Stabilization and Optimality Results

7/31/2019 Stabilization and Optimality Results

1/9

J o u r n a l o f G u i d a n c e , C o n t r o l , a n d D y n a m i c s

V o l . 1 9 , N o . 4 , J u l y - A u g u t s 1 9 9 6

S t a b i l i z a t i o n a n d O p t i m a l i t y R e s u l t s

f o r t h e A t t i t u d e C o n t r o l P r o b l e m

P a n a g i o t i s T s i o t r a s

U n i v e r s i t y o f V i r g i n i a , C h a r l o t t e s v i l l e , V A 2 2 9 0 3 - 2 4 4 2

A b s t r a c t

I n t h i s p a p e r w e p r e s e n t s o m e r e c e n t r e s u l t s o n t h e d e s c r i p t i o n a n d c o n t r o l o f t h e a t t i t u d e m o t i o n o f r o t a t i n g

r i g i d b o d i e s . W e d e r i v e a n e w c l a s s o f g l o b a l l y a s y m p t o t i c a l l y s t a b i l i z i n g f e e d b a c k c o n t r o l l a w s f o r t h e c o m p l e t e ( i . e . ,

d y n a m i c s a n d k i n e m a t i c s ) a t t i t u d e m o t i o n . W e s h o w t h a t t h e u s e o f a L y a p u n o v f u n c t i o n w h i c h i n v o l v e s t h e s u m o f

a q u a d r a t i c t e r m i n t h e a n g u l a r v e l o c i t i e s a n d a l o g a r i t h m i c t e r m i n t h e k i n e m a t i c p a r a m e t e r s l e a d s t o t h e d e s i g n o f

l i n e a r c o n t r o l l e r s . W e a l s o s h o w t h a t t h e f e e d b a c k c o n t r o l l a w s f o r t h e k i n e m a t i c s m i n i m i z e a q u a d r a t i c c o s t i n t h e

s t a t e a n d c o n t r o l v a r i a b l e s f o r a l l i n i t i a l c o n d i t i o n s . F o r t h e c o m p l e t e s y s t e m w e c o n s t r u c t a f a m i l y o f e x p o n e n t i a l l y

s t a b i l i z i n g c o n t r o l l a w s a n d w e i n v e s t i g a t e t h e i r o p t i m a l i t y c h a r a c t e r i s t i c s . T h e p r o p o s e d c o n t r o l l a w s a r e g i v e n i n

t e r m s o f t h e c l a s s i c a l C a y l e y - R o d r i g u e s p a r a m e t e r s a n d t h e M o d i e d R o d r i g u e s p a r a m e t e r s .

N o m e n c l a t u r e

e = P r i n c i p a l a x i s o f r o t a t i o n

I = i d e n t i t y m a t r i x

J = i n e r t i a m a t r i x

q = E u l e r p a r a m e t e r v e c t o r ( q

0

q

1

q

2

q

3

)

T

I R = s e t o f r e a l n u m b e r s

I R

n

= n ; d i m e n s i o n a l s p a c e o f r e a l v e c t o r s

I R

+

= s e t o f n o n n e g a t i v e r e a l n u m b e r s

S ( ) = s k e w ; s y m m e t r i c 3 3 m a t r i x

S O ( 3 ) = s p e c i a l o r t h o g o n a l g r o u p ( r o t a t i o n g r o u p )

u = t o r q u e v e c t o r i n b o d y ; a x e s ( u

1

u

2

u

3

)

T

@ V = @ x = g r a d i e n t o f a f u n c t i o n V I R

n

! I R

@ V = @ x

1

@ V = @ x

2

: : : @ V = @ x

n

= C a y l e y ; R o d r i g u e s p a r a m e t e r s (

1

2

3

)

T

= m o d i e d R o d r i g u e s p a r a m e t e r s (

1

2

3

)

T

= P r i n c i p a l a n g l e o f r o t a t i o n

! = a n g u l a r v e l o c i t y v e c t o r i n b o d y a x e s ( !

1

!

2

!

3

)

T

( )

T

= t r a n s p o s e o p e r a t o r

j j j j = 2 ; n o r m o f v e c t o r s i e k x k

2

= x

T

x

I n t r o d u c t i o n

I n r e c e n t y e a r s c o n s i d e r a b l e e o r t h a s b e e n d e v o t e d t o

t h e d e s i g n o f c o n t r o l l a w s f o r c h a l l e n g i n g d y n a m i c a l s y s t e m s ,

s u c h a s r o b o t m a n i p u l a t o r s , h i g h - p e r f o r m a n c e a i r c r a f t , a n d

u n d e r w a t e r o r s p a c e v e h i c l e s . T h e s e s y s t e m s h a v e s i m i l a r

c h a r a c t e r i s t i c s . F i r s t , t h e y a r e d i c u l t t o c o n t r o l b e c a u s e

o f t h e h i g h l y n o n l i n e a r c h a r a c t e r o f t h e i r e q u a t i o n s . T h i s i s

p a r t i c u l a r l y t r u e w h e n t h e s e s y s t e m s a r e r e q u i r e d t o p e r f o r m

f a s t a n g u l a r m a n e u v e r s . I n s u c h c a s e s , t h e c r o s s - c o u p l i n g

t e r m s i n t h e e q u a t i o n s b e c o m e s i g n i c a n t , d o m i n a t i n g t h e

l i n e a r t e r m s . A s a r e s u l t , l i n e a r c o n t r o l t e c h n i q u e s f o r s u c h

s y s t e m s a r e o f t e n i n a d e q u a t e

1

. S e c o n d , t h e d y n a m i c s o f a l l

t h e s e s y s t e m s h a v e t h e s a m e u n d e r l y i n g p r o p e r t y : N a m e l y ,

t h e y d e s c r i b e a r i g i d ( o r a l m o s t r i g i d ) b o d y i n r o t a t i o n a l m o -

t i o n . I t i s o f i n t e r e s t t o d e v e l o p a c o m p r e h e n s i v e t h e o r y t h a t

w i l l a l l o w a b e t t e r u n d e r s t a n d i n g o f t h e c o m p l e x d y n a m i c

b e h a v i o r o f t h e m o t i o n o f r o t a t i n g b o d i e s . A c o r n e r s t o n e i n

t h i s e o r t i s t h e d e v e l o p m e n t o f a l t e r n a t i v e d e s c r i p t i o n s o f

t h e k i n e m a t i c s o f t h e r o t a t i o n a l m o t i o n .

I n t h i s p a p e r w e a r e i n t e r e s t e d i n t h e d e s c r i p t i o n a n d

c o n t r o l o f t h e a t t i t u d e m o t i o n u s i n g o n l y m i n i m a l , t h r e e -

A s s i s t a n t P r o f e s s o r , D e p a r t m e n t o f M e c h a n i c a l , A e r o s p a c e

a n d N u c l e a r E n g i n e e r i n g . M e m b e r A I A A .

d i m e n s i o n a l p a r a m e t e r i z a t i o n s . T w o s u c h t h r e e - d i m e n s i o n a l

p a r a m e t e r i z a t i o n s w i l l b e u s e d : T h e c l a s s i c a l ( C a y l e y - ) R o -

d r i g u e s a n d t h e M o d i e d R o d r i g u e s p a r a m e t e r s . S i n c e t h e

M o d i e d R o d r i g u e s k i n e m a t i c p a r a m e t e r i z a t i o n i s n e i t h e r a s

w i d e l y k n o w n n o r a s f r e q u e n t l y u s e d a s t h e c l a s s i c a l R o -

d r i g u e s p a r a m e t e r s , w e d e e m i t n e c e s s a r y t o r e v i e w s o m e o f

t h e a d v a n t a g e s o f t h e f o r m e r . I n p a r t i c u l a r , w e s h o w t h a t

t h e M o d i e d R o d r i g u e s p a r a m e t e r i z a t i o n i s , i n s o m e s e n s e ,

t h e \ b e s t " t h r e e - d i m e n s i o n a l r e p r e s e n t a t i o n o f t h e a t t i t u d e

m o t i o n .

T h e s c o p e o f t h i s p a p e r i s t w o f o l d : F i r s t , t o i n t r o d u c e

a k i n e m a t i c d e s c r i p t i o n u s i n g t h e M o d i e d R o d r i g u e s p a -

r a m e t e r s a n d t o b r i e y d i s c u s s i t s a d v a n t a g e s o v e r t h e o t h e r

c l a s s i c a l t h r e e - d i m e n s i o n a l p a r a m e t e r i z a t i o n s , i n p a r t i c u l a r

t h e R o d r i g u e s p a r a m e t e r s . T h e s e c o n d s c o p e o f t h e p a p e r

i s t o d e m o n s t r a t e t h e p o t e n t i a l o f t h e M o d i e d R o d r i g u e s

p a r a m e t e r s f o r c o n t r o l a p p l i c a t i o n s . I n p a r t i c u l a r , w e s h o w

h o w t o d e r i v e l i n e a r g l o b a l l y a s y m p t o t i c a l l y s t a b i l i z i n g c o n -

t r o l l a w s u s i n g t h e s e p a r a m e t e r s . S i n c e m o s t o f t h e s t a b i -

l i z a t i o n r e s u l t s a l s o h o l d f o r t h e R o d r i g u e s p a r a m e t e r s w e

d e r i v e , i n p a r a l l e l , s i m i l a r r e s u l t s f o r t h e s e p a r a m e t e r s a s

w e l l . I n t h e s e c o n d p a r t o f t h e p a p e r w e a d d r e s s t h e p r o b -

l e m o f t h e o p t i m a l r e g u l a t i o n o f t h e a t t i t u d e m o t i o n i n t e r m s

o f t h e p r e v i o u s k i n e m a t i c p a r a m e t e r s . I n p a r t i c u l a r , w e i n -

v e s t i g a t e t h e o p t i m a l i t y p r o p e r t i e s o f t h e p r e v i o u s l y d e r i v e d

s t a b i l i z i n g f e e d b a c k c o n t r o l l a w s .

