SociedaddeEstadísticae - SEIO · EDITORIAL ofconferencesonDesignofExperiments. We organise also...

Sociedad de Estadística eInvestigación Operativa

Boletín de la SEIOVolumen 22, número 4

OCTUBRE 2006

REDACCIÓNEditor: Jesús López [email protected] de Castilla-La Mancha

Editores Asociados:

Estadística:Miguel Angel Gómez [email protected] Complutense de Madrid

Investigación Operativa:Justo Puerto [email protected] de Sevilla

Ana Meca Martí[email protected] Miguel Hernández de Elche

Aplicaciones:Manuel Molina Ferná[email protected] de Extremadura

Estadística pública:Montserrat Herrador [email protected] Nacional de Estadística

Editor Técnico:Fco. Javier Toledo [email protected] Miguel Hernández de Elche

SEIO:Facultad de CC. Matemáticas, Despacho 502Universidad Complutense de MadridPlaza de Ciencias, 328040 Madrid (Ciudad Universitaria)[email protected], http://www.seio.esTel: (+34) 91 544 91 02

Imprime SEROTELPo de la Castellana, 87.Dep. Legal: M-13647-1995ISSN: 1699-8871Copyright c© 2006 SEIO

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Los artículos se enviarán por correo electró-nico al editor asociado correspondiente o aleditor del Boletín. No deberán tener una lon-gitud superior a 5 páginas. El formato ha deser LATEX, sin macros. En www.seio.es puededescargarse un modelo de artículo.

Las cartas al editor se dirigirán por correo elec-trónico al mismo. La limitación será de 200palabras.

El resto de colaboraciones y noticias se diri-girán al corresponsal más cercano o directa-mente al editor. Las referencias bibliográficasy de software se acompañarán de los datos ne-cesarios para su localización y una reseña nosuperior a 120 palabras. Los resúmenes de te-sis se limitarán a 200 palabras y contendrán:título, autor, directores, departamento, uni-versidad y la fecha de lectura. Con relacióna congresos y cursos bastará una breve rese-ña semejante a las publicadas en el Boletín. Elformato preferible para estas colaboraciones esMS–Word.

ÍNDICE

Índice

Editorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2El rincón del presidente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1. Artículos de Estadística 7Andrei Markov (1856-1922). En el 150 aniversario de su nacimiento, Miguel A. GómezVillegas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Artículos de Investigación Operativa 9Teoría de la Decisión Multicriterio: Un Ejemplo de Revolución Científica Kuhniana, RafaelCaballero y Carlos Romero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

El problema de Optimización Vectorial. Conceptos de Optimalidad, Vicente Novo Sanjurjo 16

3. Artículos de Aplicación 22Tarificación del seguro del automóvil: métodos de Análisis Multivariante, Eva Boj del Val 22

4. Estadística Oficial 32Predicción del IPC utilizando Métodos de Subespacio, Victor Gómez Enríquez, Félix Apa-ricio Pérez y Angel Sánchez Avila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5. Estudios monográficos y opiniones sobre la profesión 35En memoria de Miguel Martín Díaz, Francisco José Cano Sevilla y Miguel Sánchez García 35

EDITORIAL

Fabrizio RuggeriPresident of the European Network for Business and Industrial Statistics (ENBIS)

Readers of the Boletín are already aware of EN-BIS (European Network for Business and IndustrialStatistics) past activities, since one of the most in-fluential ENBIS members, Xavier Tort-Martorell,wrote a paper in the September 2005 issue. I wouldlike, as current ENBIS President, to share with youour vision and future projects, emphasising the onesof major interest for the Spanish statistical and bu-siness communities.

First of all, I would like to thank Jesús López Fi-dalgo for inviting me to contribute to your Boletínand I cannot start without remembering a friend,Jorge Muruzabal, who left us too early.

ENBIS (www.enbis.org) plans to spread soundstatistical methods among European business andindustry. It started from an idea of few people whodiscussed for a while and then launched the newassociation in Amsterdam in December 2000. The

idea of few people has grown into an associationwith more than 1200 members, which has been ablenot only to organise the “usual” conferences but alsoto create a network (the letter N of its name . . . ) ofscientific cooperation and friendship among manypeople. In particular the major project so far, Pro-ENBIS, funded by the European Union, allowed alot of interaction among people in different coun-tries and from academy, industry and consultancy.Pro-ENBIS was used as an umbrella under whichENBIS started and grew. In December 2004 the pro-ject ended and new challenges have been posed toENBIS since then. I have had the “luck” of beingthe first ENBIS President who had to deal withsuch a large organisation without the financial sup-port guaranteed by Pro-ENBIS. In the last year, incooperation with the ENBIS Executive Committee,we have worked to provide ENBIS more, diversified

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EDITORIAL

activities and a stronger structure, so that ENBIScould fulfil better its goal of contributing to the dif-fusion of the statistical culture in Europe.

The first concern was that no networking acti-vity was possible if it was not supported financia-lly. Therefore a Funding Group, with leading EN-BIS members, has been established with the goal ofcollecting information about call for proposals, gat-hering people with common interests and assistingthem in the submission of proposals. The group isnow getting ready for the first calls within FP7, tobe launched by the European Union pretty soon.In the meanwhile we submitted a proposal for anexploratory workshop on nanotechnologies and sta-tistics, to be funded by the European Science Foun-dation. The idea behind the workshop is to gatherpeople from academy and industry and work (andapply for funds . . . ) in one of the most relevant in-dustrial areas where the use of statistical methodsshould be more diffuse.

