Indice general

1. Introduccion 21.1. Justificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Metodo Numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4. Objetivos Especificos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Ecuaciones de Transporte 62.1. Ecuaciones Basicas de la Mecanica de los Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2. Turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3. Promediado de las ecuaciones de transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3. Metodo de Solucion 103.1. Metodo de volumenes finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2. Verificacion de predicciones numericas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3. Correlaciones utilizadas para verificar los resultados numericos . . . . . . . . . . 153.4. Correlacion aplicada a la parte interna de los tubos . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4. Simulacion numerica de un banco de tubos escalonado 184.1. Configuraciones a simular, caso base y detalles numericos . . . . . . . . . . . . . 184.2. Gradientes de Presion y de Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.3. Resultados de la simulacion numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.4. Efecto de variar el numero de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.5. Comparacion con resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5. Conclusiones 29

A. Modelos de Turbulencia 30

B. Discretizacion 32B.1. Ecuacion General Discretizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34B.2. Solucion del sistema de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35B.3. Punto a Punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36B.4. Plano a plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

C. Bibliografıa. 38

1

Capıtulo 1

Introduccion

1.1. Justificacion

Actualmente existe una gran preocupacion por la alteracion del sistema climatico mundial,ocasionado por la acumulacion de gases de efecto invernadero(GEI). Una meta mundial es lareduccion de estos gases en poco mas de 5 % en promedio respecto a los niveles que se tenıan en1990 durante el perıodo de 2008-2012 (Protocolo de Kyoto [1]). Existen diversos mecanismospara minimizar las emisiones de GEI como la sustitucion de combustibles fosiles por fuentesalternas de energıa (solar, eolica, etc.), tales como el uso de combustibles con nulo contenidode carbono como el hidrogeno, el desarrollo de tecnologıas nucleares como la fusion nuclear o ladisminucion en el consumo de combustibles fosiles mediante procesos de generacion de energıamas eficientes.

Una opcion de impacto inmediato que no requiere cambios importantes en la infraestructu-ra del sector industrial es el planteamiento de proyectos de recuperacion de energıa termica. Eneste tipo de proyectos se puede lograr el maximo aprovechamiento de la energıa residual de losgases de combustion en intercambiadores de calor compactos y se estima que se pueden llegara eficiencias en los equipos de combustion de 86 %(DOE Energy Tips-steam[2]).

Un intercambiador de calor es un dispositivo que facilita el intercambio de calor entre dosfluidos que se encuentran a temperaturas diferentes evitando que se mezclen entre sı. Los in-tercambiadores de calor pueden ser usados de manera individual o como componentes de unsistema termico, en una gran variedad de aplicaciones comerciales, industriales y domesticas,por ejemplo, la generacion de energıa electrica, refrigeracion, ventilacion y aire acondicionado,manufactura, industria aeroespacial, ingenierıa ambiental, etc. Para su aplicacion en la indus-tria, rara vez se dispone de espacios grandes, por lo que el tamano de la caldera de recuperaciondebe ser el menor posible, lo cual nos lleva a la opcion de intercambiadores de calor compactos.

Dentro de estos equipos se tienen tubos, de los cuales, los mas utilizados actualmente, sonlos de seccion circular aletados helicoidalmente, que tienen como caracterısticas principales [3],una alta eficiencia en transferencia de calor (debido al aumento en area de contacto), baja caıdade presion y su tamano compacto. Dentro de este tipo de de dispositivo termico, se tienen losaletados solidos y los aletados segmentados.

2

Para este tipo de sistemas, se tienen estudios basados en correlaciones, trabajos experimen-tales y simulaciones numericas, las cuales son para casos con geometrıa sencilla. Algunos de losestudios mas recientes enfocados al analisis de bancos de tubos aletados helicoidalmente sonpor ejemplo, el estudio realizado por Kawaguchi et al.[4], que analiza la transferencia de calor ycaıda de presion en un banco de tubos aletados helicoidalmente segmentados y helicoidalmentesolidos. Por otra parte, Genic et al. [5] realiza un analisis comparativo de diferentes correlacio-nes semiempıricas para evaluar la caıda de presion de aire en superficies con aletas helicoidalessolidas para arreglos de tubos en lınea y estratificados. En lo referente a trabajos experimen-tales se encuentra el desarrollado por Shetty, et al.[6] quien mide el campo de velocidades conVelocimetrıa Laser-Doppler y el campo de temperaturas con Termometrıa de Cristal lıquido enun banco de tubos con aletas helicoidales solidas y helicoidales segmentadas.

Para el diseno de un intercambiadores de calor se requiere un calculo adecuado de la trans-ferencia de calor y de la dinamica del flujo fluido, por lo que en la presente tesis se simulanumericamente el flujo exterior(siendo esta la parte dominante en la transferencia de calor[7]) en un banco de tubos aletados helicoidalmente. El efecto del fluido interior es incluido enla simulacion numerica mediante su incorporacion como sumidero de calor. Para verificar losresultados numericos se realizaron comparaciones con datos de correlaciones semiempıricas.

1.2. Metodo Numerico

En el analisis de flujos, las ecuaciones de Navier-Stokes representan un modelo matemati-co capaz de describir el movimiento tridimensional de flujos viscosos e incompresibles. Esteconjunto de ecuaciones diferenciales no lineales carece de una solucion analıtica, lo cual hacenecesario el uso de metodos numericos para obtener soluciones.

En general, la estrategia utilizada en el Dinamica de Fluidos Computacional (CFD) es la dereemplazar un problema definido sobre un dominio continuo (hipotesis de la Mecanica de Flui-dos clasica) por un dominio discreto definido a partir de una malla, resolviendo las variables deinteres en los puntos que definen dicha malla, obteniendo una ecuacion algebraica del sistema ydandole solucion. Sistemas completos como calderas, intercambiadores de calor, evaporadores,etc, pueden ser analizados con equipo de computo, antes de ser construidos (Fig.1.1).

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Figura 1.1: Sistema SCR.

Nivel de aproximacion en CFD

La simulacion de un flujo puede realizarse, generalmente, mediante tres alternativas:

Simulacion de las grandes escalas (Large Eddy Simulation, LES). La simulacion LESresuelve las ecuaciones instantaneas para las escalas de mayor tamano porque son masefectivas en el transporte de propiedades en comparacion con las escalas menores que sonmas debiles y de menor capacidad de transporte. Las pequenas escalas son filtradas y elefecto sobre el movimiento de las grandes escalas es modelado. Aunque esta tecnica esmenos exigente que la DNS, requiere de medios de computacion considerables debido aque los tiempos de calculo son exigentes por ser siempre un calculo tridimensional.

La Simulacion Numerica Directa (Direct Numerical Simulation), resuelve todas las escalasespaciales y temporales de las variables del flujo, y por lo tanto, no requiere de ningunmodelo adicional. En un flujo turbulento no reactivo para capturar todas las escalas, elnumero de puntos de la discretizacion es funcion practicamente del numero de Reynoldselevado al cubo. Esta situacion ocasiona que la DNS se limite a flujos con numeros deReynolds bajos y configuraciones sencillas.

Ecuaciones promediadas de Reynolds (Reynolds Average Navier-Stokes Equations, RANS).La simulacion con RANS, extensamente utilizada en casos practicos de interes industrial,tiene una aproximacion estadıstica para que el analisis de la turbulencia sea estaciona-rio [8], es decir, que sus propiedades no cambien con el tiempo. Esta tecnica consisteen promediar todas las escalas espaciales y temporales de las fluctuaciones turbulentas,ası como resolver las ecuaciones de transporte en terminos de variables medias del sistema.Las ecuaciones no son cerradas y por consecuencia, se requieren modelos adicionales (mo-delos de turbulencia) para cerrar el sistema. La alternativa RANS es de menor exigenciacomputacional en comparacion con DNS y LES.