O p t i m a l c o n t r o l t h e o r y f o r a r i g i d b o d y h a s a l o n g

h i s t o r y

2 5

. M o s t o f t h e s e r e f e r e n c e s e i t h e r a d d r e s s t h e o p t i -

m a l c o n t r o l p r o b l e m o f t h e a n g u l a r v e l o c i t y e q u a t i o n s o n l y

2 4

( i . e . , w i t h o u t a n y r e f e r e n c e t o t h e k i n e m a t i c s ) , o r t h e y s o l v e

t h e o p e n - l o o p o p t i m a l c o n t r o l p r o b l e m w h i c h , v i a P o n t r y a -

g i n ' s M a x i m u m P r i n c i p l e l e a d s , t o a T w o - P o i n t - B o u n d a r y -

V a l u e P r o b l e m . T h i s p r o b l e m c a n b e s o l v e d , i n g e n e r a l , u s -

i n g n u m e r i c a l t e c h n i q u e s

6 8

. A t t h e s a m e t i m e , t h e s y n -

t h e s i s p r o b l e m ( i . e . , t h e o p t i m a l f e e d b a c k p r o b l e m ) i s m u c h

m o r e d i c u l t a n d h a s b e e n m a i n l y a d d r e s s e d i n t h e c o n t e x t

o f t i m e - o p t i m a l m a n e u v e r s ( s e e R e f . 9 a n d t h e r e f e r e n c e s

t h e r e i n ) . O t h e r o p t i m a l f e e d b a c k r e s u l t s i n c l u d e R e f s . 1 0 -

1 2 . T h e R e f e r e n c e 1 3 c o n t a i n s a c o m p r e h e n s i v e c o m p i l a t i o n

o f m o s t o f t h e e x i s t i n g r e s u l t s o n t h e r i g i d b o d y o p t i m a l c o n -

t r o l . I n t h i s p a p e r w e s e e k s o l u t i o n s t o t h e o p t i m a l f e e d b a c k

r e g u l a t i o n p r o b l e m o f a r i g i d b o d y s u b j e c t t o a q u a d r a t i c

c o s t w h e r e b o t h t h e a n g u l a r v e l o c i t y a n d t h e o r i e n t a t i o n o f

t h e b o d y a r e r e g u l a t e d . T a k i n g i n t o c o n s i d e r a t i o n t h e c a s -

c a d e i n t e r c o n n e c t i o n o f t h e s y s t e m e q u a t i o n s , w e r s t s t a t e

t h e o p t i m a l r e g u l a t i o n p r o b l e m f o r t h e k i n e m a t i c s o f t h e a t -

t i t u d e m o t i o n w h e n t h e a n g u l a r v e l o c i t y a c t s a s a c o n t r o l i n -

p u t . T h e c o s t i n c l u d e s a p e n a l t y o n t h e o r i e n t a t i o n p a r a m e -

t e r s a n d t h e a n g u l a r v e l o c i t y . T h e a c t u a l c o n t r o l i n p u t i s t h e

a c t i n g t o r q u e e n t e r i n g t h e s y s t e m t h r o u g h E u l e r ' s e q u a t i o n s

( t h e d y n a m i c s ) . T h e o p t i m a l r e g u l a t i o n w h e n t h e d y n a m -

1


2/9

i c s i s i n c l u d e d i n t h e p r o b l e m , a n d f o r g e n e r a l p e r f o r m a n c e

i n d i c e s i s n o t y e t s o l v e d | a s f a r a s t h e a u t h o r s k n o w s . H o w -

e v e r , t h e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m f o r t h e k i n e m a t i c s p r o v i d e s

a l o w e r b o u n d o n t h e a c h i e v a b l e p e r f o r m a n c e f o r t h e w h o l e

s y s t e m f o r t h e s a m e c o s t f u n c t i o n a l . A c t u a l l y , w e s h o w t h a t

i f t h e d y n a m i c s i s f a s t ( o r c a n b e m a d e f a s t e n o u g h t h r o u g h

t h e a p p r o p r i a t e c h o i c e o f t h e c o n t r o l i n p u t ) o n e i s a b l e t o

r e c o v e r t h i s p e r f o r m a n c e a s y m p t o t i c a l l y . W e s h o w h o w s u c h

a c o n t r o l l e r c a n b e c o n s t r u c t e d | a n d t h u s a c h i e v e t h e o p -

t i m a l p e r f o r m a n c e | u n d e r t h e a s s u m p t i o n t h a t t h e r e i s n o

p e n a l t y o n t h e c o n t r o l e o r t . T h i s c o n t r o l l e r w i l l i n c l u d e , i n

g e n e r a l , a h i g h g a i n p o r t i o n . M o t i v a t e d b y t h e o p t i m a l c h a r -

a c t e r i s t i c s o f t h i s c o n t r o l l e r w e d e r i v e a n o p t i m a l c o n t r o l l e r

w h i c h p e n a l i z e s i t s h i g h g a i n p o r t i o n .

K i n e m a t i c s O v e r v i e w

T h e d y n a m i c s o f t h e r o t a t i o n a l m o t i o n o f a r i g i d b o d y a r e

d e s c r i b e d b y t h e f o l l o w i n g s e t o f d i e r e n t i a l e q u a t i o n s

J ! = S ( ! ) J ! + u ! ( 0 ) = !

0

( 1 )

w h e r e t h e s y m b o l S ( ) d e n o t e s a 3 3 s k e w - s y m m e t r i c m a -

t r i x , t h a t i s ,

S ( ! ) =

"

0 !

3

; !

2

; !

3

0 !

1

!

2

; !

1

0

#

( 2 )

I n a d d i t i o n t o E q . ( 1 ) , w h i c h p r o v i d e s t h e t i m e h i s t o r y o f

t h e a n g u l a r v e l o c i t y v e c t o r , t h e o r i e n t a t i o n o f a r i g i d b o d y i s

g i v e n b y a s e t o f k i n e m a t i c e q u a t i o n s . T y p i c a l l y , t h e E u l e r

p a r a m e t e r s ( q u a t e r n i o n ) , t h e C a y l e y - R o d r i g u e s p a r a m e t e r s ,

o r t h e E u l e r i a n a n g l e s a r e u s e d t o p a r a m e t e r i z e t h e a t t i t u d e

k i n e m a t i c s . I n t h e s e q u e l , w e b r i e y r e v i e w t h e t w o m a i n

k i n e m a t i c p a r a m e t e r i z a t i o n s u s e d i n t h i s p a p e r , i . e . , t h e R o -

d r i g u e s p a r a m e t e r s a n d t h e M o d i e d R o d r i g u e s p a r a m e t e r s .

B o t h c a n b e v i e w e d a s n o r m a l i z e d v e r s i o n s o f t h e E u l e r p a -

r a m e t e r s .

L e t d e n o t e t h e p r i n c i p a l a n g l e a n d l e t

e d e n o t e t h e

p r i n c i p a l a x i s a s s o c i a t e d w i t h t h e E u l e r ' s T h e o r e m

1 4

. T h e

E u l e r p a r a m e t e r s a r e d e n e d b y

q

0

: = c o s

2

q = e s i n

2

( i = 1 2 3 ) ( 3 )

T h i s i s a f o u r - d i m e n s i o n a l p a r a m e t e r i z a t i o n , h e n c e r e d u n -

d a n t . T h e c o n s t r a i n t a m o n g t h e E u l e r p a r a m e t e r s ( q

2

0

+ q

2

1

+

q

2

2

+ q

2

3

= 1 ) c a n b e e l i m i n a t e d b y r e n o r m a l i z a t i o n . T h e R o -

d r i g u e s p a r a m e t e r s e l i m i n a t e t h e c o n s t r a i n t a s s o c i a t e d w i t h

t h e E u l e r p a r a m e t e r s e t { t h u s r e d u c i n g t h e n u m b e r o f c o -

o r d i n a t e s n e c e s s a r y t o d e s c r i b e t h e k i n e m a t i c s f r o m f o u r t o

t h r e e { b y i n t r o d u c i n g t h e r a t i o o f t h e E u l e r p a r a m e t e r s a s

n e w c o o r d i n a t e s

=

q

q

0

( i = 1 2 3 ) ( 4 )

L e t t i n g = (

1

2

3

)

T

2 I R

3

, t h e a s s o c i a t e d k i n e m a t i c

e q u a t i o n s t a k e t h e f o r m

1 4

= H ( ) ! ( 0 ) =

0

( 5 )

w h e r e

H ( ) =

1

2

( I ; S ( ) +

T

) ( 6 )

a n d I d e n o t e s t h e 3 3 i d e n t i t y m a t r i x . I t c a n b e i m m e d i -

a t e l y s h o w n t h a t t h e m a t r i x H ( ) s a t i s e s t h e f o l l o w i n g t w o

i d e n t i t i e s

T

H ( ) ! =

1 +

T

2

T

! ( 7 )

a n d

H

T

( ) ( I +

T

)

1

H ( ) =

1 +

T

4

I ( 8 )

f o r a l l ! 2 I R

3

T h e r s t i d e n t i t y i s e a s i l y s h o w n b y d i r e c t c a l c u l a t i o n . I n

o r d e r t o s h o w t h e s e c o n d i d e n t i t y , s u b s t i t u t e E q . ( 6 ) i n t o t h e

l e f t - h a n d s i d e o f E q . ( 8 ) a n d e x p a n d t o g e t

H

T

( ) ( I +

T

)

1

H ( )

=

1

4

( I + S ( ) +

T

) ( I +

T

)

1

( I + S ( ) +

T

)

=

1

4

( I + S ( ) +

T

) ;

1

4

( I + S ( ) +

T

) ( I +

T

)

1

S (

=

1

4

( I + S ( ) +

T

) ;

1

4

S ( ) ;

1

4

S ( ) ( I +

T

)

1

S ( ) ( 9

I t c a n b e s h o w n t h a t

( I +

T

)

1

= I ;

T

1 +

T

( 1 0 )

a n d

S

2

( ) = ;

T

I +

T

( 1 1 )

S u b s t i t u t i n g t h e l a s t t w o e x p r e s s i o n s i n E q . ( 9 ) a n d u s i n g

t h e f a c t t h a t S ( ) = 0 o n e o b t a i n s

H

T

( ) ( I +

T

)

1

H ( )

=

1

4

( I +

T

) ;

S

2

( )

4

+

1

4

1

1 +

T

S ( )

T

S ( )

=

1 +

T

4

I ( 1 2 )

a s c l a i m e d .

