UMBERTO CERRUTI

SULLA CONVERGENZA DI RETI DI INSIEMI (*)

SUMMARY. - In this work we consider some topologies defined on 8(1), where I is a non empty set. We show that the following topologies are equivalent:

a) product topology on P=nxYx [where for each x, Yx is a set with two elements and the discrete topology)

b) the compact-open topology on the family of characteristic functions

of I c) the topology of pointwise convergence on the same set than in h) d) the topology on 8 (I), where, for each AG.8(I), we take the family

of subsets of 8(1) \^'A{XV ••• xk)\> x%^h as base of the filtre of neigh-borauds of A, where:

$A(x)=\BE3(I)lxEB\ if x£A $A(x)=\CE 8(1)1 x$C\ if x$A 5A{xi9 ...,xk)=n&A(xi)

i

e) the topology having as open subbase the family of $A where, \J-A E 8(1), &A is the set of elements of 8(1) not confrontable with A. Furthemore all these topologies are equivalent to that we obtain defining the convergence of nets in 8 (I) in one of the following ways:

I) the net \Ai\, ^ E 8(1), converges to A E # ( / ) , iff Lim Ai—Lim A=A

II) the net \A\\, A{G. 8(1), converges to AE8(I), iff V x , y E /, xEA&yQA—>#/? V a > i ^ xEAa&y$Aa.

INTRODUZIONE.

E noto che i tre assiomi1 con i quali C. K U R A T O W S K I defini gli spazi L*, cioe gli insiemi X nei quali sia dato un criterio di conver-

(*) Lavoro eseguito nell'ambito delle ricerche promosse dal Consiglio Nazionale delle Ricerche, Gruppo di Algebra e Geometria, presso cui l'autore e borsista.

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genza per le successioni, non conducono, in generale, ad una topo-logia su X, quando si definisca in esso l'operatore di chiusura:

dato un qualunque sottoinsieme S di X, S e l'insieme degli elementi di X che sono limite di successioni convergenti contenute in S.

Infatti i tre assiomi del KURATOWSKI :

1) (Urn pn=p & k{ <k% <...)—+\impk =p

2) {Vn,pn=p)->\impn--=p

3) Se la successione (p^p^, . . . , /?n , •..) non converge a p, essa contiene una sottosuccessione (pk , pk , pk , ...,pk , ...) di cui

nessuna sottosuccessione converge a p ;

non permettono, in genere, di verificare i tre assiomi cui soddisfano gli operatori di chiusura: .,.»

a) X U F = X U 7

b) X£X

c) 1=1

bensi soltanto i primi due, poiche non si pud essere certi che l'even-tuale punto limite di una successione di punti limite di successioni convergenti di 5, sia esso stesso il punto limite di una successione di elementi di S (vd. [2] controesempio par. 4 cap. V).

E invece sempre possibile stabilire una topologia su X, asse-gnato un qualsiasi criterio di convergenza, definendo la famiglia dei chiusi di X nel seguente modo: un sottoinsieme S di X e chiuso se e solo se contiene tutti i punti limite delle successioni convergenti in esso contenute.

Si verifica immediatamente che:

i) 5= n sa

2) R=Sif]S2

3) l'insieme vuoto

(dove Sa, V a E A, Si9 S2, sono dei sottoinsiemi cli X soddisfacenti al criterio dato) sono ancora dei « chiusi ».

Chiaramente, se il criterio di convergenza e scelto in modo del tutto casuale, pur ottenendo sempre uno spazio topologico, esso sara,

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in generale, poco interessante. Ad esempio, se si introduce il se-guente criterio di convergnza: ogni successione di punti di X converge ad ogni punto di X, si ottiene la topologia banale.

Se si vuole definire uno spazio topologico mediante un criterio di convergenza per le successioni, si presenta pero una difficolta: si a (X, *£) uno spazio topologico con supporto X e topologia %; la topologia % definisce in modo univoco un criterio di convergenza per le successioni di X, che chiameremo «criterio di convergenza topologico », (eel e l'usuale criterio per cui una"successione di ele-menti di X converge ad un elemento a di X se e solo se la succes­sione cade definitivamente in ogni intorno di a), mediante tale criterio si pud ora introdurre in X un'ulteriore topologia, %\ in cui la famiglia dei chiusi e cosi definita: un sottoinsieme di X e chiuso se e solo se contiene tutti i punti limite delle successioni «topolo-gicamente convergenti» in esso contenute.

