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  Tabla de Integrales Directas

Estas Integrales son las que se pueden aplicar directamentetomándolos como el primer método de integración:

1.∫kdx=kx + c 2.∫1/xdx=ln(x)+ c 3.∫xndx= xn+1/n+1+c4.∫exdx=ex + c 5.∫axdx=ax/(ln (a))+c para a>0 6.∫senx dx=-cos (x) +c7.∫cosx dx= sen (x)+c 8.∫sec2x dx=tan(x)+c 

9.∫csc2xdx=-cot(x)+c10.∫tanx secx dx=sec(x) +c 11.∫cotx cscx dx=-csc(x)+c12.∫1/√1-x2 dx=arcsen(x) +c13.∫1/1+x2dx=arctan(x+)c 14.∫1/IxI√x2-1dx=arcsec(x) +c

Hay que recalcar que el saberse esta tabla es necesario porque deestas integrales directas es que van a salir los demás métodos, ya que lossiguientes métodos consisten en hallar alguna forma para que cualquierintegral se la pueda llevar a una forma directa para poder aplicar las

integrales anteriores.

Integrales Directas

a) Hallar la primitiva de las siguientes funciones derivadas:

1) f´(x)= 1 para f (0) = 52) f´(x)= 2. X para f (-1)= 33) f´(x)= 2. X + 1 para f (1)= 34) f´(x)= 3. X 2 + 2. X − 1 para f (-2) = 5

Respuesta:

1) f (x)=x+ 52) f (x)=x2+ 23) f (x)=x2+ x + 14) f (x)=x3+ x 2 + x+ 7

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INTEGRALES POR PARTES

Ejercicios de integración por partes

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El método de integración por partes es el que resulta de aplicar el siguienteteorema:

Regla mnemotécnica: "Un Día Vi Una Vaca sin rabo (menos integral) Vestida De Uniforme ".

Eligiendo adecuadamente los valores de y , puede simplificarse mucho laresolución de la integral. 

.

Existen diversos dichos mnemotécnicos para recordar la integración por

partes, la cual dice así:

"Sentado ( ) un día vi, un valiente soldado ( ) vestido de uniforme" .

"Un día vi un viejo sin bastón vestido de uniforme".

"un viejo soldado(-integral) vestido de uniforme" .

"Unamuno dice verdades: una verdad menos integra verdaderasdudas universales" .

Eligiendo adecuadamente los valores de y , puede simplificarse mucho laresolución de la integral. 

  Para elegir la función se puede usar una de las siguiente reglasmnemotécnicas:

1. Arcoseno, arcocoseno..., Logarítmicas, Polinómicas, Exponenciales,Seno, coseno, tangente... ⇒ A L P E S.

Nota: Elegimos siempre "u" como la función situada más a la izquierda

de la palabra ALPES.

2. Inversas trigonométricas, Logarítmicas, Algebráicas, Trigonométricas,Exponenciales. ⇒ I L A T E.

Nota: Elegimos siempre "u" como la función situada más a la izquierdade la palabra ILATE.

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3. Inversas trigonométricas, Logarítmicas, Potenciales, Exponenciales,Trigonométricas ⇒ I L P E T 

Nota: Elegimos siempre "u" como la función situada más a la izquierdade la palabra ILPET.

Método de integración por cambio de variables

El cambio de variables es uno de los métodos más usados en la integración.Permite expresar la integral inicial mediante un nuevo integrando y un nuevodominio siendo la integral equivalente a la primera. Para integrales simples

de una sola variable si es la variable original y es una función invertible, setiene:

Integrales de funciones trigonométricas

Artículo principal: Anexo:Integrales de funciones trigonométricas.Con carácter general un cambio que resulta muchas veces útil expresar laspotencias funciones trigonométricas mediante funciones de ángulos

múltiples, eso pude lograrse gracias a las siguientes identidades:

Por ejemplo las dos fórmulas anteriores permiten substituir potenciascomplejas de la función coseno por el coseno de ángulos múltiplo:

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Integral que contiene potencias de senos y cosenos

  En general, se intenta escribir un integrando en el que intervienenpotencias de seno y coseno en una forma donde se tiene sólo unfactor seno (y el resto de la expresión en términos de coseno) o sóloun factor coseno (y el resto de la expresión en términos de seno).

  La identidad permite convertir de una parte aotra entre potencias pares de seno y coseno.

