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LEMAZURIER Multiplications

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FICHE TD 2 (27 PAGES)

TECHNIQUES DE MULTIPLICATIONS

A TRAVERS LE MONDE ET LE TEMPS…


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SOMMAIRE :

INTRODUCTION …………………………………………………………………………………………… 3

I-‐ LA METHODE EGYPTIENNE ………………………………………………………………………. 4

LE PAPYRUS DE RHIND ………………………………………………………………………………... 4

LA NUMERATION HYEROGLYPHIQUE EGYPTIENNE……………………………………………………... 5

LA TECHNIQUE DE MULTIPLICATION …………………………………………………………………... 7

II-‐ LA METHODE RUSSE ………………………………………………………………………………... 10

III-‐ LA METHODE CHINOISE …………………………………………………………………………... 11

REPRESENTATION DES CHIFFRES CHEZ LES CHINOIS …………………………………………………... 11

ET 0 ALORS ? ………………………………………………………………………………….……...... 13

LA TECHNIQUE DE LA MULTIPLICATION ………………………………………………………………. 14

IV-‐ TCHOU LE CHINOIS ………………………………………………………………………………... 18

V-‐ LA METHODE « PER GELOSIA » ………………………………………………………………… 23

HISTORIQUE …………………………………………………………………………………..………... 23

LA TECHNIQUE DE LA MULTIPLICATION ………………………………………………………………... 24

VI-‐ LA METHODE MODERNE …………………………………………………………………………… 26

VII-‐ LA METHODE DU NOUVEAU MILLENAIRE ……………………………………………………… 27


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INTRODUCTION :

Le but de ce T.D. est de vous faire découvrir plusieurs techniques de multiplications à travers les

âges et à travers le monde.

Il est évident que la pratique des mathématiques a évolué selon les époques mais aussi à travers

les différentes découvertes.

L’Histoire des Mathématiques est marquée par deux grands groupes de Mathématiciens : ceux qui

cherchaient à expliquer des concepts très complexes et abstraits et d’autres qui visaient à simplifier des

travaux du quotidien.

Dans ce document, je vous présente des méthodes de multiplications utilisées à travers les âges

selon différents peuples, pour le commerce ou tout autres activités reliées aux chiffres et aux quantités.

Bonne découverte…


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I -‐ LA METHODE EGYPTIENNE (-‐1600 AVANT JESUS CHRIST)

Les mathématiques égyptiennes étaient d’abord et avant tout des mathématiques axées sur la

pratique. Elles servaient à l’agriculture et à l’ingénierie. On se servait des mathématiques dans ces

domaines principalement pour calculer un calendrier utilisable, pour le développement de systèmes de

poids et de mesures pour la récolte, l’entreposage et la division de la nourriture.

Les mathématiques égyptiennes servaient aussi pour créer des méthodes pour examiner la construction

de canaux, de réservoirs et pour la construction des pyramides, pour séparer les terres, pour collecter les

taxes et pour les échanges.

Le papyrus de RHIND

Le papyrus RHIND a été écrit par le scribe Ahmès environ en 1650 avant Jésus Christ. On lui doit

son nom à l’écossais Henry RHIND qui l’a acheté à Louxor en 1858, lieu où il a été découvert,

anciennement connu sous le nom de la ville de Thèbes.

Il est aujourd’hui conservé au British Museum de Londres. Long de plus de 5m sur 32 cm de

largeur, écrit en écriture hiératique, ce papyrus est en partie une copie de résultats plus anciens connus

par Ahmès des babyloniens.

Il contient 87 problèmes résolus d’arithmétique, d’algèbre, de géométrie et d’arpentage. C’est

grâce à ce document qu’on connaît aujourd’hui la technique de multiplication des égyptiens.