T h e v e c t o r o f t h e R o d r i g u e s p a r a m e t e r s i s r e l a t e d t o t h e

p r i n c i p a l v e c t o r a n d t h e p r i n c i p a l a n g l e t h r o u g h

=

e t a n

2

( 1 3 )

A s i t i s e v i d e n t f r o m E q . ( 1 3 ) , t h e c l a s s i c a l C a y l e y - R o d r i g u e s

p a r a m e t e r s c a n n o t b e u s e d t o d e s c r i b e e i g e n a x i s r o t a t i o n s

o f m o r e t h a n 1 8 0 d e g . T h i s i s t h e r e a s o n w h y t h e C a y l e y -

R o d r i g u e s p a r a m e t e r s w e r e , f o r t h e m o s t p a r t , i g n o r e d i n t h e

l i t e r a t u r e o f a t t i t u d e d y n a m i c s . R e v i v e d i n t e r e s t i n t h e s e

p a r a m e t e r s s t e m s m a i n l y f r o m t h e i r p o t e n t i a l a d v a n t a g e s i n

c o n t r o l a n d s t a b i l i z a t i o n p r o b l e m s

1 5 1 7

I f i n s t e a d o f u s i n g E q . ( 4 ) o n e e l i m i n a t e s t h e E u l e r p a r a m -

e t e r c o n s t r a i n t b y i n t r o d u c i n g t h e p a r a m e t e r s

=

q

1 + q

0

( i = 1 2 3 ) ( 1 4 )

o n e o b t a i n s t h e f o l l o w i n g s e t o f d i e r e n t i a l e q u a t i o n s i n t e r m s

o f t h e v e c t o r = (

1

2

3

)

T

2 I R

3

= G ( ) ! ( 0 ) =

0

( 1 5 )

w h e r e

G ( ) =

1

2

I ; S ( ) +

T

;

1 +

T

2

I

( 1 6 )

T h e p r o p o s e d k i n e m a t i c d e s c r i p t i o n i s d e r i v e d f r o m t h e E u -

l e r p a r a m e t e r s v i a s t e r e o g r a p h i c p r o j e c t i o n

1 8

a n d d u e t o i t s

s i m i l a r i t y t o t h e R o d r i g u e s p a r a m e t e r s i s r e f e r r e d t o i n t h e

l i t e r a t u r e a s t h e M o d i e d R o d r i g u e s P a r a m e t e r i z a t i o n

1 4 1 9 2 0

T h e M o d i e d R o d r i g u e s p a r a m e t e r s { a l t h o u g h c l o s e l y r e -

l a t e d t o t h e C a y l e y - R o d r i g u e s p a r a m e t e r s | a r e s u p e r i o r

t o t h e m , s i n c e t h e y a r e n o t l i m i t e d t o e i g e n a x i s r o t a t i o n s o f

o n l y u p t o 1 8 0 d e g . I n d e e d , f r o m E q s . ( 3 ) a n d ( 1 4 ) o n e e a s -

i l y s e e s t h a t t h e M o d i e d R o d r i g u e s p a r a m e t e r v e c t o r i s

r e l a t e d t o t h e p r i n c i p a l a x i s a n d t h e p r i n c i p a l a n g l e t h r o u g h

=

e t a n

4

( 1 7 )

2


3/9

w h i c h i s w e l l - d e n e d f o r a l l e i g e n a x i s r o t a t i o n s i n t h e r a n g e

0


4/9

w i t h h I R

3

! I R a c o n t i n u o u s f u n c t i o n s u c h t h a t

T

h ( ) 6=

0 f o r a l l 6= 0

T h e n w e h a v e t h a t t h e f o l l o w i n g t w o c o n d i t i o n s h o l d :

( i ) T h e c o n t r o l l a w

! = ; k

1

1 +

T

2

h ( ) ( 2 3 )

w i t h k

1

> 0 , g l o b a l l y a s y m p t o t i c a l l y s t a b i l i z e s t h e s y s -

t e m i n E q . ( 5 ) a t t h e o r i g i n . M o r e o v e r , U i s a L y a p u n o v

f u n c t i o n f o r t h e a s s o c i a t e d c l o s e d - l o o p s y s t e m .

( i i ) T h e c o n t r o l l a w

u = ; k

1

1 +

T

2

h ( ) ; k

2

! ( 2 4 )

w i t h k

1

> 0 a n d k

2

> 0 , g l o b a l l y a s y m p t o t i c a l l y s t a b i -

l i z e s E q s . ( 1 ) - ( 5 ) a t t h e o r i g i n a n d

V =

1

2

!

T

J ! + k

1

U ( ) ( 2 5 )

i s a L y a p u n o v f u n c t i o n f o r t h e a s s o c i a t e d c l o s e d - l o o p

s y s t e m .

I n o r d e r t o s h o w ( i ) n o t i c e t h a t w i t h t h e c o n t r o l i n E q . ( 2 3 )

t h e c l o s e d - l o o p s y s t e m f o r t h e k i n e m a t i c s b e c o m e s

= ; k

1

H ( )

1 +

T

2

h ( ) ( 2 6 )

S i n c e U i s a p o s i t i v e d e n i t e f u n c t i o n i t c a n b e u s e d a s a

L y a p u n o v f u n c t i o n c a n d i d a t e . U s i n g E q . ( 7 ) t h e d e r i v a t i v e

o f U a l o n g t h e t r a j e c t o r i e s o f t h e c l o s e d - l o o p s y s t e m i s g i v e n

b y

U =

@ U

@

= ; k

1

1 +

T

2

T

h ( ) H ( ) h ( )

= ; k

1

1 +

T

2

2

h

2

( )

2

0 8 2 I R

3

n f 0 g ( 2 7 )

F r o m E q . ( 2 7 ) w e c o n c l u d e t h a t t h e o r i g i n = 0 i s

a s y m p t o t i c a l l y s t a b l e . S i n c e U i s a l s o a s s u m e d t o b e r a d i -

a l l y u n b o u n d e d t h e o r i g i n i s , i n f a c t , g l o b a l l y a s y m p t o t i c a l l y

s t a b l e

2 4

F o r t h e p r o o f o f p a r t ( i i ) , c o n s i d e r t h e c o m p l e t e s y s t e m o f

E q s . ( 1 ) a n d ( 5 ) w i t h c o n t r o l l a w ( 2 4 ) a n d l e t t h e f u n c t i o n i n

E q . ( 2 5 ) b e a L y a p u n o v f u n c t i o n c a n d i d a t e . T h e d e r i v a t i v e

o f V a l o n g t h e t r a j e c t o r i e s o f t h e c l o s e d - l o o p s y s t e m , t a k i n g

i n t o c o n s i d e r a t i o n E q . ( 7 ) , i s g i v e n b y

V = !

T

J ! + k

1

@ U

@

= !

T

( ; k

1

1 +

T

2

h ( ) ; k

2

! ) + k

1

h ( )

T

H ( ) !

= ; k

2

!

2

0 ( 2 8 )

I f V 0 t h e n ! = ! 0 a n d f r o m E q s . ( 1 ) a n d ( 2 4 ) a l s o

0 . T h u s , t h e l a r g e s t i n v a r i a n t s e t s u c h t h a t V = 0 i s

t h e o r i g i n . B y L a S a l l e ' s T h e o r e m

2 4

, t h e s y s t e m i s a s y m p -

t o t i c a l l y s t a b l e a t t h e o r i g i n . S i n c e V i n E q . ( 2 5 ) i s a l s o

r a d i a l l y u n b o u n d e d , t h e c l o s e d l o o p s y s t e m i s a c t u a l l y g l o b -

a l l y a s y m p t o t i c a l l y s t a b l e a t t h e o r i g i n .

E q u a t i o n s ( 2 3 ) a n d ( 2 4 ) p r o v i d e a l a r g e f a m i l y o f s t a b i -

l i z i n g c o n t r o l l a w s f o r t h e s y s t e m o f E q s . ( 1 ) - ( 5 ) . T h e m a i n

o b s t r u c t i o n w i t h t h e u s e o f t h e s e r e s u l t s i s , o f c o u r s e , t h e

f a c t t h a t o n e d o e s n o t h a v e a c o n s t r u c t i v e w a y o f g e n e r a t i n g

t h e p o s i t i v e d e n i t e , r a d i a l l y u n b o u n d e d f u n c t i o n U s a t i s f y -

i n g E q . ( 2 2 ) . O n t h e o t h e r h a n d , a n y s u c h p o s i t i v e d e n i t e ,

r a d i a l l y u n b o u n d e d f u n c t i o n c a n b e u s e d t o g e n e r a t e g l o b -

a l l y a s y m p t o t i c a l l y s t a b i l i z i n g c o n t r o l l a w s f o r t h e s y s t e m i n

E q s . ( 1 ) - ( 5 ) .

T h e e a s i e s t ( b u t b y n o m e a n s t h e o n l y ) c h o i c e f o r U i s t o

p i c k a p o s i t i v e d e n i t e f u n c t i o n i n t e r m s o f t h e m a g n i t u d e

o f a l o n e . T h e c h o i c e

U ( ) =

T

( 2 9 )

f o r e x a m p l e , s a t i s e s E q . ( 2 2 ) w i t h h ( ) = 2 a n d t h e c o n t r o l

l a w i n E q . ( 2 0 ) f o l l o w s d i r e c t l y f r o m E q . ( 2 4 ) . I f o n e c h o o s e s

a d i e r e n t L y a p u n o v f u n c t i o n t h a n t h e o n e i n E q . ( 2 1 ) o n e

e a s i l y e s t a b l i s h e s t h e f a c t t h a t a l i n e a r c o n t r o l l a w s u c e s t o

p r o v i d e g l o b a l a s y m p t o t i c s t a b i l i t y f o r t h e s y s t e m o f E q s . ( 1 )

a n d ( 5 ) . T o s e e t h i s , l e t t h e s y s t e m i n E q . ( 5 ) w i t h ! c o n s i d -

e r e d a s a c o n t r o l v a r i a b l e . O b s e r v e t h a t t h e p o s i t i v e d e n i t e

f u n c t i o n

U ( ) = l n ( 1 +

T

) ( 3 0 )

w h e r e l n ( ) d e n o t e s t h e n a t u r a l l o g a r i t h m , s a t i s e s t h e c o n -

d i t i o n s o f E q . ( 2 2 ) . F o r U a s i n E q . ( 3 0 ) w e g e t t h a t

h ( ) =

2

1 +

T

( 3 1 )

T h e r e f o r e t h e l i n e a r f e e d b a c k c o n t r o l l a w

! = ; k

1

( 3 2 )

a s y m p t o t i c a l l y s t a b i l i z e s t h e s y s t e m ( 5 ) a t t h e o r i g i n . A c t u -

a l l y , s i n c e

U = ; k

1

2

1 +

T

T

H ( )

= ; k

1

2

; k

1

l n ( 1 +

2

) = ; k

1

U ( ) ( 3 3 )

t h e c o n t r o l l a w i n E q . ( 3 2 ) e x p o n e n t i a l l y s t a b i l i z e s t h e s y s t e m

i n E q . ( 5 ) w i t h r a t e o f d e c a y k

1

= 2 . ( I n E q . ( 3 3 ) w e h a v e u s e d

t h e i n e q u a l i t y x l n ( 1 + x ) f o r a l l x 0 )

I n a d d i t i o n , t h e l i n e a r c o n t r o l l a w

u = ; k

1

; k

2

! ( 3 4 )

w i t h k

1

> 0 a n d k

2

> 0 , g l o b a l l y a s y m p t o t i c a l l y s t a b i l i z e s

t h e s y s t e m i n E q s . ( 1 ) a n d ( 5 ) a t t h e o r i g i n . T h i s r e s u l t

f o l l o w s d i r e c t l y f r o m E q . ( 2 4 ) a n d t h e f a c t t h a t t h e f u n c t i o n

V =

1

2

!