La necesidad de simular tridimensionalmente la transferencia de calor y la aerodinamica de unflujo turbulento de gases residuales que circulan alrededor de tubos con aletas helicoidales ysegmentadas (geometrıa compleja), requiere de un mallado refinado para capturar las escalas

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espaciales. Lo anterior requiere de una infraestuctura computacional y tiempos de calculo ele-vados que hacen inviable el uso de la alternativa DNS. Por otra parte, debido a las dimensionesindustriales del equipo y la geometrıa compleja del banco de tubos aletados, el uso de la tecnicaLES no es viable ya que requiere de tiempos de calculo elevados. Por lo tanto, la mejor opcionpara un analisis numerico de banco de tubos aletados en geometrıa compleja a escala industriales la alternativa RANS. En la presente tesis se usa el codigo numerico de CFD, PHOENICS(Parabolic Hyperbolic or Eliptic Numerical Integration Code Series), para la simulacion delflujo en el banco de tubos aletados.

1.3. Objetivo General

Simular numericamente la interaccion entre la trasferencia de calor y aerodinamica de unflujo de aire que circula por el interior de un banco de tubos aletados helicoidales segmentadosy aletados helicoidales solidos con un arreglo escalonado, mediante la alternativa de las ecua-ciones promediadas de Navier-Stokes.

1.4. Objetivos Especificos

Obtener el campo de velocidades y el campo de temperaturas.

Verificar los resultados teoricos con datos de correlaciones.

Desarrollar simulaciones a diferentes condiciones de operacion.

Establecer los mecanismos relevantes en la transferencia de calor.

5

Capıtulo 2

Ecuaciones de Transporte

A continuacion se presentan las ecuaciones instantaneas que describen la aerodinamica deun flujo del aire y su transferencia de calor sobre un banco de tubos aletados con geometrıacompleja. Las ecuaciones de transporte utilizadas son las de continuidad, cantidad de movimien-to y conservacion de la energıa en su forma diferencial, las cuales se presentan en un sistemacartesiano.

Posteriormente se introduce la alternativa empleada en este trabajo para la simulacion delflujo, siendo esta la alternativa el promediado temporal de las ecuaciones de transporte (Rey-nolds Averaged Navier-Stokes Equations, RANS).

2.1. Ecuaciones Basicas de la Mecanica de los Fluidos

Ecuacion de continuidad

La ecuacion de conservacion de masa, se puede expresar como:

∂ρ

∂t+∇ · (ρ~v) = 0 (2.1)

donde ~v y ρ son, respectivamente, la velocidad y la densidad.

Ecuacion de cantidad de movimiento.

La ecuacion para la cantidad de movimiento del flujo es descrita a traves de la ecuacion:

∂

∂t(ρ~v) +∇ · (ρ~v~v) = −∇p+∇ · ~τ ′ + ρ ~fm (2.2)

donde p es la presion, ~τ ′ es el tensor de esfuerzos viscosos y ~fm son las fuerzas masicas, ejemplo,la gravedad, ~g

El tensor de esfuerzos viscosos de Reynolds [8], se encuentra definido por la segunda ley deNavier-Poisson, como sigue:

~τ = µ(∇~v +∇ ~vT ) + (µv −2

3µ)(∇ · ~v)~δ (2.3)

6

donde µ es la viscosidad molecular, µv es el coeficiente de viscosidad volumetrico y ~δ es el tensordelta de Kronecker.La ecuacion de Navier-Stokes puden simplificarse si el fluido es incompre-sible y de viscosidad costante, por ejemplo, para un numero de Mach(Ma) < 0,3, el fluidotiene un comportamiento incompresible. En el caso de que las diferencias de temperaturas nosean grandes, la viscosidad es independiente de la temperatura y puede considerarse constante(criterio aplicado a muchos casos de interes practico), la ecuacion 2.2 queda de la siguientemanera:

ρ∂~v

∂t+∇ · (ρ~v~v) = −∇ · P + µ∇~v + ρ~g (2.4)

Ecuacion de la Energıa:

La ecuacion de la energıa total en terminos de la entalpıa, es:

∂

∂t[h(u+

1

2|~v|2 + U)] +∇[h~v(u+

1

2|~v|2 + U)] =

Dp

Dt+ ~τ ′(∇~v∇ ~Jh) +Qr (2.5)

donde DDt

= ∂∂t

+ ~v∇, es la derivada sustancial, y ∇(~τ ′~v) es la disipacion viscosa, ΦV

En flujos de baja velocidad, el numero de Mach es pequeno(Ma << 1), por lo que, la energıacinetica comparada con la entalpıa es despreciable y el trabajo viscoso es despreciable [9]. Apli-cando las consideraciones anteriores y despreciando el termino potencial de la energıa totaldel fluido la ecuacion anterior, para fluidos Newtonianos bajo condiciones generales de flujoincompresible y que conduce el calor, resulta de la siguiente manera:

∂

∂t(ρh) +∇(ρ~V h) = ∇ · k∇T (2.6)

donde k es la conductividad termica.

2.2. Turbulencia

En las secciones anteriores se detallaron las ecuaciones utilizadas para describir el movimien-to de un flujo de gases y su interaccion con un banco de tubos. Estas ecuaciones de transporteestan concebidas para flujos laminares y turbulentos, cuya aplicacion practica es muy limita-da. Esto implica que las ecuaciones deben adecuarse para su utilizacion en el estudio de flujosturbulentos como el de la presente tesis. Por ello, antes de describir la adecuacion matemati-ca de las ecuaciones de transporte se analiza a la turbulencia con la finalidad de entender lacomplejidad del fenomeno. La turbulencia no se puede definir exactamente, sin embargo paraentenderla, se obervan los efectos que este comportamiento provoca en el fluido.

La tecnica de las ecuaciones promediadas de Navier Stokes, resuelve las ecuaciones presen-tadas anteriormente para el flujo turbulento de aire sobre un banco de tubos con geometrıacompleja. La tecnica RANS puede entenderse con la representacion grafica de la variacion localde una propiedad Φ del fluido con el tiempo en un flujo turbulento (Fig. 2.1).

En la figura se observa la disparidad de las escalas temporales y la naturaleza caotica de estefenomeno que hacen inviable su desarrollo analıtico. Sin embargo, los flujos turbulentos pueden

7

Figura 2.1: Representacion grafica de la variacion de una propiedad Φ.

manejarse estadısticamente en funcion de una variable Φ que representa cualquier propiedad.Esta propiedad queda definida mediante un termino medio Φ y un termino fluctuante φ′. Estemanejo estadıstico permite evitar cambios abruptos en las variables espacial y temporal, locual admite un manejo matematico de las ecuaciones de transporte. El anterior manejo de lasvariables es la base de la alternativa de simulacion numerica RANS que utiliza las ecuaciones enfuncion de los valores medios y fluctuantes. Estas ecuaciones se promedian y se resuelven conun metodo numerico. Sin embargo, el promediado de las ecuaciones es una tecnica que implicaun manejo matematico complejo y la aparicion de terminos adicionales descritos en la siguienteseccion.

2.3. Promediado de las ecuaciones de transporte

El flujo en la mayor parte de los problemas de interes practico, ası como en este trabajo, esturbulento. Una de las caracterısticas de este tipo de flujos es la variacion aleatoria e irregulartanto en el espacio como en el tiempo de las propiedades del fluido.

Una de las alternativas para la simulacion de flujos turbulentos reactivos, es el promediadode las ecuaciones instantaneas de conservacion. Con este metodo, se promedian todas las fluc-tuaciones de las escalas temporales y se resuelven ecuaciones de transporte para los valoresmedios de las propiedades del fluido. Estas ecuaciones no son cerradas, por lo cual se requierenmodelos que reemplacen terminos no cerrados.

