MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
Transcript of MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
1/62
PERSAMAAN DIFERENSIAPARSIAL
Partial Differential EquationsPD
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
2/62
Persamaan Diferensial ParsialPDE2
Acuan Chapra, S.C., Canale R.P., 1990, Numerical Methods for Eng
2nd Ed., McGraw-Hill Book Co., New York.
Chapter 23 dan 24, hlm. 707-749.
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
3/62
Persamaan Diferensial ParsialPDE3
Suatu fungsi uyang bergantung padaxdan y: u(x,y Diferensial uterhadapxdi sembarang titik (x,y)
Diferensial uterhadap ydi sembarang titik (x,y)
x
yxuyxxu
x
u
x
,,lim0
y
yxuyyxu
y
u
y
,,lim0
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
4/62
Persamaan Diferensial ParsialPDE4
Contoh artifisik:
uelevasi tanahpada petasituasi.
uditunjukkanoleh garis-garis (kontour)elevasi tanah.
Y
buat potongan memanjanggaris ini apa yang akan
u(x,y)
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
5/62
Persamaan Diferensial ParsialPDE5
122
2
2
2
u
yuxy
xu
yuy
ux
yx
u58
2
2
2
3
xyx
u
x
u
2
33
2
2
6
xy
uxu
x
u
2
2
Orde PDE adalah orde tertinggi suk
PDE merupakan fungsi linear apabi
fungsi tsb linear pada udan der
koefisien persamaan tsb hanya bpada variabel bebas (xatau y)
(1)
(2)
(3)
(4)
PDE Order
(1) 2
(2) 3
(3) 3
(4) 2
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
6/62
Persamaan Diferensial ParsialPDE6
02
22
2
2
D
yuC
yxuB
xuA
PDE yang dibahas pada mk Mhanya PDE linear berorde du
PDE linear berorde dua dan variabel bebas (x,y) dapat dmenjadi:
eliptik
parabolik
hiperbolik
B2 4AC kategori< 0 eliptik
= 0 parabolik
> 0 hiperbolik
A, B, C : fungsixdan y
D : fungsix, y, u, u/x, danu/y
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
7/62
Persamaan Diferensial ParsialPDE7
B24AC Kategori Nama Persama
< 0 Eliptik Persamaan Laplace(permanen, 2D spasial)
= 0 Parabolik Persamaan konduksi panas
(tak-permanen, 1D spasial)
> 0 Hiperbolik Persamaan gelombang(tak-permanen, 1D spasial)
2
2
x
T
x
Tk 2
2
2
2
x
y
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
8/62
PDE Eliptik (Persamaan Laplace)
Teknik Penyelesaian Persamaan Laplace
Persamaan Diferensial Parsia8
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
9/62
Persamaan Laplace9
z
X
Y
Sebuah plat loga kedua permuk
dengan isolat
sisi-sisi plat didengan tempe
transfer panadimungkinkan dan y
Ditinjau pada sapermanen telah state condition)
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
10/62
Persamaan Laplace10
x
yq(x)+q(x+x)
q(y)+q(y+y)
q(y)
X
Y
Pada steady-state condition, alirasebuah elemen (lihat gambar di selama periode tharuslah samyang keluar dari elemen tsb:
xyyqtzyxxq
tzxyqtzyxq
q(x) dan q(y) berturut-turut adaarahxdan arah y, dalam satua
q(x)
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
11/62
Persamaan Laplace11
x
yq(x)+q(x+x)
q(y)+q(y+y)
q(y)
X
Y
Jika semua suku pada persamaadengan zt, maka:
yxxqxyqyxq
Pengelompokan suku dan perkalx/xatau y/ymenghasilka
qyq
yxx
xxqxq
q(x)
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
12/62
Persamaan Laplace12
x
yq(x)+q(x+x)
q(y)+q(y+y)
q(y)
X
Y
Pembagian dengan xymeng
Mengambil nilai limit persamaanmemperhatikan definisi diferensi
diperoleh:
0
y
q
x
q
y
yqyq
x
xxqxq
(persamaan kons
q(x)
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
13/62
Persamaan Laplace13
x
yq(x)+q(x+x)
q(y)+q(y+y)
q(y)
X
Y
Penyelesaian PDE tsb membutuhkfluks panas q; padahal syarat bdiketahui adalah temperatur T.
