Syllabus ECUACIONES DIFERENCIALES

RED NACIONAL UNIVERSITARIA

FACULTAD DE INGENIERIA

RED NACIONAL UNIVERSITARIAUNIDAD ACADMICA DE SANTA CRUZ

FACULTAD DE INGENIERA

Ingeniera de Sistemas

TERCER SEMESTRE

SYLLABUS DE LA ASIGNATURA

ECUACIONES DIFERENCIALESGestin Acadmica I/2013

UDABOL

UNIVERSIDAD DE AQUINO BOLIVIAAcreditada como PLENA mediante R. M. 288/01

VISION DE LA UNIVERSIDAD

Ser la Universidad lder en calidad educativa.

MISION DE LA UNIVERSIDAD

Desarrollar la Educacin Superior Universitaria con calidad y competitividad al servicio de la sociedad.

Estimado (a) alumno (a);

La Universidad de Aquino Bolivia te brinda a travs del Syllabus, la oportunidad de contar con una compilacin de materiales que te sern de mucha utilidad en el desarrollo de la asignatura. Consrvalo y aplcalo segn las instrucciones del docente.

SYLLABUS

Asignatura:Ecuaciones Diferenciales

Cdigo:MAT 207

Requisito:MAT 102

Carga Horaria:100 horas Terico Prcticas

Crditos:5

I. OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA.

Analizar Ecuaciones Diferenciales, partiendo de las diferentes caractersticas matemticas que presentan, a un nivel creativo. Determinar soluciones de Ecuaciones Diferenciales, partiendo de los respectivos mtodos, a un nivel aplicativo. Plantear ecuaciones diferenciales a diversos problemas fsicos y matemticos relacionados con el campo de la ingeniera, partiendo de los conceptos fundamentales de ecuaciones diferenciales, a un nivel creativoII. PROGRAMA ANALITICO DE LA ASIGNATURA.

UNIDAD I: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO.

TEMA I. Introduccin a Ecuaciones Diferenciales.

1.1. Reglas de Integracin.

1.2. Introduccin a las Ecuaciones Diferenciales.

1.3. Clasificacin de las Ecuaciones Diferenciales.

1.4. Orden y Grado de una Ecuacin Diferencial.

1.5. Solucin y Origen de una Ecuacin Diferencial.

TEMA 2. Ecuaciones de Primer Orden y Primer Grado.

2.1. Ecuaciones de Primer Orden.

2.2. Ecuaciones de Variables Separables y Reducibles.

2.3. Ecuaciones Homogneas y Reducibles a Homogneas.2.4. Ecuaciones Diferenciales Lineales.

2.5. Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli.

2.6. Ecuaciones Exactas y Factor de Integracin.TEMA 3. Aplicaciones de Ecuaciones de Primer Orden y Primer Grado.

3.1. Aplicaciones de Ecuaciones a problemas de temperatura.3.2. Aplicaciones de Ecuaciones a problemas de crecimiento y disminucin.3.3. Aplicaciones de Ecuaciones a problemas de cada de cuerpos3.4. Aplicaciones de Ecuaciones a problemas de Circuito Elctrico.3.5. Aplicaciones de Ecuaciones a problemas de Trayectoria Ortogonal.UNIDAD II: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR.TEMA 4. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden y Grado Superior.

4.1. Ecuaciones de Orden 1 y Grado Superior.

4.2. Resolucin Respecto de P.

4.3. Resolucin Respecto de Y.

4.4. Resolucin Respecto de X.

UNIDAD III: ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGENEAS Y NO HOMOGENEAS DE ORDEN N.

TEMA 5. Ecuaciones Lineales de Orden Superior.

5.1. Forma General.

5.2. Soluciones de Ecuaciones.

5.3. Independencia Lineal de Soluciones.

5.4. Wronskiano.

TEMA 6. Ecuaciones de Orden N con Coeficientes Constantes.

6.1. Ecuaciones Lineales de Orden N.

6.2. Ecuaciones Homogneas.

6.3. Ecuaciones No Homogneas.6.4. Mtodo Continuo

6.5. Mtodo de Variacin de Parmetros.

6.6. Mtodo de Coeficientes Indeterminados.

6.7. Mtodos Abreviados.TEMA 7. Ecuaciones de Orden N de Coeficientes Variables.

7.1. Ecuaciones Lineales de Orden N.

7.2. La Ecuacin Lineal de Euler - Cauchy.

7.3. La Ecuacin Lineal de Legendre.UNIDAD IV: SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES YMETODOS NUMERICOSTEMA 8. Sistema de Ecuaciones Diferenciales.

8.1. Definicin Sistema de Ecuaciones Diferenciales Lineales.

8.2. Teoremas Fundamentales.

8.3. Resolucin de Sistema de Ecuaciones Homogneas y No Homogneas.

TEMA 9. Mtodos Numricos para la resolucin de Ecuaciones Diferenciales.9.1. Los Mtodos Numricos.9.2. Mtodo de Runge Kutta.Optimizacin del Mtodo de Runge Kutta.III. ACTIVIDADES PROPUESTAS PARA LAS BRIGADAS UDABOL.

