Teoria multimilorTeoria multimilor

8/20/2019 Teoria multimilorTeoria multimilor

1/20

Facultatea de Matematică, Universitatea “Al. I. Cuza”Iaşi

Logică şi teoria mulţimilorde

Claudiu Volf & Ioan I. Vrabie

2005

NOTE DE CURS


2/20

CAPITOLUL 1

Elemente de logică

“Spune ı̂ntotdeauna adev˘ arul şi

nu va trebui s˘ a t ̧ii minte nimic.”

Mark Twain

1. Introducere

1.1. Scurtă prezentare. Logica este ştiinţa demonstraţiei, având drept obiecte de studiulegile generale de raţionament corect. Pe scurt, logica se ocupă de studiul sistematic aladev˘ arului . Obiectele cu care ea operează sunt propozit ̧iile şi predicatele , iar mijloacele delucru utilizate sunt limbajul şi regulile de deduct ̧ie . Mai precis, logica operează cu definit ̧ii,propozit ̧ii, predicate, operatori logici, cuantificatori şi reguli de deduct ¸ie .

Începem prin a formula patru principii fundamentale ale logicii matematice:

• Principiul identit˘ at ̧ii • Principiul non-contradict ̧iei • Principiul tert ̧ului exclus • Principiul rat ̧iunii suficiente

Conform principiului identităţii, ı̂n cadrul oricărui proces de raţionament, noţiunile,

propoziţiile, predicatele, notaţiile, operatorii logici etc., trebuie utilizaţi ı̂ntr-o singură accepţiuneşi numai una. Orice abatere de la această regulă este o sursă de neadevăr şi confuzie. Este bine-cunoscută replica “cred c˘ a vorbim de spre lucruri diferite ” pe care unul dintre participanţii lao discuţie o dă altuia atunci când, cel puţin aparent, pornind de la aceeaşi premisă adevărată,ajung la concluzii contradictorii. Aceasta replică este de fapt o atenţionare asupra unei posi-bile ı̂ncălcări a principiului identităţii, ı̂ncălcare cunoscută drept cea mai frecventă sursă decontradicţii. Un raţionament – eronat – de tipul “Câinele este mamifer. Mamifer este sub-stantiv. Deci cˆ ainele este substantiv.” este bazat pe ı̂ncălcarea principiului identităţii prinutilizarea termenului “mamifer” ı̂n două accepţiuni diferite: prima de nume de not ̧iune şi ceade-a doua de parte de vorbire . Subliniem că acest principiu are drept consecinţă că un acelaşisimbol, ı̂n cadrul unui raţionament, nu poate nota obiecte diferite. Drept consecinţă, avem

regula substitut ̧iei , care afirmă că substituirea unei variabile ı̂ntr-o expresie trebuie făcutăpeste tot unde apare cu unul şi acelaşi simbol.Pe de altă parte, tradiţia gândirii corecte ne spune că o propoziţie nu poate fi şi adevărată

şi falsă, cerinţă cunoscută sub numele de principiul non-contradicţiei.Propoziţiile pot fi adevărate sau false, iar logica matematică se bazează pe cerinţa că o a

treia posibilitate nu exist˘ a . Acesta este principiul terţului exclus.Logica pretinde justificări fundamentate şi complete. Aceast̆a cerinţă este formulată

de principiul raţiunii suficiente: exceptˆ and axiomele, toate afirmat i̧ile acceptate drept adev˘ arate se bazeaz˘ a doar pe demonstrat ̧ii corecte, care folosesc numai adev˘ aruri deja cunos-cute, suficient de ı̂ntemeiate. ˆ In plus, concluziile trebuie obt ̧inute doar pe cale deductiv˘ a . Cualte cuvinte, pentru a stabili faptul că o propoziţie este adevărată sau falsă trebuie să ne spri-

jinim pe o argumentaţie riguroasă, deductivă, bazată pe o “cantitate suficient˘ a de adevăr ”.

Aceasta revine la a spune că logica nu accept˘ a argumente care se bazeaz˘ a pe: propozit ̧ii false,argumente de autoritate de tipul “pentru ca aşa vreau ”, nici argumente care pot fi corecte,dar sunt incomplete – precum cele inductive .


3/20

4 1. ELEMENTE DE LOGICĂ

Apariţia ı̂n cadrul limbajelor naturale (mai târziu, chiar ı̂n interiorul unor teorii matem-atice) a unor propoziţii ce nu respectă principiul necontradicţiei, propoziţii numite fie anti-nomii 1 – termen folosit cu precădere de filosofi – fie paradoxuri 2, a impulsionat atât logicacât şi matematica spre rezolvarea cu prioritate a problemelor proprii de fundament.

Matematica este cu siguranţă disciplina care, până la un anumit punct, s-a format, dez-voltat şi formalizat pe baza logicii, ulterior observându-se şi o inversare de roluri: logica s-a for-

malizat utilizând metode matematice. Demn de subliniat este faptul că există o corespondenţăperfectă ı̂ntre calculul propoziţiilor şi operaţ iile cu submulţimile unei mulţimi nevide date. Deexemplu, disjuncţiei a două propoziţii ı̂i corespunde reuniunea a două mulţimi, şi reciproc.Din acest motiv, nu de puţine ori, elementele de logică matematică se prezintă ı̂mpreună cucele de teoria mulţimilor, suportul intuitiv al celei din urmă fiind de un real folos ı̂n ı̂nţelegereaşi aprofundarea a numeroase construcţii logice abstracte. Nu este lipsit de interes să subliniemcă au existat logicieni – precum Bertrand Russell – care au susţ inut teza că matematica esteo ramură a logicii.

1.2. Rolul limbajului. Un prim scop al cursului de “Logic˘ a şi teoria mult ̧imilor ” este dea trece de la limbajul natural , obişnuit, la limbajul matematic , modern. Instrumentul principalcu care operează orice tip de ştiinţă, ı̂n particular şi logica, este limbajul. În afară de limbajulnatural – ı̂n cazul nostru limba română – există multe alte limbaje specifice diferitelor ştiinţe.Aceaste limbaje au fost create din mai multe raţiuni dintre care amintim:

• Evitarea problemelor de natură logică: antinomiile semantice – vezi mai jos antino-mia mincinosului şi cea a lui Grelling; formul˘ arile echivoce ; utilizarea dublei negat ̧ii cu rol de negat ̧ie simpl˘ a – folosită ı̂n multe limbi naturale precum româna şi franceza,dar nu ı̂n engleză – utilizare care este de natură să pervertească gândirea corectă. Laı̂ntrebarea: “Ce faci ?” cei mai mulţi preferă să aleagă varianta de răspuns, ilogic: Nu

fac nimic! , ı̂n locul celei perfect logice: Nimic 3. Alăturarea lui nu cu nimic , vrem, nuvrem, are drept ı̂nţeles ceva . Ca urmare, Nu fac nimic! se traduce ı̂n termenii logiciiaristotelice prin Fac ceva! Ceea ce trebuie să reţinem din acest exemplu simplu estecă, dacă ı̂n limbajul comun, din motive tradiţ ionale4, nu putem renunţa la unele ex-

primări care utilizează dubla negaţie pe post de negaţie simplă, ı̂n cadrul limbajului matematic aceast˘ a practic˘ a este interzis˘ a cu des˘ avˆ aŗsire . Oricum, este de dorit caşi ı̂n limbajul de toate zilele s˘ a evit˘ am , prin intermediul unor formulări echivalentepe deplin corecte, utilizarea dublei negat ̧ii pe post de negat ̧ie simpl˘ a . Un exemplude manieră “exotică” de utilizare a dublei negaţii cu rol de negaţie simplă este: “ˆ In total, o persoan˘ a nu poate urma ı̂n acest regim nu mai mult de 50% din cursurile unui domeniu de licent ̧̆ a .”5 Este clar că o asemenea formulare nu-̧si poate atingescopul (probabil) de a accentua negaţia, reuşind doar să perplexeze prin ambiguitateşi confuzie.

• Simplificarea şi standardizarea exprimării, e.g.6 chimia foloseşte o simbolistică pro-prie pentru a scurta expunerea şi a descrie cât mai precis obiectele cu care operează.

În loc de termenul sare de buc˘ at˘ arie chimistul foloseşte termenul simbolic NaClcare descrie foarte precis şi, ı̂n acelaşi timp, concis compoziţia chimică a substanţeimai sus menţionate. Tot ı̂n scopul simplificării şi al standardizării exprimării, atâtmatematica cât şi logica fac apel la o mulţime de simboluri proprii precum: ∀, ∃,

1Constând dintr-o contradict ̧ie aparent insolubil˘ a dintre dou˘ a teze, legi sau principii care, deşi se exclud reciproc, pot fi demonstrate, fiecare ı̂n parte, la fel de conving˘ ator .

2Termenul de paradox este utilizat ı̂n special de logica matematică şi denumeşte orice propozit ̧ie corect construit˘ a care este adev˘ arat˘ a dac˘ a şi numai dac˘ a este fals˘ a .

3Şi care, din păcate, pentru unii, exprimă un adevăr incontestabil.4La care s-ar putea renunţa cu o foarte mare dificultate şi cu preţul unor costuri educaţionale enorme.5REGULAMENT PRIVIND DESFĂŞURAREA ACTIVITĂŢII DIDACTICE – studii universitare de

licenţă – proiect, UNIVERSITATEA “AL. I. CUZA”, RECTORATUL – PROGRAME DIDACTICE,2300/5.X.2005.6Prescurtarea e.g. provine de la expresia latină exempli gratia şi ı̂nseamnă: de exemplu, ca exemplu, spre

exemplu.


4/20

1. INTRODUCERE 5

¬, ∈, , ⇒, ⇔, ∩, ∪, ∨, ∧ şi multe altele pe care le vom defini şi despre care vomdiscuta mai târziu.

