Sterkte en vervormingseigenschappen van pijpleidingen indiep waterCitation for published version (APA):Winter, de, P. E. (1980). Sterkte en vervormingseigenschappen van pijpleidingen in diep water: eindrapportagevan de eerste fase van MaTS project PL-3. Technische Universiteit Eindhoven.

Document status and date:Gepubliceerd: 01/01/1980

Document Version:Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can beimportant differences between the submitted version and the official published version of record. Peopleinterested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit theDOI to the publisher's website.• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and pagenumbers.Link to publication

General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.

• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain • You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, pleasefollow below link for the End User Agreement:www.tue.nl/taverne

Take down policyIf you believe that this document breaches copyright please contact us at:openaccess@tue.nlproviding details and we will investigate your claim.

Download date: 12. Aug. 2021

RAPPORT NR.: B-80-59/63.6.0585 -----------------------------STERKTE EN VERVORMINGSEIGENSCHAPPEN VAN

PIJPLEIDINGEN IN DIEP WATER

MaTS MARIEN TECHNOLOGISCH SPEURWERK

Netherlands Marine Technological Research

r

STERKTE EN VERVOR.~INGSEIGENSCHAPPEN

VAN PIJPLEIDINGEN IN DIEP WATER

L '_J

Industriële Raad voor de Oceanologie Netherlands lndustrial Council for Oceanology

- 1 -

VOORWOORD

In het kader van het MaTS-onderzoek programma is aan het Instituut TNO

voor Bouwmaterialen en Bouwconstructies opdracht verleend om een eerste

fase uit te voeren van een onderzoek naar de sterkte~ en ver'\l'ormings­

eigenschappen van pijpleidingen, belast op combinaties van buiging, uit­

wendige waterdruk en normaal.kracht (Ma'l!S-PL3).

Het programma voor deze eerste fase omvatte:

I ..Een inventarisatie van de aanwezige kennis

II Enig theoretisch onderzoek

III Enige oriënterende proeven

IV Rapportage

De resultaten van II en III zijn in dit rapport vermeld. De resuJ.taten

van I zijn in een __ apart rapport opgenomen (B-80-60/63.6.0585).

Het theoretische gedeelte van het onderzoek, gepresenteerd in dit rapport,

omvat de afleiding van de basisvergelijkingen die ten grondslag liggen

aan het rekenmodel dat de vervorming van een buisdoorsnede beschrijft.

voorts is in dit rapport een uitwerking van deze basisve.rqelijkingen

gegeven voor de afzonderlijke gevallen uitwendige druk en zuivere buiging.

In de tweede fase van het onderzoek zal het rekenmodel worden uitgewerkt

voor het gecombineerde belastinqgeval buiging ·plus uitwendige waterdruk

en axiale normaalkracht.

Bet onderzoek is uitgevoerd binnen een samenwerkingsverband tussen het

IBBC-TNO, Protech International b.v. en de TH's Delft en Eindhoven. In

de inleiding van dit rapport zijn nadere gegevens o~er dit samenwerkings­

verband en de in samenhang daarmee opgerichte werkgroep ve.rm.eld.

NETHERLANDS MARINE TECHNOLOGICAL RESEARCH

STEERINGGROUP PIPELINES

PROJECT PL-3

- . STERKTE EN VERVORMINGSEIGENSCHAPPEN

VAN PIJPLEIDINGEN IN DIEP WATER

-Eindraportage van de eerste fase van MaTS project PL-3

IBBC Rapport B-80-59/63.6.0585 Januari 1980

Rapporteur: P.E. de Winter

DELFT UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Cepartment of Civil Engineering Stevinweg 4, P. B. 5049. 2600 GA Delft. the Netherlands

EJNOHOVEN UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Oepartment of Building Technology Den Oolech 2. P. B. 513. 5600 MS Eindhoven

. PROTECH INTERNATIONAL bv Genera! Engineers and Consultants Stationsplein 2. P. B.152. 3112 HJ Schiedam

ORGANIZATION FOR INOUSTRIAL RESEARCH TNO lnstitute TNO for Building Materials and Building Structures Lange Kleiweg 5, Rijswijk ( ZH) - P.S. 49. 2600 AA Delft

- 2 -

INHOUD blz.

VOORWOORD 1

NOTATIES 4

1 • . INLEIDING 8

2. SAMENVATTING EN CONCLUSIES 11

3. DRAAGVEBMCGEN VAN EEN CIRKELVOFMIGE DOORSNEDE 1 7

3.1 Draagve.r.nogen bij enkelvormige belasting 17

3.2 Belastingcombinaties 18

3.3 M-K diagrammen voor de belastinqcombinatie buiging + uitwendige druk 20

4. GRONDSLAGEN VAN BET REKENMODEL 24

S. REKENMODEL VOOR UITWENDIGE DRUK 34

6. REKENMODEL VOOR ZUIVERE BUIGING 4 7

6.1 In.leiding 41

6. 2 Spanningsverdeling A SO

6.3 Spanningsverdeling B 65

6.4 Spanningsverdeling C 71

7 • OPZET REKENMODEL VOOR INTERACTIE VOOR BUIGING, UITWENDIGE DRUK EN 76

AXIALE TREK

8.

8.1

8.2

8.3

8.4

9.

EXPERIMENTEEL ONDERZOEK

Proefopstelling

Meetapparatuur

Proefstukken

Uitgevoerde proeven, proefresultaten

BESPREKING PROEFRESULTATEN

79

79

80

85

87

90

10.

- 3 -

LITEP.ATUUR

BIJLAGE 1

Invloed van normaalkracht op de grootte van het volplastische moment

BI.;rLAGE 2

Invloed van de proefopstelling op de krachtsverdeling in het proef stuk

BIJLAGE 3

Buiging van buizen volgens Reissner

BIJLAGE 4

Invloed van hydrostatische druk op het draagve.tmoqen van buizen met

kopstuk

FIGUREN

FOTO'S

blz.

94

NOTATIES

Syml:ool

c

D

d

F

Jl

M n

M ,M o r

- 4 -

Omschrijving

Algemene aanduiding voor een constante

Gemiddelde diameter: D·= D - t u

Nominale waarde van de uit-wendiqe diameter

Gemiddelde breedte van een vierkante blis

Elasticiteitsmodulus

Algemene aanduiding voor normaalkracht

:Rekenwaarde van de vloeik:racht van buisdoorsned.e

Rekenwaarde van de vloeikracht voor rechthoekige doorsnede

Buigtraagheidsmoment

Plástisch buigtraagheidsmoment

stijfheid van de rotatieveren

Lengte

l3uigem moment

l3uigend moment behorend bij spanningsverdelinq A

l3uigend moment behorend bij n.K e

aekenmoment waarbij in de uiterste vezel vloeien optreedtC~2tae)

Rekemioment waarbij in de gehele buisdoorsnede vloeien optreedt

(D2t0' ) e

Euigen:le momenten t.p.v. een buisdoorsnede

B.ligen:l moment per lengte eenheid overgebracht door rotatieveer A

Rekenwaarde van het volplastisch moment van een rechthoekige

doorsnede (per eenheid van len~te)

Dimensie•

L

L

L

-2 .XL

K

K

L

KL

KL

KL

Kî ...

K

K.

* Eenvoudigheidshalve ;.iordt hier de afgeleide dimensie.van kracht met het symbool K

geb:ruikt (K = MLT-2)

Symbool

m

m aa

0

p

p p

Q

R

s

T

t

u

u z

v

w

a.

f3

- 5 -

Omschrijving

Bligend moment in genormeerde vorm (M/M ) . p

Plaatmoment werkend op een vlakje..L. a-as

Oppervlak

Uitwendige hydrostatische druk

Rekenwaarde van de vloeidruk: P ""' 2t0' /D p e

Algemene aanduiding voor volume krachten

Gemiddelde straal van de buisdoorsnede

Afstand

Algemene aanduiding voor uitwendige belasting

wanddikte

Algemene aanduiding voor verplaatsingen

Verplaatsingen in z-richting

Volumen

Doorbuiging c.q. radiale verplaatsing

·Initiële radiale verplaatsing

Factor

ovalisatie hoek

Initiële ovalisatie hoek

Boek die aangeeft tot waar de buisdoorsnede is gevloèid

"( 2 B::>ek die in de trekzone bij buiging aangeeft tot -waar de buis­

door:snede is gevloeid

y3 :Boek die in de drukzone bij bliging aangeeft tot waar de buis-

doorsnede is gevloeid

Variatie teken

ÖF 1 e variatie van F

verschil

Dimensie

KL-2

i\L-3

L

L

-2 Iq,

L

L

L

3 L

L

Rad

Rad

Rad

Rad

Rad

Sll'Dlhool

• e:

e: 0

e:. v

l.;

K

À

p

(J

- 6 -

omschrijving

Relatieve rek

Reksnelheid

Relatieve rek in de m.iddendoorsnede in axiale richting

Relatieve rek in de ui te:rstè vezel aan bovenzijde bij l::uiging

Relatieve rek bij het bereiken van a : e: = cr /E e e e

Relatieve rek in de uiterste vezel aan onderzijde bij buiging

Relatieve rek 11'8.arna versteviging optreedt (]

Relatieve spanning in axiale richting: l; = cra e

Relatieve spanning in de uiterste vezel als de buis nog niet is

gevloeid

Relatieve vloeispanning in de trek.zone

Relatieve vloeispanning in de drukzone

Hoek

Kromming 20

Rekenkromm.ing waarbij juist de vloeigrens wordt bereikt: K =·__!. ·~ e E.O

Factor

Dwarscontractiecoëff iciënt

Hoek

Factor

Algemene aanduiding voor spanning

Spanning in axiale richting

Breukspanning

Spanning waarbij de vervonninqscapaciteit wordt bereikt

Spanning in de drukzone bij buiging

Rekenwaarde voor de vloeispanning (gemeten)

Spanning in omtreksrichting

at Spanning in de trek.zone bij b.liginq

Dimensie

Rad

l<L-2

!Q:1-2

KL-2

KL-2

KL-2

KL-2

-2 KL

- 7 -

Symbool Omschrijving Dimensie

. crr T Relatieve spanning in omtreksrichting i.' = cr -

e T Relatieve rekenspanning in omtreksrichting bij uitwendige druk:

0 = @__ T -

0 2tcr e 4> Hoek Rad

x Relatieve spanningvermindering bij ontlasten -w Factor -

- 8 -

1 • INLEIDING

In toenemende mate worden energiebronnen in de zeebodem gezocht

en gevonden. Voor het transport van olie en gas worden over kortere

of langere afstanden pijpleidingen op de zeebodem geïnstalleerd.

Vaak gebeurt dit door op een werkschip de pijpleiding deel voor

deel aan elkaar te lassen en tegelijkertijd de pijpleiding vanaf .

het schip op de zeebodem te laten zakken door het legschip naar

voren te verhalen. De positie van het legschip wordt gefixeerd

door ankers.

fig. 1

Om van het schip op de zeebodem te geraken ondergaat de leiding

buigve.rvo:.r:l'ilingen. Deze buigvervormingen (krommingen) zijn het

grootst nabij schip en bodem. Om de kromming bij het schip onder

controle te houden wordt vaak een ondersteuningsconstructie

(stinger) aan het werkschip gebouwd. De kromming nabij de

zeebodem kan men beperken door op de buis trekkracht uit te oefenen.

- 9 -

Het voorgaande betekent dat bij de installatie een aantal

belastingen op de leiding werkzaamis. De belangrijkste hiervan

zijn buigende momenten, treknormaalkracht en de waterdruk.

Deze belastingen zijn langs de pijpleiding wisselend van

samenstelling. Met de diepte neemt de waterdrUk toe, de

trekkracht (door eigen gewicht) af en wisselt het buigend

moment van richting. Door de grote overspanning en de relatief

geringe buigstijfheid worden de vervormingen van de pijpleiding

in belangrijke mate bepaald door de grootte van de treknormaalkracht. Er

is sprake van geometrisch-niet lineair gedrag {de krachtsverdeling wordt

beinvloed door de vervorming). Een juist inzicht in de stijfheids-, sterkte

en vervormingseigenschappen en de veranderingen die de waterdruk

in deze eigenschappen teweeg brengt is noodzakelijk om

het gedrag van de p~jpleiding goed te kunnen beschrijven.

p = 0

M

vervormingscapaciteit

kromming

fig. 2

Bij het leggen van pijpleidingen en ook tijdens de levensduur

(denk aan ontgronding) is vooral de kromm.ing die de leiding

op veilige wijze kan opnemen (vervormingscapaciteit) van groot

beläng. De vervormingscapaciteit wordt begrensd, enerzijds door

het optreden van grote vervormingen (plooien) en anderzijds wanneer

in het buis- of lasmateriaal scheurvorming optreedt.

In beide gevallen is de transportfunctie aangetast en moeten

reparaties worden uitgevoerd.

- 10 -

Door constructieve maatregelen zoals vergroten van de

wanddikte, het verzwaren van de eisen t.a.v. de materiaal­

taaiheid en de toelaatbaarheid van lasfouten, kan de kans

op noodzakelijke reparaties worden verkleind. Ook valt te denken

aan het opvoeren van de eisen t.a.v. stabiliteit waaraan het

werkschip moet voldoen. Deze maatregelen hebben tot gevolg

dat de kans op calamiteiten wordt verkleind en daarmee

de J:e v:erwachten reparatiekosten -en eventuele bedrijfs­

verliezen als gevolg van het niet beschikbaar zijn van de leiding.

Aan de andere kant moet worden bedacht dat genoemde maatregelen

een verhoging van de aanlegkosten met zich meebrengen.

Een economisch optimaal ontwerp wordt verkregen wanneer de som van

alle kosten een minimum vormt. (aanlegkosten, reparatiekosten, onder­

houd, levensduur enz. ) • overigens moet bedacht worden dan andere

overwegingen (b.v. milieu eisen) aanleiding kunnen zijn om de kans

op het optreden van calamiteiten kleiner te doen zijn dan het eco­

nomisch optimum.

In onderstaande grafiek is een en ander op qualitatieve wijze weergegeven.

-------­.. -·---------------- -----"·-·

~' som van aanleg en reparatiekosten

kosten •' en bedrijfsverliezen ~ --~ _" ...... ·1·-- i

t.g.v. b.v. milieu eisen

l reparatiekosten en bedrijfsverliezen ·economisch optimum

constructieve maatregelen

fig. 3

- 11 -

Om tot een optimaal ontwerp te geraken is een goed inzicht nodig

in het gedrag van pijpleidingen onder de aangeduide omstandig-

heden. Het mechanisch gedrag van de pijpleiding ·kan worden beschreven

met de toegepaste mechanica. Hierbij kan onderscheid worden ge-

maakt tussen berekeningsmethoden volgens de-elasticiteitsleer en

berekenings~ethoden volgens de plastic~teitsleer. Berekenings-

methoden volgens de elasticiteitsleer schieten te kort om een voll~dig

beeld te geven van het 'Werkelijk vervormingsgedragvan (dikwandige)

pijpleidingen zoals die op de zeebodem worden geïnstalleerd. Met

behulp van de plasticiteitsleer kan het inzicht in het vervormings­

gedrag en in de grootte van de vervormingscapaciteit -worden uitgebreid.

Voorwaarde is dan wel dat het materiaal waarvan de buis is gemaakt en

de lasverbindingen tussen de buisdelen voldoende taai is. Omdat het

zoeken naar en aanboren van olie- en: gasbronnen zich in toenemende mate

naar dieper water verplaatst, zullen de daar te leggen pijpleidingen een

kleinere diameter/wanddikte verhouding moeten hebben, en bij eenzelfde

diameter dus dikwandiger moeten zijn. Immers de waterdruk wordt groter.

Voorts zullen in dieper: .-water de reparatiekosten snel toenemen, hetgeen

pleit voor het in acht nemen van een grotere veiligheidsmarge en dus

b.v. voor een grotere wanddikte. Bet is van groot economisch belang

hierin een optimum te vinden.

Om de grootte van het draagvermogen en de vervormingscapaciteit te be­

palen, .bij een combinatie van belastingen, is een discreet kinematisch

veermodel ent-worpen. De belangrijkste belasti.!lg'en die tijdens installatie

op een buisleiding werkzaam zijn; buiging, axiale trekkracht en uitwendige

waterdruk, zijn in dit model opgenomen. Omdat het model bedoeld is om de

stijfheidseigenschappen van een stukje buis te beschrijven kon volstaan

worden met de analyse van een ring. Dit betekent dat in axiale richti.!lg'

noch de buiseigenschappen noch de aangebrachte belasting verschilt. Bet

onderzoek is opgezet voor dikwandige bui.zen die gemaakt zijn van staal­

soorten met een duidelijk vloeitraject.

Voor het maken van berekeningen is het

materiaalgedrag geschematiseerd tot een

bi-lineaire spannings .... rek relatie"

Bij het experimentele deel van het onder­

zoek is gebruiLk gemaakt van modelbuizen

(<j> 100, 4 mm). De buitendiameter (100 mm)

- 12 -

is bepaald door de afmetingen van de ter beschikking staande druktank.

De wanddikte is bepaald op ca. 4 mm op grond van een aantal overwegingen.

Buizen met genoemde afmetingen zijn in de handel verkrijgbaar. Voor trans­

portleidingen in diep water wordt in de literatuur gedacht aan buizen met

een diameter wanddikte verl::ouding van D/t = 20 à 30. Tenslotte, van buizen

met genoemde afmetingen ~ijn ook andere resultaten van experimenteel onder­

zpek beschikbaar. Het uitgevoerde proefprogramma is vooral gericht.op de .. invloed, die de waterdruk op grotere diepte (1000 - 2000.m) heeft op het

vervormingsgedrag.

Het onderzoek werd in 1975 gestart door Protech International B.V.

en. is in 1977 voortgezet in een samenwerkingsverband tussen

Protech International, IBBC-TNO, TH-Delft en de TB-Eindhoven.

In het kader van dit onderzoek zijn bij het IBBC-TNO een

aantal proeven uitgevoerd en is een rekenmodel ontwikkeld.

In dit :i;apport zijn de resultaten van het tot nu toe ·.uitgevoerde

onderzoek samengevat.

In een apart rapport zal worden ingegaan op de resultaten van door

anderen verricht onderzoek 141:·

Bet onderzoek wordt gefinancierd door de bijdragen van de leden van ü

het samenwerki.ngsverband en door de MaTS ·-· __ _ Door Protech International is een drukvat ter beschikking gesteld

(bruikl.een, waarde ca. /. 100.000,--). voorts worden door leden van

het samenwerkingsverband bijdragen geleverd in de vorm van uren ten

behoeve van het bestuderen van rapporten, en het stu.:ren en coömineren

~an onderzoek bijdragen e.d.

getallen tussen 110!.verwijzen naar de literatuurlijst in hoofdstuk

van dit rapport.

Marien Technologisch Speurwerk.

- 13 -

Ten behoeve van het onderzoek is een werkgroep opgericht met leden

namens het samenwerkingsverband en leden namens de MaTS (voor de

MaTS: staatstoezicht op de mijnen). Ten tijde van publicatie van

dit rapport hadden hierin zitting de heren:

!r. s.c. Baagsma (voorzitter)

1r. J.P.C. van Blaricum

M. Bronneberg

:tr. A.M. Gresnigt (secretaris)

Ir. J". v.d. Ploeg

Prof •. Dr. Ir. :s:. Rutten

!r. J.W.B. Stark

Dr. Ir. J. Strating

P.E. de Winter

Prof. Ir. J. Witteveen

- Protech International.

- staatstoezicht op de mijnen

- TH-Eindhoven

- IBBC-TNO

- TH-Eindhoven

- TH-Eindhoven

- IBBC-TNO

- Protech International

- IBBC-TNO

_ TB-Delft

- 14 -

2. SAMENVATl'ING EN CONCLUSIES

In toenemende mate worden energiebronnen onder de zeebodem gezocht en

gevonden. Voor het transport van olie en gas worden over kortere of

langere afstanden pijpleidingen op de zeebodem gelegd. Tijdens het

leggen. wox:den,d.e leidingen belast op combinaties van buiging, uitwendige

waterdruk en· normaalkracht. OOk tijdens het eventueel begraven van.

de leiding en gedurende de verdere levensduur (b.v. bij een zogenaamde

vrije overspanning) kunnen deze belastingcombinaties optreden.

omdat koolwaterstoffen in steedsgroterewaterdiepten worden gezocht en

gevonden, zal de invloed van de waterdruk in de toekomst steeds belang­

rijker worden.

Een juist inzicht in de stijfheids~, sterkte- en vervormingseigenschappen

en de veranderingen die de waterdruk in deze eigenschappen teweeq brengt

is noodzakelijk om het gedrag van de pijpleiding goed te kunnen beschrij­

ven. Hierbij is vooral de kromming die de leiding op veilige wijze kan

opnemen (vervormingscapaciteit ) van groot belang. De vervormingscapaci­

teit wordt begrensd, enerzijds door het optreden van grote vervormingen

(plooien) en anderzijds wanneer in het b:l.is- of lasmateriaal scheurvorming

optreedt.

In de eerste fase van het onderhavige proj~ct MaTS-PL3 is een discreet

kinematisch veermodel (een zgn. Shanley model) ontwikkeld, dat drie v:c~j­

heidsqraden van vervorming kent. Deze ve::i::vormingen zijn: ovalisatie,

kromming en axiale rek. Het model is ook geschikt om initiële onrondheid

van de buis in de berekening te betrekken. Volledige rekenkundige uit­

werking van dit model is beperkt gebleven tot de belastinggevallen uit­

wendige druk en zuivere buiging. Ter verificatie van de resultaten van

het rekenmodel voor zuivere buiging zijn twee proeven uitgevoerd. De

resultaten van het rekenmodel voor uitwendige druk werden vergele.l<:en met

de resultaten van enige eerder door Protech International B.V. uitgevoerde

proeven.

- 15 -

Ook is een aanzet gemaakt voor het rekenmodel voor het gecombineerde

belastinggeval buiging + uitwendige overdruk + axiale normaalkracht.

Om steun te hebben bij de. modelvorming voor dit rekenmodel en om te

zijner tijd de resultaten van het rekenmodel te kunnen verifieren zijn

een viertal proeven met de belastingcombinatie buiging + uitwendige ' druk uitegevoerd.

De belangrijkste conclusies die uit deze eerste fase van het onderzoek

naar voren komen zijn:

a De ontwikkelde kinematische rekenmodellen voor uitwendige druk en

zuivere buiging zijn in goede overeenstemming met da.beschikbare

proefrestultaten. In het bijzonder is hierbij van belang de moge­

lijkheid die het rekenmodel biedt om de kromming waarbij instabiele

ovalisatie optreedt te berekenen. Een dergelijk.xekenmodel is tot

nu toe nog niet bekend.

b Verwacht mag worden dat met het te ontwikkelen rekenmodel voor het

gecombineerde belastinqgeval buiging + uitwendige druk + axiale n.or­

maalkracht (tweede en volgende fasen van het project} het gedrag van

pijpleidingen bij de genoemde belastingcombinatie goed zal kunnen

worden beschreven; een en ander inclusief de kwantificering van de

invloed van alle relevante parameters op de kromming waarbij plooien

optreedt. De bedoelde parameters zijn onder meer: de uitwendige druk,

de axiale normaalkracht, de diameter/wanddikteverhouding, de onrond­

heid en de materiaalkarakteristieken (b.v. a ). e

~ Met betrekking tot het veryormingsgedraq en het bezwijkbedrag kunnen

de volgende opmerkingen worden gemaakt.

De invloed van de initiële onrondheid is groot

- Naarmate de diameter-wanddikte verhouding afneemt is de relatieve

plooikromming groter.

- Na.armate.de.v:loeispanning van het buismateriaal hoger wordt, is de

relatieve plooikromming kleiner.

- Bij de belastingcombinatie buiging-uitwendige overdruk is in diep

water de bezwijk.vorm dezelfde als bij uitwendige overdruk alleen

- Naarmate de uitwendige druk groter is is de ovalisatie bij de belas­

tingcombinatie buiging-uitwendige overdruk juist vóór het moment van

bezwijken kleiner.

- 16 -

- In de gebruikte proefopstelling is het momentenverloop over het

proefstuk behalve van de (buiten het druk.vat) aangebrachte krachten,

ook afhankelijk van de grootte van de druk en de doorbuiging van het

proefstuk. Dit vergt een soms nogal gecompliceerde.be~ekening om in

de meetsectie het werkelijk optredend buigend moment te bepalen.

r..

- 17 -

3. DRAAGVERMOGEN VAN EEN CIRJ:!!ELVORMIGE DOORSNEDE

In dit hoofdstuk zullen we ons beperken tot een buis met een zuiver

cirkelvormige doorsnede. Aangenomen wordt dat de cirkelvorm, ondanks

de aangebrachte belastingen, behouden blijft. Deze benadering

van de werkelijkheid is goed bruikbaar als bovengrens voor het

draagvermogen. Om de berekeningen niet te moeilijk te maken

beschrijven we de buis met de gemiddelde straal (R) en_de wand­

dikte t (met gemiddelde straal wordt bedoeld de helft van het

gemiddelde van binnen en buiten dian:ater). Gerekend wordt met

een bi-lineair cr-€ diagram. Voor de combinatie van (vloei)spanningen

zullen we het vloeicr±terium van Buber Hencky gebruiken.

3.1 Draagvermogen bij enkelvoudige belasting

...

Eerst zullen we bepalen wat de bezwijklast is t.g.v. één belasting;

öf trek öf buiging of uitwendige druk.

De buis zal bezwijken als in axiale

' 6 ... F, richting in de hele doorsnede vloeien

optreedt.

8 ~ F = 21TRtcr -p e

tir (_4 ----~ ~ M, Het maximale moment zal optreden

bij volledig vloeien van de door­

snede

M p

M p a . Rsin<j>t. Rd<j> e

t t r

(

p = p

3.2 Belastingcombinaties 2 >

- 18 -

tO' e R

De maximale druk zal optreden

als de ringspanning de vloei­

grens bereikt.*> _p R

cr. = _g_ = -cr r t e

..

we zullen nu nagaan welke belasting combinaties maxim.aal opgenomen

.kunnen worden.

F +-tw.-Ó ___ -_6~ f r1 t1

'IT

De buis zal weer bezwijken door

het volledig vloeien van de door­

snede. Een deel van de buiswand

neemt het moment op, een ander

deel de trek- (of druk) kracht • ~----r:r = --- EJ . t1 f M = 4

2J O' e .Rsin$. t.Rd</> = y

(J tBd</> e

cos c: ~ ) = 0 p

= 4Rt0' .y e

(grafische weergave fig. 1 )

Bet optreden van vloeien wordt

nu bepaald door spanningen die

in twee richtingen werken, nl.

de ringspanning (O'r) veroorzaakt

door uitwendige druk en de axiale

spanning (<J ) door de trekkracht F. a

~).Er wordt op gewezen, dat in dit hoofdstuk ervan uitgegaan is dat de hydro­

statische druk geen spanning in axiale richting veroorzaakt. In het algemeen

is dit echter wel het ge,7al. In bijlage 4 zijn de betrekkingen voor de diverse be­

lastingen en belastingcombinaties voor de situatie met spanning in axiale richting

t.g.v. hydrostatische_ druk weergegeven.

~

- 19 -

()Q, 2 Buber Bencky: 0 r

pR cr = - (j = r t a

2 2 + 0 - 0 cr = cr a r a e

F 21TRt

{grafische weergave fig. 1 >.

Door de aanwezige ringspanning dr

kan __ de absolute grootte van

trek en drukspanning bij vloeien

verschillen. De grootte van trek

en drukspanning kan m.b.v. het

vloeicriterium van Buber aencky

worden bepaald.

0 2 2 2 - CJ 0 + 0 - CJ = 0 a r a r e

~cr + ~~cr 2 30 2

(j = (J = -ai t r e r

cra~ = 0 = ~a - ~ho 2-- 30

2 d r e ::r 2

C1 = - pR r t

Er is geen resulterende trek of

drukkracht.

(1T+2y).Rt.crt +(1T-2y).Rt.crd = o

y =

De spanningen cr t en cr d maken evenwicht me.t het buigend moment M

2 / 2 2' M = 2R.: .t 4cr -30 cos y e r

/ 2' ~ ' 4-3 c:) cos p

'!f(~) f Pp )=O

214-3(: /f' ·p

(grafische . weergave ~ig. 1 )

- 20 -

3.3 MK diagrammen voor de belasting combinatie buiging + uitwendige druk

\

We hebben nu gekeken naar de lasten die, al of niet in combinatie,

aanleiding tot bezwijken geven.

Navolgend zullen we de vervormingen bekijken, onder aanname dat

de buis cirkelvormig is en blijft. De berekeningen worden beperkt

tot het belastinggeval uitwendige druk + buiging. om schrijfwerk

te besparen zijn alle spanningen gedeeld door de vloeispanning waardoor

m.b.t. de spanningen dimensieloze grootheden ontstaan. De resultaten

van de berekening zijn weergegeven in grafiek.

c

De uitwendige druk P levert een

ringspanning cr : r

(J r

= - .2! t

Door.te delen door cre ontstaàt de ~ dimensieloze grootheid L

0:

1" 0 =~

tcr e Door de aanwezige ringspanning kan

de maximale trek en druk spanning

verschillen.

cr = ~(cr - ~ce2 d r

2' 30" )

r

(trek)

(druk)

In dimensieloze vorm:

l;­t

c

{trek}

(druk)

In het MK diagram zijn

drie stukken aan te

geven waar de axiale

s~anningsverdeling

verschillend is.

• ~ met L wordt niet een schuifspanning bedoeld ~aar de normaal­o

spanning (dimensieloos) in tangentiële richting.

3.3.1 Spanningsverdeling A --------------------

In dimensieloze vorm:

I~ 1f A

1

= - 1; 4

- 21 -

2 .... M ='ITR tl;.O'

e .... b.cr e

K = -­ER

De rekenresultaten zijn weergeven

K ""

1

= ç K e

In de uiterste vezel Wordt de vloeigrens bereikt als:

in figuur 2

3.3.2 Spanningsverdeling B --------------------

2!.<i:p<y 2- -

- 22 -

z;l =z;t

Geen resa..lterer.ide trek- of drukkracht:

'[

Er is geen resulterende trek of

drukkracht.

Uit het evenwicht tussen trek en

druk kan de relatie tussen de hoek

y en de drukspanning 'Ç 0

worden be­

paald.

y 2. R. t. cr e : · { 'IT!

-2 1';2d4> +

2 J c;1 àcf>} = 0 y

ofwel

r - - - -" -:---1'r - - - - - - - - - -1 1 (y- 2) siny + cosy - 7T 1 /

2 1 z; = r 1 r > = 12 C'r

0 - 4-31'

0 ) (= l;d) o 'TT • • 'tl "'o _ 1 (y+ 2) siny + cosy 1

\_ - - - - ..... - - - - - - - - - - ..J De hoek y is niet expliciet in z;

0 on ë;t uit te drukken

De axiale spanningen maken evenwicht met het buigend moment M.

il' y

M = 2 j Rdi:j> • .t Rsin<P. 52ae:,+ 2

- 1L 2

- JRd<Pt R sin <P z;1

cr9

y

opp arm spanning

M = 4R2 tO' P e

M -= M

p

îf cz;t - t;

0) ~ CY + 2 + sin y cos y)

4 (1 + sin y)

en de bijbehorende kromming:

K =

K

1T E (y) - E: (- 2> R siny + R

-= K

e

ç - z; t 0 = ~----...,...------...,.-

R • E (1 + siny}

De rekenresu.ltaten zijn weer­

gegeven in figuur 2

- 23 -

z;;t

~

< <t> < .! 7.;1 r; = ~ Y2 = -2 t

Uit het eYenwicht tussen

trek en druk kan de

relatie tussen de hoeken

1 2 en y 3 worden bepaald.