Si el flujo presenta variaciones en la densidad, se pueden usar dos tipos de promedio. Unoes el promedio de Reynolds, el cual toma a la densidad como constante. El otro es el promediode Favre ([10] y [11]).

De manera ilustrativa, se presenta con el sımbolo Φ cualquier propiedad transportada, los valo-res instantaneos de estas propiedades son escritos en terminos de un promedio y una fluctuacionturbulenta:

Φ = Φ + Φ′ (2.7)

8

Φ = Φ + Φ′′ (2.8)

Los dos promedios Φ y Φ′ estan definidos como:

Φ = limne→∞1

ne

∑i=1

Φi; promediadodeReynolds (2.9)

Φ = limne→∞1

ne

∑i=1

ρiΦi; promediadodeFavre (2.10)

donde Φi es la Φ′ de i del conjunto de realizaciones ne de un experimento.

Una de las razones para aplicar el promedio de Favre en las ecuaciones instantaneas detransporte, es que cuando se aplica dicho promedio, genera ecuaciones muy sencillas que noincluyen modificaciones a fluctuaciones de la densidad en las ecuaciones resultantes.

Si se aplica el promedio de Favre a las ecuaciones instantaneas de continuidad, cantidad demovimiento y energıa, se obtienen las siguientes ecuaciones [12]:

∂ρ

∂t+∇ · (ρ−→v ) = 0 (2.11)

∂

∂t(ρ~v) +∇ · (ρ~v~v) = −∇p+∇ · (ρ ~v” ~v”) + ρ~g (2.12)

∂

∂t(ρh) +∇ · (ρ~vh) = −∇ · (ρ ~v”h”) (2.13)

Los flujos turbulentos ~v”Φ” de las ecuaciones (2.23),(2.24), y (2.25) son terminos desconoci-

dos que requieren modelizacion.El cierre del termino ρ~v”~v” de la ecuacion media de cantidad de

movimiento, se trata en el Apendice A. El tratamiento del termino ρ~v”h”, se puede consultaren Jones et al. ([13]y [14]), y Lindstedt et al. [15]

9

Capıtulo 3

Metodo de Solucion

Para dar solucion a las ecuaciones presentadas en el capıtulo anterior que describen el com-portamiento del flujo, se utilizo el metodo de volumenes finitos. Por lo que a continuacion sepresenta dicho metodo de solucion.

El metodo numerico de volumenes finitos consiste en dividir el dominio espacial y temporalen pequenos volumenes de control (celdas) y pequenos intervalos temporales como se muestraen la Figura 1. De esta manera, las ecuaciones diferenciales de transporte y los modelos deturbulencia son integrados en cada celda y en cada paso temporal para obtener las ecuacionesdiscretizadas (algebraicas), que se pueden resolver mediante algun metodo numerico.

Figura 3.1: Domino de calculo dividido en volumenes de control.

3.1. Metodo de volumenes finitos

Mediante una ecuacion general, se pueden representar las ecuaciones medias de continuidad,cantidad de movimiento y del modelo de turbulencia , donde la variable dependiente esta re-presentada por φ:

∂

∂t(ρφ) +∇(ρuiφ)−∇(Γφ∇φ) = Sφ (3.1)

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donde Γφ es el coeficiente de difusion y S es el termino fuente. Los terminos del lado izquier-do de la ecuacion (3.1) son el termino transitorio, convectivo y difusivo, respectivamente. Losterminos Γ y S estan especificados para cada variable. En el caso de la ecuacion de continuidadφ=1.

El termino transitorio ∂∂t

(ρφ) recoge las variaciones locales (con el tiempo) de ρφ. Representapor tanto la acumulacion o disminucion local de esa magnitud. El termino convectivo ∇(ρuiφ)transporta la propiedad φ entre dos puntos proximos del dominio por medio de la velocidad delfluido. El termino difusivo ∇(Γφ∇φ) corresponde con alguno de los fenomenos de transporteque ocurre a nivel molecular: la ley de Fourier para la difusion de calor; la ley de Fick para ladifusion de masa o la ley de Newton para la difusion de cantidad de movimiento por efectosviscosos. El ultimo termino Sφ representa cualquier otro termino de la ecuacion que no esteincluido en los tres terminos anteriores.

La ecuacion general (3.1), se puede dicretizar con el metodo de volumenes finitos. Con estemetodo, el dominio se divide en pequenos volumenes de control (Figura 3.1), asociado a cadauno de ellos un punto nodal. De manera similar, se discretiza el tiempo en intervalos tem-porales. La ecuacion diferencial resultante, se integra en cada volumen de control y en cadaintervalo temporal y el resultado es una ecuacion discretizada que relaciona los valores de φpara un determinado grupo de puntos nodales. Esta ecuacion algebraica expresa el principiode conservacion de φ en el volumen finito, de la misma manera que la ecuacion diferencial loexpresa para un volumen infinitesimal. La ecuacion algebraica para un nodo P puede expresarseen forma general como:

apφp =∑

i,I=N,S,E,W,L,H

aiφI + aTφT +B (3.2)

donde el subındice I representa las celdas vecinas, i la cara entre las celdas P e I, T el valorcorrespondiente en el intervalo temporal anterior, y B el termino fuente. La deduccion detalladade la ecuacion (3.2) puede consultarse mas adelante.

En la figura 3.2, se muestra la notacion de la celda y de sus vecinas. Dada una celda P, susvecinas se nombraran segun las iniciales de los puntos cardinales (en ingles) en las direcciones”x” e ”y” y como ”Low” y ”High” en la direccion z. Las caras de la celda se nombraran con lamisma nomenclatura, pero con letras minusculas. A su vez, el tiempo tambien se discretiza. Lasceldas en la direccion temporal se llaman intervalos temporales. La celda P en el paso temporalse denota como T.A continuacion, se presentan los terminos de la ecuacion dicretizada (3.2)

Definiendo tres expresiones mediante los sımbolos F,D y Pe como:

F = ρv − i,D =Γ

∂i, P e =

F

D(3.3)

Donde v es la velocidad en la cara i, ∂i es la distancia entre los nodos que incluyen la cara i yPe es el numero de Peclet, que es una relacion entre la conveccion y la difusion. Las expresiones

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Figura 3.2: Diagrama bidimensional de un volumen de control.

para F y D representan el efecto de los terminos convectivo y difusivo, respectivamente, de laecuacion de transporte (3.1).

Los coeficientes ai de la ecuacion (3.2) son:

ai = Dif(Pei) +max(−Fi, 0) (3.4)

Los valores F y D en la cara de la celda de la ecuacion (3.4) son:

Fi = (ρv)∆i, Di =Γi∆i

∂i, i = N,S,E,W (3.5)

donde ∆i es la longitud de la cara i

Para determinar F se necesita conocer ρ y u en la cara de la celda. El calculo del terminoconvectivo de la ecuacion de transporte (3.1) requiere tambien el conocimiento de la variableescalar φ, en la cara de la celda. La velocidad v esta calculada en la celda P y necesita serinterpolada a la cara para calcular los coeficientes a de la ecuacion discretizada (3.2).

La obtencion de estas variables en la cara de la celda es importante para la presicion y con-vergencia de la solucion. El calculo de ρφi da lugar a los llamados esquemas de discretizacion.La funcion f(Pe) de la ecuacion (3.2) depende del esquema de interpolacion; por ejemplo, en elesquema de diferencias desplazadas, f(Pe)=1. Para el sistema hibrido [16]:

f(Pe) = max(0,1− 0,5|Pe|) (3.6)

En el Apendice B se presentan los esquemas de discretizacion lineales, dichos esquemas se

12

emplearan para la distretizacion del termino convectivo de las ecuaciones de cantidad de movi-miento, energıa y turbulencia.