Oleh karena itu, PDE di atas diudalam Tdengan menerapkan Huuntuk konduksi panas.
0
yq
x
q
(Fouriers law of
i
Tk
i
TCkq
i
q(x)
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
14/62
Persamaan Laplace14
x
yq(x)+q(x+x)
q(y)+q(y+y)
q(y)
X
YiTk
iTCkqi
q(x)
qi : fluks panas arah i (kal/cmk : koefisien difusi thermal (cm : rapat massa medium (g/cm
C : kapasitas panas medium (T : temperatur (C)k : konduktivitas thermal (kal/
Persamaan di atas menunjukkan panas tegak lurus sumbu isebangradien/slopetemperatur pada
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
15/62
Persamaan Laplace15
x
yq(x)+q(x+x)
q(y)+q(y+y)
q(y)
X
Y
02
2
2
2
y
T
x
T
q(x)
Dengan memakai Ficks Law, makonservasi energi dapat dituliska
yxfy
T
x
T,
2
2
2
2
Jika ada sourceatau sink:
(Persamaa
(Persamaa
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
16/62
Persamaan Laplace16
x
yq(x)+q(x+x)
q(y)+q(y+y)
q(y)
X
Y
i
HKq
i
q(x)
qi : debit aliran arah i (m3/m/
K : konduktivitas hidraulik (m2H : tinggi hidraulik (m)i : panjang lintasan, panjang
Persamaan tsb sama dengan pemelalui medium porus (Hukum Da
02
2
2
2
y
H
x
H
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
17/62
Teknik Penyelesaian Persamaan Lapl17
Penyelesaian persamaan Laplace, dan berbagai PDE di bidanhampir tidak pernah dilakukan secara analitis, kecuali untuk ka
yang sederhana.
Penyelesaian hampir selalu dilakukan dengan cara numeris.
Teknik penyelesaian PDE secara numeris
Metoda beda hingga (finite difference approximation, FDA)
Metoda elemen hingga (finite element method, FEM)
Metoda volume hingga (finite volume method, FVM)
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
18/62
Finite Difference ApproachFDA18
x
y
X
Y Langkah pertama dalam FDA
Domain fisik plat persegi dibagsejumlah pias atau grid titik-titi
PDE Laplace diubah menjadi pehingga di setiap titik hitung (i,j).
Di titik hitung interior (simbol bu
0 1 2 3 40
1
2
3
4
2
1,,1,
2
2
2
,1,,1
2
2
2
2
y
TTT
y
T
x
TTT
x
T
jijiji
jijiji
dif(ce
err err
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
19/62
Finite Difference ApproachFDA19
x
y
X
Y Persamaan Laplace dalam bentuk be
0 1 2 3 40
1
2
3
4222
1,,1,
2
,1,,1
y
TTT
x
TTT jijijijijiji
Jika ukuran grid seragam, x= y,
04 ,1,1,,1,1 jijijijiji TTTTT
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
20/62
Finite Difference ApproachFDA20
0754
04
1,22,11,1
1,10,12,11,01,2
TTT
TTTTT
Di titik-titik yang berada di batas dobulat putih), berlaku syarat batas (bconditions) temperatur diketahui/
BC semacam itu dikenal dengan namboundary condition.
Di titik (1,1):50
C
75
C
0C
100C
Di 8 titik interior yang lain pun dapapersamaan beda hingga diskrit sem
X
Y
0 1 2 3 40
1
2
3
4
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
21/62
Finite Difference ApproachFDA21
Dari 9 titik interior diperoleh sistem paljabar linear yang terdiri dari 9 pe9 unknowns.