Las Brigadas UDABOL constituyen un pilar bsico de la formacin profesional integral de nuestros estudiantes. Inmersos en el trabajo de las brigadas, los estudiantes conocen a fondo la realidad del pas, y completan su preparacin acadmica en contacto con los problemas de la vida real y la bsqueda de soluciones desde el campo profesional en el que cada uno se desempear en el futuro prximo.

La actividad de las brigadas permite a nuestros estudiantes llegar a ser verdaderos investigadores, capaces de elaborar y acometer proyectos de desarrollo comunitario y, a la vez, adquirir hbitos de trabajo en equipos multidisciplinarios, como corresponde al desarrollo alcanzado por la ciencia y la tcnica en los tiempos actuales.

La ejecucin de diferentes programas de interaccin social y la elaboracin e implementacin de proyectos de investigacin y desarrollo comunitario derivados de dichos programas confiere a los estudiantes, quienes son, sin dudas, los ms beneficiados con esta iniciativa, la posibilidad de:

Desarrollar sus prcticas pre-profesionales en condiciones reales y tutoradas por sus docentes, con procesos acadmicos de enseanza y aprendizaje en verdadera aula abierta. Trabajar en equipos, habitundose a ser parte integral de un todo que funciona como un sistema, desarrollando un lenguaje comn, criterios y opiniones comunes, y plantendose metas y objetivos comunes para dar soluciones en comn a los problemas.

Realizar investigaciones multidisciplinarias en un momento histrico en que la ciencia traviesa una etapa de diferenciacin, y en que los avances tecnolgicos conducen a la aparicin de nuevas y ms delimitadas especialidades.

IV. EVALUACION DE LA ASIGNATURA.

PROCESUAL O FORMATIVA.

En todo el semestre se realizarn preguntas escritas, exposiciones de temas, work papers, difs, adems de las actividades planificadas para las Brigadas UDABOL.

Cada una de estas evaluaciones tiene una calificacin entre 0 y 50 puntosLa etapa final tendr los mismos tipos de evaluaciones con una puntuacin entre 0 y 40 puntos. PROCESO DE APRENDIZAJE O SUMATIVA.

Se realizarn dos evaluaciones parciales con contenidos tericos y prcticos. Cada uno de estos exmenes tendr una calificacin entre 0 y 50 puntos.

El examen final ser integrador de todos los contenidos de la materia con una calificacin entre 0 y 60 puntos.

V. BIBLIOGRAFIA.

BASICA

ZILL G. DENNIS, CULLEN. MICHAEL. Ecuaciones Diferenciales con problemas de valores en la frontera. Editorial Thomson Learning. 2002 CHUNGARA, VCTOR. Ecuaciones Diferenciales. S/E. La Paz. 2001.

Sig. Top. 515.35 CH47 C2 AYRES, FRANK. Ecuaciones Diferenciales. Ed. McGraw-Hill. Coleccin Schaum, Mxico, 2001. Sig. Top. 515.35 AY74 CARMONA JOVER, ISABEL. Ecuaciones Diferenciales. Editorial Alambra Mexicana. Mxico. 1988. Sig. Top. 515.35 C21 KISELIOV, M. KRASNOV, G. MAKARENKO. Problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Editorial: MIR Mosc. 1990.COMPLEMENTARIA ESPINOZA RAMOS EDUARDO. Ecuaciones diferenciales - Aplicaciones, Lima, Per. Sig. Top. 515.35 ES65 EFIMOV A, DEMINOVICH B., Problemas de las matemticas superiores. Captulos especiales del anlisis matemtico, Editorial MIR Mosc. RAINVILLE EARL D, BEDIENT PHILLIP E. Ecuaciones diferenciales, Quinta Edicin, Ed. Interamericana, Mxico. MURRAY R. SPIEGEL. Ecuaciones Diferenciales Aplicadas. Editorial Prentice Hall Hispanoamericana, S.A.VI. CONTROL DE EVALUACIONES.

1 evaluacin parcial

Fecha

Nota

2 evaluacin parcial

Fecha

NotaExamen final

Fecha

Nota

APUNTES

VII. PLAN CALENDARIOSEMANAACTIVIDADES ACADMICAS OBSERVACIONES

1ra.Tema 1 1.1 al1.3

2da.Tema 1 1.3 al 1.5

3ra.Tema 2 2.1 al 2.2

4ta.Tema 2 2.2 al 2.3

5ta.Tema 2 2.3 al 2.4

6ta.Tema 2 2.4 al 2.5Primera Evaluacin

7ma.Tema 2 2.5 al 2.6

8va.Tema 3 3.1 al 3.1

9na.Tema 3 3.1 al 3.3

10ma.Tema 3 3.3 al 3.5

11ra.Tema 4 4.1 al 4.3

12da.Tema 4 4.3 al 4.4

13ra.Tema 5 5.1 al 5.4

14ta.Tema 6 6.1 al 6.4

15ta.Tema 6 6.4 al 6.7Segunda Evaluacin

16ta.Tema 7 7.1 al7.3

17ma.Tema 8 8.1 al 8.3

18va.Tema 8 8.3 al Tema 9 9.1

19na.Tema 9 9.1 al 9.3

20va.Evaluacin finalEvaluacinFinal

21ra.Evaluacin del segundo turnoPresentacin de Notas

PROGRAMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES

WORK PAPER # 1

UNIDAD O TEMA: 1 - 2

TITULO: INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO

FECHA DE ENTREGA: SEMANA 3

PERIODO DE EVALUACIN: PRIMER PARCIAL

Ecuaciones de Primer Orden y Primer Grado.