T

J ! + k

1

l n ( 1 +

T

) ( 3 5 )

i s a L y a p u n o v f u n c t i o n f o r t h e c l o s e d - l o o p s y s t e m i n

E q s . ( 1 ) - ( 5 ) a n d ( 3 4 ) .

F r o m E q s . ( 2 0 ) a n d ( 2 1 ) a n d E q s . ( 3 4 ) a n d ( 3 5 ) i t i s c l e a r

t h a t o n e h a s , i n e s s e n c e , t r a d e d t h e c o m p l e x i t y o f t h e L y a -

p u n o v f u n c t i o n w i t h t h e c o m p l e x i t y o f t h e r e s u l t i n g c o n t r o l

l a w . L y a p u n o v f u n c t i o n s o f t h e t y p e ( 3 5 ) ( i . e . , \ q u a d r a t i c

p l u s l o g a r i t h m i c " ) h a v e b e e n p r e v i o u s l y i n t r o d u c e d i n c o n -

n e c t i o n w i t h t h e a t t i t u d e s t a b i l i z a t i o n p r o b l e m o f a n a x i -

s y m m e t r i c s p a c e c r a f t u s i n g o n l y t w o c o n t r o l t o r q u e s

2 5

M o d i e d R o d r i g u e s P a r a m e t e r s

S i m i l a r r e s u l t s c a n a l s o b e s h o w n f o r t h e c a s e o f t h e M o d -

i e d R o d r i g u e s p a r a m e t e r s . T h e f o l l o w i n g r e s u l t s , s t a t e d

w i t h o u t p r o o f , p r e s e n t t h e c o r r e s p o n d i n g s t a b i l i z a t i o n r e -

s u l t s i n t e r m s o f t h e s e p a r a m e t e r s .

L e t t h e s y s t e m i n E q . ( 1 5 ) w i t h ! c o n s i d e r e d a s a c o n -

t r o l v a r i a b l e . L e t W I R

3

! I R

+

b e a n y p o s i t i v e d e n i t e ,

r a d i a l l y u n b o u n d e d f u n c t i o n s u c h t h a t

@ W

@

=

T

g ( ) ( 3 6 )

w i t h g I R

3

! I R a c o n t i n u o u s f u n c t i o n , s u c h t h a t

T

g ( ) 6=

0 f o r a l l 6= 0

T h e n w e h a v e t h a t

4


5/9

( i ) T h e c o n t r o l l a w

! = ; k

1

1 +

T

4

g ( ) ( 3 7 )

w i t h k

1

> 0 , g l o b a l l y a s y m p t o t i c a l l y s t a b i l i z e s ( 1 5 ) a t

t h e o r i g i n . M o r e o v e r , W i s a L y a p u n o v f u n c t i o n f o r t h e

a s s o c i a t e d c l o s e d - l o o p s y s t e m .

( i i ) T h e c o n t r o l l a w

u = ; k

1

1 +

T

4

g ( ) ; k

2

! ( 3 8 )

w i t h k

1

> 0 a n d k

2

> 0 , g l o b a l l y a s y m p t o t i c a l l y s t a b i -

l i z e s t h e s y s t e m ( 1 ) - ( 1 5 ) a t t h e o r i g i n a n d

V =

1

2

!

T

J ! + k

1

W ( ) ( 3 9 )

i s a L y a p u n o v f u n c t i o n f o r t h e a s s o c i a t e d c l o s e d - l o o p

s y s t e m .

O b s e r v i n g t h a t t h e p o s i t i v e d e n i t e f u n c t i o n

W ( ) = l n ( 1 +

T

) ( 4 0 )

s a t i s e s t h e c o n d i t i o n s o f E q . ( 3 6 ) o n e c a n a l s o e a s i l y s h o w

t h a t t h e l i n e a r c o n t r o l l e r

! = ; k

1

( 4 1 )

w i t h k

1

> 0 , g l o b a l l y e x p o n e n t i a l l y s t a b i l i z e s t h e s y s t e m i n

E q . ( 1 5 ) a t t h e o r i g i n w i t h r a t e o f d e c a y k

1

= 2 ( w i t h ! c o n -

s i d e r e d a s a c o n t r o l v a r i a b l e ) . M o r e o v e r , t h e l i n e a r c o n t r o l

l a w

u = ; k

1

; k

2

! ( 4 2 )

w i t h k

1

> 0 a n d k

2

> 0 , g l o b a l l y a s y m p t o t i c a l l y s t a b i l i z e s

E q s . ( 1 ) a n d ( 1 5 ) a t t h e o r i g i n .

A n o n l i n e a r f e e d b a c k c o n t r o l a r i s e s i f o n e u s e s t h e

q u a d r a t i c f u n c t i o n

W ( ) = 2

T

( 4 3 )

i n s t e a d . U s i n g t h i s c h o i c e o f W t h e f e e d b a c k c o n t r o l

u = ; k

1

( 1 +

T

) ; k

2

! ( 4 4 )

g l o b a l l y a s y m p t o t i c a l l y s t a b i l i z e s t h e s y s t e m o f E q s . ( 1 ) a n d

( 1 5 ) a t t h e o r i g i n . T h e p r e v i o u s c o n t r o l l a w i s , i n e s s e n c e ,

t h e c o u n t e r p a r t o f t h e c o n t r o l l a w i n E q . ( 2 0 ) f o r t h e c a s e o f

t h e M o d i e d R o d r i g u e s p a r a m e t e r s .

T h e r e s u l t s o f t h i s s e c t i o n s h o w t h a t t h e r e i s a s i m i l a r

s t r u c t u r e b e t w e e n t h e C a y l e y - R o d r i g u e s a n d t h e M o d i e d

R o d r i g u e s p a r a m e t e r s w h i c h a l l o w s t h e d e r i v a t i o n o f s t a b i -

l i z i n g c o n t r o l l e r s f o r t h e M o d i e d R o d r i g u e s p a r a m e t e r s m u -

t a t i s m u t a n d i s f r o m t h e c o r r e s p o n d i n g r e s u l t s f o r t h e C a y l e y -

R o d r i g u e s p a r a m e t e r s ( a n d v i c e v e r s a ) . D e s p i t e t h i s a p p a r -

e n t s i m i l a r i t y , t h e b e h a v i o r o f t h e t w o s e t s o f k i n e m a t i c p a -

r a m e t e r s c a n v a r y g r e a t l y i n a p p l i c a t i o n s . T h e n u m e r i c a l

e x a m p l e s a t t h e e n d o f t h e p a p e r i l l u s t r a t e t h e r e l a t i v e m e r i t

o f t h e t w o p a r a m e t e r i z a t i o n s i n t h e d e s c r i p t i o n o f t h e a t t i -

t u d e m o t i o n a n d i n c o n t r o l p r o b l e m s .

A s a l a s t r e m a r k , w e n o t e t h a t a l l o f t h e p r o p o s e d c o n t r o l

l a w s h a v e t h e p r o p e r t y t h a t t h e y d o n o t r e q u i r e a n y i n f o r m a -

t i o n a b o u t t h e b o d y p r i n c i p a l m o m e n t s o f i n e r t i a a n d t h e y

a r e t h e r e f o r e r o b u s t w i t h r e s p e c t t o s y s t e m p a r a m e t r i c u n -

c e r t a i n t y .

W e n o w t u r n t o t h e q u e s t i o n o f p e r f o r m a n c e o f t h e p r e v i -

o u s c o n t r o l l e r s .

O p t i m a l i t y R e s u l t s

I n t h i s s e c t i o n w e s h o w t h a t t h e l i n e a r c o n t r o l l a w s f o r

t h e k i n e m a t i c s i n E q s . ( 3 2 ) a n d ( 4 1 ) h a v e c e r t a i n o p t i m a l -

i t y p r o p e r t i e s . I n p a r t i c u l a r , w e s h o w t h a t t h e L y a p u n o v

f u n c t i o n s o f t h e l o g a r i t h m i c t y p e i n E q s . ( 3 0 ) a n d ( 4 0 ) s o l v e

t h e H a m i l t o n - J a c o b i e q u a t i o n a s s o c i a t e d w i t h a n o p t i m i z a -

t i o n p r o b l e m w i t h a p e r f o r m a n c e i n d e x w h i c h i n c l u d e s a

q u a d r a t i c p e n a l t y i n t h e a n g u l a r v e l o c i t y a n d t h e o r i e n t a -

t i o n p a r a m e t e r s o r . W e t h e n i n v e s t i g a t e t h e o p t i m a l i t y

p r o p e r t i e s o f a f a m i l y o f n o n l i n e a r c o n t r o l l a w s f o r t h e c o m -

p l e t e s y s t e m ( i . e . , d y n a m i c s a n d k i n e m a t i c s ) .

