TD4 Fractions
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Universite Henri Poincare Faculte des Sciences et Technologies
Licences Mathematiques, SPI et Informatique Automne 2010
Liste dexercices n4 : Fractions rationnelles
Exercice 1 Decomposer les fractions rationnelles suivantes sur C puis sur R
3X3 + 1
,1
X2n + 1.
Exercice 2 Decomposer sur R les fractions rationnelles suivantes :
2X3 + X2 X + 1X2 2X + 1 ,
3X5 + 2X4 + X2 + 3X + 2X4 + 1
X + 59X2 + 6X + 17
,3X5 4X4 + 4X3 10X2 8(X2 2X + 1)(X2 + X + 1) .
Exercice 3 Decomposer sur R et sur C les fractions rationnelles :
X
X4 + 1,
X5 + X + 1X4 1 .
X3 2X4(X2 + X + 1)2
,X2 3
(X2 + 1)(X2 + 4).
Exercice 4 Decomposer en elements simples les fractions rationnelles suivantes :
5X 12X(X 4) ,
37 11X(X + 1)(X 2)(X 3) ,
6X 11(X 1)2 ,
19X2 + 50X 25X2(3X 5) ,
2X2 15X + 33(X + 1)(X 5) .
Exercice 5 1. Decomposer X33X2+X4
X1 en elements simples sur R.
2. Decomposer 2X3+X2X+1X23X+2 en elements simples sur R.
3. Decomposer 2X3+X2X+1X22X+1 en elements simples sur R.
4. Decomposer X4+2X2+1X21 en elements simples sur R.
5. Decomposer XX24 en elements simples sur R.
6. Decomposer X5+X4+1X3X en elements simples sur R.
7. Decomposer X5+X4+1
X(X1)4 en elements simples sur R.
8. Decomposer X5+X4+1
(X1)3(X+1)2 en elements simples sur R.
9. Decomposer X7+3
(X2+X+2)3en elements simples sur R.
10. Decomposer (32i)X5+3iX2+iX+2
en elements simples sur C.
-
11. Decomposer X+iX2+i
en elements simples sur C.
12. Decomposer X(X+i)2
en elements simples sur C.
13. Decomposer X2+1
X4+1en elements simples sur R et sur C.
14. Decomposer XX4+1
en elements simples sur R et sur C.
15. Decomposer X2+X+1X4+1
en elements simples sur R et sur C.
16. Decomposer X5+X+1X41 en elements simples sur R et sur C.
17. Decomposer X5+X+1X61 en elements simples sur R et sur C.
18. Decomposer X32
X4(X2+X+1)2en elements simples sur R et sur C.
19. Decomposer X(X2+1)(X2+4)
en elements simples sur R et sur C.
20. Decomposer X23
(X2+1)(X2+4)en elements simples sur R et sur C.
Correction 1 1. X33X2+X4
X1 = X2 2X 1 5X1 .
2. 2X3+X2X+1X23X+2 = 2X + 7 3X1 + 19X2 .
3. 2X3+X2X+1X22X+1 = 2X + 5 +
3(X1)2 +
7X1 .
4. X4+2X2+1X21 = X
2 + 3 + 2X1 2X+1 .5. X
X24 =1/2X+2 +
1/2X2 .
6. X5+X4+1X3X = X
2 + X + 1 1X + 1/2X+1 + 3/2X1 .7. X
5+X4+1X(X1)4 = 1 +
1X +
3(X1)4 +
6(X1)3 +
10(X1)2 +
4X1 .
8. X5+X4+1
(X1)3(X+1)2 = 1 +3/4
(X1)3 +3/2
(X1)2 +37/16X1 1/8(X+1)2 5/16X+1 .
9. X7+3
(X2+X+2)3= X 3 + 7X+13
(X2+X+2)3 7X+21
(X2+X+2)2+ 14
X2+X+2.
10. (32i)X5+3iX2+iX+2
= 2+iXi +13iX+2i .
11. X+iX2+i
=2+2
4+24i
X22i2
+2+2424i
X2+2i
2
.
12. X(X+i)2
= 1X+i i(X+i)2 .
13. X2+1
X4+1= 1/2
X2+2X+1
+ 1/2X22X+1 =
24i
X2222i
+24i
X22+22i
+24i
X+22+22i
+ 24i
X+2222i.
14. XX4+1
= 2/4
X2+2X+1
+2/4
X22X+1 = 1
4i
X2222i
+14i
X22+22i
+ 14i
X+22+22i
+14i
X+2222i.
15. X2+X+1X4+1
= (22)/4
X2+2X+1
+ (2+2)/4
X22X+1 = 1+
2
4i
X2222i+
1+2
4i
X22+22i+
124
i
X+22+22i+
124
i
X+2222i.
16. X5+X+1X41 = X +
3/4X1 +
1/4X+1
X+ 12
X2+1= X + 3/4X1 +
1/4X+1 +
12+ 1
4i
Xi + 1
2 1
4i
X+i .
17. X5+X+1X61 =
1/2X1 +
1/6X+1 +
13X 2
3X2X+1 =
1/2X1 +
1/6X+1
13j
X+j 13j2
X+j2.
18. X32
X4(X2+X+1)2= 2
X4+ 4
X3 2
X2 3X + X+1(X2+X+1)2 + 3X+5X2+X+1 =
2X4
+ 4X3
2X2
3X +13j2
(Xj)2 +13j
(Xj2)2 +32 23
3
18i
Xj +32+ 23
3
18i
Xj2 .
-
19. X(X2+1)(X2+4)
=13X
X2+1
13X
X2+4= 1/6Xi +
1/6X+i 1/6X2i 1/6X+2i .
20. X23
(X2+1)(X2+4)= 4/3
X2+1+ 7/3
X2+4=
23i
Xi + 2
3i
X+i + 7
12i
X2i +712i
X+2i .
Exercice 6 Decomposition en elements simples =2x4 + x3 + 3x2 6x + 1
2x3 x2 .
Correction 2 Commencer par la division euclidienne : = x + 1 + 1 avec 1 = 4x26x+12x3x2 .
Puis factoriser le denominateur. On a
1 =A
x2+B
x+
C
x 12. (1)
On obtient2x4 + x3 + 3x2 6x + 1
2x3 x2 = x + 11x2
+4x 2x 12
.
Exercice 7 Decomposer les fractions rationnelles suivantes :
X3
X3 1 sur R
X2 + X + 1(X 1)2(X + 1)2 sur R
F (X) =1
(X3 1)2 sur C en remarquant que F (jX) = F (X)
X7 + 1(X2 + 1)(X2 + X + 1)
sur R
X3 + X(X2 + X + 1)2
sur R
Correction 3X3
X3 1 = 1 +1
X 1 +X + 2
X2 + X + 1.
X2 + X + 1(X 1)2(X + 1)2 =
3/4(X 1)2 +
1/4(X + 1)2
.
F (X) = 29
(1
X 1 +1
X j +1
X j2)
+19
(1
(X 1)2 +j2
(X j)2 +j
(X j2)2).
X7 + 1(X2 + 1)(X2 + X + 1)
= X3 X2 X + 2 X + 1X2 + 1
+X
X2 + X + 1.
X3 + X(X2 + X + 1)2
=X 1
X2 + X + 1+
X + 1(X2 + X + 1)2
.