Este locul să subliniem importanţa utilizării corecte a limbii, o atenţie specială trebuind afi acordată semnelor de punctuaţie. Lipsa sau prezenţa acestora (i.e.7 plasarea lor neinspirată)pot modifica dramatic ı̂nţelesul unei propoziţii. Să luăm drept exemplu propoziţia (culeasădintr-o emisiune televizată): “St˘ am de vorb˘ a cu Florin, de 19 ani student ı̂n anul ı̂ntˆ ai .”Lipsa virgulei ı̂ntre ani şi student – virgulă care ţine locul conjuncţiei “şi” – modifică radicalı̂nţelesul dorit, anume că: Florin are 19 ani şi este ı̂n anul ı̂nt ̂ai precizând fără nici un dubiu că:perioada ı̂n care Florin a fost şi ı̂nc ̆a mai este student ı̂n anul ı̂ntˆ ai este de 19 ani , ceea ce . . .este cu totul altceva. Un alt exemplu de acelaşi tip (cules chiar dintr-o carte de matematică)evidenţiază nu numai importanţa plasării corecte a virgulei, dar şi dependenţa ı̂nţelesului uneipropoziţii de ordinea termenilor: Teorema de uniform˘ a convergent ̧̆ a a lui Weierstrass doreştesă exprime de fapt Teorema lui Weierstrass de uniform˘ a convergent ̧̆ a . Putem exprima corectacelaşi lucru plasând virgula la locul cuvenit, adică Teorema de uniform˘ a convergent ̧̆ a, a lui Weierstrass .

1.3. Definiţii, propoziţii. Logica operează cu definit ̧ii , propozit ̧ii (pe care le vom mai

numi şi enunt ̧uri ), predicate (numite şi funct ̧ii propozit ̧ionale ), operatori logici , cuantificatori şi reguli de deduct ̧ie . O definit ̧ie este o delimitare precisă a unei familii particulare de obiectedintr-una mai amplă, deja cunoscută (numită gen proxim ), prin intermediul unei proprietăţicomune tuturor obiectelor nou definite şi numai acestora (proprietate numită diferent ̧̆ a spe-cific˘ a ). Desigur, aceasta este o descriere a ceea ce se ı̂nţelege printr-o definiţie şi nicidecumo definiţie a definiţiei. Numele generic dat unui obiect din familia nou definită este numele conceptului (not ̧iunii ) definit (e ).

În definiţia: “Se numeşte triunghi dreptunghic un triunghi care are un unghi drept.”, nu-mele conceptului definit este “triunghi dreptunghic ”, genul proxim este “triunghi ” iar diferenţaspecifică este “proprietatea de a avea un unghi drept ”. O cerinţă esenţială pe care trebuiesă o respecte o definiţie este de a fi consistent˘ a . Aceasta ı̂nseamnă că genul proxim trebuiesă conţină măcar un obiect care să aibă toate proprietăţile cerute de diferenţa specifică. Un

astfel de obiect se numeşte exemplu pentru definiţia respectivă. În cazul definiţiei noţiunii degrup un astfel de exemplu este grupul (Z, +).

Este uşor de ı̂nţeles că, din moment ce pentru a defini un nou concept, e.g. cel de triunghi dreptunghic , trebuie să ne bazăm pe un altul deja definit, e.g. cel de triunghi , mergând ı̂napoi,din definiţie ı̂n definiţie, vom ajunge la concepte (noţiuni) pentru care nu putem găsi nici ungen proxim pre-existent la care să ne raportăm, i.e. de la care să construim definiţia. Aşadar,trebuie să considerăm ı̂n cele din urmă noţiuni care nu se definesc (not ̧iuni primare ); cuajutorul lor vom putea defini alte obiecte. Aceasta este un principiu de bază ı̂n orice teorieaxiomatică. Cele mai importante noţiuni primare pe care le vom utiliza ı̂n cadrul acestui curssunt noţiunea de mult ̧ime şi de relat ̧ie de apartenent ̧̆ a . Pentru descrierea acestora suntemnevoiţi să apelăm la intuiţie.

O propozit ̧ie sau un enunt ̧ este o constatare spusă, scrisă, gândită, sau exprimată ı̂n oricealt mod, care este fie adevărată fie falsă. Adevărul, notat pe scurt cu a sau 1 şi falsul, notatpe scurt cu f sau 0, poartă numele de valori de adev˘ ar ale unei propoziţii. De exemplu:“Mihai are părul blond.” este o propoziţie ı̂n accepţiunea logicii, a cărei valoare de adevăr, asau f , poate fi stabilită fie prin verificare directă – observarea subiectului, Mihai, – fie indirectprin observarea unei fotografii color a subiectului. Dimpotrivă, formulările: “Cˆ and plou˘ a? ”,“Du-te acas˘ a !” nu sunt propoziţii ı̂n sensul logicii, deşi, ı̂n accept ̧iunea gramatical˘ a , primaeste o propozit ̧ie interogativ˘ a iar cea de-a doua o propozit ̧ie imperativ˘ a . Trebuie să menţionămde la bun ı̂nceput că, pentru ca o anumită formulare să fie o propoziţie, nu este necesar săfim ı̂n stare a-i stabili valoarea de adevăr. De asemenea, este foarte important să subliniemcă există o distincţie ı̂ntre modul de exprimare, i.e. expresia unei propoziţii şi propoziţiaı̂nsăşi. Mai precis, una şi aceeaşi propoziţie poate fi exprimată ı̂n mai multe moduri. De

exemplu propoziţia “Mihai are p˘ arul blond.” admite formularea echivalentă “P˘ arul lui Mihai

7Prescurtarea i.e. provine de la expresia latină id est şi ı̂nseamnă: altfel spus, cu alte cuvinte, adică.


5/20


este blond.” Este uşor de constatat că, deşi aceste două formulări sunt distincte, ele exprimăaceeaşi constatare.

Exerciţiul 1.1. Pentru definiţiile de mai jos să se pună ı̂n evidenţă:

(i) numele conceptului definit;(ii) genul proxim;

(iii) diferenţa specifică;şi apoi să precizeze câteva forme echivalente. Exemplu. În cazul definiţiei “Triunghiul

este un poligon cu trei laturi.” avem

(i) numele conceptului definit:triunghi (ii) genul proxim: poligon

(iii) diferenţa specifică: cu treilaturi .

Formulări echivalente: “Poligonul cu trei laturi se numȩste triunghi.” “Numim triunghi un poligon cu trei laturi.” Această din urmă formulare este preferabilă deoarece evidenţiazăde la bun ı̂nceput că avem de-a face cu o definiţie şi nu cu o teoremă.

(1) Se numeşte dreptunghi un patrulater cu trei unghiuri drepte.(2) Se numeşte funcţie injectivă o funcţie cu proprietatea că transformă orice două puncte

distincte din domeniu ı̂n două puncte disticte din codomeniu.(3) Se numȩste grup comutativ un grup (G, ◦) cu proprietatea că pentru orice două

elemente x, y din G avem x ◦ y = y ◦ x.(4) Se numeşte număr prim un număr natural, mai mare decât 1, ai cărui singuri divizori

sunt 1 şi numărul ı̂nsuşi.(5) Se numeşte mulţime ı̂nchisă o mulţime de numere reale care este complementara unei

mulţimi deschise.

Exerciţiul 1.2. Care dintre următoarele expresii sunt propoziţii şi care nu?

(1) Pomii sunt verzi.(2) Fie ABC un triunghi isoscel.

(3) Pătratul are toate laturile congruente.(4) Pătratul are exact două laturi congruente.(5) Cine este autorul teoremei: “o paralel˘ a dusă la una din laturile unui triunghi deter-

min˘ a pe celelalte dou˘ a laturi segmente proport ̧ionale”?(6) De ce ABC este echilateral?(7) Orice funcţie continuă este derivabilă.(8) Toate funcţiile continue sunt derivabile.(9) Există o funcţie continuă care nu este derivabilă.

(10) Nici o funcţie continuă nu este derivabilă(11) Nu există o funcţie continuă care să fie derivabilă.(12) Nu există o funcţie continuă care să nu fie derivabilă.(13) Dacă x ≤ 3 atunci x10 > 10.(14) x ≤ 3.(15) (a + b) (a − b) = a2 − b2.(16) Pentru orice a ∈ C, (a + b) (a − b) = a2 − b2.(17) Pentru orice a, b ∈ C, (a + b) (a − b) = a2 − b2.(18) Dacă x ≤ 3 atunci y2 > 0.(19) x · x−1 = 1.

2. Operaţii cu propoziţii. Operatori logici

Fiind date două propoziţii p, q , putem forma altele noi prin intermediul operatorilor logici de: disjunct ̧ie , conjunct ̧ie , negat ̧i e şi implicat ̧ie .

2.1. Disjuncţia. Propoziţia p ∨ q, care se citeşte “ p sau q ”, poartă numele de disjunct ̧ia propozit ̧iilor p şi q , propoziţie care este adevărată exact atunci când cel puţin una dintrepropoziţiile p sau q este adevărată. Aşadar, p ∨ q este falsă exact atunci când atât p cât şi q


6/20

2. OPERAŢII CU PROPOZIŢII. OPERATORI LOGICI 7

sunt false. Această definiţie a valorii de adevăr a lui p ∨ q se poate da cu ajutorul tabelului de adev˘ ar:

p q p ∨ q 1 1 11 0 1

0 1 10 0 0

S-au scris pe linii toate combinaţiile posibile de valori de adevăr pentru p şi q . Tabelul seciteşte pe linii: de exemplu, linia 3 a tabelului spune, că, dacă p are valoarea de adevăr 0, iarq are valoarea de adevăr 1, atunci p ∨ q are valoarea de adevăr 1.

Exemplul 2.1.

• “Florin nu este acasă sau telefonul lui este defect” este un enunţ de forma p ∨ q, unde p este “Florin nu este acasă”, iar q este “Telefonul lui Florin este defect”.