R e c a l l i n g t h e c a s c a d e i n t e r c o n n e c t i o n o f t h e d y n a m i c s -

k i n e m a t i c s s u b s y s t e m s w e r s t a d d r e s s a n o p t i m i z a t i o n p r o b -

l e m f o r t h e k i n e m a t i c s o n l y . T o t h i s e n d , c o n s i d e r t h e s y s t e m

i n E q . ( 5 ) w h e r e ! a c t s a s t h e c o n t r o l v a r i a b l e a n d l e t t h e

q u a d r a t i c p e r f o r m a n c e i n d e x

J

1

(

0

! ) =

1

2

Z

1

0

f k

2

( t )

2

+ ! ( t )

2

g d t ( 4 5 )

w h e r e k s o m e p o s i t i v e c o n s t a n t . N o t i c e t h a t t h i s f u n c t i o n a l

i s a t r u e p e r f o r m a n c e i n d e x i n t h e s e n s e t h a t i t p e n a l i z e s t h e

s t a t e ( ) a n d t h e c o n t r o l i n p u t ( ! )

I n t h e p r e v i o u s s e c t i o n w e h a v e s h o w n t h a t t h e c o n t r o l

l a w

!

( ) = ; k ( 4 6 )

r e n d e r s t h e c l o s e d - l o o p s y s t e m g l o b a l l y e x p o n e n t i a l l y s t a -

b l e a t t h e o r i g i n . W e w i l l n o w s h o w t h a t t h i s c o n t r o l l a w

a l s o m i n i m i z e s ( 4 5 ) a n d t h e m i n i m u m v a l u e o f t h e c o s t i s

J

1

(

0

) = k l n ( 1 +

0

2

)

A c c o r d i n g t o H a m i l t o n - J a c o b i t h e o r y t h e o p t i m a l f e e d -

b a c k c o n t r o l !

f o r t h e p r e v i o u s p r o b l e m i s g i v e n b y

0 = m i n

!

f

k

2

2

k k

2

+

1

2

k ! k

2

+

@ V

@

H ( ) ! g ( 4 7 )

T h e r e f o r e , t h e H a m i l t o n - J a c o b i e q u a t i o n a s s o c i a t e d w i t h t h e

o p t i m a l c o n t r o l p r o b l e m i n E q s . ( 5 ) - ( 4 5 ) i s g i v e n b y

k

2

2

; H

T

( )

@

T

V

@

2

= 0 8 2 I R

3

( 4 8 )

I f V i s a p o s i t i v e d e n i t e s o l u t i o n t o t h i s e q u a t i o n , t h e n a

s i m p l e c a l c u l a t i o n s h o w s t h a t t h e c o n t r o l l a w

!

( ) = ; H

T

( )

@

T

V

@

( 4 9 )

m i n i m i z e s t h e c o s t i n E q . ( 4 5 ) . M o r e o v e r , t h e o p t i m a l c o s t

i s J

(

0

) = J (

0

!

) = V (

0

)

N o t i c e n o w t h a t t h e p o s i t i v e d e n i t e f u n c t i o n d e n e d b y

V

1

( ) = k l n ( 1 +

2

) ( 5 0 )

p r o v i d e s a s o l u t i o n t o E q . ( 4 8 ) . T h e o p t i m a l c o n t r o l i n

E q . ( 4 6 ) f o l l o w s t h e n d i r e c t l y f r o m E q . ( 5 0 ) a n d E q . ( 4 9 )

a n d t h e o p t i m a l c o s t i s g i v e n b y V

1

(

0

) = k l n ( 1 +

0

2

)

A s i m i l a r r e s u l t c a n a l s o b e s h o w n f o r t h e M o d i e d R o -

d r i g u e s p a r a m e t e r s . W e s t a t e t h e r e s u l t w i t h o u t p r o o f .

C o n s i d e r t h e s y s t e m i n E q . ( 1 5 ) w h e r e ! a c t s a s t h e c o n t r o l

v a r i a b l e a n d l e t t h e q u a d r a t i c p e r f o r m a n c e i n d e x

J

1

(

0

! ) =

1

2

Z

1

0

f k

2

( t )

2

+ ! ( t )

2

g d t ( 5 1 )

w h e r e k s o m e p o s i t i v e c o n s t a n t .

T h e n t h e c o n t r o l l a w

!

( ) = ; k ( 5 2 )

r e n d e r s t h e c l o s e d - l o o p s y s t e m g l o b a l l y e x p o n e n t i a l l y s t a b l e

a t t h e o r i g i n a n d m i n i m i z e s ( 5 1 ) . M o r e o v e r , t h e m i n i m u m

v a l u e o f t h e c o s t i s J

1

(

0

) = 2 k l n ( 1 +

0

2

)

5


6/9

A s i m i l a r p r o c e d u r e c a n a l s o b e u s e d t o s h o w t h a t t h e

n o n l i n e a r c o n t r o l l a w s

!

( ) = ; k ( 1 +

2

) ( 5 3 )

a n d

!

( ) = ; k ( 1 +

2

) ( 5 4 )

a r e a l s o o p t i m a l w i t h r e s p e c t t o t h e c o s t s

J

2

(

0

! ) =

1

2

Z

1

0

f k

2

( t )

2

( 1 + ( t )

2

)

2

+ ! ( t )

2

g d t

( 5 5 )

a n d

J

2

(

0

! ) =

1

2

Z

1

0

f k

2

( t )

2

( 1 + ( t )

2

)

2

+ ! ( t )

2

g d t

( 5 6 )

w i t h k s o m e p o s i t i v e c o n s t a n t , f o r t h e s y s t e m s i n E q s . ( 5 ) a n d

( 1 5 ) , r e s p e c t i v e l y . N o t i c e t h a t t h e c o s t f u n c t i o n a l s i n v o l v e

q u a d r a t i c a n d q u a r t i c t e r m s i n t h e s t a t e v a r i a b l e s i n t h i s

c a s e . T h e p r o o f i s b a s e d o n t h e o b s e r v a t i o n t h a t t h e p o s i t i v e

d e n i t e f u n c t i o n s V

2

( ) = k k k

2

a n d V

2

( ) = 2 k

2

s o l v e

t h e r e s p e c t i v e H a m i l t o n - J a c o b i e q u a t i o n s .

T h u s f a r , w e h a v e o n l y c o n s i d e r e d t h e k i n e m a t i c s s u b s y s -

t e m o f t h e a t t i t u d e e q u a t i o n s , t h a t i s , o n l y E q s . ( 5 ) , v i z .

E q s . ( 1 5 ) , w i t h ! a c t i n g a s a c o n t r o l v a r i a b l e . I f t h e d y -

n a m i c s i s s u c i e n t l y f a s t t h e p r e v i o u s r e s u l t s s u c e . I n

t h e s e c a s e s , t h e o p t i m a l a n g u l a r v e l o c i t y p r o l e c a n b e i m -

p l e m e n t e d t h r o u g h t h e d y n a m i c s w i t h o u t s i g n i c a n t d e g r a -

d a t i o n i n p e r f o r m a n c e .

C o n s i d e r t h e f e e d b a c k c o n t r o l

u

a s

= ; S ( ! ) J ! ; k J H ( ) ! ; J ( ! + k ) ( 5 7 )

W i t h t h i s c o n t r o l l a w t h e c l o s e d - l o o p s y s t e m i n E q s . ( 1 ) a n d

( 5 ) b e c o m e s

( ! + k ) = ! + k ( 5 8 a )

= H ( ) ! ( 5 8 b )

w h e r e = 1 = . F o r l a r g e t h i s i s a s i n g u l a r l y p e r t u r b e d

s y s t e m w h e r e t h e d y n a m i c s ( 5 8 a ) i s t h e f a s t s u b s y s t e m a n d

t h e k i n e m a t i c s ( 5 8 b ) i s t h e s l o w s u b s y s t e m . F o r = 0 i n

E q . ( 5 8 a ) o n e o b t a i n s ! = ; k a s i n E q . ( 4 6 ) . T h u s , f o r

! 0 o n e o b t a i n s t h a t ! ! !

. T h i s i m p l i e s t h a t

J

3

( ! u

a s

) =

R

1

0

f k

2

k ( t ) k

2

+ k ! ( t ) k

2

g d t

! k l n ( 1 + k

0

k

2

) = J

1

(

0

) ( 5 9 )

a n d t h e c o s t c a n b e m a d e a r b i t r a r i l y c l o s e t o J

1

(

0

) b y

c h o o s i n g s u c i e n t l y s m a l l . S i n c e , i n g e n e r a l , 6= 0 t h e o p -

t i m a l c o s t J

1

(

0

) p r o v i d e s o n l y a l o w e r b o u n d o n t h e a c h i e v -

a b l e p e r f o r m a n c e w h e n t h e a c t u a l c o n t r o l i n p u t i s t h e b o d y

x e d t o r q u e .

S i m i l a r s t a t e m e n t s c a n a l s o b e m a d e f o r t h e M o d i e d R o -

d r i g u e s p a r a m e t e r s . F o r t h e s a k e o f b r e v i t y , t h e s e r e s u l t s

w i l l n o t b e r e p e a t e d h e r e a n d a r e l e f t a s a n e x e r c i s e t o t h e

r e a d e r .

T h e d i s a d v a n t a g e o f t h e c o n t r o l l a w i n E q . ( 5 7 ) i s , o f

c o u r s e , t h a t i t r e q u i r e s h i g h g a i n i n t e r m s o f . T h i s m a y

n o t b e a c c e p t a b l e i f t h e r e a r e s t r i n g e n t b o u n d s o n t h e a v a i l -

a b l e c o n t r o l e o r t . A m o r e r e a l i s t i c p e r f o r m a n c e i n d e x n e e d s

t o i n c o r p o r a t e a p e n a l t y o n t h e c o n t r o l u a s w e l l . U n f o r t u -

n a t e l y , t h e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m f o r a p e r f o r m a n c e i n d e x

w h i c h i s q u a d r a t i c b o t h i n t h e s t a t e a n d t h e c o n t r o l e o r t

r e m a i n s f o r m i d a b l e . A l t e r n a t i v e l y , o n e m a y i n v e s t i g a t e t h e

o p t i m a l i t y p r o p e r t i e s o f t h e c o n t r o l l a w i n E q . ( 5 7 ) a n d , i f

p o s s i b l e , m o d i f y t h i s c o n t r o l s u c h t h a t i t s h i g h - g a i n p o r t i o n

i s p e n a l i z e d .

