Tema 9 Cuerpos geométricos

9.1 PrismasPÁGINA 196 ACTIVIDADES1. Dí de que tipo es cada uno de los siguientes prismas:

a) Prisma recto triangular. Es regular pues la base es un triángulo equilátero.b) Prisma recto cuadrangular. No es regular.c) Prisma recto pentagonal. No regular.d) Prisma recto hexagonal. Es regular pues su base es un hexágono regular.

PÁGINA 197 ACTIVIDADES2 La altura de un prisma recto es de 20 cm. Sus bases son trapecios

rectángulos con las siguientes características: las bases mdien 11 cm y 16cm, y la altura 12 cm. Halla el área total del prisma.

El área total será la suma de las áreas de las tapas (superior e inferior) juntocon la suma de las áreas de las caras laterales.� Área de las tapas:

1

Área trapecio�(base mayor � base menor)x altura

2�

��11� 16� � 12

2� 162cm2

� Área lateral: hemos de distinguir las que son de los lados que formaángulo recto los lados del trapecio frente a la que se corresponde conel otro lado.� Área lateral de lados en ángulo recto del trapecio:

Como se trata de rectángulos será:11 � 20� 16 � 20� 12 � 20 � 780cm2

� Área lateral del lado no en ángulo recto del trapecio.En primer lugar, tenemos que calcular la medida de ese lado,por lo que aplicaremos el Teorema de Pitágoras en el triángulorectángulo NOM :NM2 � ON2 � OM2

NM2 � 122 � 52 � 144� 25 � 169NM � 169 � 13 cmÁrea lateral� 13 � 20 � 260cm2

Finalmente, el área total será 162� 780� 260� 162 � 1364cm2

3 Halla el área total de un cubo de arista 10 cm.

Área total del cubo� 6 �área de un cuadrado� 6 � 102 � 600cm2

4 Las dimensiones de un ortoedro son 4 cm, 3 cm y 12 cm. Halla el área total yla longitud de la diagonal.� Área total�

� 2�12 � 3 � 12 � 4 � 3 � 4� � 2�36� 48� 12� � 2 � 96 � 192cm2

� Longitud de la diagonal.Para poderla calcular, vamos a trabajar sobre dos triángulosrectángulos:� Triángulo rectángulo ACD

Aquí aplicamos el Teorema de Pitágoras para calcular lahipotenusa.AC2 � AD2 � DC2

AC2 � 122 � 32 � 144� 9 � 153AC � 153 � 12. 369� 12.4cm

2

� Triángulo rectángulo ACGAquí aplicamos el Teorema de Pitágoras para calcular lahipotenusa.AG2 � GC2 � CA2

AG2 � 42 � 12.42 � 16� 153.76� 169. 76AG � 169.76 � 13. 029� 13 cm que es la longitud de ladiagonal.

5 La base de un ortoedro es un rectángulo de lados 9 cm y 12 cm. La diagonaldel ortoedro mide 17 cm. Calcula la medida de la altura del ortoedro y su área.� Vamos a calcular en primer lugar la altura.

� Aplicamos el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectánguloBDC.BD2 � BC2 � CD2

BD2 � 122 � 92 � 144� 81 � 225BD � 225 � 15 cm

� Aplicamos el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectánguloBDGBG2 � BD2 � GD2

172 � 152 � GD2

GD2 � 172 � 152 � 289� 225 � 64GD � 64 � 8 cm

� Área total� 2�12 � 9 � 12 � 8 � 8 � 9� � 552cm2

3

9.2 PirámidesPÁGINA 199 ACTIVIDADES1. Halla el área total de una pirámide regular cuya base es un cuadrado de lado

10 cm de lado y cuya altura es de 12 cm.

Área total � área de la base � 4xárea de los triángulos laterales.Por ahora, área de la base� 102 � 100cm2.

área de un triángulo lateral�base x altura

2En esta última fórmula, no conocemos la altura; hemos de calcularla. Para ellotrabajamos en el triángulo rectángulo EFG, donde aplicamos el Teorema dePitágoras:EG2 � EF2 � FG2

EG2 � 122 � 52 � 144� 25 � 169EG � 169 � 13 cm

Ahora, área de un triángulo lateral�base x altura

2� 10 � 13

2� 65 cm2

Área total� 100� 4 � 65 � 360cm2

2. La base de una pirámide regular es un pentágono de 16 dm de lado y 11 dmde apotema. La altura de la pirámide es de 26.4 dm. Halla su área total.

4

Área total � área de la base � 5xárea de los triángulos laterales.