• “Patrulaterul ABCD este pătrat sau patrulaterul ABCD este romb.” Această propoziţieeste adesea enunţată mai pe scurt “Patrulaterul ABCD este pătrat sau romb.” Este

important de identificat structura logică a unei propoziţii “compuse” de acest tip.

2.2. Conjuncţia. Propoziţia p ∧ q, care se citeşte “ p şi q ”, poartă numele de conjunct ̧ia propozit ̧iilor p şi q , propoziţie care este adevărată exact atunci când ambele propoziţii p şiq sunt adevărate. Deci, p ∧ q este falsă exact atunci când măcar una dintre ele este falsă.Corespunzător, avem tabelul de adevăr:

p q p ∧ q 1 1 11 0 00 1 00 0 0

Exemplul 2.2.

• “Trenul opreşte şi călătorii coboară”.• “Patrulaterul ABCD este romb şi are un unghi drept.”

2.3. Negaţia. Dată o propoziţie p, putem forma propoziţia ¬ p, numită negat ̧ia propozit ̧iei p, care este adevărată exact atunci când p este falsă. Deci, ¬ p este falsă dacă p este adevărată.Propoziţia ¬ p se citeşte “non p” sau “nu este adev˘ arat c˘ a p”.

p ¬ p1 00 1

Exemplul 2.3.

• Negaţia propoziţiei “Orice om este muritor” este “Nu orice om este muritor”. Formeechivalente: “Există un om care nu este muritor” – preferată – şi “Nici un om nu este muritor” – pe care o vom evita. Vezi comentariul de mai jos.

• Negaţia propoziţiei “Există triunghiuri cu două unghiuri drepte” este “Nu existăun triunghi care să aibă două unghiuri drepte”– preferată – sau formele echivalente“Orice triunghi nu are două unghiuri drepte” – preferată – şi “Nici un triunghi nu are două unghiuri drepte” – pe care o vom evita.

Comentariu. În ambele exemple, ultima formă, deşi folosită şi acceptată ı̂n limbajulcurent, va fi evitată ı̂n limbajul matematic tocmai pentru a nu permite utilizarea dublei

negaţii cu rol de negaţie simplă, utilizare având drept scop de a accentua caracterul “negativ”al constatării, dar generatoare de posibile ambiguităţi.

Să analizăm câteva exemple.


7/20


Exemplul 2.4. Negaţia propoziţiei: “dreptele d1 şi d2 sunt paralele sau necoplanare ”este “dreptele d1 şi d2 nu sunt paralele şi nu sunt necoplanare ”, ceea ce, ı̂n virtutea pricipiuluidublei negaţii, se reformulează: “dreptele d1 şi d2 nu sunt paralele şi sunt coplanare ” – deunde deducem că “dreptele d1 şi d2 sunt concurente ”. Aceeaşi negaţ ie mai poate fi exprimatăşi sub forma: “dreptele d1 şi d2 nu sunt paralele şi nici necoplanare ”.

Exemplul 2.5. Negaţia propoziţiei: “patrulaterul ABCD este romb şi are un unghidrept” este “patrulaterul ABCD nu este romb sau nu are un unghi drept ” sau, echivalent:“patrulaterul ABCD nu este romb sau orice unghi al s˘ au nu este drept ” sau ı̂ncă: “patrulaterul ABCD nu este romb sau nu exist˘ a un unghi al s˘ au care s˘ a fie drept ”.

2.4. Implicaţia. Definim propoziţia p → q, care se citeşte “ p implic˘ a q ” ca fiind onotaţie prescurtată pentru propoziţia (¬ p) ∨ q. Scriind tabelul de adevăr pentru (¬ p) ∨ q, sevede imediat că p → q este adevărată dacă q este adevărată sau atât p cât şi q sunt false, şifalsă numai dacă p este adevărată şi q falsă. În expresia p → q , p poartă numele de ipotez˘ a ,iar q de concluzie . Operatorul logic → se numeşte implicat ̧ie . Tabelul său de adevăr este:

p q p → q 1 1 1

1 0 00 1 10 0 1

Se justifică intuitiv că p → q este acelaşi lucru cu (¬ p) ∨ q , astfel: p → q ı̂nseamnă “dacă p este adevărată, atunci q este adevărată”. Altfel spus, sau p este falsă (adică are loc ¬ p),sau p este adevărată şi atunci automat q este adevărată (adică are loc q ); pe scurt, (¬ p) ∨ q .Faptul că p → q este acelaşi lucru din punct de vedere logic cu (¬ p) ∨ q este foarte importantşi util când trebuie negat˘ a o implicaţie (lucru care intervine frecvent, de exemplu ı̂n cazuldemonstraţiilor prin reducere la absurd).

Exemple :

• “Dacă plecăm ı̂ntr-un minut atunci vom ajunge la timp”.

• “Dacă ABC este triunghi cu toate laturile congruente două câte două atunci unghi-urile triunghiului ABC sunt congruente două câte două”.

Propoziţia p → q se mai poate exprima prin frazele următoare, des ı̂ntâlnite ı̂n textelematematice sau ı̂n limbajul natural:

• “dacă p atunci q ”• “ı̂n ipoteza p are loc q ”• “ p este o condiţie suficientă pentru q ”• “q este o condiţie necesară pentru p”• “q dacă p”• “ p numai dacă q ”• “q ı̂n ipoteza că p”

• “este suficient ca p pentru ca q ”• “q este o consecinţă a lui p”etc.

Invităm cititorul să reformuleze ı̂n limbaj natural exemplele de mai sus, folosind toatevariantele posibile. De pildă, “Dacă plecăm ı̂ntr-un minut atunci vom ajunge la timp” se maipoate exprima prin “Plecăm ı̂ntr-un minut implică că vom ajunge la timp”8, “Este suficientsă plecăm ı̂ntr-un minut pentru ca să ajungem la timp”, “Vom ajunge la timp dacă plecămı̂ntr-un minut” etc.

Să definim riguros cum putem construi noi propoziţii din propoziţiile deja existente.Pornim de la trei mulţimi de simboluri: V = { p, q, . . . }, numită mult ̧imea variabilelor propozit ̧ionale ,O = {∨, ∧, →, ¬} numită mult ̧imea operatorilor logici şi A = {(, )}, numită mult ̧imea sim-bolurilor auxiliare . O expresie propozit ̧ional˘ a , sau, pe scurt, expresie 9, este un şir de simboluri

alese din mulţimile V , O sau A, construit după regulile de mai jos:8Din multiplele moduri de exprimare, este indicat totuşi să le alegem pe cele care evită cacofoniile...9Sau formulă.


8/20


(E 1) orice variabilă propoziţională este o expresie;(E 2) dacă E şi F sunt expresii atunci (E ) ∨ (F ), (E ) ∧ (F ), (E ) → (F ) şi ¬(E ) sunt

expresii;(E 3) singurele expresii corecte sunt cele construite respectând regulile (E 1) şi (E 2).

Pentru un plus de claritate, se admite folosirea, ı̂n afară de parantezele rotunde, şi aparantezelor pătrate [, ] şi a acoladelor {, }. În cele ce urmează vom numi cuvˆ ant o succesiunede elemente din cele trei mulţimi precizate mai sus.

Pentru simplitatea scrierii, ori de câte ori nu apare pericol de confuzie, ı̂n loc de (E ) ∨ (F )vom scrie, mai simplu, E ∨ F . Aceeaşi observaţie se aplică pentru (E ) ∧ (F ), (E ) → (F ) şi¬(E ). De asemenea, operatorul ¬ acţ ionează numai asupra expresiei imediat următoare. Deexemplu, ¬¬ p reprezintă scrierea simplificată a ¬(¬ p). Analog, ¬ p∨q este scrierea simplificatăa (¬ p) ∨ q .

Exemplu. În conformitate cu cele precizate mai sus, dacă E şi F sunt expresii, atuncicuvintele (E ∧ F ) → ¬(E ) şi ¬(E ∨ F ) sunt expresii, ı̂n timp ce (E ∧ F )¬E şi E F ∧ F nu suntexpresii.

Remarca 2.1. După cum este de aşteptat, ı̂n ¬(E ∨ F ) negaţia se referă la disjuncţia

E ∨ F , ı̂n timp ce ı̂n expresia ¬E ∨ F , ea se referă doar la E . Uneori, când vom utilizamai multe rânduri de paranteze, pentru a scoate ı̂n evidenţă ordinea operaţiilor efectuate,vom utiliza şi alte semne ı̂nafară de parantezele rotunde, (, ), anume: [, ] şi chiar {, }. Deexemplu, ı̂n expresia {[(E ∨ F ) → G] ∧ H } ∨ L se efectuează ı̂n ordine: E ∨ F , (E ∨ F ) → G,[(E ∨ F ) → G] ∧ H şi, ı̂n sfâŗsit, {[(E ∨ F ) → G] ∧ H } ∨ L.

Definiţia 2.1. Două expresii propoziţionale E şi F se numesc echivalente dacă, pentruorice valori de adevăr ale variabilelor propoziţionale care apar ı̂n E şi F, expresiile au aceeaşivaloare de adevăr. Notăm acest lucru prin E ≡ F.

Remarca 2.2. Au loc următoarele reguli de negaţie exprimate prin intermediul echivalenţelorlogice:

¬( p

∨q

) ≡ (¬ p

) ∧ (¬q

)¬( p ∧ q ) ≡ (¬ p) ∨ (¬q ),

numite legile lui DeMorgan .

Exemplul 2.6. Au loc următoarele echivalenţe (demonstraţi-le cu ajutorul tabelelor deadevăr):

(i) p → q ≡ (¬ p) ∨ q . Această echivalenţă nu este decât o transcriere a definiţieiimplicaţiei.

