Stat 130 Module 1 b Slides
Transcript of Stat 130 Module 1 b Slides
����������� ������������
NOTES
������������������ ����������
������������������������������
� ���������������� ����!!� ���"����� �#$�
�� �����������
�����������
� ���������������!����!�������� ��%!����� ���&�����'��������� ���� �(��������!������������ ����∈ ��� ������������������� ���������������������� ����� ��������%!����� ��������������� �������)�⊆ � *��(+�,�∈ )-����� ���� ���(���→ �
�� ������������
An experiment consists of throwing a greendie and a red die. What are the possibleoutcomes (x,y) if x is the outcome of thegreen die and y is the outcome on the red die?Suppose that our interest lies inthe sum of the spots on the twodice. What are the possiblevalues of this random variable?
��!������ �������������.� ���� �
� ������� ��������� ��� ��������
' & ��!����������� ���� ����� ���� ������!����!������ ��� � /������������ ������������ ����� �� ����+������
�'��'��������!� �� ���0����ΖΖΖΖ� , ����������������' ��!!����������������!����!����������/��� ��%!����� �������������� ���������� ����� �� �������� �� ��!����������� ���� � �����������
���������������������!����������� ���� ������!������������� ����� ��&�������������������!����������������������0������������������ �&
all s S
(a) ( ) 0 ;
(b) P(s) = 1
P S s S
∈
≥ ∀ ∈
�
s A
( ) ( )all
P A P s∈
= �
"�������� ���������.� ����
� ���0�����
1�����������������������!����������� ���� �
1( ) , 0,1,2,..., 0
1 1
s
P s sλ λ
λ λ� �= = >� �+ +� �
��� ����� ��� ��
"�������� ���������.� ����
� .���� ����������� ��������!����!������2�*��� 2�34��4�54�6-4����
.� ���������������7��������� +�,�1�����������������������!����������� ���� �
2( ) , 2,3,...
3
s
P s k s� �= =� �� �
��� ����� ��� ��
�� ������������� ������� ���� !�����
' &��� ���������������� ���� ���������������!����!��������������������������� ����������� � ����!��������������� ���� ������������������ ������������������������ �89&9)�)�:��&���.�;$�)8;��
' &� �.�������������������������������������0 ���������!����������������������� �����������4���� /�0�������������������!������������8��������4� �.<� �����������������0� /�!��!������
1 2
1
(a) ( ) 0, 1,2,3,...; ( ) 0 { , ,...}
(b) ( ) 1
(c) ( ) ( )
i
ii
i i
P x i P x x x x
P x
p x P X x
∞
=
≥ = = ∀ ∉
=
= =
�
�� ������������
+�4�, +�43, +�4�, +�45, +�4=, +�4>,+34�, +343, +34�, +345, +34=, +34>,+�4�, +�43, +�4�, +�45, +�4=, +�4>,+54�, +543, +54�, +545, +54=, +54>,+=4�, +=43, +=4�, +=45, +=4=, +=4>,+>4�, +>43, +>4�, +>45, +>4=, +>4>,
"
#
#
�
# �
�
3�
5
=>
� 3 � 5 = >3 � 5 = > ?
� 5 = > ? @
5 = > ? @ A
= > ? @ A ��
> ? @ A �� ��
? @ A �� �� �3
B�������0 ����� �.���������� �����������������������0��������������������!����� ������0�������
�� ������������
+�4�, +�43, +�4�, +�45, +�4=, +�4>,+34�, +343, +34�, +345, +34=, +34>,+�4�, +�43, +�4�, +�45, +�4=, +�4>,+54�, +543, +54�, +545, +54=, +54>,+=4�, +=43, +=4�, +=45, +=4=, +=4>,+>4�, +>43, +>4�, +>45, +>4=, +>4>,
"
#
#
�
# �
�
3
�
5
=>
� 3 � 5 = >� 3 � 5 = >
3 3 � 5 = >
� � � 5 = >
5 5 5 5 = >
= = = = = >
> > > > > >
B�������0 ����� �.���������� �����������������������0����������%�������������0�� ���������� ���
�� ������������
+�4�, +�43, +�4�, +�45, +�4=, +�4>,+34�, +343, +34�, +345, +34=, +34>,+�4�, +�43, +�4�, +�45, +�4=, +�4>,+54�, +543, +54�, +545, +54=, +54>,+=4�, +=43, +=4�, +=45, +=4=, +=4>,+>4�, +>43, +>4�, +>45, +>4=, +>4>,
"
#
#
�
# �
�
3
�
5
=>
� 3 � 5 = >� � 3 � 5 =
� � � 3 � 5
3 � � � 3 �
� 3 � � � 3
5 � 3 � � �
= 5 � 3 � �
B�������0 ����� �.���������� �����������������������0������������������������������������ �����������0�� ������
"���������� ������������
� &�/������ ������������0� /��0�����!������� ���������� ��� �������� ��� ����������4������0����4�� ��������������!���.���������������!����0 4�����!������0� ��C�4����������0��������!4����0� ��C34��������������������!4����������C���)��(���������� �������������������!���� �������/�� ���������0�� �!���� /������/���4�0������������!�����������������(�� ������!����������������������0��������D��������E������!���������������� ���� ����(�� ���������������������
"���������� ������������
� ���������������������� ���������������0���������!������ �������� ��� ��� ��� � /�3������� ��������������/��3��������� ������������(�����������/���� ������ ������������� ��B�������0 �����!���������������� ���� ����(��)��0�������������������� ������������0 ������������ �����������/�����������/������ ��?4�0�����������!��������������0��0����0� D�
"���������� ������������
� ) ������ �����������4����� ���������0� �����������!!��%����������� �A�������(��������� �������������������!���� ������� ��������������� ��������� ����!������ ���������������0� �������� ��B�������0 �����!���������������� ���� ����(��
��!������ �������������.� ���� �
� $��������� ��������� ��� ��������
' �������!!�������������� ��0��������� ������������������ ������� ��� ����� �� ���4�� �0�����������������!����!����!���������������� �������F�������G��������������� ������� �4��������������� ������������������� ������� ��
' )������������!����!����0����� �� ��� ����� ������������������ ����������������'��������� ���� ����� ���� ��4���� �������������������� �� �����!����������� ���� ��
)��&����� ����� ������ ���� ��4���������������
S
(a) ( ) 0 ;
(b) ( ) 1
f x x S
f x dx
≥ ∀ ∈
=( ) ( )
A
P A f x dx=
�� ������������
� $��������� ���� !�����
' & ���� ���������������� ���� ����� �� ��������!����!����������� �� ������� ������������� ������ ���� �
������������ �89&9)�)�:�"H;�)�:�.�;$�)8;����������� �� ������� ������������(4����� ������������������������ ������ℜ ��
(a) ( ) 0 ;
(b) ( ) 1
(c) ( ) ( ) for any subset of real numbers AA
f x x
f x dx
P X A f x dx
∞
−∞
≥ ∀ ∈
=
∈ =
�
: [0, )f → ∞�
$� �� ����� ���������.� ����
� ���0�����
1���������������� �� �����!����������� ���� �
.� �������������������������
( ) 6 (1 ),0 10 elsewhere
f x x x x= − < <=
1( )
2P X m≤ =
$� �� ����� ���������.� ����
1 2 3 4 5 6
1
2
3
x
y )�� ���������!����������� ���� �0�����/��!���!!����������
��� ��%�� ��� �&
$� �� ����� ���������.� ����
� �7���������/��!����������� �� �����!����������� ����
1 1( ) 3 1 5
2 40 elsewhere
f x x x= − − ≤ ≤
=
$� �� ������� ������������
1 2
1
2
x
y
��� '����� ��� ��(
����:������� �� ������� ��������������������������� ".�
2( ) 3(1 ) ,0 1Find
1 1( )
2 4
f y y y
P Y
= − < <
− >
$� �� ����� ���������.� ����
� .� ������������������������
1���������������� �� �����!����������� ���� �
2( ) , 1 1
10 elsewhere
cf x x
x= − < <
−=
$����������"��������� �.� ����
� )��(�������� �����������4���� ������� ���� �.����� ���� �+'∞4∞,���.+�,�2� +(�≤ �,������������������������ ����������� �������� ���(�
$����������"��������� �.� ����
&���� ������������0���� ���������������������� ������������(���!���� ������� ��������������� ��0�����������B�������0 �����$".����(���7���������/��!�
$����������"��������� �.� ����
� �� ���.������������������������!����������������������������(��!����� ��� ����� /��4�����������������0� /�!��!������
.���� � '�������� /
.������/��'�� �� �����
lim ( ) 0t
F t→−∞
=
lim ( ) 1t
F t→∞
=
$����������"��������� �.� ���� �������������
.+',�I .+�',��≤ (�J�
.+,�I .+�',��≤ (�≤
.+',�I .+�,��J�(�J�
.+,�I .+�,��J�(�≤
.+�,�' .+�',(�2��
��' .+�',(�≥ �.+�',(�J��
��I .+�,(�K��
.+�,(�≤ � ������������H�� �H�� ��$� ��� � /�(
$����������"��������� �.� ����
� #)������&���������������� ��������0������������!��������������������0������/��� ������������������!��!����� ���������� ������ ������������.� ������!����������� ���� ����(4����� ������!!���� /�� ����������0�� �������������������� ��4�� ���� ������$".����(�
$����������"��������� �.� ����
� ) ������ �����������4����� ���������0� �����������!!��%����������� �A�������(��������� �������������������!���� ������� ��������������� ��������� ����!������ ���������������0� �������� ��B�������0 �����$".����(��
$����������"��������� �.� ����
� .� ������$".���������� ������������:�0������� ������� ���� ���
��� '���' ��� ��(
3 (1 ) 0 1( ) 1
2 32
and zero elsewhere
y y yf y
y
− ≤ ≤�= � ≤ ≤��
$����������"��������� �.� ����
1 2 3 4
−1
1
2
x
y0 0
0 141( ) 1 22
12 3
12 21 3
x
xx
F x x
xx
x
<�� ≤ <���= ≤ <��� + ≤ <��
≥��
#)�����
.� �+�, +(�J�3,+, +(�2�3,+�, +��≤ (�J��,
+�,� +(�K��L3,+�,� +(�2�=L3,+�,� +3�J�(�≤ ?,
$����������"��������� �.� ���� � )�������� ������� ���� �������� �� ������� ������������(������ �� �������� �
� ����������0�����������.� ���� ���������������$�������
� ���������4�����$".������ �� ������� ������������������ ��/��������������������������
'( ) ( ) ( )d
F x F x f xdx
= =
( ) ( )td
f x dx f tdt −∞
=
$����������"��������� �.� ����
� .� �� +M J�:�J�N,����
��� '����* ��� �%�
2
0 0( ) 0 1
1 1
y
F y y y
y
<�= ≤ <�� ≥�
$����������"��������� �.� ���� � ���������������� ��7�������� ����� �����������������������(������� ���������4�0�����(�������� ������������0����$".
� ��!!��������������� ��7������<��������������� �� ��/��� ����������������� �C3�����.� ���������������7�
� ��� ��� �� +&,�2� +M ≤ (�≤ �L3,�� �� +9,�2� +(�K��,��&���&�� ��9�� ��!� �� �D
2
2
0 0
0 1( ) 2
(4 ) 1 21 2
t
tt
F tk t t t
t
<�� ≤ <�= �� − ≤ <�
≥��
O�� ��"��������� ������9�������� $���
� +������ ������� ,-�����. ��������� ���������
����(�� ��:����0������������� ����������������� ���� �������������!����!���������������������!�����������������(�� ��:���&�� ��9����!���������������� ���� �
+%4�,�2� +(�2�%4�:�2��,
��������������P�� ��!����������� ���� ����(�� ��:�� +%4�,��������������������0� /�!��!������
+�, +%4�,�≥ �+,
,
( , ) 1x A y B
P x y∈ ∈
=�
O�� ����"�������� ���������.� ���� �
� ����(�� ��:����������P�� ��!������������������� ��� ���� �
.� �
� +�, +(�2��4�:�2�3,
� +, +(�2��4���≤ :�≤ �,� +�, +(�Q�:�≤ �,� +�, +(�K�:, ���
�3
�
�
3��
:
(
112
16
124
14
14
140
18
120
1120
O�� ����"�������� ���������.� ���� �
� ����(�� ��:������P�� ��!����������� ���� � +%4�,������ +%,�������!����������� ���� ����(�����
� ���������4� +�,4�����!����������� ���� ����:�������� �����
( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , )y B y B
P x P X x P X x Y B P X x Y y P x y∈ ∈
= = = = ∈ = = = =� �
( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , )x A x A
P y P Y y P X A Y y P X x Y y P x y∈ ∈
= = = ∈ = = = = =� �
O�� ����"�������� ���������.� ���� �
� �����������
����(�� ��:������P�� ��!����������� ���� � +%4�,������&��������������!�����������������(�� ��9��������������!�����������������:����� ������ ����������� ���� ��
�������������������� ��������� ����������� ������������(�� ��:4����!���������
( ) ( , ) and ( ) ( , )y B x A
P x P x y P y P x y∈ ∈
= =� �
���/� ���"��������� ��� ��) ��!� �� ��
� $�� ������/� ������������� ������P�� �������������!����������� ���� �
� ������ �������������(�� ��:�������������������������� ���� ��� �����
��������+%4�,�� ��������� /���
( ) ( , ) and ( ) ( , )y B x A
P x P x y P y P x y∈ ∈
= =� �
( , ) ( ) ( )P x y P x P y= ⋅
���/� ���"��������� ��� ��) ��!� �� ��
� &���!�����7��������0���%!������� ��������(�� ��:��� �������� ������������������� ������������ ��� ��������� �4����!��������4����� ��/��� �������"��� /� � '����4�����P�� ��!������������������� ��� ���� ����(�� ��:�����������E���� ����������0� /�������.� ���������/� ������������� �����(�� ��:�� ��������� �����(�� ��:������ ��!� �� �� ���=���3=���
���3=���=���=�3
����=��3=��3��
����3������
�3��
:
(
���/� ���"��������� ��� ��) ��!� �� ��
� )������P�� ��!������������������� ����(�� ��:����/��� ���
������� ���������/� ������������� �����(�� ��:��"������ �����(�� ��:������ ��!� �� ��
( )( , ) for x = 0,1,2,3; y =0,1,2
30x y
P x y+=
O�� ����$� �� �����"� �����.� ���� �
� ������ ���� ��+%4�,���������������/���� ��������� ������� �������� ���(�� ��:�� ������������������������0� /�!��!������
( ) ( , ) 0
( ) ( , ) 1
a f x y
b f x y dxdy∞ ∞
−∞ −∞
≥
=
O�� ����$� �� �����"� �����.� ���� �
� �����������
����(�� ��:������P�� ��!����������� ������� ���� ��+%4�,����� ������ ���������!����������� ������� ���� �����(�� ��:����������� ����
�������������������������� ������������ �� 0 �� 14����!����������
( ) ( , )f x f x y dy∞
−∞=
( ) ( , )f y f x y dx∞
−∞=
���/� ���"��������� ��� ��) ��!� �� ��
� $�� ������/� ������������� ������P�� ������ �� �����!����������� ������� ���� �
� ������ �������������(�� ��:�������������������������� ���� ��� �����
( ) ( , ) and f ( ) ( , )f x f x y dy y f x y dx∞ ∞
−∞ −∞= =
( , ) ( ) ( )f x y f x f y= ⋅
���/� ���"��������� ��� ��) ��!� �� ��
� &�!����������0 �����1�����������!������������������'�!����������� ����0��7'� �����������8 ����� ������������������4�����(�� ��:4����!��������4�������!��!����� ����������������������������'�!�� ��0��7'� ����������������� ������ ����!!�������������P�� ���� ������� ���� ������������ ����������������/��� ��
+�, .� ���������/� ����� ��������(�+, .� ���������/� ����� ��������:�+�, .� ������!�����������������������'� ������������������������� �� �'�����������������
+�, "������ �����(�� ��:������ ��!� �� ��
2( 2 ) 0 1,0 1
( , ) 30
x y x yf x y
elsewhere
+ < < < <�= ���
���/� ���"��������� ��� ��) ��!� �� ��
� �������&�� ��94�0�������� /��������������0 ��4�������������� ��0��������� ����0 ���)������!����������� ������� ���� ��������0��7���!��������������������� �C�������/��� ��
� ������!���������� ������������ ��!� �� ��������������4�0�����������!�������������� �%��0��74�� ����������7������������C=����������� ����������������D
1 3( ) 4
0
xx
f xelsewhere
< <�= ���
O�� ����$� �� �����"� �����.� ���� �
� &��� ������!� ��������������%�����������������0��������%��������������4��������4�� ��������������!!�������������0��/������������%������7���/���4��������� ���������0��/�����������������4��������4�� ����������������������%�����%��.������� ����������������%4�����(�� ��:���!���� ������0��/������������������� �������������4����!��������4�� ����!!�������������P�� ���� ������� ���� ����������������������/��� ��
.� ������!��������������� ���/��� ��%������������������� �������������� �M��������0��/���
24 0 1,0 1, 1( , )
0xy x y x y
f x yelsewhere
≤ ≤ ≤ ≤ + ≤= ��
O�� ����$� �� �����"� �����.� ���� �� ����(��� ��������������� �����4�� ����� ��4������������ �������� ��� ��:��� �����������!��������� �+�.,����0������������� �������� �������������7��!��������!!����������0���� �������������(�� ��:����������P�� ���� �����/��� ��
+�, .� �� +��J�(�J�M4�R�J�:�J�M,
+, .� �� +(�J�:,�
+�, ���0������(�� ��:�����))"�
4 0 1,0 1( , )
0xy x y
f x yelsewhere
< < < <= ��
O�� ����$� �� �����"� �����.� ���� �
� ����(��� ��������������������� ������������������������ ��:��� ��������������������������������������������7�������������9����(�� ��:��������������������������� /����0�� ���� �������!!���������(�� ��:����������P�� ���� �����/��� ���
.� �� +(�Q�:�K�M,��
10 1
( , )0
x yyf x y
elsewhere
< < <�= ���
O�� ����$� �� �����"� �����.� ���� �
� ��!!���������(�� ��:����������P�� ���� ������� ����
.� ��
0 1,0 1( , )
0x y x y
f x yelsewhere
+ < < < <= ��
( )P X Y>