El coeficiente para el termino transitorio es:

aT =ρT∆x∆y

∆t(3.7)

Para el calculo del termino Di (3.5) se necesita obtener el coeficiente de difusion, Γ, en lacara de la celda. El coeficiente Γ no es necesariamente una constante, probablemente puede serfuncion de valores variables que se conocen en los nodos (ejemplo, la temperatura) y por tantoes necesario interpolarlo en la cara. Como ejemplo, para la cara e, estas interpolaciones son:

Γe =∆x(ΓP + ΓE)

2δxe.............Γe =

2δxe∆x( 1

ΓP+ 1

ΓE)

(3.8)

El termino fuente de la ecuacion general (3.1), ¯Sφ,v se elige de acuerdo a la relacion existente

entre Sφy φ, en caso de depender el primero del segundo. El objetivo de la linealizacion deltermino fuente es mejorar la convergencia de la solucion.

Con esta suposicion, los terminos B y aP de la ecuacion (3.2) son:

B = Sφc∆x∆y + aT φT (3.9)

ap = ae + aw + an + as + aT − Sφ,v∆x∆y (3.10)

La ecuacion (3.2) se aplica en cada celda del dominio, para cada φ y para cada paso tempo-ral, por lo que se tiene un sistema de ecuaciones lineales (los coeficientes a puede depender,

directa o indirectamente de φ, por lo que el sistema es realmente pseudo-lineal). Para resolver es-te sistema de ecuaciones se puede utilizar cualquier metodo de resolucion de ecuaciones lineales.

En el calculo de las velocidades a partir de las ecuaciones de cantidad de movimiento, se tieneel incoveniente de que la presion, cuyo gradiente aparece como termino fuente en las ecuacionesde cantidad de movimiento, no tiene una ecuacion propia para calcularla. El algoritmo SIMPLE(Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations), ([17]),([18]) y ([19]) es un metodo desolucion ampliamente utilizado, que permite transformar la ecuacion de continuidad en unaecuacion de presion y que es utilizado en la presente tesis para resolver el problema de acopla-miento velocidad-presion. Dicho metodo es un proceso de solucion iterativo, en donde el sistemade ecuaciones no cumple con el balance entre las ambos lados de las ecuaciones, a este balancese le denomina, residuo. La convergencia del proceso es iterativo y se da cuando dichos residuosdisminuyen.

Para procurar acelerar esta convergencia, se utiliza un metodo de relajacion de algunasde las variables dependientes y propiedades. Se emplean dos tipos de relaciones, la lineal y lainercial. La relacion inercial se emplea para las velocidades y los parametros de turbulencia y

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aumenta la diagonal de la matriz de coeficientes al agregar a la ecuacion de cualquier variableφ, el termino fuente.

Sφ,r =ρVP∆tf

(φ(n−1)P − φ(n)

P ) (3.11)

donde VP es el volumen de la celda P, ∆tf es el intervalo de tiempo falso y el superındice n serefiere al numero de iteracion.

Para la presion y la densidad se emplea la relacion lineal dada por:

φPn

= αφsolP + (1− α)φ(n−1)P (3.12)

donde α es el factor de relacion, el superındice ’sol’ es refiere al valor de la propiedad resultantedel ’solver’ en la iteracion actual. El factor de relacion α, normalmente toma entre 0 y 1.

El criterio de convergencia utilizado para detener el proceso iterativo para un paso temporaldado y pasar al siguiente es tal que, para cada variable, la suma de los valores absolutos de losresiduos en todo el dominio sea menor que un determinado porcentaje de un valor de referencia.

En este trabajo, se usa el codigo de Dinamica de Fluidos Computacional PHOENICS pararesolver las ecuaciones que describen la aerodinamica del flujo, recordando que son, la de con-tinuidad, cantidad de movimiento, energıa y turbulencia.

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3.2. Verificacion de predicciones numericas.

Para verificar las predicciones numericas, a continuacion se presentan los modelos de co-rrelaciones aplicadas al exterior e interior de los tubos aletados helicoidales segmentados yhelicoidales solidos de la presente tesis, para calcular la caıda de presion y la diferencia detemperaturas entre la entrada y salida del domino de calculo. En la figura 3.3 se muestra eldominio de calculo compuesto por columnas de tubos (C), en la que circula el flujo exteriore interior. El flujo que pasa en la parte externa de los tubos que va en la direccion del eje Z,mientras que para su simulacion, el flujo interno se considero como una temperatura constanteen el tubo interior.

Figura 3.3: Configuracion del flujo.

3.3. Correlaciones utilizadas para verificar los resultados

numericos

Exterior de los tubos. Transferencia de Calor

En la parte externa del banco de tubos, la transferencia de calor se calculara con el modelode Kawaguchi[20]. La correlacion esta en terminos del numero de Nusselt, de acuerdo a lasiguiente expresion:

Nu = A2Re0,784v Pr

13 (sFdv

)−0,062 (3.13)

donde A2 es el coeficiente para la fila de tubos aletados, depende de NL, que es el numero defilas por las que pasa el flujo y cuyos valores comerciales son enlistados en la Tabla 2; Rev es elnumero de Reynolds equivalente en volumen y Pr es el numero de Prandlt.El numero de Reynolds equivalente en volumen es:

Rev =Gdvρgνg

(3.14)

donde G es el flujo masico del aire, ρ y ν son la densidad y viscosidad del aire respectivamente,y dv el diametro equivalente en volumen calculado de la siguiente manera:

dv =√tfnf (d0 + 2hf )2 − d2

0 + d20 (3.15)

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donde tf , nf y hf son el espesor, el numero y altura de aleta, respectivamente, d0 es el diametroexterior del tubo liso, CP es la capacidad calorıfica del aire a presion constante, µ es la visco-sidad y k la conductividad termica del aire.

Tabla 1 Coeficientes para las filas de tubos aletados segmentados.

Caıda de Presion

La caıda de presion del aire se calculo con la correlacion de Weiermann [21]. En el analisisse considero un maximo valor permisible de 248.9 [Pa] (1 columna de agua) [22], consideradocomo valor de referencia para evitar problemas operacionales.

Con referencia a lo anterior se determino la caıda de presion del aire mediante la siguientecorrelacion empırica:

∆P0 =f0 + AG2

1,083X109ρaire(3.16)

donde f0 es el factor de friccion, ρ es la densidad del aire y Nr numero de lıneas de tubos y Ase definine como:

A =1 +B2ρaire

4Nr

(3.17)

donde B esta definido como el cuadrado de la relacion entre el area libre de la superficie exteriordel tubo y el area exterior total de calentamiento.

El factor de friccion f0 para un diseno estratificado es:

f0 = 0,07 + 8Re−0,45[0,11(0,05STd0

)−07(

lfsf

)0,23

[1,1 + (1,8− 2,1e−0,15N2r )e−2

SLST

− (0,7− 0,8e−0,15N2r )e−0,6

SLST ](

dfd0

)0,5(TbTf

)−0,25 (3.18)

Para la verificacion de los resultados teoricos resulta de importancia el modelado de la parteinterna de los tubos del intercambiador de calor. A continuacion se presenta dicho modelado.

3.4. Correlacion aplicada a la parte interna de los tubos

La distribucion de temperaturas en el interior de los tubos para ambas configuraciones(aletada solida y aletada segmentada), son presentadas a continuacion.

16

Calculo de la distribucion de temperaturas al interior de los tubos.