En voici une partie


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La numération hiéroglyphique Egyptienne

La numération hiéroglyphique égyptienne se lisait comme suit :

Il est à noté que plusieurs symboles représentent le même nombre. Ceci est probablement dû au

fait que chaque scribe écrivait à sa manière à l’époque et donc chacun laissait aller son sens artistique et

produisait des symboles différents.

Il est à noter que la numération égyptienne n’est pas une numération de position. Autrement dit,

∩|| et ||∩ représentent tout deux le nombre 12. Les égyptiens avaient toutefois l’habitude d’écrire de

droite à gauche, mais ceci pouvait changer selon le scribe.

Notons aussi que les égyptiens n’avaient pas de représentation pour le nombre 0, mais leur

numération fait en sorte que le concept du zéro n’est pas nécessaire.


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Voici une théorie sur la provenance de ces symboles :

1) En utilisant cette numération, écrire le nombre 24.

2) En utilisant cette numération, écrire le chiffre 7.




6) En utilisant cette numération, écrire le nombre 1 567 432.


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La technique de multiplication

La technique de multiplication égyptienne a comme principal intérêt qu’elle ne nécessite

aucune connaissance des tables de multiplication. C’est probablement pour cette raison que les

égyptiens l’ont adoptée car ils n’avaient pas de telles tables.

On peut toutefois croire qu’ils avaient crée la table des puissances de 2 car la méthode nécessite

de les connaître ou de les calculer à chaque fois.

Voici cette table des puissances de 2 :

Les égyptiens savaient que chaque nombre avait une unique décomposition en puissances de 2 et

connaissaient aussi la propriété de distributivité de la multiplication.

Autrement dit , ils savaient que 18 × 12 = 18 × (8 + 4) = 18 × 8 + 18 × 4.


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Exemple 1 : Effectuons la multiplication 58 × 343 à la méthode égyptienne.

Effectuer une multiplication avec cette technique s’effectue en 3 étapes :

Ø Etape 1 : -‐ Décomposition en puissance de 2 -‐

La première étape est de trouver la décomposition en puissances de 2 du plus petit des deux

nombres à multiplier.

Pour cela, les égyptiens procédaient méthodiquement :

On part avec 58 et on trouve (sur notre table de puissance ci-‐dessus) que la plus grande puissance

de 2 inférieure à 58 est 32.

58 – 32 = 26

Ensuite, on fait la même chose avec le résultat, 26, et on trouve 16, et on soustrait à nouveau.

26 – 16 = 10

Puis, on trouve à nouveau la puissance de 2, cette fois-‐ci, 8.

10 – 8 = 2

Et le résultat, 2 est lui-‐même une puissance de 2, on a donc terminé de trouver la décomposition

cherchée : 58 = 32 + 16 + 8 + 2

Et donc, 343 × 58 = 343 × (32 + 16 + 8 + 2).


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Ø Etape 2 : -‐ La construction du tableau de puissances -‐

Maintenant que l’on connaît la décomposition d’un des nombres, on construit un tableau avec les

puissances de 2 de l’autre nombre comme suit :

C’est simple, on part du nombre non décomposé (ici, 343) et on le met en face de 1, on

l’additionne par lui-‐même, on met le résultat en face de 2, on additionne le résultat avec lui-‐même, on le

met en face de 4 et on continue jusqu’à la plus grande puissance inférieure au nombre que l’on a

décomposé (ici, on continue jusque 32 puisque 32 est la plus grande puissance de 2 trouvée dans 58

(Etape 1)).

Ø Etape 3 : -‐ Le résultat -‐

Maintenant que nous avons le tableau des puissances et la décomposition en puissances de 2, il

nous reste qu’à additionner les puissances correspondantes dans le tableau.

On a trouvé à l’étape 1 que 58 = 32 + 16 + 8 + 2. On prend donc les éléments en face de 32, 16, 8

et 2 dans le tableau (Etape 2) et on les additionne pour trouver le résultat :

343 × 58 = 686 + 2 744 + 5 488 + 10 976 = 19 894

Et on a réussi à calculer le produit de deux nombres sans connaître aucune table de

multiplication, c’est là la beauté de la méthode égyptienne.

