SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN LAPLACE DAN HELMHOLTZDENGAN MENGGUNAKAN METODE ELEMEN BATAS

NUMERICAL SOLUTION OF LAPLACE AND HELMHOLTZEQUATION BY BOUNDARY ELEMENT METHOD

Cicilia Tiranda, Dr. Jeffry Kusuma, Dr. Mawardi, M. Eng.

Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Hasanuddin

Alamat Korespondensi:

Cicilia TirandaFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan AlamUniversitas HasanuddinMerauke,HP: 085244761505Email: cicilia.tiranda@gmail.com

Abstrak

Dibandingkan dengan metode lainnya seperti Metode Elemen Hingga dan Metode Beda Hingga, MEBmemiliki keunikan tersendiri yakni pada bagian diskritisasi yang sangat efisien karena hanyamembutuhkan memori komputasi yang sedikit dibandingkan metode konvensional. Penelitian inibertujuan untuk menentukan solusi numerik persamaan Laplace dan Helmholtz dua dimensimenggunakan metode elemen batas dengan bantuan program Matlab 2010. Penelitian ini dilakukandengan menggunakan bantuan program Matlab yang diawali dengan persiapan data-data, mengeset sistempersamaan linear, mencari solusi persamaan linear sampai pada menghitung titik interior. Metode yangdigunakan adalah Metode Elemen Batas (MEB) yang menggunakan sifat yang berkaitan dengan harganilai batas, dalam hal ini fungsi Green, sehingga suatu persamaan diferensial parsial dapat diselesaikandengan menggunakan pendekatan integral pada batas domain yang kemudian didiskritisasi menjadielemen-elemen batas yang dihitung dalam suatu persamaan matriks yang lebih sederhana. Hasil penelitianmenghasilkan solusi numerik dari persamaan Laplace dan persamaan Helmholtz dua dimensi. Hasilnyamemberikan nilai-nilai pada batasan dan nilai pada titik interior. Solusi numerik yang dihasilkan cukupakurat dan mendekati solusi analitiknya. Studi kasus menunjukkan bahwa MEB memiliki keunggulandalam kesederhanaan dan kepraktisan diskritisasi domain dengan kondisi batas tertentu, menghematmemori komputer serta mempercepat waktu komputasi.Kata kunci: Solusi Numerik, Persamaan Laplace, Persamaan Helmhotz, MEB.

Abstract

Comparing with another methods such as the Finite Element Method and Finite Difference Method, MEBhas unique characteristics in efficiency of discretization because it only needs a little computationalmemory than conventional methods. This study aims to determine the numerical solution of Laplace andHelmholtz equation using two-dimensional boundary element method with the assistance of Matlab 2010.This research was conducted with the assistance of Matlab program with the preparation of the data inbeginning, setting system of linear equations, finding solutions of linear equations until calculating theinterior point. The method used is the Boundary Element Method (BEM) which uses things related to theprice of the limit value, in this case the Green's function, so a partial differential equation can be solvedby using an integral approach at the domain boundaries then discretized into calculated boundaryelements in a simpler matrix equation. The results of the research produces numerical solution ofLaplace's equation and the Helmholtz`s equation in two dimension. The result gives the values of thelimits and value at an interior point. The resulting numerical solution is quite accurate and reachinganalytical solutions. The case studies show that the BEM has the advantage of simplicity and practicalitydomain discretization with certain boundary condition, saving computer memory and speed up thecomputation time.Keywords: Numerical Solution, The Laplace equation, The Helmhotz equation, BEM.

PENDAHULUAN

Persamaan Laplace dan Helmholtz adalah sebuah persamaan yang penting

dalam bidang matematika, fisika, mekanika dan masalah teknik. Banyak masalah yang

berhubungan dengan osilasi dengan kondisi tetap (steady-state oscillation) yang

mengarah pada persamaan Laplace dan Helmholtz. Persamaan Laplace muncul dalam

sistem matematika dan fisika, mulai dari mekanika fluida, elektromagnetik, teori

potensial, mekanika padat, konduksi panas, geometri, probabilitas, teori bilangan, dan

seterusnya. Solusi untuk persamaan Laplace dikenal sebagai "fungsi harmonik", dan

banyak penemuan luar biasa membentuk salah satu bab penting dalam sejarah

matematika (Olver, 2012). Sedangkan persamaan Helmholtz muncul pada reaksi nuklir

dan masalah Lamb dalam geofisika. Persamaan Helmholtz merupakan persamaan

diferensial parsial tipe eliptik yang melibatkan variabel ruang dan mempertimbangkan

masalah nilai batas. Semua persamaan eliptik dengan koefisien konstan dapat direduksi

menjadi persamaan Helmholtz (Faradillah, 2011). Persamaan Laplace dan Helmholtz

disini akan diselesaikan dengan menggunakan Metode Elemen Batas (MEB).