(ii) p ∧ (q ∨ r) ≡ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r) (distributivitatea lui ∧ faţă de ∨).(iii) p ∨ (q ∧ r) ≡ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r) (distributivitatea lui ∨ faţă de ∧).(iv) ¬(¬ p) ≡ p (legea negării negaţiei).

Pentru ilustrare, demonstrăm distributivitatea lui ∧ faţă de ∨. Întrucât sunt 3 variabilepropoziţionale, trebuie să avem 8 linii ı̂n tabel, corespunzătoare celor 8 = 23 combinaţii alvalorilor de adevăr ale p, q , r :

p q r p ∧ q p ∧ r ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r) q ∨ r p ∧ (q ∨ r)1 1 1 1 1 1 1 11 1 0 1 0 1 1 11 0 1 0 1 1 1 11 0 0 0 0 0 0 00 1 1 0 0 0 1 00 1 0 0 0 0 1 0

0 0 1 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 0

Egalitatea coloanelor ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r) şi p ∧ (q ∨ r) demonstrează echivalenţa cerută.


9/20


Revenim asupra neg˘ arii implicat ̧iei . Intuitiv, când spunem că p → q este fals˘ a? Desigur,atunci când ipoteza p este adev˘ arat˘ a şi totuşi concluzia q este fals˘ a (adică are loc p ∧ ¬q ).Aceasta este ı̂n acord cu următorul calcul propoziţional:

¬ ( p → q ) ≡ ¬ ((¬ p) ∨ q ) ≡ ¬(¬ p) ∧ (¬q ) ≡ p ∧ (¬q ).

Am aplicat legile de negare ale lui DeMorgan. Vezi Remarca 2.2. Pentru importanţa sa,

trebuie reţinută această regul˘ a de negare a implicat ̧iei :¬( p → q ) ≡ p ∧ (¬q ) .

În general, concluziile bazate pe un calcul logic formal trebuie totdeauna interpretate in-tuitiv (conform bunului simt ̧). Acest fapt evită apariţia unor greşeli datorate aplicării de-fectuoase a regulilor logicii şi, totodată, este un proces absolut necesar ı̂n ı̂nţelegerea unordemonstraţii (sau ı̂n găsirea unor soluţii la o problemă dată).

Echivalent ̧a. Pentru două expresii propoziţionale E şi F, definim E ↔ F ca fiind o notaţieprescurtată a expresiei (E → F ) ∧ (F → E ) . Simbolul ↔ poate fi deci considerat un operatorlogic. Tabelul său de adevăr este (demonstraţi):

p q p ↔ q

1 1 11 0 00 1 00 0 1

În concluzie, p ↔ q este adevărată atunci când p şi q au aceeaşi valoare de adevăr, şi falsăı̂n caz contrar. Observăm că p ≡ q este acelaşi lucru cu faptul că p ↔ q este adevărată.Propoziţia p ↔ q se citeşte:

• “ p este echivalentă cu q ”• “ p dacă şi numai dacă q ”• “ p este o condiţienecesară şi suficientă pentru q ”.

Definiţia 2.2. Se numeşte tautologie o expresie care este adevărată, indiferent de valorilede adevăr ale variabilelor propoziţionale. Se numeşte contradict ̧ie o expresie care este falsă,indiferent de valorile de adevăr ale variabilelor propoziţionale.

Astfel, dacă E , F sunt expresii, atunci: “E ↔ F este o tautologie” este exact acelaşi lucrucu “E ≡ F ”. Orice echivalenţă E ≡ F generează tautologia E ↔ F : folosind Exemplul 2.6,obţinem tautologiile [ p ∧ (q ∨ r)] ↔ [( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r)] etc.

Definiţia 2.3. Fie E şi F expresii. Dacă propoziţia E → F este adevărată, scriemE ⇒ F. Dacă propoziţia E ↔ F este adevărată, scriem E ⇔ F.

Insistăm asupra distincţiei dintre E → F şi E ⇒ F. Astfel, E → F este o propoziţie (carepoate fi adevărată sau falsă), pe când scrierea E ⇒ F ı̂nseamnă “E → F este o propoziţie

adevărată”, adică F este o consecinţă logică a lui E.Analog, E ↔ F poate fi adevărată sau falsă, pe când E ⇔ F ı̂nseamnă “E ↔ F este opropoziţie adevărată” (adică E ≡ F ). Evident, E ⇔ F ı̂nseamnă că E ⇒ F şi F ⇒ E .

De aceste lucruri trebuie să s e ţină cont ı̂n redactarea demonstraţiilor sau ı̂n diverseenunţuri matematice: vom scrie E ⇒ F doar ı̂n cazul ı̂n care F este o consecinţă logică a luiE . La fel, scriem E ⇔ F doar când E ⇒ F şi F ⇒ E au loc simultan. O greşeală frecventăeste folosirea abuzivă a notaţiei ⇔, când ar trebui să se folosească ⇒ (de exemplu ı̂n cursulrezolvării unor ecuaţii).

Exemplul 2.7. Pentru orice propoziţii p,q, r, avem: (( p → q ) ∧ p) ⇒ q.

Demostrat ̧ie. Trebuie să arătăm că propoziţia (( p → q ) ∧ p) → q este adevărată, indiferentde valorile de adevăr ale p,q, r. Examinând definiţia operatorului →, avem de arătat că, dacă

(( p → q ) ∧ p) este adevărată, atunci q este adevărată.Presupunând deci (( p → q ) ∧ p) adevărată, rezultă din tabela de adevăr pentru ∧ că p

este adevărată şi p → q adevărată. Dar p → q ≡ ¬ p ∨ q, deci p ∧ (¬ p ∨ q ) este adevărată.


10/20


Folosind distributivitatea, deducem că p ∧ (¬ p ∨ q ) ≡ ( p ∧ ¬ p) ∨ ( p ∧ q ) este adevărată. Cum p ∧ ¬ p este ı̂ntotdeauna falsă (este o contradict ̧ie ), ( p ∧ q ) trebuie să fie adevărată, deci q esteadevărată.

Mai există două variante de demonstraţie: folosind tabele de adevăr sau folosind cal-culul propoziţional. Lăsăm ı̂n seama cititorului demonstraţia bazată pe tabelele de adevăr,

mărgninindu-ne să exemplificăm metoda calculului propoziţional (care necesită cunoaştereaunor formule din calculul cu propoziţii).

Demostrat ̧ie. Folosind definiţia implicaţiei ( p → q ≡ ¬ p ∨ q ), avem:

(( p → q ) ∧ p) → q ≡ ¬ (( p → q ) ∧ p) ∨ q ≡ ¬ ((¬ p ∨ q ) ∧ p) ∨ q ≡

(¬ (¬ p ∨ q ) ∨ ¬ p) ∨ q ≡ ((¬¬ p ∧ ¬q ) ∨ ¬ p) ∨ q ≡ (( p ∧ ¬q ) ∨ ¬ p) ∨ q ≡

(( p ∨ ¬ p) ∧ (¬q ∨ ¬ p)) ∨ q

Dar p ∨ ¬ p este totdeauna adevărată, deci ( p ∨ ¬ p) ∧ (¬q ∨ ¬ p) ≡ ¬q ∨ ¬ p. Continuăm:

(( p ∨ ¬ p) ∧ (¬q ∨ ¬ p)) ∨ q ≡ (¬q ∨ ¬ p) ∨ q ≡ (¬ p ∨ ¬q ) ∨ q ≡ ¬ p ∨ (¬q ∨ q )

Am folosit că disjuncţia este asociativă şi comutativă. Această propoziţie este o tautologie

(căci ¬q ∨ q este tautologie).

Următoarea propoziţie colectează o serie de tautologii, dintre care unele sunt folosite ı̂nraţionamente şi au primit nume distinctive. Câteva au mai fost ı̂ntâlnite ı̂n text, sub formaunor echivalenţe logice. Invităm cititorul să demonstreze câteva dintre ele (măcar (6), (7),(13), (19), (23), (24), (25)), folosind una din metodele descrise mai sus.

Propoziţia 2.1. Fie p, q , r variabile propozit ̧ionale. Au loc urm˘ atoarele tautologii :

(1) ( p ∨ q ) ↔ (q ∨ p) (Comutativitatea disjunct ̧iei ).(2) ( p ∧ q ) ↔ (q ∧ p) (Comutativitatea conjunct ̧iei ).(3) [( p ∨ q ) ∨ r] ↔ [ p ∨ (q ∨ r)] (Asociativitatea disjunct ̧iei ).10

(4) [( p ∧ q ) ∧ r] ↔ [ p ∧ (q ∧ r)] (Asociativitatea conjunct ̧iei ).11

(5) p ∧ (q ∨ r) ↔ [( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r)] (Distributivitatea lui ∧ fat ̧̆ a de ∨).

(6) p ∨ (q ∧ r) ↔ [( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r)] (Distributivitatea lui ∨ fat ̧̆ a de ∧).(7) [¬( p ∨ q )] ↔ (¬ p ∧ ¬q ) ; [¬( p ∧ q )] ↔ (¬ p ∨ ¬q ) (Legile lui DeMorgan sau legile de

dualitate ).(8) ( p ↔ q ) ↔ [( p → q ) ∧ (q → p)](9) ( p ↔ q ) ↔ (q ↔ p)

(10) ( p ↔ q ) → ( p → q )(11) p ↔ p(12) ¬ ( p ∧ ¬ p)(13) ( p ∧ ¬ p) → q (Pornind de la o contradict ̧ie, deducem c˘ a orice este adevărat )12.(14) ¬(¬ p) ↔ p (Legea dublei negat ̧ii ).(15) p ∨ ¬ p (Legea tert ̧ului exclus).

