GENIE ELECTRIQUE ET INFORMATIQUE INDUSTRIELLE

Semestre 3

AUTOMATIQUE

Travaux dirigés

2ème série

2020 – 2021

Motivated by the need for the accurate determination of time, the Greek invented the float regulator around 270 BC for a water clock. This regulator would maintain the water level in a tank at a constant depth, which yielded a constant flow of water through a tube that would fill a second tank at a constant rate. Therefore the level of water in the second tank depended on the time elapsed. This was possible since as the water level dropped, a float would gradually open a valve.

Sommaire et durée recommandée pour chaque TD

TD1 partie 1 – (2 heures) Régulation par PI d'une enceinte climatique industrielle TD2 partie 1 – (2 heures) Asservissement PI de vitesse sur feedback TD3 partie 1– (2 heures) Régulation PI d’un processus hydraulique

TD1 partie 2 – (2 heures) Régulation par PI d'une enceinte climatique industrielle TD2 partie 2 – (2 heures) Asservissement PI de vitesse sur feedback TD3 partie 2 – (2 heures) Régulation PI d’un processus hydraulique

Séance de révision /rattrapage – (2 heures)

TD1 - Partie 1

Régulation par PI d'une enceinte climatique industrielle

1. - But L'objectif de ce sujet de TD est de déterminer les paramètres de réglage du régulateur de l’enceinte climatique industrielle dont l'étude faite au TP A1 de la 1ère série a permis de donner une fonction de transfert. Les exercices présentés dans ce sujet sont destinés à se familiariser avec le sujet de TP sur la régulation par PI d'une enceinte climatique industrielle. 2. - Exercices préliminaires L'ensemble des exercices proposés couvre les thèmes suivants :

l'identification d'une enceinte climatique la commande de cette dernière.

On suppose que l'enceinte climatique peut être représentée par la fonction de transfert suivante:

pFGpG sys.)( avec p

epF

pT

.1)(

.

Cette fonction de transfert est constituée d'un système du premier ordre et d'un retard

pur. 3. - Modélisation 3.1 - Essai statique

La température de l’enceinte climatique est régulée avec un régulateur proportionnel comme l’illustre la figure 1. Le correcteur proportionnel est réglé à 5. Après une phase transitoire, la sortie du atteint un régime permanent et on obtient: c = 80°C, m = 75°C et a = 25°C.

Figure 1 – Régulation proportionnelle de l’enceinte climatique

-

c(t)

+ K Gsys F(p) m(t) +

+a(t)

u(t)

Question 2.1 - Exprimer m(p) en fonction des composants du schéma bloc de la figure 1 et des entrées c(p) et a(p).

L'essai est en régime établi et les valeurs des grandeurs c, m et a restent constantes. On souhaite étudier le système de la figure 1 dans ce cadre. Question 2.2 - Quel est le théorème qui permet d'étudier le système ci-dessus en régime établi? Question 2.2 - A partir de ce théorème on vous demande de déterminer la valeur de Gsys. 4. - Mise en oscillation de l'enceinte climatique

On cherche à mettre en oscillation l'enceinte climatique. Pour cela on donne la valeur Kosc = 40 au gain du correcteur proportionnel. L'oscillogramme de la figure 2 représente la réponse de la température mesurée obtenue avec un tel réglage.

Figure 2 – Réponse de la température mesurée

Question 2.3 - Déterminer la période et la pulsation d'oscillation (l’axe d’abscisse est gradué en secondes). Question 2.4 - Que pouvez-vous dire du tracé de la boucle ouverte Kosc.G(p) dans le plan de Black ? Par quel point particulier passe ce tracé sachant que la boucle fermée est en limite de stabilité? Pour ce point particulier donner alors le module et l'argument de la boucle ouverte. Question 2.5 - Que peut-on dire du module de la boucle fermée pour ce point particulier? Quelle est la relation entre la pulsation d'oscillation osc et la pulsation de résonance r?

0 50 100 15 0 200 250 300 3 50 400 450 500-20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

Question 2.6 - Donner l'expression du module et l'argument de la fonction de transfert KoscG(j.) en fonction des paramètres Kosc, Gsys, et pour r. Question 2.7 - Poser alors les équations qui permettent de déterminer et .

Question 2.8 - Déterminer les paramètres et .

