Integrated Care Pathway for Dementia β 2012 Draft NHS Grampian Creator: Rozi Sweetin.
SUBGRUP FUZZY ATAS SUATU GRUP Fatkhur Rozi, Ari ...
Transcript of SUBGRUP FUZZY ATAS SUATU GRUP Fatkhur Rozi, Ari ...
SUBGRUP FUZZY ATAS SUATU GRUP
Fatkhur Rozi, Ari Wardayani, dan Suroto
Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknik
Universitas Jenderal Soedirman
email : [email protected]
ABSTRACT. This paper discusses a fuzzy subgroup of a classical group. Itβs constructed by
defining fuzzy subsets and employing products and inverse notions on classical group. The
result obtained is sufficient and necessary conditions for the fuzzy subset to be fuzzy
subgroup.
Keywords: group, fuzzy subset, fuzzy subgroup
ABSTRAK. Makalah ini membahas tentang subgrup fuzzy atas suatu grup klasik.
Pembentukan subgrup fuzzy dilakukan melalui subhimpunan fuzzy dengan memanfaatkan
nilai dari hasil kali dua buah elemen serta invers elemen pada grup klasiknya. Hasil yang
diperoleh adalah syarat cukup dan perlu suatu subhimpunan fuzzy merupakan subgrup fuzzy.
Kata kunci: grup, subhimpunan fuzzy, subgrup fuzzy
I. PENDAHULUAN
Operasi biner pada suatu himpunan tak kosong S merupakan suatu fungsi dari
SxS ke S (Judson, 2011). Grup merupakan suatu sistem matematika yang terdiri atas
sebuah himpunan tak kosong dan dilengkapi dengan sebuah operasi biner yang
memenuhi sifat assosiatif, memiliki elemen identitas, dan setiap elemennya memiliki
invers (Fraeligh, 2000). Selanjutnya suatu grup yang operasi binernya bersifat
komutatif dinamakan grup komutatif (abel). Kajian mengenai teori grup klasik
kebanyakan dilakukan pada himpunan tegas (crisp).
Kajian mengenai konsep himpunan mulai berkembang pada sekitar tahun 1965
yang ditandai dengan adanya perluasan dari konsep himpunan tegas menjadi
himpunan fuzzy (samar). Menurut Malik dan Mordeson (2002), himpunan fuzzy atas
suatu himpunan π merupakan suatu fungsi dari π ke interval tutup [0,1] dan
merupakan generalisasi dari himpunan tegas. Dengan kata lain, himpunan tegas
merupakan kasus khusus dari himpunan fuzzy, sehingga sifat yang ada pada
JMP : Volume 6 Nomor 1, Juni 2014, hal. 33 - 44
himpunan tegas pasti dapat dinyatakan sebagai kasus khusus dari sifat himpunan
fuzzy.
Pembahasan mengenai teori dan aplikasi dari himpunan fuzzy banyak dilakukan
pada tahun-tahun berikutnya. Beberapa aplikasi konsep himpunan fuzzy pada
kehidupan nyata telah di bahas oleh Lee (2005). Pembahasan mengenai
pembentukan subhimpunan fuzzy pada suatu grup klasik telah dibahas oleh
Mordeson dkk (2005). Selanjutnya, penelitian mengenai penggunaan konsep
himpunan fuzzy pada pembentukan ruang vektor dan matriks juga telah di bahas oleh
Mufidah (2011). Pada tulisan ini dibahas mengenai pembentukan subgrup fuzzy dari
suatu grup klasik dan beberapa sifat yang terkait, serta contoh kasusnya. Pada
pendefinisian subgrup fuzzy ini akan memanfaatkan konsep subhimpunan fuzzy dari
suatu grup klasik. Selanjutnya dengan membentuk subgrup fuzzy ini maka suatu grup
klasik akan dapat dinyatakan sebagai kasus khusus dari suatu subgrup fuzzy. Pada
bagian utama tulisan ini, pertama akan dibahas mengenai pembentukan subgrup fuzzy
atas suatu grup klasik. Kedua, akan dibahas mengenai sifat terkait subgrup fuzzy
yakni syarat cukup dan perlu dari suatu subhimpunan fuzzy merupakan subgrup fuzzy
yang merupakan hasil utama pada tulisan ini.
