SOLUCIONARI Unitat 5 - xtec.catxtec.cat/iesllica/mates/www/cat_sol_4_5_1.pdf ·...

Comencem

� Escriu l�expressió algèbrica de cinc funcionsque tinguin per derivada la funció f(x) = 2x + 3.

Resposta oberta. Per exemple:

F1(x) = x2 + 3x; F2(x) = x2 + 3x + 1;

F3(x) = x2 + 3x + 10; F4(x) = x2 + 3x � ;F5(x) = x2 + 3x � p

� Se sap que la derivada d�una funció G(x) ésg(x) = ex. Si la gràfica de la funció G(x) passapel punt (0,3), quina de les funcions se-güents és G(x)?

a) G(x) = ex + 3 b) G(x) = ex + 2 c) G(x) = ex � 3

G(x) = ex + 3, ja que G(0) = 3.

� Escriu l�equació de tres funcions que tinguinper derivada la funció f(x) = 2. Representa-les gràficament i comprova que pots obtenirla gràfica de cadascuna d�aquestes funcionsper translació d�una qualsevol de les altresdues.

Resposta oberta. Per exemple:

F1(x) = 2x; F2(x) = 2x + 3; F3(x) = 2x � 2;

Figura 5.1

El vector = (0, 3) permet passar de la gràfica

de F1(x) a la de F2(x), i el vector , de la gràfi-

ca F2(x) a la de F1(x). El vector = (0, �2) tras-llada la gràfica de F1(x) a la de F3(x), i el vector

, la gràfica de F3(x) a F1(x). Finalment, el

vector = (0, �5), permet passar de la gràfica

de F2(x) a la de F3(x), e el vector , de la gràfi-ca de F3(x) a la de F2(x).

Exercicis

1. Escriu l�expressió general de les primitivesde cadascuna de les funcions següents:

a) f(x) = 3x2

F(x) = x3 + C

b) g(x) = sin x

G(x) = �cos x + C

c) h(x) = �5

H(x) = �5x + C

d) i(x) =

I(x) = ln x + C

2. Determina la funció primitiva de la funció:

f(x) = cos x

la gràfica de la qual passi pel punt de coor-denades .

F(x) = sin x + C

F = 4 ® 4 = sin + C ® 4 = 1 + C ® C = 3

F(x) = sin x + 3

3. Se sap que la funció:

és una primitiva de la funció f(x). Quina ésla funció f(x)?

4. Comprova que totes les primitives de lafunció f(x) = ln x són del tipus F(x) = x (ln x� 1) + C.

F '(x) = ln x � 1 + x = ln x + 1 �1 = ln x = f(x)

5. Si G1 i G2 són dues primitives d�una mateixa

funció g, es poden tallar els seus gràfics?Dibuixa la gràfica de la funció G1 sabentque passa pel punt (0, �4) si la gràfica de lafunció G2 és el de la figura 5.4.

1

x

2 2

2 2 2 2

2 ( 1) ( 1) 2 4( ) '( )

( 1) ( 1)

x x x x xf x F x

x x

- - + × -= = =

- -

2

2

1( )

1x

F xx

++==

--

2

p2

pæ öç ÷è ø

1x

t-r

tr

w-ur

wur

v-r

vr

2-

McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U. Matemàtiques 2. Batxillerat

53

SOLUCIONARI Unitat 5

Fig. 5.2

No es poden tallar, ja que les expressions al-gebraiques de les funcions G1(x) i G2(x) només

es diferencien en una constant.

6. Calcula la derivada de les funcions se-güents i escriu-ne després les correspo-nents integrals indefinides:

a) f(x) = tg x

b) g(x) = 23x+5

c)

d) i(x) = ln2 x

7. Troba la derivada de les funcions següents:

a) f(x) = òx 3x dx

f '(x) = x3x

b) g(x) = òcos2 x dx

g'(x) = cos2 x

c) h(x) = ò(tg x � ln x) dx

h'(x) = tg x � ln x

d) i(x) = òx2 ex dx

i ' (x) = x2 ex

8. Un mòbil recorre una trajectòria rectilíniaamb una acceleració constant de 2 m/s2. Sesap que en el moment de començar acomptar el temps, v(0) = 3 m/s i s(0) = �5 m.

Troba les expressions de les funcions v =v(t) i s = s(t) corresponents al seu movi-ment.

Cal que recordis:

v(0) = 3 m/s ® 3 = 2·0 + C ® C = 3 m/sv(t) = 2t + 3 m/s

s(0) = �5 m ® �5 = 02 + 3·0 + C ® C' = �5 ms(t) = t2 + 3t � 5 m

9. Comprova que les derivades de les fun-cions següents:

F(x) = , n Î , n ¹ �1 i G(x) =

són, respectivament, f(x) = xn i g(x) = ax.

1'( ) ln ( )

lnx xG x a a a g x

a= × × = =

1'( ) ( 1) ( )

1n nF x n x x f x

n= × + = =

+

ln

xaa

R1

1

nxn

++

++

2( ) (2 3) 3 's t t dt t t C= + = + +ò

( ) 2 2v t dt t C= = +ò

( ) ( ) ( )derivant derivants s t v v t a a t== ¾¾¾¾¾¾¾¾®® == ¾¾¾¾¾¾¾¾®® ==

21 2ln 2ln'( ) 2ln ln

x xi x x dx x C

x x x= = ® = +ò

2

2 2 2

8

( 4) 4

x xdx C

x x

-® = +

- -ò

2 2

2 2 2 2

2 ( 4) 2 8'( )

( 4) ( 4)

x x x x xh x

x x

- - -= = ®

- -

2

2( )4

xh x

x==

--

3 5 3 5 3 5'( ) 2 3ln2 2 3ln2 2x x xg x dx C+ + += ® = +ò

2(1 )tg x dx tgx C+ = +ò

22 2

1 1'( ) 1

cos cosf x tg x dx

x x= = + ® =ò


54

10. Troba òx�1 dx.

11. Calcula les primitives següents:

a)

b)

c)

d)

12. Determina la primitiva de la funció f(x) = 1 +tg2 x la gràfica de la qual conté el punt

.

13. Calcula:

a)

b) ò-sin x cos2 x dx

c)

d)

e)

f)

14. Troba la primitiva de la funció f(x) = sin xcos x la gràfica de la qual passa pel punt

.

15. Justifica el motiu pel qual podem afirmarque no hi ha cap primitiva de la funció f(x) =

que presenti màxims ni mínims re-

latius en el seu domini.

Sigui F(x) una primitiva de f(x).

Per trobar els màxims i mínims relatius de F(x)cal resoldre l�equació F '(x) = 0. És senzill ob-servar que aquesta equació no té solució.

2

1'( ) ( )

( 2)F x f x

x= =

-

2

1

( 2)x --

2sin( ) 7

2

xF x = +

15 17

2 2C C® = + ® =

2sin15 15 2

2 2 2 2F C

pæ öç ÷pæ ö è ø= ® = + ®ç ÷

è ø

2sin( ) sin cos

2

xF x x xdx C= = +ò

p 15,

2 2ææ ööçç ÷÷èè øø

22

2sin cosln(1 sin )

1 sin

x xdx x C

x= + +

+ò

2

2sin cos1 sin

x xdx

x++òò

22

2 1ln 10

10

xdx x x C

x x

+= + - +

+ -ò

2

2 110

xdx

x x

++++ --òò

1

3C

x

-= +

-

12

2

1 ( 3)( 3)

1( 3)

xdx x dx C

x

-- -

= - = + =--ò ò

2

1( 3)

dxx --òò

2

2 2

arctg 1 (arctg )arctg

21 1

x xdx x C

x x= × = +

+ +ò ò

2

arc tgx1 + x

dxòò

32 cos

sin cos3

xx xdx C- = +ò

32 22 3(1 ) 2

(1 )3 3

2

xC x C

+= + = + +

12 2 22 1 2 (1 )x x dx x x dx+ = + =ò ò

22 1x x dx++òò

( ) tg 2F x x= +

3 3 tg 3 1 24 4

F C C Cp pæ ö = ® = + ® = + ® =ç ÷

è ø

2( ) (1 tg ) tgF x x dx x C= + = +ò

p,3

4ææ ööçç ÷÷èè øø

4 34( )3 3344 ln4

x x

xdx dx C

æ ö= = +ç ÷è øò ò

34

x

x dxòò

1/ 2 2 /335 /3

2 2 3 2

3

2 / 3 2

x x xdx dx x dx dx C

x x x

-- -

= = = = +-ò ò ò

3

2

xdx

xòò

7434 43 74

4

7 4 7

xx dx x dx C x C= = + = +ò ò

4 3x dxòò

34

4 3

1 1

3 3

xdx x dx C C

x x

-- -

= = + = +-ò ò

4

1dx

xòò

1 1lnx dx dx x C

x- = = +ò ò


55

16. Troba la primitiva de la funció f(x) = �sin xecos x la gràfica de la qual talla l�eix d�abscis-

ses en x = .

