Stat 130 Module 1 b Slides

16
NOTES !! " #$ ! ! %! &’ ( ! %! ) * (+ , )- ( An experiment consists of throwing a green die and a red die. What are the possible outcomes (x,y) if x is the outcome of the green die and y is the outcome on the red die? Suppose that our interest lies in the sum of the spots on the two dice. What are the possible values of this random variable?

Transcript of Stat 130 Module 1 b Slides

Page 1: Stat 130 Module 1 b Slides

����������� ������������

NOTES

������������������ ����������

������������������������������

� ���������������� ����!!� ���"����� �#$�

�� �����������

�����������

� ���������������!����!�������� ��%!����� ���&�����'��������� ���� �(��������!������������ ����∈ ��� ������������������� ���������������������� ����� ��������%!����� ��������������� �������)�⊆ � *��(+�,�∈ )-����� ���� ���(���→ �

�� ������������

An experiment consists of throwing a greendie and a red die. What are the possibleoutcomes (x,y) if x is the outcome of thegreen die and y is the outcome on the red die?Suppose that our interest lies inthe sum of the spots on the twodice. What are the possiblevalues of this random variable?

Page 2: Stat 130 Module 1 b Slides

��!������ �������������.� ���� �

� ������� ��������� ��� ��������

' & ��!����������� ���� ����� ���� ������!����!������ ��� � /������������ ������������ ����� �� ����+������

�'��'��������!� �� ���0����ΖΖΖΖ� , ����������������' ��!!����������������!����!����������/��� ��%!����� �������������� ���������� ����� �� �������� �� ��!����������� ���� � �����������

���������������������!����������� ���� ������!������������� ����� ��&�������������������!����������������������0������������������ �&

all s S

(a) ( ) 0 ;

(b) P(s) = 1

P S s S

≥ ∀ ∈

s A

( ) ( )all

P A P s∈

= �

"�������� ���������.� ����

� ���0�����

1�����������������������!����������� ���� �

1( ) , 0,1,2,..., 0

1 1

s

P s sλ λ

λ λ� �= = >� �+ +� �

��� ����� ��� ��

"�������� ���������.� ����

� .���� ����������� ��������!����!������2�*��� 2�34��4�54�6-4����

.� ���������������7��������� +�,�1�����������������������!����������� ���� �

2( ) , 2,3,...

3

s

P s k s� �= =� �� �

��� ����� ��� ��

Page 3: Stat 130 Module 1 b Slides

�� ������������� ������� ���� !�����

' &��� ���������������� ���� ���������������!����!��������������������������� ����������� � ����!��������������� ���� ������������������ ������������������������ �89&9)�)�:��&���.�;$�)8;��

' &� �.�������������������������������������0 ���������!����������������������� �����������4���� /�0�������������������!������������8��������4� �.<� �����������������0� /�!��!������

1 2

1

(a) ( ) 0, 1,2,3,...; ( ) 0 { , ,...}

(b) ( ) 1

(c) ( ) ( )

i

ii

i i

P x i P x x x x

P x

p x P X x

=

≥ = = ∀ ∉

=

= =

�� ������������

+�4�, +�43, +�4�, +�45, +�4=, +�4>,+34�, +343, +34�, +345, +34=, +34>,+�4�, +�43, +�4�, +�45, +�4=, +�4>,+54�, +543, +54�, +545, +54=, +54>,+=4�, +=43, +=4�, +=45, +=4=, +=4>,+>4�, +>43, +>4�, +>45, +>4=, +>4>,

"

#

#

# �

3�

5

=>

� 3 � 5 = >3 � 5 = > ?