50
C
75
C
0C
100C
X
Y
0 1 2 3 40
1
2
3
4
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
22/62
Teknik Penyelesaian Persamaan Lapl22
4
4
4
44
4
4
4
4
)9
)8
)7
)6)5
)4
)3
)2
)1
33,22,3
33,23,12,2
3,23,12,1
32,32,21,3
3,22,32,22,11,2
3,12,22,11,1
2,31,31,2
2,21,31,21,1
2,11,21,1
TTT
TTTT
TTT
TTTTTTTTT
TTTT
TTT
TTTT
TTT
9 persamaan dengan 9 unknowns:
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
23/62
Teknik Penyelesaian Persamaan Lapl23
150
100
175
50
0
75
50
0
75
410100000
141010000
014001000
100410100
010141010
001014001
000100410
000010141
000001014
3,3
3,2
3,1
2,3
2,2
2,1
1,3
1,2
1,1
T
T
T
T
T
T
T
T
T
9 persamaan dengan 9 unknowns dalam bentuk matriks
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
24/62
Teknik Penyelesaian Persamaan Lapl24
Sistem persamaan aljabar yang dihasilkan dari penerappersamaan beda hingga di semua titik interior diselesaikan dengan salah satu metoda yang telah dibahas pa
sebelum UTS
untuk 9 persamaan, penyelesaian masih dapat dilakukan dengmemakai cara tabulasi spreadsheet
untuk jumlah persamaan yang banyak, seperti biasa ditemui dpermasalahan civil engineering, perlu bantuan program kompu MatLab
Numerical Recipes
Etc. (dapat dicari di internet)
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
25/62
Teknik Penyelesaian Persamaan Lapl25
Metoda iteratif: Gauss-Seidel iteration method
Dipakai SOR (Successive Over Relaxation) method untuk mempercekonvergensi
Kriteria konvergensi
4
1.1..1.1
.
jijijijiji
TTTTT
211 ,1,1. n
jinji
n TTTji
hitungan dilakukandengan bantuantabulasi spreadsheet
%1maxmax 1,
,
1
,
,
n
ji
n
ji
n
ji
jiT
TT
4
1..1.11.
.
jijijijiji
TTTTTatau
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
26/62
Teknik Penyelesaian Persamaan Lapl26
iterasi, n T1,1 T2,1 T3,1 T1,2 T2,2 T3,2 T1,3 T2,3
0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 28.1250 10.5469 22.7051 38.6719 18.4570 34.1858 80.1270 74.4690
2 32.5195 22.3572 28.6011 55.8311 60.8377 71.5700 74.4241 87.3620
3 41.1859 37.8056 45.4653 71.2290 70.0686 51.5471 87.8846 78.3084
4 48.4201 42.5799 31.3150 66.3094 54.4950 51.8814 75.9144 73.9756
5 44.7485 27.6695 32.9241 59.9274 52.7977 50.3842 77.8814 74.9462
6 38.5996 32.7858 33.4767 60.5401 55.5973 52.9643 77.4916 75.9389
7 43.8224 33.4432 34.4145 63.6144 56.9367 52.7435 79.2117 76.8051
8 42.6104 33.5140 33.8893 62.4499 56.0988 52.3259 78.2398 75.6765
9 42.8062 33.0409 33.8179 62.3681 55.7299 52.1605 78.2718 75.9054
10 42.5003 32.9976 33.7753 62.2418 55.8746 52.3950 78.2943 75.9671
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
27/62
Teknik Penyelesaian Persamaan Lapl27
Y
0 1 2 3 40
1
2
3
4
50
C
75
C
0C
100C
42.50 32.99 33.77
62.24 55.87 52.39
78.29 75.96 69.57
0
20
40
60
80
100
0 1 2 3 4
TCTC
i
TC
j = 1
j = 2
j = 3
X
0
20
40
60
80
100
0 1
TCTCTC
i
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
28/62
PDE Parabolik
Penyelesaian PDE Parabolik
FDA Skema Eksplisit
FDA Skema ImplisitFDA Skema Crank-Nicolson
Persamaan Diferensial Parsia28
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
29/62
PDE Parabolik29
panasdingin
Batang logam pipih-panjangdibungkus isolator panas, kecualidi kedua ujung batang yangdiberi panas dengan temperaturberbeda, panas dan dingin.