Pendekatan persamaan integral untuk masalah nilai batas elastostatik sudah

lama diperkenalkan (Rizzo, 1967). Sejak saat itu sudah banyak penulis yang ikut

menggunakan metode elemen batas untuk menetukan solusi numerik dari berbagai

masalah statik untuk material elastis, isotropik dan homogen (Brebbia dan Dominguez,

1989). Metode elemen batas sendiri telah mulai dikenal sejak pada tahun 1960-an

sebagai salah satu metode numerik dalam memecahkan persamaan diferensial parsial.

Orang-orang yang mendalami MEB saat itu antara lain adalah Jaswon, Hess, Symm,

Massonnet, Shaw, Rizzo, Cruse, dan lain-lain. Istilah Boundary Element Method sendiri

baru ada di literatur pada tahun 1977. Metode ini didasari oleh Persamaan Integral Batas

(Boundary Integral Equation disingkat BIE) yang sebelumnya telah lama dipakai.

Beberapa tokoh terkenal yang memakai metode ini pada tahun 1800 sampai 1900-an

awal antara lain adalah Poisson, Betti, Kirchoff, Somigliana, Kellogg, Kupradze, dan

lain-lain (Manolis, 2008).

Metode ini memiliki keunikan dibandingkan metode konvensional seperti

Metode Elemen Hingga dan Metode Beda Hingga yang membutuhkan diskritisasi

seluruh domain pemodelan, yaitu diskritisasi hanya perlu dilakukan pada bidang-bidang

batas pemodelan. Keunikan ini menjadikan Metode Elemen Batas sangat efisien dalam

pemodelan, karena hanya membutuhkan memori komputasi yang sedikit dibandingkan

metode konvensional. Dalam hal tertentu MEB lebih disukai daripada metode lainnya

karena beberapa keunggulannya dalam menghasilkan keakuratan tinggi dan kemampuan

menyelesaikan masalah dengan domain tak terbatas. Pemodelan dapat dilakukan dengan

lebih fleksibel sedangkan jika menggunakan Metode Elemen Hingga, diskritisasi

dilakukan berulang-ulang (Mohammad, 2012).

Solusi numerik untuk persamaan Helmholtz sebelumnya telah dibahas dalam

Kusuma (1997), yang melibatkan material inhomogen maupun nonhomogen seperti

material komposit untuk lembah yang tertimbun.

Adapun penelitian ini bertujuan untuk menentukan solusi numerik persamaan

Laplace dan persamaan Helmholtz dua dimensi menggunakan Metode Elemen Batas

dengan bantuan program Matlab.

BAHAN DAN METODE

Penelitian ini dilakukan untuk menentukan solusi numerik dari persamaan

Laplace dan Helmholtz dua dimensi. Untuk memperoleh hasil numerik dari kedua

persamaan tersebut, digunakan Metode Elemen Batas yang merupakan pengembangan

dari metode-metode yang telah ada sebelumnya dan untuk lebih memudahkan

digunakan bantuan software matlab 2010.

Teorema Gauss-Green

Teorema Gauss-Green adalah identitas dasar yang berkaitan dengan integral

dari turunan sebuah fungsi dengan domain untuk integral dari fungsi pada batas

domain . Dengan melakukan pengintegralan maka diperoleh teorema Gauss-Green

(Stewart, 2003): ( )

= = Ω

+ Ω

⇒

= − Ω

+

, (1)dan ( )

=

=

+

⇒

= −

+ .

(2)Persamaan yang berkaitan dengan divergensi total dari sebuah medan vektor disebut

sebagai teorema divergensi Gauss dengan bentuk persamaan:∇ ∙ Ω

= ∙ ,Γ

(3)Identitas Kedua Green

Misalkan fungsi = ( , ) dan = ( , ) yang terdiferensialkan dua kali secara

kontinu terhadap dan kemudian terhadap maka diperoleh Identitas Kedua Green

(Asmar, 2004): ( ∇ − ∇ )

= − ,

(4)Fungsi Green

Fungsi Green yang digunakan untuk persamaan Laplace adalah (Azis, 2010):= 12 ln , (5)sedangkan fungsi Green yang digunakan untuk persamaan Helmholtz adalah (Kusuma,

1997): = 14 ( ), (6)dimana menyatakan fungsi Bessel jenis kedua yang berordo 0, dan = {( − ) +( − ) } .