17. Calcula:

a) ò4x3 sin (x4 � 3) dx

b) dx

c) dx

d) dx

e) dx

f) ò(tg2 x + tg4 x) dx

18. Calcula:

a) ò(3x2 � 1) cos (x3 � x) dx

b) dx

c) ò3x2 sin x3 dx

d) dx

e) dx

f) dx

19. Determina les asímptotes de la funció:

F(x) = dx sabent que F(�2) = 2

Asímptota vertical: la recta x = �3

Asímptota horitzontal: la recta y = 3

3 8lim ( ) lim 3

3x x

xF x

x®¥ ®¥

+= =

+

3 0 3x x+ = ® = -

1 1 3 9 3 8( ) 3

3 3 3

x xF x

x x x

- - + + += + = =

+ + +

1( 2) 2 2 3

2 3F C C

-- = ® + = ® =

- +

1( 3) 1

1 ( 3)

xC C

x

-+ -= + = +

- +

22

1( ) ( 3)

( 3)F x dx x dx

x-= = + =

+ò ò

2

1

( 3)x ++òò

cos 1cos sin

2 2

xdx x dx x C

x x= × = +ò ò

cos

2

x

xòò

ln arcsin x C= +

2

2

1

1 1arcsin1 arcsin

xdx dxxx x

-= =-

ò ò

2

1

1 arcsinx x--òò

ln( 9)9

xx

x

edx e C

e= + +

+ò

9

x

x

ee ++òò

2 3 33 sin cosx x dx x C= - +ò

12 22(1 )

2 112

xC x C

+= + = + +

12 2

2

22 (1 )

1

xdx x x dx

x

-= × + =

+ò ò

2

2

1

x

x++òò

2 3 3(3 1)cos( ) sin( )x x x dx x x C- - = - +ò

3tg

3

xC= +

32 4 2 2 tg

(tg tg ) tg (1 tg )3

xx x dx x x dx C+ = + = +ò ò

21 tgln tg

tg

xdx x C

x

+= +ò

21 tg xtgx

++òò

24 2 2

2 2arctg

1 1 ( )

x xdx dx x C

x x= = +

+ +ò ò

4

21

xx++òò

ln lnln4 1 4

4ln4

x xxdx dx C

x x= × = +ò ò

ln4 x

xòò

tgtg tg

2 2

1

cos cos

xx xe

dx e dx e Cx x

= × = +ò ò

2cos

tgxexòò

3 4 44 sin( 3) cos( 3)x x dx x C- = - - +ò

cos( ) 1xF x e= -

cos20 0 0 1 1

2F e C C C

ppæ ö = ® = + ® = + ® = -ç ÷è ø

cos cos( ) sin x xF x xe dx e C= - = +ò

p2


56

20. Calcula:

a) ò(2x3 � 3x2 + 5x � 1) dx

b) dx

c) ò(32x � e4x + 1) dx

d) dx

e) ò(2x � 3)(2x + 3) dx

f) dx

g) dx

h) dx

21. Se sap que la gràfica d�una funció passapel punt P(1, 4) i que el pendent de la rectatangent en qualsevol punt d�aquesta gràficas�expressa mitjançant m(x) = 2x2 � 3x + 5.Determina l�expressió algèbrica d�aquestafunció.

22. Troba la primitiva de la funció f(x) =

que s�anul·la quan x = 2.

F(2) = 0 ® + C = 0 ® C = = �

F(x) =

23. Calcula òtg2 x dx.

Et suggerim que apliquis l�estratègia se-güent:

tg2 x = 1 + tg2 x � 1

24. Calcula:

a) ò5cos (3x � 2) dx

5sin(3 2)

3x C= - +

55cos(3 2) 3cos(3 2)

3x dx x dx- = - =ò ò

2( 1)tg x dx dx tgx C= + - = +ò ò

2 2( 1 1)tg xdx tg x dx= + - =ò ò

2 31( 1) 3

3x - -

313 3

3×

127

3

2 3 22 31 ( 1) 1

( 1)32 32

xC x C

-= + = - +

12 2 21

( ) 1 2 ( 1)2

F x x x dx x x dx= × - = × - =ò ò

2 1x x --

3 22 3 1( ) 5

3 2 6F x x x x= - + -

2 3 1(1) 4 5 4

3 2 6F C C= ® - + + = ® = -

2 3 22 3( ) (2 3 5) 5

3 2F x x x dx x x x C= - + = - + +ò

27ln 5 3

10x C- +

2 2

7 7 10

105 3 5 3

x xdx dx

x x= =

- -ò ò

2

75 3

xx --òò

21( )

3x x C= - +

3 2

2

2 2 1

3 33

x xdx x dx

x

- æ ö= - =ç ÷è øò ò

3 2

2

23

x xx

--òò

9ln 7 3

7x C= + +

9 9 7

(7 3) 7 7 3dx dx

x x= =

+ +ò ò

97 3x ++òò

349

3x x C= - +

2(2 3)(2 3) (4 9)x x dx x dx- + = - =ò ò

15 (2 1) 5

2 1 2(2 1)

xC C

x

-- -= × + = +

- -

22

5 52 (2 1)

2(2 1)dx x dx

x-= × - =

-ò ò

2

5

(2 1)x --òò

243 1

2ln3 4

xxe x C= - + +

2 41 12ln3 3 4

2ln3 4x xdx e dx dx× - × + =ò ò ò

2 4(3 1)x xe dx- + =ò

5ln

7x C+ +

2 5 2 5 1 2

7 7 7 7

xdx dx x

x x

+ æ ö= + × = +ç ÷è øò ò

2 57x

x

++òò

4 3 21 5

2 2x x x x C= - + - +

3 2(2 3 5 1)x x x dx- + - =ò


57

b) dx

c) dx

d) dx

e) dx

f) dx

g) dx

h) dx

i) dx

j) dx

25. Calcula:

a) òx sin x dx

b) òe2x sin x dx

22 ( cos 2sin )

sin5

xx e x x

e xdx C- +

= +ò

2 25 sin ( cos 2sin )x xe xdx e x x= - +ò

2 ( cos 2sin )xe x x= - +

2 2sin 4 sinx xe xdx e xdx+ =ò ò

24 sinxe xdx- ò

2 2 2sin cos 2 sinx x xe xdx e x e x= - + -ò

2 22( sin 2 sin )x xe x dx e x dx+ - ò

2 2sin cosx xe xdx e x= - +ò

2 2( ) '( ) 2

'( ) cos ( ) sin

x xr x e r x e

s x x s x x

= ® == ® =

2 2 2cos sin 2 sinx x xe xdx e x e xdx= -ò ò

2 2 2sin cos 2 cosx x xe xdx e x e xdx= - +ò ò

2 2( ) '( ) 2

'( ) sin ( ) cos

x xf x e f x e

g x x g x x

= ® == ® = -

2 sinxe xdx×ò

cos sinx x x C= - + +

sin cos cosx xdx x x xdx= - + =ò ò

( ) '( ) 1

'( ) sin ( ) cos

f x x f x

g x x g x x

= ® == ® = -

2

3 1 5 35

4 5 201 (5 )dx arctg x C

x= × = +

+ò

2 2

3 3 1

44 100 1 25dx dx

x x= =

+ +ò ò

2

34 100x++òò

3 3 23 32 (1 ) 4

(1 )33 92

xdx C x C

-= - × + = - - +

1 22 3 2 322 1 3 (1 )