Ecuacin diferencial: Se denomina ecuacin diferencial ordinaria, a una ecuacin del tipo; que liga la variable independiente x, a la funcin buscada Y y las derivadas de esta (es obligatorio que haya por los menos, una derivada). Ej:

Orden y grado:

Orden: El orden de una ecuacin diferencial es el orden de la derivada de mayor orden que interviene en ella.

Grado: El grado de una ecuacin diferencial que puede escribirse como un polinomio respecto a y, y sus derivadas. Es grado de la derivada de mayor orden que interviene en ella. Ej:

..Ecuacin de cuarto orden, grado 5Origen de las ecuaciones diferenciales ordinarias:

Las ecuaciones diferenciales aparecen no solo a partir de las familias de curvas geomtricas, sino tambin del intento de describir en trminos matemticos problemas fsicos en ciencias e ingeniera.

Veremos la obtencin de ecuaciones diferenciales que se origina de diversos problemas, los cuales pueden ser geomtricos, fsicos o por primitivas.

Ecuacin diferencial de una familia de curvas:

Si se tiene la ecuacin de una familia de curvas, se puede obtener una ecuacin diferencial mediante la eliminacin de las constantes(o parmetros) y esto se obtiene aislando la constante en un miembro de la ecuacin y derivando. Tambin se puede eliminar la constante derivando la ecuacin dada, tantas veces como constantes arbitrarias tenga, y se resuelve el sistema formado con la ecuacin original.

Solucin:

Se denomina solucin de una ecuacin diferencial de n-esimo orden en el intervalo (a,b) toda funcin , que tiene en el intervalo citado derivadas de hasta n-esimo orden inclusive, y es tal que la sustitucin de la funcin , y de sus derivadas en la ecuacin diferencial reduce la ltima en una identidad respecto a x.

Ej: Ecuac. Dif:

Solucin general de la ecuacin o primitiva:

Donde: C es una constante arbitraria.Solucin general:

A la primitiva de una ecuacin diferencial, se denomina normalmente la solucin general de la ecuacin, y es una funcin de la forma: . Donde:

EMBED Equation.3 , son constantes de integracin, cuyo nmero depende del orden de la ecuac. Dif.

Solucin particular:

De una ecuac. Dif. Se obtiene de la primitiva dando valores definidos a las constantes arbitrarias. Y es una funcin de la forma:

Geomtricamente, la primitiva es la ecuacin de una familia de curvas en el plano, y una solucin particular es la ecuacin de una de las curvas.

ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES

Separacin de variables:Las variables de la ecuacin diferencial , se pueden expresar si es posible a la forma:

La ecuacin se transforma a la forma:

Entonces la ecuacin se le denomina ecuacin diferencial ordinaria de variable separable, cuya solucin general se obtiene por integracin directa, es decir:

CUESTIONARIO WORK PAPER No 1.1.- Clasificar cada una de las siguientes ecuaciones segn el orden y el grado.1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

2.- Para las siguientes ecuaciones diferenciales y sus respectivas soluciones propuestas, verificar:

a) Si la solucin propuesta puede considerarse como verdadera solucin de la ecuacin.b) La grafica de la solucin particular cuando: ,

c) La grafica de la solucin general.

1) con la solucin propuesta:





3.- Demostrar que la funcin: , puede constituirse en una solucin particular de la ecuacin diferencial:

4.- Verificar que la funcin: satisface a la ecuacin diferencial

5.- Encontrar la ecuacin diferencial cuya solucin general es:




9.- Encontrar la ecuacin diferencial cuya solucin general es: ; w es una constante fija.10.- Dada la siguiente ecuacin diferencial , que tiene como solucin general:, encontrar una solucin particular que verifique las siguientes condiciones: , cuando t=0.11.- Para la ecuacin diferencial . Cul debera ser la funcin para que la funcin , sea solucin general de la ecuacin dada?12.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales a variables separables y reducibles a variables separables.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD

WORK PAPER # 2

UNIDAD O TEMA: 2

TITULO: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO

FECHA DE ENTREGA: SEMANA 5

PERIODO DE EVALUACIN: PRIMER PARCIAL

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS HOMOGNEAS.

Funcin homognea:

Diremos que la funcin es homognea de grado n, en las variables x e y, si y solo si se cumple la condicin siguiente:

Ecuacin diferencial homognea - definicin:

Diremos que una ecuacin de la forma ; es homognea de grado cero en sus argumentos x e y , si y solo si se verifica la siguiente condicin:

Si la ecuacin diferencial es de la forma: . Dicha ecuacin representara una diferencial homognea si: M y N , son funciones homogneas del mismo grado.

