Teoria Das Pr0jec0es Cart0graficas

7/22/2019 Teoria Das Pr0jec0es Cart0graficas

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Disciplina: Cartografia Geral II - PROJEES CARTOGRFICAS

Captulo IITeoria das Projees Cartogrficas 1

1. INTRODUO

O conceito de Projees Cartogrficas todo o arranjo sistemtico dos

meridianos e paralelos numa superfcie plana. A forma de representao de

coordenadas sobre o plano; sendo a interseco do reticulado pode ser locada por

meio de coordenadas cartesianas yx, ou polares ,r . Cada projeo cartogrfica

tem equaes nicas para yx, ou ,r que so usadas para definir e construir a

projeo. Um ponto sobre a Terra de coordenadas geogrficas , representado

no mapa por um ponto com coordenadas yx, . A correspondncia entre pontos na

superfcie da Terra e o mapa plano no exata, devido a mudana de escala e a

superfcie da Terra ser curva e no se ajusta ao plano sem que haja deformao oudistoro.

Figura 1 Projees Cartogrficas

PROJEO CARTOGRFICA

Arranjo sistemtico de meridianos e paralelos retratando a superfcie curvada esfera ou esferide sobre um plano;

Forma de representao de coordenadas sobre o plano; a interseco doreticulado pode ser locada por meio de coordenadas cartesianas (x,y) ou

);


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) queso usadas para definir e construir a projeo;

Um ponto sobre a Terra de coordenadas geogrficas () representadono mapa por um ponto com coordenadas (x,y) ou (r,) h uma

correspondncia biunvoca;

A correspondncia entre pontos na superfcie da Terra e o mapa plano nopode ser exata:

1) H a mudana de escala (impossvel 1:1);

2) A superfcie da Terra curva e no se ajusta ao plano sem que hajadeformao ou distoro.

Rplica exata da Terra em escala reduzida: GLOBO. ESCALAPRINCIPAL: a escala de um globo gerador representando a esfera ou

esferide, definida pela relao fracional de seus raios

0.1R

r

s

1

FALSO:Escala constante para todas as distncias, em todos os lugares eem todas as direes;

VERDADEIRO: Manter a escala principal ao longo de certos pontos nomapa:

L.D.Z. :Arcos sobre a projeo ao longo das quais aescala peincipal mantida;

P.D.Z.:Pontos sobre a projeo; Referimos-nos a uma rea infinitesimal!!

RELAES FUNCIONAIS (funes):

X = f1 ()Y = f2 () COORDENADAS CARTESIANAS


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r = f3 ()= f4 ()

R

r

RZ

rZ

AB

B'A'

GLOBO GERADOR

Rplica exata da Terra definida porr

1

s

1 . fcil demonstrar

que a superfcie curva de uma esfera no pode ser ajustada a um

plano.

COORDENADAS POLARES


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DISTORO LINEAR

Quando a escala do mapa conhecida a partir de sua frao representativa,

pode-se supor que tal escala constante sob 3 condies:

1) Que a razo estabelecida pela frao representativa se aplica aoscomprimentos de todas as linhas medidas sobre o mapa; pode-se tambm

supor que a mesma relao se aplicar a todos os mapas da mesma escala,

independentemente da parte do mundo que eles representem;

2) Que a relao estabelecida pela frao representativa constante paratodas as partes do mapa (seja no centro ou na borda ou no canto da folha);

3) Que a relao tambm independente de direo (seja ela N-S, L-O, ououtra).

As trs condies acima parecem ser axiomticas na maioria dos tipos de uso

de mapas, a tal ponto que quase todos os usurios (exceto os navegadores) as aplicam

sem maiores preocupaes.

Embora seja claramente impossvel criar um mapa perfeito no qual a escala

principal seja preservada em todo lugar, fcil manter a escala principal ao longo de

certas linhas (zonas infinitesimais) ou em certos pontos (crculos de raio infinitesimal)

no mapa. Nestes, a escala constante e igual escala principal.