X
Heat balance di dalam batangA
xtAxxqtAxq
input output st
t
TCx
xxqxq
limit persamaan tsb untuk
t
TC
x
q
persamaan tsb dibagi vol
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
30/62
PDE Parabolik30
panasdingin
Batang logam pipih-panjangdibungkus isolator panas, kecualidi kedua ujung batang yangdiberi panas dengan temperaturberbeda, panas dan dingin.
X
Hukum Fourier untuk konduksi A
2
2
x
T
kt
T
x
TCkq
Persamaan heat balancemenja
Persamaan kon
Persamaan di atas merupakandifusi transpor polutan transpor sedimen suspensi
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
31/62
FDA: Skema Eksplisit dan Skema Imp31
2
2
x
Tk
t
T
Temperatur batang merupakan fungsi waktu da terhadap waktu, T berupa suku derivatif pertama
terhadap ruang, T berupa suku derivatif kedua
Langkah hitungan pada FDA
Tpada waktu t+tdihitung berdasarkan Tpada
Tpada waktu t sudah diketahui dari nilai/syarat acondition) atau dari hasil hitungan langkah sebelum
saat menghitung Tdi suatu titik pada suku derivatyang mana yang dipakai? jika Tpada waktu t dinamai skema e
jika Tpada waktu t+t
dinamai skema im
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
32/62
FDA: Skema Eksplisit dan Skema Imp32
ix
Tk
t
T
titikdi
2
2
i
n
i
n
i
x
Tk
t
TT
2
21
2
11
12
x
TTTk
t
TT nn
i
n
in
i
n
i i
2
111
11
12
x
TTTk
t
TT nn
i
n
in
i
n
i i
kkonstan di sepanjang batangdan di sepanjang waktu
Sk
S
xseragam di sepanjang batang
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
33/62
FDA: Skema Eksplisit dan Skema Imp33
t
X
n
n+1
i+1i1 i
nni
n
i
n
i
n
i iTTT
x
tkTT
1212
1
t
n
n+1
i+i1 i
n
i
nT
x
tkT
x
tk
i
1
2
1
2 21
1
Skema Eksplisit Skema Implisit
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
34/62
FDA: Skema Eksplisit34
t
X
n
n+1
82
ni
n
i
n
i
n
i TTx
tkTT 212
1
Skema Eksplisit
1060 4 x(cm)
Konduksi panas di sebuah bapipih panjang
panjang batang, L= 10 cm, time step, t= 0.1 s koefisien difusi thermal, k= 0 syarat batas: T(x=0,t)= 100
T(x=20,t) = 50C nilai awal: T(x,t=0) = 0C
2
2
x
Tk
t
T
100CT
=50
C
41 530 2 i
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
35/62
FDA: Skema Eksplisit35
iterasi waktu (s) temperatur (C) di titik hitung
n t T0 T1 T2 T3 T4
0 0 100 0 0 0
1 0.1 100 2.0875 0 0 1.04
2 0.2 100 4.0878 0.0436 0.0218 2.04
3 0.3 100 6.0056 0.1275 0.0645 3.00
4 0.4 100 7.8450 0.2489 0.1271 3.92
5 0.5 100 9.6102 0.4050 0.2089 4.80
4,3,2,12
112
1
iTTT
x
tkTT
nn
i
n
i
n
i
n
i i
Hitungan diteruskan sampai t= 12 s
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
36/62
FDA: Skema Eksplisit36
0
20
40
60
80
100
120
0 2 4 6 8
Temperatur(C)
Jarak (cm)
t= 3 s
t= 12 st= 9 st= 6 s
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
37/62
FDA: Skema Eksplisit37
Konvergensi dan stabilitas hitungan
Konvergensi berarti bahwa jika xdan tmendekati nol, maka pFDA mendekati penyelesaian eksak.