II problema e che, in generale, si ha %'•^L'G &%' ^ %. Infatti, ogni chiuso di % contiene tutti i punti limite di successioni topolo-gicamente convergenti in esso contenute, in quanto essi sono, ovvia-mente, punti di aderenza deH'insieme; viceversa, un chiuso di %' non e in generale un chiuso di <S, perche, se a e un punto di aderenza di un sottoinsieme S di X, nella topologia "6, per definizione ogni suo intorno interseca S9 ma non necessariamente esiste in S una successione di punti convergente ad a. (Questo e pero vero nel caso particolare che ogni punto di X ammetta un hltro di intorni total-mente ordinato e numerabile, cioe che (X, L6) soddish al I assioma di numerabilita).

Tale difficolta si puo ovviare introducendo il concetto di rete (vd. definizione II, 2). Infatti, nella sola ipotesi che (X, %) sia uno spazio JTI, si ha che un sottoinsieme S di X e chiuso se e solo se contiene tutti i punti limite delle reti convergenti in esso contenute.

La parte « solo se» e ovvia. Quanto all'altra implicazione, se a e un punto, di aderenza di S, poiche il filtro ^f degli intorni di a costituisce un sistema diretto (per inclusione), scegliendo un punto xiG.S.f\ Ui9 V Ui E ®lf.0. e possibile costruire una rete di elementi di S convergente ad a (vd. [3], cap. IX, par. 3).

Nel presente lavoro si considerano dei criteri di convergenza per le reti di sottoinsiemi di un insieme / dato, definendo cosi, secondo quanto detto sopra, in modo non ambiguo delle topologie su #( / ) . In realta si vedra che tutti i criteri di convergenza proposti sono tra di loro equivalenti; piu precisamente, essi sono tutti equi-

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valenti al criterio di convergenza topologica indotto dalla topologia <E>(f (/)) su f (/).

Questa poverta di topologie in $ (I) deriva dal fatto che non si e considerata su / nessuna struttura aggiuntiva, e tutte le conside-razioni fatte sono di tipo puramente insiemistico, fondate solo sulla naturale struttura di ordine definita in #( / ) .

I. LA ^-TOPOLOGIA NELLE FAMIGLIE DI INSIEMI.

Data una qualunque famiglia §=" di insiemi, in essa e definita in modo naturale una relazione, quella di inclusione. Dunque e possi­b l e (*) associare al grafo F della relazione di inclusione la funzione cp : $ (&) —>- §(&), e conseguentemente la topologia 0 (SF). Nel seguito, data la famiglia &, si parlera della topologia @(&), del grafo F, di punti singolari di &, senza fare ogni volta riferimento alia relazione di inclusione in $ e senza ripetere quanto sopra esposto.

L'interesse di quanto segue sta da un lato nel fatto che la <f>-topologia assume caratteristiche ben precise quando viene intro-dotta in famiglie di insiemi; dall'altro nella possibilita di rappre-sentare una qualsiasi algebra di BOOLE mediante una famiglia di sottoinsiemi; e infatti noto che ogni algebra di BOOLE X e isomorfa alia famiglia di aperti-chiusi di uno spazio topologico Q compatto totalmente disconnesso, ordinata per inclusione (vd. [4], teorema 4).

1.1. PROPRIETA. Considerato l'insieme H, il grafo F associato a # (H) e un grafo Rlt

Dimostrazione. Per la proprieta [1] 2.5, e sufficiente far vedere che, se il sottoinsieme A di H non e singolare, cioe se A¥=0 e A¥=H, allora (p(<p(A))<= A.

<P(A) e dato dalla famiglia dei sottoinsiemi di H che non sono inclusi in A e non lo includono. Appartengono dunque a <P(A) tutti i sottoinsiemi di H costituiti dai singoli punti di H che non appar­tengono ad A; ve ne sono senz'altro poiche A e diverso da H.

Sia B un elemento qualunque di <p(<p(A)) (siamo certi che al-meno A appartiene a ^(^(A)). Allora B deve essere confrontabile

C) Vd. [1] § 1.