(16) ( p ∧ p) ↔ p(17) ( p ∨ p) ↔ p(18) p → (q → p) (Dacă p este adev˘ arat˘ a, atunci p este adev˘ arat˘ a ı̂n orice ipotez˘ a ).(19) [ p → (q → r)] ↔ [( p ∧ q ) → r](20) (¬ p) → ( p → q )(21) ( p → q ) ∨ (q → p)(22) ( p → q ) ↔ (¬ p ∨ q )(23) ( p → q ) ↔ (¬q → ¬ p) (Principiul de demonstrat ̧ie prin reducere la absurd: pentru a

demonstra q ı̂n ipoteza p, presupunem c˘ a q este fals˘ a şi demonstr˘ am ¬ p.)

10Asociativitatea disjuncţiei ne permite să scriem p ∨ q ∨ r ı̂n loc de ( p ∨ q ) ∨ r sau de p ∨ (q ∨ r), fărăpericol de confuzie deoarece valoarea de adevăr nu este influenţată de poziţia parantezelor.

11

Asociativitatea conjuncţiei ne permite să scriem p ∧ q ∧ r

ı̂n loc de ( p ∧ q

)∧ r

sau de p ∧

(q ∧ r

), fărăpericol de confuzie deoarece valoarea de adevăr nu este influenţată de poziţia parantezelor.12Este deci esenţial ca o teorie matematică să nu conţină contradicţii: dacă orice afirmaţie este adevărată,

atunci cercetarea adevărului este inutilă...


11/20


(24) ( p → q ) ↔ [( p ∧ ¬q ) → (r ∧ ¬r)] (O variantă a principiului de demonstrat i̧e prin reducere la absurd: pentru a demonstra c˘ a p ⇒ q, se presupune c˘ a are loc p şi totuşi q este fals˘ a. De aici se deduce o contradict ̧ie: (r ∧ ¬r) .)

(25) [ p → (q ∨ r)] ↔ [( p ∧ ¬q ) → r] (Pentru a demonstra c˘ a p implic˘ a o concluzie de forma q ∨ r, se presupun adev˘ arate p şi ¬q şi se demonstreaz˘ a r.)

(26) [( p → q ) ∧ (q → r)] → ( p → r) (Tranzitivitatea implicat ¸iei, cunoscut˘ a sub numele de

regula silogismului )(27) ¬ ( p → q ) ↔ ( p ∧ ¬q ) (Regula de negare a implicat ̧iei ) .

Exerciţiul 2.1. Fie p = “Ana are mere”, q = “Ana este blondă” şi r = “Ana cântăfrumos.” Traduceţi ı̂n limbaj natural următoarele propoziţii:

(1) q → r(2) p ∧ q (3) ¬q (4) ¬ ( p ∨ q )(5) (¬ p) ∨ (¬q )(6) (r ∧ q ) → p(7) (r ∧ q ) ∨ p(8) r ∧ (q ∨ p)(9) r ↔ ( p ∧ q )

(10) (r → q ) ∧ (r → p)(11) r → (q ∧ p)(12) ( p ∧ (¬q )) ↔ (r ∨ (¬ p))

Exerciţiul 2.2. Scrieţi expresiile logice corespunzătoare enunţurilor:

(1) Ana nu este blondă, dar cântă frumos.(2) Ana nu are mere, şi nu este blondă sau cântă frumos.(3) Ana nu are mere şi nu este blondă, sau cântă frumos.(4) Nu este adevărat că Ana este blondă sau are mere.

(5) Nu este adevărat că Ana este blondă, sau are mere.(6) Ana are mere şi este blondă, sau are mere şi cântă urât.(7) Dacă Ana are mere şi este blondă, atunci ea cântă frumos.(8) O condiţie necesară ca Ana să cânte frumos este să fie blondă.(9) O condiţie suficientă ca Ana să cânte frumos este să fie blondă.

(10) Chiar dacă Ana cântă frumos, nu are mere.(11) Ana are mere dacă este blondă, şi nu cântă urât dacă are mere.

Exerciţiul 2.3. Fie p, q , r propoziţii. Să se demonstreze că:

(1) p ⇒ p ∨ q (2) ( p ∧ q ) ⇒ p(3) ¬ ( p → q ) ⇒ p

(4) ( p → q ) ∧ ( p → ¬q ) ⇒ ¬ p(5) ( p → (q → r)) ≡ ( p ∧ q ) → r(6) ( p → q ) ⇔ (¬q → ¬ p)(7) ( p ∨ q ) → r ⇔ ( p → r) ∧ (q → r).

Exerciţiul 2.4. Formulaţi negaţia fiecăreia dintre propoziţiile:

(1) Patrulaterul ABCD este romb şi are aria de 2m2.(2) Numărul 8 este par şi x8 = 2.(3) Raza sferei este din [ 1, 3 ] şi baza conului este pe sferă(4) Ecuaţia x2 + 2x = 0 cu x ∈ N are soluţia x = 0 şi soluţia x = −2.(5) Funcţia f este pozitivă pe (0, 1) şi se anulează ı̂n x = 0 şi x = 1.(6) Patrulaterul ABCD este pătrat sau romb.

(7) Funcţia exponenţială este strict crescătoare sau strict descrescătoare.(8) Şirul (an)n∈N este monoton crescător sau monoton descrescător.(9) Funcţia f este continuă şi monotonă.


12/20

3. PREDICATE 13

(10) ABC este drept sau BC A este drept.

3. Predicate

Să considerăm următoarele propoziţii

• 2 · 2 + 1 ≥ 0• 2 · 3 + 1 ≥ 0• 2 · (−2) + 1 ≥ 0.

Observăm că toate cele trei propoziţii de mai sus sunt de forma 2 · x + 1 ≥ 0, unde xeste un număr – care, ı̂n cazurile considerate, este din Z. Suntem conduşi la a defini noţiuneade propozit ̧ie depinzˆ and de un parametru care, ı̂n terminologia consacrată, poartă numele depredicat de o variabil˘ a . De fapt, un predicat este o funcţie definită pe mulţimea (clasa13) undese găseşte variabila (parametrul), fie aceasta Γ, cu valori ı̂n mulţimea P a propoziţiilor. Adică,un predicat de o variabilă este o funcţie p : Γ → P.

Pentru a evita confuziile, accentuăm că, dacă p : Γ → P este un predicat şi b ∈ Γ, atunci p(b) este o propozit ̧ie şi nu un predicat .

Analog, se poate vorbi despre predicate de mai multe variabile. De exemplu, “x2 − y2 =(x − y)(x + y), x, y ∈ R” este un predicat de două variabile.

Subliniem că, pentru a evita confuziile, oric˘ arui predicat trebuie s˘ a i se precizeze clar mult ̧imea Γ ı̂n care se pot “mişca” variabilele , i.e. domeniul de definiţie al funcţiei p. Se admiteomiterea scrierii mulţimii Γ doar dacă aceasta este clară din context. Astfel, ”x2 + 1 = 0”poate fi considerat un predicat numai dacă precizăm x ∈ Γ, unde Γ este de exemplu una dinmulţimile N, Z, Q, R sau C. Într-adevăr, este uşor de observat că

p(x) : x2 + 1 = 0 cu x ∈ R

este un predicat ale c˘ arui valori sunt toate false , ı̂n timp ce

q (x) : x2 + 1 = 0 cu x ∈ C

este un predicat pentru care q (i) şi q (−i) sunt adev˘ arate , iar restul valorilor sunt false.Prin tradiţie, un predicat de tipul celui prezentat, care are toate valorile (adică propoziţiile)egalităţi, se numeşte ecuat ̧ie . O solut ̧ie a ecuat ̧iei este o valoare pentru care egalitatea estesatisfăcută, i.e. propoziţia obţinută prin ı̂nlocuirea variabilei cu soluţia este adevărată. Arezolva o ecuaţie ı̂nseamnă a găsi mulţimea tuturor soluţiilor ei. Aşadar, mulţimea soluţiilorecuaţiei q (x) : x2 + 1 = 0 cu x ∈ C este {i, −i}. Pentru simplitatea scrierii, pentru ecuaţiise renunţă la notarea de tip predicatul q (x) : . . . , precizându-se doar egalitatea şi domeniulvariabilei. De exemplu, ecuaţia de mai sus se ı̂ntâlneşte sub forma ”x2 + 1 = 0 cu x ∈ C”.Alte exemple de ecuaţii sunt:

x = 2x, x ∈ {y; y : R → R, cu y funcţie derivabilă},

numită ecuat ̧ie diferent ̧ial˘ a cu funcţia necunoscută x. Se poate arăta că mulţimea soluţiiloracestei ecuaţii este

{xc; xc : R → R, xc(t) = c · e2t, ∀t ∈ R, c ∈ R}.

Să considerăm acum

2 · x + 3 · y = 24, (x, y) ∈ Z × Z,

ı̂n care variabila este o pereche (x, y) ∈ Z×Z, numită ecuat ̧ie diofantic˘ a 14. Mulţimea soluţiilorecuaţiei diofantice de mai sus este o mulţime de perechi de numere ı̂ntregi. O soluţie este (0, 8).Puteţi găsi toate soluţiile?

13O clasă este o “colecţie de obiecte” care nu este neapărat mulţime. Orice mulţime este o clasă dar nu şireciproc. De exemplu clasa tuturor mult ̧imilor . Vezi Capitolul Teoria mulţimilor.

14Numele ecuaţiei provine de la Diofant din Alexandria (cca. 325-410), care a studiat acest tip de ecuaţie.


13/20


3.1. Cuantificatori. Variabile libere. Variabile legate. Să considerăm un predicatde o singură variabilă p(x), x ∈ Γ. Pornind de la el, putem forma următoarele două propozit ̧ii :

(1) Pentru orice x ∈ Γ, p(x) este adevărată.(2) Există x ∈ Γ astfel ı̂ncât p(x) este adevărată.