área de la base� 5 �área de un triángulo� 5 � 16 � 112

� 440dm2

Por ahora no conocemos la altura de una cara triangular lateral. Aplicamos elTeorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo FGH :FH2 � GH2 � FG2 � 112 � 26.42 � 817. 96FH � 817.96 � 28. 6dm

área de un triángulo lateral�base x altura

2� 16 � 28.6

2� 228. 8dm2

Finalmente área total� 440� 5 � 228.8� 1584.0dm2

9.3 Troncos de pirámideACTIVIDADES PÁGINA 2001. Halla el área lateral de un tronco de pirámide hexagonal regular cuyas

dimensiones son las del dibujo.

Trabajando en el triángulo rectángulo MNQ, vamos a calcular la apotema deltronco de pirámide. Aplicando el Teorema de Pitágoras tenemos que:MN2 � NQ2 � MQ2

412 � 92 � MQ2

MQ2 � 1681� 81 � 1600MQ � 1600 � 40 cm

5

Área lateral� 6 �área trapecio� 6 ��38 � 20� � 40

2� 6960cm2

2. Una pirámide regular de base cuadrada de 10 cm de lado y arista lateral de 13cm es cortada por un plano a mitad de su altura. Halla el área total del troncode pirámide resultante.

Aplicamos el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo QRS :QS2 � QR2 � RS2

132 � QR2 � 52

QR2 � 169� 25 � 144QR � 144 � 12 cmPor otro lado, los triángulos QRS y QUV están en posición de Tales (tienen unángulo común y sus lados son paralelos), por lo tanto son semejantes, siendola razón de semejanzaQRQU

�QSQV

� RSUV

126

� 136.5

� 5UV

2 � 2 � 5UV

En particular será UV � 52

� 2. 5 cm

Finalmente, el área total será 52 � 102 � 4 ��10� 5�

2� 6 � 305cm2

9.4 Poliedros regularesPÁGINA 201 ACTIVIDADES1. Considerando la suma de los ángulos que coinciden en cada vértice, justifica

por qué no se puede construir un poliedro en los siguientes casos.a) Con seis triángulos equiláteros en cada vértice.Si tuviesemos seis triángulos equiláteros en cada vértice, tendríamos unángulo de 6 � 60 � 360°y esto no se puede "doblar" para hacer un vértice deun figura tridimensional.En un triángulo equilátero, todos sus ángulos son iguales de ahí que midan180� 3 � 60°b) Con cuatro cuadrados en cada vértice.Si tuviesemos cuatro cuadrados en cada vértice, tendríamos un ángulo de

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4 � 90 � 360°y esto no se puede "doblar" para hacer un vértice de un figuratridimensional.Recordamos que en cada vértice de un cuadrado tenemos un ángulo recto.c) Con cuatro pentágonos regulares en cada vértice.

Tenemos el pentágono regular dividido en tres triángulos, por lo que las sumade los ángulo interiores del pentágono regular coincidirán con la suma detodos los ángulos interiores de los tres triángulos. De ahí que un ángulointerior del pentágono regular mida 3 � 180

5� 108°

Si tuviesemos cuatro pentágonos regulares en un vértice la suma de losángulos sería 4 � 108 � 432°que es más que 360°siendo imposible por tantocrear un "vértice" de un figura tridimensional.d) Con hexágonos regulares o polígonos regulares de más lados.� hexágonos regulares

Tenemos el hexágono regular dividido en cuatro triángulos, por lo quela suma de los ángulos interiores del hexágono regular coincidirá con lasuma de todos los ángulos interiores de los cuatro triángulos. De ahíque un ángulo interior del hexágono regular mida 4 � 180

6� 120°

Si tuviesemos tres hexágonos regulares en un vértice la suma de los

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ángulos sería 3 � 120 � 360°siendo imposible por tanto crear un"vértice" de un figura tridimensional.Vemos por otro lado, que si el polígono regular tiene n lados, entonceslo podemos dividir en n � 2 triángulos. Así, el ángulo interior de un

polígono regular de n lados mide�n � 2� � 180

nPor ejemplo, en el caso del polígono regular de 7 lados tendríamos que

cada uno de sus ángulos mide�7 � 2� � 180

7� 5 � 180

7� 128. 57.

Por lo tanto, si juntasemos en un mismo vértice tres heptágonos, nosquedaría un ángulo de 128. 57� 3 � 385. 71° � 360°. De ahí que no sepueda construir un poliedro regular a partir del heptágono.

DESARROLLO POLIEDROS REGULARES� Tetraedro

� Cubo o hexaedro

� Octoedro

8

� Dodecaedro

� Icosaedro

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