1) En utilisant cette méthode, effectuer la multiplication 34 × 56.


3) Illustrer l’un de ces exemples à l’aide d’Educreations sur votre Ipad.

1 →→→→→ 343

2 →→→→→ 686

4 →→→→→ 1 372

8 →→→→→ 2 744

16 →→→→→ 5 488

32 →→→→→ 10 976


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II -‐ LA METHODE RUSSE (20EME SIECLE)

La méthode Russe est une dérive directement de la méthode Egyptienne.

Les mathématiques, les connaissances ont voyagé et les Russes ont modifié la méthode Egyptienne à

leur manière. Elle a été utilisée jusqu’au début du 20ème siècle en Russie.


Exemple 2 : Voici la multiplication 58 × 343 à la méthode Russe.

On fait un tableau comme dans la méthode égyptienne, sauf que cette fois-‐ci on commence avec

les deux nombres à multiplier, d’un côté, on divise par 2 à chaque ligne (sans tenir compte des restes) et

de l’autre côté, on multiplie par 2.

Il ne reste maintenant qu’à additionner les éléments à droite qui sont en face d’un élément

impair, c’est-‐à-‐dire :

53 × 67 = 67 + 268 + 1072 + 2144 = 3551




53 →→→→→ 67 (67 x 1)

26 →→→→→ 134 (67 x 2)

13 →→→→→ 268 (67 x 4)

6 →→→→→ 536 (67 x 8)

3 →→→→→ 1072 (67 x 16)

1 →→→→→ 2144 (67 x 32)


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III -‐ LA METHODE CHINOISE

Avant de parler de la multiplication, nous devons savoir comment les chinois représentaient leurs

chiffres, ensuite nous traiterons du problème du zéro et finalement nous verrons comment multiplier des

nombres à l’aide d’échiquiers numériques.

Représentation des chiffres chez les chinois

Pour calculer, les Chinois représentaient leurs chiffres à l’aide de petits bâtonnets d’ivoire, de

bambou ou de bois de couleur rouge ou noire disposée verticalement ou horizontalement dépendant des

chiffres.

Cette manière de représenter les nombres est très ancienne mais les détails de cette méthode

nous sont parvenus qu’à partir du 2ème siècle avant Jésus-‐Christ. Les bâtonnets avaient une longueur de 1

pouce et demi, les rouges représentant des nombres positifs, les noirs des nombres négatifs.

La manière de représenter les chiffres est simple. Un bâtonnet placé verticalement représente une

unité. Deux bâtonnets représentent deux unités. Les cinq premiers chiffres sont représentés de cette

manière. Ensuite, six unités sont représentées par un bâtonnet placé verticalement sous un bâtonnet

positionné horizontalement. Sept unités sont représentées par deux bâtonnets verticaux sous un bâtonnet

horizontal et ainsi on peut représenter les nombres jusqu’à neuf de cette façon.

1) En utilisant cette représentation, écrire les nombres 3 et 12.

2) Qu’observez-‐ vous ?


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La représentation d’un nombre n’est donc pas unique ce qui posa un sérieux problème aux

scientifiques chinois de l’époque.

Malgré tout, les savants chinois parviennent à résoudre leur problème en modifiant la notation. Ils

décident alors d’écrire les nombres à l’aide de deux notations différentes :

Ce choix de notation est complexe et dépasse votre niveau mathématiques actuel… Nous n’en

parlerons donc pas plus…


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Et 0 alors ?

1) A l’aide de la représentation ci-‐ dessus, écrire le nombre 100.

2) Quel problème rencontrez-‐ vous ?

Vous avez surement dû remarquer que zéro n’était pas représenté…

Certains scientifiques utilisaient les signes chinois pour régler ce problème. Pour écrire 10 000, ils

prenaient un bâtonnet vertical suivi d’un symbole chinois représentant dix mille.