Existen 3 casos:[editar]Cuando n es impar

Cuando , podemos apartar un factor del seno y sustituirlo por la

identidad para poder expresar los factores restantesen términos del coseno:

Al tener el integral de esta forma se puede resolver por medio de sustitución

haciendo , . Como en la expresión no

tenemos un multiplicamos ambos lados por y nos queda

la expresión que ya podemos sustituir:

[editar]Cuando m es imparCuando , podemos de la misma manera apartar un factor de

coseno y emplear para poder expresar los factores

restantes en términos del :

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al hacer y tendríamos

[editar]Cuando m y n son pares

Cuando dichas potencias son pares a la vez y , podemosaplicar las identidades de la mitad de ángulo:

algunas veces es útil usar la identidad:

sería igual a:

[editar]Ejemplo #1

 Solución Lo primero que tenemos que ver es que la potencia impar la tienela función seno, esto nos hace notar que estamos en el primer caso quedescribimos arriba, entonces aplicamos el algoritmo,

Sustituyendo , tenemos luego:

[editar]Integrales que contiene potencias de tangentes y

secantes  Se puede usar una estrategia similar a la anterior.

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Puesto que:

, se puede separar un factor y convertir lapotencia restante (par) de la secante en una expresión relacionada con la

tangente por medio de la identidad .O bien, puesto que:

, se puede separar un factor y convertirla potencia restante (par) de tangente a secante.Existen 3 casos:[editar]Cuando n es par

separar un factor de y utilice paralograr expresar los factores restantes en términos de :

de esta manera podemos hacer y y el integral

quedaría así:

[editar]Cuando m es imparapartar un factor de y

emplear para poder expresar los factores que restanen términos de :

de esta manera se puede hacer y , con loque queda

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[editar]La tangente tiene potencia par

[editar]La Secante tiene potencia imparEn este caso se procede a integrar por partes.[editar]Ninguno de los anterioresAl no encontrar la forma de ninguno de los pasos anteriores, se trasladaa y , recordando que:

Para otros casos, las directrices no son tan claras. Podría ser necesario usaridentidades, integración por partes y, ocacionalmente, un poco de inventiva.

  A veces será necesario poder integrar por medio de la fórmulaestablecida:

  Se necesitará también la integral indefinida de la secante:

Esta última se podría comprobar mediante la derivación de lado derecho, ocomo sigue:

Primero se mutiplican numerador y denominador por :

Si se sustituye ,

después , también, la integral se convierteen:

Así, se tiene:

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NOTA: Para integrales que contienen cosecantes y cotangentes, laestrategia es análoga a la del par secantes-tangentes. Recordar la identidad:

[editar]Reducción a funciones racionalesSi el integrando puede expresar como una función racional de funcionestrigonométicas:

(*)  Entonces el cambio:

permite reescribir la integral (*) como:

Que resulta ser una función racional, y por tanto, de integración mecánica.[editar]Integrales de funciones racionalesArtículo principal:  Anexo:Integrales de funciones racionales. Dada una función racional expresable como el cociente de dos polinomios:

Si el denominador es un polinómico mónico con k  raíces diferentes,entonces admitirá la siguiente factorización en términos depolinomioirreducibles: 

Si entonces la función racional puede escribirse comocombinación lineal de fracciones racionales de las formas:

Por lo que la integral de la función es una combinación lineal defunciones de la forma:

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Obsérvese que lo anterior implica que las funciones racionales constituyenun cuerpo algebraico que es cerrado bajo la derivación, pero no bajo laintegración.[editar]Integración numéricaArtículo principal:  Integración numérica. 

La integración numérica comprende una amplia gama de algoritmos paracalcular el valor numérico de una integral definida. A efectos prácticos se usacuando no se conoce un método analítico de integración o la funciónprimitiva resulta tan complicada que para una aplicación práctica resulta másútil buscar directamente su valor numérico. El término cuadraturanumérica (a menudo abreviado acuadratura ) es más o menos sinónimode integración numérica , especialmente si se aplica a integrales de unadimensión a pesar de que para el caso de dos o más dimensiones (integralmúltiple) también se utiliza.[editar]Referencias[editar]Notas

1. ↑ Para cada función f (x ) existe una infinidad de funciones quetienen a f (x ) por derivada, y por tanto hay una infinidad desoluciones a la integral ∫f (x ) dx . Todas estas soluciones difierenpor una constante. Por ejemplo: x ²+5, x ²-20, x ²+ 13.41 son tressoluciones para ∫ 2x dx-.

De este modo, si F (x ) es una antiderivada de f (x ), cualquier función de laforma F (x )+C  también lo es. Esto se representa como ∫  f (x )dx =F (x )+C peropor simplicidad de la presentación se omite la constante arbitraria C en cadauno de los ejemplos.