UÖg×UʤÖWó�È�ÉUʤòPÎ�ÇríWÊeØcԦɨÇWÔò<ÊeØ�óFÊrÍIÈ_Ø�ÊrÍeÇWÎ�Î�Ü�ÇWרð�̵ó(ÍcɨÇW×pÍIÊÆË!Ö�ñWÊrÔ!Ç1Ø�ÊAÇWÎþεÖhî$Êrð°Ü�È�ÉUÊAÍIÖgËéòpεÊIöU̵Èyí,Ì�Ô�É¨Ì ô ÉUÊeØhß�õ�Ç1ÑpÎµÊ �«Ô�ɨÖhî¬Ô�È�ÉUÊÍIÖgË!òpÎ�ÊIöD̵ÈzíAÖWó�È�ÉUÊ�òpØ�ÖWÑpεÊrË Ð¨×pðUÊeØ#ð¨Ì£÷<ÊeØ�Êr×�È#ÇWÔ�Ô�ШË!òpÈ�̵ÖgרÔeÜUÇWÔ(øD×UÖhî�פÈ�Ö¦ð¨Ç1È�ÊWß

� �B� ��å���ã0ê��B�

Ú�ÇWεøWÊeíWÜYÁrÂWÛ�� � û�ß�Ú�ÇWεøWÊeíWߪü�ý:Ш̵ñ1ÇWεÊrרÍIÊAÖWó¬Ì�×UóFÖWØcËéÇ1È�Ì�Ög×,òpÇ1È�È�ÊeØc×pÔ�ÇW×pðRÊrÔ�Ô�Êr×lÈ�Ì�ÇWÎþεí,Ì�רðUÊeÈ�ÊeØNËéÌ�רÇ1È�Êô ÇWË!ÊrÔrßs��×K�ß � ß6��Шɨ×AÇWרð �_ß ��ßUõ�ШÍ�øWÊeØhÜ:Êrðp̵È�ÖWØcÔeÜ���#�! 1n%,7 �'�61n7n#�!j5l1D#)1 � . � � .0#�%�� #-+��E(�& .,5 �0� ÜL �Kx =���=-^nBH@'c[X,GXADS_BDx\CWF\G0U FlBDG Z\@XBD=PB3@�,=-^H=HZR?�G,F =-F BDSd@'cVBDSTCE=,�H�Kx\=�?RAD=-Q-ST^�=�QNG,CE?\cT=HZRS_B�`�Q-cd@'^�^�GXI$BDx Sd^>? ADG�� cT=-C�ST^

M\F WF\G0U Fa�

�DÁ

Page 22: The Complexity of Two-Person Zero-Sum Games in Extensive Form ...

§¯�nqI��sct�� §��£qI�hsNt���� �Yjlqru�}�s � x|t|qrxzsN{h� �Y~���og�vsc�Wk x�� ��sc��sct|scul}cso:sctz��sN}�x*kvuW��~�tz��qrxzkn~hu o:sctz��sN}�x*knuW��~�tz��qex|kv~�u ��sNm og�ltzs o:~h�n�1ug~h��k£qr� �:sNtz��sN�v~�� m�i�jgsN~ht|sc�o:sctz��sN}�x*kvuW��~�tz��qrxzkn~hu kn�²o:sctz��sN}�x*tzs�}cqh�v� ug~ qh�v�Ux��1o:sNm ¥�§°��jlqrt�� §¯tz~�o�~ mykvxzkn~huW�n� �

og�ltzs ¥�§°��}�~��²ol�vscxzs §¯tz~�o�~ mykvxzkn~huW�n� �kn��o�sNty��s�}�x�t|sN}Nqr�n� kn�²o:sctz��sN}�x*tzs�}cqh�v� ��sNm og�ltzs ��� �N��}�~��²ol�vscxzs §¯tz~�o�~ mykvxzkn~huW�n�����kn��o�sNty��s�}�x�t|sN}Nqr�n� kn�²o:sctz��sN}�x*tzs�}cqh�v� ��sNm ��kv�1s�� sc�Wo¨�<xzkn��s � myx|qhul�gqrt���qr�n{l�o:sctz��sN}�x*�²sN��~ht|� o:sctz��sN}�x*t|sN}Nqr�n� ��sNm �:scjlqIw1kn~ht o:~h�n�1ug~h��k£qr� �1s�}�x|kv~�u�

õ�Ç1ÑpεÊE�:ÙYõ#ÉUÊ$ÍIÖgË!òpεÊIöU̵Èzí�ÖWó¨ÕpרðpÌ�× ô È�ÉUÊ4ËéÇ öV�yËéÌ�×�Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô í�óEÖWØ���ÎþÇríWÊeØH�0��Ü Ð¨×pðUÊeدñ1Ç1Øc̵ÖgШÔ�ÍIÖgרð¨Ì�È�̵ÖgרÔeß�'̵È�É�Ø�Ê ô Ç1Øcð�È�Ö!È�ÉUÊ�ÉpÇ1Øcð¨×UÊrÔ�Ô$Ø�ÊrÔcШεÈ�ÔeÜDÈ�ÉUÊ�È�Ç1ÑpÎµÊ ô Ì�ñWÊrÔ(È�ÉUÊ�ÍIÖgË!òpεÊIöU̵Èzí¦ÖWó�ðUÊrÍeÌ�ð¨Ì�× ô î¬É¨ÊeÈ�ÉUÊeØE��Î�ÇhíWÊeØ�0�$ÍeÇW×ÇWÔ�Ô�ШØ�Ê�ÇéÍIÊeØ�È�ÇWÌ�׫òpÇríWÖ1÷ ��ß

òpÇ ô ÊrÔ��DÁR� �V� �&�:ßp�*ØcÌ�×pÍIÊeÈ�Ög× ì רÌ�ñWÊeØcÔ�̵Èzí ��Ø�ÊrÔ�ÔeÜ�ÁrÂWÛ��:ß Ú²Êr× ô ÇWרð���Ç1òPÇWð¨Ì�Ëé̵È�ØN̵ÖgаÜ<ÁrÂWÃW ��� ß:Ú²Êr× ô ÇWרð¤Ó²ßcK�ßb��Ç1òPÇWð¨Ì�Ëé̵È�ØN̵Ögаß<õ#ÉUÊ�ÍIÖgËéòpεÊIöU̵Èyí!ÖWó¯ÍIÖ:ÖWò<ÊeØw�Ç1È�̵ñWÊ�Ô�ÖgÎ�ÐUÈ�̵ÖgפÍIÖg×pÍIÊeò¨È�Ôeß ì ×UòpШÑpÎ�Ì�Ô�ɨÊrðAÅMÇW×�ШÔcÍIØc̵ò¨ÈeÜ�ÁrÂWÃWÂ:ß

T��Ç1Ø�Êeí¤ÇWרði�WÖgɨרÔ�Ög×°Ü�ÁrÂ��1 �0ÅRß4�_ßp��Ç1Ø�ÊeíÇWרð Ú�ß°Ï?ß��WÖgÉpרÔ�Ög×°ß ��#�& � �b13. %X5)(�!�� � ! 1n%w( � 1D(&� 79*�7n1 �A& P� �b7 �2. 1D# 1 � . � � .0#�% � #-+ ) % � #�& �$* . 13. !L.,5'5Nß�� ß/K�ß/�UØ�ÊeÊr˦ÇW×°Ü?ÏDÇW×��¨ØcÇWרÍeÌ�Ô�ÍIÖUÜYÁrÂ��1Â:ß

T��Ì�Î�Ñ?ÖgÇ0ÇWרð �?ÊrË!ÊrÎ�Ü�ÁrÂWÃW � �Nßp��Ì�εÑ<ÖgÇ!ÇWרð ü#ßp�?ÊrË!ÊrÎ�ß#û²ÇWÔ�É ÇWרðÍIÖWØcØ�ÊrÎ�Ç1È�Êrð Êrý�ÐpÌ�Î�̵ѨØNÌ�ÇDÙ�Ï:ÖgË!Ê�ÍIÖgË �òpÎ�ÊIöD̵ÈzíAÍIÖgרÔcÌ�ðUÊeØcÇ1È�̵Ög×pÔeß �E(�& .,5 (�!�� +.� #�!$#�& 7 ��� . � (�8 7n#�%�ܯÁ1Ù Ã1Ä �:Â��:Ü�ÁrÂWÃWÂ:ß