(T + ~ 2 - 3T )

0 0

(sin 4>

Y3 ,;_ cp ,;_ Y2 z;;2 = z;; t+ (l;t - 7.;d) x - sin y 2>

(sin y2 - sin y3)

'IT ,;. et> ,;. y 3 t;3 = z;d = ~ (T ~ 3T

2) -2 0 0

Evenwicht: ofwel

r-------- ---------- -----------, f ITT ITT l 1 cos Y 2 + (y 2 - A 0

2) sin y 2 = cos y 3 + (y 3 - /. 0

2 ) sin y 3 i 1 4 - 3T 4 - 3T 1 ._ -- - - - - - - - - .2 - - - - - - - - - - - - - - - o_ - - - - _,

De berekening van buigend moment en kromming gaat op dezelfde wijze

als voor spanningsverdeling B.

Voor het buigend moment M volgt:

M -= M

p

(y2 - y3 + ~ sin 2y2 - ~ sin 2y3)

4 (sin y 2 - sin 1 3>

Voor de bijbehorende kromming volgt:

K -= K e

~ - 3T 2

0 De rekenresultaten zijn weergegeven in figuur 2

Het volplastische moment wordt bereikt bij de limietovergang van y2 en y3 naar:

T 'IT 0

Y. = - 2 h - 31" 2 0

I

- 24 -

4. GRONDSLAGEN REKENMODEL

In het vorige hoofdstuk is uitgebreid de volplastische spannings­

toestand van een zuiver cirkelvormige doorsnede besproken.

Het zuiver cirkelvormig .blijven is een schematisering die zich

in werkelijkheid niet zal voordoen. Ook dikwandige buizen

ovaliseren onder buiging en uitwendige druk, zij het zeer weinig,

Een andere, zeer reële mogelijkheid is, dat de buis bi.itieël

niet zuiver cirkelvormig is. Voordat enige belasting op de buis is

aangebracht is er al sprake van ovaliteit. Bij onderzoek naar de

stabiliteit van op druk belaste staven is gebleken dat imperfecties

(het niet cirkelvormig zijn is ook een imperfectie) van grote

invloed zijn op het vervor.mingsgedrag. Bij buizen is de imperfectie

gevoeligheid vaak nog groter. Het is dus zeker nuttig om een idee

te hebben van de grootte van de invloed die de initiële vormafwijkingen

op de bezwijklast of op de vervormingscapaciteit hebben. Zoals

in de inleiding al is gebleken richt de belangstelling zich vooral

op de vervormingscapaciteit van dikwandige buizen. Een uitvloeisel

hiervan is dat rekening gehouden moet worden met het optreden

van plastische rekken.

In ieder geval moeten de spanningen in de vervormde toestand aan

het evenwicht voldoen. Het evenwicht wordt beschreven met behulp

van het principe van virtuele arbeid. De evenwichtsvergelijking

wordt geformuleerd als een integraal vergelijking, in de literatuur l 2j vaak genoemd de virtuele arbeidsvergelijking. Voor de afleiding van

deze vergelijking is gebruik gemaakt van d~ statische vergelijkingen

(evenwichtsvergelijkingen) en van de k±nematische vergelijkingen

(verband tussen verplaatsing en rek). Bij de afleiding van deze

vergelijking zijn de constitutieve vergelijkingen (verband tussen

spanning en rek) niet gebruikt. Dit betekent dat deze integraal geldig

is in zowel het elastische als plastische stadium. Voor geometrisch­

niet lineaire berekeningen wordt de voorwaarde gesteld dat de

belasting qua grootte en richting constant is.

- 25 -

/Il Qi ó µi dV = 0 l virtuele arbeidsvergelijking

In deze formule hebben de gebruikte symbolen de volgende

betekenis:

(] spanning

e; rek

v volume

T uitwendige krachten

µ verplaatsingen

0 oppervlak

Q volume krachten

0 virtuele verand.ering

Doelstelling van het onderzoek is het bepalen van de sterkte

en ~ervoDlli.ngseigenschappen van een buisdoorsnede. Dit betekent dat

voorlopig volstaan kan worden lllet het bestuderen van de eigenschappen

van een stukje buis; dus niet een gehele buisleiding zoals die b.v.

ge!nstalleerd wordt. Dit laatste kan pas vebeuren als het vervormings­

gedrag van een buisdoorsnede bekend is.·

Verwacht mag worden dat de volumekrachten (massa) van een stukje

buis klein zijn ten opzichte vandeuitwendig_aangrijpende belastingen.

De volume kracht Qi wordt nu verder verwaarloosd.

Aangenomen wordt dat de eigenschappen van een buis in lengterichting

maar weinig zullen variëren. Verondersteld wordt nu bij de verdere

afleiding dat diameter, wanddikte, materiaaleigenschappen enz. in lengte­

richting van de buis constant van grootte zijn.

Als nu ook de spannings- en de rektoestand in lengterichting constant zijn

kan de integraalvergelijking in orde worden verlaagd. Dit heeft wel een

aantal belangrijke consequenties; de krachten en de vervormingen die op

de buiswerkcn c.q. die de buis ondergaat zijn constant over de lengte;

f>.Lä.ä:tseliJ.K: plooien kan dan niet oecr ,.,orden beschreven. De ou1:::; .1.1::1.1uceert

dan tot een ring die echter wel vervormings mogelijk.~eden in axiale richting bezit.

- 26 -

De mogelijke belastingen (T.) worden beperkt tot het uitwendig l.

buigende moment M, de axiale trekkracht F en de (water)druk P.

De druk P wordt niet rechtstreeks in de berekening ingevoerd. Dit

wordt gedaan omdat de vloeistofdruk P loodrecht op de buiswand

blijf werken en bij een virtuele vormverandering van de buiswand

dus ook van richting verandert. De berekening voor de gehele buis­

omtrek wordt dan erg moeilijk. Daarom wordt er een tussenstap via

een druktank met zuiger gemaakt.

De uitwendige druk P wordt veroorzaakt door een (lijn) drukkracht

F d die op een zuiger (oppervlak R.x b) werkt. Verondersteld is dat

het drukoverbr.engertd meqi.1).Ill volkomen onsamendrukbaar is en dat de

zuiger, die volkomen star is wrijvinqsloos kan verplaatsen. Ook is

aangenomen dat verplaatsingen van de zuiger alleen samenhangen met

vervormingen van de buisdoorsnede· en niet met vervo:cmingen

in lengte richting.

De integraal kan dan geschreven worden als:

0

1-- - J:> ___ -{

l( .Je êJ . .') w ..... __ ,... M 1·1 --------

f +--c::::::========:::i - f -­v

____ .2._ ________ _

"

+ 2Fêu a

b breedte van de zuiger

verplaatsing van

uitwendige druk

de zuiger Fd

p =-b

e hoekverdraaiing uiteinden van

de buis

M uitwendig moment

ua verplaatsing in axiale richting

F axiale trek of drukkracht

Fd lijn drukkracht op de zuiger

U..,j

I

-------·------·---./-

- 27 -

De eerste term van het rechter­

lid wordt nu omgewerkt tot een

term waarin de druk P voorkomt.

De te:c:m b.êud geeft de verandering van oppervlak van de tank­

doorsnede aan (breedte '2 virtuele verplaatsing) • Omdat aangenomen

is dat het drukoverbuigend 1!ledium vokomen onsamendrukbaar is, is

dit tevens de verandering in oppervlak tussen de nieuwe en de

oorspronkelijke buisdoorsnede.

O oppervlak buisdoorsnede

Er is gesteld dat de optredende rekken en de vorm van de doorsnede

in lengte richting overal gelijk zijn; ook de vervormingen zullen

dan gelijk zijn. Kromming en rek in a.Xiale richting zijn konstant.

Er kan volstaan worden met een geometrisch lineaire beschouwing

i.v.m. het 'ringachtige' karakter van de berekening.

- 28 -

~ ~ K = e + oe = ~~ oK

K kromming van de buis

e hoekverdraaiing einden van de buis

e: rek in de middendoorsnede~-in axiale richting ao

u verplaatsing einden van de buis a

De arbeidsintegraal wordt nu geschreven als:

e: do = p1o.o· + M1ÓK + F1ÓE ij · ao

De lengte 1 komt in alle termen voor en mag er

dus uitgedeeld worden. De begrippen buis en ring worden

nu verder uitwisselbaar geacht.

Als we aannemen dat we te maken hebben met een 'dunne'

schaal met een constante dikte t kan de orde van de

integraal in het linker1id verlaagd worden. De spanningen

worden dan vervangen door plaatkrachten en momenten.

J (n1

.êe: .. +m •. o K .. )ds = poo + MóK J l.J 1.J 1.J

+ Fó

s

n pla~tkrachten

m plaatmomenten

E rek in middenvlak

K kromming

krachten per lengte­eenheid.

- 29 -

We onderscheiden de richtingen a ent (axiaal en tangentiaal).

n ö e + 2 n Ö e: + ntt ö e:tt aa aa at at

Het maken van sonnnen met deze formules is nog

te moeilijk; door een sterke schematisering

van het probleem kan de vergelijking vereen­

voudigd worden. In plaats van een buis die

willekeurig kan vervormen concentreren we de

vervorming in enkele punten van de buis.

Ren dergelijk mode.l van de werkelijkheid wordt

een discreet kinematisch nodel scnoe=d. Ook de naam

Shanley cedel wordt wel gebruikt, genoemd naar

de man die als eerste een dergelijke schematisatie ~oor kolommen toepaste.

We beschouwen nu een ring (buis) opgebouwd

uit vier gekromde staven (schalen) die

onderling zijn verbonden door (piano) scharnieren met

rotatieveren. Aangenomen wordt dat de staven (schal.en)

oneindig stijf zijn tegen vervorming in omtreksrich­

ting; alle vervorming is nu geconcentreerd in de

scharnierpunten. Het model moet zich kunnen ver-

zetten tegen ovalisering, daarom worden in de scharnier­

punten rotatieveren aangebracht. De door de rotatie­

veren opgewekte momenten worden gerelateerd aan de

hoekverdraaiing die in de scharnieren is opgetreden. De

termen waarin de vervormingen in omtreksrichting

zijn weergegeven worden vervangen door rotatieveren.

Een gedeelte van de integraal kan dan geschreven worden

als:

/ <2nat 0 e:at + ntt 0 ett + 2mat ° Kat + rett ° Ktt) ds = s

- 30 -

2.l?!.:.. De dimensie van de rotatieveermomenten is N/rad (lijnm.oment),

positief bij weerstand tegen de hoekverdraaiing.

MA = door r~tatieveer A opgewekt moment

2S = hoekverdraaiing die in scharnier optreedt

Aangenomen wordt dat de plaat.momenten in axiale richting

verwaarloosbaar zijn t.o.v. de bijdrage in de integraal

van de andere termen (m = 0) • aa De arbeidsintegraal is nu gereduce~rd tot:

c

J n: os aa aa ds poo + M ê,K + F ö E ao

s

Het k±nematische model laat vervorming toe in axiale richting

(€ ), en in omtreksrichtingde ovalisatie (8). De vergelijking aa kan nog verder vereenvvudigd worden door verband te

leggen tussen kromming (K) eh rek (E ) • Aangenomen wordt dat a de opgetreden rek lineair verloopt over de hoogte van de

vervormde buis. Uitgezet over de hoogte van de onvervormde buis

is de rek dan niet-lineair.

a

- 31 -

e: = E (z) = E (o) + K (z + u ) aa aa a z

e:: aa

e:: (o} = e:: a ao

K

rek in axiale richting

rek in middendó.oi:snede

kromming van de buis

z afstand van een punt van de onvervormde

buiswand tot het middenvlak

z +u z afstand van een punt van de (vervormde)

buiswand tot het middenvlak

~ de afstand {z+uz} is alleen variabel m.b.t. f3

l.a variatie

êe: = êe: + (z; + 'IJ ) êK + Kêü aa ao z z

De arbeidsintegraal wordt

ê e: /n ds + êK J (Z ao aa s s

nu:

+ u } . t:i ds +K/n z aa aa s

= pöO + M ê K + F ê E ao

êu ds + z

De inhoudsverandering êo kan, omdat de schaaldelen in omtreks­

richting oneindig stijf gekozen zijn,alleen veroorzaakt worden

doo~dat de buis is geovaliseerd.

dO pÖO = p df3 08

- 32 -

Ook de virtuele verplaatsing êu is alleen z B afhankelijk.

De arbeidsintegraal kan m.b.v. deze substituties

geschreven worden als:

{M- ! (z+u )n ds } êK + {F - f n ds } öe:: + s z aa s aa ao

{p dO _ K f d$ s

du naa d$z ds - 2 (Ma+ ..• + ~)} ö$

Er zijn nu drie vrijheidsgraden t.w.:

s, e:: I K ao

De arbeidsintegraal is geldig voor willekeurige

variatie van de vrijheids graden, zodat de

volgende evenwichts vergelijkingen ontstaan

M= f (z + u ) • n ds z aa

s

K fn aa s

= 0

- 33 -

~: De rotatievee:rmomenten zijn positief bij weerstand tegen een

hoekverdraaiing.

De eerste twee vergelijkingen zijn eenvoudig te herkennen, het uit­

wendig buigend moment M moet in vervormde toestand evenwicht maken

met de inwendige extensieverdeling, hetzelfde geldt voor trekkracht F.

De derde vergelijking is een soort interactieformule voor de

ovalisatie. Er is een relatie tussen ovalisatie en uitwendige druk,

tussen ovalisatie en buiging en tussen ovalisatie en de opgewekte

momenten in de rotatieveren. De derde uitdrukking geeft het

onderlinge verband tussen deze grootheden weer.

Van deze vergelijkingen zal in de volgende hoofdstukken gebruik

worden gemaakt om het vervormingsgedrag te beschrijven van een·

buisdeel waarop genoemde uitwendige belastingen werken. Ond.erstaani

is nogmaals het vervormingsgedrag van het rekenmodel schematisch weer­

gegeven.

\ f I

-

t

In het kader van het oriënterend onderzoek is een buis tot bezwijken

(implosie) belast op uitwendige overdruk. Op foto nr. 12 zijn twee uit

deze buis gezaagde ringen te zien. De voorste ring is gezaagd uit de

zone waarin de buis het meest vervormde (midden) , de achterste rinq is

gezaagd uit de z5ne waarin praktisch geen vervorming heeft plaatsgehad

(nabij onvervormbaar kopstuk) • De plaatsen waar sterke buigvervormingen

zijn optreden zijn dezelfden als de plaatsen waar __ in het rekenmodel de

scharnieren met rotatieveren zijn gesitueerd.

- 34 -

5. REKENMODEL VOOR UITWENDIGE DRUK

Een zuiver cirkelvormige buis zal onder uitwendige druk zuiver cirkel­

vormig blijven. Als de druk wordt opgevoerd zal de buis op een gegeven

moment bezwijken. (plooien)

Er zijn nu twee gevallen te onderscheiden; de door de uitwendige druk

opgewekte ringspanning is kleiner dan de vloeispanning bij bezwijKen

of de opgewekte ringspanning is gelijk aan de vloeispanning.

1) IJ Et2

=--er 4R

2

2) IJ = IJ er e

De overgang van de ene bezwijkvorm (elastisch)

naar de andere (plastisch) volgt uit gelijk­

stelling van deze betrekkingen.

2 5 2 voor een vloeispanning van 240 N/mm (E = 2,1 10 N/mm} gebeurt dit

bij R/t ~ 15 ofwel D/t ~ 30. voor een vloeispanning van 360 N/mm2 volgt

D/t :::: 24.

Bij een zuiver cirkelvormige buis treedt plooien zeer plotseling op, d.w.z.

zonder dat vooraf onrond worden van de buis wordt waargenomen. Bij een niet

zuiver cirkelvormige buis kan wel worden waargenomen dat de onrondheid van

de buis toeneemt voordat plooien optreedt.

In het vorige hoofdstuk zijn een drietal evenwichtsvergelijkingen afge­

leid, waarin de ovalisatie van een buis, in geschematiseerde vorm is

meegenomen. In dit hoofdstuk wordt een concreet geval nader uitgewerkt.

De belasting op het beschouwde buisdeel zal echter beperkt blijven tot

zuiver uitwendige druk.

5.3

- 35 -

In geval van zuiver uitwendige druk kan voor de in hoofdstuk 4 afgeleide

evenwichtsvergelijkingen worden geschreven:

. F = sJ n ds = O aa

Aan de eerste twee vergelijkingen kan worden voldaan door te veronder­

stellen dat de buis in axial~ richting spanningsloos is. (n = 0}. De aa derde vergelijking reduceert nu tot:

voordat met de uitwerking van deze vergelijking kan worden begonnen

moet eerst de plaats van de rotatieveren en de karakteristiek die deze

veren hebben nader worden bepaald.

Rotatieveren

Als de buis ovaliseert ontstaan buigspanningen in omtreksrichting.

De maximale buigspanningen zijn te

vinden op de hoofdassen. Het ligt

daarom voor de hand om de schar­

nieren met de rotatieveren op de

hoofdassen te kiezen.

De stijfheid tegen ovalisatie is geheel

geconcentreerd gedacht in de ratatie­

veren. Om:lat de ring bij voortgaande ava­

lisa tie vloeit en tenslotte plastificeert

wordt voor de rotatieveren een elastoplas­

tische veerkarakteristiek gekozen. De mate

van ovalisatie wordt weergegeven met de

hoekverdraaiing e die de gekromde staven

(AC, AD, CB, DB) t.o.v. de hoofdassen

ondergaan.

A

c

•• +:-

A

. • .:.+ • :B

••

B

- 36 -

De hoekverdraaiing is in de vier

hoekpunten even groot zodat de

totale hoek.verdraaiing die de

staven t.o.v. elkaar ondergaan

2$ bedraagt. Het door de rota­

tieveren opgewekte moment bedraagt

dan (elastisch) :

M in rotatieveer opgewekt moment

k stijfheid rotatieveer

a hoek.verdraaiing t.o.v. midden­

doorsnede

initiële hoek.verdraaiing.

ÀM p

D

De variabele S karakteriseert hierbij de initiële onrondheid van de buis. 0

Aangenomen wordt dat in de begintoestand ($. ) de buis spanninqvrij is. Bij 0

verdergaande ovalisatie kan het door de rotatieveren opgewekte moment

tenslotte niet meer toenemen, het opgewekte moment is dan:

M == ÀMp

M in rotatieveer opgewekt moment

M volplastisch moment v.e. rechthoekige dsn. (~t2a ) P e

t wanddikte

cre vloeispanning

À reductie coëfficiënt t.g.v. spanningen werkend in tangentiale

richting en (indien aanwezig) axiale richting (bijlage 3)

Er is sprake van symmetrie;daarom mag verondersteld

worden dat de veermomenten MA en ~ resp. Me en ~

gelijk zijn. Er zijn nu voorlopig drie gevallen te

onderscheiden voor wat de~rotatieveren betreft.

1

2

2

1

- 37 -

1) MA,B =Ml = 2kl (13-130)

elastische fase (tak 1)

MC,D = M2 ... 2k2 <8- §>

2) M'1 = >..1 'MP elastoplastische fase (tak 2}

M'2 = 2k2 <S-60

)

3) 'Ml = \Mp plastische fase (tak 3)

- À 2~ M2 =

De veerstijfheden k1 en k2 zullen zó worden bepaald dat het geometrisch niet

lineair elastiseh vervarmingsgedrag van het kinematisch rekenmodel en het ge­

drag van een initieël niet ronde ring gelijk zijn.

De reductiecoëfficiënt À wordt bepaald door de grootte van de ringspanning

die t.p.v. de rotatieveren aanwezig is. Door de vorm van de (geovaliseerde)

doorsnede zal de ringspanning t.p.v. de rotatieveren 1 en 2 iets verschillen.

5.4 Geometrie van de vervormde doorsnede

Als gevolg van de aanwezige symmetrie

kan volstaan worden met het bestu­

deren van slechts een kwart van de

doorsnede. De assen AB en BC zijn

de symmetrie assen voor de gehele

doorsnede.

AB = R. (cosB + sin8)

CB = R (cosS .,. sinf3)

AD = R/cosS

DM = R tan$ 2 opp I = ~R.DM = ~ R tan 8

opp II = ~C.DB = ~ R2 (tan8 - 2sin2

S>

c

B

M

R cos$ R sinl3

5.5

- 38 -

Doorsnede ACM is de oorspronkelijke kwart cirkel. De inhoud van een kwart

van de buis (per eenheid van lengte) is nu·: opp I - opp II kleiner gewor­

den.

Voor de totale inhoudsverandering volgt nu

ofwel

0 = 4 * (opp I - opp II)

2 2 0 = 4R sin 8

Voor het linkerlid van de derde evenwichtsvergelijking volgt nu:

~=~~=-!~-~=~-~~-~!:E~~~~~~~~~-~~~=~~-~~=~~ De scharnierkrachten F 1 en ~

maken evenwicht met de uit-

wendige druk p. Op grond van

symmetrie overwegingen is de

richting waarin F 1 en F'2 wer­

ken evenwijdig aan de hoofd-

assen.

F1

= p.AB = pR (cos$ + sin$}

F; = p.BC = pR (cos$ - sin$)

c ~---~ ... " .... -F2

B

Deze scharnierkrachten reduceren het in omtreksrichting opneembare_

moment. De reductie van het voiplastische moment voor een rechthoekige

doorsnede t.g.v. normaalkracht wordt bepaald door de betrekking:

ofwel F 2 À = 1 - {=-)

F p

- 39 -

M in rotatieveren opgewekt mQment

M volplastisch moment van een rechthoekige doorsnede (~ t 2o ) y e F normaalkracht werkend op rechthoekige doorsnede

Fp normaalkracht waarbij rechthoekige doorsnede vloeit (toe)

t wand.dikte

O'e vloeispanning

Substitutie van de scharnierkrachten levert:

À1 = 1 -p2R2(1 + sin26)

t20' 2 e

À2

p2R2 - sin2$) = 1 - (1

t2cr 2 e

In hoofdstuk 3 is voor een zuiver cirkelvormige doorsnede m.b.t. de

ringspanning de dimensieloze grootheid T gedefinieerd. 0

M.b.v.

Àl

À2

- pR tO' e

deze grootheid kan

1 2

(1 + sin = - T 0

1 2 (1 - sin = - T

0

voor de réductiecoêfficiënten worden geschreven:

26)

26)

Substitutie van de gevonden betrekkingen in de evenwichtsvergelijking:

levert voor de elastische fase van het vervormingsgedrag:

- 40 -

In gelinealiseerde vorm ($ << 1):

Hiermee is het vervormingsgedrag van het Shanley model in de elastische

fase op de veerstijfheden k1

en k2

na bepaald. De veerstijfheden k1

en

k2 worden nu zcd.anig bepaald dat het vervormingsgedrag van het reken­

model en het vervormingsgedrag van een ring onder uitwendige druk, gelijk

zijn.

De rotatieveer stijfheden worden nu geijkt aan het elastisch vervorminqs-

gedrag van een initiëël niet ronde ring !1s!. dus niet aan het vervormingsgedrag van een model.

Beschouw daartoe nevenstaande figuur.

Het verband tussen de straal

R van een cirkelvormige door-

snede en de straal R: van de

vervorm:ie ring is:

R: = R + w.cos2e 0

Hierin is W de initiële onrondheid. 0

c

D

In het Shanley model wordt de ring opgebouwd gedacht uit vier oneindig

stijve cirkelbogen die in de punten A, B, C en D d.m.v. rotatie veren

zijn verbonden. De initiële onrondheid wordt nu gekarakteriseerd door

de hoek 2$0

die deze bogen t.o.v. elkaar maken. De relatie tussen S0

en w0

kan nu uit bovenstaande figuur worden afgeleid:

tan(1T -13 ) = 4 0

R-W 0

R+W 0

Na enig rekenwerk volgt dan dat

w tan ° µo = 0

R

Opm. In deze beschoQwing is niet de doorsnedeverandering t.g.v. de

verkorting door ringspanning betrokken. Er ontstaan alleen buig­

vervormingen.

B

- 41 -

en in gelineariseerde vorm es << 1): 0

De uitwendige druk zal een extra radiale verplaatsing W veroorzaken.

Bij het Shanley model zal de hoek S bij uitwendige druk toenemen tot 0

Bet verband tussen S en w + w kan op analoge wijze als boven worden 0

afgeleid. Immers nu geldt:

R - W - W îT 0

tan(4 -!3) = R + W + W 0

De vorm kan nerleid worden tot:

W+W 0

f3 =----R

De relatie tussen de radiale verplaatsing W en de initiële onrondheid

w0

, de uitwendige druk P en de elastische bezwijkdruk P is er

3EI met Per = R3

w p 0 w =---

p -P er

3EI zodat --3 W = (W + W ) P R o

j 1Sj

Met de gevonden uitdrukkingen voor S en B kan deze vergelijking geschreven 0

worden als:

3EI (f3- 8 ) = PSR R2 o

vervorming ring

De evenwichtsvergelijking in de elastische fase is:

s-s 0

s vervorming kinematisch veermcdel

- 42 -

Zodat volgt:

s-s 0 -s-

Het vervormingsgedrag van het Shanley model. en het vervormingsgedrag

van een ring onder uitwendige druk is nu gelijk als de veerstijfhed.en

voldoen aan de "betrekking:

kl + k = 3EI 2 R

De buigende momenten t.p.v. de punten A en C zijn absoluut gezien gelijk

(bij kleine vervoz:mingen) zodat ook de veerstijfheden gelijk zullen zijn.

EI R

N.B. Met I is het traagheidsmoment bedoeld van de rechthoekige doorsnede

dus I = _!__ t 3 12

Nu kunnen de evenwichtsvergelijkingen voor de verschillende takken worden

ingevuld. Er. wordt uitgegaan van de reeds eerder gedefinieerde grootheid

1' : 0

-PR =--tO' e

Tak 1 (elastische fase)

Hiervoor geldt dat

a-a (--0) s

Substitueer dit in de uitdrukking voor 1'0

dan volgt:

13-8 { __ o)

f3

- 43 -

Tak 2 (elastoplastische fase)

De rotatieveren 1 hebben een plastisch karakter. Dit houdt in dat de

momenten in deze veren gelijk zijn aan ÀM dus: p

SUbsitueer hierin de uitdrukkingen voor À1, ~en k2 dan volgt:

(1-L 2 (1+2j3))~t2 cr 3 S-8

l?R = o 2j3R e + 1" 5 ;:R2 <-f>

Zodat voor L volgt: 0

L 2 (1+213) - L S$ R

0 0 t Et <B-B > - 1 = o

0

Tak 3 (plastische fase)

De rotatie veren 1 en 2 zijn plastisch dus

Na invullen van À1

, À2 en Mp volgt:

t2o (1-2L. 2 ) e o

PR= 8!3R

Zodat voor Lo volgt:

- 44 -

Voor het limietgeval 60

= 0 geldt voor tak 1:

PR (J t

e

Et3 waaruit volgt dat P ::=_-

3-

4R

Dit is de bezwijkdruk waarbij1 voor een zuiver cirkelvormige buis, de

spanning in omtreksrichting de vloeigrens niet overschreidt.

Tak 1 van het Shanley model met S = 0 (een zuiver cirkelvormige buis) 0

is dus in overeenstemming met de elastische oplossing.

Voor î3 = 0 geldt voor tak 3:

-PR T. = -1 = --o (j t

e

zodat volgt p !'!'

(J t e R

Bij deze druk wordt voor een zuiver cirkelvormige buis de vloeispanning

in omtreksrichting bereikt.

- 45 -

5.7 Proefresultaten

Door Protech International b.v. is een experimenteel onderzoek gedaan

naar de invloed van de initiële onrondheid op de bezwijkdruk van buizen.

Deze proefresultaten zullen worden vergeleken met de uitkoms~en van het

rekenmodel. De onrondheid wordt door Protech als volgt gedefinieerd:

D - D . max min

2D (Out of _!aundness) Onrondheid O.O.R. =

De onror.dheid wordt ook vaak weergegeven als een percentage van de diameter

In te:t:men van de ovalisatiepa.I:a.meter 13 wordtde onrondheid geschreven als:

2R(cos13+ sinB>- 2R(cosl3- sinl3) O.O.R.= 2.2R

Voor kleine waarden van de onrondheid kan worden gesteld:

o.o.R. = B

Vergelijking van de uitkomsten van het rekenmodel met de experimenteel

gevonden uitkomsten leert dat het rekenmodel een overschatting van de

werkelijkheid geeft van rv 9 % (zie grafiek 3 )

Voor relatief dikwandige buizen

blijkt dat de drie takken van

het kinematisch model elkaar in na­

genoeg één punt snijden. Berekening

van de bij het snijpunt van tak 2 en

3 behorende druk is niet eenvoudig. Omdat

de snijpunten praktisch samenvallen wordt

de druk bepaald die behoort bij het snijpunt van tak 1 en tak 3.

Voor het vertakkingspunt geldt dan:

@

- 46 -

Het is eenvoudiger om i.p.v. 1:' de verhouding D/t te bepalen als oplossing 0

van bovenstaande vergelijking. Na enig rekenwerk volgt dan voor D/t:

D E -=-t CJ e 2 (1:' - 1)

0

)2 _ E

cr -c e o

Nu is 't' 0

niets anders dan - : zodat ook geschreven kan worden:

D E -=-t <J e

\

Voor ~erschillende pijpleidingstaalkwaliteiten is deze formule uitgezet

in een grafiek ( 4 ) •

- 47 -

6. REKENMODEL VOOR ZUIVERE BUIGING

6. 1 Inleiding

In het voorgaande hoofdstuk is de werking van het rekenmodel onderzocht

voor het geval dat op de buis alleen uitwendige druk werkt. Bet model

bleek voor dit geval goed te werken. Het uiteindelijke doel is het ver­

vormingsgedrag te beschrijven bij een combinatie van belastingen. Voordat

met belasting combinaties wordt begonnen is het zinvol om eerst de werking

van het model na te gaan voor het geval van zuivere buiging. Als het

model ook voor dit belastinggeval goed werkt mag verwacht worden dat ook

bij de combinatie van genoemde belastingen een goed beeld verkregen zal

worden van de optredende vervormingen. Een andere reden om het model eerst

voor zuivere buiging uit te werken is gelegen in de beperkte mogelijkheden

om de resultaten van het model te verifiëren aan de hand van beschikbaar

experimenteel onderzoek.

De uitgangspunten die ten grondslag liggen aan het rekenmodel zijn ver­

meld in hoofdstuk 4 • Een belangrijke aanname is dat spanning, kromming . en vorm van de buis in lengterichting constant worden verondersteld, m.a.w.

het ~buisprobleem is terug gebracht tot een ringprobleem. Dit heeft als

consequentie dat plaatselijk plooien niet door het Shanley-model beschreven

wordt. In het rekenmodel treedt bezwijken op doordat bij toenemende ovali­

satie het draagvermogen kleiner wordt.

Dat een buis ovaliseert als gevolg van buiging is als volgt in te zien.

Tengevolge van het buigend

moment ondergaat de buis

een kromming. In de gekromde

toestand wordt het buismateri-

aal in de buitenste vezel a.h.w.

in de richting van de midden

doorsnede getrokken resp. gedrukt.

Kwalitatief beschouwt is ovalisa­

tie afhankelijk van èn de spanning

,, ______ d~

in de buitenste vezels èn de kromming.

6.1.2

- 48 -

In geval van zuivere buiging kan voor de in hoofdstuk 4 afgeleide

evenwichtsvergelijkingen worden geschreven:

M = f (z+u }n ds s z aa

F = f n ds = 0 s aa

De componenten van deze vergelijkingen moeten eerst verder worden uit­

gewerkt, voordat met substitutie kan worden begonnen.

Geometrie van vervormde doorsnede

De geometrie van de vervormde doorsnede wordt beschreven met de ovalisatie

parameter S.