II. METODE PENELITIAN
Penelitian ini merupakan suatu penelitian yang didasarkan pada studi literatur
yang meliputi kajian-kajian secara teoritis. Langkah awal yang dilakukan adalah
mendefinisikan sembarang grup klasik dan membentuk subhimpunan fuzzy pada
grup klasik tersebut. Dari subhimpunan fuzzy ini, selanjutnya dapat dibentuk suatu
subgrup fuzzy atas suatu grup klasik dan beberapa contoh kasusnya. Langkah
berikutnya adalah membuktikan beberapa sifat terkait syarat cukup dan perlu dari
suatu subhimpunan fuzzy merupakan subgrup fuzzy dan contoh kasusnya.
34 Fatkhur Rozi, dkk.
III. HASIL DAN PEMBAHASAN
Bagian ini merupakan bagian utama dari tulisan ini yang berisi tentang
pembentukan subgrup fuzzy dan sifat terkait subgrup fuzzy.
3.1 Pembentukan Subgrup Fuzzy
Untuk membentuk suatu subgrup fuzzy maka terlebih dahulu didefinisikan
subhimpunan fuzzy atas suatu grup klasik. Apabila πΊ adalah suatu grup (klasik),
maka untuk mendefinisikan subhimpunan fuzzy atas grup πΊ sama halnya dengan
mendefinisikan suatu subhimpunan fuzzy atas sembarang himpunan π.
Definisi 1
Misalkan G adalah suatu grup. Subhimpunan fuzzy atas grup G adalah fungsi π: πΊ β
[0,1] yang mengaitkan setiap elemen di G ke interval tutup [0,1]. Selanjutnya,
himpunan dari semua subhimpunan fuzzy atas G dinamakan himpunan kuasa fuzzy
atas grup G dan dinotasikan dengan FP(G) dan π(π₯) untuk setiap π₯ β πΊ dinamakan
nilai keanggotaan elemen π₯ pada subhimpunan fuzzy π.
Berikut merupakan contoh mengenai subhimpunan fuzzy atas suatu grup.
Contoh 1
Diketahui bahwa β€5 β {0Μ } merupakan grup dengan operasi Γ5. Order elemen π₯ pada
suatu grup merupakan bilangan bulat positif terkecil π sedemikian hingga π₯π = 1 dan
ditulis π(π₯) = π . Didefinisikan fungsi π βΆ β€5 β {0Μ } β [0,1] dengan π(π₯) =1
πππ(π₯)
untuk setiap π₯ β β€5 β {0Μ }. Perhatikan bahwa πππ(1Μ ) = 1, πππ(2Μ ) = 4, πππ(3Μ ) = 4 ,
dan πππ(4Μ ) = 2 , sehingga diperoleh π(1Μ ) = 1 , π(2Μ ) = 0,25 , π(3Μ ) = 0,25 , dan
π(4Μ ) = 0,5. Dengan demikian π adalah suatu fungsi dimana π(π₯) β [0,1] untuk
setiap π₯ β β€5 β {0Μ }, sehingga π merupakan subhimpunan fuzzy atas grup β€5 β {0Μ }
dan π β πΉπ(β€5 β {0Μ }).
Contoh 2
Diketahui π» = {1, β1, π, βπ} yang dilengkapi operasi Γ merupakan suatu grup.
Didefinisikan fungsi π dengan
SubGrup Fuzzy Atas Suatu Grup 35
π(π₯) = {πππ (
Arg(π₯)
2) , untukπ₯ = 1, π, βπ
π ππ (Arg(π₯)
3) , untukπ₯ = β1
dan Arg(π₯) adalah argumen utama dari π₯. Perhatikan bahwa Arg(1) = 0, Arg(β1) =
π, Arg(π) =π
2 , dan Arg(βπ) = β
π
2 , sehingga hasil dari π(1) = 1 , π(β1) =
β3
2 ,
π(π) =β2
2 , dan π(βπ) =
β2
2 . Dengan demikian π adalah suatu fungsi dimana π(π₯) β
[0,1] untuk setiap π₯ β π». Dengan kata lain π merupakan subhimpunan fuzzy atas
grup π» dan π β πΉπ(π»).