T�²Ø�ÖWÈ�ÔcÍcÉUÊrÎ|. 1|(�* �þܯÁrÂWÃWà �!Å,ß:�²ØcÖWÈ�Ô�ÍcÉUÊrÎ�Ü �*ßp��Ö�ñ ÇWÔ�úWÜYÇWרð��_߯ÏDÍNÉUØcÌ Ò�ñWÊeØrß �t.0#�&).W1n%'7 � P *3�2#�%,7�1 � &"5 (�! ���#�& � 79!$(�1D#�%'7�(�*�� �L1n7�& 7(�W(�1n7n#�!pß4Ï:ò¨ØNÌ�× ô ÊeØw��ÿ�ÊeØcÎþÇ ô Ü�ÁrÂWÃWÃ:ß

��ÖgÎ�Î�ÊeØ#ÇWרðÅÊ ô Ì�ð¨ðUÖUÜ�ÁrÂW ���!Ú�ßP��ÖgÎ�εÊeØ0ÇWרð�û_ß�ÅÊ ô Ì�ð¨ð¨ÖUßZ��Ì�רð¨Ì�× ô ËéÌ£öDÊrð�Ô�È�ØcÇ1È�Ê ô ̵ÊrÔ!î�̵È�É�ÔcËéÇWÎ�ÎÔ�Шò¨ò<ÖWØ�È�Ô4Ì�×ÆÊIö:È�ÊrרÔc̵ñWÊ�óEÖWØNË ô ÇWË!ÊrÔeß � ! 13. %'!L(�1n7n#�!$(�*��6#�b%,!$(�*:#-+ �E(�&). � � .0#�%��1ÜYÁrÂW �Uß�õYÖéÇ1ò¨ò<ÊrÇ1Ørß

��ШÉp×°Ü°ÁrÂWÛ1Ä � K�ß�� ßa��ШÉp×°ßpü�öDÈ�ÊrרÔ�Ì�ñWÊ ô ÇWË!ÊrÔeß % %-# � .X.���79! ��5�#w+ 1 � ..)"(�1n7�#�!$(�* P � (��2. & ��#w+ � � 7�. ! � .45NÜ�WÝ:Ù Û�� Ä �:Û��1Ý:Ü*ÁrÂWÛ1ÄDß

��ШÉp×°Ü°ÁrÂWÛ�� � K�ß2� ßL��Ðpɨװß�ü*ö:È�Êr×pÔ�̵ñWÊ ô ÇWËéÊrÔ�ÇWרðÈ�ÉUÊ_òpØ�ÖWÑpεÊrË ÖWó�Ì�רóEÖWØc˦Ç1È�̵Ög×°ß��|×iK_ß���ßL��Шɨ×ÇWרð��_ß�� ßhõ�ШÍ�øWÊeØhÜ�Êrð¨Ì�È�ÖWØcÔeÜ ��#�! 1n%'7����61n7�#�!65|1D#�1 � . � � .X#�% ��#-+ �E(�& .,5 �0� ÜhòpÇ ô ÊrÔ�ÁrÂ�� �V�DÁrÝ:ß��*ØNÌ�רÍIÊeÈ�Ög×ì ר̵ñWÊeØcÔc̵Èyí �*Ø�ÊrÔcÔeÜ�ÁrÂWÛ��:ß

�¯ÐpÍeÇWÔeܯÁrÂ���� � � ßJ�$ßs�YШÍeÇWÔeß)�²×¡ÖhñWÊeØ�ñD̵Êeî3ÖWó$È�ÉUʦ˦Ç1È�ÉUÊrËéÇ1È�Ì�ÍeÇWÎ�È�ɨÊeÖWØ�íMÖWó ô ÇWË!ÊrÔrß � (�!$( �a.4& . ! 1� � 7�. ! � .eÜ�ÁrÛ:Ù � �PÁrÂ:Ü�ÁrÂ����:ß

ÅMÍ ��Ì�רÔ�ÊeíWÜYÁrÂWÛ�� �\�U߬ÅMÍ ��Ì�×pÔ�ÊeíWß � ! 1n%w#��� � 1n7�#�! 1D#�1 � . � � .0#�%���#-+ �E(�&).45Nß õ¬ÉUÊ"�}�²û�Ú ÏDÊeØc̵ÊrÔeßÅMÍR�²ØcÇhîE�#K�ÌþÎ�Î�ܨû�Êeî"!*ÖWØ�ø?ܯÁrÂWÛ��:ß