TD2 - Partie 1 Asservissement PI de vitesse sur feedback

1. - Objectifs L'objectif est d'étudier le principe d’asservissement de vitesse d’un moteur à courant

continu, ainsi que l’intérêt de l’utilisation du régulateur proportionnel et intégral dans une boucle d’asservissement de vitesse. Le système électromécanique qui sera utilisé pour cela est la platine « feedback » représenté par la figure 1.

Figure 1 - Unité mécanique de la platine d’essai

2. - Pré-requis

Avant de commencer la séance, il est indispensable d’avoir relu et travaillé le polycopié de cours (partie conception de régulateurs – Régulateurs P et PI) et les notes prises en cours.

3. - Partie théorique Les parties 3.1, 3.2, 3.3, et 3.4 peuvent être traitées indépendamment. La partie 3.1 est à

traiter par les étudiants, en guise de préparation. La partie 3.3, la plus importante, doit impérativement être traitée en TD. Les parties 3.4 et 3.2, également très importantes, seront traitées si le temps le permet. Tous les étudiants doivent être en mesure de faire entièrement ce TD.

Frein magnétique

Génératrice tachymétrique

Potentiomètre rotatif

Arbre de sortie

Réducteur

La partie opérative de la maquette Feedback, constituée de l’amplificateur de puissance et du moteur, a été décrite dans le polycopié de TP d’automatique de la 1ère série. Le schéma bloc détaillé de la maquette est repris sur la figure 2.

Figure 2 – Description du procédé

Un couple de freinage d(t), peut être introduit sur la maquette en abaissant le frein

électromagnétique. De même une tension d’offset p(t) peut être présente à l’entrée de l’amplificateur de puissance. Puisque les deux grandeurs sont méconnues, elles sont considérées ici comme entrées perturbatrices.

L’identification de cette maquette entre la tension d’entrée de l’amplificateur de puissance u(t) et la vitesse de sortie du moteur mesurée par la génératrice tachymétrique v2(t) (en considérant nulles les deux entrées perturbatrices), réalisée lors de la 1ère série de TP par une méthode temporelle et une méthode fréquentielle, a conduit à la fonction de transfert d’ordre 1 :

p

K

pU

pVpF

12 , (1)

avec K = 0.8, et s4.0 . Le gain de la génératrice tachymétrique ainsi que la résistance de l’induit sont relevés sur la documentation de la maquette : KG = 2,75 mV. tr-1.mn et r = 0,8 Ω. 3.1 - Questions préliminaires -- A faire chez soi (ne pas traiter en TD)

Question 3.1 - A partir de ces valeurs, vérifier que

Kc 32,82.103 N.m.A-1 ou V . rad-1.s, (2)

J 0,54.103 Kg.m2 . (3)

On peut donc établir le schéma-bloc compact du procédé de la figure 3.

u(t) (t) 2(t)

p(t)

Réducteur 1/32

Kc/r

Génératrice Tachymétrique

KG

++

c

- +

v2(t)

d(t)

Ampli et MCC

1/Jp+

Figure 3 – Schéma-bloc compact du procédé

Question 3.2 - Vérifier que la fonction de transfert du moteur s’écrit (unité SI : rad.sec-1.V-1) :

G p 2 p U p

K /KG

1 p

30.46

1 0.4 p (4)

et que la fonction de transfert entre le couple de perturbation et la vitesse de rotation du moteur s’écrit (unité SI : rad.sec-1.N-1.m-1):

Fc p 2 p D p

1Kc

2

r Jp

r

Kc2

1JrKc

2 p

742

1 0.4 p (5)

3.2. - Commande en boucle ouverte Question 3.3 - En supposant que les deux perturbations soient nulles, quelle doit être l’amplitude u0, de l’échelon de tension u(t) = u0 (t) ((t) représente l’échelon de Heaviside) permettant d’atteindre en régime permanent la vitesse (t) = 30 tr/mn. A ne pas confondre avec 2(t) ! On pourra vérifier le résultat obtenu en utilisant Matlab/Simulink.

Question 3.4 - En supposant qu’une perturbation en entrée p(t) = p0 (t) où p0 = 1V, due à l’offset de l’amplificateur de puissance, vient se superposer à la commande calculée précédemment,

a. Quelle est la nouvelle vitesse du moteur en régime permanent ? b. Quelle doit être la nouvelle tension de commande u(t) permettant de contrer

l’effet de cette perturbation ? c. On pourra vérifier le résultat obtenu en utilisant Matlab/Simulink.