Selanjutnya didefinisikan operasi biner dan uner pada himpunan kuasa fuzzy
atas grup πΊ yang akan digunakan untuk membuktikan beberapa sifat yang berlaku
pada subgrup fuzzy atas grup πΊ. Definisi dari operasi biner dan uner pada himpunan
kuasa fuzzy atas grup πΊ dijelaskan pada definisi berikut.
Definisi 2
Misalkan πΊ adalah suatu grup. Operasi biner β dan uner β1 pada πΉπ(πΊ) berturut-
turut didefinisikan dengan
(π β π£)(π₯) = sup{min{π(π¦), π£(π§)}|π¦π§ = π₯, untukπ¦, π§ β πΊ} dan πβ1(π₯) = π(π₯β1)
untuk setiap π, π£ β πΉπ(πΊ) dan π₯ β πΊ.
Selanjutnya π β π£ dinamakan hasil kali dari π dan , serta πβ1 dinamakan invers dari
π .
Subgrup fuzzy atas grup πΊ merupakan subhimpunan fuzzy atas grup πΊ yang
memenuhi syarat-syarat tertentu. Berikut diberikan definisi dari subgrup fuzzy atas
grup πΊ.
36 Fatkhur Rozi, dkk.
Definisi 3
Misalkan G adalah grup dan π β πΉπ(πΊ) maka π dikatakan subgrup fuzzy atas πΊ jika
memenuhi π(π₯π¦) β₯ πππ{π(π₯), π(π¦)} dan π(π₯β1) β₯ π(π₯) untuk setiap π₯, π¦ β πΊ
Untuk selanjutnya, himpunan dari semua subgrup fuzzy atas grup G dinotasikan
F(G)
Contoh berikut merupakan penjelasan dari subgrup fuzzy atas suatu grup.
Contoh 3
Diketahui bahwa π βΆ β€5 β {0Μ } β [0,1] dengan π(π₯) =1
πππ(π₯) untuk setiap π₯ β β€5 β
{0Μ } merupakan subhimpunan fuzzy atas grup β€5 β {0Μ }. Selanjutnya akan diselidiki
apakah π merupakan subgrup fuzzy atas grup β€5 β {0Μ }.
Tabel 1. Hasil operasi subhimpunan fuzzy π
π π π Γπ π π(π Γπ π) π(π) π(π) π¦π’π§{π(π), π(π)}
1Μ 1Μ 1Μ 1 1 1 1
1Μ 2Μ 2Μ 1
4 1
1
4
1
4
1Μ 3Μ 3Μ 1
4 1
1
4
1
4
1Μ 4Μ 4Μ 1
2 1
1
2
1
2
2Μ 1Μ 2Μ 1
4
1
4 1
1
4
2Μ 2Μ 4Μ 1
4
1
4
1
4
1
4
2Μ 3Μ 1Μ 1 1
4
1
4
1
4
2Μ 4Μ 3Μ 1
4
1
4
1
2
1
4
3Μ 1Μ 3Μ 1
4
1
4 1
1
4
3Μ 2Μ 1Μ 1 1
4
1
4
1
4
SubGrup Fuzzy Atas Suatu Grup 37
3Μ 3Μ 4Μ 1
2
1
4
1
4
1
4
3Μ 4Μ 2Μ 1
4
1
4
1
2
1
4
4Μ 1Μ 4Μ 1
2
1
2 1
1
2
4Μ 2Μ 3Μ 1
4
1
2
1
4
1
4
4Μ 3Μ 2Μ 1
4
1
2
1
4
1
4
4Μ 4Μ 1Μ 1 1
2
1
2
1
2
Tabel 2. Hasil dari invers subhimpunan fuzzy π
π πβπ π(π) π(πβπ)
1Μ 1Μ 1 1
2Μ 3Μ 1
4
1
4
3Μ 2Μ 1
4
1
4
4Μ 4Μ 1
2
1
2
Berdasarkan hasil Tabel 1 diperoleh bahwa π(π₯ Γ5 π¦) β₯ min{π(π₯), π(π¦)} untuk
setiap π₯, π¦ β πΊ dan dari hasil Tabel 2 diperoleh π(π₯β1) β₯ π(π₯) untuk setiap π₯ β πΊ.