SUPERFCIES INTERMEDIRIAS

TANGENTE


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SECANTE

PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS

Se referem:

- natureza e localizao dos PDZ ou LDZ com respeito ao contorno do hemisfrio

ou planisfrio;

- localizao dos pontos singulares no mapa e como eles so apresentados;

- Caracterstica das distores (isogramas)

Escala Particular:

Alm dos PDZ e LDZ, a escala do mapa varia continuamente e torna valores

chamados . Pode haver uma variedade de escalas particulares em diferentes direes

partindo de um ponto sobre o mapa; elas tambm mudam de lugar para lugar.

possvel sempre determinar duas escalas particulares em qualquer ponto: ao longo do

meridiano (h) e ao longo do paralelo (k)


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- Escala de rea: p = a.b;

- Erro de Escala: - 1;

- Distoro de rea: p1;

- Deformao Angular: senb)(ab)-(a

2w

PROPRIEDADES ESPECIAIS:

- Conformidade: a = b w = 0

- Equivalncia: a.b = 1

- Eqidistncia: h = 1 ou K = 1

MATEMTICA DAS PROJEES CARTOGRFICAS:

Considere uma projeo cartogrfica de parte da superfcie de

um globo que satisfaa as equaes:

X = f1 ( 2

Tome uma parte da superfcie curva de um globo gerador,

qual seja um quadriltero esfrico formado pelas intersees de um

par de meridianos com um p-ar de paralelos. Seja Aum ponto com

coordenadas () e outros trs pontos B, C e D localizados aoNorte e a Leste de A. Tome a diferena em latitude como e adiferena em longitude como . Da:

PONTO LATITUDE LONGITUDE

A


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B

C

D

A representao plana do quadriltero esfrico :

PONTO COORD. CARTESIANAS

A X Y

B X + X Y + Y

C

D

Considere que as figuras correspondentes s do quadriltero

esfrico e sua representao plana tenham sido reduzidas em

tamanho at se tornarem infinitesimais. Conseqncias importantes

disso so:

a) As linhas correspondentes no globo e no mapa seaproximam, mais e mais, de linhas retas.

b)Os ngulos formados pelas interseo dos pares de linhaspermanecem invariveis.

Sendo assim, o quadriltero esfrico, formado originalmente

por pares de meridianos e paralelos que fazem interseo com

ngulos retos, transformado em uma figura retilnea na qual os 4

ngulos permanecem retos.

PONTO LATITUDE LONGITUDE

A

B

C

D


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O comprimento de arco elementar do meridiano pessando por

A dSm = R.d e o comprimento de arco elementar do paralelopassando por A dSp = R.cosd Da, o comprimento do arcoelementar diagonal dS calculado:

dS = dSm+dSp dS = (R.d R.cos.d No mapa, os lados e as diagonais da representao plana

(Figura A B C D) so transformadas em linhas retas, mas os

ngulos so preservados. No plano, o ponto A = (x,y) e C =

(x+dx, y+dy)

Queremos determinar:

h =AB

B'A' k =

AD

D'A'

dsds'

ACC'A'

Conhecemos: AB = R.dAD = R.cosdAC = (R.d R.cos.d

Devemos calcular:

AB AD AC


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Vamos construir linhas auxiliares para facilitar a

interpretao:

AS, BP, CQ, DR // EIXO X

AP, BQ, CR, DS // EIXO Y

AB Arco de meridiano passando por A

AD Arco de paralelo passando por A

AC Qualquer arco por A que faz ngulo (= ds)Com o meridiano que passa por A

AP Incremento em y causado por incremento em latitude

PB Incremento em x causado por incremento em latitude

AS Incremento em x causado por incremento em

longitude

DS - Incremento em y causado por incremento em

longitude


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O incremento dxentre A eC composto por dois elementos

lineares, PBe QC, ou seja:

dx =

d

xd

x

O incremento dyentre entre A e Ctambm composto por

dois elementos lineares, AP e BQ, da:

yydy

O arco diagonal AC = ds calculado por: ds = dx + dy22

dy

dy

dx

dx

'ds


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E,Fe G: Primeiras quantidades fundamentais de Gauss.