Se proponen las temperaturas inicial (Te1) y final del fluido exterior(Te2) del banco detubos, asi mismo la temperatura inicial del fluido interior para el primer par de columnas detubos deben de conocerce a priori. Mientras que para el siguiente par de columnas de tubos, sesupondra su valor y de la misma manera se hara para la temperatura final del fluido interior,en el siguiente par de columnas de tubos.

La temperatura final del fluido interior debe cumplir con las siguientes condiciones para deter-minar si dicha temperatura es la correcta, ya que solo se propuso dicho valor:

La diferencia de la temperatura inicial del flujo exterior y la mınima diferencia de tem-peraturas entre el fluido Te1 y Te2 debe ser mayor que la temperatura final del fluidointerior propuesta.

Debe existir cruce termico, es decir, la temperatura inicial del fluido exterior debe sermayor que la temperatura final del fluido interior.

Si cumple con lo anterior se procede a calcular la temperatura final del fluido interior para elsiguiente par de columnas, comenzando con la temperatura del fluido exterior, la cual debe serigual a la temperatura final del fluido exterior del primer par de columnas y se repite dichoproceso hasta completar el tren de tubos.

Para asegurarse de que la nueva temperatura es la correcta, se comparara su valor con elvalor conocido a priori de dicha temperatura, los cuales deben ser iguales.

17

Capıtulo 4

Simulacion numerica de un banco detubos escalonado

A continuacion se presentan las consideraciones para la simulacion y los resultados en estadoestacionario de un flujo de aire que circula alrededor de un banco de tubos realizado para uncaso base con dos configuraciones geometricas (aletas helicoidales solidas y aletas helicoidalessegmentadas). Con el fin de representar dicho flujo se empleo el codigo de Dinamica de FluidosComputacional PHOENICS. El programa resuelve las ecuaciones que gobiernan el movimientodel flujo (capıtulo 2) mediante el metodo de volumenes finitos (capıtulo 3).

En la simulacion se realizo una variacion en la velocidad media en la entrada, con valoresde 1.5, 3.7, 5 y 6 [m/s], de las cuales, los numeros de Reynolds son los siguientes: 9181, 21069,28221 y 33799, respectivamente. La variacion del numero de Reynolds se realizo para observarsu efecto en la hidrodinamica del flujo y las variables del sistema. Debido a un comportamientosemejante de las varibles para los diferentes casos se selecciono el numero de Re= 21069 comocaso base, cuyos resultados cualitativos son presentados en este capıtulo.

Para verificar las predicciones del modelo numerico, se comparan las predicciones en termi-nos de presion y temperatura, con datos de valores de correlaciones experimentales.

4.1. Configuraciones a simular, caso base y detalles numeri-

cos

Caso Base.

La configuracion del banco de tubos es de flujo escalonado y consta de dos configuracionespara el aletado: aletado helicoidal solido y helicoidal aletado segmentado (Fig. 4.1), para ambasconfiguraciones se tiene que: el fluido exterior es aire con una velocidad media en la entradade 3.7 [m/s].La temperatura en la entrada del dominio es de 60◦ C. No es viable la simulacionde todo el banco de tubos, por lo que se realizo una simplificacion del domino de calculo (mostrada en la Fig.4.2), la cual sera el nuevo dominio de calculo.

La Figura 4.2 muestra el arreglo del tren de tubos, donde los parametros St, SLySD, son elpaso transversal, longitudinal y diagonal, respectivamente, formando un angulo de 60◦ C que

18

definen para que el arreglo sea estratificado. Nr y Nt son, el numero de columnas y de filas delbanco de tubos.Los cilindros internos tiene un diametro de 25.4[mm] y 1000[mm] de largo. En la figura 4.3 semuestran las caracterısticas geometricas del tubo y del arreglo de tubos estratificado.

La condicion de simetrıa en las fronteras laterales para la simulacion numerica del banco detubos, permite una disminucion del dominio de calculo y por lo tanto del tiempo de calculo.Esto se muestra en la figura 4.1 que presenta un banco de tubos aletados en geometrıa complejabajo un arreglo estratificado y que esta formado por varios trenes de tubos (senalados en colorrojo).

Para simular el flujo en el interior de los tubos se situo un cilindro solido con una temperatu-ra fija, la distribucion de temperaturas de estos tubos se establecio mediante la metodologıapropuesta en la seccion 3.1.7 del capıtulo 3.

Figura 4.1: Arreglo geometrico del banco de tubos.

Detalles numericos

El dominio de calculo del tren de tubos tiene las siguientes caracterısticas: 1) 0.1143 [m] deancho x 0.05194 [m] de alto x 0.95 [m] de largo, 2 ) Una entrada y una salida de igual dimen-siones siendo estas de 0.03175[m] en X, 0.0334 [m] en Y y 0[m] en Z. El domino de calculo fuediscretizado con una malla de 900,000 celdas en promedio para ambos casos.

El material de los cilindros es de aluminio, las distribucion de temperaturas de los cilindrosinternos se presenta en la tabla 4.5.

Para un un mayor informacion acerca de los fenomenos relevantes dentro del banco detubos, como lo son, la transferencia de calor y la caıda de presion, asi tambien se calcularon losgradientes de presion y temperatura en la simulacion numerica como se muestra a continuacion:

19

Figura 4.2: Configuraciones del caso base. I. Aletado Segmentado, II. Aletado Solido.

Figura 4.3: Caracterısticas geometricas del tubo y del arreglo de tubos.

Figura 4.4: Configuracion del ten de tubos.

20

Figura 4.5: Distribucion de temperaturas interiores de los tubos.

4.2. Gradientes de Presion y de Temperatura

Los gradientes de presion y temperatura indican los cambios de la variables con respectoa las direcciones espaciales, es decir, presentan informacion de las regiones del dominio decalculo en donde existen las mayores variaciones de presion y de temperatura. Estos gradientespermiten determinar las zonas donde existe mayor caıda de presion y la mayor transferenciade energıa. Dichos gradientes de presion y temperatura son calculados mediante las siguientesexpresiones:

∇P =

[∂P

∂x

2

+∂P

∂y

2

+∂P

∂z

2]1/2

(4.1)

∇T =

[∂T

∂x

2

+∂T

∂y

2

+∂T

∂z

2]1/2

(4.2)

4.3. Resultados de la simulacion numerica

Los resultados para el caso base de ambas configuraciones (aletado solido y aletado segmen-tado), son presentados a continuacion. En las figuras se muestran los perfiles de la velocidad,temperatura, presion, energıa cinetica turbulenta, gradiente de temperaturas y gradiente depresiones. Todas las figuras presentan las variables en el plano XZ, ya que los cambios massignificativos se tienen en la direccion del flujo, es decir en la direccion Z.

En la figura 4.6 se muestran los perfiles de velocidad para ambas configuraciones del casobase. La velocidad tiende a acelerarse en la parte central y en los costados de los tubos, forman-dose bandas entre ellos y siendo simetricos en el plano XZ. En dichas bandas se presentan losmaximos valores de velocidad de aproximadamente de 11 [m/s]. Esto es debido a una reduccionen el area por la que pasa el flujo. Tambien, se observan zonas recirculacion en la parte posteriorde los tubos, con referencia en la direccion del flujo del aire, siendo estas zonas las de menorvelocidad de 0 a 2 [m/s].

21

Figura 4.6: Contornos de la velocidad del tren de tubos aletados a) solidos b) segmentados.

En las figuras 4.7 y 4.8 se muestra el efecto en la distribucion del flujo con cada una de lasgeometrıas. Cabe mencionar que la aletada solida es un 6 % mayor en la superficie de transfe-rencia de calor en comparacion con la aletada segmentada. En la figura 4.8 se observa que laaleta segmentada causa mayor perturbacion en el flujo, causando un incremento en la energıacinetica turbulenta en el flujo, lo cual representa mayor transferencia de calor.