Subliniem c˘ a acestea sunt propozit ̧ii şi nu predicate.Pentru simplificarea scrierii, introducem două simboluri corespunzătoare celor două tipuri

de propoziţii de mai sus. Începem cu simbolul ∀, care se va citi pentru orice , sau oricare ar fi , sau ı̂ncă pentru tot ̧i (toate ) şi pe care ı̂l vom numi cuantificator universal . Cu ajutorul lui,propoziţia: pentru orice x din Γ p(x) este adev˘ arat˘ a se rescrie, fără a se mai specifica “esteadevărată”, adică

(∀x ∈ Γ) p(x).Scrierea (∀x ∈ Γ) p(x) poate fi interpretată ca o conjunct ̧ie extinsă a tuturor propozit ̧iilor

p(x) dup˘ a x ∈ Γ, mai precis(∀x ∈ Γ) p(x) = ∧x∈Γ p(x). (3.1)

Într-adevăr, dacă Γ = {1, 2, 3, . . . , n}, atunci

• ∀x ∈ Γ p(x) are aceeaşi valoare de adevăr cu p(1) ∧ p(2) ∧ · · · ∧ p(n).

În sfârşit, să introducem cuantificatorului existent ̧ial , notat ∃, şi care se citeşte exist˘ a un/o,m˘ acar pentru un/o, cel put ̧in pentru un/o. Cu ajutorul lui, propoziţia: exist˘ a x ∈ Γ pentru care p(x) este adev˘ arat˘ a se rescrie

(∃x ∈ Γ) p(x).Similar, scrierea (∃x ∈ Γ) p(x) poate fi interpretată ca o disjunct ̧ie extinsă a tuturor

propozit ̧iilor p(x) dup˘ a x ∈ Γ, mai precis

(∃x ∈ Γ) p(x) = ∨x∈Γ p(x). (3.2)

Într-adevăr, dacă Γ = {1, 2, 3, . . . , n}, atunci

• ∃ x ∈ Γ p(x) are aceeaşi valoare de adevăr cu p(1) ∨ p(2) ∨ · · · ∨ p(n).

În concluzie, pornind de la un predicat de o variabilă, p(x) cu x din Γ, obţinem două propoziţii:

una, utilizând cuantificatorul ∀, i.e. (∀x ∈ Γ) p(x) şi cealaltă, utilizând cuantificatorul ∃, i.e.(∃x ∈ Γ) p(x). Astfel, luând predicatul 2 · x + 1 ≥ 0, unde x este din Z se obţin propozit ̧iile

• (∀x ∈ Z)(2 · x + 1 ≥ 0)• (∃x ∈ Z)(2 · x + 1 ≥ 0)

din care prima este falsă iar cea de-a doua adevărată.După cum am constatat, variabila x are roluri diferite ı̂n predicatul “ p(x), x ∈ Γ” şi

respectiv ı̂n propoziţ ia (∀x ∈ Γ) p(x). În primul caz, x este o variabil˘ a liber˘ a ı̂n sensul că x

poate lua valori arbitrare ı̂n Γ, obţinându-se diverse propoziţii, adevărate sau false. În cel de-al doilea caz, propoziţia (∀x ∈ Γ) p(x) are o valoare de adev˘ ar bine determinat˘ a , independentăde variabila x. Din acest motiv, ı̂n (∀x ∈ Γ) p(x), se spune că variabila x este variabil˘ a legat˘ a . Consideraţii similare au loc şi pentru cuplul: predicatul “ p(x), x ∈ Γ” şi propoziţia

(∃x ∈ Γ) p(x), variabila x fiind legată ı̂n propoziţia (∃x ∈ Γ) p(x).În sfârşit, subliniem că numele variabilei, liberă sau legată, nu are nici o importanţă. Mai

precis, propoziţia (∀x ∈ Γ) p(x) ı̂nseamnă exact acelaşi lucru cu propoziţia (∀y ∈ Γ) p(y), darnu cu (∀y ∈ Γ) p(x). Cu alte cuvinte, schimbarea numelui unei variabile trebuie să fie făcutăpeste tot unde apare aceasta (cu un nume diferit de numele celorlalte variabile care apar ı̂n

predicat sau propoziţie). În cazul ı̂n care Γ este sub̂ınteleasă din context şi nu există pericolde confuzie, ı̂n loc de (∀x ∈ Γ) p(x) se poate scrie ∀x p(x). Analog, ı̂n loc de (∃x ∈ Γ) p(x) sepoate scrie ∃x p(x).

3.2. Reguli de calcul cu predicate şi cuantificatori. Au loc următoarele reguli de negat ̧ie pentru cuantificatori (a se compara cu legile lui DeMorgan, ţ inând cont de (3.2) şi(3.1)):

¬ [(∃x ∈ V ) ( p(x))] ≡ (∀x ∈ V ) (¬ p(x))¬ [(∀x ∈ V ) ( p(x))] ≡ (∃x ∈ V ) (¬ p(x))


14/20

3. PREDICATE 15

Exemplul 3.1. Negaţia propoziţiei: “exist˘ a un num˘ ar natural n astfel ı̂nc ̂at “f (n) > 1”este: “pentru orice număr natural n avem f (n) ≤ 1”.

Exemplul 3.2. Negaţia propoziţiei: “pentru orice num˘ ar real a, a4 este strict pozitiv ”este: “exist˘ a un num˘ ar real a astfel ı̂nc ̂at a4 nu este strict pozitiv ” sau, echivalent: “exist˘ a un num˘ ar real a astfel ı̂nc ̂at a4 este negativ ”.

Pornind de la un predicat de două variabile P (x, y) , se pot lega variabilele ̂ın mai multemoduri cu ajutorul cuantificatorilor ∀ şi ∃. Să luăm exemplul predicatului P (x, y) : “x ∈ y”,unde x şi y sunt mulţimi. Se pot forma predicatele de o variabilă şi apoi propoziţiile următoare:

(1) Legând mai ı̂ntâi pe x cu ajutorul lui ∀, obţinem Q (y) = ∀x (x ∈ y). Faptul că Q (y)este adevărat pentru o anumită mulţime y ı̂nseamnă că y conţine toate mulţimile,ceea ce este imposibil (nu există o “mulţime a tuturor mulţimilor”).

Legând apoi pe y cu ∀, obţinem ∀y (∀x (x ∈ y)) , o propoziţie falsă.Dacă legăm pe y cu ∃, obţinem ∃y∀x (x ∈ y) , de asemenea o propoziţie falsă.

(2) R (x) = ∀y (x ∈ y). Pentru o anumită mulţime x, R (x) adevărat ı̂nseamnă că xaparţine tuturor mulţimilor. Nu există astfel de x (de exemplu, x ∈ ∅ este falsă).

∀x (∀y (x ∈ y)) este echivalentă cu ∀y (∀x (x ∈ y)) . Ordinea ı̂n care aplicăm cuan-

tificatori de acelaşi fel nu are importanţă.∃x (∀y (x ∈ y)) este o propoziţie falsă.(3) Legând x cu ajutorul lui ∃, obţinem S (y) = ∃x (x ∈ y). Faptul că S (y) este adevărat

pentru o anumită mulţime y ı̂nseamnă că y este nevidă.∀y (∃x (x ∈ y)) ı̂nseamnă că toate mulţimile sunt nevide (fals).∃y (∃x (x ∈ y)) este adevărată (există o mulţime nevidă).

(4) Legând y cu ajutorul lui ∃, obţinem T (x) = ∃y (x ∈ y). Pentru orice mulţime x,T (x) este adevărată: ∃P (x) (x ∈ P (x)) .

∀x (∃y (x ∈ y)) este adevărată.∃x (∃y (x ∈ y)) este adevărată.

Observăm că:

- ∀x (∀y (P (x, y))) este echivalentă cu ∀y (∀x (P (x, y))) . Se poate scrie mai pe scurt∀y∀x (P (x, y)) .- ∃x (∃y (P (x, y))) este echivalentă cu ∃y (∃x (P (x, y))) . Se poate scrie mai pe scurt

∃y∃x (P (x, y)) . Ordinea de aplicare a cuantificatorilor de acelaşi tip nu are important ̧̆ a.- ∀x (∃y (P (x, y))) nu este echivalent˘ a cu ∃y (∀x (P (x, y))).

Remarca 3.1. Propoziţiile obţinute una din alta prin schimbarea ordinii cuantificatorilorde tipuri diferite nu sunt, ı̂n general, echivalente logic . De exemplu, pornind de la predicatulQ(x, y): “x are nota y”, cu x din mulţimea studenţilor anului I şi y din {1, 2, . . . 10}, seobţine propoziţia ∀x∃yQ(x, y) care, tradusă ı̂n limbajul natural, ı̂nseamnă “orice student dinanul I are o notă cuprinsă ı̂ntre 1 şi 10”. Prin inversarea ordinii cuantificatorilor se obţine∃x∀yQ(x, y) care ı̂nseamnă “există o notă comună tuturor studenţilor din anul I”, sau “toţi

studenţii din anul I au aceeaşi notă”. Este clar că cele două propoziţii nu sunt echivalentelogic.

Au loc regulile de calcul:

q ∧ (∃xP (x)) ≡ ∃x (q ∧ P (x)) ,

q ∨ (∀xP (x)) ≡ ∀x (q ∨ P (x)) ,

unde q este o propoziţie (sau un predicat care nu depinde de x). Ce legătură puteţi stabiliı̂ntre aceste reguli şi distributivitatea lui ∧ faţă de ∨?

Exerciţiul 3.1. [4] Se consideră următoarele predicate (se presupune că variabilele iauvalori ı̂n mulţimea oamenilor):

B (x) =“x este un bărbat”

F (x) =“x este o femeie”xT y =“x este mai tânăr decât y”xCy =“x este copilul lui y”


15/20


xM y =“x este căsătorit cu y”I (x) =“x locuieşte la Iaşi”D (x) =“x locuieşte la Dej”Folosind notaţiile de mai sus, să se scrie expresiile ı̂n limbaj formal pentru următoarele

propoziţii sau predicate:

(1) Fiecare are un tată şi o mamă.(2) x este căsătorit.(3) Fiecare este mai tânăr decât părinţii săi.(4) Fiecare este mai tânăr decât bunicii săi.(5) Oricine care are un tată, are şi o mamă.(6) Există un om cu o noră mai ı̂n vârstă decât el.(7) x şi y sunt fraţi (̂ın sensul şi de mamă şi de tată).(8) Dacă există o femeie la Iaşi cu un frate la Dej, atunci există un bărbat la Dej cu o

soră la Iaşi.(9) Un bărbat căsătorit poate să nu locuiască la Iaşi.