Escala ao longo do meridiano:AB

'B'Ah

d.E'B'A

d.Ed.YX

'B'A

Y

X'P'A'P'B'B'A

22

22

O arco elementar ABj foi determinado anteriormente e

dado por dsm.Portanto:RE

d.Rd.E

AB'B'Ah

Uma vez que temos que relacionar esta escala escala

principal, ento R=1 e .Eh

22

yx

E

x

.xy

.y

F

22

yx

G

2d.Gd.d.F2d.E'ds


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Escala ao longo do paralelo:AD

'D'AK ,

d.G'D'AdYdX'S'D'S'A'D'A 22 , e

j sabemos que

AD = dsp. Ento:

Escala ao longo de qualquer arco passando por Aque faz umngulo com o meridiano de A:

21

21

d.cos.Rd.R

d.Gd.d.F2d.E

ds

'ds

ds

'ds

AC

'C'A

Fazendo R=10:

21

21

d.cosd

d.Gd.d.F2d.E

ngulo formado em Apela interseco dos meridianos eparalelos:

cos.K.hF

'cos

Escalas particulares:

cos

GK1R,

cos.R

G

d.cos.R

d.GK


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cos

GK

Eh

Agora, deve-se determinar:

- Escala particular: Mxima (a)

Mnima (b)

OTEOREMA DE TISSOT E AS DIREES PRINCIPAIS

Qualquer que seja o sistema de projeo, h em cada ponto

de uma das superfcies, duas direes perpendiculares entre si e, se

os ngulos no forem preservados, h apenas duas delas, tal que as

direes que lhes correspondem na outra superfcie tambm fazem

interseco em ngulos retos.

SUPERFCIE ESFRICA

SUPERFCIE PLANA

'

'

'


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Onde = 90, duas direes ortogonais foram definidas.Estas so chamadas as direes principais.

Um crculo de raio infinitesimal sobre a superfcie do globo

ser transformado em uma elipse infinitesimal no plano, resultandoem uma figura conhecida como Indicatriz de Tissot ou Elipse de

distoro. As direes principal so aquelas nas quais as escalas

particulares so valores mximo e mnimo para aquele ponto. Estas

correspondem aos semi-eixos da Elipse de Distoro.

x = ds. sen u = sen u x = ds. sen

u

y = ds. cos u = cos u y = ds. cos

u

Dos comprimentos dos dois semi-eixos da elipse, vem que:

b.xx'x

x'

1

b

a.yy'y

y'

1

a

Substituindo:


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usena.u'cos.ds'y'

usen.bu'sends'.x'

Combinando estas equaes, tem-se:

usen.bucos.ads' 22222

ESCALA DE REA OU EXAGERO DE REA

A rea do quadriltero A B C D dada por AB. AD.

sen .Portanto,

P = h . k . sem = a . b

DEFORMAO ANGULAR

Da diferena entre os ngulos u e u possvel avaliar a

alterao em direo da linha AC; sabemos que tg u =

y'

x'u'tge

y

x e que x = b.xe y = a.y. Da:

b

a

aybx

yx

y'x'

yx

u'tg

utg

Ento:

tg u = utg.a

b

utg.a

butgu'tgutg


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utg.a

ba

utg.a

b-a

u'cos.ucos

)u'(usenu'cos.ucos

)u'-u(sen

)u'(usen.ba

b-a)u'-u(sen

Se sen (u+u) = 1, para (u+u) = 90, a equao tem valor

mximo. Da, a deformao mxima (), isto , o ngulo compostopor duas direes tal que cada lado do ngulo foi defletido de um

valor mximo:

ba

b-asen 2

Escala particular:

- Ao longo do meridiano - h- Ao longo do paralelo - k- Mxima - a- Mnima b

: ngulo no globo entre a direo principal Ie o meridiano que passa por A.