Para resolver una ecuacin diferencial homognea, es recomendable realizar una sustitucin, que permita transformarla en una ecuacin menos compleja.Por lo que, haciendo la sustitucin:

Puede llevarse la ecuacin a variable separable.

ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A HOMOGNEAS:1.-Ecuaciones de la forma:

La ecuacin no representa una diferencial homognea. Para reducirla a homognea hacemos la siguiente sustitucin:

.

Donde el Pto., es el punto de interseccin de las rectas:

Nota: Si las rectas no se interseccin, hay que buscar otro mtodo de solucin.

2.- Otra forma de transformar a una ecuacin diferencial homognea, es mediante la sustitucin de la variable: .

Atribuyendo el grado 1 a la variable x, el grado a la variable y, y el grado (-1) a la dy/dx.

3.- Una ecuacin diferencial, tambien puede transformarse a homognea haciendo una sustitucin cualquiera, de acuerdo al problema.

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN:

Es lineal si la ecuacin presenta la siguiente forma:

Siendo: , funciones de la variable independiente x.

a) Si Q(x) 0 , entonces la ecuacin es lineal no homognea; cuya solucin general es de la forma:

Entonces:

b) Si Q(x) = 0, entonces la ecuacin es lineal homognea, cuya solucin general es de la forma:

Nota: Una ecuacin que es lineal homognea, tambin es a variable separable.

Ecuacin de Bernoulli:

Si la ecuacin es de la forma:

La ecuacin no es una diferencial lineal.

Luego para resolver la ecuacin de Bernoulli, primero se transforma a una ecuacin lineal, mediante la siguiente sustitucin:

CUESTIONARIO WORK PAPER No 2.

1.- Verificar si las siguientes funciones son homogneas o no. En caso de encontrar funciones homogneas indicar su grado: 1)

2)

3)

4)

5)

2.- Encontrar la solucin de las siguientes ecuaciones diferenciales homogneas:1)

2)

3)

4)

5)

6)

7) sug:

8) sug:

9) sug:

10) sug:

11) sug:

12)

3.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales no homogneas con M(X,Y) y N(X,Y) lineales1)

2)

3)

4)

5)

4.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8) Encontrar la solucin de la ecuacin de variacin de temperatura que presenta un cuerpo determinado:

Donde:

: Temperatura del cuerpo

: Tiempo

5.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de Bernoulli.1)

2)

3)

4)

5)


WORK PAPER # 3

UNIDAD O TEMA: 2

TITULO: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN (Ecuaciones diferenciales exactas y factor de Integracin.)

FECHA DE ENTREGA: 5 SEMANA

PERIODO DE EVALUACIN: PRIMER Y SEGUNDO PARCIAL

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS Definicin:

Consideramos la ecuacin diferencial.

Si existe una funcin tal que:

EMBED Equation.3

Diremos que la ecuacin es una diferencial exacta.

Teorema:

La condicin necesaria y suficiente para que una ecuacin diferencial de la forma , sea exacta es que:

FACTORES INTEGRANTES:

Si la ecuacin no es exacta se puede transformar a exacta, eligiendo una funcin u(x,y), de tal forma que la ecuacin:

Sea exacta.

Entonces a la funcin u(x,y) se llama factor de integracin:

a.- Si el factor de integracin es una funcin de la variable y.

b.- Si el factor de integracin es una funcin de la variable x.

CUESTIONARIO WORK PAPER No. 31.- Encontrar la solucin de las siguientes ecuaciones diferenciales exactas.1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

2.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales empleando factores de integracin.1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDADWORK PAPER # 4

UNIDAD O TEMA: 3-4

TITULO: APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y

PRIMER GRADO - ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR.


PERIODO DE EVALUACIN: SEGUNDO PARCIAL

Aplicaciones de Ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado.

Las ecuaciones diferenciales tienen infinitas aplicaciones, pero solo por nombrar algunas de ellas podemos mencionar: aplicacin de ecuaciones diferenciales a problemas de variacin de temperatura de cuerpos, problemas de crecimiento y disminucin, problemas de cada libre de cuerpos y cada de cuerpos con fuerza de rozamiento, movimiento de cuerpos, drenado de tanques, circuitos en serie, etc.El presente work paper esta limitado a analizar determinados problemas donde podemos apreciar claramente las aplicaciones de ecuaciones diferenciales considerando asignaturas de semestres anteriores, por lo tanto, no vamos a entrar a otros campos de la ciencia que no hemos estudiado.Problemas de Variacin de temperatura de cuerpos:

Aplicando ecuaciones diferenciales a problemas de variacin de temperatura de cuerpos, se analiza la ecuacin de enfriamiento de cuerpos planteada por Newton:

Para el caso de aumento de temperatura:

Donde:

: Temperatura del cuerpo

: Temperatura del medio

: Constante de proporcionalidad

: Tiempo.Problemas de Crecimiento y disminucin.-Podemos aplicar ecuaciones diferenciales a problemas de crecimiento y disminucin, encontrando modelos matemticos mediante la aplicacin ecuaciones diferenciales. Las variaciones de poblacin respecto del tiempo, como tambin para las variaciones de masa que se presentan en materiales radiactivos.