(10) Nu fiecare femeie din Iaşi nu are un fiu la Dej.(11) Toţi copiii lui x sunt căsătoriţi.

(12) Există cineva ai cărui copii sunt toţi căsătoriţi.(13) Fiecare copil al lui x este căsătorit cu un copil al lui y.(14) Există un copil al lui x care nu este căsătorit cu un copil al lui y.(15) Există două persoane astfel ı̂ncât fiecare copil al uneia dintre ele este căsătorit cu un

copil al celeilalte.(16) x şi y sunt veri.

Să se traducă ı̂n limbaj natural:(17) ∀x∀y [(xM y ∧ B (x)) → F (y)] .(18) ∃x∃y [B (x) ∧ F (y) ∧ xM y ∧ ∀z (zC y → ¬ (zC x))] .(19) ∃y (F (y) ∧ xM y) ∧ ∃z (F (z) ∧ yC z) ∧ zTx.

Exemplu de rezolvare: 5. “Oricine care are un tată, are şi o mamă” se traduce ast-

fel: mai ı̂ntâi observăm că este vorba de o implicat ̧ie: “Dacă cineva are un tată, atunciare şi o mamă”, sau, mai precis, “Pentru orice persoană x, dacă x are un tată, are şi omamă”. Traducem predicatul “x are un tată”: ∃y (B (y) ∧ xCy) . La fel,“x are o mamă” este

∃z (F (z) ∧ xCz) . În concluzie, traducerea enunţului este

∀x [(∃y (B (y) ∧ xCy))] → [∃z (F (z) ∧ xCz)]

Exerciţiul 3.2. Să se reformuleze propoziţiile de mai jos ı̂n limbaj matematic (LM )utilizând cuantificatorii ∀ şi ∃, să se precizeze negaţiile lor ı̂n limbaj matematic (N LM ) şiapoi să se formuleze negaţiile găsite ı̂n limbajul natural (N LN ).

Exemplu . Propoziţia: “pentru orice x ∈ A exist˘ a y ∈ B astfel ı̂nc ̂at f (x) = y” se re-formulează ı̂n limbajul matematic (LM ) prin: “(∀x ∈ A) (∃y ∈ B) (f (x) = y)”, propoziţie

a cărei negaţie ı̂n limbajul matematic (N LM ) este “(∃x ∈ A) (∀y ∈ B) (f (x) = y)” care,ı̂n limbajul natural (N LN ), are formularea: “exist˘ a x ∈ A astfel ı̂nc ̂at, pentru orice y ∈ B,f (x) = y.”

(1) Există a ∈ A astfel ı̂ncât f (a) = b. (Ecuaţia f (x) = b are soluţia a ∈ A.)(2) Pentru orice y ∈ B există x ∈ A astfel ı̂ncât f (x) = y. (O funcţie f : A → B cu

proprietatea enunţată se numeşte surjectiv˘ a .)(3) Pentru orice x, y ∈ A, cu x = y, avem f (x) = f (y). (O funcţie f : A → B cu

proprietatea enunţată se numeşte injectiv˘ a .)(4) Există M ∈ R astfel ı̂ncât, pentru orice x ∈ A, f (x) ≤ M . (O funcţie f : A → R cu

proprietatea enunţată se numeşte m˘ arginit˘ a superior pe A, iar numărul M ∈ R camai sus se numeşte margine superioar˘ a pentru f pe mult ̧imea A.)

(5) Există m ∈ R astfel ı̂ncât, pentru orice x ∈ A, m ≤ f (x). (O funcţie f : A → Rcu proprietatea enunţată se numeşte m˘ arginit˘ a inferior pe A, iar numărul m ∈ R camai sus se numeşte margine inferioar˘ a pentru f pe mult ̧imea A.)


16/20

4. SOLUŢII 17

(6) Există M > 0 astfel ı̂ncât, pentru orice x ∈ A, |f (x)| ≤ M . (O funcţie f : A → R cuproprietatea enunţată se numeşte m˘ arginit˘ a pe A, iar numărul M ∈ R ca mai sus senumȩste margine pentru f pe mult ̧imea A.)

(7) Pentru orice x ∈ R există r > 0 şi M > 0 astfel ı̂ncât, pentru orice y ∈ (x − r, x + r),|f (y)| ≤ M . (O funcţia f : R → R cu proprietatea enunţată se numeşte local m˘ arginit˘ a pe A.)

(8) Pentru orice ε > 0 există k(ε) ∈ N astfel ı̂ncât, pentru orice n ∈ N, n ≥ k(ε), avem|an − a| ≤ ε. (Condiţia de convergenţă cu ε.)

(9) Pentru orice n ∈ N avem an ≤ an+1. (Un şir (an)n∈N cu proprietatea de mai sus senumȩste monoton cresc˘ ator.)

(10) Pentru orice ε > 0 există k(ε) ∈ N astfel ı̂ncât, pentru orice n, m ∈ N cu n ≥ k(ε)şi m ≥ k(ε), să avem |an − am| ≤ ε. (Un şir (an)n∈N cu proprietatea de mai sus senumȩste şir Cauchy sau şir fundamental .)

(11) Pentru orice ε > 0 există δ (ε) > 0 astfel ı̂ncât, pentru orice x, y ∈ [ a, b ] cu |x − y| ≤δ (ε), să avem |f (x) − f (y)| ≤ ε. (O funcţia f : [ a, b ] → R cu proprietatea de mai susse numeşte uniform continu˘ a pe [ a, b ].)

(12) Prin orice punct din planul π trece o dreaptă şi numai una paralelă cu dreapta d.

4. Soluţii

Exercit ̧iul 1.1

(1) (i) numele conceptului definit: dreptunghi ;(ii) genul proxim: patrulater ;

(iii) diferenţa specifică: cu trei unghiuri drepte ;(2) (i) numele conceptului definit: funct ̧ie injectiv˘ a ;

(ii) genul proxim: funct ̧ie ;(iii) diferenţa specifică: transform˘ a orice dou˘ a puncte distincte din domeniu ı̂n dou˘ a

puncte disticte din codomeniu ;(3) (i) numele conceptului definit: grup comutativ ;

(ii) genul proxim: grup;(iii) diferenţa specifică: pentru orice dou˘ a elemente x, y din G avem x ◦ y = y ◦ x;

(4) (i) numele conceptului definit: num˘ ar prim ;(ii) genul proxim: num˘ ar natural mai mare decˆ at 1;

(iii) diferenţa specifică: singurii s˘ ai divizori sunt 1 şi num ̆arul ı̂nsuşi ;(5) (i) numele conceptului definit: mulţime ı̂nchisă;

(ii) genul proxim: mult ̧ime de numere reale ;(iii) diferenţa specifică: complementara ei este deschis˘ a ;

Exercit ̧iul 1.2 (1), (3), (4), (7), (8), (9), (10), (11), (12), (13), (17), (18) sunt propoziţ ii iar(2), (5), (6), (14), (15), (16) şi (19) nu sunt propoziţii.

Exercit ̧iul 2.1

(1) Dacă Ana este blondă atunci ea cântă frumos.(2) Dacă Ana are mere atunci ea este blondă.(3) Ana nu este blondă.(4) Ana nu are mere şi nu este blondă.(5) Ana nu are mere sau nu este blondă.(6) Dacă Ana cântă frumos şi este blondă atunci are mere.(7) Ana cântă frumos şi are mere sau este blondă şi are mere.(8) Ana cântă frumos şi este blondă sau cântă frumos şi are mere.(9) Dacă Ana cântă frumos atunci ea este blondă şi are mere.

(10) Dacă Ana cântă frumos atunci ea este blondă şi are mere.(11) Dacă Ana cântă frumos atunci ea este blondă şi are mere.

(12) Dacă Ana are mere şi nu este blondă atunci ea cântă frumos şi nu are mere.Exercit ̧iul 2.2

(1) (¬ p) ∧ r


17/20


(2) ((¬ p) ∧ ¬(q ∨ r)(3) ((¬ p) ∧ (¬q )) ∨ r(4) ¬(q ∨ p)(5) (¬q ) ∨ p(6) ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ (¬r))(7) ( p ∧ q ) → r

(8) r → q (9) q → r

(10) r ∧ (¬ p).(11) (q → p) ∧ ( p → r).

Exercit ̧iul 3.1

(1) ∀x∃y∃z[B(y) ∧ xCy ∧ F (z) ∧ xCz].(2) ∃y(xCy). Dacă se admit doar căsătorii ı̂ntre indivizi de sexe diferite: ∃y[xCy ∧

(B(x) → F (y)) ∧ (F (x) → B (y)).(3) ∀x∀y(xCy → xT y).(4) ∀x∀y∀z[(xCy ∧ yC z) → xT z)].

(5) ∀x[∃y(B(y) ∧ xCy] → [∃z(F (z) ∧ xCz)].(6) ∃x∃y∃z[zC x ∧ B(x) ∧ F (y) ∧ zM y ∧ xT y].(7) ∃z∃t[B(t) ∧ F (z) ∧ xCt ∧ xCz ∧ yC t ∧ yC z]. Prescurtăm ”x şi y sunt fraţi” prin xFy.(8) ∃x[F (x)∧I (x)∧∃z(B(z)∧D(z)∧xF y)] → (∃u)[B(u)∧D(u)∧(∃v)(F (v)∧I (v)∧uF v)].(9) ¬{∀x[(B(x) ∧ ∃y(xM y)) → I (x)]}.