T h e f o l l o w i n g p r o c e d u r e i s b a s e d o n t h e r e s u l t s o f R e f . 2 6 ,

w h e r e t h e a u t h o r s e x a m i n e d t h e o p t i m a l i t y p r o p e r t i e s o f a

c l a s s o f f e e d b a c k c o n t r o l l a w s f o r r e l a t i v e d e g r e e o n e m i n i -

m u m p h a s e s y s t e m s . A s b e f o r e , w e w i l l p r e s e n t t h e r e s u l t s

f o r t h e R o d r i g u e s p a r a m e t e r s o n l y . T h e r e a d e r i s i n v i t e d

t o d e r i v e t h e c o r r e s p o n d i n g c o n t r o l l a w s a n d p e r f o r m a n c e

f u n c t i o n a l s f o r t h e M o d i e d R o d r i g u e s p a r a m e t e r s f r o m t h e

R o d r i g u e s p a r a m e t e r s c a s e .

A s i t i s e v i d e n t f r o m E q . ( 5 7 ) t h e l a s t t e r m i n t h i s e q u a -

t i o n i s t h e h i g h - g a i n p o r t i o n o f t h e c o n t r o l l e r . W e t h e r e f o r e

c o n s i d e r a m o d i e d c o n t r o l l a w o f t h e f o r m

u = ; S ( ! ) J ! ; k J H ( ) ! + J v ( 6 0 )

w h e r e v m u s t b e k e p t s m a l l . R e c a l l i n g t h e d e s i r a b l e p r o p e r -

t i e s o f t h e r e l a t i o n s h i p ! = ; k , i t i s n a t u r a l t o i n t r o d u c e

t h e v a r i a b l e

z = ! + k ( 6 1 )

a n d d e v e l o p c o n t r o l l a w s w h i c h w i l l m a k e z ! 0 . T h e p e r -

f o r m a n c e i n d e x s h o u l d t h e r e f o r e i n c l u d e a p e n a l t y o n z a s

w e l l a s a p e n a l t y o n t h e c o n t r o l e o r t v

U s i n g E q s . ( 6 1 ) a n d ( 6 0 ) t h e s y s t e m e q u a t i o n s c a n b e

w r i t t e n a s f o l l o w s

z = v ( 6 2 a )

= H ( ) ( z ; k ) ( 6 2 b )

I t i s c l a i m e d t h a t t h e f e e d b a c k c o n t r o l l a w

v

( z ) = ;

; z ( 6 3 )

m a k e s t h e s y s t e m i n E q . ( 6 2 ) e x p o n e n t i a l l y s t a b l e a n d m i n -

i m i z e s t h e c o s t

J

4

( z v ) =

1

2

Z

1

0

f k v +

k

2

+ 2 k k k

2

+

2

k z k

2

g d t ( 6 4 )

T h e p r o o f i s o b t a i n e d a s f o l l o w s . N o t i c e t h a t t h e H a m i l t o n -

J a c o b i e q u a t i o n a s s o c i a t e d w i t h t h e p r e v i o u s o p t i m i z a t i o n

p r o b l e m i s g i v e n b y

;

1

2

k

@ V

@ z

k

2

+ k k k

2

+

2

2

k z k

2

;

@ V

@ z

+

@ V

@

H ( ) ( z ; k ) = 0

( 6 5 )

a n d t h e o p t i m a l c o n t r o l i s g i v e n b y

v

( z ) = ;

;

@

T

V

@ z

( 6 6 )

N o t i c e n o w t h a t t h e p o s i t i v e d e n i t e f u n c t i o n

V

4

( z ) = l n ( 1 + k k

2

) +

2

k z k

2

( 6 7 )

s o l v e s t h e H a m i l t o n - J a c o b i e q u a t i o n ( 6 5 ) . T h e e x p o n e n t i a l

s t a b i l i z a b i l i t y o f t h e c o n t r o l l a w i n E q . ( 6 3 ) t h e n f o l l o w s e a s -

i l y b y u s i n g E q . ( 6 7 ) a s t h e L y a p u n o v f u n c t i o n f o r t h e c l o s e d -

l o o p s y s t e m . T h e m i n i m u m v a l u e o f t h e c o s t i s g i v e n b y

J

4

(

0

z

0

) = J

4

(

0

z

0

v

) = l n ( 1 + k

0

k

2

)

+

2

k z

0

k

2

= V

4

(

0

z

0

) ( 6 8 )

F r o m E q s . ( 6 0 ) a n d ( 6 3 ) w e h a v e , n a l l y , t h a t t h e o p t i m a l

c o n t r o l i s

u

( ! ) = ; S ( ! ) J ! ; k J H ( ) ! ; J

; J ( ! + k ) ( 6 9 )

M o r e o v e r ,

u

= u

a s

; J

( 7 0 )

w h e r e u

a s

i s t h e c o n t r o l i n E q . ( 5 7 ) . C o m p a r i s o n o f E q s . ( 6 3 )

a n d ( 6 4 ) s h o w s t h a t t h e c o n t r o l l a w

~v

( z ) = ; z ( 7 1 )

m i n i m i z e s t h e c o s t

~

J

4

( z ~v ) =

1

2

Z

1

0

f k ~v k

2

+ 2 k k k

2

+

2

k z k

2

g d t ( 7 2 )

6


7/9

s u b j e c t t o t h e d y n a m i c c o n s t r a i n t s

z = ;

+ ~v ( 7 3 a )

= H ( ) ( z ; k ) ( 7 3 b )

T h e r s t t e r m i n E q . ( 7 2 ) i n c l u d e s a p e n a l t y o n t h e h i g h g a i n

p o r t i o n o f t h e c o n t r o l l e r . M o r e o v e r , n o t i c e t h a t a s ! 1

t h e n v

! ; z a n d u

! u

a s

a n d w e r e c o v e r t h e r e s u l t s o f

t h e c o n t r o l l a w i n E q . ( 5 7 ) .

N u m e r i c a l E x a m p l e s

W e n o w d e m o n s t r a t e t h e p r e v i o u s t h e o r e t i c a l r e s u l t s b y

m e a n s o f n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s . W e r s t c o m p a r e t h e l i n -

e a r c o n t r o l l a w s i n E q s . ( 3 4 ) a n d ( 4 2 ) w i t h t h e n o n l i n e a r

c o n t r o l l a w s i n E q s . ( 2 0 ) a n d ( 4 4 ) . W e c o n s i d e r a r i g i d

b o d y w i t h i n e r t i a p a r a m e t e r s J = d i a g ( 1 0 6 3 8 5 ) ( k g m

2

)

T h e i n i t i a l a n g u l a r v e l o c i t i e s a r e z e r o a n d t h e i n i t i a l o r i -

e n t a t i o n c o r r e s p o n d s t o a n e i g e n a x i s / a n g l e r e p r e s e n t a t i o n

e = ( 0 4 8 9 6 0 2 0 3 2 0 8 4 8 0 )

T

a n d = 2 5 r a d . T h a t i s , t h e

i n i t i a l c o n d i t i o n s i n t e r m s o f t h e C a y l e y - R o d r i g u e s p a r a m -

e t e r s a r e g i v e n b y ( 0 ) = ( 1 4 7 3 5 0 6 1 1 5 2 5 5 2 1 )

T

a n d i n

t e r m s o f t h e M o d i e d R o d r i g u e s p a r a m e t e r s a r e g i v e n b y

( 0 ) = ( 0 3 5 3 2 0 1 4 6 6 0 6 1 1 8 )

T

. T h e v a l u e s f o r t h e g a i n s

w e r e c h o s e n a s k

1

= 2 a n d k

2

= 1

T h e r e s u l t s o f t h e s i m u l a t i o n s f o r t h e R o d r i g u e s p a r a m e -

t e r s a r e s h o w n i n F i g u r e s 1 - 2 . T h e s o l i d l i n e s r e p r e s e n t t h e

t r a j e c t o r i e s w i t h t h e n o n l i n e a r c o n t r o l i n E q . ( 2 0 ) a n d t h e

d a s h e d l i n e s r e p r e s e n t t h e t r a j e c t o r i e s w i t h t h e l i n e a r c o n -

t r o l l a w i n E q . ( 3 4 ) . F i g u r e 1 d e p i c t s t h e b e h a v i o r o f t h e

R o d r i g u e s p a r a m e t e r v e c t o r , w h i l e F i g u r e 2 s h o w s t h e t i m e

h i s t o r y o f t h e a s s o c i a t e d c o n t r o l e o r t . O n l y t h e r s t c o m -

p o n e n t o f t h e c o r r e s p o n d i n g v e c t o r s a r e s h o w n h e r e , s i n c e

t h e o t h e r t w o c o m p o n e n t s e x h i b i t s i m i l a r b e h a v i o r .

T h e s e r e s u l t s s h o w t h a t t h e l i n e a r c o n t r o l l e r s e e m s t o p e r -

f o r m b e t t e r t h a n t h e n o n l i n e a r c o n t r o l l e r . I n p a r t i c u l a r , t h e

t r a j e c t o r i e s w i t h t h e l i n e a r c o n t r o l l e r e x h i b i t m u c h s m a l l e r

o v e r s h o o t a n d t h e t r a j e c t o r i e s w i t h t h e n o n l i n e a r c o n t r o l l e r .