Para analizar la variacin de poblacin respecto del tiempo, podemos emplear la siguiente ecuacin diferencial:

Donde:

: Poblacin


: Tiempo

De igual manera, para analizar la variacin de cantidad de materia que presenta un material radiactivo respecto del tiempo, podemos emplear la siguiente ecuacin diferencial:

Donde:

: Masa


: Tiempo.La soluciones de las anteriores ecuaciones diferenciales pueden ser determinadas mediante diferentes mtodos de resolucin de ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado.Ecuaciones diferenciales de primer orden y grado superior

En la presente work paper tambin estudiaremos ecuaciones diferenciales de primer orden y grado superior, donde para obtener la solucin de dichas ecuaciones, emplearemos tres mtodos:

1. Mtodo de resolucin respecto de P

Realizando un cambio de notacin, que permita resolver la ecuacin diferencial como una ecuacin algebraica para posteriormente encontrar factores que generan ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado que pueden ser resueltas por cualquiera de los mtodos estudiados en la unidad 1.

2. Mtodo de resolucin respecto de Y

El presente mtodo es aplicable siempre y cuando se puede despejar la variable Y, quedando expresada como una funcin de variables: (X,P), para luego aplicar la regla de la cadena derivando respecto de la variable X.3. Mtodo de resolucin respecto de X

El presente mtodo es aplicable siempre y cuando se puede despejar la variable X, quedando expresada como una funcin de variables: (Y,P), para luego aplicar la regla de la cadena derivando respecto de la variable Y.

CUESTIONARIO WORK PAPER No. 4

1.- Resolver los siguientes problemas mediante la aplicacin de ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado.1) Un cuerpo de masa m = 2 Kgr., cae desde una altura h = 1Km. partiendo del reposo debido a la influencia de la gravedad. Considerando que no existe fuerza de rozamiento debido a la resistencia del aire. Encontrar:a) Una expresin para la velocidad en un tiempo tb) Una expresin para la distancia recorrida por el cuerpo en un tiempo tc) La distancia recorrida por el cuerpo entre el 2do y 4to segundo.d) El tiempo que tarda el cuerpo para llegar a la superficie.

2) Un cuerpo de masa m = 10 gr. se suelta de una altura de 1000 mts. sin velocidad inicial. El cuerpo encuentra una resistencia del aire proporcional a su velocidad de cada. Si la velocidad lmite es de 320 mts. /seg. Determinar:a) Una expresin para la velocidad del cuerpo en un tiempo t.b) Una expresin para la posicin del cuerpo en un momento t.

c) El tiempo que ne4cesita el cuerpo para alcanzar la velocidad de 160 mts. /seg.

3) Se sabe que un material radiactivo se desintegra de manera proporcional a la cantidad presente. Si inicialmente hay 438 gr. de material presente, y si despus de tres aos se observa que el 13% de la masa original se desintegro. Hallar: a) Una expresin para la masa en un momento tb) La masa al cabo de 5 aos.

c) El tiempo necesario para que se haya desintegrado el 35% de la masa original.

4) Se sabe que en el ao 1950, la poblacin de un estado es de 3.000.000 de habitantes, si la poblacin aumenta de manera proporcional al numero de habitantes que exista en el ao 1950, y si para el ao 1978 el numero de habitantes es de 3.750.000, determinar: a) Una expresin para la variacin de poblacin en un tiempo t.

b) La poblacin para el ao 2000.c) El tiempo necesario para que la poblacin llegue a 20.000.000 de hab.5) La velocidad de enfriamiento de un cuerpo en el aire es proporcional a la diferencia de temperatura del cuerpo y la temperatura del aire. Si inicialmente el cuerpo tiene una temperatura de 150 C, y la temperatura del aire es de 5 C. Si al cabo de 30 minutos la temperatura del cuerpo desciende a 90 C, Determinar:a) Una expresin para la temperatura del cuerpo en un instante t

b) La temperatura del cuerpo al cabo de 45 minutos.

c) Tiempo transcurrido para que la temperatura del cuerpo descienda a 30 C.6) Un cuerpo con una temperatura de 17 C se introduce en un medio cuya temperatura es de 125 C, si al cabo de 33 minutos, la temperatura del cuerpo aumenta a 45 C. Determinar:a) Una expresin para la temperatura del cuerpo en un instante de tiempo t.b) La temperatura del cuerpo al cabo de 50 minutos.c) Tiempo transcurrido para que la temperatura del cuerpo llegue a 80 C

7) Se sabe que la poblacin de un estado, aumenta de manera proporcional a la cantidad de habitantes presentes de dicho estado. Si despus de 20 aos la poblacin se ha duplicado y despus de 30 aos la poblacin es de 8.000.000 de habitantes. Determinar: a) El numero de habitantes que haba inicialmente.b) El numero de habitantes que tendr ese estado despus de 50 aos

8) Un tanque tiene la forma de cilindro circular recto de 50 cm. de radio y 2 mts. de altura, parado sobre sus bases. Al principio el tanque esta lleno de agua y esta sale por un agujero circular de pulgada de radio en el fondo, formule una ecuacin diferencial que exprese la altura h del agua en cualquier tiempo t. No considere la friccin ni la contraccin del agua en el agujero. 9) La intensidad de la corriente i en un circuito con resistencia R, inductancia L y la tensin E, satisfaciendo a la ecuacin:

Encuentre la intensidad de la corriente i en el momento t, si:

Para , cuando: . Considerando que: L, R, w: son constantes.10) Se sabe que en el ao 1994 la poblacin de un estado que aprendi a programar en computadoras es de 2.500.000 habitantes, adems se sabe que la poblacin que aprende a programar en computadoras aumenta de manera proporcional al numero de habitantes que exista en el ao 1994, y si para el ao 2000 el numero de habitantes que sabe programar en computadora es de 5.750.000, determinar:

a) Una expresin para la poblacin que puede programar en computadoras en un tiempo t.

b) El numero de habitantes que podrn programar computadoras el ao 2010

c) El tiempo transcurrido para que el nmero de habitantes que programa en computadoras llegue a 7.600.000 Hab.

2.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden y grado superior, utilizando el mtodo de resolucin respecto de P

1)

2)

3)

4)

5) 3.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden y grado superior, utilizando el mtodo de resolucin respecto de Y1)

2)

4.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden y grado superior, utilizando el mtodo de resolucin respecto de X1)

2)

PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDADWORK PAPER # 5

UNIDAD O TEMA: 5

TITULO: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR.

(Dependencia e independencia lineal de funciones) (Ecuaciones lineales homogneas de coeficientes constantes)


PERIODO DE EVALUACIN: SEGUNDO PARCIAL

ECUACIONES LINEALES DE ORDEN nUna ecuacin lineal de orden n, tiene la forma:

Donde: ;Son funciones de la variable independiente x.

a. Si Q(x)=0, la ecuacin es lineal homognea de orden n

b. Si Q(x)0, la ecuacin es lineal no homognea de orden n

ECUACIONES LINEALES DE COEFICIENTES CONSTANTES DE ORDEN n

Una ecuacin lineal con coeficientes constantes de orden n, tiene la forma:

Donde: son constantesECUACIONES LINEALES DE COEFICIENTES VARIABLES DE ORDEN nUna ecuacin lineal con coeficientes constantes de orden n, tiene la forma:

Donde: son funciones de la variable indep.x

INDEPENDENCIA LINEAL DE LAS FUNCIONESDeterminante de Wronsky.

Se llama determinante de Wronsky del sistema de funciones , el determinante:

Si el sistema de funciones es linealmente dependiente en el intervalo (a,b), entonces su wronskiano es nulo en todos los puntos de este intervalo. Si por lo menos en un punto tenemos que W(x) 0, entonces el sistema de unciones es linealmente independiente en el intervalo.

Cualquier sistema de n soluciones linealmente independiente de la ecuacin lineal homognea (con coeficiente constante, o con coef. Variable), se llama sistema fundamental de soluciones de esta ecuacin. El wronskiano del sistema fundamental de soluciones es diferente de cero en todo el intervalo, donde estas soluciones estn determinadas. Si se conoce el sistema fundamental de soluciones de la ecuacin entonces la solucin general de esta ecuacin tiene la forma:

..Solucin general

Ecuacin diferencial de un sistema de funciones

Ecuaciones lineales homogneas de coeficientes constantes: Tiene la forma

Mediante un conveniente cambio de notacin, escribiendo:

Obtenemos la ecuacin caracterstica:

Expresado como un polinomio en la variable D.

Para obtener la primitiva es conveniente, hallar las races del polinomio.

Consideremos la ecuacin lineal homognea de segundo orden.

1.- Cuando las races de la ecuacin polinomica son reales y distintas. ,

Entonces tenemos soluciones linealmente independientes de la forma:

Por lo tanto la solucin general de la ecuacin diferencial es:

2.- Cuando las races de la ecuacin polinomica son reales e iguales. ,


Por lo tanto la solucin general de la ecuacin diferencial es:

3.- Cuando las races de la ecuacin polinomica son un nmero complejo con su conjugado.

,


Por lo tanto la solucin general de la ecuacin dif. Es:

CUESTIONARIO WORK PAPER No. 51.- Demostrar que el sistema de funciones es linealmente independiente.1)

2)

3)

4)

2.- Demostrar que para las siguientes ecuaciones diferenciales lineales de orden n la solucin propuesta es correcta: 1) sol:

2) sol:

3) sol:

4) sol:

3.- Demostrar que la siguiente ecuacin diferencial: tiene dos soluciones linealmente independientes de la forma:

4.- Demostrar que la siguiente ecuacin diferencial: tiene tres soluciones linealmente independientes de la forma:

5.- Hallar la solucin de las siguientes ecuaciones lineales homogneas de coeficientes constantes.1)

2)

3)

4)

5)


WORK PAPER #6

UNIDAD O TEMA: 6 7 8 - 9

TITULO: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES METODOS NUMERICOS


PERIODO DE EVALUACIN: FINAL

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGENEAS DE ORDEN n.