HASIL PENELITIAN

Metode Elemen Batas

Di dalam metode elemen batas, suatu permasalahan yang diformulasikan

dengan persamaan diferensial parsial akan dipecahkan dengan membawa keberlakuan

solusi permasalahan dari seluruh domain menuju batas domain. Hal ini dilakukan

dengan menggunakan identitas Green dan teorema Gauss serta menerapkan teknik

pembobotan residual.

Metode Elemen batas disini langsung menggunakan persamaan( , ) = − . (7)Dengan mendiskritisasi batasan kontur , katakan ke dalam segmen, persamaan (7)

segera tereduksi menjadi:

( , ) = − . (8)Selanjutnya, dengan melakukan pendekatan elemen konstan, yakni dengan menganggap, pada kontur merupakan suatu konstan maka persamaan (8) dapat dituliskan

sebagai

( , ) = − S (9)= = − S (10)= = − S (11)

Selanjutnya, jika diberikan buah syarat awal yang diketahui pada batasan,

yakni pada kontur , maka persamaan (9) beserta syarat awalnya segera membentuk

sistem persamaan linear dengan variabel yang tidak diketahui. Sekali sistem persamaan

linear ini terselesaikan, simpangan ataupun shear stress dapat dengan mudah diketahui

dengan melibatkan persamaan (9) untuk titik yang mana saja di dalam domain.

Hasil Numerik Persamaan Laplace

Sebagai ilustrasi untuk menunjukkan ketepatan dan keakuratan serta keabsahan

teknik penyelesaian secara numerik, akan dipertimbangkan masalah berikut. Untuk

setiap domain diambil sebuah persegi yang didefenisikan 0 < < 1 dan 0 < < 1.Kemudian akan ditentukan solusi persamaan differensial dari persamaan Laplace yang

dibatasi oleh vertex (0,0), (1,0), (1,1), dan (0,1).

Dalam penelitian numerik ini, akan ditampilkan hasil numerik untuk titik pada

batasan dan titik pada interior yang telah dihitung dengan bantuan software matlab 2010

dalam bentuk tabel dengan kondisi batas yang digunakan sebagai berikut:

( , ) = , (12)( , 0) = − , (13)(1, ) = , (14)( , 1) = , (15)(0, ) = − . (16)

Kemudian dengan menggunakan fungsi Green pada persamaan (5) untuk

persamaan Laplace + = 0, maka akan ditentukan seperti berikut:

= + , (17)sementara

= 12 ( − )( − ) + ( − ) , (18)dan

= 12 ( − )( − ) + ( − ) . (19)Substitusi persamaan (18) dan (19) ke persamaan (17) diperoleh:

= 12 ( − ) + ( − )( − ) + ( − ) , (20)Adapun hasil numerik untuk titik pada batasan tersaji dalam Tabel 1 (terlampir) dan

hasil numerik untuk titik pada interior tersaji dalam Tabel 2 (terlampir).

Hasil Numerik Persamaan Helmholtz

Sama halnya dengan solusi numerik untuk persamaan Laplace di atas, solusi

untuk persamaan Helmholtz (91) juga dibatasi oleh vertex (0, 0), (1, 0), (1, 1), dan

(0, 1). Namun kondisi batas yang digunakan adalah( , ) = cos( ), (21)

( , 0) = −cos( ), (22)(1, ) = cos( ), (23)( , 1) = cos( ), (24)(0, ) = cos( ). (25)

Dengan menggunakan fungsi Green pada persamaan (III. 45) untuk persamaan

Helmholtz (III. 42), maka akan ditentukan sebagai berikut.

= + , (26)sementara

= − ( − ) ( )4 , (27)dan

= −( − ) ( )4 . (28)Kemudian substitusi persamaan (27) dan (28) ke persamaan (26) diperoleh:

= −[ ( )] ( − ) + ( − )4 . (29)Turunkan persamaan (4) terhadap dan maka diperoleh

= ( − ) + ( − )( − ) ( )− ( )− [ ( )] − ( − ) + ( − )( − )4 (30)

= ( − )( − )+ ( − ) ( )− ( )− [ ( )] − ( − ) + ( − )( − )4 (31)

dimana menyatakan fungsi Bessel jenis kedua ordo 0, menyatakan fungsi Bessel

jenis kedua ordo 1, dan = ( − ) + ( − ) .Hasil numeriknya disajikan dalam Tabel 3 dan Tabel 4 (terlampir).