� 5 = > ? @

5 = > ? @ A

= > ? @ A ��

> ? @ A �� ��

? @ A �� �� �3

B�������0 ����� �.���������� �����������������������0��������������������!����� ������0�������

�� ������������

+�4�, +�43, +�4�, +�45, +�4=, +�4>,+34�, +343, +34�, +345, +34=, +34>,+�4�, +�43, +�4�, +�45, +�4=, +�4>,+54�, +543, +54�, +545, +54=, +54>,+=4�, +=43, +=4�, +=45, +=4=, +=4>,+>4�, +>43, +>4�, +>45, +>4=, +>4>,

"

#

#

# �

3

5

=>

� 3 � 5 = >� 3 � 5 = >

3 3 � 5 = >

� � � 5 = >

5 5 5 5 = >

= = = = = >

> > > > > >

B�������0 ����� �.���������� �����������������������0����������%�������������0�� ���������� ���

Page 4: Stat 130 Module 1 b Slides

�� ������������

+�4�, +�43, +�4�, +�45, +�4=, +�4>,+34�, +343, +34�, +345, +34=, +34>,+�4�, +�43, +�4�, +�45, +�4=, +�4>,+54�, +543, +54�, +545, +54=, +54>,+=4�, +=43, +=4�, +=45, +=4=, +=4>,+>4�, +>43, +>4�, +>45, +>4=, +>4>,

"

#

#

# �

3

5

=>

� 3 � 5 = >� � 3 � 5 =

� � � 3 � 5

3 � � � 3 �

� 3 � � � 3

5 � 3 � � �

= 5 � 3 � �

B�������0 ����� �.���������� �����������������������0������������������������������������ �����������0�� ������

"���������� ������������

� &�/������ ������������0� /��0�����!������� ���������� ��� �������� ��� ����������4������0����4�� ��������������!���.���������������!����0 4�����!������0� ��C�4����������0��������!4����0� ��C34��������������������!4����������C���)��(���������� �������������������!���� �������/�� ���������0�� �!���� /������/���4�0������������!�����������������(�� ������!����������������������0��������D��������E������!���������������� ���� ����(�� ���������������������

"���������� ������������

� ���������������������� ���������������0���������!������ �������� ��� ��� ��� � /�3������� ��������������/��3��������� ������������(�����������/���� ������ ������������� ��B�������0 �����!���������������� ���� ����(��)��0�������������������� ������������0 ������������ �����������/�����������/������ ��?4�0�����������!��������������0��0����0� D�

Page 5: Stat 130 Module 1 b Slides

"���������� ������������

� ) ������ �����������4����� ���������0� �����������!!��%����������� �A�������(��������� �������������������!���� ������� ��������������� ��������� ����!������ ���������������0� �������� ��B�������0 �����!���������������� ���� ����(��

��!������ �������������.� ���� �

� $��������� ��������� ��� ��������

' �������!!�������������� ��0��������� ������������������ ������� ��� ����� �� ���4�� �0�����������������!����!����!���������������� �������F�������G��������������� ������� �4��������������� ������������������� ������� ��

' )������������!����!����0����� �� ��� ����� ������������������ ����������������'��������� ���� ����� ���� ��4���� �������������������� �� �����!����������� ���� ��

)��&����� ����� ������ ���� ��4���������������

S

(a) ( ) 0 ;

(b) ( ) 1

f x x S

f x dx

≥ ∀ ∈

=( ) ( )

A

P A f x dx=

�� ������������

� $��������� ���� !�����

' & ���� ���������������� ���� ����� �� ��������!����!����������� �� ������� ������������� ������ ���� �

������������ �89&9)�)�:�"H;�)�:�.�;$�)8;����������� �� ������� ������������(4����� ������������������������ ������ℜ ��

(a) ( ) 0 ;

(b) ( ) 1

(c) ( ) ( ) for any subset of real numbers AA

f x x

f x dx

P X A f x dx

−∞

≥ ∀ ∈

=

∈ =

: [0, )f → ∞�

Page 6: Stat 130 Module 1 b Slides

$� �� ����� ���������.� ����

� ���0�����

1���������������� �� �����!����������� ���� �

.� �������������������������

( ) 6 (1 ),0 10 elsewhere

f x x x x= − < <=

1( )