AM = MC = R

AB = R(cos6+ sin$)

CB = R(cosf3-sinf3)

JL = R sin ( <l>+f3)

KL = R sin s

Voor de onvervormde doorsnede <S= o}

geldt:

z = R sin <f>

Voor de vervormde doorsnede geldt:

z+u = JK = R(sin(<f>+f3)-sinf3) z

z

L M

De verplaatsing van een punt van de buiswand in de richting van de midden­

doorsnede is nu:

u = R(sin(<f>+f3)-sin6- sin$) z

6.1. 3

- 49 -

voor de term onder het integraalteken van de derde evenwichtsvergelijking

volgt:

du z dS = R(cos($+S)-cosS)

Om het schrijfwerk wat te verminderen en de afmetingen van de formules

te beperken worden de volgende functies gedefinieerd.:

Q(~) = sin ($+$) - sinS

P(~),= coa {~+$},- coaS

De in de basis vergelijkingen voorkomende termen worden dan:

r--- - ---' z+u = R.Q($) 1 z

1

1 duz dS = R.P($)

L - - --- - -'

~· In tabel 5 zijn bovenstaande gedefinieerde functies (Q(~) en PC;}

en de nog te definiëren functies weergegeven.

Aan de tweede evenwichtsvergelijking (F=O) kan worden voldaan door de

spanningsverdeling contrasymmetrisc.ht.o~~ .• de middendoorsnede te kiezen.

A B c

- 50 -

spanningsverdeling A treedt op voor gevallen dat in de uiterste vezels

de vloeispanning nog niet is bereikt. Spanningsverdeling B geldt als

over een deel van de doorsnede vloeien is opgetreden. De spanningsver­

deling volgens C zal optreden als na het belasten van de buis tot ver­

deling B, de belasting wordt verminderd; het ontlasten gebeurt dan vol­

gens een elastische spanningsverdeling. Overeenkomstig de in hoofdstuk 3

gebruikte notatie zal de axiale spanning als percentage van de vl~ei­

spanning worden geschreven. Omda~ sprake is van (contra)symmetrie kan

volstaan worden met de berekening van een kwart van de doorsnede.

6.2 ~panningsverdeling A

6.2.1

Voor spanningsverdeling A zal het basismodel nu verder worden uitgewerkt.

Eerst worden de extensiekrachten geformuleerd, daarna de kromming van de

buis en het buigend moment. De rotatieveren worden 'geijkt' en tenslotte

wordt het evenwicht voor de verschillende rotatieveertoestanden beschreven.

De grootste afstand van de buiswand tot de midden doorsnede, in vervormde

toestand, wordt gevonden voor:

(z+u } = R(sin($+8)- sin$) = RO ~v($) z tnax ma.x -m ......

Deze grootste afstand, de uiterste

vezel, wordt gevonden voor 'IT

$ = 2 -s.

JK($) = R (sin($+$) - sin$) = RQ ($)

ûK(!. -S) = R(l - sin$) = RQ(~~-Sl . 2

Vaak zal worden gewerkt met

de dimensieloze spannings­

grootheid z;, z; = 0°a • De e

spanning in de uiterste vezel

wordt aangegeven met de para-"

meter i:.

a = r-cr max "'e

l2 l < l.

z

K

- 51 -

Voor de (lineaire) spanningsverdeling over de hoogte van de buis geldt nu:

- Q(p) a<cP> - Q{~'IT-S) r;a

e

De snede krachten in axiale richting worden dan voor spanningsverdeling A:

r--------1 1 A Q(p) A 1

naa (cp) = Q (~'IT-S) • t r;a e I ________ I

De kromming kan bepaald worden uit de opgetreden rek en de afstand tot

de midden doorsnede. In dit geval zal de rek en de afstand tot de midden­

doorsnede worden bepaald voor de uiterste vezel.

e e(lfJ) { K = z+u = JK(cp) 'IT

z JK{2 -S> =R •. Q (~n -S)

,... ?;O' e

E

De bij spanningsverdeling A behorende kromming is dan:

(J e met K = -e ER

- .... - -, KA = l;;iee 1

Q(l.:i'IT-S) 1_ - - - -- _,

De eerste evenwichtsvergelijking kan nu verder worden uitgewerkt.

M = f (z+u ) n .ds s z aa

~1T Q (cp) "' M = 4 f R'.~<jl) tÇ<J • Rd4> • Q (~'IT-$) .

0 e

A ~'IT M= 4R2to c.; f Q2 (<j>} d<jl

• Q(~TI-S) . e 0

Definiër nu de volgende functies:

Mp = 4R2tae (volplastisch móment van een cirkelvormige doorsnede) •

- 52 -

Het buigend moment behorend bij spanningsverdeling A kan worden geschreven

als functie van de kromming en het gereduceerde traagheidsmoment of als

deel van Mp.

A 4 { 3 A M = ÏÎ TQ(~TI) - TQ(à)} .E.1TR .t.K

Of:

MA= TQ(~rr)- TQ(o) 2 M Q(~rr-f3) • • P

Om het schrijfwerk te beperken wordt de volgende notatie ingevoerd:

TQ(~1;~2) = TQ(~l)- TQ(~2)

(TQ (~1;;2) = ~1 Q2(;)d;)

t;2

voor het uitwendig aangebrachte buigende moment kan dan worden

geschreven: ·

1--

1 _J

Ook het eerste deel van de derde vergelijking kan verder worden

uitgewerkt:

,-------,--! du

1 f n -2.. ds = PQ(~TI)- PQ(o) ;2K M Ks aadS 2 '"'ep l

1 Q <~rr-S> ! -- -----------

Met PQ(~) = f Q(;) .P(;)d;

Ke == ER

MP = 4R2

tcre

6.2.2

- 53 -

Bovenstaande vergelijking kan ook worden uitgedrukt in de optredende

kromming en het buigend moment dat bij spanningsverdeling

A hoort;_ de parameter i; verdwijnt dan uit de vergelijking.

1 -du-

1 K J n _Q_z ds = _PQ=..;_(~_TI..;...;_o.._) • MA.KA

s aa d~ TQ(~TI;O) L ____ _

Rotatieveren

1 1

_I

Evenals in het voorgaande hoofdstuk wordt voor de rotatieveren een elasto­

plastische veerkarakteristiek

gekozen. De hoek die de gekrom­

de staven t.o.v. elkaar onder­

gaan bedraagt 2 S. Het in de

rotat.i:~veren opge.wekte moment

is dan in de elastische fase.

M = k. 2 (S-S ) 0

(elastisch)

Door de aanwezige spanning in

axiale richting wordt de grootte

van het in de buiswand opneembare moment

gereduceerd tot:

M = ÀM p

(plastisch)

M in rotatieveer opgewekte moment

M

ÀMp

M p

s volplastisch moment v.e. rechthoekige dsn.

hoekverdraaiing t.o.v. middendoorsnede

S0

initiële hoekverdraaiing

k stijfheid rotatieveer

À reductie coëfficiënt t.g.v. spanningen werkend in axiale richting

- 54 -

Door de (contra)symmetrie mag verondersteld

worden dat de vee:rmomenten MA en ~ resp. - -Me en M0 gelijk zijn. Er zijn voor wat de

rotatieveren betreft dan voorlopig drie moge­

lijkheden te onderscheiden.

1) MA,B = Ml = 2 kl CS-80

)

}-MC,D = M2 = 2 k CS-S

0> 2

2) Ml = 2 kl (8-80) } M2 = À2 M

p

3) Ml = \ M p

1

} plastische fase (tak 3) M2 = À2 M

p ----------------------

1

2

voordat nu verder kan worden gegaan moeten eerst de stijfheden k 1 en k2

worde~ bepaald. Het ligt voor de hand de stijfheden zè te kiezen dat

het model representatief is voor de werkelijke op buiging belaste buis.

Een mogelijke benadering is de veerstijfheid zo te kiezen dat de ovali-

satie hoek S van het kinematisch rekenmodel en de ovalisatie hoek S van

een op buiging belaste buis in de elastische fase gelijk zijn. De ovali­

satie van een buis t.g.v. buiging wordt bepaald m.b.v. de theorie van

Reissner. j ui . f12j Een andere mogelijkheid is de veerstijfheid af te leiden uit de stijfheid

van een gekromde staaf. Ook in dit geval zal de ovalisatie hoek $ dienen

als basis voor de berekening. Navolgend zullen beide mogelijkheden worden

uitgewerkt.

Voor lineair elastisch vervormde staven is de relatie tussen hoekverdraai-

ing en buigend moment algemeen:

8 = C M! EI

- 55 -

De constante c is afhankelijk van de randvoorwaarden. Voor gekromde

staven wordt ~ vervangen door de straal R, zodat als betrekking

tussen hoekverdraaiing, moment en veerstijfheid volgt:

met EI = ..!.. Et3 12

Et3

kl = Cl 12R

Et3

k2 = C2 12R

k = c* EI R

volgt voor de rotatieveerstijfheden:

voor de elastische fase (tak 1 }: kan voor de in de rota tieveren opgewekte

momenten worden geschreven:

2.c1 Et3 CS-13

0)

12R

Substitutie in de derde basisvergelijking:

K i naa s

levert met de al eerder gevonden uitdrukking voor he~ eerste deel van

de vergelijking (blz. ).

De constanten c1 en c2 worden zo bepaald dat het vervormingsgedrag,

beschreven met de ovalisatie hoek 13, van het rekenmodel en een initiële

cirkelvormige buis CS = 0) volgens de theorie van Reissner gelijk zijn. 0

- 56 -

6.2.3 ~~!i!~=!~-=~E~~=~===~-~~~~=~!-~!!~~~~:

Reissner !11! heeft een geometrisch-niet lineaire, fysisch lineaire,

formulering gegeven van het vervormingsgedrag van een op buiging be­

laste buis. In bijlage 3 is een samenvatting gegeven van deze ana­

lytische oplossing. De met deze theorie gevonden vervormingen van de

buis worden gebruikt als 'ijkmaat' voor de vervorming van het reken­

model.

Reissner gebruikt de krommingsparameter a om het buigend moment M en

de radiale verplaatsingen u en v als reeksen:. te schrijven.

1T 2; 1 3 1 5 163 ",7 M = 6 ERt 3 (a- 8 a - 96 a + 82944 ~ + . . . . . . )

a 2 71a4 44551a6 ...... ) u = R(IT + 8640 + + 7560.7200

a2 a.4. 2059 CJ.6 ...... ) v = R( IT+ 960 - +

168.7200

a krommingsparameter

K kromming van de buis

t wanddikte

R straal van de buis

E elasticiteitsmodulus

u,v radiale verplaatsingen op de hoofdassen

De in het kinematische model gehanteerde hoekverdraaiing S kan worden

uitgedrukt in de radiale verplaatsingen u en v.

1T R-u tan(- -8) =

4 R+v

Na enig rekenwerk volgt:

v+u 8 = arctan ( ZR+v-u

u

R-u

- 57 -

Met behulp van de uitdrukkingen voor u en v is de ovalisatieparameter f3,

behorend bij het rekenmodel uit te drukken in de krommingsparameter a

behorend bij de theorie van Reissner.

1 - -- - - -- --

2 4 859 6 Cl Cl.

1 6 + ïöë - 972000 Cl. ---

f3 = arctan 31 4 68603 6

1. 2 - 4320 7560.3600 a

__J

Substitutie van de door Reissner gevonden uitdrukkingen voor buigend

mom.ent M en kromming K in de basis vergelijking levert een betrekking

waarbij de constanten c1 en c2 geschreven worden als functie van et. en f3 Met de eerder gevonden betrekking tussen a en f3 volgt dat(c 1 + c2> alleen

een functie van a is.

1 3 1 5 {a- 8 a - 96 a --- } +

over een groot interval (0 < a <1.5 + 0 < f3 < 0.2) varieert de waarde van

c1+ c2 nauwelijks. Voor f3 = 0.001 volgt c1 + c2 = 3.00 en voor f3 = 0.2

wordt c1 + c2 = 2.93. Voor c1+ c2 zal de waarde 3 worden aangehouden.

Evenals bij het voorgaande hoofdstuk (uitwendige druk) wordt aangenomen

dat de rotatie veerstijfheden gelijk zijn.

Voor de veerstijfheden volgt nu:

r- - -E;-i 1 k 1 = k 2 = 1,s ""'R 1 L,. ____ __J

1 3 I is fret t:taagheidsmoment van een rechthoekige doorsnede I = IT t .

M

- 58 -

Opgemerkt wordt dat de veerstijfheid voor zuivere buiging dezelfde is als

de veerstijfheid behorend bij het rekenmodel voor uitwendige druk.

voor de elastische fase volgt dan:

6.2.4 ~~!1~=!~-!~~~~!=~=~=~-:-~~~!~~=-=~~af

De stijfheid van de rotatieveren kan ook gekozen worden op grond van

het vervormingsgedrag van een ge~

1 i

. --..:....:_- . - . ++ A . ----- ----J. .

x

2x M(x}. = M (1- -- )

0 R/2

x

kromde staaf.

Beschouw een gekromde staaf (kwart

cirkel, straal R, dikte t), belast

door twee eindmomenten. De afstand

tussen de punten A en C is constant.

In het rekenmodel zijn de hoekver­

draaiingen in de punûen A en c even

groot CS). De eindmomenten MA en Me

zijn dan ook even groot

M 0

x = ~ R/2 - Rcos <% +~)

x = ~ R/2 (1-cos~+ sin~)

- 59 -

Buiging van een dunne cirkelvormige staaf kan worden beschreven met de

volgende differentiaalvergelijking:

EI

Hierbij wordt met w de radiale verplaatsing aangegeven. Substitutie van

de uitdrukking voor het buigend moment doet.de vergelijking overgaan in:

M R2 0 = ---EI

De algemene oplossing luidt:

M R2

(coscf>- sin$)

w = A sin$ + Bcos$ - 2~I 4> {sin$+ coscf>)

Met randwaarden, w = o voor 4> = 0, ~1T wordt de verplaatsingsfunctie w:

M R2

w = ;I { (; -4>) sin<j>- q>coscp }

In het rekenmodel wordt het door de rotatieveer opgewekte moment gerela­

teerd aan de hoek.verdraaiing:

De hoek.verdraaiing in de punten A en c <4> = 0,~1î) bedraagt:

M R2

(1î-2) dw dw o ds (<j>=;: 0,~1T) = Rd"' {o) = ---- = e

-r R.,4EI

Voor de veerstijfheid volgt nu:

k* = 4EI R(1T-2)

In het rekenmodel is de relatie tussen moment en hoekverdraaiing, M = k.28

zodat als veerstijfheid gekozen moet worden:

6.2.S

k = 2EI

{'IT-2) R

- 60 -

EI = 1. 75 R

1 3 I is het traagheidsmoment van een rechthoekige doorsnede (I = 12 t ) .

Voor de elastische rotatieveerstijfheid volgt dan:

Et 3

{ 13-So>

Het verschil met Reissner is niet al te groot. De afleiding volgens

Reissner heeft betrekking op de vervorming van èen buis, bij de laatste

. afleiding wordt slechts een gekromd.e staaf beschouwd. Omdat de afleiding

volgens Reissner dezelfde veerstijfheden oplevert als die welke bij het

kinematisch rekenmodel voor uitwendige druk zijn gebruikt, wordt aan de

berekening volgens Reissner de voorkeur gegeven.

Plastische karakteristiek rotatieveren

De spanning in axiale richting reduceert het in omtreksrichting opneem­

bare moment van de buiswand tot ÀM • Met M wordt bedoelt het vol-P p 2

plastische moment van een rechthoekige doorsnede (~ t a ). De vraag is e

nu hoe groot de invloed. van de axiale spanning is. In bijlage 1 worden

een aantal vloeioppervlakken vergeleken die deze relatie quantificeren.

De beste benadering is het vloeioppervlak volgens Ilyushin. De keuze van

een statisch toelaatbaar spanningsveld isdeeenvoudigste benadering van

het gevraagde vloeioppervlak.

À = - 1 6

13 {lt - ~I - li2-11t 2

0 2 0

À = 1 - ç2- T

2 + ÇT 0 0

À reductiecoëfficiënt voor het in omtreksrichting opneembare moment

T spanningscoëfficiënt voor spanning in omtreksrichting 0

ç spanningscoëfficiënt voor spanning in axiale richting.

De verschillen tussen beide vloeioppervlakken zijn voor het geval van

zuivere buiging {~ = o) niet groot. {zie grafiek 35). Op grond van deze 0

- 61 -

overweging wordt voorlopig de voorkeur gegeven aan het eenvoudiger te

hanteren benaderingsoppervlak boven dat van Ilyushin. Voor zuivere

buiging reduceert dit oppervlak tot:

2 À = 1 - ç

Voor de elastische rotatie-

veer karakteristiek geldt

voor beide rotatieveren:

Elastisch

Voor de plastische veerkarak­

teristiek geldt:

M = ÀM p À = 1 - ç2

M

ÀM p

'Ml

80

Î.

~-

p

8

Ml

In de middendoorsnede is de spanning in axiale richting ç1

= O; in de " uiterste vezels is de spanning in axiale richting ç2 = .:!:. Ç. Dit betekent

dat de reductiecoëfficiënten voor het opneembare moment voor de rotatie­

veren 1 en 2 verschillen

{ Ml = M = ~ t20' p e

.~lastisch t20' ---------

M2 (1 22)M (1 - ç2) e = - = p 4

Bij buiging doorloopt de buis nu drie stadia. Eerst vervormen de rotatie­

veren elastisch (tak 1), daarna bereikten de rotatieveren 2 het plastische

stadium (tak 2), en tenslotte zullen ook de rotatieveren 1 plastisch ver­

vormen (tak 3) •

- 62 -

Voorgaand is de relatie gelegd tussen de verschillende onderdelen waaruit

de basisvergelijkingen zijn opgebouwd. Voor de eerste basisvergelijking;

het uitwendig buigend moment M, is een uitdrukking gevonden evenals voor

de bijbehorende kromming. Aan de tweede basisvergelijking (F = o) wordt

door de voim van de spanningsverdeling voldaan. De derde basisverge~ijking

levert de relatie tussen de grootte van de spanning in axiale rich~ing (Ç)

en de ovalisatie ($),afhankelijk van de toestand van de rotatieveren

(tak 1, 2 of 3).

K f n aa s

Het eerste deel van deze vergeiijking is reeds bepaald en is voor tak. 1,

2 en 3 gelijk.

PQ{~1T;O)

Q2 (~1T-f3)

Uitwerking van de drie takken van het model levert:

Tak. 1

PQ (~1T; 0) Ç2K M 2Et3 (f3-8 0) 0 +-- =

Q2 {~1T-$) e p R

Tak. 2

PQ(*11T; 0) 22K M

Et3 ca-a > + c1 -e2>t2cr +-

Q2 (~1T-f3) e P R 0

Tak. 3

PQ{~1T;0} 22K M + (2 - ç2)t2cr = 0

Q2 {~1T-!3) .

e P e

= 0 e

Bovenstaande vergelijkingen geven de betrekking tussen ovalisatiehoek 8 "' en de spanningsparameter ç voor de drie verschillende takken van het

model die behoren bij spanningsverdeling A.

- 63

In bovenstaande betrekkingen kan het buigend moment MA worden gesubsti-

"' tueerd; de krommingsparameter Ç verdwijnt dan uit de vergelijkingen.

Tak 1

A 2 M = 4Et R.TQ(~1T;O)

Tak 2

Tak 3

e-e 0

-2PQ(~1T;O)

Et 2 R.cr Q {~rr-[3) - 4 PQ ( ~1T; 0)

e

2R.cr e Et

Et 2 RO' Q (~ir-6)- 4 PQ(~rr;O)

e

A De kromming behorend bij het moment M is:

A MA .K =-------

4ER3t.TQ{~rr;0)

In tabel 6 is de rekenprocedure., inclusief de nog te onderzoeken span­

ningsverdelingen B en c schematisch weergegeven. In grafiek 7 zijn de

resultaten van een rekenvoorbeeld in een moment krommings diagram weer-

gegeven.

In nevens taande figuur is

het moment ovalisatie dia­

gram schematisch weerge-

geven.

De snijpunten ce 12 en s23 >

kunnen bepaald worden door

gelijkstelling van de uit-

drukkingen van de takken 1 en 2 resp. 2 en 3. Het vertakkingspunt e12 is

- 64 -

niet expliciet in de overige variabelen uit te druk.ken. Het snijpunt s23 is wel eenvoudig te bepalen.

+ e 0

Bij de berekening van MA is uitgegaan van een lineaire spanningsverdeling

over de hoogte van de buis. De spanning in de uiterste vezel is gelijk

gesteld aan:

"' a = ?.;cr max e 121 < 1

Als aangenomen wordt (om het geldigheidsgebied te bepalen) dat de maxi-

male spanning { 1 e 1 ~ 1) wordt bereikt in het vertakkingspunt 623, dan 2 5 2 volgt voor cre = 320 N/mm, E = 2,10 N/mm dat R/t..?:.. 170 (D/t..?:.. 340).

voor kleinere D/t verhoudingen moeten ook de andere spanningsverdelingen

(B en C) in de beschouwing worden betrokken.

- 65 -

6.3 Spanningsverdeling B

Op overeenkomstige wijze als voor spanningsverdeling A is gebeurd zal nu

voor spanningsverdeling B het basismodel worden uitgewerkt.

"' Bij spanningsverdeling A werd de parameter Ç gebruikt om de spanning in

de uiterste vezel aan te geven. Nu zal de hoek y worden ingevoerd om

aan te geven hoe groot het buisdeel is, waarin de vloeigrens nog niet is

bereikt. Voor het punt I (waar juist de vloeigrens wordt bereikt)

geldt dat de plaatsvariabele ~

gelijk is aan ~ = y.

voor de spanningsverdeling

wordt aangenomen dat in het

buisdeel tussen de punten

I en c de vloeispanning cre

aanwezig is. Door deze aan­

name kan in het geval dat de

hoek y zo groot is dat het

punt I op grotere afstand van de midden-

c

doorsnede komt te liggen dan punt C, een kleine_fout worden gemaakt.

Het maximaal verschil met

spanningsverdeling A treedt

op voor het geval dat hoek y

gelijk is aan

il' y=2-S

De spanning in punt I is dan

gelijk aan a , hierdoor is de e spanning in punt c volgens verdeling A

(JA = cosS- sinS a 1 sinS

. - e

crB 1 - sinS = sinS a

1 - e

De fout die gemaakt wordt (het verschil tussen cosS en 1) is verwaarloos­

baar voor kleine waarden van 8 en is geen fout meer voor waarden voor y

kleiner dan (~ - 213}.

- 66 -

Voor net elastische desl van de spanningsverdeling kan nu worden geschreven:

C1(<fl) (sin(<j>+8)- sin8) = ...;.__...;.. (sin(y+8)- sinS>

Voor het plastische deel:

y<qi<'IT - -2

a(<j>) = a e

• C1 e

Met behulp van de eerder gedefinieerde fuctie Q kan voor de snedekrachten

worden geschreven:

1--i3 = ru..tL tcr 1

--n-aa(~ Q(Y~• -l 1 1 B

n «P> = tcr aa e

De kromming behorend bij spanningsverdeling B-wordt bepaald uit de in het

elastisch gebied opgetreden axiale rek. In het punt I (<j>=y) wordt juist

de vloeispanning bereikt.

Rek:

Afstand middenvlak: JK (<j>=y) = R.Q(y)

De bij spanningsverdeling B horende kromming is dan:

r-­l

1 L -- -- ---'

Hierin is Ke de rekenkromming waarbij de uiterste vezel van een cirkelvormige

doorsnede juist de vloeispanning wordt bereikt. (Ke = ~= )

- 67 -

Voor de eerstebasis vergelijking wordt voor deze spanningsverdeling

gevonden:

1T 2

+ 4 J R~Q (<j)) y

ter Rdcj> e

MB= { TQ(y)- TQ(o) + EQ(~1T) - EQ(y)} M Q~) p

Met als definitie voor de functie EQ(E;):

EQ(f;). = f Q{E;)dE;

Met ~ehulp van de verkorte notatie volgt:

r 1

1 MB= { TQ(Y;o) + EQ(~1T;y)} M Q(y) p 1

_J

Voor het eerste deel van de derde vergelijking volgt:

K y e { 4 f .ru1L ter R.P «P> Rd<j> +

Q(y} o Q(y) e

ofwel:

i-l L_ -

K f n s aa

du ~ ds = {PQ(y;O) + EP(~1T;y) }K M dS Q2 (y) Q(y) e p

met EP(E;) = J ?Cf;)df;

- 68 -

6.3.2 Rotatieveren

Voor de rotatieveren kunnen

twee mogelijkheden worden

onderscheiden; de rotatie­l

veren bij scharnier l hebben

een elastische- (tak 4) of een

plastische karakteristiek (tak 5) •

2

•• 1 M

Als consequentie van het vloeioppervlak (statische benadering of Ilyushin)

kunnen t.p.v. de rotatieveren 2 geen buigende momenten meer worden over­

gebracht. Immers de spanning in de uiterste vezel is in axiale richting

gelijk aan de vloeispanning.

Voor de elastische karakteristiek van de veren 1 geldt:

Voor de plastische veerkarakteristiek geldt:

M = ÀM° p

2 me.tÀ=l-z;

Elastisch ---------

Ter plaatse van de middendoorsnede is de relatieve spanning (_Q_) in O"e

axiale richting i;;1

= 0 i- in de uiterste vezels is de relatieve

spanning in axiale richting i;;2 = 1.

t20' .. e 4

Plastisch

De evenwichtsvergelijking voor de takken 4 en 5 van het model kunnen

nu worden opgesteld:

du K sf naä d z ds + 4 (M1 + M2) = O

- 69 -

Tak 4

{ PQ(y;O)

Q2 (y)

3 + EP(~1T;y) } K M + Et ($-Bo) = 0

Q (y) e p R

Tak 5

{ PQ(y;O)

Q2 (y) + EP(~;r> } K M + t 2o = 0

Q (y) e p e

Substitutie van K M levert: e P

Tak 4

{PQ(y;O) Q2{y}

+ EP(l::i1T;y) Q(y)

} .

Tak 5

{PQ(Y;O) Q2(y)

+ EP (~'lî; y) Q(Y)

} .

40' R e Et ($-60) --+--

Et RO e

40' R _.!_+

Et 1 = 0

= 0

Met bovenstaande betrekking is de spanningsverdeling in axiale richting

(bepaald door de hoek y) uit te drukken in de daarbij behorende ovalisa­

tiehoek $, afhankelijk van de geometrie grootheden R, t en $0

en de

materiaal eigenschappen a en E. De variabele y is niet expliciet in B e . uit te drukken. Bij de berekening zal gebruik worden gemaakt van een

numm.erieke oplosmethode (Newton-Raphson). Deze methode bepaald door her­

haald berekenen de grootte van y die voldoet aan bovenstaande betrekking.

Voor tak 4 zal e.e.a. nader worden uitgewerkt.

Door in bovenstaande vergelijking de variabelen $, 80

, O'e' E~ R en t te

substitueren ontstaat een vergelijking die als onbekende alleen nog y

bevat. Definieer de functie:

H(y) = { PQ(y;O)

Q2(y)

(i, ) 40 eR Et + EP Tiq } -- + - CS-60) Q(y} Et ROe

- 70 -

De schattingsformule voor y is dan:

met H' (y} = dH(y) dy

De berekening van tak 4 van het mo:iel is hie:rmee bepaald; tak 5 gaat op

overeenkomstige wijze. In tabel 6 is de rekenprocedure schematisch weer­

gegeven. In grafiek 8 zijn de resultaten van een rekenvoorbeeld, (inclu­

sief spanningsverdeling C) in een moment-krommings diagram weergegeven.

- 71 -

6.4 Spanningsverdeling c

Op overeenkomstige wijze als voor de spanningsverdelingen A en B zal

het model voor spanningsverdeling C worden uitgewerkt.

Voorgaand is het evenwicht van een buis belast op buiging geformuleerd.

Hierbij is geen rekening gehouden met de voorgeschiedenis van de buis.

Het model volgt tot nu toe het cr-e diagram in beide richting. Verminde­

ring van de belasting ge-

beurt dus langs de plas-

tische tak van het o-e

diagram. De belasting moet

echter elastisch worden ver­

minderd daarom moet rekening

gehouden worden met een nieuwe

spanningsverdeling; spannings­

verdeling C. Uitgaande van de

situatie N zijn bij toenemende ovalisatie nu twee spannningsverdelingen

m:><Jelijk: B en C.

c N B

ovaliseren ovaliseren

'belasten•

Spanningsverdeling N en B worden bepaald door y resp. y 1 n n+

N B

- 72 -

Het evenwicht van spanningsverdeling B is reeds besproken. Als door

toenemende ovalisatie het draagvermogen van de buis afneemt zal de

situatie van spanningsverdeling C ontstaan. ____ .2 1

Xn+1 ----....2

N c

Spanningsverdeling C wordt gekarakteriseerd door Yn en Xn+l

Spanningsverdeling c kan worden beschouwd als superpositie van een

plastische spanningsverdeling (B) en een elastische spanningsverdeling

(A) • De buisdoorsnede is

gevloeid tot hoek y. Deze

hoek y is voor spannings­

verdeling C een constante

hoek die onafhankelijk is

van de mate waarin de be­

lasting verminderd wordt

of de ovalisatie toeneemt.

De (elastische) afname van

de spanning wordt gekarak­

teriseerd door de parameter X· Door in spanningsverdeling A de parameter " Ç te vervangen door X en deze spanningsverdeling af te trekken van span-

ningsverdeling B ontstaat spanningsverdeling C. Voor de snedekrachten

kan dan worden geschreven:

}tcr 1 e--1

naca(~) ={ 1 - XQ(~) } tcr Q(~-8) e

- 73 -

Ook de bij spanningsverdeling C behorende kromming kan door superpositie

worden gevonden:

Het uitwendig buigend moment behorend bij spanningsverdeling C bedraagt:

Voor het eerste deel van de derde vergelijking volgt:

du z

K ~ naa d$ ds =

{ 1 x} {4 y 1 x Q(y) - Q (~'IT-$) Ke J (Q (y) - Q (l:!TI"-S» R.P ($) Q (<f>) tcr e Rd<j>

~'IT + 4 J

y

0

XQ ( $) (1- Q(~TI-13} )R • .P($) toe Rd<j>

du z { 1 x }{ 1 x 1

naa dS ds = Q(Y) - Q(~'IT-13) PQ(Y;O) (Q(Y) - -Q{ ....... ~1T---.S>) 1

6.4.2 Rotatieveren

De spanning in axiale richting is t.p.v. de rotatieveren 2 niet meer

gelijk aan de vloeispanning; dit betekent dat door de rotatieveren 2

1

- 74 -

weer wel buigende momenten kunnen worden overgebracht. Voor de elastische

karakteristiek van veer 1 geldt nog steeds:

De plastische karakteristieken volgen met het vloeioppervlak

M = ÀM p 2

À = 1 - ;;

Ter plaatse van de middend..oorsnede (rotatieveer 1) is de relatieve

spanning ( cr: ) in axiale richting (?;) gelijk aan ?; = z; 1 = 0. 'l'.p.v. . XQ\~W)

rotatieveer 2 is de relatieve spanning z; = z;2 = 1 - Q(~~-S)

t20' e

Ml= Mp= -4-

Q(~W) { Q(~W) M2 = Q(~rr-8> 2 X - Q(~rr-8> X2} • M

p ] Plastisch

De evenwichtsvergelijking voor de takken 6 en 7 van het model kunnen nu

worden opgesteld.

du K sf naa d$z ds + 4 {M1+ M2 ) = 0

'!!ak 6

1 x }{ 1 x Q(Y) - Q(~rr-8) PQ(Y;O) (Q(Y) - Q(~rr-8))+ EP (~rr;y) +

Et~(6-8 ) - XPQ(~rr;y) } K M + 0 + Q(~W) { 2x - Q(~~) x2} t2cr 0

Q(121T-6) e p R Q('21T-t3) Q(~ir-f3) e _-·

Substitutie van K°eMp en enig rangschikken leidt tot een vierkantsvergelijking

in x

Tak 6

Tak 7

met:

- 75 -

AA.x2 + BB.x + cc Et --= 0 RO' e

2 AA.x + BB.x + cc - 1 = 0

40' R. Ete PQ (~1T;O) - Q2(~1T)

AA = ~~~~~~~~~~-Q 2 (~ït-f3)

40' R BB = __ e_ ( PQ(~1T;0)+ PQ(y;O) ) + 2Q(*21T)

Et Q(Y).Q(~1T-6} Q(~1T-8)

Opm. De functies Q(~), PQ(~}, PQC; 1 ;~2 ) enz. zijn ook in tabel Sa weer­

gegeven.