PEMBAHASAN

Penelitian ini menunjukkan bahwa penggunaan metode elemen batas dalam

menentukan solusi numerik persamaan Laplace dan Helmholtz dua dimensi cukup

akurat dan efisien. Hasil numerik yang telah diperoleh mengindikasikan bahwa metode

ini mampu memberikan solusi yang akurat. Solusi numerik yang dihasilkan mendekati

solusi analitik yang diberikan dan nilai erornya semakin mendekati nilai 0.000. Ini

menandakan bahwa semakin kecil nilai eror yang dihasilkan maka semakin akurat hasil

numerik yang diperoleh sehingga solusi numeriknya bersesuaian dengan solusi

analitiknya. Hasil yang diperoleh sesuai dengan yang diharapkan. Jika semakin banyak

partisi yang dilakukan maka solusi numerik yang dihasilkan akan semakin akurat.

Metode elemen batas hanya membutuhkan diskritisasi pada domain, sehingga

jumlah elemen yang dibutuhkan jauh lebih sedikit dibandingkan metode lainnya seperti

metode elemen hingga dan metode beda hingga. Penggunaan metode elemen batas

untuk menyelesaikan beberapa persoalan yang melibatkan material inhomogen maupun

nonhomogen telah memperlihatkan keampuhan metode elemen batas. Dalam tulisannya,

Kusuma (1997) menyelesaikan persoalan perambatan gelombang pada material

komposit yang terdiri dari dua jenis material dimana material yang keduanya

keseluruhannya berada di dalam material yang pertama.

KESIMPULAN DAN SARAN

Metode elemen batas dengan bantuan software matlab 2010 untuk solusi

numerik persamaan Laplace dan Helmholtz telah berhasil ditemukan. Metode ini cukup

mudah digunakan untuk memperoleh solusi numerik dari suatu masalah tertentu. Hasil

yang didapatkan relatif cukup baik meskipun efisiensi komputasinya masih perlu

ditingkatkan, baik pada waktu komputasi maupun diskritisasi domain, sehingga

keunggulan metode elemen batas dapat dimanfaatkan secara optimal. Metode ini masih

perlu penyempurnaan untuk menghasilkan solusi numerik yang lebih akurat dengan

pendiskritan yang lebih besar. Disarankan bagi peneliti berikutnya untuk mencari solusi

dari persamaan Gelombang dan persamaan-persamaan lainnya.

UCAPAN TERIMA KASIH

Penulis menyampaikan terima kasih kepada Komisi Penasehat Dr. Jeffry

Kusuma dan Dr. Mawardi, M. Eng. yang telah memberikan pengarahan dan petunjuk

dalam menyelesaikan jurnal ilmiah ini, serta kepada semua pihak yang telah

memberikan bantuan dan fasilitas dalam penulisan jurnal ilmiah ini.

DAFTAR PUSTAKA

Asmar, Nakhle. (2004). Partial Differential Equations with Fourier Series andBoundary Value Problems. Second Edition. New Jersey: University ofMissouri.

Azis, Moh. Ivan. (2010). Metode Elemen Batas: Fundamental. Makassar: UniversitasHasanuddin.

Brebbia, C. A. dan Dominguez, J. (1989). Boundary Elements an Introductory Course.Computational Mechanics Publications, Boston.

Faradillah, Sefty. (2011). Solusi Persamaan Helmholtz pada Koordinat Cartesian.Malang: Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim.

Kusuma, Jeffry. (1997). Solusi Persamaan Helmholtz untuk Material Komposit.Makassar: Universitas Hasanuddin.

Manolis, George D. (2008). The Boundary Element Method (BEM) in EngineeringMechanics & Elastodynamics. Slovakia: Comenius University of Bratislava.

Mohammad, Imran Hilman. (2012). Pemodelan Elemen Batas untuk KasusElegtromagnetik 2D. Bandung: Universitas Padjadjaran.

Olver, Peter J. (2012). The Planar Laplace Equation, (Online), (http://www-users.math.umn.edu/~olver/am_/leq.pdf, diakses 25 Juli 2014).