2P X m≤ =

$� �� ����� ���������.� ����

1 2 3 4 5 6

1

2

3

x

y )�� ���������!����������� ���� �0�����/��!���!!����������

��� ��%�� ��� �&

$� �� ����� ���������.� ����

� �7���������/��!����������� �� �����!����������� ����

1 1( ) 3 1 5

2 40 elsewhere

f x x x= − − ≤ ≤

=

Page 7: Stat 130 Module 1 b Slides

$� �� ������� ������������

1 2

1

2

x

y

��� '����� ��� ��(

����:������� �� ������� ��������������������������� ".�

2( ) 3(1 ) ,0 1Find

1 1( )

2 4

f y y y

P Y

= − < <

− >

$� �� ����� ���������.� ����

� .� ������������������������

1���������������� �� �����!����������� ���� �

2( ) , 1 1

10 elsewhere

cf x x

x= − < <

−=

$����������"��������� �.� ����

� )��(�������� �����������4���� ������� ���� �.����� ���� �+'∞4∞,���.+�,�2� +(�≤ �,������������������������ ����������� �������� ���(�

Page 8: Stat 130 Module 1 b Slides

$����������"��������� �.� ����

&���� ������������0���� ���������������������� ������������(���!���� ������� ��������������� ��0�����������B�������0 �����$".����(���7���������/��!�

$����������"��������� �.� ����

� �� ���.������������������������!����������������������������(��!����� ��� ����� /��4�����������������0� /�!��!������

.���� � '�������� /

.������/��'�� �� �����

lim ( ) 0t

F t→−∞

=

lim ( ) 1t

F t→∞

=

$����������"��������� �.� ���� �������������

.+',�I .+�',��≤ (�J�

.+,�I .+�',��≤ (�≤

.+',�I .+�,��J�(�J�

.+,�I .+�,��J�(�≤

.+�,�' .+�',(�2��

��' .+�',(�≥ �.+�',(�J��

��I .+�,(�K��

.+�,(�≤ � ������������H�� �H�� ��$� ��� � /�(

Page 9: Stat 130 Module 1 b Slides

$����������"��������� �.� ����

� #)������&���������������� ��������0������������!��������������������0������/��� ������������������!��!����� ���������� ������ ������������.� ������!����������� ���� ����(4����� ������!!���� /�� ����������0�� �������������������� ��4�� ���� ������$".����(�

$����������"��������� �.� ����

� ) ������ �����������4����� ���������0� �����������!!��%����������� �A�������(��������� �������������������!���� ������� ��������������� ��������� ����!������ ���������������0� �������� ��B�������0 �����$".����(��

$����������"��������� �.� ����

� .� ������$".���������� ������������:�0������� ������� ���� ���

��� '���' ��� ��(

3 (1 ) 0 1( ) 1

2 32

and zero elsewhere

y y yf y

y

− ≤ ≤�= � ≤ ≤��

Page 10: Stat 130 Module 1 b Slides

$����������"��������� �.� ����

1 2 3 4

−1

1

2

x

y0 0

0 141( ) 1 22

12 3

12 21 3

x

xx

F x x

xx

x

<�� ≤ <���= ≤ <��� + ≤ <��

≥��

#)�����

.� �+�, +(�J�3,+, +(�2�3,+�, +��≤ (�J��,

+�,� +(�K��L3,+�,� +(�2�=L3,+�,� +3�J�(�≤ ?,

$����������"��������� �.� ���� � )�������� ������� ���� �������� �� ������� ������������(������ �� �������� �

� ����������0�����������.� ���� ���������������$�������

� ���������4�����$".������ �� ������� ������������������ ��/��������������������������

'( ) ( ) ( )d

F x F x f xdx

= =

( ) ( )td

f x dx f tdt −∞

=

$����������"��������� �.� ����

� .� �� +M J�:�J�N,����

��� '����* ��� �%�

2

0 0( ) 0 1

1 1

y

F y y y

y

<�= ≤ <�� ≥�

Page 11: Stat 130 Module 1 b Slides

$����������"��������� �.� ���� � ���������������� ��7�������� ����� �����������������������(������� ���������4�0�����(�������� ������������0����$".