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con A (altrimenti B apparterrebbe a (P(A) e quincli non a <p(<p(A)) e deve essere inconfrontabile con tutti gli element! di (p(A).

Sia B maggiore di A in senso stretto nell'ordine di $ (H), cioe BID A; dunque B contiene almeno un punto x esterno ad A. Ma {x} E cp (A) e B > {x}; percio B € cp (cp (A)), contro l'ipotesi.

Sia B <A, cioe B a A. L'insieme B U {.%'}, con xE. H — A, ap-partiene a cp (A) e B e minore di B U {#} ; dunque B Q cp(cp (A)), contro l'ipotesi. Pertanto non pud essere altro cbe A = B (si ricordi che A e B devono essere confrontabili), e (p(cp(A)) = A.

Per la proprieta [ 1 | 2.6 si ha che lo spazio topologico costituito da $(H) e da &($(H)) e T^ Dimostriamo ora che nello spazio topologico (§ (H), 0 ($(#))), una base di aperti e costituita sempli-cemente dai <p(A), A E $(H) e intersezioni finite di questi, ovvero che non esistono componenti proprie dei (p(A). Per far questo dimo-streremo una proprieta piu generale, e cioe che in un qualunque reticolo distributivo con zero (o con unita) soddisfacente alia (1) della Prop. 1.3 — quindi in particolare in ogni algebra di BOOLE

- non esistono componenti proprie. Siano S un reticolo, x un elemento di S. Si consideri cp(x),

insieme dei punti y di S inconfrontabili con x. Allora:

1.2. LEMMA. Condizione necessaria e sufficiente affinche il sot-soinsieme A di fp(x) sia una componente propria di <p(x) e che, dato comunque un elemento y di (p(x)—A e un elemento z di A> si abbia:

i) y\/z>x ii) y A z ^ x

Dimostrazione. a) Supponiamo verificate le i) e ii). La prima parte del lemma seguira ovviamente se si riuscira a dimostrare che, dati un elemento y di cp (x) —A e un elemento z di A, y non e con-frontabile con z.

Per assurdo, sia j > z ; allora y\Jz = z>x, cio che non e possi-bile, essendo A costituito da elementi inconfrontabili con x.

Sia ora y :< z ; allora y A z=y < x, assurdo in quanto y E <p (x).

b) Sia A una componente propria di cp(x). Allora esistono un elemento y in cp (x) —A e un elemento z in A. Supponiamo la i) falsa; non pud essere y\/z-<Lx, altrimenti si avrebbe y^x&z^x, mentre y E (p (x) & z E cp (x). Dunque y\/z E q>{x). Ma y\Jz>z

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e z E A; quindi y \/z E A (A e una componente). Essendo pero y<Ly\/z, si ha y E A; cio e assurdo, in quanto si e supposto y appartenente a cp (x) — A.

Analogamente se si suppone la ii) falsa.

1.3. PROPRIETA. Sia S un reticolo distributive con zero (con unita) che goda della seguente proprieta:

(1) V x E S, 3yEq>(x)/xAy—o (ovvero x V y = l ) .

Allora, qualunque sia x di S, <p(x) non ammette componenti proprie (in altre parole, ogni (P(x) e una componente elementare).

Dimostrazione. Sia A i= (p (x) ona componente propria di cp{x). Per ipotesi, esiste un elemento y di cp (x) tale che x /\y=o. Suppo-niamo y^A. Per la i) del lemma 1.2, dato un elemento z di <p(x)—A, si deve avere z\/y>x, e quindi {z\/y)/\x=x. Per le leggi distributive e per l'ipotesi: x=(z\/y) f\x = (z f\x)\J{yf\x) = {z Ax)\J(o) = z Ax, cioe z>x; ma questo e assurdo, poiche zEcp{x).

Analogamente, considerando (p(x) — A come componente (es­sendo A una componente, anche <p(x) — A lo e), si dimostra che x& (p(x) — A.

Quindi, qualunque sia l'elemento y di (P(x), si ha che y non appartiene ne ad A ne a <p(x) — A, cio che e assurdo.

Se S fosse un reticolo con unita, si utilizzerebbe la ii) di 1.2.

N.B. o e l indicano lo zero e l'unita del reticolo; 0 indica l'in-sieme vuoto.