Stabilitas berarti bahwa kesalahan hitungan di setiap tahap hitunmengalami amplifikasi, tetapi mengecil seiring dengan berjalanny
Skema eksplisit konvergen dan stabil jika:
2
12
x
tk
k
xt
2
2
1
dapat terjadi oskilashitungan
tidak terjadi oskilasi hitungan
= 1/6 meminimumkan trunc
2x
tk
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
38/62
FDA: Skema Eksplisit38
Konvergensi dan stabilitas hitungan
untuk mendapatkan akurasi hasil hitungan, dibutuhkan xkecil, na
konsekuensi xkecil adalah tpun harus kecil untuk menjamin konkestabilan hitungan
jika x dikalikan faktor , maka tperlu dikalikan faktor untmempertahankan konvergensi dan kestabilan hitungan
skema eksplisit menjadi mahal, dalam arti beban hitungan bertam
2
12
x
tk
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
39/62
FDA: Skema Eksplisit39
t
X
n
n+1
82
Skema Eksplisit
1060 4
x(cm)
Konduksi panas di sebuah bapipih panjang
panjang batang, L= 10 cm, time step, t= 0.1 s koefisien difusi thermal, k= 0 syarat batas: T(x=0,t)= 100
T(x=20,t) = 50C nilai awal: T(x,t=0) = 0C
2
2
x
Tk
t
T
100CT
=5
0C
Hitung dengan skema eksplisit
PR dikumpulkan ming
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
40/62
FDA: Skema Implisit40
t
X
n
n+1
82
Skema Implisit
1060 4 x(cm)
Konduksi panas di sebuah bapipih panjang
panjang batang, L= 10 cm, time step, t= 0.1 s koefisien difusi thermal, k= 0 syarat batas: T(x=0,t)= 100
T(x=20,t) = 50C nilai awal: T(x,t=0) = 0C
2
2
x
Tk
t
T
100CT
=5
0C
n
i
nT
x
tkT
x
tk
i
1
2
1
2 21
141 530 2 i
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
41/62
FDA: Skema Implisit41
n
i
n
i
n
i
n
TTx
t
kTx
t
kTx
t
k i
1
12
1
2
1
2 211
Hitungan pada saat n+1=1 atau t+t= 0.1 s:
1
4
1
3
1
4
1
3
1
2
1
3
1
2
1
1
1
2
1
1
04175.1020875.0:4node
020875.004175.1020875.0:3node
020875.004175.1020875.0:2node
020875.004175.1:1node
TT
TTT
TTT
TT
020875.02
x
tk 05175.121
2
x
tk
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
42/62
FDA: Skema Implisit42
04375.1
0
0
0875.2
04175.1020875.000
020875.004175.1020875.00
0020875.004175.1020875.0
00020875.004175.1
1
4
1
3
1
2
1
1
T
T
T
T
Diperoleh 4 persamaan dengan 4 unknowns
matriks tridiagonal
Apabila jumlah persamaan banyak, penyelesaian dilakukan dengan baprogram komputer.
Salah satu teknik penyelesaian yang dapat dipakai adalah tridiagonaalgorithm(TDMA) yang dapat diperoleh dari internet.
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
43/62
FDA: Skema Implisit43
04375.1
0
0
0875.2
04175.1020875.000
020875.004175.1020875.00
0020875.004175.1020875.0
00020875.004175.1
1
4
1
3
1
2
1
1
T
T
T
T
Karena hanya 4 persamaan, penyelesaian masih mudah dilakukan den
spreadsheetMSExcel
[A] {T} {RHS}
{T} = [A]1 {RHS}
Gunakan fungsi =MINVERSE() dan =MMULT() dalam MSExcel
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
44/62
FDA: Skema Implisit44
04375.1
0
0
0875.2
960309.00192508.00003859.00
0192508.0960309.00192508.00003859.0
0003859.00192508.0960309.00192508.0
00003859.00192508.0960309.0
1
4
1
3
1
2
1
1
T
T
T
T
Penyelesaian persamaan tsb dengan bantuan spreadsheet MSExcel ad
[A]1{T} {RHS}
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
45/62
FDA: Skema Implisit45
0461.2
0209.0
0406.0
1750.4
020875.0
020875.0
RHS
514
1
3
1
2
0
1
1
TT
T
T
TT
Hitungan pada saat n+1=2 atau t+t= 0.2 s:
Matriks koefisien persamaan [A] tidak berubah Matriks di sebelah kanan tanda = berubah dan merupakan fungsi
0461.2
0209.0
0406.0
1750.4
960309.00192508.00003859.00
0192508.0960309.00192508.00003859.0
0003859.00192508.0960309.00192508.0
00003859.00192508.0960309.0
2
4
2
3
2
2
2
1
T
T
T
T
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
46/62
FDA: Skema Implisit46
Konduksi atauperambatanpanas hasilhitungandengan skemaimplisit tampaklebih cepat
daripada hasilhitungandengan skemaeksplisit (padat = 3 s).