Dengan π merupakan suatu subgrup fuzzy atas grup β€5 β {0Μ }.
Contoh 4
Diketahui π» = {1, β1, π, βπ} yang dilengkapi operasi Γ merupakan suatu grup dan
fungsi π dengan definisi
π(π₯) =
{
πππ (
Arg(π₯)
2) , untukπ₯ = 1, π, βπ
π ππ (Arg((π₯)
3) , untukπ₯ = β1
38 Fatkhur Rozi, dkk.
adalah suatu subhimpunan fuzzy. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa π merupakan
subgrup fuzzy atas grup H.
Tabel 3. Hasil operasi subhimpunan fuzzy π
π π π Γ π π(π Γ π) π(π) π(π) π¦π’π§{π(π),π(π)}
1 1 1 1 1 1 1
1 β1 β1 β3
2 1
β3
2
β3
2
1 π π β2
2 1
β2
2
β2
2
1 βπ βπ β2
2 1
β2
2
β2
2
β1 1 β1 β3
2
β3
2 1
β3
2
β1 β1 1 1 β3
2
β3
2
β3
2
β1 π βπ β2
2
β3
2
β2
2
β2
2
β1 βπ π β2
2
β3
2
β2
2
β2
2
π 1 π β2
2
β2
2 1
β2
2
π β1 βπ β2
2
β2
2
β3
2
β2
2
π π β1 β3
2
β2
2
β2
2
β2
2
π βπ 1 1 β2
2
β2
2
β2
2
βπ 1 βπ β2
2
β2
2 1
β2
2
βπ β1 π β2
2
β2
2
β3
2
β2
2
40 Fatkhur Rozi, dkk.
SubGrup Fuzzy Atas Suatu Grup 39
βπ π 1 1 β2
2
β2
2
β2
2
βπ βπ β1 β3
2
β2
2
β2
2
β2
2
Tabel 4. Hasil dari invers subhimpunan fuzzy π
π πβπ π(π) π(πβπ)
1 1 1 1
β1 β1 β3
2
β3
2
π βπ β2
2
β2
2
βπ π β2
2
β2
2
Berdasarkan hasil Tabel 3 diperoleh bahwa π(π₯ Γ π¦) β₯ min{π(π₯), π(π¦)} untuk
setiap π₯, π¦ β πΊ dan dari hasil Tabel 4 diperoleh π(π₯β1) β₯ π(π₯) untuk setiap π₯ β πΊ.
Dengan demikian π merupakan suatu subgrup fuzzy atas grup π».
3.2 Sifat Terkait Subgrup Fuzzy
Pada bagian ini dijelaskan mengenai beberapa sifat terkait subgrup fuzzy, khususnya
sifat yang terkait dengan syarat cukup dan perlu dari suatu subhimpunan fuzzy
merupakan subgrup fuzzy. Sebelumnya terlebih dahulu disajikan Lemma berikut
yang menjelaskan tentang nilai keanggotaan elemen identitas pada subgrup fuzzy atas
suatu grup.
Lemma 1
SubGrup Fuzzy Atas Suatu Grup 41
Misalkan π β πΉ(πΊ) dan e adalah elemen identitas pada grup G, maka untuk setiap
π₯ β πΊ berlaku
1. π(π) β₯ π(π₯)
2. π(π₯) = π(π₯β1)
Bukti.
1. Perhatikan bahwa πΊ adalah suatu grup, jadi untuk setiap π₯ β πΊ selalu terdapat
π₯β1 β πΊ sedemikian sehingga π₯π₯β1 = π. Dari sini diperoleh bahwa
π(π) = π(π₯π₯β1) β₯ min{π(π₯), π(π₯β1)} β₯ min{π(π₯), π(π₯)} = π(π₯).
Jadi untuk setiap π₯ β πΊ berlaku π(π) β₯ π(π₯)
2. Perhatikan bahwa untuk setiap π₯ β πΊ dapat dinyatakan sebagai (π₯β1)β1. Dari sini
diperoleh
π(π₯) = π((π₯β1)β1) β₯ π(π₯β1).