Las ecuaciones lineales no homogneas de orden n, con coeficientes constantes son de la forma:

Para obtener la solucin general de las ecuaciones diferenciales lineales no homogneas de coeficientes constantes, primero se determina la solucin general de la ecuacin dic. Homognea: ; y despus se busca una solucin particular: , cualquiera de la ecuacin. La solucin general de esta ecuacin es igual a la suma de las dos soluciones:

Para encontrar la solucin particular, se sigue uno de los siguientes mtodos.1) Mtodo Continuo2) Mtodo de los coeficientes indeterminados3) Mtodo de variacin de parmetros.4) Mtodos abreviados

A. Mtodo Continuo:

Para encontrar la solucin particular podemos emplear el mtodo continuo, el cual considera que para determinar la solucin particular se debe sustituir las races caractersticas en la siguiente sucesin:

Resolviendo esa sucesin de ecuaciones lineales de primer orden, obtengo la solucin particular de la ecuacin de orden superior, y la suma de la solucin complementaria mas la solucin particular ser la solucin definitiva de la ecuacin de orden superior.

B. Mtodo de coeficientes indeterminados:

Se emplea para algunas funciones especiales de Q(x)Primer caso:

Si Q(x) es un polinomio de orden n, es decir:Si , entonces la posible solucin es:

EMBED Equation.3 Donde: son coeficientes a determinar

Segundo caso:

Si Q(x) es un polinomio de orden n, multiplicando por un exponencial, es decir:Si:, entonces la posible solucin es:

Donde: son coeficientes a determinar

Tercer caso:

Si Q(x) es un polinomio de orden n, multiplicado por un exponencial y multiplicado por la funcin seno o coseno; es decir:Si

si ,Entonces la posible solucin es:

EMBED Equation.3 Donde: y son coeficientes a determinar

C. Mtodo de variacin de parmetros

Considerando a una ecuacin diferencial lineal no homognea de coeficientes constantes de orden n.

Cuya solucin homognea , es de la forma:

Luego la solucin particular de la ecuacin es:

Siendo: , funciones incgnitas de la variable independiente x, que encontramos resolviendo el siguiente sistema de funciones

Por medio de integracin obtenemos los valores de: , para reemplazar en la solucin particular planteada.

D. Mtodo abreviado:

Halla la solucin particular de la ecuacin lineal no homognea con coeficientes constantes, para ciertas formas de Q(x), utilizando el operador lineal D. Este mtodo abrevia notablemente el clculo como se indica a continuacin.

Luego su integral es:

a) Si Q(x) es de la forma

b) Si Q(x) es de la forma:

c) Si Q(x) es de la forma:

Obtenida desarrollando segn potencias crecientes de D y suprimiendo todos los trminos despus de , ya que

d) Si Q(x) es de la forma:

e) Si Q(x) es de la forma: x.V(x)

Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior de coeficientes variables.Si son ecuaciones diferenciales diferenciales lineales de orden superior homogneas de coeficientes variables, entonces en su forma general:

=0

Si son ecuaciones diferenciales Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior no homogneas de coeficientes variables, entonces en su forma general:

: Es funcin de la variable:

Las ecuaciones de coeficientes variables que estudiaremos, son:

1. La ecuacin de Euler Cauchy2. La ecuacin de Legendre

Ecuacin diferencial de Euler.Presenta la siguiente forma general:

Ecuacin diferencial de Legendre.Presenta la siguiente forma general:

Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.Estn constituidos por ecuaciones de primer orden con variables independientes que dependen de una sola variable dependiente. El objetivo al resolver sistemas de ecuaciones diferenciales es el de encontrar las funciones incgnitas que en un principio estaban expresadas como variables dependientes de la variable independiente.

CUESTIONARIO WORK PAPER No.61.- Halle la solucin de las siguientes ecuaciones diferenciales por el mtodo continuo:

1)

2)

3)

2.- Halle la solucin de las ecuaciones diferenciales del inciso 1 por el mtodo de variacin de parmetros:

3.- Verifique si las soluciones encontradas en los incisos anteriores, satisfacen las respectivas igualdades.4.- Halle la solucin de las siguientes ecuaciones diferenciales por el mtodo de los coeficientes indeterminados:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

5.- Por el mtodo de los coeficientes indeterminados y por el mtodo de variacin de parmetros. Hllese la solucin de las siguientes ecuaciones diferenciales:1)

2)

3)

4)

6.- Para cada una de las ecuaciones diferenciales no homogneas dadas escrbase la forma de su solucin particular con coeficientes indeterminados ( no deben hallarse los valores numricos)

1)

2)

3)

4)

7.- Halle la solucin de las siguientes ecuaciones diferenciales por el mtodo de variacin de parmetros:1)

2)

3)

4)

5)

8.- Por el mtodo abreviado, resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

9.- Hllese la solucin de la siguiente ecuacin:,mediante los mtodos :1) Coeficientes indeterminados2) Abreviado10.- Resolver las siguientes Ecuaciones diferenciales de Euler:1)

2)

3)

4)

5)

11.- Resolver las siguientes Ecuaciones diferenciales de Legendre: 1)

2)

12.- Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales: 1)

2)

3)

13.- Verificar si las soluciones de los Sistemas de Ecuaciones Diferenciales propuestos en el inciso anterior, satisfacen plenamente a cada sistema correspondiente.