: ngulo correspondente no mapa

1'cos'sen 22

'cos.b'sen.ak

'sen.b'cos.ah2222

2222

2

2


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Expresso algbrica do 1Teorema de Apolnio: A soma

dos quadrados dos dois dimetros conjugados de uma elipse

constante.2222

bakh O 2 Teorema de Apolnio afirma que a rea do

paralelogramo formado pelos dois semi-dimetros conjugados de

uma elipse igual rea do retngulo formado pelos semi-eixos

daquela elipse.Ou seja:

b.a'sen.k.h possvel avaliar a e b a partir de h, k e :

21

22 )'sen.k.2hK(hba

EXEMPLO DO USO DAS EQUAES

Dadas as equaes de uma projeo

),(fye),(fx 21 , obter

y

,y

,x

,x

e calcular E, Fe G para dado ),( , o que permireobter h, k, cos. Assim, possvel calcular a, b, p, .Paradesenhar isogramas satisfatrios, torna-se necessrio derivarvalores para ~50 pontosno mapa.


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1. PROJEO CILNDRICA EQIDISTANTE (Anaximander,

550A.C. )

yex

te!EqidistanProjeo:Obs.1Eh

1yx

G

0x.xy.yF

1yx

E

0y

1y

1x

0x

22

22

b)a(

b)-a(

2sen

hbk,a90')'sen.kh..2k(hba

sec'sen.sec.1'sen.k.hp

1'sen90'0)cos.k.(h

F'cos

seccos

Gk

21

22

2. PROJEO CILNDRICA EQUIVALENTE (Lambert, 1772)


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e!Equivalent1.0pseckcosh

1G0FcosE

0y

cosy

1x

0x

senyx

2

Dado , calcular a, b, ; notar que 90, ento a = k, b= h.

3. PROJEO CILNDRICA EQIDISTANTE MODIFICADA

(Marinus, 100 D. C.)

X = cos . Y =

4. PROJEO CILNDRICA EQIDISTANTE MODIFICADA

(Behrmann, 1910)

X = cos . Y = sec sen.

O USO PRTICO E A INTERPRETAO DAS

CARACTERSTICAS DE DISTORO DE UMA PROJEO

CARTOGRFICA

Considere as expresses gerais para as projees cilndricas

de aspecto normal:

90'seck)(fyk.hpddyhx

A projeo cilndrica equivalente (Lambert, 1772), comseparao decrescente de paralelos, dada por:


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seckseny1.0pcoshx

Geralmente, os valores das escalas particulares so calculadospara um reticulado espaado, por exemplo, 10 ou 15 de e em um mapa-mundi. Os resultados dos clculos efetuados para a

projeo de Lambert so listados em forma de uma tabela. A partir

de tais valores numricos so plotados grficos mostrando as

variaes em escalas particulares com .Podemos interpretar a tabela da seguinte maneira:

a) Procurar evidncia da localizao de LDZ e PDZ (verificaronde 01.0,p,0:linha10.1 , Equador a L.D.Z.);

b)Procurar evidncia das propriedades especiais (a = b, a =1.0h,

b

1 ouk = 1.0 todas linhas : p = 1.0);c) Procurar evidncia das direes principais (no exemplo

dado os paralelos e meridianos formam uma rede

ortogonal e portanto as direes principais coincidem com

o reticulado: k = a e h = b);

d)Procurar evidncia de pontos singulares (caracterizados porvalores das escalas particulares iguais a 0 ou ltimalinha : p,0b,a,90 indeterminado e

180 , plos so pontos singulares e representados por

linhas de comprimento igual ao do Equador;


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e) Estudar a variao da escala particular com (plotargrficos para

a = f( ) e b = f( ), onde cada ponto na posiocorresponde a uma elipse infinitesimal localizada nainterseco dos paralelos com um meridiano, o mesmo pode

ser feito para p e .

f) Usar a representao espacial das elipses de distoro(plotar a e b em alguma escala arbitrria conveniente e

construir as elipses correspondentes aos diferentes pontos

na projeo);

g)Plotar uma srie de isogramas indicando valoresconstantes para algum dos parmetros de distoro (neste

exemplo 100,60,30,10 ).

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