3x x dx x x dx- = - - - =ò ò

2 32 1x x--òò

5arcsin3

3x C= +

2 2

5 5 3

31 9 1 (3 )dx dx

x x= =

- -ò ò

2

5

1 9x--òò

7arctg2

2x C= +

2 2

7 7 2

21 4 1 (2 )dx dx

x x= =

+ +ò ò

2

71 4x++òò

1 23 (5 8) 65 8

15 52

xC x C

+= × + = + +

1 23 35 (5 8)

55 8dx x dx

x

-= × + =

+ò ò

3

5 8x ++òò

3 231 (7 6) 2

(7 6)37 212

xC x C

-+ = - +

1 217 6 7 (7 6)

7x dx x dx- = × - =ò ò

7 6x --òò

ln 5xe e C= × - +

1

5 5 5

x x x

x x x

e e e edx dx e dx

e e e

+ ×= = =

- - -ò ò ò

1

5

x

x

ee

++

--òò

14cos

3x C

-= +

7sin 7 2 sin

33 2

x xdx

x x

×= =ò ò

7sin

3

x

xòò

1ln 5 12

5x C= - +

1 1 5

5 12 5 5 12

xdx dx

x x= =

- -ò ò

15 12x --òò


58

c) òln x dx

d) òx ln x dx

e) ò2x x dx

f) òarc sin x dx

g) ò(x + 2) e3x dx

h) dx

i) ò(3x + 2) cos x dx

j) dx

26. Ja has vist que, de vegades, cal aplicar enmés d�una ocasió el mètode d�integracióper parts. Et caldrà fer-ho en el càlcul de lesprimitives següents:

a) òx2 e5x dx

22

1 1 1 1

2 2 22x

xe x C x C

e- -æ ö æ ö= - + + = + +ç ÷ ç ÷

è ø è ø

2 21 1 1

2 2 2x xe x e C- -= - × - × + =

2 2 21 1

2 2x x xx e dx e x e dx- - -× = - × + =ò ò

2 2

( ) '( ) 1

1'( ) ( )

2x x

f x x f x

g x e g x e- -

= ® =

= ® = -

22

x

x

xdx x e dx

e-= ×ò ò

2x

xeòò

3 sin (3 2)sin 3cosxdx x x x C- = + + +ò

(3 2)cos (3 2)sinx xdx x x+ = + -ò

( ) 3 2 '( ) 3

'( ) cos ( ) sin

f x x f x

g x x g x x

= + ® == ® =

(3 2)cosx xdx+ò

1 1

ln33 ln3xx C

- æ ö= + +ç ÷è ø

1 13 3

ln3 ln3 ln3x xx

C- --- × + =

13 3 3

ln3 ln3x x xx

x dx dx- - --× = + =ò ò

( ) '( ) 11

'( ) 3 ( ) 3ln3

x x

f x x f x

g x g x- -

= ® =-

= ® =

33

x

x

xdx x dx-= ×ò ò

3x

xòò

3 31 52

3 3 3 3

x xe ex C x C

æ ö æ ö= + - + = + +ç ÷ ç ÷è ø è ø

3 31( 2)

3 3 3

x xe ex C= + - × + =

3 3 31 1( 2) ( 2)

3 3x x xx e dx x e e dx+ = + - =ò ò

3 3

( ) 2 '( ) 1

1'( ) ( )

3x x

f x x f x

g x e g x e

= + ® =

= ® =

2 1 221 (1 )

arcsin 12 1 2

xC x x x C

-+ × + = + - +

1 2212 (1 ) arcsin

2x x dx x x

-+ - - = +ò

1 22arcsin (1 ) arcsinx x x x dx x x-

= - × - = +ò

2arcsin arcsin

1

xxdx x x dx

x= - =

-ò ò

2

1( ) arcsin '( )

1'( ) 1 ( )

f x x f xx

g x g x x

= ® =-

= ® =

arcsin xdxò

2 1 2 2 1

ln2 ln2 ln2 ln2 ln2

x x xxC x C

× æ ö= - × + = - +ç ÷è ø

2 12 2

ln2 ln2

xx xxdx x dx= - - =ò ò

( ) '( ) 1

2'( ) 2 ( ) ln2xx

f x x f x

g x g x

= ® =

= ® =

2 1ln

2 2

xx C

æ ö= - +ç ÷è ø

2 21 1ln

2 2 2 2

x xxdx x C- = - + =ò

2 2 21ln ln ln

2 2 2

x x xx xdx x dx x

x= - × = -ò ò

2

1( ) ln '( )

'( ) ( ) 2

f x x f x x

xg x x g x

= ® =

= ® =

ln (ln 1)x x x C x x C= - + = - +

1ln ln lnxdx x x xdx x x dx

x= - × = - =ò ò ò

1( ) ln '( )

'( ) 1 ( )

f x x f x xg x g x x

= ® =

= ® =


59

.

b) ò x3 sin x dx

c) ò(x2 + 4) · 3x dx

d) ò x2 cos x dx

e) dx

2 1 2

ln2 ln2 ln2

x xx - --= -

2 22

ln2 ln2

x xx x

x dx dx- -

- -× = + =ò ò

22 2 22 2

ln2 ln2

xx xx

x dx x dx-

- -- ×= + ×ò ò

2( ) '( ) 2

2'( ) 2 ( )

ln2

xx

f x x f x x

g x g x-

-

= ® =

-= ® =

22 2

2x

x

xdx x dx-=ò ò

2

2x

xòò

2 sin 2 cos 2sinC x x x x x C+ = + - +

2 2cos sin 2( cos sin )x xdx x x x x x= - - + +ò

( ) '( ) 1

'( ) sin ( ) cos

r x x r x

s x x s x x

= ® == ® = -

cos sinx x x= - +


2 2cos sin 2 sinx xdx x x x xdx= -ò ò

2( ) '( ) 2

'( ) cos ( ) sin

f x x f x x

g x x g x x

= ® == ® =

2 cosx xdxò

22

3 2 24

ln3 ln3 (ln3)

x

x x Cé ù

= - + + +ê úë û

2

2 3 3

ln3 ln3 (ln3)

x xxC

æ ö×- - + =ç ÷

è ø

22 ( 4)3

( 4)3ln3

xx x

x dx+

+ = -ò

( ) '( ) 1

3'( ) 3 ( )

ln3

xx

r x x r x

s x s x

= ® =

= ® =

1 3

ln3 ln3

x

- ×

3 1 33 3

ln3 ln3 ln3

x xx x x

x dx x dx×

× = × - = -ò ò

2 2 3 2( 4) 3 ( 4) 3

ln3 ln3

xx xx dx x x dx+ × = + - ×ò ò

2( ) 4 '( ) 23

'( ) 3 ( )ln3

xx

f x x f x x

g x g x

= + ® =

= ® =

2( 4) 3xx dx+ ×ò

2(3 6)sinx x C+ - +

36 cos 6sin ( 6 )cosx x x C x x x+ - + = - + +

3 3 2sin cos 3 sinx xdx x x x x= - + +ò

( ) '( ) 1

'( ) sin ( ) cos

t x x t x

n x x n x x

= ® == ® = -

cos sinx x x= - +


23 sin 6 sinx x x xdx+ - ò

2 33( sin 2 sin ) cosx x x xdx x x+ - = - +ò

3 3sin cosx xdx x x= - +ò

2( ) '( ) 2

'( ) cos ( ) sin

r x x r x x

s x x s x x

= ® == ® =

2 2cos sin 2 sinx xdx x x x xdx= -ò ò

3 3 2sin cos 3 cosx xdx x x x xdx= - +ò ò

3 2( ) '( ) 3

'( ) sin ( ) cos

f x x f x x

g x x g x x

= ® == ® = -

3 sinx xdxò

2 5 2 5 5 5

5 2

1 2 1 1e e e e

5 5 5 25

1 2 2e

5 5 25

x x x x

x

x dx x x C

x x C

æ ö= - - +ç ÷è ø

æ ö= - + +ç ÷è ø

ò

5 5

( ) '( ) 1

1'( ) ( )

5x x

r x x r x

s x e s x e

= ® =

= ® =

5 5 5 5 51 1 1 1

5 5 5 25x x x x xxe dx xe e dx xe e= - = -ò ò

2 5 2 5 51 2

5 5x x xx e dx x e xe dx= -ò ò

2 5

2

5 5

( ) '( ) 2

1'( ) ( )

5

x

x x

x e dx

f x x f x x

g x e g x e

= ® =

= ® =

ò


60

f) ò(1 � x2) 23x dx

27. a) Resol l�equació F �(x) = 0 si F(x) = òex x (2+ x) dx.