I n a d d i t i o n , t h e l i n e a r c o n t r o l l e r u s e s l e s s c o n t r o l e o r t t h a n

t h e n o n l i n e a r c o n t r o l l e r . T h i s c a n b e e x p l a i n e d b y o b s e r v i n g

t h a t t h e i n i t i a l c o n d i t i o n f o r t h e P r i n c i p a l a n g l e g i v e s r i s e t o

r e l a t i v e l y h i g h i n i t i a l v a l u e s f o r t h e R o d r i g u e s k i n e m a t i c p a -

r a m e t e r s . A s a r e s u l t , t h e a d d i t i o n a l q u a d r a t i c t e r m i n t h e

c o n t r o l l a w i n E q . ( 2 0 ) i m p o s e s g r e a t e r c o n t r o l r e q u i r e m e n t s

a n d m o r e d r a s t i c c o n t r o l a c t i o n t h a n t h e l i n e a r c o n t r o l l e r ,

e s p e c i a l l y a t t h e b e g i n n i n g o f t h e m a n e u v e r . F o r s m a l l e r i n i -

t i a l c o n d i t i o n s i t i s e x p e c t e d t h a t t h e t w o c o n t r o l l e r s | a n d

t h e c o r r e s p o n d i n g t r a j e c t o r i e s | w i l l e x h i b i t s i m i l a r b e h a v -

i o r . T h i s i s d u e t o t h e f a c t t h a t a s ! 0 t h e l i n e a r a n d

t h e n o n l i n e a r c o n t r o l l e r s b e c o m e i d e n t i c a l . ( N o t i c e t h a t t h e

l i n e a r i z a t i o n o f t h e c o n t r o l l a w i n E q . ( 2 0 ) i s t h e c o n t r o l l a w

i n E q . ( 3 4 ) a n d h e n c e t h e l i n e a r i z a t i o n s o f t h e c o r r e s p o n d i n g

c l o s e d - l o o p s y s t e m s a r e t h e s a m e . )

T h e c o r r e s p o n d i n g r e s u l t s f o r t h e M o d i e d R o d r i g u e s p a -

r a m e t e r s a r e s h o w n i n F i g u r e s 3 - 4 . T h e c o n t r o l e o r t f o r t h e

t w o c o n t r o l l a w s i s c o m p a r a b l e a l t h o u g h , a g a i n , t h e n o n l i n -

e a r c o n t r o l l e r i n i t i a l l y r e q u i r e s m o r e c o n t r o l e n e r g y t h a n t h e

l i n e a r c o n t r o l l e r . I n l i g h t o f t h e d i s c u s s i o n i n t h e p r e v i o u s

p a r a g r a p h i t s h o u l d b e c l e a r t h a t t h e d i e r e n c e s b e t w e e n

t h e l i n e a r a n d t h e n o n l i n e a r c o n t r o l l e r w o u l d b e c o m e m o r e

d i s t i n c t a s t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s a p p r o a c h t h e s i n g u l a r i t y

( = 3 6 0 d e g ) w i t h t h e l i n e a r c o n t r o l l e r p e r f o r m i n g i n c r e a s -

i n g l y b e t t e r a s t h e i n i t i a l v a l u e o f ! 3 6 0 d e g . M o r e o v e r ,

a s ! 1 8 0 d e g ( t h e s i n g u l a r i t y o f t h e C a y l e y - R o d r i g u e s p a -

r a m e t e r i z a t i o n ) i t i s e x p e c t e d t h a t m o r e c o n t r o l e o r t w i l l

b e r e q u i r e d b y t h e c o n t r o l l a w i n E q . ( 3 4 ) t h a n t h e o n e i n

E q . ( 4 2 ) . T h i s i s a c o n s e q u e n c e o f t h e f a c t t h a t t h e M o d i e d

R o d r i g u e s p a r a m e t e r s b e h a v e m o r e \ l i n e a r l y " o v e r a l a r g e r

d o m a i n t h a n t h e C a y l e y - R o d r i g u e s p a r a m e t e r s

2 0

T h e s e c o n d n u m e r i c a l e x a m p l e c o m p a r e s t h e c o n t r o l l a w

i n E q . ( 6 9 ) f o r d i e r e n t v a l u e s o f t h e p a r a m e t e r . T h e

s a m e i n i t i a l c o n d i t i o n s a r e c h o s e n a s b e f o r e , a n d t h e g a i n i s

t a k e n k = 2 . F i g u r e 5 s h o w s t h e t i m e h i s t o r y o f t h e C a y l e y -

R o d r i g u e s p a r a m e t e r s f o r = 0 1 1 a n d 1 0 . T h e r e s p e c t i v e

c o n t r o l h i s t o r i e s a r e p l o t t e d i n F i g . 6 . R e c a l l t h a t i t i s d e -

s i r a b l e t o k e e p s m a l l , b u t o n e m a y n o t m a k e i t t o o s m a l l

e i t h e r , s i n c e t h e n t h e f o u r t h t e r m i n E q . ( 6 9 ) m a y b e c o m e

s i g n i c a n t . B y v a r y i n g o n e c a n s h a p e t h e a c c e p t a b l e c o n -

t r o l a n d s t a t e s p r o l e s . T h e c o s t c r i t e r i o n i n E q s . ( 6 4 ) o r

( 7 2 ) c a n t h e n b e u s e d a s a g u i d e f o r t h e b e s t c h o i c e f o r

F o r t h i s e x a m p l e i t a p p e a r s t h a t a v a l u e a p p r o x i m a t e l y = 1

p r o v i d e s a r e a s o n a b l e c o m p r o m i s e .

0 5 10 15 20 25 30 35 401.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

TIME (sec)

RHO_

1

Solid: Nonlinear, Dashed: Linear

F i g . 1 C o n t r o l l e r c o m p a r i s o n R o d r i g u e s p a r a m e t e r s h i s t o r y .

0 5 10 15 20 25 30 35 4030

25

20

15

10

5

0

5

10

15

20Solid: Nonlinear, Dashed: Linear

U_

1(N

m)

TIME (sec)

F i g . 2 C o n t r o l l e r c o m p a r i s o n C o n t r o l h i s t o r y f o r R o d r i g u e s

p a r a m e t e r s .

C o n c l u s i o n s

W e h a v e p r e s e n t e d a m i n i m a l p a r a m e t e r i z a t i o n f o r t h e

k i n e m a t i c s o f t h e a t t i t u d e m o t i o n w h i c h { a l t h o u g h s i m i l a r

t o t h e c l a s s i c a l C a y l e y - R o d r i g u e s p a r a m e t e r { d o e s n o t h a v e

t h e d i s a d v a n t a g e o f r e s t r i c t i n g t h e p r i n c i p a l a n g l e b e t w e e n 0

a n d 1 8 0 d e g . I n f a c t , u s i n g t h e s e p a r a m e t e r s , a l l e i g e n a x i s r o -

t a t i o n s w i t h i n 0


8/9

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500.3

0.2

0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4Solid: Nonlinear, Dashed: Linear

SIGMA_

1

TIME (sec)

F i g . 3 C o n t r o l l e r c o m p a r i s o n M o d i e d R o d r i g u e s p a r a m e -

t e r s h i s t o r y .

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 501.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6Solid: Nonlinear, Dashed: Linear

U_

1(N

m)

TIME (sec)

F i g . 4 C o n t r o l l e r c o m p a r i s o n C o n t r o l h i s t o r y f o r M o d i e d

R o d r i g u e s p a r a m e t e r s .

a r i g i d b o d y i n t e r m s o f m i n i m a l , t h r e e - d i m e n s i o n a l p a r a m -

e t e r i z a t i o n s . I n p a r t i c u l a r , a n e w t y p e o f L y a p u n o v f u n c t i o n

f o r t h i s c l a s s o f p r o b l e m s i s p r o p o s e d , w h i c h o f t e n l e a d s t o

l i n e a r c o n t r o l l a w s . T h e p r o p o s e d L y a p u n o v f u n c t i o n s i n -

c l u d e a q u a d r a t i c t e r m i n t h e a n g u l a r v e l o c i t i e s ( t h e k i n e t i c

e n e r g y ) a n d a l o g a r i t h m i c t e r m i n t h e k i n e m a t i c p a r a m e -

t e r s . F i n a l l y , w e h a v e a d d r e s s e d t h e o p t i m a l f e e d b a c k c o n -

t r o l p r o b l e m f o r t h e a t t i t u d e m o t i o n s u b j e c t t o a q u a d r a t i c

c o s t . T h e o p t i m a l c o n t r o l l e r s a r e d e r i v e d b y a n a l y t i c a l l y

s o l v i n g t h e a s s o c i a t e d H a m i l t o n - J a c o b i e q u a t i o n s . A l t h o u g h

t h e c o m p l e t e s o l u t i o n t o t h i s p r o b l e m i s s t i l l u n k n o w n , t h e

r e s u l t s r e p o r t e d i n t h i s p a p e r m a y s h e d s o m e l i g h t f o r p o s s i -

b l e c a n d i d a t e s o l u t i o n s . T h e n u m e r i c a l e x a m p l e s a t t h e e n d

o f t h e p a p e r i n d i c a t e t h a t t h e M o d i e d R o d r i g u e s p a r a m -

e t e r s a r e b e t t e r c o n d i t i o n e d f o r n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s a n d

s t a b i l i z a t i o n p u r p o s e s t h a n t h e c l a s s i c a l C a y l e y - R o d r i g u e s

p a r a m e t e r s . T h i s , a l o n g w h i c h t h e f a c t t h a t t h e y a r e n o t

l i m i t e d t o e i g e n a x i s r o t a t i o n s o f o n l y u p t o 1 8 0 d e g , m a k e s

t h e M o d i e d R o d r i g u e s p a r a m e t e r s a n a t t r a c t i v e c h o i c e f o r

a t t i t u d e d e s c r i p t i o n a n d c o n t r o l p r o b l e m s .

A c k n o w l e d g m e n t

T h e a u t h o r a c k n o w l e d g e s h e l p f u l d i s c u s s i o n s w i t h J . M .

L o n g u s k i , J . L . J u n k i n s a n d M . D . S h u s t e r . S u p p o r t f o r t h i s

w o r k w a s p r o v i d e d t h r o u g h t h e U n i v e r s i t y o f V i r g i n i a S E A S

lambda = 0.1

lambda = 1

lambda = 10

0 5 10 150.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6ORIENTATION PARAMETERS

TIME

RHO_

1

F i g . 5 O r i e n t a t i o n p a r a m e t e r r e s p o n s e u s i n g u

lambda = 0.1

lambda = 1

lambda = 10

0 5 10 1550

40

30

20

10

0

10

20

30

40

50CONTROL INPUT

TIME

U_

1

F i g . 6 C o n t r o l i n p u t r e s p o n s e u s i n g u

D e a n ' s F u n d .

1

S h e e n , J . J . , a n d B i s h o p , R . H . , \ S p a c e c r a f t N o n l i n e a r

C o n t r o l , " P a p e r A A S 9 2 - 1 7 2 , A I A A / A A S A s t r o d y n a m -

i c s C o n f e r e n c e , ( H i l t o n H e a d , S C ) , A u g . 1 0 - 1 2 , 1 9 9 2 .

2

A t h a n s , M . , F a l b , P . L . , a n d L a c o s s , R . T . , \ T i m e - ,

F u e l - , a n d E n e r g y - O p t i m a l C o n t r o l o f N o n l i n e a r N o r m -

I n v a r i a n t S y s t e m s , " I R E T r a n s a c t i o n s o n A u t o m a t i c

C o n t r o l , V o l . 8 , J u l y 1 9 6 3 , p p . 1 9 6 { 2 0 2 .