Uit bovenstaande vergelijkingen voor tak 6 en 7 is xoplosbaar. De

spanningsverdeling is ook nu weer geheel bepaald. Verwezen wordt nog

naar de rekenprocedure (figuur 6) en de resultaten van een rekenvoor­

beeld (grafiek 8).

- 76 -

7 • OPZET REKENMODEL VOOR DE INTERACTIE. VOOR BUIGING , UITWENDIGE DRUK EN AXIALE

TREK.

Een volledige uitwerking van het gehele rekenmodel zal hier nog niet

worden gepresenteerd. Wel kan een aanzet worden gegeven.In de voor­

gaande hoofdstukken is gebleken dat een aantal spanningsverdelingen

moet worden onderzocht, tesamen met de rotatieveer toestand (elastisch

of plastisch) resulterend in een model dat uit een aantal takken bestaat.

Nagegaan zal worden hoeveel

spanningsverdelingen moeten

worden onderscheiden en hoe­

veel 'takken' als gevolg

hiervan moeten worden uitge­

werkt.

Door de aanwezige ringspanning

zal de (vloei) spanning in

axiale richting in trek en

drukzone verschillend zijn.

In de trekzone zal de buis

eerder gaan vloeien dan in

de drukzone. Er is nu geen

sprake meer van symmetrie.

1

(j r

t.o.v. de middendoorsnede; dit betekent dat i.p.v. twee verschillende

rotatieveren (horizontaal, vertikaal} er nu drie verschillende rotatie­

veren moeten worden onderscheiden. De rotatieveren op de middendoorsnede

zijn t.g.v. de symmetrie om de vertikale as nog wel gelijk, maar de rota­

tieveren in trek en drukzone verschillen.

In tegenstelling tot het belastinggeval zuivere buiging zijn, indien ook

het na-kritische gedrag in de beschouwing wordt betrokken, nu vijf spannings­

verdelingen in axiale richting denkbaar.

- 77 -

Voor de rotatieveren wordt weer een bi-lineaire

veerkarakteristiek gekozen. Tesamen met

de drie verschillende rotatieveren en

de vijf spanningsverdelingen betekent

dit dat 2 x 3 x 5 = 30 combinaties

mogelijk zijn. Een groot deel van

deze combinaties heeft geen fysische betekenis

binnen het model; de rotatieveren

p

vervormen wel eerst elastisch en daarna plastisch maar niet omgekeerd.

Onderstaand zijn de fysisch mogelijke combinaties schematisch weergegeven.

veer tak 1 2 3 SDanninqsverdelinq

1 E E E

w 2 E p E

~ A

3 E p p

4 p p p

5 E p E ~ 6 E p p B

~ 7 p p p

8 E p p ~ c 9 p p p

~

10 E p E

1 11 E p p D

12 p p p

13 E p p j. 14 p p p

- 78 -

De mogelijkheid dat zich t.p.v. de rotatieveren 1 eerder plastische

scharnieren vormen dan bij de punten 2 en 3 is buiten beschcuwing gelaten.

Deze mogelijkheid doet zich voor bij hoge uit-wendige druk en een klein

buigend moment. Bij het geval van alleen maar uit'\\endige druk is deze

mogelijkheid (tak 2 hfst 5 ) onderzocht, maar bleek niet van invloed

op het resultaat (zie ook grafiek 3 ) •

Bij bliging onder uitwendige overdruk zal een buis niet alle 14 takken

van het model doorlopen. Voor dikwandige :tuizen kan het M-+e diagram b.v.

opgebcu'W1 zijn uit de takken: 1, 2, S, 6, 8, 14 dit is echter volkomen

afhankelijk van de l:uiseigenschappen (D, t, O'e enz.). e .

In de 2 fase van het onderzoek zal een volledige uitwerking van het reken-

model worden gepresenteerd.

- 79 -

8. EXPERIMENTEEL ONDERZOEK

Naast het theoretisch onderzoek is experimenteel onderzoek gedaan om de

resultaten van het kinematisch rekenmodel te verifiëren.. Mede gezien

de schematisering die bij het rekenmodel is toegepast is een dergelijke

experimentele verificatie nodig.

Navolgend zullen de proefopstelling, het gebruikte proefmateriaal en de

resultaten worden besproken.

8.1 Proefopstelling

De proefopstelling bestaat uit een aantal onderdelen, globaal te verdelen

in apparatuur om bela.stingen op een proefstuk aan te brengen en apparatuur

om vervormingen te meten en te registreren (foto 1).

8. 1. 1 Druktank

Door_Protech International BV is een drukvat en belastingframe ter beschik­

king gesteld voor het uitvoeren van proefnemingen. Bij het oriënterend

testprogramma bleek dat de ruimte binnen het drukvat wat te beperkt was

voor het uitvoeren ~an buigproeven met relatief kleine diameter-wanddikte . .

verhoudingen(< 30). Besloten is toe een nieuw centraal gedeelte te laten

vervaardigen. De door Protech beschikbaar gestelde drukvatafdichtingen

(van essentiël-belang voor buigproeven onder uitwendige dl:uk) zijn onge­

wijzigd gehandhaafd.

De druktank wordt gevuld met olie van hetzelfde type dat ook in hyd.raulische

apparaten wordt gebruikt. Via deze olie wordt de uitwendige druk (in zee­

condi ties de uitwendige waterdruk), op het proefstuk overgebracht. Aan het

gebruik van olie zijn t.o.v. het gebruik van water belangrijke voordelen

verbonden.

- Door de grote elektrische weerstand van olie, is er veel minder kans op

kortsluiting in de op de proefstukken aangebrachte meetapparatuur.

- De belastingapparatuur (motor of handpompen) is na gebruik zonder meer

weer te gebruiken voor andere rrceven. Water moet eerst uit de apparatuur

worden gespoeld,wat vrij veel olie kost.

- ao -

: Door de wat grotere samendrukbaarheid van olie t.o.v. water worden

drukvariaties beter afgevlakt.

Aan het gebruik van olie zijn ook nadelen verbonden. Olie tast n.l.

de lijmlaag aan waarmee rekstroken worden geplakt. Dit kan worden voor­

komen door de rekstroken af te dichten met een nitrilrubber coating.

s.1.2 ~!!~!~~!~~!

Het belastingframe is zodanig ontworpen dat op het proefstuk een combinatie

van buiging en trek (onder uitwendige druk) kan worden aangebracht. De

proefnemingen die in dit rapport worden beschreven zijn beperkt gebleven

tot zuivere buiging en buiging onder uitwendige druk. De beschrijving van

de proefopstelling zal dan ook alleen op die gevallen betrekking hebben.

De buigproef wordt uitgevoerd als een zgn. "vervormings gestuurde vierpunts

buigproef". (Zie schematische weergave fig. 9, 10) • Door de trekstangen

te koppelen via de hefbalk is men ervan verzekerd dat bij het opvoeren

vah de belasting het buigend moment een constant verloop heeft.

Om te voorkomen dat het eigengewicht van het drukvat, met daarin olie voor

het overbrengen van de uitwendige vloeistofdruk, op het proefstuk een voor­

belasting uitoefent, wordt het gewicht van het drukvat (incl. olie) gecom­

penseerd d.m.v. twee contragewichten. Hiermee wordt tevens bereikt dat de

betrekkelijk kwetsbare afdichtingen tussen het drukvat en het proefstuk

niet worden belast door genoemd eigen gewicht.

8.2 Meetapparatuur

Bij de beproeving van de buizen worden zowel de aangeb~achte belasting

als de optredende vervorming geregistreerd.

8.2.l Druk

De uitwendige druk wordt aangebracht d.m.v. een motorpomp (plunjerpomp)

waarmee de druk in het drukvat constant kan worden gehouden ook als door

ovalisatie van het proefstuk het volume van de olie kan toenemen. De druk

wordt met een elektronische drukopnemer geregistreerd en tijdens de proef

zichtbaar gemaakt op de door IBBC gebruikte meetcomputer (compulog} die ook

de aflezing van de andere meetinstrumenten regelt. Controle van de gemeten

druk vindt plaats via de op de pomp gemonteerde manometer.

- ,91 -

Het buigend moment wordt niet rechtstreeks gemeten, maar berekend uit

de op de hefbalk aangebracht trekkracht.

De meting van de grootte

van de trekkracht F vindt

elektronisch plaats via

een boven de vijzel gemon-

teerde 'drukdoos' .Het op het

proef stuk aangebrachte buigend

moment kan als volgt worden berekend:

. a

F

a a

Indien de buigproef wordt uigevoerd onder uitwendige druk is het buigend

moment niet meer constant over de lengte van he~ proefstuk. Zie hiervoor

bijlage 2.

a·~2.3 ~~

Een belangrijke vervo:r::mingsparameter is de kromming. De meting van de

kromming van de buis vindt op verschillende manieren plaats. Dit gebeurt

om onderlinge contrêle op de meetinstrumenten mogelijk te maken.

In het elastisch gebied moet het gemeten verband tussen moment (M) en

kromming (K) overeenstemmen met het verband volgens onderstaande betrekking:

K = M/EI

Hierin is EI de buigstijfheid van het proef stuk •. Door het game.ten moment­

krommingsdiagram in het elastische gebied te vergelijken met het aldus

berekende moment-krommingsdiagram kan een goede contröle worden uitgevoerd

op de juiste werking van de meetapparatuur. Voordat met beproeven onder

uitwendige druk wordt begonnen, wordt altijd eerst een proefbelasting uit­

gevoerd (waarbij alle vervormingen nog elastisch blijven). Dit gebeu.t:t om

na te gaan of tijdens de montage van het proefstuk, dat voorzien is van

alle meetapparatuur, geen verstoringen zijn opgetreden.

- 82 -

De meting van de kranming geschiedt via twee verschillende methoden:

a Via de meting van de rek aan boven- en onderzijde van het proefstuk.

Deze rek wo:cdt gemeten d.m.v. rekstroken die op de buis zijn gelijmd.

~ - eo K = ----

0 u

D u

Een bezwaar is het plaatselijke karakter van de metingen. Door niet

gelijkmatig vloeien van het bu.ismateriaal ontstaan O'ITer het opper­

vlak van de bu.iswand, in d.e elasto-plastische overgangsfase, plaat­

selijk rekverschillen. De berekende kromming is in deze fase als de

buis begint te vloeien, mind.er betrouwbaar.

Dit is ook het geval als b.v. in

de g:edrukte zone enige buiqinq

in langsrichting van de buiswand.

optreedt. In dat geval worden aan

de buiswand behalve no::r:maalkracht-

rekken ook buigingsrekken (waarvan de ~ootte onbekend is) gemeten.

Een ander bezwaar van deze manier om de kromming te bepalen uit de

gemeten rekken is dat bij het optreden van ovalisatie rekening moet

wo:cden gehou:ien met een gewijzigde waarde voor D • u

b De tweede methode die wordt toegepast om de kromming van het proef­

stuk te bepalén,gebeurt met behulp van verplaats_ingsopnemers. Hierbij

worden de verplaatsingen gemeten die de uiteinden van zogenaam:ie meet­

armen t.o.v. elkaar ondergaan. Uit deze verplaatsingen kan de hoek­

verdraaiing wo:cden bepaald die twee punten op de buis t.o.v. elkaar

ondergaan.

/ / /

meetarm

- 83 -

ói = l~ibl + lóial

ói <1>=-a

De in onderstaande betrekking berekende kranming is de gemiddelde

kromming berekend over de afstand (i) die de twee meetpunten uit

elkaar liggen.

De meetarm wordt op een blokje

gemonteerd dat op de buiswand

is gesoldeerd. Gekozen is voor

solderen in plaats van lassen

om temperatuurinvloeden, zoals

krimp en daarmee gepaard

gaande veranderingen van de

doorsnede en de plaatselijke

beinvloeding van de materiaal­

eigenschappen te vermijden.

Als verplaatsingsopnemers worden

meetbeugels gebruikt waarmee de

verplaatsingen kunnen worden ge­

meten met een meetnaukeurigheid

in de orde van 0,01 mm. De capa­

citeit van deze opnemers is beperkt

tot 2,5 mm. Dit is bij de experimen­

ten onder uitwendige druk, gezien

de beperkte rotatiecapaciteit van

de flenzen v:an het drukvat (waar

sleuf met kunst­hars evuld

gesoldeerd blok'e

stelschroef

rek stroken ::::::::::

0

ri \ l l \ 1 \ 1 1 1 1 1 1

' ' . ____ , ---- -

het proefstuk door naar l:uiten steekt}, voldoen:ie. Bij de buigproeven

buiten het drukvat, moet de afstand tussen de meeta:.r:men, door de veel

grotere krommingen die dan gerealiseerd kunnen worden, d.m.v. stel­

schroefjes worden aangepast (zie ook foto 2).

om overbelasting van de opnemers te voorkomen (bij bezwijken van het

proefstuk kan de kromming plaatselijk zeer snel sterk toenemen),

worden de beugels aan d.e bovenzijde van de l:u.is (trekz6ne), tussen de

- 84 -

meetarmen geklem:i en aan de onderzijde (drukzöne) om de meetarmen heen.

Op deze wijze raken

de opnemers bij de

zeer grote vervormingen

die bij bezwijken van

het proefstuk op kunnen

treden, los va~ de buis.

Een nadeel va:r:i deze opzet is de wat minder grote bedrijfszekerheid van

de meetapparatuur. Door op meer plaatsen te meten wordt aan dit bezwaar

tegemoet gekomen.

8.2.4 Ovalisatie ----------Een andere belangrijke parameter in het Shanley rekenmodel is de

ovalisatie. De ovalisatie wordt uitgedrukt in de hoekverdraaiing S.

~(D-tID ) 1T v

tan(4 -S) = ~(D-00 ) H

of

voor kleine vervormingen (LID ;;;; 00 << 00) kan de ovalisatie S als H V

percentage van de l:.uisdiameter worden weergegeven:

In bovenstaande formules wordt met ~DH, ®v de horizontale resp. vertikale

diameterverandering bedoeld.

De meting wordt uitgevoerd met speciaal voor dit doel ontworpen tweedelige

beugels. Op het verenstalen

gedeelte van de beugel zijn

de rekstroken geplakt. Bij

overbelasting blijven de ver­

vormingen in dit gedeelte

elastisch. In het 'blikken'

gedeelte levert de opgedrongen

veren staal. (hoge vloeigrens)

blik (lage vloeigrens)

- 85 -

(grote) plastische vervorming geen problemen op (zie foto 3 en~).

Na gebruik wordt het 'bl.ikken' gedeelte van de beugel of vervangen of

weer teruggebogen. De stijfheid van de beugels (dikte 0,6 mm, breedte

20 mm) maakt het mogelijk om ze in twee centerputjes op de buis te

klemmen. Het meetbereik is ongeveer 5 mm met een afleesnauwkeurigheid

van 0,01 mm. De meest nauwkeurigheid is in de orde van 0,05 mm.

Tijdens de proef worden alle meetinstrumenten door de meetcomputer

zeer frequent afgelezen {maximaal twee maal per minuut). Registratie . van de meetgegevens vindt plaats via de meetcomputer (compulog) op

een ponsband. Tevens worden een aantal meetgegevens door de compulog

direkt verwerkt en op de bijbehorende printer weergegeven. Direkte

visuele interpretatie van enkele maatgegevens is mogelijk via de aan­

gesloten x-y recorder. Op deze x-y recorder wordt tijdens de proef het

gemeten moment-krommingsdiagram getekend.

8.3 Pr.oefstukken

De proefstukafmetingen zijn gekozen op grond van verschillende over­

wegingen.

- De diameter van de proefstukken is bepaald op ca. 100 mm in verband met

de grootte van de doorvoeropening van het drukvat. De uitwendige druk

veroorzaakt indien de diameter van het proefstuk groter of kleiner is

dan de doorvoeropening ongewenste druk resp. trekspanning in axiale

richting in het proefstuk.

- Als onderdeel van het proefprogramma zullen ook een aantal speciaal

bewerkte buizen worden beproefd. Door de eisen die gesteld worden aan

wanddikte en diameter (tolerantie .! 0,02 mm) is de buislengte van

dergelijke nauwkeurig vervaardigde proefstukken beperkt tot ca. 800 mm.

- Voor. install.aties van buisleidingen .. in waterdiepten tot ca. 1000 m

wordt in de literatuur [ 3, 7. [gedacht aan diameter-wanddikte verhoudingen

van D/t = 20 à 30.

- 86 -

- voor het verrichten van een aantal oriënterende proeven kan volstaan

worden met handelsbuis. In de handel is "precisie" buis verkrijgbaar

met een diameter van 100 mm en een wanddikte van ca. 4 mm (D/t = 25) •

~ van buizen met een diameter-wanddikte verhouding D/t = 25 zijn resul­

taten van ander experimenteel onderzoek beschikbaar.

Op gi'oi:id van bovenstaande overwegingen is de diameter:wanddikte VeJ:hou­

ding voorlopig bepaald op 25.

8.3.2 Proefmateriaal

Als proefmateriaal zijn verschillende soorten buis gebruikt: handelsbuis

zowel in naadloze als in langsnaad gelaste uitvoering en speciaal voor

deze proeven bewerkte buizen. Onderstaand zijn een aantal materiaaleigen­

schappen en de belangrijkste afmetingen weergegeven. In de grafieken 11, 12

en 13 zijn de spanning-rekdiagrammen van het gebruikte proefmateriaal. weergegeven

O' crs t:.v t:.R D t )?roef

e u soort

IN/mm21 IN/mm2\ % % lmm[ lmml

4, 5 A 315 430 2.S 25 89,5 3 .

6, 7 B 249 370 0.5 31 100 4

$, 9 c 320 460 1,7 25 100 4

Soort A handelsbuis met naad

B precisie handelsbuis naadloos

C speciaal vervaardigde naadloze proefstukken

ae vloeispanning

aB breukspanning

ev rek waarna versteviging gaat optreden

ER rek bij breuk

Opn. Naar aanleiding van de proeven 1 - 3 zijn wijzigingen in de proef­

opstelling aangebracht. De meetresultaten blijven hier.: buiten be­

schouwing.

- 87 -

Zoals eerder is gesteld dienen de proeven om de rRsultaten van het reken-

mo:iel te verifiëren. Bij het rekenmo:iel is in eerste instantie uitgegaan

van ideaal ronde buizen met een ideaal constante wanddikte; het in het

rekenmo:iel ingevoerde spannings-relatiè diagram

is bi-lineair.

In een later stadium van het onderzoek

zullen ook variaties in de geometrie

en in de materiaaleigenschappen in het

model worden ' ingebouwi' •

Teneinde de resultaten van het rekenmo:iel in deze fase van ontwikkeling

te verifiëren was het no:iig te streven naar proefmateriaal met zo weinig

mogelijk afwijkingen van de ideale ronde cilindervorm en met een span­

nings-rekdiagram met een duidelijk vloeitraject. De diameter-wanddikte

verhouding is naar aanleiding van de reeds vermelde overwegingen (8.3.1)

gekozen op 25.

In het licht van het voorgaande is aan het gebruik van handelsbuis (=

buis zonder bijzondere eisen) als proefmateriaal een aantal nadelen ver­

bonden. Dit betreft vooral de maatafwijkingen; buis niet cirkelvormig en

wanddikte variaties in omtreksrichting en in langsrichting. De buizen met

lasnaad (A), vervaardigd uit plaatmateriaal, verton~n veel kleinere wand­

dikte variaties dan de naadloze buizen (B) • Aan de andere kant is de on­

rondheid bij soort A weer groter dan bij de naadloze buizen (B} •

De speciaal bewerkte buizen (C) vertonen de maatafwijkingen in veel min­

dere mate. Door de nauwkeurige bewerking zijn ze echter tamelijk kostbaar.

De kosten voor het vervaardigep van een proefstuk (buislengte ca. 800 mm)

met een wanddikte va:c:iatie van minder dan 0.02 mm bedragen ruim f 2.000,-­

In verband met het oriënterende karakter van de eerste proefnemingen is

besloten hiervoor handelshuis te gebruiken. Dit oriënterende karakter was

gelegen in het uittesten van de werking van het drukvat, de belastingappa­

ratuur en de speciaal ontwikkelde meetapparatuur. Met deze oriënterende

proeven werd tevens een indruk gekregen van de uitwendige druk c.q. krom­

ming waarbij bezwijken optrad en van de bezwijkvorm. Deze gegevens waren

van belang bij de ontwikkeling van de theoretische modellen.

8.4 Uitgevoerde proeven, proefresultaten

In onderstaan:ie tabel is een overzicht gegeven van de uitgevoerde proeven.

De gemeten moment-kromming diagrammen en moment-ovalisatie diagrammen

zijn in de grafieken 20 t/m 33 weergegeven. De plaatsing van de meet­

apparatuur op de proef stukken is in geschematiseerde vorm weergegeven

in de figuren 14 t/m 19.

In onderstaa."ide tabel is naast enige bijzonderheden tevens de gemeten

bezwijkkromming en bezwijkdruk weergegeven.

Bezwijk bezwijk-

Proef Belasting Bijzonderheden krommim druk

z10-6mm1 K/K bar P/PP e

Oriënterenie proef buiten het drukvat, in het bijzonder

4 ~c::: """::::J) gekeken naar de bezwijkvorm. en naar de werking van de 470 14 - -meetapparatuur

Doel van de proef is geweest na te gaan of in trek- en

5 ~[:: °--:::::J) drukzöne, in de plastische fase, buigende momenten in 330 10 - -omtreksrichting kunnen worden overgebrachtl)

Oriënterende proeven in het drukvat op 'precisle' han-+ delsbuis2) onder constante uitwendige druk. In het bij- 4,5 100 0,50 6

~[: . ::J; . 110

+ zonder gekeken naar bezwijkvorm in verband met de model-

+ vorming voor belastinggeval buiging + uitwendige water-

7 ~(:.. ::J) druk. Daarnaast testen of meetinstrumenten ook onder 27 1,1 150 0,75

+ uitwendige overdruk goed werken.

-1-- Buigproeven order constante uitwendige overdruk op 8 ~c: ..-1-:JJ speciaal bewerkte proefbuizen3), met als doel de 135 4,2 147 0.57

meting van moment-kromming c.q. ovalisatie diagrammen.

+ Hiermee zal het mogelijk zijn resultaten van het nog 9 ~r::. :Jj uit te werken rekenmodel te verifiëren. 51 1,6 177 0.69

+ Opm. Naar aanleiding van de proeven 1-3 zijn wijzigingen in de proefopstelling aangebracht. De resultaten van deze

proeven blijven hier buiten beschcuwing.

00 00

- 89 -

1) Doel van de proef is geweest na te gaan of het rekenmcdel, voor wat be­

treft de reductiefactor voor het in omtreksrichting opneembare moment,

een juist beeld geeft. De in het rekenmodel opgenomen vloeicriteria voor

de reductie van het in de buiswand opneembare moment hebben als conse­

quentie dat dit opneembare moment tot nul wordt gereduceerd zodra in

axiale richting de vloeigrens wordt bereikt. Anders gezegd; in het reken­

model worden door rotatieveren in de trek en drukzöne geen buigend.e

momenten meer overgebracht zodra de vloeispanning in die zone is bereikt;

er ontstaan 'scharnieren'.

Er is een buigproef uitgevoerd op een buis waarin deze situatie met

'scharnieren' is nagebootst. Door in lengte richting sleuven in de buis

te frezen (foto 6) is de buig­

stijfheid en het opneembare mo­

ment in de buiswand ter plaatse

gereduceerd tot ca. 10 % resp.

ca. 20 % van de oorspronkelijke

waarde. Al.s proefstuk is een buis

gebruikt met verder dezelfde

eigenschappen als de voorgaande

proef. Dit is gedaan om door een vergelijking met de resultaten van de

vorige proef de irnrloed van de gefreesde sleuven en de eerder genoemde

in het model ingevoerde reductiefactor na te kunnen gaan.

2) Geometrie contrt>le van deze proefstukken toonde aan dat de diam.etervari­

aties weliswaar klein waren (!, 0.04 mm), maar dat de wanddikte verschillen

aanzienlijk groter waren (:!:_ 0.15 mm).

3) Geometrie contêle van de speciaal bewerkte proefbuizen toonde aan dat

wanddikte variaties kleiner waren dan + 0.2 mm. De variatie in diameter

bedroeg :!:. 0.01 mm.

- 90 -

9. BESPREKING PROEFRESULTATEN

9.1

In dit hoofdstuk worden de proefresultaten besproken van de in hoofdstuk

8 beschreven proeven. De proeven 1 t/m 3 zijn aanleiding geweest proef­

opstelling en meetapparatuur te mod.ificeren. De resultaten van deze

proeven blijven hier buiten beschouwing.

Proefstuk 4 Zuivere buiging

De buis is buiten het drukvat belast op zuivere buiging. Nadat de buis

tot in het plastische gebied was geboqen, is de kromming zich op één

plaats gaan concentreren. Het draagvermogen van de buis is echter pas

vrij sterk_gaan afnemen nadat de l:uis, in het uitendelijke plooigebied,

een kromming van ca. 27 K had bereikt. (gemiddelde kromming gemeten met e de verplaatsingsopnemers nr. 2, zie fig. 20 ) • De bereikte kromming buiten

het plooigebied is ca. 14 K (verplaatsingsopnemers nr. 1). De kromming e die berekend kan worden uit de rek, gemeten aan boven- en onderzijde van

de buis, is niet beschikbaar voor de gehele proef omdat de rekstroken in

de trekzone voortijdig van de buis losraakten. Het verloop van de kranming

berekend uit de rekstrookmeting, tot losraken, volgt het verloop van de

kromming gemeten met verplaatsingsopnemers nr. 2 goed (fig. 21 ) •

Het meetbereik van de ovalisatiemeters is beperkt; bij grote vervormingen

raakt het meetinstrument los van het proefstuk (zie ook 8.2.4). Tijdens

de proef.is de ovalisatiemeter nr. 2 die zich in het uiteindelijke plooi­

gebied bevond (fig. 14) losgeraakt van het proefstuk. Besloten is, in

verband met de vergelijkbaarheid van de meetresultaten onderling, de uit­

werking in grafieken (fig. 21 en 22 } te beperken tot het moment van los­

raken van de rekstroken.

De uitkansten van het rekenmod.el blijken tussen de gemeten diameterveran~

deringen in te liggen (fig. 20). De meetresultaten van meter 3 (fig. 14),

nabij de lasv.erbinding met de veel stijvere verlengstukken, zijn niet in

grafiek opgenomen in verband met de geringe ovalisatie daar ter plaatse

(orde grootte van de meetnauwkeurigheid).

Bovenstaande uitkomsten geven aan dat het rekenmodel het gedrag van de

buis, tot plooien, goed kan beschrijven. Opgemerkt wordt dat het plooi­

gedrag zelf, niet door het rekenmodel wordt beschreven. In het rekenmodel

wordt de grens van het draagvermogen bereikt door toenemende ovalisatie

over de gehele buislengte. In de werkelijkheid concentreert de ovalisatie

en daarmee de kromming zich op één plaats. (foto 5)

9.2

9.3

- 91 -

Proefstuk 5 zuivere buiging

De buis met 'sleuven 1 (foto 6, 7J is bui ten het drukvat belast op zuivere

buiging. Het draagvermogen van de buis verminderde nadat de buis tot

ver in het plastische gebied was gebogen. De gemiddelde kromming in het

uiteindelijke plooigebied (gemeten met verplaatsingsopnemers nr. 2)

bedroeg ca. 15 Ke (zie fig. 23). De krcmming berekend uit de rekstrook­

meting (ook in plooigebied, zie fig. 15) bereikte een waarde van ca.

17 K • De bereikte kromming buiten het plooigebied is ca. 10 K (gemeten e e met verplaatsingsopnemers nr. 1).

Door de aanwezigheid van de sleuven in de buis nam de ovalisatie wat

sterker toe dan bij de voorgaande proef het geval was. (zie fig. 24).

Omdat de verschillen met proef stuk 4 niet zo groot zijn lijkt de conclu­

sie gerechtvaardigd dat de reductie van het opneembare moment in omtreks­

richting, zoals deze in het rekenmo:iel is opgenomen goed werkt bij een

niet van sleuven voorziene buis. In werkelijkheid zal de reductie van

het opneembare moment in omtreksrichting, waarschijnlijk door een her­

verdeling van spanningen niet zover.gaan dat helemaal geen momenten meer

kunnen worden overgebracht. Bet verschil tussen de proefresultaten van

proef 4 en 5 is echter betrekkelijk klein. Daarom is besloten vooralsnog

de in het rekenmo:iel opgenomen reductie formules te handhaven.

Proef stuk 6 en 7 b.liging onder uitwendige druk

De buigproeven zijn end.er constante uitwendige druk uitgevoerd op

'precisie' handelsbuizen. De gemiddelde kromming waarbij de b.liswand

instabiel werd (implosie) bedroeg voor proefstuk 6, waarop een uitwendige 2 druk werkte van 10 N/mm , ongeveer 4,5 Ke (fig.24 ) • Bij proef 7 (uit-

wendige vloeistof druk 15 N/mm2

) werd een kromming bereikt van 1,1 K e (fig. 26).(Zie ook foto's 8 en 9)

In genoemde figuren is de gemeten kromming uitgezet tegen het uitwendig

aangebrachte buigend moment. De invloed die de druk op het verloop van

het b.ligend moment uitoefent is hierin niet verwerkt (zie bijlage 2).

In fig. 34 is een interactie diagram voor druk en kromming gebaseerd op

deze meetresultaten weergegeven. De punten op de ö.ssen van het diagram

9.4

- 92 -

zijn bepaald m.b.v. de ontwikkelde kinema.tische rekenmodellen. In

deze figuur zijn tevens de resultaten van proef 8 en 9 weergegeven.

De gemeten ovalisatie verschilde bij de twee proefnemingen aanzienlijk

(grafieken 27,'.29). Bij de laatste proef (druk 15 N/mmh is in vergelijking

met de voorgaande zeer weinig ovalisatie opgetreden voordat bezwijken

plaats vond (0,35 mm t.ov. 4 mm). Hiervoor zijn.een drietal oorzaken aan

te wijzen.

Qualitatief beschouwd wordt ovalisatie veroorzaakt door de ontbondene

van de spanning in de trek-en druk.vezels van de buis die in de richting

van het neutrale vlak werkt.

Deze ontbondene is groter naar­

mate de spanning in de trek en

druk.vezels groter is en is ook

groter naarmate de kromming groter

is. Het buigend moment en de bereikte

kromming waren bij proef stuk 7 belang-

rijk kleiner dan bij proefstuk 6.

De andere oorzaak is de hogere uitwendige druk, imlliers bij een hogere druk

is een geringere ovalisa~e nodig om tot een instabiele toestand te komen.

buiging onder uitwendige druk

De buigproeven zijn uitgevoerd onder constante uitwendige vloe:!.stofdruk

van 14,7 N/nm.2 resp. 17,7 M/mm.2 (ca. 1470 m resp. 1770 m waterdiepte). De

gemiddelde kromming waarbij de buiswand instabiel werd (implodeerde) be­

droeg 4,2 Ke resp. 1,6 Ke. De gemeten kromming is uitgezet tegen het uit­

wendig aangebrachte buigende moment (fig.29 en 30). In deze figuren is

nog niet de invloed verwerkt die de uitwendige druk heeft op het verJ.oop

van het buigend mom.ent (bijlage 2). De meetresultaten (druk en kromming)

zijn in figuur 34, tesamen met de resultaten van proef 6 en 7 weergegeven.