Les solucions són x1 = 0 i x2 = �2

b) Calcula la primitiva de la funció f(x) = ex

x (2 + x) la gràfica de la qual passa perl�origen de coordenades.

28. Calcula amb els canvis de variable indicats:

a) dx amb x = 4t

b) dx amb = t

1 22 1 1 1( 2)

3 3

xx x x

-æ ö= - + = - +ç ÷è ø

33 ( 1)2 2 1

3 3

xtt C x C

æ öæ ö -ç ÷= + + = + - + =ç ÷ ç ÷è ø è ø

221

2 2 ( 1)1

x tdx tdt t dt

tx

+= = + =

-ò ò ò

2dx dt® = +

2 2 21 1 1x t x t x t- = ® - = ® = + ®

1x --1

x

x --òò

arcsin arcsin4

xt C C= + = +

2 2 2

1 1 14

16 16 16 1dx dt dt

x t t= =

- - -ò ò ò

2

1; 4 4

16dx x t dx dt

x= ® =

-ò

2

1

16 x--òò

2( ) xF x x e® =

(0) 0 0 0 0F C C= ® = + ® = ®

22 2x x xxe e C x e C- - + = +

22[( 1) ] 2x x x xx e e C x e xe- + - + = × + -

2 2( ) ( 2 ) ( 2 )x xF x e x x dx x x e= + = + -ò

( ) 1 '( ) 1

'( ) ( )x x

r x x r x

s x e s x e

= + ® =

= ® =

( 1) x xx e e= + -

( 1) ( 1)x x xx e dx x e e dx+ = + - =ò ò

2 2( 2 ) ( 2 ) 2 ( 1)x x xe x x dx x x e x e dx+ = + - +ò ò

'( ) ( )x xg x e g x e= ® =

2( ) 2 '( ) 2 2 2( 1)f x x x f x x x= + ® = + = +

2( 2 )xe x x dx+ =ò

2x® = -

( ) ( 2)

'( ) ( 2)

0'( ) 0 ( 2) 0

2 0

x

x

x

F x e x x dx

F x e x x

xF x e x x

x

= +

= +

== ® + =

+ =

ò

( )

32

2

2 2 21

3ln2 3ln2 3ln2

x xx C

é ùê ú= - + - + +ê úë û

( )

3 3

2

2 2 2

3ln2 3ln2 3ln2

x xxC

é ùê ú+ - + =ê úë û

2 32 3 (1 )2

(1 )23ln2

xx x

x dx-

- = +ò

3 3

( ) '( ) 1

1'( ) 2 ( ) 2

3ln2x x

r x x r x

s x s x

= ® =

= ® =

( )

3 3

2

2 2

3ln2 3ln2

x xx ×= -

3 3 31 12 2 2

3ln2 3ln2x x xx dx x dx= × - =ò ò

322

3ln2xx dx+ ×ò

2 3 2 31(1 )2 (1 ) 2

3ln2x xx dx x- = - × +ò

2

3 3

( ) 1 '( ) 2

1'( ) 2 ( ) 2

3ln2x x

f x x f x x

g x g x

= - ® = -

= ® = ×

2 3(1 )2 xx dx-ò

( )2

2

1 2 2

ln22 ln2 ln2x

x x Cé ù-ê ú= + + +ê úë û

2 2 1 2

ln2 ln2 ln2 ln2

x xxC

- -æ ö- ×+ - + =ç ÷

è ø

22 22

ln2

xx x

x dx-

- - ×= +ò

( ) '( ) 1

2'( ) 2 ( )

ln2

xx

r x x r x

s x s x-

-

= ® =

-= ® =


61

29. Aplicant el canvi de variable sin x = t, calcu-la:

òcos3 x dx

Si tens en compte la igualtat següent:

cos3 x = cos2 x cos x = (1 � sin2 x) cos x

la pots calcular sense canvi de variable.Fes-ho.

30. Calcula la integral ò dx utilitzant elcanvi de variable x = sin t o x = cos t. Arri-baràs a una integral del tipus:

òcos2 t dt o òsin2 t dt

respectivament. Et caldrà fer ús de les iden-titats trigonomètriques:

cos2 t = o sin2 t =

31. La integral dx és quasi immediata.

Calcula-la.

Comprova que arribes al mateix resultataplicant-hi el canvi de variable x2 + 3 = t.

32. Calcula:

a)

b)

2

3 2 11 6 7 6

3 39

xdx dx dx

x xx

-= + =

+ --ò ò ò

3 7 6 7 6

3 11 ( 6) 11 6

x B B

x A A

= ® = × ® == - ® - = × - ® =

3 2 ( 3) ( 3)x A x B x- = - + +

2

3 2

3 39

x A B

x xx

-= +

+ --

2

3 29

xdx

x

----òò

10

2C

x

-= +

-

12 ( 2)

10 ( 2) 101

xx dx C

-- -

= - = × + =-ò

= =- + -ò ò2 2

10 10

4 4 ( 2)dx dx

x x x

2

104 4

dxx x-- ++òò

2ln 3x C= + +

2 21 1ln 3 ln( 3)

2 2x C x C= + + = + + =

2 2

1 2 1 1ln

2 2 23 3

x x dtdx dx t C

tx x= = = + =

+ +ò ò ò

2 3 2x t dt xdx+ = ® =

2ln 3x C= + +

22 2

1 2 1ln( 3)

2 23 3

x xdx dx x C

x x= = + + =

+ +ò ò

2 3x

x ++òò

21( arccos 1 )

2x x x C= - - + - +

2sin cos 1( sin cos )

2 4 2

t t tC t t t C

æ ö= - - + = - + +ç ÷è ø

1 cos2 sin2

2 2 4

t t tdt C

- æ ö= - = - - + =ç ÷è øò

2 2 21 1 cos sin sinx dx t tdt tdt- = - - = - =ò ò ò

cos sinx t dx tdt= ® = -

C+

21 1( sin cos ) (arcsin 1 )

2 2t t t C x x x= + + = + - +

2sin cos sin cos

2 4 2 2

t t t t t tC C C+ = + + = + + =

1 cos2 1 cos2 sin2

2 2 2 2 4

t t t tdt dt

+ æ ö= = + = + +ç ÷è øò ò

2 2 21 1 sin cos cosx dx t tdt tdt- = - = =ò ò ò

sin cosx t dx tdt= ® =

1 cos22

t--1 cos22

t++

21 x--

3 2sin sinsin sin 1

3 3

x xx C x C

æ ö- + = - +ç ÷

è ø

2 2(1 sin )cos (cos sin cos )x xdx x x x dx= - = - =ò ò

3 2cos cos cosxdx x xdx= =ò ò

3 2sin sinsin sin 1

3 3

x xx C x C

æ ö= - + = - +ç ÷

è ø

= - = - = - + =ò ò3

2 2(1 sin ) (1 )3

tx dt t dt t C

3 3 2cos cos coscos

dtxdx x xdt

x= = =ò ò ò

sin coscos

dtx t dt xdx dx

x= ® = ® =


62

c)

d)

e)

f)

33. Calcula fent el canvi de varia-

ble x = t 6.