3

D e b s , A . S . , a n d A t h a n s , M . , \ O n t h e O p t i m a l A n g u -

l a r V e l o c i t y C o n t r o l o f A s y m m e t r i c a l S p a c e V e h i c l e s , "

I E E E T r a n s a c t i o n s o n A u t o m a t i c C o n t r o l , V o l . A C - 1 4 ,

F e b . 1 9 6 9 , p p . 8 0 { 8 3 .

4

K u m a r , K . S . P . , \ O n t h e O p t i m u m S t a b i l i z a t i o n o f a

S a t e l l i t e , " I E E E T r a n s a c t i o n o n A e r o s p a c e E l e c t r o n i c

S y s t e m s , V o l . 1 , N o . 2 , 1 9 6 5 , p p . 8 2 { 8 3 .

5

W i n d e k n e c h t , T . G . , \ O p t i m a l S t a b i l i z a t i o n o f R i g i d

B o d y A t t i t u d e , " J o u r n a l o f M a t h e m a t i c a l A n a l y s i s a n d

A p p l i c a t i o n s , V o l . 6 , 1 9 6 3 , p p . 3 2 5 { 3 3 5 .

6

L i n , Y . Y . , a n d K r a i g e , L . G . , \ E n h a n c e d T e c h n i q u e s

f o r S o l v i n g t h e T w o - P o i n t B o u n d a r y - V a l u e P r o b l e m A s -

s o c i a t e d w i t h t h e O p t i m a l A t t i t u d e C o n t r o l o f S p a c e -

c r a f t , " J o u r n a l o f t h e A s t r o n a u t i c a l S c i e n c e s , V o l . 3 7 ,

N o . 1 , 1 9 8 9 , p p . 1 { 1 5 .

7

V a d a l i , S . R . , K r a i g e , L . G . , a n d J u n k i n s , J . L . , \ N e w

R e s u l t s o n t h e O p t i m a l S p a c e c r a f t A t t i t u d e M a n e u v e r

P r o b l e m , " J o u r n a l o f G u i d a n c e , C o n t r o l , a n d D y n a m -

i c s , V o l . 7 , N o . 3 , 1 9 8 4 , p p . 3 7 8 { 3 8 0 .

8


9/9

8

V a d a l i , S . R . , a n d J u n k i n s , J . L . , \ O p t i m a l O p e n - L o o p

a n d S t a b l e F e e d b a c k C o n t r o l o f R i g i d S p a c e c r a f t A t -

t i t u d e M a n e u v e r s , " J o u r n a l o f t h e A s t r o n a u t i c a l S c i -

e n c e s , V o l . 3 2 , N o . 2 , 1 9 8 4 , p p . 1 0 5 { 1 2 2 .

9

S c r i v e n e r , S . L . , a n d T h o m s o n , R . C . , \ S u r v e y o f T i m e -

O p t i m a l A t t i t u d e M a n e u v e r s , " J o u r n a l o f G u i d a n c e ,

C o n t r o l , a n d D y n a m i c s , V o l . 1 7 , N o . 2 , 1 9 9 4 , p p . 2 2 5 {

2 3 3 .

1 0

C a r r i n g t o n , C . K . , a n d J u n k i n s , J . L . , \ O p t i m a l N o n -

l i n e a r F e e d b a c k C o n t r o l f o r S p a c e c r a f t A t t i t u d e M a -

n e u v e r s , " J o u r n a l o f G u i d a n c e , C o n t r o l , a n d D y n a m i c s

V o l . 9 , N o . 1 , 1 9 8 6 , p p . 9 9 { 1 0 7 .

1 1

D w y e r , T . A . W . , a n d S e n a , R . P . , \ C o n t r o l o f S p a c e -

c r a f t S l e w i n g M a n e u v e r s , " i n P r o c e e d i n g s o f t h e 2 1 s t

C o n f e r e n c e o n D e c i s i o n a n d C o n t r o l , O r l a n d o , F L ,

1 9 8 2 , p p . 1 1 4 2 { 1 1 4 4 .

1 2

D w y e r , T . A . W . , \ T h e C o n t r o l o f A n g u l a r M o m e n t u m

f o r A s y m m e t r i c R i g i d B o d i e s , " I E E E T r a n s a c t i o n s o n

A u t o m a t i c C o n t r o l , V o l . A C - 2 7 , N o . 3 , 1 9 8 2 , p p . 6 8 6 {

6 8 8 .

1 3

J u n k i n s , J . L . , a n d T u r n e r , J . , O p t i m a l S p a c e c r a f t R o -

t a t i o n a l M a n e u v e r s , E l s e v i e r , N e w Y o r k , 1 9 8 6 .

1 4

S h u s t e r , M . D . , \ A S u r v e y o f A t t i t u d e R e p r e s e n t a -

t i o n s , " J o u r n a l o f t h e A s t r o n a u t i c a l S c i e n c e s , V o l . 4 1 ,

N o . 4 , 1 9 9 3 , p p . 4 3 9 { 5 1 7 .

1 5

J u n k i n s , J . L . , R a h m a n , Z . H . , a n d B a n g , H . , \ N e a r -

M i n i m u m - T i m e C o n t r o l o f D i s t r i b u t e d P a r a m e t e r S y s -

t e m s : A n a l y t i c a l a n d E x p e r i m e n t a l R e s u l t s , " J o u r n a l

o f G u i d a n c e , C o n t r o l , a n d D y n a m i c s , V o l . 1 4 , N o . 2 ,

1 9 9 1 , p p . 4 0 6 { 4 1 5 .

1 6

L i , Z . , a n d B a i n u m , P . M . , \ 3 - D m a n e u v e r a n d V i b r a -

t i o n C o n t r o l o f F l e x i b l e S p a c e c r a f t U s i n g M o m e n t u m

E x c h a n g e F e e d b a c k C o n t r o l C o n c e p t , " P a p e r A A S 9 2 -

4 4 4 7 , A I A A / A A S A s t r o d y n a m i c s C o n f e r e n c e , ( H i l t o n

H e a d , S C ) , A u g . 1 0 - 1 2 , 1 9 9 2 .

1 7

D w y e r , T . A . W . , \ G i b b s V e c t o r K i n e m a t i c s a n d D e -

c o u p l e d A t t i t u d e M a n e u v e r s , " i n P r o c e e d i n g s o f t h e

2 3 r d A n n u a l A l l e r t o n C o n f e r e n c e o n C o m m u n i c a t i o n s ,

C o n t r o l a n d C o m p u t i n g , M o n t i c e l l o , I L , 1 9 8 5 , p p . 1 4 4 {

1 4 5 .

1 8

T s i o t r a s , P . , \ O n N e w P a r a m e t e r i z a t i o n s o f t h e R o t a -

t i o n G r o u p i n A t t i t u d e K i n e m a t i c s , " T e c h n i c a l R e p o r t ,

D e p t . o f A e r o n a u t i c s & A s t r o n a u t i c s , P u r d u e U n i v e r -

s i t y , W e s t L a f a y e t t e , I N , J a n u a r y 1 9 9 4 .

1 9

M a r a n d i , S . R . , a n d M o d i , V . , \ A P r e f e r r e d C o o r d i -

n a t e S y s t e m a n d t h e A s s o c i a t e d O r i e n t a t i o n R e p r e -

s e n t a t i o n i n A t t i t u d e D y n a m i c s , " A c t a A s t r o n a u t i c a

V o l . 1 5 , N o . 1 1 , 1 9 8 7 , p p . 8 3 3 { 8 4 3 .

2 0

S c h a u b , H . , T s i o t r a s , P . , a n d J u n k i n s , J . L . , \ P r i n c i -

p a l R o t a t i o n R e p r e s e n t a t i o n s o f P r o p e r N N O r t h o g -

o n a l M a t r i c e s , " I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f E n g i n e e r i n g

S c i e n c e , V o l . 3 3 , N o . 1 5 , 1 9 9 5 , p p . 2 2 7 7 { 2 2 9 5 .

2 1

M o r t e n s e n , R . E . , \ A G l o b a l l y S t a b l e L i n e a r A t t i t u d e

R e g u l a t o r , " I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f C o n t r o l , V o l . 8 ,

N o . 3 , 1 9 6 8 , p p . 2 9 7 { 3 0 2 .

2 2

T s i o t r a s , P . , \ A P a s s i v i t y A p p r o a c h t o A t t i t u d e S t a b i -

l i z a t i o n U s i n g N o n r e d u n d a n t S e t s o f K i n e m a t i c P a r a m -

e t e r s , " i n P r o c e e d i n g s o f t h e 3 4 t h C o n f e r e n c e o n D e c i -

s i o n a n d C o n t r o l , N e w O r l e a n s , L A , D e c . 1 3 - 1 5 , 1 9 9 5 ,

p p . 5 1 5 { 5 2 0 .

2 3

W i e , B . , a n d B a r b a , P . M . , \ Q u a t e r n i o n F e e d b a c k f o r

S p a c e c r a f t L a r g e A n g l e M a n e u v e r s , " J o u r n a l o f G u i d -

a n c e , C o n t r o l , a n d D y n a m i c s , V o l . 8 , N o . 3 , 1 9 8 5 ,

p p . 3 6 0 { 3 6 5 .

2 4

K h a l i l , H . K . , N o n l i n e a r S y s t e m s , M a c M i l l a n P u b l i s h -

i n g C o . , N e w Y o r k , 1 9 9 2 , p p . 1 1 2 { 1 1 8 .

2 5

T s i o t r a s , P . , a n d L o n g u s k i , J . M . , \ S p i n - A x i s S t a -

b i l i z a t i o n o f S y m m e t r i c S p a c e c r a f t w i t h T w o C o n t r o l

T o r q u e s , " S y s t e m s a n d C o n t r o l L e t t e r s , V o l . 2 3 , 1 9 9 4 ,

p p . 3 9 5 { 4 0 2 .

2 6

W a n , C . J . , a n d B e r n s t e i n , D . S . , \ N o n l i n e a r F e e d b a c k

C o n t r o l w i t h G l o b a l S t a b i l i z a t i o n , " D y n a m i c s a n d C o n -

t r o l , V o l . 5 , 1 9 9 5 , p p . 3 2 1 { 3 4 6 .

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