Superficies enSuperficies enel Espacioel Espacio

Claudia Isela Torres GaribayClaudia Isela Torres Garibay

Febrero 27, 2001Febrero 27, 2001

Matemáticas IIMatemáticas IICálculo VectorialCálculo Vectorial

Clave ACM9304Clave ACM9304

Objetivo:Objetivo:Identificar y graficar superficies Identificar y graficar superficies

cilíndricas, cuadráticas y de cilíndricas, cuadráticas y de revolución.revolución.

Tema 1.7Tema 1.7Cilíndros, superficies cuadráticas y Cilíndros, superficies cuadráticas y

superficies de revolución.superficies de revolución.

Clasificación de las Clasificación de las superficies en el espacio:superficies en el espacio:

EsferaEsfera

PlanoPlano

Superficies cilíndricas o cilindrosSuperficies cilíndricas o cilindros

Superficies cuadráticasSuperficies cuadráticas

Superficies de RevoluciónSuperficies de Revolución

EsferaEsfera

Una esfera con centro en (xUna esfera con centro en (x00, y, y00, , zz00) y radio r se define como el ) y radio r se define como el conjunto de puntos (x,y,z) cuya conjunto de puntos (x,y,z) cuya distancia a (xdistancia a (x00, y, y00, z, z00) es r.) es r.

La ecuación canónica de una esfera La ecuación canónica de una esfera es:es:

(x-x(x-x00))22 + (y-y + (y-y00))22 + (z-z + (z-z00))22 = r = r22..

PlanoPlano

Un plano que contiene el Un plano que contiene el punto P(xpunto P(x11, y, y11, z, z11) es el ) es el conjunto de todos los conjunto de todos los puntos Q(x,y,z) para los puntos Q(x,y,z) para los que el vector que el vector PQPQ es es perpendicular a un vector perpendicular a un vector nn = <a,b,c> = <a,b,c>

La ecuación de un plano en el espacio es:La ecuación de un plano en el espacio es:

a (x-xa (x-x11) + b (y-y) + b (y-y11) + c (z-z) + c (z-z11) = 0) = 0 (forma canónica)(forma canónica)

ax + by + cz + d = 0ax + by + cz + d = 0 (ecuación general)(ecuación general)

Superficies CilíndricasSuperficies Cilíndricas(Cilindros)(Cilindros)

El conjunto de todas las rectas paralelas que El conjunto de todas las rectas paralelas que cortan a una curva C se llama cilindro de curva cortan a una curva C se llama cilindro de curva directriz C. Cada una de esas rectas paralelas directriz C. Cada una de esas rectas paralelas se llama una recta generatriz del cilindro.se llama una recta generatriz del cilindro.

Si la generatriz es Si la generatriz es perpendicular al plano perpendicular al plano que contiene la que contiene la directriz, se dice que directriz, se dice que es un cilindro recto.es un cilindro recto.

Cilindro Circular Recto x2 + y2 = 4

Cilindros (cont.)Cilindros (cont.)

La ecuación de un cilindro cuyas generatrices son paralelas a uno de los ejes de coordenadas contiene solo las variables correspondientes a los otros dos ejes.

16416

22

zx2

1

yz

xy sen2

Superficies cuadráticasSuperficies cuadráticas

Su ecuación es de la forma:Su ecuación es de la forma:AxAx22 + By + By22 + Cz + Cz22 + Dxy + Exz + Fyz + Dxy + Exz + Fyz + +

Gx + Hy + Iz + J = 0Gx + Hy + Iz + J = 0

Existen 6 tipos:Existen 6 tipos:ElipsoideElipsoideHiperboloide de una hojaHiperboloide de una hojaHiperboloide de dos hojasHiperboloide de dos hojasCono elípticoCono elípticoParaboloide elípticoParaboloide elípticoParaboloide hiperbólicoParaboloide hiperbólico

ElipsoideElipsoide

TrazasTrazas

xy: Elipse

12

2

2

2

2

2

cz

by

ax

12

2

2

2

by

ax

12

2

2

2

cz

ax

12

2

2

2

cz

by

xz: Elipse

yz: Elipse

HiperboloideHiperboloidede una hojade una hoja

12

2

2

2

2

2

cz

by

ax

12

2

2

2

by

ax

12

2

2

2

cz

ax

12

2

2

2

cz

by

xz: Hipérbola

yz: Hipérbola

TrazasTrazas

xy: Elipse

HiperboloideHiperboloidede dos hojasde dos hojas

12

2

2

2

2

2

cz

by

ax

12

2

2

2

by

ax

12

2

2

2

cz

ax

kcz

by

2

2

2

2

xz: Hipérbola

(|x|>0) Elipse yz: (x=0) No existe

TrazasTrazas

xy: Hipérbola

Cono ElípticoCono Elíptico0

2

2

2

2

2

2

cz

by

ax

kby

ax 2

2

2

2

caz

x

cbz

y

kcz

ax 2

2

2

2

kcz

by 2

2

2

2

(|z|>0) Elipse

xz: (y=0) Rectas

(|y|>0) Hipérbola

yz: (x=0) Rectas (|x|>0) Hipérbola

TrazasTrazas

xy: (z=0) Punto

ParaboloideParaboloideElípticoElíptico

02

2

2

2

zby

ax

kby

ax 2

2

2

2

2

2

ax

z

2

2

by

z

(z>0) Elipse

xz: Parábola

yz: Parábola

TrazasTrazas

xy: (z=0) Punto

ParaboloideParaboloideHiperbólicoHiperbólico

02

2

2

2

zax

by

kax

by 2

2

2

2

2

2

ax

z

2

2

by

z

(|z|>0) Hipérbola

yz: Parábola

xz: Parábola

xab

y

TrazasTrazas

xy: (z=0) Recta

Superficies de RevoluciónSuperficies de Revolución

Si la gráfica de una función radio r gira Si la gráfica de una función radio r gira en torno a uno de los ejes de en torno a uno de los ejes de

coordenadas, la ecuación de la coordenadas, la ecuación de la superficie resultante tiene una de las superficie resultante tiene una de las

formas siguientes:formas siguientes:

1. En torno al eje x: y1. En torno al eje x: y22 + z + z22 = [r(x)] = [r(x)]22

2. En torno al eje y: x2. En torno al eje y: x22 + z + z22 = [r(y)] = [r(y)]22

3. En torno al eje z: x3. En torno al eje z: x22 + y + y22 = [r(z)] = [r(z)]22

Ejemplo de Ejemplo de Superficies de Superficies de

RevoluciónRevolución

Al girar la gráfica de la función f(x) = xf(x) = x22+1+1 en torno al eje x

se genera la gráfica de la funciónyy22 + z + z22 = (x = (x22 + +

1)1)22.