34. Calcula:

a)

æ ö= + + =ç ÷- -è øò ò2 25

55 5

xdx x dx

x x

2

5x

dxx --òò

t3 t2 + 1

�t3 � t2 t2 � t +1

� t2

+ t2 + tt

� t + 1� 1

3 6 62 2 3 6 6ln 1x x x C= - + - + +

3 22 3 6 6ln 1t t t t C= - + - + + =

3 2

6 ln 13 2

t tt t C

æ ö= - + - + + =ç ÷

è ø

32 1

6 6 11 1

tdt t t dt

t tæ ö= = - + - =ç ÷+ +è øò ò

= = =+ ++ò ò ò

55

2 3 2 33

1 16 6

tdx t dt dt

t t t tx x

3 6 2 6 33 ;x t t x t t= = = =]

6 56x t dx t dt= ® =

3

1dx

x x++òò

21ln 6 5

2x x C= - + +

- -= =

- + - +ò ò2 2

3 1 2 6

26 5 6 5

x xdx dx

x x x x

2

36 5

xdx

x x

---- ++òò

53ln 2 ln 3

2x x C+ - - - +

3 5 2 1ln 1

2 3 2dx dx x

x x

-+ + = - - +

- -ò ò

1 2 1 2

( 1)( 2)( 3) 1

xdx dx

x x x x

- -= +

- - - -ò ò

1 1 2 1 2

2 3 ( 1) 3

3 5 2 5 2

x A A

x B B

x C C

= ® - = × ® = -= ® - = × - ® == ® - = × ® = -

( 1)( 2)C x x+ - -

1 2 ( 2)( 3) ( 1)( 3)x A x x B x x- = - - + - - +

1 2

( 1)( 2)( 3) 1 2 3

x A B C

x x x x x x

-= + +

- - - - - -

3 26 11 6 ( 1)( 2)( 3)x x x x x x- + - = - - -

3 21 2 36 11 6 0 1, 2, 3x x x x x x- + - = ® = = =

3 2

1 26 11 6

xdx

x x x

---- ++ --òò

31 1

3ln 1 3ln lnx x

x C C Cx x

- -+ - + = + = +

3 3 33ln

( 1) 1dx dx dx x

x x x x

-= + = - +

- -ò ò ò

3 ( 1)

0 3 ( 1) 3

1 3 3

A x Bx

x A A

x B B

= - += ® = × - ® = -= ® = ® =

= = +- --2

3 3

( 1) 1

A B

x x x xx x

2

3dx

x x--òò

1ln 2

6x C+ + +

1 6 3 2ln ln 1

2 2 3dx x x

x+ = - - +

+ò

2 3 3 2 2 3

( 1)( 2) 1

xdx dx dx

x x x x x

- -= + +

- + -ò ò ò

0 3 ( 2) 3 2

1 2 3 2 3

2 1 6 1 6

x A A

x B A

x C C

= ® - = × - ® == ® - = × ® = -= - ® = × ® =

( 1)Cx x+ -

2 3 ( 1)( 2) ( 2)x A x x Bx x- = - + + + +

-= + +

- + - +

2 3

( 1)( 2) 1 2

x A B C

x x x x x x

2 3( 1)( 2)

xdx

x x x

---- ++òò

11 7ln 3 ln 3

6 6x x C= + + - +


63

b)

c)

d)

Acabem

1. Determina la funció f(x) sabent que la fun-ció F(x) = x2 ex + 2 n�és una primitiva.

2. Quina és la primitiva de la funció f(x) = 2x + + 5 que verifica la condició F(1) = 9? I la queverifica F�1(3) = �3?

3. Dos companys obtenen resultats diferentsen el càlcul de les primitives d�una mateixafunció. El primer obté:

òcos2 3x dx = i el segon,

òcos2 3x dx = sin6

2 12x x

C++ ++

sin62 12x x

C-- ++

2

12

11

22

2

( ) (2 5) 5

(1) 9 9 1 5 3( ) 5 3

(3) 3 3 9 15 9( ) 5 9

F x x dx x x C

F C CF x x x

F C CF x x x

-

= + = + += ® = + + ® = ®

® = + += - ® = - + ® = ®

® = + +

ò

2( ) '( ) 2 (2 )x x xf x F x x e x e xe x= = × + × = +

x2 + 9 x2 � 9

�x2 + 9 118

33

ln3

xx C

x

-= + +

+

3(ln 3 ln 3 )x x x C= + - - + + =

2

2

9 1 6 1 618

3 39

xdx x dx dx

x xx

+ -æ ö= + + =ç ÷+ -- è øò ò ò

1 ( 3) ( 3)

3 1 6 1 6

3 1 ( 6) 1 6

A x B x

x B B

x A A

= - + += ® = × ® == - ® = × - ® = -

1

( 3)( 3) 3 3

A B

x x x x= +

+ - + -

2

118

9dx

x+

-ò

2

2 2

9 181

9 9

xdx dx x

x x

+ æ ö= + = +ç ÷- -è øò ò

2

2

99

xdx

x

++--òò

1( 1) 1 12ln

1 1 1

x xC C

x x x

--+ + = - - +

- - -

12

( 1) 2ln 2ln 11

xx dx x x

--+ - = - - + +

-ò

22 2

1 2 2

1( 1)dx dx x dx dx

x xx x- -

= + + +--ò ò ò ò

2, 2A C= = -

0 1 1

1 1 1

2 1 2 4 4 2 2

1 1 ( 4) 4 ( 2) 2 2

x B B

x D D

x A B C D A C

x A B C D A C

= ® = ® == ® = ® =

= ® = × + + × + × ® + = - üý

= - ® = × - + × + × - + ® - - = - þ

2 2 2 21 ( 1) ( 1) ( 1)Ax x B x Cx x Dx= - + - + - +

2 2 2 2

2 2

( 1) ( 1) ( 1)

( 1)

Ax x Bx x Cx x Dx

x x

- + - + - +=

-

2 2

1

( 1)x x=

-

2 2 2 2

1

1( 1) ( 1)

A B C D

x xx x x x= + + +

-- -

2 2

1

( 1)dx

x x --òò

x3 � 4 x2 � 2x

�x3 � 2x2 x + 2

2x2 � 4

�2x2 + 4x4x � 4

222 2ln 2

2

xx x x C= + + - +

2

2 2( 2) 2

2

xx dx dx

x x

-= + + =

-ò ò

3

2 2

4 4 42

2 2

x xdx x dx

x x x x

- -æ ö= + + =ç ÷- -è øò ò

3

2

42

xdx

x x

----òò

x2 x � 5

�x2 + 5x x + 55x

�5x + 2525

2

5 25ln 52

xx x C= + + - +


64

Indica raonadament quin dels dos ha arri-bat a la resposta correcta.

El segon, ja que si , es

compleix que

4. Troba l�expressió de la funció F(x) la grà-fica de la qual passa pel punt (1, 1) sa-bent que el pendent de la recta tangent en qualsevol punt ve donat per la funció m(x) = 3x2 + 6x � 4.

5. Considera la funció .

Determina�n les asímptotes, sabent queF(0) = �3.