14.- Utilice el mtodo de Runge Kutta con h = 0.1 para obtener una aproximacin, con cuatro decimales, al valor indicado en los siguientes problemas de valor inicial.

1) ; ;

2) ; ;

3) ; ;

PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDADDIFS # 1

UNIDAD OTEMA: INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

TITULO: Caractersticas generales de ecuaciones diferenciales


1.- Alguien afirmo que las ecuaciones diferenciales son una parte de las matemticas superiores que se originaron como una simple consecuencia del clculo diferencial e integral, por lo tanto su origen se debe plenamente a las matemticas. Otras personas afirman que hubo necesidad de plantear nuevos modelos matemticos que solucionen problemas de diversa ndole. Cual seria su criterio acerca de estas afirmaciones. Discuta el tema con sus compaeros, tome en cuenta diversas opiniones y fundamente su anlisis.2.- Muchas personas creen que decir diferencial es lo mismo que decir derivada, otras personas creen que la derivada de una funcin f(X) equivale al cociente de diferenciales, es decir:

Analice cual de las dos afirmaciones anteriores tiene validez, o quizs, ambos criterios son correctos, o talvez encuentre alguna diferencia sustancial entre el concepto de derivada de una funcin con los diferenciales. Debata el problema, analice la situacin y fundamente su respuesta, mejor si lo ilustra con ejemplos.


UNIDAD O TEMA: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

TITULO: Anlisis de ecuaciones diferenciales de primer orden


1.- Se menciona que pueden existir diversas maneras de resolver ecuaciones diferenciales, por lo tanto es posible que se puede obtener la misma solucin empleando diversos mtodos. Esta usted de acuerdo con lo afirmado anteriormente, justifique su anlisis con ejemplos. 2.- Cuando se resuelve una determinada ecuacin diferencial se llega a obtener una funcin, la misma que es considerada como solucin general de la ecuacin. No obstante, muchos ingenieros afirman que se puede obtener soluciones mucho mas especificas, estas soluciones especficas son denominadas soluciones particulares. Mediante un debate determine: cual es la diferencia o las diferencias fundamentales entre una solucin general y una solucin particular, incluya en el debate las caractersticas geomtricas de las soluciones de ecuaciones diferenciales.


UNIDAD O TEMA: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR

TITULO: Anlisis de ecuaciones diferenciales de primer orden y ecuaciones de primer orden y grado superior


1.- Se dice que una ecuacin diferencial es exacta cuando no puede ser resuelta como: ecuacin de variables separadas, tampoco como ecuacin homognea, tampoco como ecuacin no homognea con las funciones M y N lineales, tampoco como ecuacin lineal de primer orden o simplemente ser ecuacin exacta por que cumple con la siguiente condicin fundamental:

Que criterio adoptara usted para analizar una ecuacin exacta y cual es su opinin acerca de las anteriores afirmaciones. Analice el problema y fundamente su respuesta, mejor si propone ejemplos.

2.- Analice si en los mtodos de resolucin de ecuaciones diferenciales de primer orden y grado superior respecto de las variables x y y, siempre queda una ecuacin diferencial de variables separadas de primer orden y primer grado.


UNIDAD O TEMA: ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR.

SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

TITULO: Anlisis de ecuaciones diferenciales lineales de orden superior

Anlisis de sistemas de ecuaciones diferenciales


1.- Analice las caractersticas fundamentales de las ecuaciones diferenciales Lineales de Orden superior de coeficientes constantes y seale que requisitos tiene que cumplir una funcin para ser considerada como solucin de una ecuacin diferencial lineal de orden superior de coeficientes constantes.Analice el tema mediante un debate, fundamente su respuesta e ilustre con dos ejemplos.

2.- Alguien afirmaba que resolver un sistema de ecuaciones diferenciales, consiste en encontrar una sola funcin, denominada solucin, que satisface plenamente a todas las ecuaciones del sistema. Otra persona afirma que resolver un sistema de ecuaciones diferenciales, consiste en determinar las variables dependientes del sistema, las mismas que satisfacen plenamente a todo el sistema. Mediante un pequeo debate determine cual de las dos afirmaciones puede ser considerada como correcta.3.- El componente bsico de la computacin analgica es el amplificador operacional, dispositivo que se utiliza en diferentes configuraciones para realizar operaciones matemticas tales como: multiplicar por una constante, tanto positiva como negativa, sumar, restar, integrar, diferenciar, calcular exponencial y logaritmo, entre otros. Las estructuras ms empleadas son el integrador y el diferenciador, en aplicaciones vinculadas con la resolucin de ecuaciones diferenciales.

Basados en sitios WEB relacionados con temas de la computacin analgica:

Explicar como se obtiene la ecuacin diferencial en cada una de las estructuras (integrador y diferenciador) y como se puede obtener la solucin en cada caso.

Ejemplificar como se pueden resolver ecuaciones diferenciales que representan fenmenos fsicos (ejemplo: el movimiento parablico que ocurre cuando se lanza un misil), a partir de las dos estructuras bsicas mencionadas

Complete el trabajo con la respectiva simbologa analgica.

UNIVERSIDAD DE AQUINO BOLIVIA2

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Syllabus ECUACIONES DIFERENCIALES

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