(10) ¬{∀x[(F (x) ∧ I (x)) → ¬(∃y(yC x) ∧ B(y) ∧ D(x))]}.(11) ∀y[yC x → ∃z(yM z)].(12) ∃x{∀y[yC x → ∃z(yM z)]}.(13) ∀z[zC x → ∃t(tCy ∧ zM t)].(14) ∃z[zC x → ∀t(tCy → ¬zM t)].(15) ∃x∃y{∀z[zC x → ∃t(tCy ∧ zM t)]}.(16) ∃z∃t(xCz ∧ yC t ∧ zF t).(17) Orice persoană căsătorită cu un bărbat este o femeie.(18) Există un bărbat căsătorit cu o femeie şi toţi copiii femeii nu sunt copii ai bărbatului.(19) Acesta este un predicat, are variabila liberă x : Soacra lui x este mai tânără decât x.

Exercit ̧iul 2.4

(1) Patrulaterul ABCD nu este romb sau nu are aria de 2m2.(2) Numărul 8 nu este par sau x8 = 2.(3) Raza sferei nu este din [1, 3 ] sau baza conului nu este pe sferă(4) Ecuaţia x2 + 2x = 0 cu x ∈ N nu are soluţia x = 0 sau nu are soluţia x = −2.(5) Funcţia f nu este pozitivă pe (0, 1) sau nu se anulează ı̂n x = 0 şi x = 1. O formulare

logic echivalentă este: Funcţia f nu este pozitivă pe (0, 1) şi nu se anulează ı̂n x = 0sau x = 1.

(6) Patrulaterul ABCD nu este pătrat şi nu este romb.(7) Funcţia exponenţială nu este strict crescătoare şi nu este strict descrescătoare.(8) Şirul (an)n∈N nu este monoton crescător şi nu este monoton descrescător.(9) Funcţia f nu este continuă sau nu este monotonă.

(10) ABC nu este drept şi BC A nu este drept.(13) Dacă x ≤ 3 atunci x10 > 10.

Exercit ̧iul 3.2

(1) (LM ): (∃a ∈ A) (f (a) = b); (N LM ): (∀a ∈ A) (f (a) = b); (N LN ): Oricare ar fia ∈ A avem f (a) = b. (Ecuaţia f (x) = b nu are soluţie in A.)

(2) (LM ): (∀y ∈ B ∃x ∈ A) (f (x) = y ); (N LM ): (∃y ∈ B ∀ x ∈ A) f (x = y ); (N LN ):Există y ∈ B astfel ı̂ncât pentru orice x ∈ A f (x) = y . (Funcţia f : A → B nu este surjectiv˘ a .)


18/20

4. SOLUŢII 19

(3) (LM ): (∀x ∈ A)(∀y ∈ A)[(x = y) → (f (x) = f (y))]; (N LM ): (∃x ∈ A)(∃y ∈A)[(x = y) ∧ ((f (x) = f (y))]; (N LN ): Există x, y ∈ A cu x = y pentru caref (x) = f (y). (Funcţia f : A → B nu este injectiv˘ a .)

(4) (LM ): (∃M ∈ R)(∀x ∈ A)(f (x) ≤ M ); (N LM ): (∀M ∈ R)(∃x ∈ A)(f (x) > M );(N LN ): Oricare ar fi M ∈ R există x ∈ A astfel ı̂ncât, f (x) > M 15. (Funcţiaf : A → R nu este m˘ arginit˘ a superior pe A.)

(5) (LM ): (∃m ∈ R)(∀x ∈ A)(m ≤ f (x)); (N LM ): (∀m ∈ R)(∃xm ∈ A)(m > f (xm));(N LN ): Oricare ar fi m ∈ R există xm ∈ A, astfel ı̂ncât m > f (xm). (Funcţiaf : A → R nu este m˘ arginit˘ a inferior pe A.)

(6) (LM ): (∃M > 0)(∀x ∈ A)(|f (x)| ≤ M ); (N LM ): (∀M > 0)(∃xM ∈ A)(|f (xm)| >M ); (N LN ): Oricare ar fi M > 0 există xM ∈ A, astfel ı̂ncât |f (xM )| > M . (Funcţief : A → R nu este m˘ arginit˘ a pe A.)

(7) (LM ): (∀x ∈ R)(∃r > 0)(∃M > 0)(∀y ∈ (x − r, x + r)) (|f (y)| ≤ M ); (N LM ):(∃x ∈ R)(∀r > 0)(∀M > 0)(∃yr,M ∈ (x − r, x + r)(|f (yr,M )| > M ); (N LN ): Existăx ∈ R astfel ı̂ncât pentru orice r > 0 şi M > 0 există yr,M ∈ (x − r, x + r), astfelı̂ncât |f (yr,M )| > M . (Funcţia f : R → R nu este local m˘ arginit˘ a pe A.)

(8) (LM ): (∀ε > 0)(∃kε ∈ N)(∀n ∈ N)[(n ≥ kε) → (|an − a| ≤ ε)]; (N LM ): (∃ε >

0)(∀k ∈ N)(∃nk ∈ N)[(nk > k) ∧ |ank − a| > ε)]; (N LN ): Există ε > 0 astfel ı̂ncât,pentru orice k ∈ N, există nk ∈ N cu nk ≥ k(ε) şi |ank − a| > ε. (Negaţia condiţieide convergenţă cu ε.)

(9) (LM ): (∀n ∈ N) (an ≤ an+1); (N LM ): (∃n ∈ N) (an > an+1); (N LN ): Existăn ∈ N astfel ı̂ncât an > an+1. (Şirul (an)n∈N nu este monoton cresc˘ ator.)

(10) (LM ): (∀ε > 0)(∃kε ∈ N)(∀m ∈ N)(∀n ∈ N) {[(m ≥ kε) ∧ (n ≥ kε)] → (|am − an| ≤ε)}; (N LM ): (∃ε > 0)(∀k ∈ N)(∃mk ∈ N)(∃nk ∈ N){[(mk > k) ∧ (nk > k)] ∧ (|amk −ank | > ε)}; (N LN ): Există ε > 0 astfel ı̂ncât, pentru orice k ∈ N, exist̆a nk, mk ∈ Ncu nk ≥ k şi mk ≥ k, astfel ı̂ncât |ank − amk | > ε. (Şirul (an)n∈N nu este şir Cauchy sau şir fundamental .)

(11) (LM ): (∀ε > 0)(∃δ (ε) > 0)(∀x ∈ [ a, b ])(∀y ∈ [ a, b ])[(|x − y | ≤ δ (ε) → (|f (x) −f (y)| ≤ ε)]; (N LM ): (∃ε > 0)(∀δ > 0)(∃xδ ∈ [ a, b ])(∃yδ ∈ [ a, b ]){[(|xδ − yδ| ≤

δ ] ∧ (|f (xδ) − f (yδ)| > ε)]; (N LN ): Există ε > 0 astfel ı̂ncât, pentru orice δ > 0există xδ, yδ ∈ [ a, b ] cu |xδ − yδ| ≤ δ şi |f (xδ) − f (yδ)| > ε. (Funcţia f : [ a, b ] → Rnu este uniform continu˘ a pe [ a, b ].)

(12) (LM ): (∀P ∈ π )(∃d)[(d d) ∧ [(d d) → (d = d)]; (N LM ): (∃P ∈ π)(∀d)[(d d) ∧ [(d d) ∧ (d = d)]; (N LN ): Există un punct din planul π prin care: fie treccel puţin două drepte paralele cu dreapta d, fie nu trece nici o dreaptă paralelă cudreapta d.

15̂In această propoziţie, pentru a sublinia că x depinde de M , adică se poate schimba o dată cu M , se

utilizează formularea logic echivalenată: (N LM ): (∀

M ∈ R ∃

xM ∈

A) (f (xM

) > M ); (N LN ): “Oricare ar fiM ∈ R există xM ∈ A astfel ı̂ncât, f (xM ) > M .” Pentru propoziţiile de acelaşi tip care urmează vom da dela bun ı̂nceput formularea care să sublineaze posibila dependenţă a unor elemente de altele ori de câte ori estecazul.


19/20


20/20

Bibliografie

[1] Oskar Becker, Fundamentele matematicii , Editura Ştiinţ ifică, Bucureşti, 1968.[2] Ethan D. Bloch, Proofs and fundamentals; a first course in mathematics , Birkhäuser Boston, 2000.[3] Anton Dumitriu, Istoria Logicii , Ediţia a II-a, Editura Didactică şi Pedagogică, 1975, 1212pp.[4] H. Freudenthal, Limbajul logicii matematice , Seria Matematici Moderne Aplicate, Editura Tehnică, Bu-

cureşti 1973.[5] Paul R. Halmos, Naive set theory , Undergraduate texts in Mathematics, Springer Verlag New York-

Heidelberg-Berlin, 1974.[6] Georg Klaus, Logica modern˘ a , Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1977.[7] I. A. Lavrov, L. L. Maksimova, Probleme de teoria mult ̧imilor şi logic ̆a matematic˘ a , Seria Culegeri de

probleme de matematică şi fizică, Editura tehnică, Bucureşti 1974.

[8] Gr. C. Moisil, Elemente de logic˘ a matematic˘ a şi teoria mult ̧imilor ,M

Matematică Enciclopedia de buzunar,Editura Ştiinţifică, Bucureşti, 1969.[9] P. S. Novikov, Elemente de logic˘ a matematic˘ a , Editura Ştiinţ ifică, Bucureşti, 1966.

[10] A. Scorpan, Introducere ı̂n teoria axiomatic˘ a a mult ̧imilor , Editura Universităţii Bucureşti, 1996.[11] Izu Vaisman, Fundamentele matematicii , Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1968.

21

Teoria multimilorTeoria multimilor

Documents

Transcript of Teoria multimilorTeoria multimilor