Figura 4.7: Distribucion del flujo en geometrıa aletada a) solida b) segmentada.

En la figura 4.9 se muestran los perfiles de temperaturas para ambas configuraciones del casobase; en direccion del flujo se oberva que su temperatura disminuye. con un comportamientoaparentemente simetrico y periodico. Dicho comportamiento es repetitivo en la direccion Y, por

22

Figura 4.8: Contornos de la temperatura del tren de tubos aletados a) solidos b) segmentados.

lo que el caso podrıa considerarse bidimensional. Las zonas de baja temperatura se encuentranen la parte posterior del banco de tubos aletados, con respecto a la direccion del flujo. Ademas,un mayor cambio en las temperaturas se da en la parte frontal y lateral de las superficies ex-tendidas debido a los mecanismos de conduccion y conveccion.

Comparando ambas configuraciones, se observa una menor temperatura a partir de la quintacolumna del tren de tubos aletados segmentados, esto debido a que existen mayor transferenciade calor por difusion turbulenta en la configuracion aletada segmentada.

En la figura 4.10 se observa el perfil de la presion donde se presenta un comportamientosimetrico en la direccion del flujo, misma que presenta el plano XZ en la direccion ’Y’. Ası mismose observa que las maxima presion se presenta en la parte frontal de cada una de las superficiesextendidas debido al choque del flujo de gases con los tubos aletados. La caıda de presion deltren de tubos aletados segmentados llega a ser un 20 % mayor que la del tren de tubos aletadossegmentados.

En las figura 4.11 se presenta el perfil de la energıa cinetica turbulenta, con un comporta-miento repetitivo y simetrico en direccion al flujo para ambas geometrıas. Los valores maximosson de aproximadamente de 15m2/s2 y se encuentran en los costados y las superficies. Estecomportamiento indica que los mayores efectos disipativos se presentan en las regiones de ma-yor turbulencia. La configuracion segmentada es la que presenta mayores zonas de alta energıaen las aletas, debido a que el segmentado ocasiona un mayores perturbaciones en el flujo.

Las figuras 4.12 se presentan los perfiles del gradiente de temperaturas del tren de tubosen donde se observa un comportamiento aparentemente periodico que disminuye en direccion

23

Figura 4.9: Contornos de la presion del tren de tubos aletados a) solidos b) segmentados.

Figura 4.10: Contornos de la energıa cinetica turbulenta del tren de tubos aletados a) solidos b)

segmentados.

del flujo. El valor maximo se encuentra en la zona frontal central del tubo, que es donde seda la mayor transferencia de calor. La configuracion de tubos aletados segmentados es la quemantiene mayores zonas del gradiente de temperatura, esto debido a la mayor transferencia decalor por conveccion que produce este tipo de aletado.

24

Figura 4.11: Contornos del gradiente de temperaturas del tren de tubos a) solidos b) segmentados.

Figura 4.12: Contornos del gradiente de presiones del tren de tubos aletados a) solidos b) segmentados.

25

En la figura 4.13 el gradiente de presiones muestra un comportamiento periodico y simetricoen el plano XZ, el cual se repite en la direccion Y, por lo cual puede considerarse como un casobidimensional. La configuracion segmentada tiene mayores zonas del gradiente de presiones enel dominio. Esto debido a la mayores zonas de turbulencia generadas por la geometrıa de laaleta.

4.4. Efecto de variar el numero de Reynolds

Para estudiar el efecto del numero de Reynolds en el comportamiento del flujo, se varıo elnumero Re: 9181, 21069, 28221 y 33799, obteniendose como resultado, las variables de presiony temperatura presentadas a continuacion.

Figura 4.13: Presiones en el banco de tubos aletados y segmentados a distintos numeros de Reynolds.

En la figura 4.14 se muestran las graficas de la presion con la variacion del numeros deReynolds: 9181, 21069, 28221 y 33799, para la configuracion solida (4.18) y segmentada (4.19),donde la disminucion de la presion se presenta de manera casi-lineal. A partir de los 0.7 [m], esdecir a partir de la ultima superficie en el banco de tubos, la presion ya no disminuye de ma-nera lineal debido que el flujo ya casi no pierde energıa al chocar con las superficies extendidasy se mantiene constante hasta la frontera de salida del dominio. La configuracion de aletado

26

segmentado es la de mayor perdida de presion, con un 20 % mayor que la de la configuracionde aletado solido, debido a una mayor turbulencia en el flujo.

Figura 4.14: Temperaturas en el banco de tubos aletados y segmentados a distintos numeros de

Reynolds.

En la figura 4.15 se muestra la variacion de la temperatura para distintos numeros de Rey-nolds 9181, 21069, 28221 y 33799, en ambas configuraciones (solidas y segmentadas). Se observaun diminucion no-lineal, donde los mayores valores se tienen para un numero de Reynolds de33,799 en ambas configuraciones. Para el aletado segmentado se tiene un mayor enfriamientodel 2 al 8 %, debido a una mayor transferencia de calor por la turbulencia del flujo de gaseshacia el fluido en los tubos internos.

4.5. Comparacion con resultados

Para la verificacion de resultados numericos a continuacion se presenta una comparacioncon los resultados obtenidos mediante correlaciones.

En las figuras 4.16 y 4.17 se hace una comparacion de las correlaciones con predicciones delmodelo numerico para la caıda de presion en ambas configuraciones, Fig. 4.24 (aletado solido).

27

Figura 4.15: Comparacion del cambio de presion para el caso base (aletado solido).

Figura 4.16: Comparacion del cambio de presion para el caso base (aletado segmentado).

Fig. 25 (aletado segmentado), donde muestra un buen acuerdo de los resultados con un errormaximo para la configuracion solida de un 10 % y un error maximo de 9 % para el segmentado.

Figura 4.17: Comparacion del cambio de temperaturas (aletado solido).

Figura 4.18: Comparacion del cambio de temperaturas (aletado segmentado).

En las figuras 4.18 y 4.19 se hace una comparacion de las correlaciones con predicciones delmodelo numerico para el cambio de temperatura en ambas configuraciones, estas comparacionesmuestran que los resultados tienen un buen acuerdo, con un error maximo para la configuracionsolida de un 15 % y un error maximo de 5 % para el segmentado. Cabe destacar que los valoresmaximos para la caıda de presion son pequenos en el banco de tubos.

28

Capıtulo 5

Conclusiones

Las simulaciones numericas del flujo de aire que circula alrededor de un tren de tubos es-tratificado con aletas helicoidales tanto solidas como segmentadas fueron realizadas de manerasatisfactoria, con una infraestructura computacional y tiempos de calculo bajos, por lo que sehace viable el uso de la alternativa RANS.

Los perfiles de velocidad, temperatura, presion, energıa cinetica turbulenta, gradiente de pre-sion y de temperatura mostraron un comportamiento periodico y simetrico. La variacion deestas caracterısticas es nula en la direccion Y, por lo que se puede considerar como un casobidimensional.

El aletado helicoidalmente segmentado produce mayor perturbacion en el flujo, por lo quela energıa cinetica turbulenta es mayor cuando se tiene una aleta helicoidalmente segmentada.

Los gradientes de presion y de temperatura para cada configuracion se presentan mayorita-riamente en la parte frontal y lateral de los tubos aletados.

El efecto de incrementar el numero de Reynolds hace que la energıa cinetica turbulenta seincremente, aumentando la caıda de presion y el cambio en la temperatura del fluido.

En el caso del aletado helicoidalmente solida es mayor la transferencia de calor debido a que elarea expuesta es hasta un 6 % mayor. Sin embargo el incremento en la turbulencia en el aletadohelicoidalmente serretado es importante y compensa esta falta de area.