D’autres utilisaient des grilles et les espaces vident représentaient zéro.

Au 8ème siècle, les savants chinois utilisèrent un symbole afin de représenter l’absence d’unité

dans la représentation avec bâtonnets. Le symbole retenu fut un petit rond, probablement influencé par

les mathématiciens de la civilisation indienne. On peut le retrouver dans les écrits pendant la dynastie de

Sung entre 960 et 1126 et dans les siècles qui suivirent.


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L’outil utilisé pour la multiplication était un échiquier et des petits bâtonnets nommés chóu.

Vous n’avez pas compris, n’est-‐ ce pas ? Alors observons un exemple pour mieux comprendre…

ALGORITHME :

Pour multiplier, on inscrivait le multiplicateur dans les cases en haut à droite de l’échiquier. Ensuite, on

laissait une ligne vide puis on inscrivait le multiplicande de manière à ce que son dernier chiffre soit en dessous du

premier chiffre du multiplicateur.

La première étape consistait à multiplier le premier chiffre du multiplicande avec le premier chiffre du

multiplicateur. On inscrivait le résultat dans la colonne du milieu en dessous du chiffre du multiplicande. On

poursuivait en multipliant le deuxième chiffre du multiplicande avec le premier chiffre du multiplicateur. Le résultat

s’inscrivait au dessus du deuxième chiffre du multiplicande.

On additionnait à chaque étape les nombres qu’on inscrit dans la colonne du milieu. Lorsque l’on a terminé avec le

premier chiffre du multiplicateur, on passe au second, et ainsi de suite, jusqu’au dernier.


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Exemple 3 : Effectuons la multiplication 12 × 34.

On commence par inscrire 12 en haut à droite et 34 directement en dessous du 1 de 12. On laisse

une ligne entre les 2 nombres.

Ensuite on multiplie 3 par 1 et on inscrit la réponse au dessus du 3 de 34. On fait la même

opération avec 4.


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On enlève le 1 puisque nous n’en avons plus besoin et on bouge 34 d’une case vers la droite.

Ensuite on multiplie 3 par 2 et on addition le résultat au chiffre qui est au dessus de 3. Puisque

l’addition donne 10, on enlève les bâtons de la case et on ajoute 1 au chiffre à sa gauche. Ensuite on

multiplie 4 par 2 et on inscrit le résultat.

Nous obtenons alors la réponse. On remarque que l’espace représente le zéro. Il ne nous reste

plus qu’à écrire le nombre de manière condensée.


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IV – TCHOU LE CHINOIS

Une autre méthode incroyable développée en Chine par Tchou le Chinois est la technique du

"dessin multiplicatif" . Pour cette méthode, pas besoin de connaître les tables de

multiplication…

C'est extrêmement facile quand elle est suivie avec rigueur et est plus accessible... des battons

verticaux pour le nombre multiplicande en fonction du chiffre des unités, des dizaines, des centaines, des

croisements, des battons horizontaux pour le nombre multiplicateur, arc de cercle délimitant les unités,

les dizaines et les centaines et comptabilisation des croisements... et c'est OK !

Vous n’avez pas compris, n’est-‐ ce pas ? Alors observons un exemple pour mieux comprendre…


Pour faciliter la compréhension nous mettons une couleur par chiffre.

Exemple 4 : Effectuons la multiplication 𝟏𝟒×𝟐𝟑 avec la méthode de Tchou le Chinois.

Ø Etape 1 : On représente chaque chiffre par un trait en conservant la

couleur. Pour le 1er facteur cela donne la figure ci-‐contre.

Ø Etape 2 : Représentation du 2ème facteur ; les traits sont perpendiculaires

au 1er tracé.


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Ø Etape 3 : Pour simplifier la suite de l’explication ce 1er tracé est

maintenant représenté en noir.

