Liliana HernándezIng. Qca. Ph.D.

ECUACIONES DIFERENCIALES

ORDINARIAS

DEFINICIÓN

Ecuación diferenci

al:

Ecuación que contiene derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.

Ordinaria Parcial

Derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una variable independiente.

Derivadas de una o más variables dependientes con respecto a dos o más variables independientes.

05 ydxdy

03

3

xv

xv

vtv

PROBLEMA DE VALOR INICIAL

Cuando se desea resolver una ecuación diferencial sujeta a condiciones predefinidas

(iniciales)

Ejemplo: Resolv

er

Sujeta a

ydxdy

1)0( y

Condición inicial

MODELAMIENTO MATEMÁTICO CON ECUACIONES

DIFERENCIALES ORDINARIAS (EDOs)

Dinámica de poblaciones

Modelo de Malthus:Cuando una población no está sujeta a factores externos (falta de alimentos, competencia por el hábitat, presencia de un depredador…) la velocidad de crecimiento es proporcional al número de individuos que la componen.

)()(

trNdttdN

Constante que caracteriza la tasa de crecimiento de la población (experimental).

Puede ser:

r < 0; r > 0

Dinámica de poblaciones

Ecuación logística:Cuando el crecimiento exponencial de la población se ve limitado por la escasez de recursos (alimentos) y los individuos “compiten” por ellos.

)()()( 2 tmptrp

dttdp

Crecimiento natural de la población

Competencia de los individuos por el alimento

Dinámica de poblaciones

Modelo presa-depredador (sistema Lotka-Volterra):En un ecosistema con dos poblaciones de especies

distintas, donde una de ellas es el alimento de la otra.

)()()()(

211111 tptpbtprdttdp

Crecimiento natural de la presa

)()()()(

212222 tptpbtprdttdp

Crecimiento natural del depredador (sin

presa)

Interacción de ambas especies

Dinámica de crecimiento de un individuo

Modelo de Bertalanffy:La velocidad de crecimiento es proporcional a la diferencia entre la longitud actual y la máxima permisible.

)()(tLAk

dt

tdL

es > 0constante propia de

cada especie

Talla máxima de la especie

Ley de enfriamiento de Newton

La velocidad a la que cambia la temperatura de un objeto es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio donde se encuentra.

MtTkdt

tdT )()(

Constante de tiempo del

edificio

Temperatura del medio

Calentamiento de edificios:

+ Calentamiento

- Enfriamiento

Decaimiento exponencial

La velocidad de desintegración de una sustancia radiactiva es proporcional al número de átomos existentes de dicha sustancia.

Desintegración radiactiva (datación por radiocarbono)

)()(

tAdttdA

Constante de descomposición y/o

decaimiento

Movimiento de cuerpos

Sí:

Movimiento en caída libre

gdttxd 2

2 )(

Gravedad

Fam

.

Movimiento de cuerpos

Sí:

Fricción el fluidos (paracaidista):

2)(cvmg

dt

tdvm

Gravedad

Fam

.

Constante de proporcionalid

ad

2A

c

Densidad del aire

Área paracaidis

ta

Factor de forma

paracaidista

Movimiento de cuerpos

Sí:

Vibraciones mecánicas (oscilación de un mástil):

0)(

2

2

kxdtdxc

dttxd

m

Constante de amortiguamien

to

Fam

.

Constante de

recuperación

Flujo de fluidos

Mezclado (Concentración de la mezcla CA):

AAA qCqC

dtdC

V 0

Flujo del

fluido

Concentración flujo de entrada

AAA CCq

dt

dCV 0

Volumen del

tanque

Flujo de fluidos

Vaciado de un tanque:

ghAdt

dV20

Área del

tanque

Gravedad

ghA

A

dt

dh

w

20

Área del

agujero

dtdh

AdtdV

w

Aw

A0

MÉTODOS NUMÉRICOSPara resolver Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Euler

𝑦 1=𝑦 0+h𝑓 (𝑥0 , 𝑦0 )

𝑑𝑦𝑑𝑥

= 𝑓 (𝑥 , 𝑦 )

𝑦 (0 )=𝑦0

Ecuación:

Sujeta a:

Recurrencia:

Runge-Kutta (orden 4)

𝑘1=h𝑓 (𝑥0 , 𝑦0 )

𝑑𝑦𝑑𝑥

= 𝑓 (𝑥 , 𝑦 )

𝑦 (0 )=𝑦0

Ecuación:

Sujeta a:

Recurrencia:

𝑘2=h𝑓 (𝑥0+ 12 h , 𝑦 0+12

𝑘1)𝑘2=h𝑓 (𝑥0+ 12 h , 𝑦 0+

12

𝑘2)𝑘4=h𝑓 (𝑥0+h , 𝑦0+𝑘3 )

𝑦 1=𝑦 0+16

(𝑘1+2𝑘2+2𝑘3+𝑘4 )