Rizzo, F. J. (1967). An Integral Equation Approach to Boundary Value Problems ofClassical Elastostatics. Quarterly of Applied Mathematics. Volume 25,Halaman 83-95.

Stewart, J. (2003). Kalkulus Edisi Keempat. Bandung: Erlangga.

LAMPIRAN

Tabel 1. Perbandingan hasil analitik dan hasil numerik persamaan Laplace padabeberapa titik di batasan

Catatan: warna merah adalah hasil numerik yang dihitung.

Tabel 2. Perbandingan hasil analitik dan hasil numerik persamaan Laplace padabeberapa titik di interior

Titik di Interior

Hasil Analitik(Eksak) Hasil Komputasi

(0.300, 0.400)(0.500, 0.500)(0.500, 0.800)(0.800, 0.600)(0.900, 0.500)

0.1200.2500.4000.4800.450

0.4000.5000.8000.6000.500

0.3000.5000.5000.8000.900

0.1240.2540.4060.4820.451

0.3990.4920.7880.5940.490

0.3150.5060.5040.7930.990

Catatan: warna merah adalah hasil numerik yang dihitung.

Titik diBatasan

Hasil Analitik Hasil Komputasi Error

(0.125, 0.000)(0.375, 0.000)(0.625, 0.000)(0.875, 0.000)(1.000, 0.125)(1.000, 0.375)(1.000, 0.625)(1.000, 0.875)(0.875, 1.000)(0.625, 1.000)(0.375, 1.000)(0.125, 1.000)(0.000, 0.875)(0.000, 0.625)(0.000, 0.375)(0.000, 0.125)

0.0000.0000.0000.0000.1250.3750.6250.8750.8750.6250.3750.1250.0000.0000.0000.000

-0.125-0.375-0.625-0.8750.1250.3750.6250.8750.8750.6250.3750.125-0.875-0.625-0.375-0.125

-0.0040.0010.0040.0150.1250.3750.6250.8750.8690.6300.3840.1420.0280.0100.003-0.004

-0.125-0.375-0.625-0.8750.0730.3660.6000.9620.8750.6250.3750.125-0.875-0.625-0.375-0.125

0.0040.0010.0040.015

----

0.0060.0050.0090.0170.0280.0100.0030.004

----

0.0520.0090.0250.087

--------

Tabel 3. Perbandingan hasil analitik dan hasil numerik persamaan Helmholtzpada beberapa titik di batasan

Titik diBatasan

Hasil Analitik(Eksak)

Hasil Komputasi Error

(0.125, 0.000)(0.375, 0.000)(0.625, 0.000)(0.875, 0.000)(1.000, 0.125)(1.000, 0.375)(1.000, 0.625)(1.000, 0.875)(0.875, 1.000)(0.625, 1.000)(0.375, 1.000)(0.125, 1.000)(0.000, 0.875)(0.000, 0.625)(0.000, 0.375)(0.000, 0.125)

0.0000.0000.0000.0000.0680.2030.3380.4730.6410.8110.9310.9920.8750.6250.3750.125

-0.992-0.931-0.811-0.641-0.105-0.315-0.526-0.7360.6410.8110.9310.9920.0000.0000.0000.000

0.0180.0080.0060.0080.0680.2030.3380.4730.6250.8010.9210.9750.8750.6250.3750.125

-0.992-0.931-0.811-0.641-0.086-0.318-0.515-0.8180.6410.8110.9310.9920.0230.001-0.001-0.026

0.0180.0080.0060.008

----

0.0160.0100.0100.017

----

----

0.0190.0030.0110.082

----

0.0230.0010.0010.026

Catatan: warna merah adalah hasil numerik yang dihitung.

Tabel 4. Perbandingan hasil analitik dan hasil numerik persamaan Helmholtzpada beberapa titik di interior

Titik di Interior

Hasil Analitik(Eksak)

Hasil Komputasi

(0.200, 0.200)(0.300, 0.400)(0.500, 0.500)(0.600, 0.800)(0.800, 0.900)

0.1960.3820.4390.6600.627

-0.040-0.118-0.240-0.452-0.645

0.9800.9550.8780.8250.697

0.1990.3820.4370.6550.616

0.2840.095-0.330-0.633-1.138

1.0680.9790.8510.180-0.679

Catatan: warna merah adalah hasil numerik yang dihitung.