Selanjutnya, karena π adalah suatu subgrup fuzzy atas grup G maka untuk setiap
π₯ β πΊ berlaku π(π₯β1) β₯ π(π₯). Lebih lanjut karena π(π₯) β₯ π(π₯β1) dan
π(π₯β1) β₯ π(π₯) maka haruslah π(π₯) = π(π₯β1) . β
Pada Contoh 3 dijelaskan bahwa π merupakan suatu subgrup fuzzy atas grup
β€5 β {0Μ } dengan elemen identitas π = 1Μ . Dari Tabel 1 terlihat π(1Μ ) β₯ π(π₯) untuk
setiap π₯ β β€5 β {0Μ }, dan pada Tabel 2 terlihat bahwa π(π₯) = π(π₯β1) untuk setiap
π₯ β β€5 β {0Μ }. Sementara itu, pada Contoh 4 dijelaskan bahwa π merupakan suatu
subgrup fuzzy atas grup π» dengan π = 1. Dari Tabel 3 dapat diketahui bahwa π(1) β₯
π(π₯) untuk setiap π₯ β π», dan pada Tabel 4 dapat terlihat bahwa π(π₯) = π(π₯β1)
untuk setiap π₯ β π».
Teorema-teorema berikut ini menjelaskan tentang syarat cukup dan perlu
untuk suatu subhimpunan fuzzy atas suatu grup menjadi subgrup fuzzy atas suatu
grup.
Teorema 1.
42 Fatkhur Rozi, dkk.
π β πΉπ(πΊ) merupakan subgrup fuzzy atas grup G jika dan hanya jika untuk setiap
π₯, π¦ β πΊ, π(π₯π¦β1) β₯ πππ{π(π₯), π(π¦)}
Bukti.
( ) Diketahui π β πΉπ(πΊ) merupakan subgrup fuzzy atas grup πΊ, maka untuk setiap
π₯, π¦ β πΊ berlaku π(π₯π¦β1) β₯ min{π(π₯), π(π¦β1)}. Karena untuk setiap π¦ β πΊ berlaku
π(π¦) = π(π¦β1) maka akibatnya π(π₯π¦β1) β₯ min{π(π₯), π(π¦)}.
( ) Diketahui bahwa untuk setiap π₯, π¦ β πΊ, π(π₯π¦β1) β₯ min{π(π₯), π(π¦)} , maka
diperoleh
π(π) = π(π₯π₯β1) β₯ min{π(π₯), π(π₯)} = π(π₯) , untuk setiap π₯ β πΊ.
Hal ini mengakibatkan π(π₯) = π(ππ₯) β₯ min{π(π), π(π₯β1)} = π(π₯β1), dengan kata
lain berlaku π(π₯) β₯ π(π₯β1). Sementara itu (π₯β1) = π(ππ₯β1) β₯ min{π(π), π(π₯)} =
π(π₯) , yang berarti bahwa π(π₯β1) β₯ π(π₯). Jadi terbukti bahwa π(π₯β1) = π(π₯),
untuk setiap π₯ β πΊ.
Selanjutnya, π(π₯π¦) β₯ min{π(π₯), π(π¦β1)} β₯ min{π(π₯), π(π¦)} untuk setiap π₯, π¦ β πΊ.
Dengan demikian syarat 1 dan 2 untuk subgrup fuzzy terpenuhi. Jadi terbukti bahwa
π merupakan subgrup fuzzy atas grup πΊ. β
Pada Contoh 3 dijelaskan bahwa apabila π merupakan suatu subgrup fuzzy
atas grup β€5 β {0Μ } maka berlaku π(π₯π¦β1) β₯ min{π(π₯), π(π¦)} untuk setiap π₯, π¦ β
β€5 β {0Μ }. Sebaliknya apabila diketahui π(π₯π¦β1) β₯ min{π(π₯), π(π¦)} untuk setiap
π₯, π¦ β β€5 β {0Μ } maka terlihat bahwa π merupakan suatu subgrup fuzzy atas grup
β€5 β {0Μ }. Demikian juga berlaku untuk Contoh 4.