� ��!!��������������� ��7������<��������������� �� ��/��� ����������������� �C3�����.� ���������������7�

� ��� ��� �� +&,�2� +M ≤ (�≤ �L3,�� �� +9,�2� +(�K��,��&���&�� ��9�� ��!� �� �D

2

2

0 0

0 1( ) 2

(4 ) 1 21 2

t

tt

F tk t t t

t

<�� ≤ <�= �� − ≤ <�

≥��

O�� ��"��������� ������9�������� $���

� +������ ������� ,-�����. ��������� ���������

����(�� ��:����0������������� ����������������� ���� �������������!����!���������������������!�����������������(�� ��:���&�� ��9����!���������������� ���� �

+%4�,�2� +(�2�%4�:�2��,

��������������P�� ��!����������� ���� ����(�� ��:�� +%4�,��������������������0� /�!��!������

+�, +%4�,�≥ �+,

,

( , ) 1x A y B

P x y∈ ∈

=�

O�� ����"�������� ���������.� ���� �

� ����(�� ��:����������P�� ��!������������������� ��� ���� �

.� �

� +�, +(�2��4�:�2�3,

� +, +(�2��4���≤ :�≤ �,� +�, +(�Q�:�≤ �,� +�, +(�K�:, ���

�3

3��

:

(

112

16

124

14

14

140

18

120

1120

Page 12: Stat 130 Module 1 b Slides

O�� ����"�������� ���������.� ���� �

� ����(�� ��:������P�� ��!����������� ���� � +%4�,������ +%,�������!����������� ���� ����(�����

� ���������4� +�,4�����!����������� ���� ����:�������� �����

( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , )y B y B

P x P X x P X x Y B P X x Y y P x y∈ ∈

= = = = ∈ = = = =� �

( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , )x A x A

P y P Y y P X A Y y P X x Y y P x y∈ ∈

= = = ∈ = = = = =� �

O�� ����"�������� ���������.� ���� �

� �����������

����(�� ��:������P�� ��!����������� ���� � +%4�,������&��������������!�����������������(�� ��9��������������!�����������������:����� ������ ����������� ���� ��

�������������������� ��������� ����������� ������������(�� ��:4����!���������

( ) ( , ) and ( ) ( , )y B x A

P x P x y P y P x y∈ ∈

= =� �

���/� ���"��������� ��� ��) ��!� �� ��

� $�� ������/� ������������� ������P�� �������������!����������� ���� �

� ������ �������������(�� ��:�������������������������� ���� ��� �����

��������+%4�,�� ��������� /���

( ) ( , ) and ( ) ( , )y B x A

P x P x y P y P x y∈ ∈

= =� �

( , ) ( ) ( )P x y P x P y= ⋅

Page 13: Stat 130 Module 1 b Slides

���/� ���"��������� ��� ��) ��!� �� ��

� &���!�����7��������0���%!������� ��������(�� ��:��� �������� ������������������� ������������ ��� ��������� �4����!��������4����� ��/��� �������"��� /� � '����4�����P�� ��!������������������� ��� ���� ����(�� ��:�����������E���� ����������0� /�������.� ���������/� ������������� �����(�� ��:�� ��������� �����(�� ��:������ ��!� �� �� ���=���3=���

���3=���=���=�3

����=��3=��3��

����3������

�3��

:

(

���/� ���"��������� ��� ��) ��!� �� ��

� )������P�� ��!������������������� ����(�� ��:����/��� ���

������� ���������/� ������������� �����(�� ��:��"������ �����(�� ��:������ ��!� �� ��

( )( , ) for x = 0,1,2,3; y =0,1,2

30x y

P x y+=

O�� ����$� �� �����"� �����.� ���� �

� ������ ���� ��+%4�,���������������/���� ��������� ������� �������� ���(�� ��:�� ������������������������0� /�!��!������

( ) ( , ) 0

( ) ( , ) 1

a f x y

b f x y dxdy∞ ∞

−∞ −∞

=

Page 14: Stat 130 Module 1 b Slides

O�� ����$� �� �����"� �����.� ���� �

� �����������

����(�� ��:������P�� ��!����������� ������� ���� ��+%4�,����� ������ ���������!����������� ������� ���� �����(�� ��:����������� ����

�������������������������� ������������ �� 0 �� 14����!����������

( ) ( , )f x f x y dy∞

−∞=

( ) ( , )f y f x y dx∞

−∞=

���/� ���"��������� ��� ��) ��!� �� ��

� $�� ������/� ������������� ������P�� ������ �� �����!����������� ������� ���� �

� ������ �������������(�� ��:�������������������������� ���� ��� �����

( ) ( , ) and f ( ) ( , )f x f x y dy y f x y dx∞ ∞

−∞ −∞= =

( , ) ( ) ( )f x y f x f y= ⋅

���/� ���"��������� ��� ��) ��!� �� ��

� &�!����������0 �����1�����������!������������������'�!����������� ����0��7'� �����������8 ����� ������������������4�����(�� ��:4����!��������4�������!��!����� ����������������������������'�!�� ��0��7'� ����������������� ������ ����!!�������������P�� ���� ������� ���� ������������ ����������������/��� ��

+�, .� ���������/� ����� ��������(�+, .� ���������/� ����� ��������:�+�, .� ������!�����������������������'� ������������������������� �� �'�����������������

+�, "������ �����(�� ��:������ ��!� �� ��

2( 2 ) 0 1,0 1

( , ) 30

x y x yf x y

elsewhere

+ < < < <�= ���

Page 15: Stat 130 Module 1 b Slides

���/� ���"��������� ��� ��) ��!� �� ��

� �������&�� ��94�0�������� /��������������0 ��4�������������� ��0��������� ����0 ���)������!����������� ������� ���� ��������0��7���!��������������������� �C�������/��� ��

� ������!���������� ������������ ��!� �� ��������������4�0�����������!�������������� �%��0��74�� ����������7������������C=����������� ����������������D

1 3( ) 4

0

xx

f xelsewhere

< <�= ���

O�� ����$� �� �����"� �����.� ���� �

� &��� ������!� ��������������%�����������������0��������%��������������4��������4�� ��������������!!�������������0��/������������%������7���/���4��������� ���������0��/�����������������4��������4�� ����������������������%�����%��.������� ����������������%4�����(�� ��:���!���� ������0��/������������������� �������������4����!��������4�� ����!!�������������P�� ���� ������� ���� ����������������������/��� ��

.� ������!��������������� ���/��� ��%������������������� �������������� �M��������0��/���

24 0 1,0 1, 1( , )

0xy x y x y

f x yelsewhere

≤ ≤ ≤ ≤ + ≤= ��

O�� ����$� �� �����"� �����.� ���� �� ����(��� ��������������� �����4�� ����� ��4������������ �������� ��� ��:��� �����������!��������� �+�.,����0������������� �������� �������������7��!��������!!����������0���� �������������(�� ��:����������P�� ���� �����/��� ��

+�, .� �� +��J�(�J�M4�R�J�:�J�M,

+, .� �� +(�J�:,�

+�, ���0������(�� ��:�����))"�

4 0 1,0 1( , )

0xy x y

f x yelsewhere

< < < <= ��

Page 16: Stat 130 Module 1 b Slides

O�� ����$� �� �����"� �����.� ���� �

� ����(��� ��������������������� ������������������������ ��:��� ��������������������������������������������7�������������9����(�� ��:��������������������������� /����0�� ���� �������!!���������(�� ��:����������P�� ���� �����/��� ���

.� �� +(�Q�:�K�M,��

10 1

( , )0

x yyf x y

elsewhere

< < <�= ���

O�� ����$� �� �����"� �����.� ���� �

� ��!!���������(�� ��:����������P�� ���� ������� ����

.� ��

0 1,0 1( , )

0x y x y

f x yelsewhere

+ < < < <= ��

( )P X Y>