Zie ook foto's 10 en 11)

Door het plaatselijke karakter van de rekstrookmeting, het niet gelijk­

matig vloeien van de buiswancl en even'bl.eel het ontstaan van •golven' in

lengterichting {ovalisatie verschillen), kunnen tamelijk grote verschillen

ontstaan tussen de diverse meetresultaten (figuur 29) •

- 93 -

Tijdens de uitvoering van proef 9 is de uitwendige druk in een bepaald

stad.ium van de proef te hoog opgelopen. Dit heeft geresulteerd in voor­

tijdig vloeien van de buiswand. Hierdoor is een sprong in het moment

krommingsdiagram ontstaan (figuur 30) bij een b.ligend moment van ca.

3, 7 K.Nm.

De gemeten a.ralisatie is klein (maximaal 2 mm resp. 1 mm} • De op de di­

verse plaatsen gemeten mralisaties verschillen. onderling soms vrij aan­

zienlijk (grafiek 31 1 32 en 33). Voor de plaatsing van de meetapparatuur

zie fig. 18en 19.

- 94 -

10. LITERATUUR

111 C.S. ADES

Ben:iinq strength of tubing in the plastic range Journal of

the a:eronautical science, August 1957.

1 2 I J. BLAUWENDRAAD

A.W.M. KOK

Elem.entenmethod.e 1

Agon Elsevier 1973

131 D. BYNUM

Buckling considerations for subsea pipeline design

Ocean Resources Engineering april 1977

141 P.J.A. DE COO

Sterkte en vervormingseigenschappen van pijpleidingen in diep water

Inventarisatie van literatu.ur en beschikbare kennis, uitgevoerd in

het kader van het MaTS projekt PL-3

!SI M.A. CRISFIELD

Some approximations in the non-lineair ana.lysis of rectangular

plates using finit elemen.ts TRRL SUpplementary Report 51 uc

16[ A.A. ILYUSRIN

Plasticité

Editions Eyrolles Paris 1965

[71 M. NEWHAM

Algeria-Italy pipel.ine

Offshore Engineer, 87-90 May 1979

jSI E.T. ONAT

The plastic collapse of cylindrical shel.ls u.nd.er axially symmetrical

load.ing

Quart. Appl. Math 1955

- 95 -

19! R.S. PUTHLI

Collapse analysis of thin walled structures

Doctoral thesis University of SUrrey 1977

1101 R.S. PUTBLI

Interactive collapse of plate assemblages in relation to the

strenqth of box . qirder s

Stability of steel structures preliminary report Liège April 1977

!11! E. REISSNER

On finit pure bending of cylindrical tubes

Osterr. Ing. Arch. Vol 15, 165-172 (1961)

j121 E. REISSNER

J.J. WEINITSCBKEw

Finit pure bending of circular cylindrical tubes

Quarterly of applied mathematics, Vol 20 305-319 (1963)

j 13 l M. ROBINSON

A comparison of yield. surfaces for thin shells

Int. Journal of Mech. Sciences vol 13 1971

1141 M.A. SAVE

C. E. MASSONNET

Plastic analysis ani design. of plates, shells ani disks

math Holland Series Lomon 1972

115] S.P. TIMOSBENKO

J.M. GERE

Theory of elastic stability

McGraw-Hill Second edition

1-1

BIJLAGE 1

1. Invloed van normaalkracht op de grootte van het volplastisch moment.

In het Shanley model wordt gewerkt met rotatieveren die een elasto-

plastische karakteristiek hebben.

De elastische tak wordt

bepaald aan de hand van

het elastische vervormings­

gedrag van de buisleiding.

De plastische tak wordt be­

paald door eigenschappen van

r---- -----I

I

-..--------------------6 de buiswand (dikte, vloeispanning buismateriaal) en de normaalspanningen

in de buiswand op de plaats waar de rotatieveren gesitueerd zijn. De

vraag is nu hoe groot het

in omtreksrichting opneem­

bare moment maximaal kan

zijn als zowel in omtreks­

richting als in axiale

richting spanning in de

buiswand aanwezig is.

1.1 Von Mises vloeicriterium

In plaats van een stukje uit de buiswand wordt een rechthoekig stukje

materiaal beschouwd.

De berekening zal worden

opgezet voor een ideaal

plastisch materiaal dat

voldoet aan het vloei-

criterium van von Mises.

Uitgangspunt is een vlakke

spanningstoestand op de hoofd­

assen van het materiaal. Dit

betekent dat een aantal span­

ningscomponenten gelijk aan

nul zijn:

cr zz = crzx = (J

zy = (J xy = 0

l

1-2

In ~~n schijfje materiaal

(// xOy vlak) heerst een

uniforme twee-assige span­

nir.gsto~stand. De spanningen

die op de randen van de schijf­

jes werken voldoen aan het

vloeicriterium van Von Mises.

Bet vloeicriterium van Von

Mises voor een vlakke spannings­

toestand op de hoofdassen luidt:

= cr e 2

z

x

x Gesommeerd over de hoogte (t) maken de spanningen evenwicht met momenten

en normaalkrachten.

~t N = f cr dz ~t

-~t

~t 'M= f cr.zdz

-~t

(de breedte- èn lengte-afmetingen van het blokje materiaal zijn gelijk

aan 1 verondersteld) .

Er zijn oneindig veel spanningsverdelingen (Cl , cr ) denkbaar die aan x y het vloeicriterium voldoen. Àls echter rekening wordt gehouden met

vervorming van de schijfjes onderling is er slechts een oplossing.

over de absolute grootte van de vervormingen kan geen uitspraak worden

gedaan, er kan wel iets worden gezegd over de relatieve toename van de

vervormingen. Als aangenomen wordt dat vlakke doorsneden vlak blijven,

kan met behulp van de normaliteitsconditie het verloop van de spanning

over de hoogte van het blokje materiaal worden. bepaald.

1-3

Vlakke doorsneden blijven vlak

kan worden geformuleerd met de •

dimensieloze parameters e:(o) en

b.Ê ( = Ê (~t) - Ê (-~t)) •

De reksnelheidsverdeling wordt hiermee

.. • z . e: (z) = e: (o) +- Ó.€

x x t x

. . z • e: (z) = € (o) +- f:..E y y t y

z

• e: ( ~t)

Ê (-~t)

Deze notatie is wat omvangrijk, daarom wordt nu verder geschreven:

• • . . e: (o)

x = A, E (o) y = B,Ö.€ x = C,6.e: = D

y

De re.~snelheidsverdeling wordt met de nieuwe notatie:

. e: (z) = x

• e: (z) = y

A + ,! C t

De normaliteitsconditie geeft

de verhouding tussen de toe­

name van de rek in twee

richtingen:

• 1 e: (z) = T. • (-cr (z) + 2cr (z))

y ~ x y

Met iµ is een positieve factor.

• • Eliminatie van e: (z) en e: (z) levert een uitdrukking voor de spannings-x y verdeling over de hoogte van het blokje materiaal.

1-4

Ox(z) =~ij! { 2A + B + ~ . (2C + D)}

' 1 Oy (z} = 31jJ { A + 2B + ~ • (C + 2 D)}

1 De fac~or 1jJ kan worden bepaald door substitutie van de gevonden

spanningsverdelingen in de vloeivoorwaarde.

Voor het bepalen van de spanningsverdeling zou het voldoende zijn

geweest de verhouding (normaliteitsconditie) tussen de reksnelheden

te kennen. Door de vier variabelen (A, B, c, D) is echter de absolute

grootte van de reksnelheden vastgelegd, volstaan had kunnen worden met

de verhouding. Dit betekent dat een van de variabelen of een combinatie

van variabelen, overbodig is. Door teller en noemer van de spannings­

verdelingen te delen door een van de variabelen ontstaat een uitdruk­

king waarin slechts drie onafhankelijke variabelen voorkomen. ·

Door de spanningen, d.m.v. integratie over de hoogte van het stukje

materiaal, samen te stellen tot momenten en normaalkrachten ontstaat

een stelsel van vier vergelijkingen met drie onbekenden. Eliminatie van

de drie onbekenden levert het gewenste vloeioppervlak voor de interactie

van normaalkrachten en momenten die in twee richtingen werken. Door de

omvangrijkheid van de uitdrukkingen van normaalkracht en momenten leiden

pogingen om op deze manier tot een vloeicriterium te geraken al snel

schipbreuk. Ilyushin [ 6 1 zag kans door eerst te werken met lineaire com­

binaties van de momenten en normaalkrachten en in een later stadium met

kwadratische combinaties te komen tot een stelsel van drie vergelijkingen

met twee onbekenden. In deze vergelijkingen zijn ookschuifspanningen mee­

genomen. Toegepast.op hoofdspanningen ontstaat het volgende stelsel.

1:_ CS /:' (A + C ~) 2 e 3 t I z 2 z \

l"R(t) + Q(t) + p =

met R = c2+cD+o2

Q = 2AC+AD+BC+2BD

P = A2+AB+B2

Integratie levert:

1 - 1 I Gl = N - - N = - cr t x 2 y 2 e 3

= N 1 = .!. (J tl G2 - - i.'4 y 2 x 2 e 3

1 - = .!. cr t 21 Hl = M --M x 2 y 2 e 3

1 - 1 2; H2 = M --ivi =-O't

y 2 x 2 e 3

met J1

=

1 - dz

• t .

1-5

{AJl + CJ2 }

{BJl + DJ2 }

{AJ2 + CJ3}

{BJ2

+ DJ3

}

Door kwadratische combinaties te maken ontstaat een stelsel van drie

vergelijkingen met drie onbekenden.

1-6

Hierbij is nog geen rekening gehouden met het overbodig zijn van

een variabele, b.v. de variabele R kan uit de vergelijkingen worden

gedeeld. In feite is er dus een stelsel van drie vergelijkingen met

twee onbekenden, n.l. i = P en i = Q. N

= M"

x Normering van extensiekrachten en momenten met ç iC

x tcr e

en À = x 1 t2 - cr 4 e vereenvoudigt het stelsel tot:

?; 2 r;2 - • . Qt = + r;,xr;,y = f 1

(P,Q) x y

À2 À2 -. •

~ = + À À = f 2(P,Q)

x y x y

r;, \ - .!. . •

~t = (Çx).y + r;,yÀx) + Ç,Y).Y = f3 (P ,Q) x 2

Uitwerking van de functies f 1 , f 2 en f3

leidt niet tot handzame formules. • •

Door voor P en Q een aantal waarden te substitueren kan de vorm van het

vloeioppervlak F(Qt'~'Qmt) = 0 worden vastgesteld.

Als benadering voor dit oppervlak heeft Il:ll'\lShin de volgende formule

bedacht.

,--- - - - - - - -

Robinson j131 heeft de functies f 1 (P,Q) enz. uitgewerkt en voor een • •

groot aantal waarden voor P en Q nagegaan of de benadering van Ilyushin

voldoende nauwkeurig was. De benadering bleek het best op te gaan als ne~

aandeel van de buiging relatief groot was. De maximale afwijkingen be­

droegen ca. 6 %. Bovenstaande vergelijking geldt voor een volplastische

doorsnede. Crisfield j 5 \ heeft interactieformules bepaald voor het over­

gangsgebied tussen vloeien in de uiterste vezel en volplastische doorsnede

(Ilyushin). Vloeien in de uiterste vezel van een rechthoekig stuKje materi­

aal kan met de door Ilyushin gebruikte grootheden als volgt worden gefor­

muleerd:

Crisfield heeft de coëfficiënten van~ en Qtm gerelateerd aan de hoogte

waarover het stukje materiaal gevloeid is; en daarmee aan de bijbehorende

kromming.

1-7 -

In dit stuk is ook een samenvatting gegeven van Ilyushins afleiding

(de franse vertaling van het oorspronkelijk russische werk is uit­

verkocht). Voor belangstellenden wordt ook nog verwezen naar Puthli j9j 110 1 die het kriterium van Ilyushin verwerkte in een elementen pro­

gramma. voordeel van een dergelijk programma is de aanzienlijke be­

sparing_ in rekentijd bij elasto plastische plaatproblemen.

Voor toepassing in het Shanley model kan het vloeicriterium vereen­

voudigd worden; het moment in axiale richting in de buiswand is

klein t.o.v. de andere extensiekrac~ten en momenten en wordt daarom

verwaarloosd.

Toegepast op het kinematisch model wordt met x in de axiale richting en y

in de omtreksrichting, voor de diverse parameters geschreven:

x axiale richting (a)

y omtreksrichting (t}

Ill = À M = 0 aa x p plaatmomenten

mtt = À M =ÀM y p p

n = l;x N = ÇN aa p p extensiekrachten

ntt =~ N = T N p 0 p

N = t(1 / M = '4 t20' p e p e

Met behulp van de bovenstaande, in het kinematische model gebruikte

notatie, kunnen de componenten Q van het vloeioppervlak worden

geschreven als:

= À2

= - kÀ + î À 2 0

Substitutie in de formule van Ilyushin geeft een vierkantsvergelijking

in À voor de reductie van het in omtreksrichting opneembare moment. voor

de wortels van deze vergelijb.ng geldt:

1-B

Een alternatieve methode- om' te komen tot een vloeioppervlak voor

momenten en normaalkrachten die op twee vlakken werken is het kiezen

van een statisch toelaat.baar spanningsveld. :-Er wordt dan wel voldaan

aan het vloeicriterium maar niet aan het normaliteitscriterium. Het

gevonden vloeioppervlak is evenwel een acceptabele ondergrens.

d

--·- x

De snede krachten worden nu:

N = d cr x nx

N = d cr y ny

1 .(h2- d2) O' M = -x 4 mx

M 1 (h2- d2)0' ... -

y 4 my

=

y

cr mx

M x

In genormeerde vorm kan worden geschreven:

N' d crnx

r;;x x

= N = --h cr e p

N' crny r;;y

y d = 'N = h

cre p

'M cr À.

x {1 (d)2} mx = -= -x Fr h (J p e

'M (J

À.y = ..::t... = {1 - (~) 2}_ ~y ~ e

cr my

cr nx

·c - E_Y_

--- --- - ...... N y

1-9

De spanningen voldoen aan het vloeicriterium van von Mises.

cr 2 + cr

2 - cr cr = 0'2

nx ny nx ny e

2 2 cr + cr - cr cr = 0'2

mx my mx my e

Substitutie van de genormeerde snedekrachten levert:

2 Àx

2 +À· y

- 1; r;; = (~) 2 x y h

d Eliminatie van de term h levert het gezochte vloeioppervlak:

Toepassing in het ~eken model (À = ö} en het hanteren van de daar x gebruikte notatie geeft een vloeioppervlak dat de reductie van het in

omtreksrichting opneembare moment beschrijft.

1-10

Tresca vloeicriterium

Door Onat I 8 I is een vloeioppervlak afgeleid dat de interactie beschrijft

tussen normaalkrachten en buigende momenten. Uitgangspunt hierbij is het

vloeicriterium van Tresca. Bij de afleiding is de aanname gedaan dat in

één richting geen krommingsverandering optreedt. Het vloeioppervlak wordt

gevormd door een aantal elkaar snijdende vlakken. Door Save en Massonnet j14j is op overzichtelijke wijze de opbouw van het vloeioppervlak weergegeven.

vlak 1 r = -1 , À -2 r (1 + r ) "'x Y "y "'y r; ' 0 y

vlak 2

vlak 3

vlak 4 = 2(~z;; - r + 2r r - 2 r2

- ç2)

x "y "'x"'y ""x y l,; ~ 0 x

vlak 5

Toepassing in het reken model is rekenteahnisch erg lastig, daarom

wordt de voorkeur gegeven aan een van de eerder gevonden vloeioppervlakken.

In de grafieken 35,36 en 37

schillende vloeioppervlakken.

is een vergelijking gemaakt tussen de ver-

2-1

BIJLJl.GE 2

2.1 Imloed van de proefopstelling op de krachtsverdeling in het proefstuk

In het kader van het onderzoek 'sterkte- en vervormingseigenschappen

van pijpleidingen in diep water' zijn een aantal buigproeven omer

uitwendige overdruk uitgevoerd (hfst. 8 en 9). Bij deze proeven is

gebJ.eken dat, doordat het proefstuk door de afdicht:flenzen van het:

drukvat naar buiten steekt het verloop van het buigend moment wordt

beimloed door de in het drukvat heersende druk en de doorbuiging van

het proefstuk. De oorzaak hiervan is gelegen in het ontbreken van

v loeistofdruk op de kop schotten van de_ buis.

+ -------- -------- -

-- _,_..,_ ~----­ ---- - -- ---

De grootte van het buigend man.ent in eell punt van de buis kan berekend

worden uit het aan de buitenkant aangebrachte buigend moment M, de vloei­

stof druk P, het oppervlak van de doorvoeropening en de doorbuiging t. p. v.

het punt waar het moment wordt berekend.

De eenvoudigste oplossing is de doorbuiging te meten, echter in het be­

staande drukirat is daar:voor geen voorziening getroffen. In deze bijlage

wordt een theoretische benadering beschreYen om de doorl::uiging van het

proefstuk te berekenen zowel bij elastisch als plastische vervormingen.

Begonnen zal worden met een vergelijking van druk.vaten {open of gesloten)

en de consequenties die proeven in dergelijke drukvaten hebben op de krachts­

verdeling in de proefstukken.

2-2

De wijze waarop het proefstuk

in het drukvat is gemonteerd

is van invloed 9p de krachts-

verdeling in de buis. Er moet

onderscheid worden gemaakt tus-

sen twee fundamenteel verschil-

lende mogelijkheden, n.l. het

proefstuk bevindt zich in zijn

geheel binnen het drukvat of

het proefstuk steekt buiten het

drukvat uit.

+p

+p

Aangenomen wordt dat de hydrostatische drukverschillen t.g.v. de soortelijke

massa van het drukoverbrengendmedium (water, olie), tussen onder èn boven­

kant van het proefstuk, verwaarloosba.ar zijn t.o.v. het gemiddelde druk.­

niveau.

Als het proefstuk zich in zijn

geheel binnen het drukvat bevindt

en er behalve de druk geen andere

belastingen op het proefstuk werk-

+" ( : : !•: . : : : : ~

zaam zijn, zullen spanningen in axiale richting en spanningen in omtreks­

~ichting evenwicht maken met de uitwendige druk~> voor de eenvoud wordt

een rechthoekige buis beschouwd (dxd) met constante wanddikte t. Vorm­

veranderingen die de buis t.g.v. de uitwendige druk in omtreksrichting

ondergaat blijven :buiten beschouwing.

De normaalspanning in omtreks­

richting ot maakt evenwicht met

de druk P die op de omtrek werkt.

= -pd 2t

crt__...

Opm. door de druk veroorzaakte buigende momenten in omtreksrichting van

de buis blijven hier buiten beschouwing.

~) de spanningen in radiale richting blijven buiten beschouwing.

2-3

De normaalspanning in axiale

richting cr maakt evenwicht a

met de druk die op de kop-

schotten werkt.

Voor een proefstuk met een

andere vorm geldt dit ook. De

gearceerde stukken zijn symme­

trisch belast en dus in even­

wicht. In de figuur is met

letters aangegeven welke randen

evenwicht met elkaar maken.

zoals verwacht is de Quis hori­

zontaal en vertikaal in evenwicht.

De resultanten .van de druk die op

de vlakjes c, D en E werken gaan

door één punt en maken evenwicht

met een kracht F, in richting en

grootte gelijk aan de resultanten

van de druk op het overblijvende

oppervlak.

De hieruit volgende spanning in

axiale richting is weer:

cr a

A

E

E

c

De resultanten.Thebben dezelfde werklijn (as van de buis) en veroorzaken

geen momenten in de buis; alleen normaalspanning in axiale richting •.

M è.

= - pd 2t

= 0

2-4

Bovenstaande redenering is ook geldig als de buis een ander vorm heeft.

De situatie is nu anders;

: de druk op de kopschotten

ontbreekt.

voor een rechte buis geldt

nu dat er wel een spanning in de om.treksrichting is maar geen spanning

in axiale richting.

crt = - pd 2t

cra = 0

M = 0 a

Opm. Er is verondersteld dat het proefstuk in horizontale richting vrij

door de drukvat afdichtingen kan bewegen. OOk wordt verondersteld dat

t.p.v. de afdichtingen geen momenten door het drukvat op het proefstuk

kunnen worden overgebracht.

Het verschil met een proefstuk dat in zijn geheel binnen het drukvat is

opgesteld ligt in het ontbreken van de druk op de kopschotten. Als op de

kopschotten een drukkracht F zou

worden aangebracht ter grootte ~----------------.

van de resultante van die ~: ontbrekende kracht, zou de .._ ______________ __, ...

------------------:~= 1

kracht s verdeling in het proef-

stuk vergelijkbaar zijn met die

van een proefstuk dat in zijn

geheel binnen het drukvat is

opgesteld. Andersom geldt ook

dat de krachtsverdeling in een

: 1 1_: __ ~ F

proefstuk dat buiten het drukvat uitsteekt vergelijkbaar is met een proef-

stuk in een drukvat waaraan getrokken wordt met een kracht F ter grootte

van het produk:t van druk en doorvoeropening

1

1

2-5

Een zelf de redenering is geldig als

de buis niet recht is. Door het niet

recht zijn van de buis heeft het

ontbreken van de druk op de kop­

schotten nog andere consequenties;

n.l. het ontstaan van buigende

momenten in de buis. De grootte

van het buigend moment is af-

hankelijk van de af stand van de buis tot de werklijn van de ontbrek~nde

krachten.

De kracht F stelt de ontbrekende

kracht voor en is gelijk aan het

produlçt van oppervlak van de door-

voer opening en de in het druk­

vat heersende druk. Het mechanica-

systeem, van een buis die buiten het

drukvat uitsteekt kan nu geschematiseerd worden tot een (al of niet ge­

bogen ) balk waaraan getrokken wordt.

_....,"f

In het algemeen is het zo dat in de proefopstelling een recht proefstuk

wordt gemonteerd. Tijdens de proef wordt de buis dan gebogén. De vraag

is nu hoe de uitwendige druk het momenten verloop beïnvloed.

Opm. De afdichting van het drukvat gebeurt met rubberringen, hierdoor

varieert het oppervlak van de doorvoeropening met de hoekverdraai­

ing 6. Bij kleine hoekveràraaiingen is deze variatie verwaarloosbaar.

2-6

2.2 Elastische vervormingen

Voor het evenwicht kan worden geschreven:

M=M -FW 0

Als de buis nog elastisch reageert geldt:

2 M = -EI d W

d.X2

w

x

Bet evenwicht wordt dan beschreven met onderstaande differentiaal ver-

gelijking.

d2w 2 M 0

dx2 - À w = EI

met À2 F = EI

De oplossing van deze DV is met randwaarden W = 0 voor x = .:';_ ~t

W(x) M cash Àx

0

= - F cosh12J1.À +

M 0

F

Voor het verloop van het buigend moment over de buis wordt gevonden

met:

M = M - FW 0

M cosh Àx M(x)

0 =

cash ~ iÀ

À2 = F EI

2-7

2.3 Plastische vervormingen

Als de vervormingen niet meer elastisch zijn is geen exacte analylische

oplossing voorhanden. Er moet volstaan worden met het maken van een

schatting of het verloop van het buigend moment moet gezocht worden m.b.v.

een eindig elementen programma. Volstaan zal worden met het maken van een

schatting.

Aan het probleem bij het plastisch vervormen van de buis zijn twee a.s­

pecten die een exacte analytische oplossing in de weg staan. Ten eerste

de_formulering van de mcment-krommings relatie en ten tweede de analytische

oplossing van de differentiaalvergelijking die het evenwicht beschrijft.

Uitgangspunt bij onderstaande oplossing is dat in het plastische gedeelte

van de buis de buigstijfheid. constant is over de lengte, maar wel afhan­

kelijk is van de grootte van de buigende moment~n aan begin en eind van

de plastische zöne. Door deze aanname is de differentiaalve~gelijking

die het evenwicht beschrijft analytisch oplos.baar.

Ten aanzien van de moment-krommings relatie wordt gekozen voor een lineair

elastische tak en een parabolisch plastische tak.

Moment

M ---------------"'.:.::.--.,...---n

plasti~che tak

1 lineair elastische tak

K e n.K

e kromming

2-8

De vol:lll van de parabolisch plastische tak van het MK diagram wordt

bepaald door drie aansluitvoorwaarden.

M = Me K = K e

M = Me dM -= dK

EI M>M - e

M = M K = n.K n e

Als vergelijking voor het parabolisch plastische gedeelte van het diagram

wordt met bovenstaande randwaarden gevonden:

K =

met p =

(p(JL- 1)2 +MM). K ~ Me e e

Me{n.Me - Mn)

(M - M ) 2 n e

dM De buigstijfheid behorend bij de parabolisch plastische tak (dK = Elp)

is dan:

EI

1 +

In bovenstaande betrekkingen zijn twee vrijheidsgraden aanwezig om de

vorm van het plastische gedeelte van het MK diagram te beschrijven, n.l.

de parameters Mn en n. Aangenomen wordt dat dit voldoende is voor de hier

gekozen benadering.

Het buigend moment is het grootst bij de oplegging, meer naar het middEµi

wordt het buigend moment gereduceerd door de samenwerking van de door­

buiging W en de trekkracht F. Er worden nu twee gevallen onderscheiden

t.w. meer naar het midden reageert de buis nog elastisch (elasto-plastische

fase) of langs de gehele buislengte treden plastische vervormingen op

(plastische fase) •

2-9

De buis reageert in het middengedeelte nog elastisch, meer naar de

opleggingen vervormt de buis plastisch.

w

__ ,.,..,...".,.. ... -.,;e;l:a:stisch plastisch

Mo M 0

F ~~~,_ ____ __._ _______ i.,-J---------'-------+-....,-111>1"'

e

In het punt X = + ~)/, wordt juist de vloeigrens bereikt. Op grond van - e

symmetrie is het voldoende de oplossing te bepalen voor het rechter

deel van de buis (X 2:. 0) •

x = ~)I, e

Het verloop van het buigend moment in het middengedeelte (X < ~i ) kan - e

met de elastische beschouwing worden bepaald. Meer naar de oplegging

varieert de stijfheid van de buis.

x l:i M M dM EI = = , -= e e dK

x ~)/, M= M dM EI

= -= 0 dK

l M 1) + 2p(- -

M e

De b.ligstijfheid varieert tussen deze waarden. Voor de analytische op­

lossing van de differentiaal vergelijking die het evenwicht beschrijft,

is het noodzakelijk dat er een lineair verband bestaat tussen kromming

en buigend moment. Op grond van deze overweging wordt een lineaire be-

2-10

M n - - :::rr-

- - 1 nadering gekozen die

bepaald wordt door

de grootte van de

buigende momenten

aan begin en einde

van de plastische

zone (M , M ) • e o In formule vorm kan

M 0

M e

------,,,

K e

,,,,,. , / '

/ EI/a2 :

K 0

n.K e

voor de moment-krommingsrelatie voor de elasto-plastische fase worden

geschreven:

M < M e

- - - ·-

M < M < M e - o

M == EI.K

x < l:i i - e

x > l:ii e

Met de eerder gevonden uitdrukking voor de kromming (parabolisch plastische

tak) behorend bij M0

, geldt voor a2

M a2 = 1 + p (~ - 1)

Me

w

EI

F ... --+-JL---'---+-.....1-~--1-~-~~i-1--------..,_....i•F e

2-11

Voor het evenwicht kan worden geschreven:

M = M - F.W 0

De moment-krommings relaties leveren:

d2

W EI --

1

dCl.2 M = -

1 EI M = Me (1 - 2 ) - 2

a. a.

M < M e

M < M < M e - - o

Het evenwicht in de elastische zöne resp de plastische zöne wordt be­

schreven met:

=

met

M 0

EI

M (a.2

- 1) - a.2

M e o EI

De vergelijkingen, voor de doorbuiging, die aan deze differentiaal­

vergelijkingen voldoen zijn:

AeÀx + Be-Àx + M

wl 0 = F

Cea.Àx + De-a.Àx M M (Ci.2 - 1)

w2 +~ e = -F ciF

2-12

Rand- en overgangsvoorwaarden:

0 dw1

0 x = -= dx

dw dw2

~t 1

x = wl = w2 I Ml = M2 = M l --= e e dx dx

x = '2t w2 = 0

Uit deze zes rand- en overgangsvoorwaarden ontstaan zes vergelijkingen;

de vergelijkingen gebaseerd op de randwaarden w1 = w2 en M1 = M2 zijn

identiek. Er blijven nu over vijf vergelijkingen met vijf onbekenden,

t.w. A, B, C, D, te. Uitwerking levert:

M A = B = - _2_F __ c_o-sh_e_~_À_t_e_

M e-':2etÀte c = - _e_ { 1 +atanh . Àt }

2Fet2 ":! e

M ~Àt } e':2o.Àte D = - _e_ { 1 - atanh

2Fa.2 e

Bij de bepaling van bovenstaande constanten is nog geen gebruik gemaakt

van de randwaarde x = ~t ; w2 = O, hiervan wordt in een later stadium

gebruik gemaakt om te (onbekend) te bepalen als functie van t. De ver­

plaatsingsfuncties worden met bovenstaande constanten:

0 < x < ;i,;t e

Me cosh À.X

wl = - F cosh '2Ài e

M +.....:::.

F

elastisch

-------------- ·-----"-------------plastisch

2-13

Voor het verloop van het buigend moment volgt:

0 < x < 12i e

M cosh Àx e

elastisch

-·- - - - ---- - - - - - - -- - - - - - - - - - - - -- -12i < x < ~!

e- -plastisch

M M

2 = ; {cosha.À(x-12ie) +<ltanh ~À.ie siooÀ(x-12ie)+a.

2- 1}

(l

De waarde van ie volgt uit de randwaarde w2 = 0 voor x = ~i

De nog onbekende lengte !e' het punt waar juist Me wordt bereikt, is niet

expliciet in de overige termen uit te drukken. De lengte te wordt

bepaald m.b.v. een Newton-Raphson iteratie procedure.

Met H(ie) is bovenstaande vergelijking en voor:

·aa (i ) sinhaÀ (.9.-.9. ) -d-i,,__e_ = - ~a.À { sinh J.,a.À (.9.-.11.

9) - --,,..._ __ e_

e cosh2 ~Ài e

+

+ a. tanh ~Ài cosh ~Cl.À (.2.-R. ) } e e

2-14

2.3.2 Plastische fase

Het aangebrachte buigende moment M0

is nu zover opgevoerd dat ook in

het midden (x = 0} de buis plastisch vervormt. De eerder gekozen

schematisatie wordt aangepast. De buigstijfheid van de buis wordt ook

nu bepaald door de extreme waarden van de bu.igende momenten in de plas­

tische zone.

Het buigend moment in het

midden van de buis (x = 0)

is gereduceerd tot Mm. Als

lineaire benadering van de

moment krommings relatie

in de plastische fase volgt:

w

M 0

M m

M e

M = Mm + EI (K-K ) a.2 m

Me < M < M < M m- - o

/ I

K m

... -...

K 0

2-15

Met de eerder gebruikte uitdrukking voor de kromming behorend bij M 2 m

resp. M0

volgt voor a. :

M + M a.2 = 1 + p ( o m _ 2 }

Me

Voor het evenwicht geldt:

M = M - FW 0

voor de moment k.rommings relatie geldt:

EIK EI d2w M M

m = --;;-- ---m CJ.2 da.2

Het evenwicht in de plastische fase kan worden beschreven met:

Met de randwaarden:

dw (o) dx

volgt als oplossing:

lMm; M K

w 0 m = - a.2À2

Met Mo EI

- -K = a.2 0

= 0

) M

m

K m

W(~i) = 0

( coshaÀx cosh*:etÀi -1)

~K 2 m

a.

w -Ko ( coshet.Àx _ 1 ) = a.2À2 cosh~a.Ài

volgt:

2-16

Voor het verloop van het buigend moment volgt:

M = EIK

0

ri [ cosha.Àx _ 1J cosh~a./..!