Teorema 2
π β πΉπ(πΊ) merupakan subgrup fuzzy atas grup πΊ jika dan hanya jika π memenuhi
1. π β π β π
2. πβ1 = π.
Bukti.
SubGrup Fuzzy Atas Suatu Grup 43
( ) Diketahui π merupakan subgrup fuzzy atas πΊ. Akan ditunjukkan π β π β π dan
πβ1 = π, yakni untuk setiap π₯ β πΊ berlaku (π β π)(π₯) β€ π(π₯) dan πβ1(π₯) = π(π₯).
Perhatikan bahwa
(π β π)(π₯) = π π’π{πππ{π(π¦), π(π§)}|π¦π§ = π₯}
dan karena π adalah subgrup fuzzy dari πΊ maka π(π¦π§) β₯ πππ{π(π¦), π(π§)} untuk
setiap π¦, π§ β πΊ.
Dengan demikian (π β π)(π₯) β€ π(π₯) untuk setiap π₯ β πΊ dan berarti π β π β π.
Sementara itu, πβ1(π₯) = π(π₯β1) = π(π₯) untuk setiap π₯ β πΊ. Dengan demikian
terbukti bahwa πβ1 = π.
( ) Diketahui adalah π memenuhi π β π β π dan πβ1 = π. Akan ditunjukkan bahwa
π merupakan subgrup fuzzy atas grup πΊ. Perhatikan bahwa diketahui π β π β π,
sehingga untuk setiap π₯, π¦ β πΊ berlaku π(π₯π¦β1) β₯ (π β π)(π₯π¦β1) =
πππ{π(π₯), π(π¦β1) = πππ{π(π₯), πβ1(π¦)}}. Sementara itu, karena πβ1 = π maka
πβ1(π¦) = π(π¦), sehingga π(π₯π¦β1) β₯ πππ{π(π₯), π(π¦)}. Jadi π memenuhi syarat 1
dan 2 subgrup fuzzy atas grup πΊ. Dapat disimpulkan bahwa π merupakan subgrup
fuzzy atas grup πΊ. β
IV. KESIMPULAN DAN SARAN
Subgrup fuzzy atas suatu grup πΊ dapat dibentuk melalui subhimpunan fuzzy
atas grup πΊ. Syarat cukup dan perlu dari suatu subhimpunan fuzzy merupakan
subgrup fuzzy adalah nilai keanggotaan dari hasil kali dari sembarang elemen dan
sembarang invers elemen pada grup πΊ selalu lebih dari atau sama dengan minimum
dari nilai keanggotaan kedua elemen πΊ tersebut. Selain itu, syarat cukup dan perlu
lainnya adalah hasil kali sembarang subhimpunan fuzzy selalu termuat dalam
subhimpunan fuzzy tersebut, dan invers dari sembarang subhimpunan fuzzy adalah
himpunan fuzzy itu sendiri.
Penelitian lebih lanjut dapat dilakukan pada pembentukan subgrup fuzzy
normal dan sifat-sifat yang terkait.
44 Fatkhur Rozi, dkk.
V. DAFTAR PUSTAKA
Fraleigh, J.B., 2002. A First Course in Abstract Algebra, 7 rd Edition. New York:
Addison-Wesley Publising Company.
Judson, T.W., 2011. Abstract Algebra Theory and Application. Amerika Serikat:
Virginia Commonwealth University Mathematics.
Mordeson, J.N dan Malik, D.S. 2002. Fuzzy Automata and Languages Theory and
Applications. Amerika Serikat: Chapman & Hall/CRC.
Mordeson, J.N, Bhutani, K.R, dan Rosenfeld, A., 2005. Fuzzy Groups Theory. New
York: Springer Berlin Heidelberg.
Lee, K.H. 2005. First Course on Fuzzy Theory and Applications. Spinger-Verlag
Berlin Heidelberg.
Mufidah, A.S., 2011. Ruang Vektor Fuzzy dari Matriks Fuzzy m n . Skripsi. Malang:
Jurusan Matematika, Universitas Islam Negeri Malik Ibrahim.