Question 3.5 – Toujours en présence de la perturbation en entrée p(t) et en supposant qu’un couple de perturbation résistif d(t) = d0 (t), où d0 est de l’ordre de -2 .10-3 N.m, soit introduit,

d. Quelle est la nouvelle vitesse du moteur ? e. Quelle doit être la nouvelle tension de commande u(t) permettant de contrer

l’effet de cette perturbation ? f. On pourra vérifier le résultat obtenu en utilisant Matlab/Simulink.

Question 3.6 - Pourquoi ne fait-on jamais une commande en boucle ouverte ?

u(t) (t) 2(t)

p(t)

Réducteur 1/32

++

-+

d(t)

+

Fc (p)

G(p)

Génératrice Tachymétrique

KG

v2(t)

TD3 - Partie 1 Régulation PI d’un processus hydraulique

1 - Description du processus à commander Comme l’illustre le schéma de la figure 1, le processus étudié dans le cadre de ce TD est constitué d’une partie opérative et d’une partie commande / supervision.

Figure 1 – Schéma du processus

Seule la partie commande sera étudiée dans le cadre du TD. Sa fonction est de réguler la

hauteur d’eau de la cuve en agissant sur le niveau de commande de la pompe, et ce malgré la présence de perturbations et notamment une fuite au niveau de la cuve. Cette fuite résulte de l’ouverture de la vanne qui met en liaison la cuve et le réservoir.

La partie opérative est pilotée par un régulateur industriel de marque Eurotherm et de type 2408f.

Pompe P101

Interfaces de mesure

Interfaces de puissance

PC et logiciel Intouch

Régulateur Eurotherm 2408f Liaison

Profibus DP

Réservoir

Cuve

Vanne

Capteur de niveau

Partie opérative

Partie commande / supervision

Capteur de débit

2 – Correction proportionnelle Question 4.1 - Dans le cadre d’une régulation de niveau avec un correcteur de type proportionnel, représenter le schéma bloc de l’asservissement en indiquant la variable de sortie de chaque bloc et les unités correspondantes.

Soit G(p) la fonction de transfert liant la hauteur d’eau H(t) à la commande moteur U(t). On notera

12001

8.19

21

0

1200

pp

haSpp

K

pU

pHpG

pour une hauteur

d’eau voisine de 200 mm ;

11501

9.9

21

0

150

pp

haSpp

K

pU

pHpG

pour une hauteur

d’eau voisine de 50 mm. Question 4.2 - Donner l’expression littérale du gain (en dB) et de la phase (en degrés) des fonctions de transfert G200(p) et G50(p). Question 4.3 - Tracer les diagrammes asymptotiques de Bode des fonctions de transfert G200(p) et G50(p), puis les diagrammes de gain et de phase en utilisant Matlab. Question 4.4 - Calculer le gain C0 d’un correcteur proportionnel qui assure au système asservi et dans le cas où le processus commandé est représenté par la fonction de transfert G200(p), une marge de phase de 60°. On pourra utiliser pour cela les diagrammes de Bode donnés en annexe si l’accès au logiciel MATLAB n’est pas possible. Déterminer quelle sera alors la pulsation au gain unité en boucle ouverte u. Question 4.5 - Calculer la fonction de transfert en boucle fermée notée T(p) de façon littérale et avec Malab. Question 4.6 - Sur le diagramme de gain de T(p) donné en annexe (ou après tracé de ce diagramme si l’accès au logiciel MATLAB est possible), déterminer la bande passante à -3dB du système asservi et comparez cette valeur à u. Conclure. Question 4.7 - Evaluer littéralement l’erreur statique qui résulte de ce type de correction, et vérifier avec Matlab.

Modélisation et identification fréquentielle d’un moteur à courant continu A7

Annexe

Figure A.1 – Diagramme de Bode du procédé G50(p).

10-1

100

101

-80

-60

-40

-20

0

Fréquence (rad/s)

Gai

n (d

B)

10-1

100

101

-180

-160

-140

-120

-100

-80

Fréquence (rad/s)

Pha

se (

deg)

Figure A.2 – Diagramme de Bode du procédé G200(p).