Cabe mencionar que los recuperadores de calor aletados helicoidalmente serretados, son masutilizados en la industria, debido a que tienen un menor peso, y por lo tanto su operacion ymantenimiento tienen menores requerimientos.

Finalmente en el caso del aletado segmentado, las correlaciones han sido mas validadas, mien-tras que en el aletado solido, se tiene poca informacion y validacion de los resultados para casosindustriales, por lo que las diferencias con las predicciones numericas correspondientes, pueden,en parte, deberse a esto.

29

Apendice A

Modelos de Turbulencia

A continuacion se introducen, de manera concisa, algunos de los modelos que se puedenutilizar para representar el efecto de la turbulencia en el flujo de gases calientes que pasa porel banco de tubos simulado en la presente tesis. Los modelos se clasifican en dos categorıas:

Modelos de tipo ”difusividad turbulenta”, escencialmente variantes del metodo conocidocomo k-ε.

Cierres de segundo orden, en la forma de modelos de transporte de los esfuerzos deReynolds.

En primer lugar se presentara la ecuacion exacta para los esfuerzos de Reynolds, seguida porlos cierres de segundo orden, que constituyen el transporte de esfuerzos de Reynolds, utilizadosen este trabajo.

Cierres de segundo orden.

La ecuacion de transporte exacta para los esfuerzos de Reynolds (ui”, uj”) es [23]:

∂

∂t(ρui”uj”) +

∂

∂xk(ρukui”uj”) = −(ui”

∂p

∂xjuj”

∂p

∂xi) (A.1)

Si se hace uso de la definicion x del capıtulo y, el termino que expresa el efecto del gradientede presion media (lado derecho de la ecuacion anterior) puede escribirse como:

−(ui”∂p

∂xjuj”

∂p

∂barxi) =

¯ρ′uj”

p

∂p

∂xi+

¯ρ′ui”

ρ(A.2)

La correlacion ¯ρ′uj” se puede modelar de una ecuacion de conservacion truncada como [28]:

¯ρ′uj” = − 1

4,3

k

εui”uj”

∂p

∂xj(A.3)

donde k = 1/2ui”ui” es la energıa cinetica turbulenta y ε es su tasa de disipacion. La con-tribucion de este termino es muy pequena y frecuentemente se desprecia ([24] y [35]).

30

Con fines de modelizacion, la correlacion entre gradientes de presion fluctuante y fluctua-ciones de velocidad, frecuentemente se divide en una parte re-distributiva y una parte isotropa[26].

(¯

ui”∂p′

∂xj) +

¯uj”

∂p′

∂xi= −(

¯ui”

∂p′

∂xj+

¯uj”

∂p′

∂xi− 2

3δij

¯uk”

∂p′

∂xk)− 2

3δij

¯uk”

∂p′

∂xk(A.4)

Los flujos de baja velocidad Ma << 1, el transporte turbulento de los esfuerzos de Reynoldses:

∂

∂xk(Cijk) =

∂

∂xk(ρui”uj”uk” +

2

3δij ¯p′uk”) (A.5)

El termino Cij se modela mediante un cierre de tipo gradiente [27]:

Cijk = −Csk

εuk”ui”

∂ui”

∂xi(A.6)

La correlacion de la disipacion viscosa:

¯τik∂uj”

∂xk+

¯τik”

∂ui”

∂xk= ρεij (A.7)

Si se supone isotropıa local, el termino εij se puede escribir en funcion de la disipacion deenergıa cinetica turbulenta ε, como:

εij =2

3εδij (A.8)

La tasa de disipacion de la energıa cinetica turbulenta, ε, se calcula de la siguiente ecuacionde transporte, deducida por procedimientos similares a los utilizados en el caso de densidadconstante:

∂

∂t(ρε) +

∂

∂xj(ρεuj) = −Cε1ρ

ε

kuk”uj”

∂uk∂xj− Cε2ρ

ε2

k+ Cε3

ε

k

¯ρ′uj”

ρ

∂p

∂xj(A.9)

La ecuacion de los esfuerzos de Reynolds:

∂

∂t( ¯ρui”uj”) +

∂

∂xk(ρukui”uj”) =

∂

∂xk(Cijk)− ρ(ui”uk”

∂uj∂xk

+ uj”uk”ui∂xk

) (A.10)

31

Apendice B

Discretizacion

A continuacion se presenta la discretizacion de la ecuacion general, la cual representa lasecuaciones de continuidad, cantidad de movimiento, energıa y del modelo de turbulencia [28].

Discretizacion de la Ecuacion General

Partiendo de la idea basica en la cual los volumenes finitos surgen de la forma integral dela ecuacion general. Se aplica la integral de volumen a la ecuacion general de transporte:∫

V C

∂ρφ

∂tdV +

∫V C

∇(ρφu)dV +

∫V C

∇(Γφgrad(φ))dV +

∫V C

SφdV (B.1)

Las integrales de volumen en los terminos convectivo y difusivo se reescriben como integralesde superficie mediante el uso del teorema de la divergencia de Gauss . Este teorema relacionaintegrales de volumen con integrales de superficie:∫

V C

∂ρφ

∂tdV +

∫V C

n(ρφu)dA =

∫SC

n(Γφgrad(φ))dV +

∫V C

SφdV (B.2)

De esta manera resulta mas claro el significado del flujo de la variable φ por conveccion y pordifusion hacia o desde el elemento o volumen de control. Cuando se estudian problemas enestado permanente, el primer termino desaparece. En el caso de los estudios dependientes deltiempo, se integra una vez mas con respecto al tiempo en un pequeno intervalo ∆ t. La ecuaciongeneral de transporte se escribe como sigue:

∫∆t

∫V C

∂ρφ

∂tdV dt+

∫∆

∫SC

n(ρφu)dAdt =

−∫

∆t

∫SC

n(Γφgrad(φ))dV dt+

∫∆t

∫V C

SφdV dt (B.3)

En la integracion, se considera a φ constante en toda la celda y en todo paso temporal. Acontinuacion, se integran cada uno de los terminos de la ecuacion general considerando unvolumen unidimensional.

32

Termino Temporal

La integracion de termino temporal en el intervalo de tiempo ∆ es:

1

∆t

∫∆t

∫V C

∂ρφ

∂tdV dt =

1

∆t

∫V C

∫∆t

∂ρφ

∂tdtdV (B.4)

1

∆t

∫V C

[ρPφP − ρTφT

∆t∆t]dV =

VP∆t

(ρPφP − ZZρTφT ) (B.5)

donde VP es el volumen de la celda.

Termino Fuente

El termino fuente se supondra lineal, lo que ayuda a la convergencia del metodo iterativo desolucion. La aparente restriccion de la formulacion lineal del termino, queda sin efecto debidoa que C y V pueden ser variables.

1

∆t

∫∆t

∫V C

SφdV dt =1

∆tVPC(V − φP )∆t = VPC(V − φP ) (B.6)

Termino Difusivo

Para el termino difusivo se tiene:

1

∆t

∫∆t

∫SC

n(Γφgrad(φ))dV dt =1

∆t

∫SC

n(Γφgrad(φ))dV∆t =∑Γφgrad(φ)nA (B.7)

sobre el eje x: ∫SC

n(Γφgrad(φ))dV = ΓEφE − φP∂xPE

AE − ΓEφP − φW∂xWP

AW (B.8)

Si el coeficiente de difusion Γφ no es constante, es necesaria la interpolacion para encontrar elvalor en la cara. Esta interpolacion puede ser aritmetica o armonica.

La segunda es conveninte para asegurar la continuidad del flujo difusivo a traves de la caracuando el coeficiente varia rapidamente.