020
40
60
80
100
120
0 2 4 6
Temperatur(C)
Jarak (cm)
implisit
eksplisit
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
47/62
FDA: Skema Eksplisit dan Implisit
Persamaan dan teknikpenyelesaiannya straight-forward,penyelesaian dilakukan nodepernode
Rentan terhadap konvergensi danstabilitas hitungan
Time stepterkendala olehkonvergensi dan stabilitas hitungan
Persamaan dan teknik lebih rumit, penyelesa
secara simultan untuk se
Konvergensi dan stabililebih mudah dijaga
Time steptidak terkendkonvergensi dan stabili
47
Skema eksplisit Skema implisit
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
48/62
FDA: Skema Eksplisit dan Implisit48
t
X
Skema Eksplisit
1) Saat menghitung Tdi i, han
hitung (nodes)di dalam segyang berpengaruh dalam h
2) Saat menghitung Tdi i, titik(nodes) di kedua zona ini tidiperhitungkan, padahal sejustru node-node di sini berthd Tdi titik i.
i
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
49/62
FDA: Skema Eksplisit dan Implisit49
2
2
x
Tk
t
T
2
1111
11
2
x
TTTk
t
TT nnininini i
Skema Implisit
1st order accurate 2nd order accurate
1) Skema implisit menjamin konvestabilitas hitungan, namun aprderivatif waktu dan suku derivmemiliki akurasi berbeda.
2) Skema implisit yang memiliki a
sama pada aproximasi suku dwaktu dan ruang adalah metoNicolson.
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
50/62
FDA: Metoda Crank-Nicolson50
t
X
n
n+1
i+1i1 i
Skema Crank-Nicolson
n+
Aproksimasi suku derivatif waktu pada waktu n+
t
TT
t
T l
i
l
i
1
1
1
2
11
2
222
2
1 T
x
TTT
x
T n
i
n
i
n
i
n
i
Aproksimasi suku derivatif ruang n+ dianggap sbg nilai rata-rapada waktu ndan n+1
2
2
x
Tk
t
T
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
51/62
FDA: Metoda Crank-Nicolson51
t
X
n
n+1
i+1i1 i
Skema Crank-Nicolson
n+
Bentuk beda hingga persamaan pdemikian dapat dituliskan sbb.
n
i
n
i
n
i
x
tkT
x
tk
Tx
tkT
x
tk
212
1
2
1
12
12
12
2
2
x
Tk
t
T
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
52/62
FDA: Skema Crank-Nicolson52
t
X
n
n+1
82 1060 4 x(cm)
Konduksi panas di sebuah ba
pipih panjang
panjang batang, L= 10 cm, time step, t= 0.1 s koefisien difusi thermal, k= 0 syarat batas: T(x=0,t)= 100
T(x=20,t) = 50C nilai awal: T(x,t=0) = 0C
2
2
x
Tk
t
T
100CT
=5
0C
41 530 2 i
Skema Crank-Nicolson
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
53/62
FDA: Skema Crank-Nicolson53
Hitungan pada saat n+1=1 atau t+t= 0.1 s:
04175.2020875.0:4node
020875.004175.2020875.0:3node
020875.004175.2020875.0:2node
020875.004175.2:1node
1
4
1
3
1
4
1
3
1
2
1
3
1
2
1
1
12
11
TT
TTT
TTT
TT
020875.02
x
tk 05175.121
2
x
tk
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i T
x
tkT
x
tkT
x
tkT
x
tkT
x
tk
21
2
1
12
1
2
1
12
1212
FDA Sk I l
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
54/62
FDA: Skema Implisit54
0875.2
0
0
1750.4
04175.2020875.000
020875.004175.2020875.00
0020875.004175.2020875.0
00020875.004175.2
1
4
1
3
1
2
1
1
T
T
T
T
Diperoleh 4 persamaan dengan 4 unknowns
matriks tridiagonal
Apabila jumlah persamaan banyak, penyelesaian dilakukan dengan baprogram komputer.