Het buigend moment in het midden van de buis (x = o) is per definitie

M = M zodat volgt: m

(M - M )a.2 m o

EI ( l - 1) = Ko cosh~~Ài

Substitutie van a.2 en EI K levert na enig rekenwerk: 0

- [;..e.. (M - M } 2 + M J + [ï_e_ (M - M )

2 + M ) cosh~cx.À! = 0 Moe o Mme m e e

Uit deze functie wordt Mm bepaald met een Newton Raphson iteratie

procedure. Opgemerkt wordt dat a. een functie van M is. m Stel het linkerlid van bovenstaande vergelijking een funtie H dan

dH volgt voor dMm

:m = f ~ (Mm- M8 ) + 1) cosh"aU + [:. (Mm -M8 ) 2+ Mm) • "Àt sinh"ClÀt *

[

M + M :t ~ : 1 + p( OM m

e e 2) J-12

In grafiek zijn de resultaten van een rekenvoorbeeld weergegeven.

Hierbij is een vergelijking gemaakt tussen een volkomen elastische be­

nadering en een parabolisch plastische benadering. Ook is een vergelijking

gemaakt voor de berekende kromming in het midden van de buis en de kromming

behorend bij het punt van M wordt aangebracht. 0

Bovenstaande methode is niet alleen bruikbaar om de invloed van de uitwendige

druk op,het verloop van het buigend moment af te schatten, maar kan ook ge­

bruikt worden indien trekkracht op de buis wordt uitgeoefend.

2-17

2.4 Proefopstelling IBBC

Bij het IBEC wordt een open drukvat gebruikt; het proef-

stuk steekt door het drukvat naar buiten. Omdat het drukvat een grotere

lengte heeft dan de beschikbare proefstukken, worden de proefstukken vez-­

lengd met stukken handelsbuis (verlengarmen) • Om te voorkomen dat deze

verlengarmen na iedere proef vervangen moeten worden zijn ze zwaarde,r

uitgevoerd dan de proefstukken. Het gevolg is dat een berekening zoals

in het voorgaande is aangegeven aanzienlijk moeilijker is geworden.

De rotatiecapaciteit van de doorvoeropeningen is beperkt, daarom zijn

de kopstukken onder een hoek aan de verlengarmen vastgelast. Ook hier­

door .treedt een extra complicatie op in de berekening.

Q, • .L

Voor dit belastinggeval kan onderstaande schematisering worden gemaakt.

M

F 4 ~~~--------------~------------------~~F il R,1

JS: r - IJ

M M F+._o ___ +F Mr is het buiten het drukvat aangebrachte buigende moment.

F is de kracht die bepaald wordt door het oppervlak van de doorvoer

oplossing en de druk.

2-18

Aangenomen wordt dat de stijfheid van kopstukken en verlengarmen zö groot

is t.o.v. het proefstuk dat de vervormingen verwaarloosbaar zijn. Voor

het verband tussen verschillende variabelen geldt nu:

4>=Y+8 {constant)

M0

= Mr + F (t2siny - t 1 sin0}

dw tane = a.x (-~t)

Voor kleine hoeken ij>, y, 0 mogen de betrekkingen worden gelinealiseerd.

siny = y, sine = e tane = e

Substitutie levert een betrekking tussen het uitwendig aangebrachte moment

~ en het op het proefstuk aangrijpende moment M0

- F(i + i ) dw (-~i) 1 1 2 dx

voor de hoekverdraaiing aan het uiteinde van het proefstuk worden afhan­

kelijk van de fase waarin het proefstuk verkeert, verschillende uitdruk­

kingen gevonden.

Elastische fase:

ÀM = ~ tanh ~Ài

F

Elasto-plastische fase:

dw = - dx (~,Q,)

Plastische fase:

ÀM e =--

F ( sinh~a.À ) · (i-t ) + tanh ~Àt cosh~a.À(i-t } et e e e

K 0 = aÀ tanh ~aÄi

2-19

Als betrekking tussen Mr en M0 wordt na substitutie gevonden:

Elastische fase:

Elasto-plastische fase:

M = M + F i2

ip-ÀM (Q. 1+i2

) ( sinh~a.\ (.Q..-Q, ) +tanh~ÀQ. cosh~a.R, (.R.-i )) o r e e e e

Plastische fase:

Het verloop van buigend moment en doorbuiging kan gevonden worden door

substitutie v:ande gevonden uitdrukkingen die het verband tussen M0

en

Mr weergeven in de betreffende vergelijkingen. Opgemerkt wordt dat beide

laatste vergelijkingen impliciete vergelijkingen zijn; .R, is een functie van e

M en ook K0

en a zijn funct:ies van M • Volledige uitwerking van deze 0 0

laatste twee gevallen blijft voorlopig buiten beschouwing.

Elastische fase

In grafiek 39 is een vergelijking gemaakt tussen een geval met verlengarm

en kopschot en een geval zonder.

3-1

Bijlage 3

Buiging van buizen volgens Reissner

t1 J ~ Buis met straal r en wanddikte

h

Volgens de lineaire theorie

is:·

M = EI x = EI Rx

= fE x2

h ds (l Rx

Hierbij is de oorsprong van het assenstelsel in het zwaarte­

punt geplaatst. Dit wordt als voorwaarde op de volgende

wijze geformuleerd.

Jx hds = O, Jy h ds = 0 (2)

Door buiging zal de buiswand gaan vervormen, aangenomen

wordt dat de buiswand in omtreksrichting alleen verbuigt,

en niet op extensie wordt belast.

De verplaatsingen u en v in

de hoekverdraaing a van de

weer de buigrek (kromming)

---------------

. K. = as e ds

resp. x en y richting bepalen

buiswand, welke op zijn beurt

in omtreksrichting bepaald .

(3)

- On finite pure bending of cylindrical tubes, .. Osterr. Ing. Arch. Vol 15, 165-172 (1961).

- Finite pure bending of circular cylindrical tubes.

Quarterly of applied mathematics, Vol XX, 305-319 (1963)

3-2

Het verband tussen de verplaatsingen u en v en de hoekverdraaiing

B wordt als volgt bepaald.

y•v . - - . . - . ~-~--Y -- _ '2/(_ :

x .xtU

Als we langs s over de omtrek wandelen en x en y als !unctie

s beschouwen, dan vinden we voor begin en eindpunten van het

stukje ds als x·coördinaten:x en x + ~~ ds, het verschil

dx ·· · 1 d dx "' f 1 d d "' ds ds = ds cos <P , waaruit vo gt at ds = cos 'I' o we x = s cos '!'

voor y geldt dan dy = ds sin <f>.

Nu wordt dit ook voor het verplaatste stukje ds gedaan.

Begin en eindpunt: x + u en (x + u) + d(~:u) ds. . d x + u Het verschil ds ds = ds cos (Qi+S), zodat

d(x + u) = ds cos ($ + 13) (4)

en voor y: d{yd: v) = sin ($ + S) (5)

Bij de niet lineaire theorie moet de vervormingen in de

beschouwing worden betrokken.

form. ( 1) wordt dan Mx (6)

en

form. (2) f (x + u) hds = O, f (y + v) hds = O (7)

-·- -- --------\- ~- - .

)l(tU -z ....,. Door het monent Mx onstaat een rek

in axiale richting: Ez.

De grootte van de rek is afhankelijk

--~---· _, van de af stand tot de neutrale lijn 1

' Voor de vervormde doorsnede geldt nu:

e: = (x + u).K = (x + u) (8) z x R x

3-3

Als Rx constant wordt verondersteld voor de doorsnede, dan

g-eldt:

d e:z 1 d {x + u) met verg. (4) dS = R ds x

wordt dit: d e:z cos ( <I> + 8) (9) dS = R

x

ofwel: d e:z cos ( tj) + S) 0 (10) dS - = R

x

We gaan nu verder met het afleiden van de differentiaal vergelijkingen. Voor een gegeven waarde R moet de in de

. x gebogen buis, opgeslagen energie een minimum zijn. Als

uitdrukking voor de energie in een eenheidslengte van de buis

wordt genomen:

Als verondersteld wordt dat geen spanning in omtreksrichting, in het middenvlak van de buis, optreedt dan mag worden aangenomen:

O' z = E e:z en ~\, = EI K9

zodat:

D!l ~ f (h E '2 + EI 2

) ds = e: K ~Z e

D!l ~ f (C 2 + D 2 e) ds = e: K z (11)

met C = Eh K6 = dB (3} ds

en D = E h3

12

Gezocht wordt nu het minimum van o2 onder voorwaarde dat

3-4

voldaan blijft aan (10). Dit kan m.b.v. de multiplicatoren

methode van Lagrange en variatie rekening.

d e: 0 f [ ~ c 2

e: z + 1.2 D (Af) 2 + F (--z - cos ( <P+B) )] ds = 0 ds ds Rx

uitwerken:

De onderstreepte termen worden partieel geïntegreerd.

s ( 21T)

r 0 dB d oB J ds. as dB

ds = D oB • ds 2

- J D o f3 • LJ ds ds 2

s ( 0)

De eerste term in het rechterlid is gelijk aan nul op grond

van continuiteit.

f F. d oe: z

ds ds =F o E z

s ( 21î)

s (0)

-f o€ dF z ds ds

Ook hier is de eerste term van het rechterlid gelijk aan nul.

De onderstreepte termen worden nu vervangen na enig rangschikken

ontstaat:

J [ ( C E z - dF) o e: + ( F sin { <f> + S) - D d 2 f3 ) o f3 + ds z Rx ds2

oF cos ~<P + 8) l] ds = O x

Voor alle waarden van óF is de laatste term gelijk aan nul; zie

verg. (10). De rest van de integraal is nul voor alle waarden

van êe:z en oS, door de coëfficienten gelijk aan nul te eisen.

( 1:

3-5

c dF 0 E: - ds = z (13)

F . sin { <P + 8) D d2S 0 -ds 2 =

Rx (14)

Door (13) nog een keer naar s te differentiëren:

en in te vullen in (9)

ont:.staatvolgende vergelijking:

1 c

cos c <P + e) (15)

Nu gaan we de vergelijking (6) voor het moment Mx bewerken,

met verg. (8} wordt Mx

Mx = fh E e: z (x + u) ds = f C s z (x + u) ds

met verg. (13):

Mx = ! : ( x + u) ds !,)art. integreren s ( 21!')

= f (x + u) dF = F (x + u} l - ! F d(x + u) ds s (0) ds

Het eerste deel van het rechter lid is gelijk aan nul want de

functies zij periodiek in 2rr.

Het tweede deel gaat met verg. (4) over in:

Met (151 wordt

partieel integreren:

Rx dF M =--F-

x C ds

s = 21l'

s = 0

R + _.!!. c ! (dF) 2 ds

ds

3-6

Het eerste deel van de vergelijking

weer gelijk aan nul zodat:

R dF)2 M

x f ds = c (ers x

verg. (13) c e: z = dF ds = E h e:z = h

Buigspanning in axiale richting Oz

Me = E Ie K8 M.y <1 = E y Ke =

e e era = Ia met (3)

Buigspanning in omtreksrichting:

E h -2-

dB ds

is om reden van periodiciteit

(16)

az

1 dF (17) = h ds

+ E h - 2 Ka

( 18)

Afgeleid zijn nu een set vergelijkingen voor de spanningen

{17 en 18) die bepaald worden door de oplossing van de set

differentiaal vergelijkingen (14 en 15). Deze oplossing kan . op twee manieren worden bepaald, nurnmeriek of met reeks ontwikkeling.

Eerst worden nu de vergelijkingen dirnensieloos gemaakt, onder

aanname dat:

ds = r d cp met r is constant

De verplaatsingen U en V worden danrnet (4) en (5)

~'IT u = r * { f cos (cp + 6) d <P - 1 }

0

r ~ { ~'IT

v = 1 - f sin 0

( <P + $) d cp }

Stel F cr2 f, r2 Ic Mx

= a. = m = I

Rx R ID 1T r /C.D .x

verg. 14 en 15 worden dan:

e" 2 .ç: sin ( <P + $) (19) = a. ....

f" = cos ( <P + Bi (20)

3-7

waarbij het '-teken differentiatie naar ~ voorstelt.

verg. 16, 17, 18 worden dan:

1T

M = 4et /2 1T 0

(21)

+ E h f' .cr z = . a. • r ( 22)

+ E h 8' cr e = ·- . - 2r (23)

u = r i: { };r f~' dq, - 1 } (24)

0

v { 1 "~1T B" dcll } = r :t 1- :::r . 1 -

.a . f

0 (25}

Onderstaande plaatjes geven een overzicht van de resultaten

via reeks ontwikkeling en de numerieke oplosmethode.

1.4 ____ .,._..--,.--1--.....----------.....------~

1.2 -

0.8 m

0.6

0.4 -_ numericol

solutien e. , ~.1 __ a2...:

0.2 exponsions i - '-'\'\·

oo.__._....._.....__._.......__,__..._..,__.__.~.._....._..._-'-...J...._.__._~_._~

l.'O 2.0 3.0 4.0

0.6-

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

a

F10. :?. Dimeruiionlcss Moment Curva.turo lfolation

" ub,mb 1c:::;~== E b h

'/.:·,Pn li 1 1 4terms I

1° --o--} n. umerical / -o- solulion

/0 - a 2 - exponsions '/

2.0 3.0 1.0. a

FIG. 3. Dimeruiionless Ma.'Cimum Direct and Bending Stresses

3-8

De nummerieke methode geeft als maximaal moment me

= 1,06 bij een kromming a = 1,66 c

Dit komt overeen met:·

M c

l,061Tr E t 2

= 112

1 - 1, 66 t Kc = R - --;:712 -2

x r:

Indien we deze grootheden relateren aan de onvervormde doorsnede dan volgt:

= E (t) 3,27 r

Eer= 0,48 (;)

Onderstaand zal een overzicht worden gegeven van de

gebruikte methode om de oplossing via reeks ontwikkeling

te bepalen.

Beschouw de oplossing f enS als ontwikkelbaar in de

volgende reeksen:

+ -----

ontwikkel sin S en cos a ook in reeksen:

82 s4 G· cos 8 = l - + - 8 -------2! 4T 6T

3 + 85 87 sin 8 = (3 - TI 5T - 7T -------

Invullen in verg. (20): f" = cos (eb+ (3) = cos q, cos S - sin q, sin

3-9

geeft:

2 4 6 f" + a f" + a f" + a 0 2 4 f" 6 + • • • • =

cosy {1 - frCa2 S2 + a4 134 + C46 S5 + ••.• )2 + ,f; (a.2 S2

l ·+Sf ) 5 - ••• }

6 ) + • • • } +

Dit moet voor elke waarde van a gelden.

f" 0 = cos <P

2 f" B2CL 2 sin . <P a = 2 ~ f" 2

f Il 4

f" 6

= - 82 sin cp

= - S4 sin <P - ~ s2 2

= - B 2 B 4 cos et> - ( S 6

·sin tl>

De andere differentiaal vergelijking (19) van het stelsel

kunnen we op dezelfde manier bewerken dan volgt:

e " 2 = f o sin cp

s" = f o 2 cos <P + f 2 sin <P 4 q Il = -~ 6 . . . . .

cos <P

- 1/6 a 3> 2

De oplossingen moeten periodiek zijn in 2rr ; dus geen inte­

gratie constanten.

3-10

s Il 2 = - sin <P cos 41: + {3' 2

2 =-~sin <P+B 2 = sin 2 <P

8

f Il = 2

sin 2 <P

8 sin <P = 1 î6

1 ( cos <P - 9 cos 3 <P>

Op deze manier kunnen alle coefficienten worden bepaald.

Invullen en integreren in vergelijking (21) leidt

tot:

1 a.3 1 as + 16 3 7 m = a- 8 - 96 82944 a + •••

Op overeenkomstige wijze kunnen de verplaatsingen U en V in resp. X en Y richting, worden bepaald.

2 7la 4 44551a 6 - u et + = TI + 8640 + r 7560.7200 . . .

v a.2 + 4 2059a. 6 a - - = Il 960 168.7200 + ... r

Aannamen:

Theorie heeft betrekking op dunne buizen. Er is geen

resulteren omtrekspanning. Geen dwarskrachtvervorming.

Integratie over omtrek s, is hetzelfde als integratie over cirkel.

BIJLAGE 4

1. Invloed van hydrostatische druk op het draagvermogen van buizen met kopschot

In hoofdstuk 3 is het draagvermogen van een cirkelvo:r:mige doorsnede be­

sproken. Hierbij is er vanuit gegaan dat uitwendige hydrostatische druk

geen spanning in axiale richting veroorzaakt. Deze situatie doet zich voor

bij proefnemingen in zqn. 'open' drukvaten (zie bijlage 2.1.l). Er werkt

dan geen hydrostatische druk op de 'kopschotten' van de buis.

Voor het geval dat er wel vloeistofdruk werkt op de kopschotten (de situ­

atie op zee is hiennee vergelijkbaar) , zal er ook verschil zijn met de

in hoofdstuk 3 afgeleide formules voor het draagvermogen van een buis.

In deze bijlage zullen de belastinggevallen worden uitgewerkt waarbij wel

hydrostatische druk op de kopschotten van de buis werkt. Voor de. can.binatie

van (vloei) spanningen zal het vloeicriterium van Huber Henck.y worden ge­

bruikt.

Er wordt met nadruk op gewezen dat in de hier gepresenteerde berekeningen

evenals voor hoofdstuk 3 geldt dat de cirkelvo:rm. van de buisdoorsnede be­

houden blijft. Het optreden van ovalisatie en plooi van de buis blijft

hier buiten beschouwing. De afgeleide betrekkingen geven een (bèven) grens

aan van het draagvermogen van een buis.

2. Draaqve:r:mogen

De hydrostatische druk veroorzaakt

zowel spanning in cmtreksrichting

als in axiale richting.

-p' R a = P

r t

= - Pp•7fR2

cra 27rRt = -p'R ::.f._ 2t

De maximale druk wordt bereikt als de

vergelijkingsspanning gelijk is aan

de vloeispanninq.

opm. In deze bijlage (hydrostatische druk op de kopschotten) zullen de reken­

krachten, ter onderscheiding van de elders in dit rapport gebruikt nota­

tie, worden aangeduid met een' teken (P', M', F'}.

- 2 -

De vergelijkingsspanning wordt gevonden door combinatie van ringspanning

en spanning in axiale richting m.b.v. het vloeicriterium van Huber Hencky:

CJ 2 + CJ 2 r a

( 1) 2 { R2 R2 R2

} -+----pp t 2

4t2 2t2

2 = - CJ (J (J r a e

2 = (J e

Voor de belastingcombinatie van

uitwendige druk en axiale trek­

(of druk) kracht geldt:

a = _F_' __ ~ a 21TRt 2t

De maximale hydrostatische druk p' wordt bereikt als de vergelijkspanning

gelijk is aan de vloeispanning.

(met p p

tcr e =--R

n'R. 2 F' n'R 2 n'R F' p'R, 2 (t) + (21TRt - 2t> + t · (21TRt - 2t'1 = 0 e

(grafische weergave fig. 1a)

F = 21TRtO ) P e

- 3 -

Hydrostatische druk + buiging -----------------------------·

Door de aanwezige ringspanning crr

kan de absolute grootte van trek

en drukspanning bij vloeien ver­

schillen. De grootte van trek en

drukspanning kan m.b.v. het vloei­

kriterium van Huber Henck~worden

bepaald".

cr 2 + cr cr + cr 2 2

- cr = o a a r r e

1 lVt, 2 3cr 2 0 a1 = crt = -'- cr + - 4cr -2 r 2 e r

= !. cr - .!.. ~cr 2 - 3cr 2

0 a2 = crd 2 r 2 e r

cr = - p'R r t

Gesommeerd over de doorsnede zijn deze spanningen in evenwicht met de

hydrostatische druk, op het kopschot.

2 (~ + 2y). Rt. crt + (rr-2y) .Rt. crd = -p'. TIR

Door substitutie van crt, crd en crr volgt dat de hoek y = o. Dit betekent

dat de neutrale lijn niet verplaatst. Voor het buigend moment wordt

gevonden:

M' = 2R2 t v.'4cr 2

- 3 cr 2 e r

Hetgeen resulteert in de betrekking:

grafische weergave fig. la.

- 4 -

Naar analogie van het voorgaande

geval geldt dat de gescmmeerde

spanningen in de buiswand in even­

wicht zijn met de uitwendige

belastingen.

at = ~ar +

~a -crd = r

0 = - E.'..! r t

Sanmatie:

2 (TI+2y} • Rt. crt + {n-2y). Rt. crd = - p 1TIR + F 1

Substitutie levert een uitdrukking voor hoek y

F'

y = 2Rt \40 2 3cr 2 e r

Voor het buigend moment M' wordt gevonden:

In genormeerde vo.:cm luidt deze betrekking:

~ \.{o 2 e

~ \40 2 e

- 3 2

0 r

- 3 0 2

r

~ . 1 . 1 p

pp

) -nr.:

nr.:

A

î 1 l

1,0

1 F p -

F p p p

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

F > F F: axiale trekkracht p

M ~,_...-> M: buigend. moment M

uitendige druk p

P: M ~~ . .;;..... -M

p

{MM ) - cos { ~ • : ) = 0 p p

M / P 21

(-) - "2 4-3 (-) cos M p p p

p

( '!!' • p ) p = 0

2 / 4-3<L> 2' p p

Voor afleiding van formules zie hfst. 3.

Interactie diagrammen voor het draagvermogen van een cirkelvormige

, (onvervormde) doorsnede

..

\JCD IBBC

Rapp. nr.:

Opdr. nr.:

î 1,2

---~ p P' p' p "' ~ p p

1,0 ~~

0,8

0,6

0,4

0,2

0

F: axiale trekkracht

M: buigend moment

P: uitwendige druk

t...... ....... " """-.

.... " . t'.... ' ....

..... I"'.....

"""'" .....

' 1'.. ,,

0,2 0,4

p

<M"> - ~ 4-3 <p-> • cos c P ) = o M v p 2\ 1Tff. p p 2 4-3(-)

Pp

~~

..... .

I''

"' ' '\ .

1\ " . ~

" . \ ' ' ""'

\, '\ \ •

" \. ' '\\ '\

1\.

\ \ 1 \ •

' 1\

, \·

\ \

0,6 0,8 1,0

M' F' > M' F p p

F ---~ -F

p

M -·-·~ M

p

. ' ~ )

~b: : : : : ; &-+

\~J Vergelijking van het draagve:onogen van buizen met en zonder druk op

het kopschot

-------·~--·--·-· --- -~-,·------- . ·-~---·-·--··--·-··-------------- ---------------

1c

ç: ::-{ ..... ~ ~ lll

ID tJ a rt 1 ..... ;..-

<,Q 0 ID ! ~ ~ ~

~ ..... ..... ::s

~ 0 13

~ ft

ij 0 lll lll " ;..- ::s lll E t; <: H p. 0 0 0 l ::r t; rt ..... }! ::s

IQ ..... ~ lll " 0

~ IJ' p ID

ID ...... t; PJ <: !Il 0 t;

rt

g. 0 l(J

~ g 11)

p. " .. IQ

0 ..... 0 ::s t; IQ lll tJ 11) 11)

~ ::s

~

î = 0 0 i .......... " ·-:······:········· "". " ... ~ :·· "." ."""~ .... ~·· .. "; .... " T: ". "==. ""Ffi: 2:" """ "" ·;·" -" .. ·: " .. "" " ... :. -""-... " i"' ". "" •• :

: : : : • : . iO ' : : l 1 : ~ . . . . " . . . . . . . . . . . . . . . . . . "' . . : : : : : ':::::::: : i : ! i : : t : : i t * -0 l 4 i : :

()' .. ",." ... "."" """.""" ... " .... ".""."."""."""."""""." .. "" .• "."" .... """." ... """"."~"~-··"··-··o•···~·········~ ...... ".#"" •• "" •• """. * • • • • • • • • • ' • • • 1 it . . . . . . . . ~:: ... :::::::::: : : • : : : : : : J;: ! : : . . . . . . . . . . . . . . • • • t • • • • 1 • • • • • • • • • • t • t • • • • • • • • • • t • • • ' • • • •

o.R !"" .• "." ···+······~·······:··"""".: ..... """~""".""":"-·····i'·"·····+······i··""~"":."."""":""""_"~ ....... ".".i~""""".: • • • • • • • • • • • • t • • ••• 'f. 1 ••••••••

: : : : : : : : : : : t h:;, -{}; 6 : : ~ : : : ; : : : : : : o: :- : : f • • • • • • • • • • • • 1 • • • • • • • • • • t • • • • • 1

7. . . ' . . . l • . • . • ' l /), , .... ,.." """ .. "" .. " ....... "." .... ~--········-.,,.."."" .. ".~ .. "_ " .. "."""." .. """".-.. ""."."." .. ,""- ...... " .... ~"." .... "." .. . . . ' . . . . . . . . . .

1 • • • • • • • • • • t • • • • • • 1 • • • • • 1 • • t • . . . . . ' . . . . . . . . . . . . . . . . ' . . . . . • • • • • • • • • • ' 1 1 • • • • 1 • • • • • • • • • • . . . . . . . . . . . . . . . . . . ' . . . . . . . . . . . • • • • ' • • • • • • • • • • 1

0 6i····· ................. ; .......•....... : ....... {"·····l·······f·····-~······i······-i ....... ;. ...... ,: .......•....... : i • • • f • • • • • • • • ' ' • • • • • • • • f • ' • • • • 1 • • t • • • " • • • " • • • 1 • • • • • • • • • • li ' • 1 f • • • • • • • • J • • • • • • 1 • ' • • • • • • • • 1 • • • • • • • • • • • • • • ' 1 ...

• 1 ' ' • • • • ' • • • • • • t • • • • • • • • 1- • • ' • •

" ~:.. .. ·• ....... ~ ...... ~ ....... i ...... ·• ...... { ....... i·· ..... ; ....... ;. ..•... ~- ...... ;,,. ..... ~ .. ·o··Î:.· ..... i·. ·····i 1 ' 1 J 1 • • • • • • ." ::q: - .µ • • : : : i ; : : : : : : : 0 : : : : . ' . " . 1 • • • • • • • ' • 1 • •

• • • 1 • • • • • • • • • • •

0-'t :·~-. . . i . .

0. 3 i·· : ! . . . .

• • • • • • • ' • • • 1 • • • • ' • • • • • • " 1 • • • • • ' t • • • • • • ' • • • . . . . ' . . . . . . . . . . "" ... "" :"". """.!. "." -· "'!"'"'"' " •• ~~ ... """." :""." ... ". !•• "" "" "i "" ...... ·:·"---"~··· "" -"! ""_ .. " "'!" ""."" ~-- "".". !" ." .. " ... !

• • • f • ' • • • • • • • • • • • • J • t • • • • • • • . . . . . . ' ' . . ' . . . • • • 1 • • • • • " • • • • • 1 • • • • • • • ' • • • • • • • • t •••• 1 •• 1 f.

• • • • • • • ' t li f • • • •

: : : : : ~:: ~:::::: -···t".""" ... "t"" " ... "" t ." .• ···:· ······t"" ""." 7··· ·-•1"' "."" ... ":"" .""""t"" .......... ~""""" ... " t""""". ·t" ..... ".-!'-······~-- ". ··-t

• • • • t • • • • • Il • ' ' • • • • f • • • • • ' ' f • • • t • f; t IP l • • t • * t f • t • • • • • t • ' • • t • t • ' • • • • t • t • f • • • ' • • 1 • • • • • • • • 1 • • f • ' • • • • ' • • • • • t • • • " • • • • • • f • t t • ' t t • • • • • • • 1 • • • ' • • • ' • f • t " • • • t f • t • • •

· · · · -t ~ ." .• " r ~ "_ -" .... ~ ... "" · ." ·:·" ." " .... :--" ". "" "':" """ · ".: ." ".-" · "t·· """" ~ "" ·· ·· ~· · " •• " -:-·- """-:- "" " ... "" ~ ... """ """ :"" ..... " ·: : : : : : : : : t:::::: b 21·

' . . O.I ~

1 • • • • 1 • • • • ' • ' f •

i i : : i : : : : : : : : : : : : ! : : : : : = : : : : : :

"" ... """!. w ". -""t" ... """".!"". """" !-- ... ".~" .. " .... t""-". ":_. ". " .... i." ... "".-t""" ."" !" " ... " •. " !"" •• "."t """"." .L" ". """!" """" w _:

: ! i:: ! : : : : : : : ! : • • ' t • • • • • • • • • • • l • • • • • • • • • • ' • • •

' •• "' ••• ' •• 1 •••

: ! : : : : i -: : : : ! : ; : --+--i i i~--+~·-·i--t--+- i t----~--·t----i---+--f

a l ~ s 6 7 6 9 X IC,_MUtKi. ELASTISCH

•• . 1l Ji;? IJ 1'4

K e

~c====::tJ .~ö~ 1 '

M = 4R2ta

p e a e

K =-e ER

T pR = - -

0 a t e

Voor theoretische achtergrond van

deze diagrammen wordt verwezen naar

hoofdstuk 3.

p

r

p p

p

î

:i::o BBC .op. nr.:

:dr. nr.:

0,5

0

1,0

0

\

' '

~ ~ tak 1"

1

/ ~

1 1 i

--ö~-~

~/ ~ "" f 1' -1

D/t = 25

cr = 320 N/mm2

e 13 = o.oos

0 ~ ~ 1 ~ tak 2 1

I ·"'· 1 1

~

""' '" 1

o,os

1 1

-ö~ ,.J "-.

!' 1'

/ 1, / ~1'

.--__ ........ -î ~ ...

1......- / I"'-1

l 1/

1

/ 1

0,05

-.........

1

1

1

~~

1 1

- tak 3

0,10

! !experimenteel: 0,63

p rekenmodel : 0,69

----11Jlll• ovalisa tiehoek B

1

_, ,,,

...............

~ tak

1

tak 2 •

~ -

1 D/t = 25

<:Je = 320 N/mm2

130 = 0.022

p

{

experimenteel: 0,4(

Pp rekenmodel : 0,4:

Bovenstaande bezwijkdrukken

zijn experimenteel bepaald

door Protech International B.V

tak 3

0,10 ----!llllllirlll"' ovalisatiehoek B

Rekenvoorbeel gebaseerd op het rekenmodel voor uitwendige druk (hfst. 5)

uitgezet is het verband tussen uitwendige druk en ovalisatie

3

0 ::0 " 0 0. " " 'O

::l ::J ,""1 ~

~1§

p

pp

1,0---..--------\ i J /

-:.."0=~ "I '\

/ rr·\"

Staalkwaliteit x 52

x 60 0 81 1 1'~ 1 1 1 , 1 '\. 1 '-'

x 70

Q 61 1 1 ·~I l 1 " • voor de theoretische achtergrond van deze figuur

wordt verwezen naar hoofdstuk 5

0,41---+ -~~ ............... ! 1 - ·..t: '.J ::-........,.r' 1 "'I .........,.,,

021 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1--~~ T"'--=E:" . . --1-- -+----~--

0----~...__._~-----~,___._~----~..__--~...___._~..___,_~------~..__--~..___..___.

10 20 30

Verband tussen bezwijkdruk en diameter wanddikte verhouding uitgezet

voor enkele staalkwaliteiten bij verschillende waarden van de

initiële onrondheid.