10-1

100

101

-80

-60

-40

-20

0

Fréquence (rad/s)

Gai

n (d

B)

10-1

100

101

-180

-160

-140

-120

-100

-80

Fréquence (rad/s)

Pha

se (

deg)

Figure A.3 – Diagramme de Bode du système en boucle fermée de fonction de transfert T(p).

10-2

10-1

100

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

Fréquence (rad/s)

Gai

n (d

B)

-1 10

TD1 - Partie 2

Régulation par PI d'une enceinte climatique industrielle

Rappel :

pFGpG sys.)( avec p

epF

pT

.1)(

.

Gsys = 2, T=50s, = 2000s.

5. - Etude de la boucle ouverte Question 2.9 - On souhaite calculer, pour quelques valeurs de pulsation, le module et l'argument de K.G(j.) pour K = 1. Vous complèterez le tableau ci-dessous.

rad/s 10-4 10-3 6,5. 10-3 1,4.10-2 7.10-2

| K.G(j.) |dB 5,85 -16.28 -37 Arg de K.G(j.) -11,5 - 100 -250

Question 2.10 - Pour quelle valeur de K obtient-on une marge de phase de 60°? 6. - Synthèse d'un correcteur Proportionnel Intégral (PI)

On souhaite maintenant commander l'enceinte climatique au moyen d'un correcteur PI comme illustré figure 3.

Figure 3 – Régulation PI de l’enceinte climatique Question 2.11 - Rappeler l'expression de la fonction de transfert en p puis en j d'un correcteur PI. On souhaite que la boucle ouverte corrigée présente une marge de phase de 60°. On souhaite aussi que le module de la boucle ouverte corrigée présente une valeur de 0 dB pour une pulsation u. Pour cette même pulsation u, on a mesuré un argument de -100° pour G(j). Question 2.12 - Donner les valeurs de la pulsation u et du module de la fonction de transfert G(ju). En déduire les valeurs du module et de l'argument du correcteur pour cette pulsation u. Donner

-

c(t)

+ C(p) Gsys F(p) m(t)

++a(t)

u(t)

l'expression du module et de l'argument du correcteur en fonction de ses paramètres et de la pulsation u.

Question 2.13 - Déterminer alors les paramètres du correcteur. Question 2.14 - On souhaite calculer, pour quelques valeurs de pulsation, le module et l'argument de la boucle ouverte corrigée. Vous complèterez le tableau ci-après en vous aidant de Matlab.

rad/s 10-4 10-3 6,5. 10-3 1,4.10-2 7.10-2

| C(j.) |dB 43,23 16,28 15,86 15.74 Arg de C(j.) -87,57 -20 -9,6 -2 | C(j.)G(j.) |dB Arg de C(j.)G(j.)

Question 2.15 - Tracer alors le module et la phase de la boucle ouverte corrigée sur un abaque de Black de la page suivante ou en utilisant Matlab. En déduire le gain statique de la boucle fermée et vérifier l'existence d'une surtension (résonnance). En déduire le diagramme de gain du système en boucle fermée.

Modélisation et identification fréquentielle d’un moteur à courant continu A7

TD2 - Partie 2 Asservissement PI de vitesse sur feedback

3.3 - Calcul des paramètres du régulateur PI

Si l’on doit mettre un opérateur devant chaque moteur à courant continu pour contrer toutes les perturbations, on n’est pas sorti de l’auberge !

On préfère réaliser un schéma d’asservissement comme le montre la figure 4. L’objectif ici est d’avoir une vitesse 2(t) et donc 32.(t) à l’image de la consigne r(t). Lorsque l’objectif est atteint, l’erreur, (t) entre la sortie et la consigne, s’annule. Le correcteur choisi est un correcteur à actions Proportionnelle et Intégrale de gain K et de constante d’intégration Ti. Pour mémoire

Kc 32,82.103 N.m.A-1 ou V . rad-1.s,

KG = 2,75 mV. tr-1.mn, r = 0,8 Ω

J 0,54.103 Kg.m2 .

Figure 4 - Schéma fonctionnel de l’asservissement de vitesse On souhaite que la bande passante en boucle fermée soit de 6 rad/s et que le retard de

phase apporté par le correcteur PI soit de 20°. La bande passante de 6 rad/s est obtenue en choisissant une pulsation au gain unité de la boucle ouverte de 6 rad/s. Question 3.7 - Calculer le temps d’intégration et le gain du régulateur PI.