Salah satu teknik penyelesaian yang dapat dipakai adalah tridiagonaalgorithm(TDMA) yang dapat diperoleh dari internet.
FDA Sk I li i
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
55/62
FDA: Skema Implisit55
Karena hanya 4 persamaan, penyelesaian masih mudah dilakukan den
spreadsheet MSExcel
[A] {T} {RHS}
{T} = [A]1 {RHS}
Gunakan fungsi =MINVERSE() dan =MMULT() dalam MSExcel
0875.2
0
0
1750.4
04175.2020875.000
020875.004175.2020875.00
0020875.004175.2020875.0
00020875.004175.2
1
4
1
3
1
2
1
1
T
T
T
T
FDA Sk I li i
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
56/62
FDA: Skema Implisit56
0875.2
0
0
0450.4
4898271.00050086.00000512.00
0050086.04898271.00050086.00000512.0
0000512.00050086.04898271.00050086.0
00000512.00050086.04898271.0
1
4
1
3
1
2
1
1
T
T
T
T
Penyelesaian persamaan tsb dengan bantuan spreadsheet MSExcel ad
[A]1{T} {RHS}
FDA Sk C k Ni l
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
57/62
FDA: Skema Crank-Nicolson57
0901.4
0427.0
0841.0
1797.8
RHS
Hitungan pada saat n+1=2 atau t+t= 0.2 s:
Matriks koefisien persamaan [A] tidak berubah Matriks di sebelah kanan tanda = berubah dan merupakan fungsi
0901.4
0427.0
0841.0
1797.8
4898271.00050086.00000512.00
0050086.04898271.00050086.00000512.0
0000512.00050086.04898271.00050086.0
00000512.00050086.04898271.0
2
4
2
3
2
2
2
1
T
T
T
T
FDA Sk C k Ni l
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
58/62
FDA: Skema Crank-Nicolson58
Konduksi atauperambatanpanas hasilhitungandengan skemaCrank-Nicolsontampak mirip
dengan hasilhitungandengan skemaeksplisit (padat = 3 s).
020
40
60
80
100
120
0 2 4 6
Temperatur(C)
Jarak (cm)
implisit
Crank-Nicolson
eksplisit
FDA Sk C k Ni l
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
59/62
FDA: Skema Crank-Nicolson59
2
2
x
T
kt
T
2
1
1
11
1
1
12
kx
TTTk
t
TT n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
Skema FDA = 0 : skema eksplisit = 1 : skema implisit = : skema Crank-Nicolson
FDA
FDA P P b lik
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
60/62
FDA Persamaan Parabolik60
Bentuk umum FDA persamaan diferensial parsial pa
n
i
n
i
n
i
xk
xkT
x
tkT
x
tkT
x
tk
1
12
1
2
1
12
1
121
121
Skema FDA
= 0 : skema eksplisit
= 1 : skema implisit
= : skema Crank-Nicolson
FDA P P b lik
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
61/62
FDA: Persamaan Parabolik61
t
X
n
n+1
82 1060 4 x(cm)
Konduksi panas di sebuah ba
pipih panjang panjang batang, L= 10 cm,
time step, t= 0.1 s koefisien difusi thermal, k= 0 syarat batas: T(x=0,t)= 100
T(x=20,t) = 50C nilai awal: T(x,t=0) = 0C
100CT=
50C
82 1060 4 i
Hitung sampai steady-sta Skema eksplisit Skema implisit Skema Crank-Nicolson
1
2
2
x
Tk
t
T
5 7 93
x= 1 cm
-
8/14/2019 MT Persamaan Diferensial Parsial.pdf
62/62
62