40

..... D t

50

~--~---

overzicht gebruikte functies

EP(;) = f P(;)a; = sin (~+8) - ç;cosS+ c

EQ(~) = f Q(~)dç; = - cos(ç;+S) - ~sinS + c

p ( ç;) = cos {~+$) - cos (13)

Q ( ~) = sin ( ç;+ $) - sin ( $)

2 i sin2 (1;+8) 2 a TQ ( ~ = Q ( ~ d =

2 - 4 + ç;sin 13 + 2sinBcos ( ~+i,>) + c

Uitwerking van de in hfst. 6 gebruikte functies

Ul 0

f

N i:: ..... <l (1) t; (1)

R t Buis-

kies a E eigenschappen

130

Schematische weergave van de te volgen rekenprocedure

voor de berekening van moment-krommingsdiagrammen voor

b..lizen belast op buiging (hfst. 6)

kies B ·-------

1

• ~-----

hiermee is vastgelegd ovalisatie

de spannings­verdelingen worden

~~~~~~~~--.gekarakteriseerd

vorm van de spannings­verdeling in axiale richting

bereken m.b.v. de juiste span­

door één parameter e , y of x

spannings­toestand in omtreks-r ich tin

evenwichts-

voorwaarde

spanningsver­deling 1

ningsverdeling lllllll!!;:;;..~~~-411-~--~~~4spanningsver-- buigend moment delin 2

1---::..:...::;;:.;.""'-~~~_.;;;:.-i - kromming spanningsver-deling 3

in het model betekent dit ------.------------·

wat zijn de momenten ge­leverd door de rotatieveren

y

x =

welke van de 3 spanningsverde-

lingen is de juiste:

cirkelvorm blijft behouden . "·".""""""" ". """:"'"""."." ". "" .• "":"" .. ". -. "" .... -..... :·· """" .... "" ... ",,.." :-·" "." """"" "" ." ":.". ~" ". -·"" -. "" " .. """" .. "."" .. "":o

: : : : : : e . . . . . " . . . ' . . . . . . . . . . . . . . . 360

11 tr <! (l) 1-' (!>

~ ..... t1 u. ~ § < l1l a & a

(1) (!> g 1-'

á p. (Il

~ (fl (1)

0 ::i 11 (fl

a [ ~ ..... (1) ~ <l ::s (1) --- rt 11 ~ (l) (Il

111 ::i . 8' rt

..... iî L'1 w i ..... ::i IQ (Il .....

::i ~ ........

~ p. (Il <

(Il 0 rt li ~ • (1)

{Il O'I s:: (l)

1-' (!>

lif ::i

rt 0 ID ~ ::s < @ I» 1-' ::i < ifii

g s

rt ..... IQ ID

. . . ' . • • t ' •• "." ... " ·---"""."" ... :,." ... "" """"""" "",""""." -· ."". " .. ->." "" """ """ .. """ i···. """ "" """"""". """ ~. ~ ~ ".""." -- -!- .,,, ~"" ." ." -~. -· -! t • • • • ' • . . . . . . . . . . " . • f • •

: : : : . . . . . . . c====J . : : : ( ;· : 7111 ················}···· ·········1··············-.f ···············i". 'I. ···~

: t : : . . . : : : : : :

f ' ' • ' • •

"" """.,...""" ""." ... ..:. ....... "" "" """""." ," ... """. "." ... "" .":. ... """" "." """ ····•··." """" ." ... " """"~ """ ." "." ·~ "". ""~-- ....... "." " .... """ .": • t • • • • • . ' . . . . . • t • • • • • . . . . . . ' . . ' . . . • 1 • t • ' . . " . ' . . . . . . . . . . . . . .

• • • • t • """""""""","""""" ~ ... """"""." •. """". 9""" •• " " .... "."" """ •• ""."""." ."."" ."". """ ." ••• """"" ... """ ... """" •• . . ' . . .

t t • • • • • • ' ' • 1 . " " . .

kinema tisch rekenmoàel Î • 1 . . . . : : : : • f • • 1 • ... ""." .. ".""".""""""."""" ..... """" ......... ""."".""". """""" ... "."~ ... "."."" .. """"."."".""""". . . . . . . : • : : : ~ R t • • • • • • • • t • • • • t

: : : : it=t . . . . . ... """""" ... " "" ... """;""""" " ... """" "" '""." .. """." .... ~; .... "."".""".""i······~··"······Ï·········"··--·~---·······"·····i 2

: : : : : : E = 210. 000 N/mm t . • • • • • • • • • • l • • • ' • 1 • • • • • 1 . . . . . . • • • • • f • • • • • t . . . . . .

i!t ...•. • .•••... + .............. j .... ··········>···············f··· ............. j. ••••••••••••••• i················: : : : : : : : l ; tak 1 : : : : : : : 1 • • • • • "

i : iJ = 3 60 ! l ! i 2: tak 2 • • e • • • .

s• .............. L .............. l ......... .9~..i:.~l.?.9 ....... L ............... L. ............. ~ ............... l 3: tak 3 i i lÎ ::: 2 tj o: : : : : : : e : : : . : : : ; : : : : : . . . . . . • t t • • •

------+: -----<t-- i : 1 1

69.

n 0

" [ S•.

" T

K

" ". " ~

250 mm

\

1

\

J ·'

mm

1 Rekenmodel voor

zuivere buiging

5 1e is ze KIMHttUIG fflKl/f.&H.Me

·~ Invloed van de qrootte van de vloiüspanninq.

N

l \ ~ N :z s

J - E 5 i3 .........

= = z ·:'.> .....

0 ";j' N . U"l ..., N

Il Il Il il

(il IZ 8 'O i:a

; "" ... " ...... " ... ". "" "" •• 4:" ....... "."." ••••• -:· •• "" ." ". " ••• " *"'":'""' .... " •• " "" •• -·-·:·" ." ."" ••• " ... "" •• ,.. " ••• ". """ ....... ··':'·-·· ". """"""" ... " ..... 1 • • • • • 1 • • • . . . • 1 : . .

: : ; : : , ; • • 1 e ." ""."" .. " .. "" .. "." .. " " ....... "." .•...... """"""""" .. "" "" "" .......... " ... "" ... " .. "."""... ... " .. "" .. " ... " ..... " ......... "" ... " ......... ~

= i = i 1 ;

1

1 = . . . ' . . • • • t

: ! : : . . . • • • t •

• • • • • • • 1 ~

:···············-~················~·· ·······:·····"··········~··········"·····~·-··············:··············· ....... Q . : i ' 1 • j ~ . . . " • • 1 • ' . . . . . . • • " 1 • •

. " . " . . ~ . ~ . . . . . . • • • t • • •

'9 <;lt ,.., : ....... ···"-1 · ... :···· .......... -. , ... ·-·· ........ ·:········ ........ r .............. ··: ••.. -..... -·. ·--~ .............. .

' . . . . . . . . . . . . . . . . ~ . . . • • • ' • • t

·i : l ; : : : : : 1 : ."."-..... "" """. -~···· " •• "-.... "" '""'

4 i" """."""""."."".i" "".""."""""." •• ""." "" ....... """."";"" •••• " ...... """""," ... """_"""."" •• "_ : ; : : : : : ' : : : : : : : !' • J • • • ' • t " • ......_ • • • • ' t ' - • t 1t ~ : : : 1 : : : : • • • t • ' •

1·····-·-···,-··-·~---------·-·-···i·· r -~-------·-------·!·------·--------~·---··----·-···-~·-··········--·+ ' : : : : : 1

1 ; : ; : : : t ~ t • t 1 t 1t • • • • . . . . . . • • ~ • • 1

• ' ' • ' 1 • ' : .... " """." ··i·····t·····"·" "." " ... " ." !• "!""" "" "". " ... ".""".~··· "" ""." ·······t·········· ······~···· ... """" .... "" < t • • • • . . . . ; : . .

• " ... 0 ,<;;> IOl<lil -~ ~

·~­<> ·r '-' = -~

·.;) Q; ":.c ca ,..,

!·····-···· . . . : t"" """"""." ........ """" .. " ...... " -..." ..• "" ... "" ... """""-." ..• """_" ..... "" ... " ... "" .••• """ ...................... "".""""" ~ 9 : : : : ! ! N • t • • • •

. . ...... " .... " .

• 1 • • t • • ' • • • 1 : : : : : : t . . . . " . : : : : ~ i : : : : : : ; "

• ...... "" ........ " ......... " ••••• """." ... 40 .""" ... ""."" ...... " •• ".""."" ...... " •• " ••••• - •• "."." •••• " ••• " ....... """. ·······•4'• $ . ! ; : : : ! -

• • ' 1 • ' . . . . . . . . . . " \ . ' • • i • :

111 $ 11111 (.IJ "" i\i ... " l:O:CW<C ... :../ :z: 1:

Rekenvoorbeeld gebaseerd op het rekenmo:iel voor zuivere buiging

{hfst. 6). Verband tussen moment en kromming.

la

..

. .

'. ! : . tl

l ij

-

GJ l

~

1

schema belasting frame (zie ook foto 1)

schoma proefopstelling <=io ook foto i)

10

Nlmm2 Pr~fsluk 4,5

4 so --.---- '"""" ~ l--

00 ~

-.-

""' ~

4

- 1/--50 - --

/ " 3

i--~ oc ,,..--

.3

2 50

00

50

--

00 i

50 ~-

0 2 3 4 6 8 10 15 20

Spanning- rek diagram van het voor i;>roefstuk 4 en 5 gebruikte buismateriaal

en .E; c: c d 0. lil

N/mm2

400

350

300

250 /

200

0 16

10 0 ·-

5 0 ,_

0

/ v

-·· -

t 2

Proelstuk 6, 1

- ,_ ~ .............

'-i---- ... ./

l.---""' ~

"' \ \.

\

-

R = 4 .6 ' 6 10 15 20 25 • 30 /.rek

Spanning-xek diagram van het voor proefstuk 6 en 7 gebruikte buismateriaal

N/mm2

45 0

40 01-

.() 35 ·,._ ·-·

r-" 30 () ~--

1--

25 iC ~

{J)

·~ 200 ·--c {j ·-fit 15 1(1-

10 c 1-

5 Q:-

0

Proefstuk 8,9

-· ---..__ ,__. i--

-- ·--- ·-,_ -----.L -v

/ -1-/

7 ·--

--· -- ·-

·--

--~· r----·

·---

-·---- -

-- --·· ,__...._

2 3 4 6 8 10 15 20 • t.rek

Spanning-rek diagram voor het voor proef stuk 8 en 9 gebruikte buismateriaal

100

Proefstuk 4

Overzicht plaatsing meetapparatuur

135 300 - -1

175 210

--©----

I<

1< 1<

v -CD-

K -+ krommingsarm

0

-B- ovalisatie meter (vertikaall

v

* rekstroken aan boven- en onderzijde

D = 89.45 mm u

t = 3.047 mm

315 N/mm 2 cr = e

Proefstuk lengte 760 mm

Bereikte relatieve kromming:

in plooigebied

buiten plooigebied

27 K e

14 K e

Proefstuk 4

- 135

1 35 - 1 - -- 240

@ ' K )

t ~

y \.,..~ - - -looi

Proefstuk 5

Overzicht plaatsing meetapparatuur

135 30il ·····-·····-········-!

1 • · 100 ··

f

175 210

® [- -:~ - -

i 1

~ f( ï

1< l I<

v " -<D-

K -r kromm.inqsa.rm

0

-B- ovalisatie meter (verti..~all

v

rekstroken aan bOV"en- en onderzijde

D " 89.45 mm u

t • 3.047 mm

315 N/mm 2

O' • e.

sleuf (bxd) = 3,0 x 1, 6 mm

proefstuklengte 760 mm

Bereikte relatieve kromming:

in plooigebied

buiten plooigebied

15 K e 10 Ke

Proefstuk 5

' .. 135-·-· ' 1-

1 35--· 1-·----·---··240 ... -------·-i -

t olooi

Proefstuk 6

overzicht plaatsing meetapparatuur

250 300 250 --- t--------·-----'"·------ t ----

200 250 300 150 200 ____ ...;....;.. ____ f-------4-------------·-- --1---- - '." .. "_ ·!·-·---·"·--------4

© @ -®-

K

v 1 v K ! -1- -- --(Ï)----

plooi 1

K -r kromminqsarm

0

-8- ovalisatie meter (verti..~aall

" rekstroken aan boven- en onderzijde

Gemiddelde waarden

D = 100.3 mm u

t • 4.06 mm

O'e = 249 N/mm2

p = 10 N/mm 2

Proefstuklengte 1000 mm

Relatieve druk: 0, 5 OP p

Afwijkingen

100,28 (vertikaal)

4,15 (drukzone)

Bereikte relatieve kromming

in plooigebied

buiten plooigebied

5,8 K (rekstrook meting) e

4,5 K (meetbeugels) e

Proefstuk 6

@ ' .;,

K u 'I

v L.:.~

100,34 (horizontaal)

3,90 (trekzone}

Proefstuk 7

overzicht plaatsi.~q meetapparatuur

:1

_@ ______ 1

~ * f_·_ 11 n ____ J

.3

~ B u

©

1 no 210 175 100

265 135

T kromminc;sarm.

-a- ova1isatie meter

* rek.stroken aan boven- en onderzijde

D = 100 mm \l

... = "" 4.06 mm Gemaakt uit zelfde buislengte als proefstuk 6

(] 249 N/mm 2 = e

p 15 N/mm 2 =

?roefstuklengte 760 mm

Relatieve druk: O, 74 p p

Bereikte relatieve kromming: 1,1 K e

Proefstuk 7

Proefstuk 8

135

100 1

3

v

265

175

x 1

1

1 1

1

1 55 1

L 1

-- ---@- -- - + 1

175

55 1

5

6

H v

2 -----0--- --

krommingsarm

~ ovalisatiemeter (vertikaal)

lliJ ovalisatiemeter (horizontaal)

;:k' rekstroken aan boven- en onderzijde

Du = 100 , 65 mm

t = 4,013 mm

cre = 320 N/mm2

P = 14,7 N/mm2

Proefstuk 1engte 760 mm

Relatieve druk

variatie: 6Du = 0.01

at = 0.02:

Bereikte relatieve kronming

Proef stuk 8

135

1 100

1

v

Proef stuk 9

155

120 1

1 v

265

175

x 1 1 1

1

1 1 1 1

1 2110

1 1 55 [ 55 1

l 1

- --- --0-----r v

6 H

4

2 v

175

k

5 --- --®-- ----K

f Krommingsarm

~ ovalisatiemeter (vertikaal)

~ ovalisatiemeter (horizontaal)

::K rekstroken aan boven- en onderzijde

Du = 100.4 mm variatie:

t = 4,029 mm

cre = 320 N/mm2

p = 17,7 N/mm 2

Proefstuk lengte 800 mm Relatieve druk 0,69 pp Bereikte relatieve kromming 1,6 Ke

Proef stuk 9

LiOU = 0. 01 rrm lit = 0.02 mm

155

120

3

v

,,...... :;;;: N g ...... (!) ro

:J 0 rt 0 1 :>'i' R" rlJ i 1-'·

<Q ...... :J .... <Q .... Ul

" p. ...... 0 tv

~ ....... " ro m

E :J H

Hl (1) T 0 ::1 g tJ IC

...... H lfl w.

~

1:1 n

0

~ .s::.

Proef stuk 4

- " - - "". " •• - "" """ - "" *" - ~ "" ... " - " • "" ." •• ".""." "' . . : i . . -... ~ ·~· ·~····· .{."""~ .. """" ..• ":""."~"." """ .. "".1"."." . . .

1- • :

: : ' ••• ". " ••• " '"' ... "" "! """." ""." •••••• :·". " ••• "" "' - . " -... -: -~"~... . . . . . .

• • • t . . . . """ " ... ". !" --" . "." ... """ "" ":" ". ". ". "" .. ". "" : .. " -"" ... -... """ "" -": . . . . 6 ..

' . . 6.

·········1···········-···i"···· ' . __ ... ""."." .. :-···············~·"" .. ". . .

"." ... """"".+."" ... " .. ""~ .. ·!······· . . . . . . . . "_ . . ......... ·~· .. """""" ... "".i" ."" ... . . . . . . . . . . . ""." .. "."" ·t "". """ ."".". ·-·!····". . .

' . : . 3 ..... · · · · · · · · ·r· · · · ·· ··· · · · · ·· i· · · · · · . . . . . . . .

l . """"".""""".".~".""" .. """ .. "".":""""" .

. .. "" .... " .. " ••.••• " ••• """" ..• ".!" ...... """ . • : . . .

"."",~M•••••• .:." ••• "." ••. " •• -~:"" : : . . . .

. . . . . . . . . . . t ; : . i

."." .. ".".". " .... " .. """ " .. """"."." .. ""."."""" .. " . . . . . . ""."". -······· . . . . ; . . . : • ! : . . . , . . . ' . .""""" ..... """ ... ". """"""." .. "".""" ... """."" .. "." """"."" ...... """"."".".""".

: : : t : : : : : : : :

••':"*'"'"..;."".""" •• " """""," "" "" ••• " •• "."".:,." •• "" "" •••• "" !:.".""" •. "". """ •.• :.· : : . . . . . . . .

."" .. " "i. " ... " .. " ." . ". ".;". """""""." .... "i "" """ ."".".""{"" ." .. -.. " . "·- ·,Î . . . . . . . . : : ! ! ! . . . . .

.""""".$-: " •• """ •• """" "" .... "."" •• " •• """."" ... " •••. ~" •• " •• ""," •• ""."" ••••• " •• . : . : : : . ~ . . . . ..••... , .............. ~··············· ·•···. . .•.... ··-!····· .... ······•

: : : : : : :

.. " .... """?·-·····""""" ... : "" ."""".""" ... """?.· "" •. . """."""."1 .. " .... "." . . . • 1 • :

i : i : ........ , ...... ·······. -~··· ············t··· ......... ··· 1·"··· .. . . © . . 1 • • '

! : : i . . . . "" """"" ·:- .. " . . . . . . " .... :- .. ". . ". "" .. ". ": ....... " -. " . """ ~- " . "" "

"': : : .

"." .. ·!

® .. j . : . ... . . .

'U : i . . " ... """"" .. "" .. "".""""."""" .. "" "" ... "" .. "." ""." ........ """." ... """" . . 1. -•••••••·~·~•a•:.••••••~•"••••"•!",,."."". : ..."". "". "'!

=: : : : . . . . . . ' . . . . . . . . . . . . . . . . . .

~ t f • • ".". "" .. " .... "". "".""" """ "" .. """.""" """"." .. " .. " ""."." " ... "" " -.""." .. . " .. "" .... " "" .. "" " -. "" .. -... " . : ~ . : 1 : : . . . . . • • l •

""""" .. ··----... "-""""".""""".""""."" .. "" .. ".""."".""" .... "~" .. " .. "" .... . . . . • • l • . , . . . . . . . . . . .

t t •e• f.te aee

. . : : . . . . "" .. ""."".~···:·····"" .. "." .. ": . ..," . . . .

! :

t .... ICROfUtlHC. <M>,l.ffe ....

."".""""""""" . : . 1

kro1mning theoretisch, experimenteel

Totaal meetgebied

1 = gemeten met meter 1

2 = gemeten met meter 2

T = rekenmodel

(voor plaatsing meetapparatuur zie fig. 14)

....... :3: N 0 1-'· a (1) Il>

::i 0 et 0 1 ;><;" iî Hl i 1-'· t.Q

1-'·

..... .g

..... 2L " " IV jï;• 0 0

ro ~ " ::i ~ [

Hl H 0 tr T rt (1) 0

~ lil IC

(1) " a " tr 1-'· w.

~ 0 (!) Hl (/)

~ .i::.

!:'roetstuk 4

". """"."."""" •· ~ T*••••·•;· ... "" ... " ... ;···•*•·~··· ""." ": .. " .. " ~; ."« ........ r"" .. ""' "",""" ""-" ·:-- .""" ". = .• " "" "" -:- " ....... "" "."" .. """ ·; • t • • ' • • • 1 • • • • • . . . . : ,......._,_..._. . . ! : : : : : • . : r ,..~, : : • • • • • • • f • • • • 1 ' ·-····- t···· · "r ·-·····t·-··" "" i" · -""". -r ·" "."" ·: .... "". ··f ··· ·· "" '!""." ""."~ - """ ... ", " ... " " ... "· t· · · ·" ·· t· "" -...... -r ... " .... """, : ! : .. : ' i i i ! : : i : ! • • t •• '. t ••••• t • • • • • • • • • • • • . . . . ' . . . . . . . . .

""""""" ... """&_ "-"."."""""""."" ••• """"".~".".""""""."""" ••• "."" .... " •• "."" .... """.".".""."~ ... "."" ••• """""""""" ... ""."" ••• . . . . . . . . . . . . . . : : : : : ; : : ; : : : : ; t • • • • • • • ' • • • • '

1 ~:;:::::::::: t ••• ' •• 1 ' •••••

s ....... ,.·.. .. ··r··"--·!· ...... !···· .. ":- ·······~······· !·" .... ~········:-" ·····! ·······1""." t···· .. ·t .... ".! ••• , • ' ••••• t • . • . ' ... ' ..•. f.

• • • • • t • • ' • • • , ••••••• 1 ••••

• • • • • ' 1 • • • • • • • • • • • • • t • • • • " • . ". . "._ ... "" ... ".""".".""""_" ..... """"""."""".""" ...... " ... " ... ""." .... " .... " ..... " ... " ....• ".""." .. " ... "."" ..... " .. "".". ·····=.··· : : : : : : ; : : : i : : . . ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : : : ~:::::::: :

4 ~ ---··" i. •• "".;. •• """ ""i"" .""". f" ". "". '"*~"""" .""."" •• """ i" """.". ":"" ...... """ ~•-····" ·Î .... " ~ ... i""~·---~· ....... " "~ ... " .. ". . . . . . . . . . . . . . : : : : : : : : : : : : : : . . . . . ' . . . . . . . . l:::::::::::::

t • • • • • • • • • • • • • "."""""".". """ ..... "". " ... "". """."".". "" -·· " .... " .... """ ."" .. "'."" .... " ,_,.." ... """ ..... """ " ..... "" ""." .. """ "" .... " ... ""." ...... "" ......... . : : ; : ; : : : : : : : : :

: : : : ! : . 1:::::: ' ... ' ....... . • • • t • • • • • • • • •

3 ..••.•• { .••.••••.••••• ; •.•.••• 1 ........ j. ••••••••••••••• j •.•.••• .j .••••••• j. ••••••• i·······Î·······; ........ j. ••••••• ; • •· •• ' t •• ._ •• : •• . . . . . . . . . . . . . . • 1 fl • ' f ' • • • ' • • ' • 1 t • • • • • • • • • • • • • • ' • ' J •

.. " •. " .:." ."".4 ... """ "" "i" .. " """: •• """""1""."" . .:.. ..•. "". :" ~" "" .. : ...... "" .... " .:. .... " " ... "1"." "" ".:"" """ "" l~ ~ "" "",,. .!." ". " ..... : • • • • • • J • • • • • • •

: : 1 : : : : : : : : : : : : : : ~:::::: . . . . . . ' . . . . . . .

2 """.""~~ .. """."."""".i"." •.•• t ............ j."""""~"t""."" .• ;.""""""+" ... """ .. j."""""""i"""" ... "";."."""".f.""" .... ""." ...... """"; : : : : : : : : : : : : : : : s: t:::::::::: . : : : : : i: ! : : : : : ·· ".""" i~ "··· · ·:" · "" · · ·r · -··-·· ! ..... "" "" -:· · · · · ·" ·:-" ··· ."" r······· !"' • • •• ··•· ."" "" ·: """ • • • • :· • • •• •• 1·· " .... " "'"':"" • · ····: ! : : : : : • : : : : : : : • • f f f • • • • • • •

: : : : : : ! : : ; : : l ........... ""~ "" .. "."t"""""" ........... ~"."." •• ~:~"""".".; •••••• "f.""".""~"" .. "."";""""""":"" ... """ ... f ....... """"~" .• "" ••• ;. ••• " ••. ;

• • • • • • 1 • • ' • • • • ' • t • • • 1 • • • • • • • • J.' ••• ' •••••• • • • J •• t ••• ' f ••

: : : : : : : : : : : : : : ~ ""."""~" •• "~".1.""." .... ";" .... ""-. .:.. ... ".",.:."."".".:.".""" .... :.""""" ... .:..."."."":.""""".": .•• "" •• ~"." .• ".~"." •.•. : : : : : : : : l:::::

• • • • " • J ' • • • • • • • • • • 4 • t • • • • • . . . . . . . . . . . . . : : : : : : : : . : : : : "·" ····t·······I···". ""1"""" • • • "~."".". ·:· • •• " ". t -·--- -·~"."" """ ·t · ~ ·-···f- --""" -t· " .... ". ""°!'" ·" "" """." ······!

1 i: ! : : : : i: i: i: ! : : : : : : : : : : : : : i--i i i i i i i i i i i i . i

• se ," lst 2ff ë:S• We 3St 4M

~~Ol'lltlffG tHlt•/········· 45t SH sse

kranming berekend uit rekstrook

meting

(voor plaatsing meetapparatuur zie

fig. 14)

<: N ~ 1-'· CD tr 0 à 0 (';'

HJ g 1-'· (Il IQ (Il

CD :::s ......

...... a N

~ (1)

0 :::s " rt N (1) " ...... :::s 0 m ~ " '11 :::s E li :::s

0 Hl

m " ~ 0 T rt lil 0 f! U1 ~ 1( (';' ....... :::s H .i::. p. " m

<;

~

~ iii ..... CD p. 1-'·

m (1) rt ~

Proefstuk 4

. -. -"" .. " ... . . . --· " .... "" ...... "." .... "." .. _ . . . . "."."."".".""".""." ... "" . . . "" ..... """ ". . : i : ! : : . . : : : : ,__ ___ ..,.. ____ ..,... ____ ...,_ . . . . ~ . . " " . .

. ·······::rr=f =f =nct:=E=:r:·.::::.:i:::.:::··~····· . . . . ". . . . . ···: . . ..

: {é)') • • • • • • • •

....... ~ .......... t .. " ...... L" ....... l ...... " .. L. -·· ...... t ." ... " . .1 ........... LD ..... .i ........ . . ' . ' . . . . . . . . . . . . . . • t • • • j • . . . . . . ' . . . . . • • t • • •

5. "."" .. ". --~."."" .. " .. :.""." ... "".!---""."" •••• " •• "."" •.. t.". " ... " . .,:..""" ........ :""".".""""":."" .•• " •. ".: ......... "." •. • • • 1 • 1 t • • • • 1 1 • • • • • • 1 • • • • • • • • 1 • •

' " . . . . . . . . . . . . . . """""~". ·-~ .• ""' .. "" .... ~-·." "" ... --·"" ." ... """ " .• :"" •. "". -·- .•. "" .. --. "" -t """ "·-. "." :""" "" ••• """."." --~ """ ".:. """" "".".

• • 1 • • • ' • ' 4 • • • " • • • •

J • • • " ' • • • • " ' • • • * 1 • " • • • l • • • • 1 " • • • •

4 .".".~"*" .... "." •• "."_._!·-··--·--·-~ •. """"""""".1.·".~."" ... "-:········-··:··•-•<"••···!····"······t"" ... "."."!···-·""'""'" • • 1 t • •

: : : : : : ~ . . . . . . ' " . . . . . . . ... ". -"·-:" ·- -- -. -{- .. " ..... ·!· ". " .... t .......... !• ... -· ---·-t·."." ... ~···········!" ..... " .. :···· ..... . • • • • l t • . . . . . . . .

1 • • • • • 1 ; • . . . . . . . . . 3 " ....... "".:." ... "" .... i .. " .... " .. ";..""".".".~t-·--····"".J .. " .. "."".~-·- ... -" .. ~"~i"" ..... " .... "~ .. "."." ... "."" .. """ ... "

1 " • • • • • • • . . . . . . . . ~ . ' . . . . . . . . . . . . ~ """"". """ -~. " ... " .•. "· 1· .... "."" ·Î .... " .... "~-. " .... " """ η. "" .. """"-t •. " .• ".,.,". i· "" ..... " " . .,,"t"""" ..•.• "{".""."."""~ . . . . " ' . . .

1 • • • • • l • . . . . . . . . • • l f • • . . . . . . .

a " ... " """ .... -~ ···-· ."" --!· -· -.". · -··t· ·- · ·· "". · ~~ ." """ ~ ""~ ·i·"" ·······+~· " .. ··~·· i.""" .. """ ... "t-- ··· ....... ( .. """"" ·" ·-

·t

. ' . . ~ . . . . . ' . . . . . ' • • t • •

1 • • • • • • f • • . . . . ' . . . . . ". """ ~- -"." ~-" "."."" ..... "." ... " .... _" "".""."" .... " ... ""."" ~•~" "" """ ." ....... " .... """"" .... " .... """ ".""" "" ...... "" " .. """ ....... . . . . . . . . . .

• t • • ~ • • • . . . . . • l • • . . . . . . . . ~ . • • • f • t • • •

""."' ". ~ ". " .... - •••• "". "" ....... "."" ... " ..... ".~" "" •• "". " ... " """ "" "1""'" .*. "-.. _" "" """" """" .. ""."""." .... "." "."""" ""."". ~- ... -· "" ... ". . . . . . . . . . • " • • t • • • f • • • • t • • • • • fl • • • • t • •

• • l 1 i • • . ' . . . . . . . . . . ' . . . ·• • ."~ • •• .... "". ••• ""'"'""' ""." • •" "'"' • "" ,.._" • • • •• • • f • - .,.. ••" •. • ,..." """ """ ~",.,""",.,.,,"""",..""".-••••••• • A• "."",._." • " • t • 1 • i • . . . . . . . . . . . ' • • • • t • . . . . . . . . . . . • • • • 1 1 • 1 ' ." """ . " "" ........ -- " .. -. -... " . " ..... " ... "~ .... --. -.. -........ -........ "." " .... " ".""" "" """"" """ "" -.. " -" ~ ."""' -... "." • • • • 1 t t • • , • • • 4 • • 1 • • • ' l t l ' • • • • • • • i " . . . . . . . . . . . i t----1----t

-36H -32~ -22&e -a•&e -2~~ -16°" ûVttLISAllE <nnt/l.t•e

1 = gemeten met meter 1

2 = gemeten met meter 2

r.r = r ekerunodel

(voor plaatsing meetappara­

tuur zie fig. 14)

.-. s: N ~ 1-'· ro (1)

0 ~ 0 1 Ä R Hl 0 1-'·

~-ûl

:::i .... ûl " .... a 0 IV 1-'·

" .i::. Il!

~ 1 lil

" :::s ~ Hl

T

g lil :::s c 0 tr' " °' .....

" w.

-..J ~ 0 (1) Hl (Il

~ U1

Proefstuk 5

" ... "."., ••• " ..... " •. ""."," •••• " •. " .. " ..... "f, .... "" • • • . . . . : : .. "" ..... " ... " ..... "" ........ . i • .

. . . : •••••• J ••••••

! . ! ""."." .

·········································r;. ............. . ! i 1 i i : : 1

········t···············t···············+···············! . . . . . . . : 1 : : 1 : 1 : ......... "., ...... " ..•... ""1··············1·········· ····· 1 • • • f • t • 1 . . . . • • • t

1 . • • ."."." .......... " ........ " .......... . • 1 • • ······+-••············· ···············r···············I

4

•

1

1 ··········•·'f'··············· i 1 • .................. " ......•....... ". • • • • • • . . 1 : . . .. """ ... " ............... "".~" .. ,,."." .. "" i 1 1 ··············•···············

............. 1 .............. . . •

• • • • : 1 : : i : 1 1 • :

""" .............. "." ... :············ .. ",.. .. " .............. : 1 : : i . . : . . • • 1 "" .• "" ..... " .•••••.... 1 .. " .••••••••••• .;. ................ . ; 1· : : . . . t : l . i . • • • "., .. " .... "" ................ " ...... " ················: . : . . : : ' : : ,. : : . . . " ... " .... " .. " .... "." ..................... " ... " ... .