Ø Etape 4 : On place des points à chaque intersection.

De gauche à droite : les points des unités en vert,

puis les chiffres des dizaines en rouge, et des

centaines en bleu.

Ø Etape 5 : On distingue 3 zones sur le graphique. On compte le nombre de points par zone et on

inscrit le nombre sous chaque zone.


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Ø Etape 6 : La zone jaune représente les unités,

la zone bleu les dizaines, et la zone rouge les

centaines.

Chaque zone doit contenir 1 seul chiffre.

Il faut décomposer le nombre de points

trouvés dans chaque zone comme indiqué

sur la figure ci-‐contre.

Ø Etape 7 : On fait le calcul.

Donc 23 × 14 = 322.


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Exemple 5 : Voici une autre illustration de cette méthode, le calcul 23 × 13.


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Exemple 6 : Enfin, voici un lien vidéo pour observer un dernier exemple de cette technique

de multiplication : http://youtu.be/Z0Fpravg_fU





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V -‐ LA METHODE « PER GELOSIA » (12EME AU 17EME SIECLE)

Le mot italien « gelosia » signifie une sorte de grillage qu’on plaçait devant les fenêtres, un peu

comme un store. Le mot « gelosia » est aussi un synonyme de « jalousie ».

Historique

Cette méthode de multiplication vient de la civilisation indienne. C’est le mathématicien

BHASKARA qui fut le premier à la publier dans son livre Lilavati en 1150, parmi quatre autres méthodes

de multiplication « de moindre importance ». Elle apparaît aussi dans d’autres livres de calculs indiens de

cette époque.

Ce fut FIBONACCI qui l’introduisit en Europe en 1202, dans son célèbre ouvrage, le Liber Abaci. Ce

mathématicien italien avait appris la numération arabe et tentait par cet ouvrage de l’emmener aux

Européens, qui calculaient encore avec le système romain, satisfaisant pour les additions mais trop

complexe pour les multiplications.

On voit donc que la méthode « per gelosia » avait voyagé de l’Inde chez les Perses et les Arabes

avant de se rendre en Europe. Les Européens ont pris quelque temps à être à l’aise avec ce nouveau

système, mais ils l’utilisèrent ensuite jusque dans les années 1600.


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Exemple 7 : Effectuons la multiplication 3 652 × 941 avec a méthode « per gelosia ».

3 652 se trouve au-‐dessus de la grille et 941 à droite.

Le résultat se trouve à gauche et au-‐dessous de la grille : c’est donc 3 436 532.

Après avoir tracé le grillage, la première étape consiste à multiplier le premier chiffre de

3 652 avec le premier chiffre de 941, et à inscrire le résultat dans la première case en haut à

gauche,

les dizaines au-‐dessus de la diagonale, et les unités au-‐dessous.

On continue ainsi en inscrivant le résultat de chaque multiplication dans la case

correspondant à l’intersection du chiffre de 3 652 et de celui de 941.

Une fois que cette étape est complétée, on additionne les chiffres de chaque rangée

diagonale, en commençant par le bas droit et en transférant les retenues dans la diagonale

suivante, sans oublier d’inscrire les unités en bas ou à gauche de la diagonale.

Par exemple, le résultat de l’addition de la deuxième diagonale à partir du bas est 13,

alors on inscrit 3 au bas de la grille, sous la deuxième colonne, et on additionne la dizaine avec la

diagonale suivante (8, 0, 0, 0, 6).


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1) En utilisant cette méthode, effectuer la multiplication 1 234 × 567.

2) En utilisant cette méthode, effectuer la multiplication 4 567 × 891.



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VI -‐ LA METHODE MODERNE

Voici une illustration de cette méthode :

Exemple 8 : Effectuons la multiplication 42 × 26





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VII -‐ LA TECHNIQUE DU NOUVEAU MILLENAIRE

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