Question 3.8 - Calculer la marge de phase de la fonction de transfert en BO en utilisant notamment Matlab et en se référant à la relation (1) de la première partie du TD. Question 3.9 - Calculer la fonction de transfert du circuit de la figure 5 et vérifier qu’il s’agit bien d’un régulateur PI.

Génératrice Tachymétrique

KG

v2(t)

r(t)

+-

(t) Correcteur

(t)2(t)Réducteur

1/32

u(t)Kc /r +

+

c

-+

d(t)

Ampli et MCC

1/Jp

p(t)

+

KG

vr(t)

Figure 5 - Schéma fonctionnel de l’asservissement de vitesse

Question 3.10 - Quelles sont les valeurs admissibles de la constante d’intégration, sachant que le potentiomètre P5 fournit un gain inférieur à 1 ? Question 3.11 - Déterminer la valeur de P5 permettant d’obtenir la constante d’intégration calculée ci-dessus. Question 3.12 - Déterminer la valeur du potentiomètre P1 permettant d’obtenir le gain souhaité. 3.4. - Analyse du correcteur PI

L’objectif de cette partie est de vérifier que le correcteur PI permet d’obtenir une erreur statique nulle y compris en présence de perturbations. Question 3.13 - Calculer la fonction de transfert entre la consigne r(t) et l’erreur (t) en absence de toute perturbation. Donner l’expression de l’erreur statique lorsque l’entrée est un échelon d’amplitude r0. Est-ce qu’elle s’annule ? Si le temps le permet, le résultat pourra être vérifié avec Matlab. Question 3.14 - Recalculer la fonction de transfert entre la perturbation de commande p(t) et l’erreur (t). Donner l’expression de l’erreur statique lorsque la perturbation de commande est un échelon d’amplitude p0. Est-ce qu’elle s’annule ? Si le temps le permet, le résultat pourra être vérifié avec Matlab.

Question 3.15 - Calculer la fonction de transfert entre la perturbation de couple d(t) et l’erreur (t). Donner l’expression de l’erreur statique lorsque la perturbation de couple est un échelon d’amplitude d0. Est-ce qu’elle s’annule ? Si le temps le permet, le résultat pourra être vérifié avec Matlab. Question 3.16 - Par analogie à la question 3.2.4, pourquoi fait-on toujours une commande en boucle fermée ?

P1

TD3 - Partie 2 Régulation PI d’un processus hydraulique

3 – Calcul d’un correcteur PI Afin d’annuler l’erreur statique mesurée dans la partie 1, on substitue au régulateur proportionnel, un régulateur Proportionnel et Intégral (PI). Question 4.8 - En considérant que le procédé est représenté par la fonction de transfert G50(p) puis G200(p), calculer pour chaque cas un correcteur PI qui satisfait aux spécifications suivantes :

- marge de phase du système en boucle ouverte : 50° - pulsation au gain unité en boucle ouverte : 0.7 rd/s

On pourra préparer un Script Matlab en s’inspirant des codes donnés en cours. Question 4.9 - Si l’accès à MATLAB est possible et pour les 2 cas de niveaux considérés, réaliser la simulation de réponse indicielle du système bouclé sous SIMULINK.

Question 4.10 - Sur les courbes obtenues mesurer : - le temps d’établissement à ± 5%, - la valeur (en %) du premier dépassement.

Si l’accès à Matlab n’est pas possible, représenter ces réponses indicielles de façon à ce qu’elles soient en accord avec les spécifications qui ont été imposées pour le calcul des correcteurs. Question 4.11 - Evaluer l’erreur statique qui résulte de ce type de correction.

Modélisation et identification fréquentielle d’un moteur à courant continu A7

Figure A.1 – Diagramme de Bode du procédé G50(p).

10-1

100

101

-80

-60

-40

-20

0

Fréquence (rad/s)

Gai

n (d

B)

10-1

100

101

-180

-160

-140

-120

-100

-80

Fréquence (rad/s)

Pha

se (

deg)

Figure A.2 – Diagramme de Bode du procédé G200(p).

10-1

100

101

-80

-60

-40

-20

0

Fréquence (rad/s)

Gai

n (d

B)

10-1

100

101

-180

-160

-140

-120

-100

-80

Fréquence (rad/s)

Pha

se (

deg)

Annexe

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