4x � 16 = 0 ® x = 4

Asímptota vertical x = 4

Asímptota horitzonal y =

6. Calcula:

a) ò(2x3 � 3x2 � 1) dx

b) ò(�3 · 3x + 4 cos x) dx

c)

d)

e) ò(4 + tg2 x)dx

f)

7. Calcula les integrals quasi immediates se-güents:

a) òcos 5x dx

b)

c) ò5 sin4 x cos x dx

d)

4ln 2 13

ln2x C= - +

22 2 4 2 ln24

ln22 13 2 13 2 13

x x x

x x xdx dx dx

+ ×= = =

- - -ò ò ò

222 13

x

x dx++

--òò

4 55sin cos sinx xdx x C= +ò

2

2

1 1 cosln tg

tgcos tg

xdx dx x C

xx x= = +ò ò

2

1

cos dx

x tgxòò

1 1cos5 5cos5 sin5

5 5xdx xdx x C= = +ò ò

2 4 2 1 4 2 4ln

7 7 7 7 7

xdx dx x x C

x x

- æ ö= × - = - +ç ÷è øò ò

2 47

xdx

x

--òò

tgx C+ +

2 2(4 tg ) (3 1 tg ) 3x dx x dx x+ = + + = +ò ò

1 1 3ln

4 2 4x x C

x= - + + +

22

2

1 2 3 1 1 1 3

4 2 44

x xdx x dx

xx-+ + æ ö= + × + =ç ÷

è øò ò

2

2

1 2 34x x

dxx

++ ++òò

216 ln

2x x x C= - + +

21 23 1 1

3x x

dx x x dxx x

-- + æ ö= - + =ç ÷è øò ò

2 3 1x xdx

x

-- ++òò

13( 3 3 4cos ) 4sin

ln3

xx x dx x C

+-- × + = + +ò

3 2 4 31(2 3 1)

2x x dx x x x C- - = - - +ò

17

4

-

17lim ( )

4xF x

®¥

-=

5(0) 3 3 17 4

45 17 20 17 68 17 48

( )4 4 4 16 4 16

F C C

x xF x

x x x

= - ® - = + ® = -

- - - + - += - = =

- - -

- -= = - = +

--ò ò2

2

5 5( ) 5 ( 4)

4( 4)F x dx x dx C

xx

2

5( )

( 4)F x dx

x==

--òò

3 2

(1) 1 1 1 3 4 1( ) 3 4 1

F C CF x x x x

= ® = + - + ® == + - +

2 3 2( ) (3 6 4) 3 4F x x x dx x x x C= + - = + - +ò

2 2 21 1 1 1(2cos 3 1) cos 3 cos 3

2 2 2 2x x x= + - = + - =

2 21 1 1cos(3 3 ) (cos 3 sin 3 )

2 2 2x x x x+ + = + - =

1 1 1'( ) cos6

2 2 2F x x= + = +

sin6( ) '

2 12

x xF x C= + +


65

e)

f) òx3 sin (x4 � p) dx

8. Calcula les integrals quasi immediates se-güents:

a) ò5tg x (1 + tg2 x) dx

b)

c)

d)

e)

f)

9. Troba la primitiva de la funció:

que verifica la condició .

10. Calcula per parts les integrals següents:

a) òx2 sin 3x dx

f (x) = x2 ® f '(x) = 2x

g ' (x) = sin 3x ® g(x) =

b) òcos (ln x) dx

sin(ln )x dxò

cos(ln ) cos(ln ) sin(ln )x dx x x x dx= +ò ò

1( ) cos(ln ) '( ) sin(ln )

'( ) 1 ( )

f x x f x xx

g x g x x

= ® = - ×

= ® =

cos(ln )x dxò

21 2 2cos3 sin3 cos3

3 3 9x x x x x C

æ ö= - + + +ç ÷è ø

2cos

27x C+ + =

2 21 2sin3 cos3 sin3

3 9x xdx x x x x= - + +ò

( ) '( ) 1

1'( ) cos3 ( ) sin3

3

r x x r x

s x x s x x

= ® =

= ® =

1 1sin3 cos3

3 9x x x= +

1 1cos3 sin3 sin3

3 3x xdx x x xdx= - =ò ò

2 21 2sin3 cos3 cos3

3 3x xdx x x x xdx= - +ò ò

1cos3

3x-

2 sin3x xdxò

tg( ) xF x e=

tg4 0

4F e e e C e e C C

ppæ ö = ® = + ® = + ® =ç ÷è ø

tgtg tg

2 2

1( )

1 sin cos

xx xe

F x dx e dx e Cx x

= = × = +-ò ò

p4

F eææ öö ==çç ÷÷èè øø

tg

2( )1 sin

xef x

x==

--

2

1 1 1sin cosdx C

x xx= +ò

2

1 1sin dx

xxòò

21(1 ln )

12x C= + +

22(1 ln ) 1 1

(1 ln )4 4

xdx x dx

x x

+= + × =ò ò

2(1 ln )4

xdx

x

++òò

10sin x C= +

5cos 110 cos

2

xdx x dx

x x= × =ò ò

5cos xdx

xòò

2

2

7 77 ( 4)

48 16dx x dx C

xx x

- -= - = +

-- +ò ò

2

78 16

dxx x-- ++òò

3 1 231 (1 ) 1

112 1 2 6

xC x C

-= - × + = - - +

22 3 1 2

3

1 13 (1 )

4 34 1

xdx x x dx

x

--= × - - =

-ò ò

2

24 1

xdx

x--òò

tgtg 2 5

5 (1 tg )ln5

xx x dx C+ = +ò

41cos( )

4x= - × - p

3 4 3 41sin( ) 4 sin( )

4x x dx x x× - p = × - p =ò ò

3x2 x + 7

�3x2 � 21x 3x � 21� 21x

21x + 147147

2321 147ln 7

2x x x C= - + + +

23 1473 21

7 7

xdx x dx

x xæ ö= - + =ç ÷+ +è øò ò

237

xdx

x ++òò


66

c) òx3 ln x dx

d) òe4x cos 4x dx

e) ò(x � 1) 5x dx

f) òln2 x dx

11. Comprova que:

ò(x2 � 2x � 1) ex dx = (x2 � 4x + 3) ex + C

12. Calcula les integrals següents, fent ús encada cas del canvi de variable indicat:

a) dx, x = 2 sin t

22 sin2 2arcsin 42 2

x xt t C x C= + + = + - +

1 cos2 sin24 4

2 2 2 4

t t tdt C

æ ö æ ö= + = + + =ç ÷ ç ÷è ø è øò

2 1 cos24 cos 4

2

ttdt dt

+= = =ò ò

2 24 4 4sin 2cosx dx t tdt- = - × =ò ò

2sin 2cosx t dx tdt= ® =

24 x dx-ò

24 x--òò

2( 2 1) xx x e= - -

2 2( 4 3) (2 4 4 3)x xx x e x x x e+ - + × = - + - + =

2( 4 3) ' (2 4)x xx x e C x eé ù- + + = - +ë û

2 2( 2 1) ( 4 3)x xx x e dx x x e C- - = - + +ò

2(ln 2ln 2)x x x C= - + +

2 2ln ln 2( ln )xdx x x x x x C= - - + =ò

1( ) ln '( )

'( ) 1 ( )

r x x r xx

s x s x x

= ® =

= ® =

ln ln lnxdx x x dx x x x= - = -ò ò

2 1( ) ln '( ) 2ln

'( ) 1 ( )

f x x f x xx

g x g x x

= ® =

= ® =

2 2ln ln 2 lnxdx x x xdx= -ò ò

5 11

ln5 ln5

x

x Cæ ö= - - +ç ÷è ø

1 1 1( 1)5 5

ln5 ln5 ln5x xx= - - × =

1 1( 1)5 ( 1)5 5

ln5 ln5x x xx dx x dx- = - - =ò ò

( ) 1 '( ) 1

1'( ) 5 ( ) 5

ln5x x

f x x f x

g x g x

= - ® =

= ® =

( 1)5xx dx-ò

4 41cos4 (sin4 cos4 )

8x xe xdx e x x C= + +ò

4 412 cos4 (sin4 cos4 )

4x xe xdx e x x= +ò

4 cos4xe xdx-ò

4 4 41 1cos4 sin4 cos4

4 4x x xe xdx e x e x= + -ò

4 4 41sin4 cos4 cos4

4x x xe xdx e x e xdx= - +ò ò

4 4( ) '( ) 4

1'( ) sin4 ( ) cos4

4

x xr x e r x e

s x x s x x

= ® =

= ® = -

4 sin4xe xdxò

4 4 41cos4 sin4 sin4

4x x xe xdx e x e xdx= - =ò ò

4 4( ) '( ) 41

'( ) cos4 ( ) sin44

x xf x e f x e

g x x g x x

= ® =

= ® =

4 cos4xe xdxò

( )4

3

1( ) ln '( )