1.4. COROLLARIO. Dato un insieme / non vuoto, qualunque sia l'elemento A di $ (/), q>(A) non ammette componenti proprie.

Dimostrazione. E sufficiente poire nel teorema precedente S i = ^ ( / ) , e si ha che: qualunque sia l'elemento A di 5, esiste un elemento B di <p(A) tale che A f)B = 0 (si scelga B = 7 — A).

I I . CONVERGENZA DI RETI IN ^ ( 7 ) .

Dimostreremo in questo paragrafo che lo spazio topologico (^ (H), <&($ (7/))) e uno spazio di HAUSDORFF.

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Per arrivare a questo risultato e indispensabile utilizzare il concetto di rete.

Si tratteranno inoltre alcuni criteri di convergenza di reti di sottoinsiemi.

II. 1. DEFINIZIONE. Un insieme / parzialmente ordinato si1 dice filtrante crescente se, dati due elementi i e / in / , esiste un k in / tale che: t ^ k & / ^ k.

11.2. DEFINIZIONE. Sia S un insieme qualunque e 7 un insieme filtrante crescente. Una lunzione s tra / ed S e detta rete in S.

Data la rete s in S, gli s(i), i G / sono elementi dtS; essi ver-ranno indicati con s,h e la rete stessa verra indrcata con {s{}, i G7.

11.3. DEFINIZIONE. Diciamo che { t ; } , / ' G / , e un sottoinsieme cojinale della rete {s,}, i £ / , se si verificano le seguenti condizioni:

i) J^I ii) viei, ajGjjj>i iii) La restrizione di 5 a J coincide con la funzione t: J—y S

che manda j in t..

Dalle definizioni segue in modo ovvio che un sottoinsieme cofinale di una rete {s^} e esso stesso una rete.

11.4. DEFINIZIONE. Data la rete {s i} , iG. / , nello spazio topo-logico 5, diremo che la rete {sij converge all'elemento x di S se, dato un qualsiasi intorno A di x, esiste un elemento i0 di / tale che, per tutti i k ^ z0, k G / , si ha sk, G A. x si dice punto limite della rete {s^}, i G 7.

Indicheremo che la rete { s ; } , i G / , converge al punto x, me-diante la scrittura: {s,t}~~>x.

Le reti costituiscono una generalizzazione clelle successioni: in-fatti la rete {s.i},i G / , e una successione, numerabile o transfinita, quando / e un insieme totalmente ordinato infinito.

L'utilita di adottare le reti deriva, oltre da quanto detto nel-l'introduzione, clalla seguente proprieta, che le distingue nettamente dalle successioni:

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11.5. PROPRIETA. Uno spazio topologico S e di Hausdorff se e solo se ogni sua rete {sL}, j E / , convergente, soddisfa alia con-dizione:

js i | —>» x & J5i| —> y - > x—y .

Dimostrazione. Si veda ad esempio [7], pagina 67.

Consideriamo ora una famiglia $ di sottoinsiemi di un certo insieme H; supporremo sempre che SF" sia priva di punti singolari, cioe che il sottoinsieme vuoto 0 ed H non appartengano ad S\ Per ora non supponiamo data alcuna topologia su Sr.

11.6. DEFINIZIONE. Data la rete \At\, iEl, A{E ^, diciamo che questa converge o-converge ad A, se si ha:

Lim |̂ 4fj = Lim \A{\ = A dove:

Lim A i e l'insieme degli elementi x di H che appartengono a

tutti gli Ai, tranne, al piu, agli elementi di un sottoinsieme non cofinale della rete {A,,}.

Lim Ai e l'insieme degli elementi x di H che appartengono agli elementi di un sottoinsieme cofinale della rete {Ai}.

11.7. PROPRIETA. a) Lim J^j = U ( n A{) , a G /

b) Lim |^.j = n ( U At) , a £ / .

Dimostrazione. a) a appartiene a tutti gli ^ tranne al piu ad uu sottoinsieme non cofinale della rete \A±\ se e solo se esiste un i0 E / tale che \f- i>iQ, x E Ai, dunque se e solo se x E U ( D A{).

b) x appartiene a tutti gli elementi di un sottoinsieme cofinale della rete \Ai\ se e solo se, dato un qualunque aEl, esiste un t0E / tale che i0 > a e xE. Aio, dunque se e solo se V a E /, % E (J Ai.