�²ø1ÇWð¨ÇDܯÁrÂWÃ�� � �_ß��²ø ÇWðpÇDßDÓ$ÖgË!òPεÊeÈ�Ê�Ì�× �PÇ1È�̵Ög×�ÇWרð_ò?ÊeØcóEÊrÍIÈ�ØcÊrÍeÇWÎ�ÎlÌ�×�ÊIö:È�ÊrרÔc̵ñWÊ ô ÇWË!ÊrÔrß � ! 13. %'!L(�1n7n#�!$(�*�6#�b%'!L(�*>#-+ �E(�&). � � .0#�%��1ÜYÁrÝ:Ù ÃWÛ �:ÂDÁ1Ü�ÁrÂWÃ���ß

�²î$ÊrװܯÁrÂWÃ�� � ��ßL�²î$Êr×°ß �E(�& . � � .X#�%�� ß���ÍeÇWð¨ÊrËéÌ�Í���Ø�ÊrÔ�Ôeܨû�Êeî#!*ÖWØ�ø?ÜYÁrÂWÃ��:ß ñWÖg×û�ÊrШËéÇW×p׫ÇWרð«ÅÖWØ ô ÊrרÔ�È�ÊeØc×�ܯÁr �a�R�w�¨ß<ñWÖgתû¬ÊrШ˦ÇWרסÇWרð ��ß°Å«ÖWØ ô Êr×pÔ�È�ÊeØc×°ß � � . � � .0#�%�� #-+�E(�& .45 (�!�� +.� #�!$#�& 7 �$� . � (�8R7�#�%Nß��*ØcÌ�×pÍIÊeÈ�Ög× ì ×p̵ñWÊeØcÔ�̵Èzí ��Ø�ÊrÔ�ÔeÜ �1×pð¤Êrð¨ÌµÈ�̵Ög×�Ü<Ár �a��ß

���

Page 23: The Complexity of Two-Person Zero-Sum Games in Extensive Form ...

�'Ì�Î�Ô�Ög×°Ü�ÁrÂ���� � ��ß �'Ì�Î�Ô�Ög×°ß*Ó$ÖgË!òPÐUÈ�Ì�× ô Êrý�ШÌþÎ�̵ѨØcÌþÇ�ÖWó¯Èzî�Ö���ò<ÊeØcÔ�Ög× ô ÇWË!ÊrÔ(óFØ�ÖgË�È�ÉUÊ�ÊIö:È�Êr×pÔ�̵ñWÊ�óFÖWØcˤß� (�!$(��V.4& .4! 1 � � 7�. ! � .eÜ�ÁrÃ:Ù3���là �&�lÝ1ÄDÜ*ÁrÂ����:ß

T�?ÊeØcËéÊrεÖUÜ�ÁrÂDÁ�� �0ü¬ß �?ÊeØcË!ÊrÎ�ÖUß ì Ñ<ÊeØ�ÊrÌ�×UÊ ÇW×�î�ÊrרðpÐ¨× ô ðUÊeØ Ë!Êr× ô ÊrרεÊrÉUØ�Ê ÇWÐUó ð¨ÌµÊ'È�ÉUÊeÖWØcÌ�Ê ðUÊrÔÔ�ÍNɨÇWÍcÉpÔ�òp̵ÊrÎ�Ôrß ��×Rü¬ß � ß;K�ÖWÑpÔ�Ög×ùÇWרð ��ßYü¬ßJK_ß>��Ö�ñWÊWÜ�Êrð¨ÌµÈ�ÖWØcÔeÜ % %w# � .X. ��79! ��5 #w+ 1 � . , 7 +,1 � � ! 13. % !$(�1n7n#�!L(�* ��#�! ��%0.,5'5 #-+ � (�1 � .4&)(�1n7 � 7�(�!65 �0� ÜPòpÇ ô ÊrÔ�Û1ÄUÁ �:Û1Ä�UßYÓ4ÇWË_ÑpØcÌ�ð ô Ê ì ר̵ñWÊeØNÔ�̵Èyí ��Ø�ÊrÔ�ÔeÜ°Ó4ÇWË �ѨØNÌ�ð ô ÊWÜ°ÁrÂDÁ��:ß

���