'( ) ( )4

f x x f xx

xg x x g x

= ® =

= ® =

4 41 1ln

4 4 4 4

x xC x C

æ ö- × + = - +ç ÷è ø

4 43 31ln ln ln

4 4 4

x xx xdx x x dx x= - = -ò ò

[ ]cos(ln ) sin(ln )cos(ln )

2

x x xx dx C

+= +ò

[ ]2 cos(ln ) cos(ln ) sin(ln )x dx x x x= +ò

cos(ln )x dx-ò

cos(ln ) cos(ln ) sin(ln )x dx x x x x= + -ò

sin(ln ) sin(ln ) cos(ln )x dx x x x dx= -ò ò

1( ) sin(ln ) '( ) cos(ln )

'( ) 1 ( )

r x x r x xx

s x s x x

= ® = - ×

= ® =


67

b) dx, x = 3t

c) dx, = t

d) dx, x = 6t

13. Calcula la integral dx mitjançant

el canvi de variable . Aquesta inte-

gral, però, es quasi immediata. Calcula-latambé sense fer canvi de variable.

14. Troba la primitiva de la funció

la gràfica de la qual passa pel punt (2, 2).

15. Calcula les integrals següents:

a)2

2

52 2

xdx

x --òò

x + 2 x � 1

�x + 1 13

( ) 3ln 1F x x x= + -

2 2 3ln1 0C C= + + ® =

3ln 1

(2) 2

x x C

F

= + - +

=

( ) 2 31

1 1

xF x dx dx

x x

+ æ ö= = + =ç ÷- -è øò ò

2( )

1x

f xx

++==

--

7 3arctg

6 2

xC= +

2

7 2 1 7arctg

4 3 61dt t C

t= × = + =

+ò

22

7 1 27

4 34 9 4 99

dx dtx t

= × =+ + ×

ò ò

2 2

3 3x t dx dt= ® =

7 2 3 2 7 3arctg

34 3 6 21

2

xdx C

x= × = +

æ ö+ ç ÷è ø

ò

2 2

7 7 1

44 9 31

2

dx dxx

x

= =+ æ ö+ ç ÷

è ø

ò ò

23

x t==

2

74 9x++òò

12arcsin6

xC C+ = +

2 2

6 112 12 12arcsin

6 1 1dt dt t

t t= = = +

- -ò ò

2 2

12 126

36 36 366 6

dx dtx t

x t dx dt

= =- -

= ® =

ò ò

2

12

36 x--òò

t2 t2 � 1

�t2 � t2 1+ 1

12 ln

1

xx

x

-= + +

+

1 12 ln

1 2 1

x tdx t C

x t

æ ö-× = + + =ç ÷- +è ø

ò

2

1 1 1 1ln 1 ln 1 ln

2 2 2 11

t tdt t t

tt

-× = - - + =

+-ò

1 1 2 1 21 1 ( 2) 1 2

t A At B B

= ® = × ® == - ® = × - ® = -

1 ( 1) ( 1)A t B t= + + -

2 2

1 ( 1) ( 1)

1 11 1

A B A t B t

t tt t

+ + -= + =

- +- -

2 2 2

1 11

1 1 1

tdt dt t dt

t t tæ ö= + = +ç ÷- - -è øò ò ò

2

2 2

11

1 1

t

t t= +

- -

2

2 22 2

1 1

t ttdt dt

t t× =

- -ò ò

12 2

2x t dt dx dx xdt tdt

x= ® = ® = =

1

xdx

x -ò

x1

xx --òò

arctg3

xC= +

2 2

3 13 arctg

9 9 1dt dt t C

t t× = = + =

+ +ò ò

3 3x t dx dt= ® =

2

3

9dx

x+ò

2

39 x++òò


68

b)

c)

d)

e)

f)

16. Calcula òsin2 x dx i òcos2 x dx a partir de lesigualtats següents:

sin2 x + cos2 x = 1i cos 2x = cos2 x � sin2 x

� 3x + 5 3x � 1

� 3x � 1 � 14

4ln 3 1

3x C+ - +

5 3 41

3 1 3 1

xdx dx x

x x

- æ ö= - + = - +ç ÷- -è øò ò

1ln 7

56x C+ + +

2

1 1 1ln ln 1

7 8( )( 7)dx x x

x x x= - + - +

- +ò

5 33 1

xdx

x

----òò

0 1 ( 7) 1 7

1 1 8 1 8

7 1 56 1 56

x A A

x B A

x C C

= ® = × - ® = -= ® = × ® == - ® = × ® =

1 ( 1)( 7) ( 7) ( 1)A x x Bx x Cx x= - + + + + -

1

( 1)( 7) 4

A B

x x x X X= +

- + +

2

1

( )( 7)dx

x x x-- ++òò

x2 � 1 x2 + 4x

� x2 � 4x 1� 4x � 1

2

2

1 1 15ln ln 4

4 44

xdx x x x C

x x

-= - - + +

+ò

2

4 1

444 1 ( 4)

0 1 4 1 4

4 15 ( 4) 15 4

x A B

x xx xx A x Bx

x A A

x B B

- -= +

++- - = + +

= ® - = × ® = -= - ® = × - ® = -

2

4 1

4

xx dx

x x

- -= +

+ò

2

2 2

1 4 11

4 4

x xdx dx

x x x x

- - -æ ö= + =ç ÷+ +è øò ò

2

2

14

xdx

x x

--++òò

3

4( 2)C

x- +

+

1 3 1 1 2ln 2 ln

16 4 2 16 2

xx C

x x

-- + - × + = -

+ +

3 2

1 1ln 2

162 4 8

xdx x

x x x

-= - -

+ - -ò

1 16B® = -

1 31 4 4 1 16 6

4 2B B- = - - ® - = - - ®

( )

2 1 16 1 16

2 3 ( 4) 3 4

0 1 4 ( 4) 2

x A A

x C C

x A B C

= ® = × ® == - ® - = × - ® =

= ® - = × + × - + × -

21 ( 2) ( 2)( 2) ( 2)x A x B x x C x- = + + - + + -

3 2 2

1

2 22 4 8 ( 2)

x A B C

x xx x x x

-= + +

- ++ - - +

(simple)(doble)

22

xx

== -

3 22 4 8 0x x x+ - - =

3 2

1

2 4 8

xdx

x x x

-+ - -ò

3 2

12 4 8

xdx

x x x

--++ -- --òò

2 172ln 10 25

5x x C

x= - + - +

-

2

2

2 102 17 ( 5)

10 25

xdx x dx

x x

--= + - =

- +ò ò

2 2

4 20 117

10 25 ( 5)

xdx dx

x x x

-= = =

- + -ò ò

2 2

4 3 4 3 17 17

10 25 10 25

x xdx dx

x x x x

- - - += =

- + - +ò ò

2

4 310 25x

dxx x

---- ++òò

5x2 2x2 � 2

�5x2 + 5 55 2

2

5 1 5 1 11 ln

2 2 2 11

xdx x C

xx

æ ö-æ ö+ = + +ç ÷ç ÷ +-è ø è øò

2

1

1 111 ( 1) ( 1)

1 1 2 1 2

1 1 ( 2) 1 2

A B

x xxA x B x

x A A

x B B

= +- +-

= + + -= ® = × ® == - ® = × - ® = -

2 2

2 2 2

5 5 5 11

2 22 2 1 1

x xdx dx dx

x x xæ ö= = +ç ÷- - -è øò ò ò


69

17. Troba una primitiva de la funció següent:

Suggeriment: descompon la fracció en su-ma de dues fraccions del mateix denomina-dor i fixa�t en el canvi de variable utilitzat enl�exercici 13.

Com que ens demanen una primitiva, fem, perexemple, C=0.