Poiche si ha sempre, evidentemente, Lim j ^ l ^ L i m \A{\, possia-mo dire che la rete \A{\, i E /, A{E$\ converge ad A se e solo se si ha:

Lim \A^A^\Am \At\ .

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11.8. DEFINIZIONE. Data la famiglia of di sottoinsiemi di un in-sieme H, diciamo che la rete \A.\, i E I> AfE §, ^-converge ad A se:

YxEA, VyE H—A, 3a El: V£ > a , xEAp&yEH—Ap .

In altri termini, diciamo che la rete j ^ J , i E /, y-converge ad AEH, se, dati un elemento x di A ed un elemento y di H — A, si trova uh indice aEl tale che, per tutti gli indici fl>a,'Ap con-tiene x e non y.

11.9. PROPRIETA. La rete \A}\, iEl, AtE&, o-converge ad A se e solo se ?/-converge ad A ;

Dimostrazione. Supponiamo che \Ai\ ?;-converga ad A. Dimostre-

remo che Lim\Ai\(^A<^.L\m\Ai\, cioe che: U( fl^,-)—^4—D ( U A.),

a i>a a i>a

aEL Sia XEH—A. Poiche per ipotesi la rete j ^ j ^-converge ad A, deve esistere un a0 appartenente ad / tale che V p > a0, x E H~A. Dunque x 6£ U Av e quindi x €E f) ( U At), a E I. Questo

dimostra che fl(U AJ^A. Sia A; G/4. Allora ^a 0 G / / V ^ > «0, a i > a

^ G/4. Quindi # G D ^<, e x E U ( fl^)» a E / . Percio 4̂ <= U ( n A{). i>a0 a %>a a %>a

L'altra parte della dimostrazione segue in maniera del tutto analoga.

11.10. PROPRIETA. Dato 1'insieme non vuoto H\ considerato lo spazio topologico (i?(JH), 0 (§ (H))9 in § (H) una rete j ^ J , i E I, converge ad A nella topologia 0($(H)) (n. def. 4.5 (1)) se e solo se ?/-converge ad A (A^O & A^ H).

Dimostrazione. a! Supponiamo che la rete j /^j converga ad A nella topologia 0(§(H)). Sia x E H - A. Allora 1'insieme \x\ e inconfrontabile con A e A E cp (\x\).

<p{\x\) e un intorno di A nella topologia 0(®(H)) e quindi, per 1'ipotesi di convergenza, ga0/ V / 5 > a0, ApEcp (\x\).

Poiche \x\ e inconfroiitabile con tutti gli Ap, si ha che \x\ d. A* e quindi x €f A^ V /5^a 0 -

Sia xE A. Allora 1'insieme H— \x\ e inconfrontabile con A e AEcp(H-—\x\) cp(H—\x\) e un intorno di A nella topologia di §(H)

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e quindi:

3aJ Vp^ait Ap<± (H-\x\) e x£ Ap.

Percio la rete j ^ j , i E I, e ^-convcrgente ad A.

b) Supponiamo ora che la rete \At\9 i E I, ?/-converga ad A. Allora si ha:

u(n^)=n(u.^)=^ aei . a i>a a i>a

Costruiamo le famiglie di insiemi:

#„= rM« c.= uAf, aeir.

Si ha:

5 a c ^ e C ^ f y , per «>/>' e l)Ba=f)Ca = A . a a

Da quanto detto segue anche:

VaGI, Aa^Ca e Aa^Ba, A^Ca e ^ £ a .

Un intorno generico di A nella topologia 0($(H)) e del tipo 99 (D1 ..., Z)fc), con Z)? E # ( # ) (non si considerano le componenti, in quanto si e dimostrato nel corollario 1.4 che nessun cp (A), AE${H) ammette componenti proprie).

Dobbiamo dimostrare che, dato un qualunque <p{Di9 ..., Dk), si trova un indice i0 tale che V i > i 0 ' A{.E: cp(Dt; ..., Dk).

Poiche <p(Di9 ..., Dk) = f\(p(Di), basta considerare inizialmente un intorno del tipo <p(D), con D.G. $(H).