• : 1 • • • . . . . . . • • • " ......•..... .:. .............. ",: ..... "" ........ ": • • • •

• f • , ' • 1 • • • • 1 • • : : • : : '1

········--····t············~·· ......... " .. "., ........ ······t-·· ........... , .. " ........... ················t • • • 1·

i . 1' l i 1 1 t : 1 1 : : ... "" .. " ....•. +············· ... !·············-·-r ...... " .... "". """ .. "f-·-·· ········-!-····-··-··· ····i··········-··-··i ! . . . • . .

: : l : : : J • • l • • • • : l • 1 : J

··············-r·············· r···········""i....... ······r····w"····1··········--···r·······~·-····1

. ·············+·······-···· ! ............... .!....... . .••.•. : .................................................. ! i ! ! : ! : 1 . . . : . . : : : 1 : !

t • ' • ' ' • ••• ••• •••••••• •"f •• •••• ••••••• ·t················t ...... . ...... +-········ ....... , ............... " .....•......... , '1 f : : : : • @ • (!) . • • • ' • lt • • • • . : : : : : : • 1 t 1 1 1 1

... " '" ... «AOfl'llHG C191UI ........ ....

1 gemeten met meter 1

2 gemeten met meter 2

T = rekenmodel

(Voor plaatsing meetapparatuur

zie fig. 15)

<l N ~ .... CD tr 0 ä 0 i"i'

Hi g .... !Il

'° Ul ro ::i .....

..... ~ 9

1\.) CD w ::i

'tl rt " li CD 0 0 ::i CD

~ ::i " Hl Ul 0 ~ E g rt " 0 ::i i"i' ~ ' ()') U1 " ID

'1 IC <: lll tt ::i " p. (1)

<: (J) 11 rt .... i"i' PI ..... Il>

p. .... ~ CD ("t

~

~

Proef stuk 5

""" ........................ ".""" ••• " •• ,".".""." .... T"" "".""." • :·••••••"' ••T•••••·• ·•·; ••• " •• "." •• :••••••••••\••••••·····; 1 • • • 1 • 1 • • • f : : 1 • l • :r-'t~: l . . . . . . . . . . . . . . . . . " " . . ... "" ". i. " " ... " . " " " . .." .. " : "' ," .... "."";•···· . l : • • 1 : : : : : : t t : . . ! . . . . . : t : : : : 1 ............................ """""." .......... " ..... " .. ".".""""" .. " ......... """ .. " ..... " ... ""." ............ "" : : • ,: ; t : : : : : : : 1 : : : : : : : ' l :

" ••• "j. ••••. " •• " .... ~".".""" ••• "i ...... " ... ~ .. """ .. ". "1" ... ". ""."." .•... """" "".j." ......... "" ... " •• """" ... . . . . " . . . : : : i ! : : : ~ : : ' . . ' . . "." "" .... " ..... " .... " .. "" ........ " ..... "... I J "" ..... """ .. " ......... "" .... . . . \ . . : : : : : ! : ! : :

• l ... """" ......... . . • i .

.".;.."."-.. ". ! . • -·1·········-

J 1 . . • • • " .... ; ....•.......... "···········•··········r··········•···········r··········•···········t······. . ' . . . . ! i

··t······-·· • • • • 1 • 1 • . . . . . . . . : : • : ' : t : : : ! : 1' : 1 :

.""" .......... """ .. ".""""." ... """ ... ""." ...... " .. " ... " "" .... """" ... "." .... ""." .. " ......... "" ........ -." ... " .. i i : : i 'i : ! 1 : : : : : ! :

• 1 i

" ...... " ....... "" i

1 • • • • • • 3J l • . . • 1 • • ..•... ··4··········-l···········•··········t·"" .....•.•....•.... , ..........•...........•.....•.. 1 ·{··········

1

1 : : • : : : : • : 1' ! : 1 : 1 • t • i • •

.. :. " .• .•..••• 1 .•..••• " ..... 1""." .... " ..... ! ...... " ...... "" ~i"."" ••.. " • .:. .. -...... -i" "" .... """".J"" .•. " ".,. . . . . . . . . 1 • t • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • . . . . . . . : : : = : : 1 •

· ·t··· ····· · · ~-· ·· ·······t ········· ·+ · ·· ·•··•· ·I •· · •••••·• ·t ·•··•·· •·· f·· ·•··· ·· · ·t········ • ~ : 1 : : : : : : : t : : : 1 ! 1 ! . : i : : i

." .......... "" .... " • .;"""." ••••• .., •••••• " •• • " ... " ••••••• " •• """.""."" ..... """ •••••••• "".".""."""r•••••••• . . . . . . . . ! : i : : : : i . . . . . . . ' . 1 • • • • • • • . . . . . . .

... "f ··········t""" .... !·········· t····· ..... !·····-··· ··t· ......... t······· ... •!········· : : f ' : : ·, : ·1 • • • • • •

i l ! 1 i i : " •• "'t"""" ······1········"'·"'t··········r"·- "."" ... "": ............ "" ...... T·--··· """" :-···· ...... ""r--·····" -. . . . . . . .

: : : : : t : :

! : • .

"~""." .. """" • ! • 1··········· i : i·····"." l . 1 i· ."" ... """."" 1 1 ! .. " ... " ..... "."

i i l : i i i ! ····-t··-·······-t-··········1··········1-··········t·-·········t··········t···········•··········'···········I '$\ . . . ' . . . ' r.'\' .~ ll.\ : • • • • • • • \.Y • •

\,J.I 1 : : i : : : : i i•. i i i i j i i i i i

-9"• -a ... _.,... _,... -seittl - .....

ow.LISATIE Olt Jl'l .IH. -JMI -.a.H -HH

2 = gemeten met meter 2

4 = gemeten met meter 4

5 = gemeten met meter 5

(voor plaatsing van de

meetapparatuur zie fig. 15)

,.... :s: N

~ 1-'· m

:::i 0 rr 0 :>;' iî Hl

~ 1-'· IQ

1-'· ::1

" .... tQ N a 0 N 1-'· " -..J PI [

~ ~ " i T Hl 0 ~ IC rt 0

tJ' H 00 ..... " u. l.O

·~ 0 ~ O'I

J:.>roefstuk 6

• . . ....... • : .

: : ' '1 : : : : . . : .

7 ... " t····· '"!'····· ... t .".. f" •• " ... ""f-·-·-· T""" ·~· 1·· "."""! . . . . . . . . . . . . . . ' i i i i i i i i . . . . . l 1 j : :

'

• • • f • • • • 1 ."t··"··1····-··!··-····t···· t·····-1······ . ·······t······ ;······t·······: : : : : . t: 1::.

:, :, ·, ·•. i i . . : : ! • ' • • f • ' . . . . . . . . .

• • 1' i : : : : : : : t : ! • t.t • ••• '

---·~---·-····-·····t···-·-~---···r······r·®·· r·····r····· :nrr·····r·····r··-··1 • • ': ••• 1 •• i:: i i ! : : ; i i: ! i : : • : : • : : : : : 1:: 4 ··+······t·······t······-t······i·······i·······t···--·-t··············t--···· ... ······i·······t·······: : : : : 1.:: i: ! : : ' : : • : : ! . : : : : : : : • : 1 • • • 1 • • • • • • • : : • : 1 1' : i : : 1 : : 1' : . : ; : : . : : : : :

3 """ .. " ... " •.. ...:..."" ..... ~ ..... ····i·······i····--.1.."" .... " t···-···i····"·t "." ... .:. .. " ···i-······f ······ .1. " •• "".1 ... " ...... "i ! : : 1 ·! : : • : : : ! : : : f i i ! ! i i i ! ! ! i i : : ! : i:;:::;.:::

: : 1' : : l • : f : : : ' : : " .1 • • • : • f • • • • • t . ."" . .." .. " .......... " ... "."" ...... " ... " ..... ··-·-·:"···-· ...... "." ...... " .. " ". , ... " "" ....... ," .. "." ." .... "" ......... """.- .... "" .... . : ! 1 ! i i: ! i: ! i i: i ! i ! i: i ! : i i i:: i : : : : : ! ; 1: t J 1 l:: i ! i 1 i ! ! ! i: ! : ! : ! l " ..... " .... ".".-."." ...... .,.." .... ," ... "."" ........... "."_" ... ""1" ••• " ........... " .... "." .......... _ •• " •• "."." ...... ""."." .............. " •••••• : t 1 : 1:::::::: i : : 1:: t:::::: 1:: : : ! : i:;::: ! ! ! i i ! : i ! : : i ! i ! i i ! : !

\

" 21 ... H M 7fi 81 M IN tCltGtlfllttQ Olt Jl'I ........

". 12f

MK diagrammen in één grafiek getekend

1 gemeten met meter 1

2 gemeten met meter 2

R berekend uit rekstrookmeting

E berekend uit moment (M/El)

(voor plaatsing meetapparablur

zie fig. 16)

....... s: N i ,.... (1)

0 :::i rt

0 1 :i<;' ÎÎ th

~ ..... IQ . ,... . ..... .& N a ~ ,.... IV iFl ro

li

~ (1) :::i

b' ,.... u.

'g 0 ~ -...!

t lHANSPfRTLEIOIMiEN IN ZEE l JbTS - 5 J PRIFF' aJl -------------------------

s · ··-·····r·······r······r-····r······T·····-··r···-··T···-·-·r······ ·r···-·-·-1 • · s -----·-·1·-·--·--r··-·--···1-·-· -·-··i··--······ 1· ·--·-··t··-·--·-r ··----1 ··· ·--···r···-··1

. 1 1 i 1 . i 1 i i • · ·-····-··r·····r····-·· 1--·-·r··· ···-· 1 ·· ········ r···:·T····-·r······ ·T·····-··1 : 3 • s ...... ···l·--·--r-··-···1····-··+··••@·l·-® ®t--·· ···· 1·········t-·-··+········ r · ·········-t······-·-r·····-··!······ ··+· · , · ······· t····-··+····-t· ······ ··~1··· ········1 ( 2. 5 ...•.••.••. i .......... t= .......... 1.. . ........... 1 ........... 1 ......... .1 ........... , ........... ···········1·

J • 1 : : :

: i 1 1 1 1 i 1 1

Il i 1 1 1 1 ' • ! !

r 2

• ··········1···-··-···:···· ... i -······· 1···· ....... ! ··--···t·-····· ., ........ ··1··········1···-····· ·1

I. s ·-·······t-······· ; ·······-1"·-······t··········1·-····-1·--····1········-t-·-···-t--·······1 1

• .. ••••• .•• t· - . ·· 1· -...... ·t-·-· ... ·t. -..... -· ·1 ·-··· .... ·r---· -· .. · 1-· ..... -·. f-· --· ... ·+ .... ·-·. ·1

0 • 5 · ·----· ·• f. ··-·· ·· .. ,1...._ ··-·1 · ·· · · · ·-· ·t ·-· ·-·· ··1·---··· ·t ·-· ·-·· -· ·1·· ·· · ·-t ···--· ·· t ··· · · --· · I : t : : : i' ! i . . . . . . . '

1 1 t 1 t 1 1 1 1 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

DOlllllHA CIJ"! ........ 110

D -T • Pu•

tOO HH "'t Htt

t50 bar

1 gemeten met meter 1

2 gemeten met meter 2

R berekend uit rekstrook­

meting

(voor plaatsing meetappara­

tuur zie fig. 17)

QD

IBBC

,....... <l t'1 CD .....

~ (1)

0 ~ 0 ;.;-

11) e-.... In ~ lfl

m .... N § N (1)

w U1 ::i rt

(1) 0 ::i (1) (1) ::i Hl Hl til 0

~ ~ rt 0

()'\ ()) ~

(1) l.O

<: g Pi (1)

~ rt .... ;.;-PI 1-' (1)

p. ..... ~ (1) rt (1) t1

" 0

" r

" T

IC

" "

Proefstuk 6

········r·······r·······1 1 : 1 i ,. ! . . .

• 1 ....... :. ........ ! 1 i ,, . • • . . . . • • . . • • .. " .......... , . . . . •

i : .... ; : • 1 :

·i 1 • !

-SIM -AN -ffM ...... -JSN -:JIM -2SM -MM -llM -1... -S.. OUM.IMtlE UWUl'l.tH

1 gemeten met meter 1

3 = gemeten met meter 2

4 = gemeten met meter 4

5 = gemeten met meter 5

(voor plaatsing meetapparatuur

zie fig. 16}

<: N ~ '"" ID tr

pi 0 a 0 ;.>;'

Hi g ..... !Il

i.Q !Il . (1) ll ......

N a ' ~ N ID O"\ ll

rt 11)

~ ll p.

0 11) (Î) Hi ~. !Il

E! ll ;.>;' ~ -...!

([)

< pi ll p. ([)

<: ~ rt ..... ;.>;' pi t-' ([)

p. ..... ~ lll rt

~

-300

IHANSl'tYITLEIOIM.iEN IN ZEE f lbTS - 5 J Pl?tEF fXJl

-250 -200 -150 -100 OWll.lf.Aîll "" I'."" -50 0

D • T -"..,_

toa,...,.. " Ht1

150 bar

1 = gemeten met meter 1

3 = gemeten met meter 3

5 = gemeten met meter 5

(voor plaatsing meetappara­

tuur zie fig. 17)

\il)

IBBC

,,..... s:: N ~ ..... (1) (1)

::s 0 rt 0 1 ;>;' ~ Hl i ..... '° ......

::s ...... l.Q w ID ... p. w ..... " ...... PI 0

~ " g E

" ID T ::s tJ'

f( ..... u.

" ~ " 0 (1) Hl

OJ

••

TRANSPORTLEIOINGEN IN ZEE -------------------------{ I HoTS - 5 1 Pl?OEF 008

". se 6e 7e ae H l" KROMlttG. '11'1 ........ Ml

Ut

~~J ~ " t5~ . "-...

' \

0 - tOO ....... T - -t MM p._.- t"t.., bar

1 gemeten met meter 1

2 gemeten met meter 2

R berekend uit rekstrook-

meting

(voor plaatsing meetappara­

tuur zie fig. 18)

'ütD IBBC

....... ~ N ~ 1-'· (1) (1)

::J 0 rt ~ 1

iî HJ

~ 1-'· tQ

1-'· :::i .... tQ

w UI p. 1-'·

w lll N ~ " ~

0 w

" w m E ro ::J

:::i " t1 T Hl ..... 0 w. rt

'R a: 0

w 0 H

(!) " Hl .... 0 "° ..... ....

~1

Tf?ANSPOl?TLEJOIN6EN IN ZEE f No!S - 3 J PROEF 009 -------- ----------------

".". """".-".·- """"". ·- "." .... " .... " ... -- -.. -- . "" .. " .. ""."." ... "".".-."""-"""" .. " .... ".". "."""."""." ...... "" " ...... """ .. " ... " • • • t • • • • • • • • • • • • 1 • . . . . . . . . . : : : : : : : : : . ' . . . . . . . • 1 • t • • • " • • • ' • • • • J • . . . . . . . . . . . . . . . . . .

g ... ".".""".! •• "." ... ""; ... -· " ... ".:. "."" .. ".".:. ~. " ..... "" .. : .... ". - ~".".":..""".""."":.".".""" .... ";",,.""""""" • .:." ........ "~. "": . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . " ~ . . . . : : @::. l':"t : : : : : : VJ :CD : : : . . . . . . B . ... "". -- -.. :."" """ ."" •• :" .... "" - .... ". "~ """." "." ". ~-·" """ ""." •• " :. " •. """ "" ".~ -"." "" .... " ... :" "."""" -". ":

• • • • • 1 • • • • t • • • • • • • f • • • . . . . . . . . . . . . . • • f • • • . . . . . . . . . . . . " . .

7 ···--·····-~"".""" •• ""~"."" ... "~ ... ".":"." " •. " ..... :." .. _" ___ ".~ .... " •. "".:".""." .... ""." .. "" .. _.".:. .".-": f • • • • • • • • . . . ' . . . . • • • • 1 • • • • • " • 1 • • • 1 • • • • • t • • • •

: : ; 1 : . . . . . . . . 6 ""." .. " .... -.:-----".~."".".""" ."""" •. "~."" ..... """".1"""."" ... " •• ~""""""""" .... 1."" ... "."" ... }.".""." ..... ~" ...... ""."""".: . . . . . . . . .

• • • • • • 1 • •

: : : ~ : : : : . . . . . . . . . • • • • • 1 t . . . . . . . 1 • ,; • • ' 1 . . . . . . .

. . . . 4 •

""' ....... "." .. ·:"" .. ~ .. . . . . . ' :

J """" .....•

. . . . . . . . . . . . 1- ......... t .......... !· ......... ·: ........ ·· 1·· ....... ··t· ........ ·1·-· ...... "! . . . . . . . . . . . . . . ' . • • • • • • 1 • 1 • • • • • • ' • • • • 1 • . . . . . . . ' . . . ~ ' . . . . . . . . . . . . . . . ' .

" .. """ .. t···"······-:"""""." ....•.. "."-- --t--"."."." .• "" ... "" •. """"~ .. -"""""."t-"""""."" •. : • t • • ' • • • • t • • • • • . . . . . . . 1 • • J • •

l • t • ' • . ' . . . . " . . . . . . . . . . . . . . . . • " t • • " • •

·t-·-·~ .. """':" .. """.""""~--····"""""~."."."" ..... ~."""."."."":··········1··".""""."": . . . . . . . . . . . . . l • • 1 • • . . . . . . . . ' . . . . . . : ' . . . . . . . . . . . . . .

• "" ••• ".""." ••• " - -- - ~-. -t. " ... """"" ... "".""" ....... "."" -·--· •• "". ",,. ... """" ."" -- •• """ """ ."."~" ."" _______ "_ """ •••• """.

: : : : ~ : : : : 1

• 1 1 t ' • ' • • ' • ' 1 • • • • . . . . . . . . . ' . . . . . . . . . . . ' . ' . . . . . . . . " . . . . .

-• ••t'" """'"''"""'"'"'i••••"~ -: r••••••"""f ""'*'"'""'""•" :*'""'"'"'""'~ •• •:-• 4

• • • •• """ :-• •••••••••:• • •~• ••" ••!•••"'"""'""''"'": • • • • t • • • • t

: : : : : : ~ : : : : ! : : : : : : : ! : : : : : : : : : . : * 1 t a ! ~ : !

.-.a......-+- i i i 1 te Je "e &e E.e

KROMlhG 41..-1.eee.eoo M)

tOO t1t1 ~ MH

t,-, bar

1 gemeten met meter 1

2 gemeten met meter 2

R berekend uit rekstrook-

meting

(voor plaatsing meetappara­

tuur zie fig. 19)

'iID JBBC

<: N Il> 1-'· 11 Il> t1

0 a 0 :>;'

Hi l! 1-'· {Il

'° (Il 11> ::i

~

w § N 11> \.0 ::i ........ rt

ro ::i p. 1-'·

~ ro rt ~ < ~

a ~ 1-'·

~ t1 1-'·

LJ.

'U 11 0 ~ ro

" 0

" E

" T

IC

" "

TRANSPORllEIOINGEN IN ZEE

-aase -eMe -nsa -tsa. -ti!H -a... -75• OUIM.ISA1'1t O'" .f$He)

( Hors - 3 J PROEF aJ8

•

D • T -Pu•

tOO Ht1 "t HH

t1'"'1 oor

ovalisatie meters op de:

H horizontale as

V vertikale as

(Voor plaatsing meetappara­

blur zie fig. 18)

'iID IBBC

<! N ro ...... li ro tr 0 a ~ Hl g .... IJl

;Q Ul ID ::i ,....

w a ~

w ro " ~ 0 ::i ... rt 0

0 " (1) w ID Hi w ::i [ m H g- ~ PI

Hi T ~ ::i

Hl ~ l.O 0

1

K g ID

" ..:;

" w ID . li ..... rt 0 .... . ~ ,.... PI ,.... ._.

ID

p,

~-(f)

rt (f) li

~

TRANSPORTLEIOINGEN IN ZEE I HafS - 3 J PROEF 009 -------------------------."" ." ." •• ··:···- "" w" ""."""""" ... """": .... "" .... " """ ."" ·-- """ " ..... ;··" "" •• "" •• "." ... " •• ". " •• ""." "."."""."""""""",".""" "~."" ". . . . . . . . . . .

i : i 1 i : i : i ! : : : : : t : t : : . . " . . . . . . . ' , 1 • 1 • • • • • . . . . . . . . . .

•1." ·-·-·····i-·····. "" ... ·i· · · ·· · ·····t·· """" ····+ """""."" "" i·· ····· "" ""r" "." ... "".". i··· "" .... """.:·· """ "" "" ... t "-- .... -... " ." ·i . . . ' . . . . . . : : : t 1 : : : : : • • • • • 1 • • ' • • • • • " 1 • • • • . @. . . @ . t • " • • • '2 • • • $ • • : • • • . . . . . . . . . . . . . . . . ' . .

IJ"~·::.·-···:.f ""t ····f··"·······+··········!·········-4··········1···········! . . . . . . . . . . . . . . : : : : t : • • • • • • . . . . . . • • t • • • . . . . . . . . . . . . ' . . . . .

71"""""""."."~"" •••••••• ~ ••• ""."" •• ",." ••• "" """.:,."""".. • ... ".~ ....... " •••• :" •• " ... "" •• "",." •••• "" •• ,:.. •• " ..... ".".; : : : : : : : : : • • • 1 • • • • • • • • • • • f • •

~ : : • : 1 : : • : : : ! : ·1 : ': ! . . . . . . . . .

6J" ." ••• ". "" ... t-".""""" ." i-·". "." ." .. t" "" "."" ••• ~ ••••. " •. " ".j"" """ •••. ". -r• ." ••• " ; •• " ••• " •• ".~ ..... " •••• "" '· ." •• " ." ••• : a fl 1 f ' t • • 1

: : : : : • : l 1 : . . . . . . . . . . • 1- • • • • 1 ' • 1

i ! : i i i i : i : • • • ' • • • • • f

6J • ' • • • • t • • • . -.....•. ··t .•.••.. ·- -~···· ·······I·········· ·i··········· I···· ... ···~· ·······•···········t··········{······ ·····1 : : : s : 1 : : :

: ~ : : : : : : : : • • • • • t • • 1 • : : : : : 1 : : : : • • • f • • • • • •

" ' ••• ' • t ••

4J"" """ "" ,.."" ";."" """ "." " ... {""" ..... " " ••• " ....... "" •• "'" .1""" W 9" ". ·-·i" .. " ." ."~"". T "-" ···Î-·" " ... " """ --t ............ "" """ -~- """"""-" "": . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . t • • t • • • • • • • • • • • • • • • 1 . . . ' . . . " . . i : : : : : : : : :

3J • : : : : : : : : : .. " ". -"" "" ·t """ .•. ". "--:······ ."" "·t "" .".". ···-:-····-····"t···.. "" .. '1' "" ." ••• ••1" •• "." ."." """" """."" "·1· " •••••••• -t

a • • • • • • t t •

: : : : : : : : ' : .. . . . . . . . . . . . " . . . " . . .. • • t • • • • • • • • f • • 1 • • • • • • • • • • l • • •

J • • • • • . 1 • • f

2 ~"" ... """""".l"""."." •• ":"""." ..... ""-l •• " •• "."".J" ••• "." ... " •. t""""" """..:..". " .... " •• ": .... """"""""":."."." •• ".";"""""".""".: ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : : : : : : : : : : t : : : : : : : : : • • • • • • • • a • . . . . . . . . . . ' . . . . ' ' . ' .

1 J-.-- -". -· "":. .... "" "" ... -·. !-- .• ""."" .... ~"" "" -· """ • .:~" """ ..... "" ":. ""."" """":."- " ....... """.: •.••• """".":. •• ""."""."..:..."" ........ ": : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : i : : : i : ! : : : i ; i : : : ! : : :

-iast -18" -751 -5H -ast t i!H SM 7S. OVltllSATJE <"" 'lfftt

r-----. \J,,,, ~~J=:Q~

0 -T p .......

tOO M'1 ... HH

• ..,..., bar

l'' '\

ovalisatie meters op de

vertikale as

(voor plaatsing meetappara­

tuur zie fig. 19)

'ütD IBBC

,...... <: N ~ ..... (D

~ 0 a 0 ?;'

Hl g 1-'· (1)

IQ (1) (D :::i ....

w § w (1)

~ 0 :::i

"' rt 0 w ro ro Hl N :::i m ro 5 g :::i ?;' t1

Hi ..... \0 0 N

rt 0 0 :::i w lit

1-' (1) ....

0 p. 1-'·

.... m .... rt

~ rt 0 (l) :::i

~ (l)

~1

" 0

" r

" T

IC H

"

.Tl?ANSPORTLEIOIN6EN IN ZEE f Hors - 3 J PROEF 009 -------------------------"" """ .""" "".~" .".""". •• i·"" .• .... ····;• "."" - . -~ "-:··-··"." "" "." •• " ~-" ... " " •• " ." •• ""." ", ..... ~·" •• "" " ..... """"""." i···- """"" .... :

: : : : . : : : : : : : 1 : : : : ·: 1 : • • ' • • • • t • . . . . . ' ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 : : : : : : : i : 8 "" ... """"".r··········~····""""" ... ":··········T""•·······:······"" ... :"".""""""","".""""""""t.""""." •• "1'"'".""" •• ".": . " . . . . . . . . • • • • ' ' ' • 1 •

' : 1 : ; : : : t : . . . . ' . . . . . : : : : : f : c : @. : i i : i i : : • i~ ! • ".""" """ .... ~""""""" ... " ••1'·······" .. ""."" ..... """"."" ..... "."."""."" ........ ""... """ "~·· ", • • f • t ' • ' . . ' . . . • • 1 • • • ' . . . . ' . . . : : : : : 1 : : : . ' . . . ©' : .. i i ! i : 6! : : !

7 ."""""""""."."" ••• ".".-&. ••••• "" ..... ;" ... ""." •••• ~"."."""."";." ... " " " •• :.~ •• " ..... ".","""""."""",:."""""".""". . . . . . . . . ' . . . . . . . . . . . . . . . . ' . ' : : : : : : : : : : ; : : : 1' : : : • : : ·: f : • ' • • • • r • 6 ···········~··········i···········l ··-·······~····--·····•·· ··········!···········~··········•···········= : : : : : . : : : • • ' 1 ' • • • •

: : : : : •• 1 : • • • • • 1 ! . 1 . . . . . . . : : : : : : : : s ···········'··········t···········i··········1···········Ï· t··········~···········i··········{···········i t • • • t • • • • •

: i i ! : : ! : : i • • • • • t • • ' • t • • t • • • • • • . . . . . . . . . . t ' • • " • • • • • • • • • • • • • t •

" """"""~".""~ .... """." ... 1 .•. "."."".";." •. " .. """".;"" •.. " ... ""; .:~" ... """ ..... ""i"·-········i···-······f"." .. ""." .. J : : : : : : : : : : " . . . . . . . . . " . . . . " . . . . f • ' •• t ' ••• 1 • • • 1 • • • •

: : : : : : : 1 : • • • • • • f • •

l """,.."w,""""~".".""." .... .: ••• ".".".".:.""""""""".J..""."." •• "";"" ":." ••• " •• " •• :"" ••••••• ".i.""." •••• ,,.J"""" •••• "".: l • t • • f • • • • ' • • • 1 • ' • • • • • • • j • • • • • • • • t • • • . . . . . , . . • • • • f • • 1 . . . . . . . . • • 1 • • • • • • • ' • • • t • f • • • • • • t •

a """".,, " ... ""...:.""""""."".:"."."""."."t""".~".""":~".""""".".~" .:.."""" ... "~" ... ":"""." •• "" ... ":._""""" .... """""".""" •• ".: i i i : : i i : : : • • • • 1 t • "' • ' • • ' • • 1 • • " • . . . . . . . . ' . • • f t • • • • • • • • • • f • • • • t • • • ' • t • • • t

• _"" ... " '"'"'"*"•i •••• •" """w : • • ,,."",,."""""i"".,.",...,..".,..l".,.""""."".! l.,,.,,."",,."",...,.J""""..,~ •••••i••••••••••l••••••••"'•: . . . . . . . . ' • • • t • • • • • . . . ' ' . . . . . ' . . . . . . . • t • • • ' • • t . ' . ' . . . . . • • • • • • • • f . " ' . . . . . . • • • ' • • 1 • • • • • • " ' ' • t

-1259 -•He ·7St -SM -251 e ast Hl WALISATJE '"" ~ IHt >

D • T • Puw

tOO MH 1' MH

t"J-r bctr

ovalisatie meters op de:

horizontale as

(voor plaatsing meetappara­

tuur zie fig. 19)

'llD IBBC

MEETRESULTATEN

1 1.0

l? t)

·p 0.75

0.50

0.25

' ) ~c. :JJ \ LL

"' 1

1

1

1

1

i~ 1

1

1

1 ' ! ;

1 l-i--1--i !

1 1

i

1

1 1 . ' 2 4 6 a 10 12

D/t = 25

1 ' ' ' - -1 ... - i i 1 1-- 1 l l 1 ~~ 1

14 1

16 18 · Kcr

K e

o handelsbuis

• proefbuis

O'e = 250 N/mm2

(proef 6, 7)

ere = 320 N/mm2

(proef 8, 9)

bezwijk.vorm

1

1

T

20

"

Verband tussen bezwijk.druk en bezwijk.kromming voor proeven 6 - 9

0. 0. l:E~l:El<

o .. ..-.:: l.J' .. _o __ Il Il Il Il

:< >i. :< ~ f:E i:E IZ Z ./

/.

/ /

/ /

/

/

/ /

' ' ..............

'

/ " /

... .

' ..... '

.....

.......

l 'Q 1 • 1

j~ ' . 1 1.;). ' . 1 1 ! . ..., 1 •

i 1 "? 1

..... i •

.., I•

\n ••

" ,.

'"""' , . Co , .

. . \

Doorsnede vloeioppervlak voor de interactie van buiging en normaalkracht

(voor theoretische achtergrond zie bijlage 1)

0. - . JZ

)Z:>,

0. 0. ll'I ·- ___ ._._ ·--·--·-·- - ___ "_ - -· ··-~· - ·- ". l=E!·-· 1z- -· · · - -· -··-· · ·- -·- -- -~--·- --- ·-· · -----·--:;., ~ 0

0 .< .. ).J\ l

_. _ • 11. _ .. IL .Il JI >il :;., >: :;.,

)Z ·f::E · IZ IZ ·

" -·

\- L \"

l . \ 1 ',

' ' ' ' ' ' ' ' ' '

1 • l 1

.... '

~ c$

t .. ! 1

~-.-.-~ . ._,.

Doorsnede vloeioppe.rvlak voor de interactie van buiging

en normaalkracht (voor theoretische achtergrond zie bijlage 1)

tl,'

':

~

' I•

.... , .

.., •• ~ t'

"" r

'f "" ~ h

<lc:) i•

~ l

" ...: 1

.....

~ ....;

•

!

1

M = o x

'M =À i y y p

'N = o x N = r 1f ·~ '"'y p

N y

foto 1 Qllerzicht proefopstelling

(zie ook het schema van de proefopstelling fig. 9, 10)

foto 2 Verplaatsingsopnemer voor meting,van de kromming, gemonteerd op een

ijkopstelling (zie ook hfst. 8.2.3)

....... · foto 3

Proefstuk met meetapparatuur na proefneming

{zie ook hfst. 8.2.3 en a.2.4)

~-~-··-------·-·--.------: .... ·-~; ... :·::? ,. ~ ... "~ ""~

foto 4 ovalisatiemeters na proefneming

foto 5 Proefstuk 4 na beproeving (zie hfst. 9.1)

foto 6 'scharnier' in proefstuk S (zie ook hfst. 8.4)

foto 7 Proefstuk 5 na beproeving (zie hfst. 9.2)

. .. . . .:: . ~...-~~.-.. , " ....... .. ·-------·····:· ·-~. ---

' . . :J;...;._J ·· ·"~ie;

. --- • w

foto 8 Proefstuk 6 (zie ook hfst~ 9.3)

foto 9 Proef stuk 6 (zie ook hf st. 9. 3)

. :~:;~$~~~!~~1:,~;~~-~;~~#~:~.'.···~ .·. • .

t-~~

foto 10 Proefstuk 9 (zie ook hfst. 9.4)

foto 11 Proefstuk 9 (zie ook hfst. 9.4)

foto 12 Vorming van plastische scharnieren op het moment van

bezwijken, in een buis belast op uitwendige druk.

(let op de overeenkomst met de aangenomen bwzwijkvorm

in het rekenmodel; hf st. 4 en 5)