18. Un mòbil es desplaça sobre l�eix OX de ma-nera que la seva acceleració ve donada perl�equació següent:

a = 2t + 1 m/s2

Si per a t = 0 es verifica v(0) = �2 m/s i x(0) =10 m, troba les expressions de les funcionsvelocitat v = v(t) i posició x = x(t) correspo-nents a aquest mòbil.

19. Un mòbil descriu un moviment vibratoriharmònic simple l�acceleració del qual s�ex-pressa per l�equació a = �36 cos 3t cm/s2.

Si a l�instant inicial es verifica v(0) = 0 cm/si x(0) = 4 cm, troba les expressions de les

funcions velocitat v = v(t) i posició x = x(t)d�aquest mòbil.

20. Calcula .

Indicació: multiplica primer numerador i de-nominador per l�expressió conjugada deldenominador.

21. Calcula .

Indicació: multiplica primer numerador i de-nominador per 1 + sin x.

22. Troba la primitiva de la funció

2

1( )

( 2)f x

x

--==

--

1tg

cosx C

x= + +

2 2

1 1 sin

1 sin cos cos

xdx dx

x x xæ ö= + =ç ÷- è øò ò

2

1 1 1 sin 1 sin

1 sin 1 sin 1 sin cos

x x

x x x x

+ -= × =

- - +

1 sindx

x--òò

3 31( 1) ( 1)

3x x Cé ù= + - - +

ë û

3 2 3 21 ( 1) ( 1)3 322 2

x xC

é ù+ -= - + =ê ú

ê úë û

1( 1 1)

21 1

dxx x dx

x x= + - - =

+ + -ò ò

1 1 1 1

21 1

x x x x

x x

+ - - + - -× =

+ - -

1 1

1 1 1 1x x x x= ×

+ + - + + -

1 1

dx

x x++ ++ --òò

4cos3 (cm)x t=( )0 4 4 4 ' ' 0x C C= ® = + ® =

12sin3 4 3sin3 4cos3 'x tdt tdt t C= - = - = +ò ò

( ) cm0 0 0 12sin3

sv C v t

æ ö= ® = ® = - ç ÷è ø

12sin3t C= - +

36cos3 12 3cos3v tdt tdt= - = - =ò ò

3 21 12 10 (m)

3 2x t t t= + - +

(0) 10 ' 10x C= ® =

3 22( 2) 2 '

3 2

t tx t t dx t C= + - = + - +ò

2 m2

sv t t= + -

( )0 2 2v C= - ® = -

2(2 1)v t dx t t C= + = + +ò

1arctg

2 2

xC+ +

2 22

1 1 2ln( 4) 2 ln( 4)

4 ( 2) 1x dx x

x= + + × = + +

+ò

2 2 2

2 1 2 1

4 4 4

x xdx dx dx

x x x

+= + =

+ + +ò ò ò

2

2 1( )

4x

f xx

++==

++

2 1 cos2 1 sin2sin

2 2 4

x xxdx dx x C

-= = - +ò ò

2 1 cos2 1 sin2cos

2 2 4

x xxdx dx x C

+= = + +ò ò

22 1 sin

sin2

xx

-=

22 22

2 2

1 cossin cos 1cos ;

sin cos cos2 2

xx xx

x x x+ü+ = =ý- + = þ


70

la gràfica de la qual té per asímptota horit-zontal la recta y = 2.

23. Calcula les integrals següents:

a) ò(tg5 x + tg7 x) dx

b)

c)

d)

e)

f)

g) òcos x

h)

24. Determina la primitiva de la funció

la gràfica de la qual conté el punt (4, 0).Anomena F(x) aquesta funció i calcula

F(x) i F(x).

Dibuixa de manera aproximada la gràfica dela funció F(x).

2

3

(4) 0 0 2ln1 0

( ) 2ln 3 ln( 3)

lim ( ) lim ( )x x

F C C

F x x x

F x F x-®¥ ®

= ® = + ® =

= - = -

= = -¥

2( ) 2ln 3

3F x dx x C

x= = - +

-ò

3limx --®®

3limx ++®®

2( )

3f x

x==

--

3 23(arcsin ) 2

(arcsin )3 3

2

xC x C= + = +

1 22 2

arcsin 1(arcsin )

1 1

xdx x dx

x x= × =

- -ò ò

2

arcsin1

xdx

x--òò

6 565(7 sin ) 5

(7 sin )6 65

xC x C

+= + = + +

1 55cos 7 sin cos (7 sin )x xdx x x dx+ = + =ò ò

5 7 sin xdx++

x4 x2 + 1

�x4 � x2 x2 � 1

� x2

� x2 + 11

3

arctg3

xx x C= - + +

42

2 2

11

1 1

xdx x dx

x xæ ö= - + =ç ÷+ +è øò ò

4

21x

dxx++òò

1ln 1 2tg

2x C= + +

2

2

121 cos

2 1 2tgcos (1 2tg )

dx xdxxx

×= =

++ò ò

2cos (1 2tgx)

dxdx

x ++òò

x

2 2

3 1 3 ln3 arctg3

ln3 ln31 3 1 (3 )

x x

x xdx

x

×= =

+ +ò ò

2

31 3

x

x dx++òò

1 1ln 2 ln 3

3 4x x C- + + + +

1 1ln 1

( 1)( 2)( 3) 2dx x

x x x= - -

- + +ò

1 1 12 1 12

2 1 ( 3) 1 3

3 1 4 1 4

x A A

x A B

x C C

= ® = × ® == - ® = × - ® = -= - ® = × ® =

( 1)( 2)C x x+ - +

1 ( 2)( 3) ( 1)( 3)A x x B x x= + + + - + +

1

( 1)( 2)( 3)dx

x x x=

- + +ò

2

1

( 1)( 5 6)dx

x x x=

- + +ò

2

1

( 1)( 5 6)dx

x x x-- ++ ++òò

2tg x C= +

2 2

1 12

cos 2 cos

dxdx

x x x x= × =ò ò

2cos

dx

x xòò

6tg

6

xC= +

5 7 5 2(tg tg ) tg (1 tg )x x dx x x dx+ = + =ò ò

1 1 2 3lim 2 2 2

2 2 2x

xC C

x x x®¥

-æ ö+ = ® = ® + =ç ÷- - -è ø

22

1 1( 2)

2( 2)dx x dx C

xx--

= - - = +--ò ò


71

Fig. 5.3

25. Troba l�expressió algèbrica de la funció F(x)que verifica les condicions següents:

a) F �(x) = 2x � 6

b) La gràfica de la funció F(x) presenta unmínim en el punt d�ordenada �1.

26. Aplicant el mètode d�integració per parts,calcula òcos2 x dx.

Cal que tinguis en compte que cos2 x = cosx cos x i que sin2 x = 1 � cos2 x. Compara elresultat amb el que has obtingut a l�exercici16.

sin cos sin2

2 4 2 4

x x x x xC C= + + = + +

2 sin coscos

2 2

x x xxdx C= + + =ò

22 cos sin cosxdx x x x= +ò

2 2(1 cos ) sin cos cosx dx x x x xdx= - = + -ò ò

2 2cos sincos sin sincosxdx x xdx x= + = +ò ò

2cos cos cos

( ) cos '( ) sin

'( ) cos ( ) sin

xdx x xdx

f x x f x x

g x x g x x

= ×

= ® = -= ® =

ò ò

2

Mínim '( ) 0 2 6 0 3

(3) 1 1 9 18 8

( ) 6 8

F x x x

F C C

F x x x

® = ® - = ® == - ® - = - + ® =

= - +

( ) 2(2 6) 6F x x dx x x C= - = - +ò


72

SOLUCIONARI Unitat 5 - xtec.catxtec.cat/iesllica/mates/www/cat_sol_4_5_1.pdf ·...

Documents

Transcript of SOLUCIONARI Unitat 5 - xtec.catxtec.cat/iesllica/mates/www/cat_sol_4_5_1.pdf ·...