Sia allora A E cp (D), ovvero A e D inconfrontabibi. Non pud esistere un indice a El tale che Ba^D, altrimenti si avrebbe A=?.D, in quanto AP.Ba. Del resto il caso B^^D, Va , e da escludersi, per che si avrebbe allora A — U Ba ^ D.

Allora esiste un a0 tale che BaoE(D). Se a > a0, si ha Bao^Ba, e dimque non pud essere Ba^D, altrimenti BanS=.D: quindi tutti i Ba con a > a0 ajopartengono a (p(D) (si ricordi che il caso Ba^D e escluso per tutti gli a).

Analogamente si vede che ^ax / V a > ai9 Ca E cp{D). Poiche I e un insieme filtrante crescente, fla2 / a%> a0 & a2 ^> ai

dimque si ha: Va > a2, BaE cp (D) & CaG cp (D).

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Basta ora ricordare che per la prop. 3.6 [11, gli aperti della topo­logia &(3(H)) sono convessi (si noti che nella prima parte della dimostrazione dellapropr. 3.6 [1] non si era utilizzata l'ipotesi che S fosse un reticolo completo) e che Ba!=.Aa^Cai per ottenere:

V « > a 2 J AaE<p-[D) •

Si trova percio certamente un y0 E 1 tale che:

V a > r o , AaS<p(Di9 ...,Dk) .

Si e cosi dimostrato che la rete \A^, i€l, converge ad A nella topologia 0{${E)).

Le proprieta IT.5, IT.9, 11.10, unite con la definizione stessa di o-convergenza (II.6, IT.7) permettono infine di concludere che lo spazio topologico ($(H)), 0($(H)) e di Hausdorff.

I I I . COMPATTEZZA, CONNESSIONE E D1MENSIONE IN $ ( / ) .

Nel paragrafo precedente ci siamo limitati a considerare $(I) per evitare le difricolta. derivanti dalJa presenza di punti singolari della (Z>-topologia, cioe il fatto che l'insieme vuoto ed I non sono chiusi in essa.

I criteri di convergenza (II.6) e (II.8) si possono chiaramente applicare a tutto § (I) e definiscono su di esso uno topologia che coincide con la 0-topologia, quando ci si restringe a §(1). Possiamo quindi estendere la 0-topologia a 8(1) facendela coincidere in $-(I) con la topologia indotta da uno dei clue criteri di convergenza equi­valent! sopra citati.

f (/) e aperto e denso in # (1) nella topologia data; si vedra che il passaggio dallo spazio topologico ($(7), 0{$ (-/))) alio spazio topo­logico (e?(7), 0 (§(/))), non e altro che la compattificazione del primo spazio con l'aggiunta dello o e dell ' l di $(7) inteso come reticolo, cioe dell'insieme vuoto 0 e di / stesso.

Nell'enunciato della proprieta seguente si identifica $ (I) in a) con l'insieme prodotto P=U Yx, dove, qualunque sia x, Yx = 2

xe 1

(2 rappresenta un insieme formato da due elementi): in b) e in c) lo si identifica con l'insieme delle lunzioni caratteristiche su /.

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III. 1. PROPRIETA. In $(/) sono equivalenti le seguenti topologie:

a) La topologia prodotto in P = i 7 Yx (dove, qualunque sia are J

x, Yx=2 G ogni Yx e considerato con la topologia discreta).

b) La topologia compatta-aperta nella famiglia delle funzioni caratteristiche su 1, a valori in 2 , (dove sia / che 2 vengono consi-derati con la topologia discreta).

c) La topologia della convergenza puntuale nello stesso insie-me di cui in b).

cl) La topologia in §(I) dove, dato un elemento A di $(I) si assume come base del filtro degli intorni di A la famiglia dei sottoinsiemi di § (I) $A (xi9 ..., xk), xi E / dove:

&A(x) = \Be${I)/xeB\, se xGA

$A )X) = \C£CS(I) J x$C\, se x e A k

&A(x19 ...,xk)= n &A(xt). t = i

e) La topologia inclotta dal criterio di convergenza (11.8).

Dimostraziojie. L'equivalenza delle topologie a), b), c), e conse-guenza immediata delle loro definizioni.

Dimostriamo l'equivalenza tra c) e d) dimostrando la coinci-denza tra le basi dei relativi filtri degli intorni.