Aritmetica

ΓE =ΓP∂xEE + ΓE∂xPE

∂xPE(B.9)

33

ΓW =ΓW∂xWW + ΓP∂xWP

∂xWP

(B.10)

Armonica

ΓE =∂xPE

∂EE

ΓP+ ∂xPE

ΓE

(B.11)

ΓW =∂xWP

∂WW

ΓW+ ∂xXP

ΓP

(B.12)

Termino convectivo

Como en el caso del termino difusivo, la integral de volumen se transforma en una integralde superficie extendida a las seis caras de la celda.

1

∆t

∫∆t

∫SC

n(ρφu)dAdt =

∫SCn(ρφu)dA =

∑(ρφnuA) (B.13)

Para el eje x: ∫SC

n(ρφu)dAdt = ρEφEuEAE − ρWφWuWAW (B.14)

En el calculo del termino convectivo se requiere conocer φE y φW , ası como las componentes dela velocidad en las caras de la celda. Debido al uso de una malla decalada, es necesario interpolarpara encontrar los valores de estas propiedades entre los nodos. El metodo de obtencion φ delugar a los llamados esquemas de discretizacion. Utilizando el esquema upwind, la ecuacionanterior queda como:

ρEφEuEA = [ρPφPUE − ρEφE(−UE)]AE (B.15)

ρWφWuWA = [ρWφWUW − ρPφP (−UW )]AW (B.16)

(B.17)

B.1. Ecuacion General Discretizada

Si se reescribe la ecuacion general para el caso unidimensional con los terminos discretizados,se obtiene:

VP∆t

(ρPφP − ρTφT ) + [ρPφPuE − ρEφE(−uE)]AE + [ρWφWuW (B.18)

−ρPφP (−uW )]AW = ΓEφE − φP∂xPE

AE − ΓEφP − φW∂xWP

AW + VPC(V − φP ) (B.19)

34

Agrupando los terminos, queda:

φP [VPρP∆t

+ ρPuEAE + ρPuWAW +ΓEAE∂xPE

+ΓWAW∂xWP

+ VPC] (B.20)

= φW [ρWuWAW +ΓWAW∂xWP

] + φE[ρEuEAE +ΓEAE∂xPE

] + φT [VPρT∆t

] + VPCV (B.21)

Si se introducen los coeficientes a para aplicar los multiplicadores de las φ, se obtine unaecuacion algebraica que relaciona los valores de φ para un determinado grupo de puntos nodalesproximos.

φP (aP + VPC) = aWφW + aEφE + aTφT + VPCV (B.22)

Esta ecuacion algebraica expresa el principio de conservacion de φ en el volumen finito, de lamisma manera que la ecuacion diferencial lo expresa para un volumen infinitesimal. Extendiendola ecuacion a un caso tridimensional, toma la forma:

aPφP =∑

i, jaiφI + aTφT + VPCV ; i = N,S,E,W,H,L (B.23)

Donde el subındice I representa las celdas vecinas, i la cara entre las celdas P e I, T el valorcorrespondiente al paso temporal anterior y VP C V el termino fuente.

La ultima ecuacion se aplica en cada celda del dominio, para cada φ y para cada paso temporal∆t, por lo que se tiene un sistema de ecuaciones lineales (dado que los coeficientes a puedendepender, directa o indirectamente de φ, el sistema es realmente pseudo-lineal).

B.2. Solucion del sistema de ecuaciones

Puesto que la ecuacion (3.31), derivada de la ecuacion (3.7) es lineal, cualquier metodo deresolucion de ecuaciones lineales puede ser utilizado. Si el sistema se escribe en notacion ma-tricial como [A][φ] = [b], entoces el problema se reduce a encontrar el vector [φ].

Ya que el sitema tiene una gran dimensionalidad, es preciso encontrar tecnicas eficientes parala solucion. Para ello es conveniente tener en cuenta dos aspectos de este sistema, en primerlugar, puesto que la ecuacion conecta los valores en celdas vecinas, la mayor parte de los ele-mentos de la matriz [A] son nulos. En segundo lugar, los coeficientes de [A] (los terminos ai dela ecuacion) puede ser funcion de variables dependientes y por lo tanto el proceso de solucionha de ser iterativo. A continuacion se discutiran tres metodos sencillos de solucion del sitema:punto a punto, plano a plano y tridimensional.

35

B.3. Punto a Punto

Metodo iterativo que consiste en barrer el dominio calculando, para cada celda P, la variblelocal en funcion de los valores de las vecinas. Son conceptualmente mas sencillos, y tambien losmas sencillos de implementar.

Existen dos metodos alternativos de este tipo, segun el valor que se calcula en cada celdase haga inmediatamente disponible para el calculo de otras celdas o su uso se retrase hasta el’barrido’ siguiente del dominio. El primer metodo se llama Gauss-Seidel, en razon de su mayorrobustez. La razon de esta es que el retrasar el uso uso de nuevos valores hasta el barridosiguiente hace avanzar a la solucion por igual en todo el dominio, y evita que determinadaszonas ’se pierda el paso’.

La desventaja de los metodos punto a punto es la lenta propagacion de la informacion (talcomo las condiciones de frontera, o los cambios durante la iteracion de la zona) a traves deldominio, propagacion que tiene lugar a la velocidad de una celda por iteracion. Dos variantes:Gauss-Seidel y Jacobi

Gauss-Seidel usa cada φP inmediatamente en el lado derecho.

Jacobi utiliza φ′P s anteriores hasta el final del barrido.

B.4. Plano a plano

El metodo plano a plano se basa en la generalizacion a dos dimensiones de un algorit-mo conocido para la resolucion de sistemas de ecuaciones linelales unidimensionales llamadoalgoritmo de Thomas, o TDMA (Tridiagonal Matrix Algorithm), que consiste en:

1. Supone que los valores fuera del plano (φL,φH ,PE) son conocidos. La ecuacion queda:aPφP = aNφN + aSφS + aEφE + aWφW + b′

2. Postular φP = NPφN + EPφE +BP

3. Sustituyendo en la ecuacion para φP ,φW ,φS, obtener NP , EP , BS, BW como funcion deNS, ES, NW , EW , BS, BW y φSE,φNW .

4. Barrer el dominio empezando por esquina SW y calculando N’s,E’s,B’s.

5. Barrer al reves calculando φ’s por la relacion de (2).

6. Repetir en todos los planos del dominio.

En el caso general de un problema tridimensional, el metodo trabaja en un plano de celdas, ysupone conocidos los valores de las variables dependientes en los planos vecinos. Despues pos-tula una relacion entre el valor en una celda y los valores de recurrencia que permite, barriendodos veces el dominio (una vez desde la esquina inferior izquierda a la superior y derecha, sesustituye y otra vez a la inversa) calcular los valores de las varibles en cada celda .El procesose repite en cada en cada plano del dominio, y el repetido barrido del dominio efectuando esta

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operacion permite alcanzar iterativamente la solucion.

Existe una generalizacion de este algoritmo a tres dimensiones, que escencialmente modificala relacion postulada para φP para incluir una de las celdas fuera del plano. El resto del algo-ritmo es similar, siendo en este caso los barridos del dominio en tres dimensiones, y no en doscomo en el caso anterior.

La variable dependiente φ esta biunıvocamente asociada con la ecuacion de transporte condos excepciones: la presion, cuyo gradiente aparece con termino fuente en las ecuaciones decantidad de movimiento, no tiene una ecuacion propia; y la ecuacion de continuidad no tieneuna variable propia (la densidad y la velocidad aparecen en la ecuacion de la continuidad, perola densidad se calcula a traves de una ecuacion de estado, y la velocidad de las ecuaciones decantidad de movimiento).

La solucion es transformar la ecuacion de continuidad en una ecuacion para la presion. Losalgoritmos SIMPLE, que se describen a continuacion, cumplen con esta funcion.

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Apendice C

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