Un intorno aperto (di base) di cpA nella topologia c) e inclivi-duato da cpA e da n punti di / , x.[9 ..., xn. Lo indicheremo con V{<pA; xi9 ..., xn): V(cpA; xi9 .,., xn) = \cpBj \/-icpB {xi) = cpA {x.)\ . Ora, se si identificano gli insiemi con le funzioni caratteristiche, si puo scrivere %• A {xi9 ..., xn)=V(<pA; xi9 ..., xn).

Dimostriamo l'equivalenza tra d) ed e); vediamo che qualunque rete convergente nella topologia d) converge nella e).

Sia \Aa\, a E:I, una rete convergente ad A in d). Consideriamo due elementi di / , siano x e y, x E A e y $ A, e l'intorno di A $A (x, y). Allora #a0 / V « > a0, Aa G &A {x, y). Dunque V a^a09

xGAa e y 6E Aa. Viceversa, sia \Aa\, a£l9 una rete convergente ad A in e).

Sia 3A (x, ..., xn) un intorno di A. Supponiamo di avere nume-rato le x in modo cha si abbia xi9 ..., xk£ A e xk+v ..., xn 6f A.

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Per l'ipotesi si pud trovare un a0 tale che V a ^ a^ xa • -, %EAa

e xk+v ...,xnGAa. Allora V « > a 0 ? ^ . G ^ f e ...,*»)•

La proprieta III . l mostra l'equivalenza della #-topologia con le altre topologie introdotte, quando vengano date su 3(1), con le con-suete generalizzazioni dello spazio topologico di Cantor (vd. [5], pg. 294). Lo spazio di Cantor si ottiene considerando come / un insieme con potenza numerabile.

In particolare lo spazio topologico (${I),&($(I))) e compatto — per il teorema di Tychonoff — totalmente sconnesso, di dimensione zero.

Dimostriamo queste due ultime proprieta in modo diretto, sfrut-tando le caratteristiche della 0-topologia.

III.2. PROPRIETA. ($(/), 0 {3 (I))) ha dimensione debole indut­tiva uguale alia dimensione forte induttiva ed uguale a zero. Inoltre e totalmente sconnesso.

Dimostrazione. Come e noto (vd. [6] pg. 269) essendo §(1) compatto e T3, i tre enunciati sono equivalenti. Sara dunque suffi-ciente dimostrare il primo, cioe che ogni elemento A di $ (/) ammette un filtro di intorni con base di aperti-chiusi.

Per la proprieta III.l si pud considerare come base del filtro degli intorni (nella 0-topologia) deU'elemento A di § (I) la famiglia

n degli WA {xi9..., xn). Poiche $A )xif..., %n)= fl % A (xi) e l'intersezione

di un numero finito di aperti-chiusi e un aperto-chiuso, e sufficiente dimostrare che ogni %• A \x) e aperto-chiuso.

Distinguiamo due casi:

i) xEA. Allom &A{x) = \B E$ (I) I xEB\ = <p (I—\x\) .

ii) y$A. Allora 3A(y) = \CE§{I) jx$ C\ = <p(\y\) .

Inoltre <p(\x\)\J <p(I-\x\) = 8(I)

(1)

(p(\x\)ncp{i — \x\)=o . Ma 9?(j^|) e cp{I — \x\) sono aperti per definizione della $-topo-

logia, e sono chiusi per le (1). Dunque &A (z) e un aperto-chiuso, per ogni z appartenente ad / .

18.

— 274 —

OPERE CTTATE

[1] U. CERRUTI. Sulle strutture topologiche negli insiemi parzialmente ordinati, Rendi-conti dell'Istituto Lombardo, vol. 106, 1972, pp. 713-738.

[2] C. KURATOWSKI, Topologie, Ponstwowe Wydavvnictwo Naukove, 1961.

[3] G. BIRKHOFF, Lattice theory, American Mathematical Society, 1967.

[4] M. H. STONE, Application of Boolean Algebras to general topology, Trans. A.M.S. 41 (1937), pp. 375-481.

[5] J. NACATA, Modern General Topology, North Holland Publishing Company, 1968.

[6] R. ENCELKINC, General Topology, North Holland Publishing Company, 1962.

[7] J. L. KELLEY, General Topology, Van Nostrand, 1955.