In this process, like many others within ENBIS,a relevant role is played by the national represen-tatives and the Special Interest Groups (SIGs) onspecific themes (ten so far) which can provide, res-pectively, interactions with national statistical andindustrial communities and expertise from peoplewith common interests.

Another important challenge we are facing isabout the continuing statistical education, provi-ding opportunities not only to students or acade-micians but mostly to practitioners in business andindustry. An ad hoc group has identified differentareas in which ENBIS should intervene with activi-ties coordinated by a group to be established in thenext meeting in Wroclaw (Poland) in September,2006.

The first area is about Six Sigma, a popular pro-cedure (although “philosophy” could be a more ade-quate word) in many industries. Run by the SIG onQuality improvement, we will start a programmewhich will lead ENBIS to certify Six Sigma cour-ses which fulfil required levels about curricula andactivities. We would like the ENBIS label to be-come a quality guarantee for people attending SixSigma training courses in Europe. We have alreadyset a Six Sigma Practitioners Circle which will bein charge of examining the courses, whereas curri-cula and activities have been thoroughly discussedwithin the SIG on Quality improvement and in Pro-

ENBIS meetings. In a future we envisage the pos-sibility of having the accreditation not only of ex-ternal courses but also of people attending coursesoffered by ENBIS.

The second area of interest is about courses.ENBIS is already offering courses before and afterthe annual meeting: this year, courses on Statisti-cal Consulting, Statistics for Innovation and Opti-mal Design are offered in Wroclaw. They will bethe first courses to use the label “ENBIS Academy”under which we are going to call all our educationalactivity. We plan to extend these courses, involvingnational representatives and SIGs a lot. A typicalcourse would arise when a national representativethinks there is a topic which should be offered tosome group (e.g. industries in an area) in his/hercountry and he/she contacts the ENBIS Academygroup which will search people willing to give such acourse. This year we put together different groups(Swedish and Danish ones) and a course on relia-bility was organised in Denmark with Swedish ins-tructors.

Endorsement of courses, mostly at an academiclevel, is the third area of interest. ENBIS is al-ready endorsing a Master on Complexity organisedin Italy by the University of Pavia and we wouldlike to extend the courses which get the ENBIS ap-proval as a quality guarantee.

ENBIS is a web-based society and we think ofexploiting the web as the fourth area of interest. In arecent paper I wrote for Scientific Computing World(April/May 2006 issue) I discussed the opportunityof having a sort of wikipedia (www.wikipedia.org)for practitioners interested in statistical methods.In general, tutorials and other resources can be puton the web (see, e.g., the SIG on reliability) andeasily accessed.

Finally, we are exploring with a leading publis-her the possibility of publishing practical, soundbooks mostly for practitioners.

In 2006 we have started also the series of spe-cialised Spring Workshops, as companions to thegeneral conferences we have each year (in Germanyin 2007 and in Greece in 2008). This year we hada conference on data mining with a lot of “handson” activities (quite typical at ENBIS meeting) inGermany whereas a workshop on “Analysis of Simu-lated Experiments” will be held in 2007 in Italy, incooperation with DEINDE, a long standing series

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EDITORIAL

of conferences on Design of Experiments.We organise also sessions within conferences,

e.g. at the 2006 Joint Research Conference on Sta-tistics in Quality, Industry and Technology in Knox-ville (USA) and at ISBIS2007 in the Azores, just tomention few.

We are sharing our experience and providingsupport at different levels to organisations in LatinAmerica and Africa, besides cooperating with otherassociations, e.g. the recently established ISBIS andsome national statistical societies.

We have also established some awards, recog-nising not only excellence in life achievements butalso promising young statisticians and people whoare promoting the use of statistics in industry andbusiness without being statisticians. We have threeawards: the Box Medal for outstanding contributionto the practice of statistics (and the recipients ha-ve been so far George Box himself, Soren Bisgaard,Sir David Cox and Gerry Hahn), the Young Sta-tistician and the Best Manager awards. The firstrecipient of the Young Statistician award was JesúsPalomo, of whom I was co-advisor at UniversidadRey Juan Carlos along with David Rios Insua.

As you can see, we have plenty of activities goingon and being planned in the future. The major cha-llenge, as usual, is about finding the right personsfor the right place. We have achieved a lot in thepast six years but more can be achieved if we in-crease the number of people working within ENBIS,

besides our international cooperation with existingsocieties, like SEIO.

I hope to have given the readers of the Bole-tín an idea of what ENBIS is doing and now it istime to discuss briefly about the possible interac-tions between SEIO and ENBIS and their members.We have national groups within ENBIS (Belgium,the Netherlands, Denmark and, in a few days, Swe-den) and a Spanish group, as mentioned by Tort-Martorell last year, would be very welcome but thisis not definitely my business (I would be more in-terested in an Italian group . . . ).

More realistically, SEIO and ENBIS can organi-se joint events, e.g. a Spring Workshop or an EN-BIS session within a SEIO meeting (or vice versa,if ENBIS organises something in Spain, after thesuccessful annual meeting in Barcelona in 2003).

Spanish statisticians and practitioners are verywelcome to be part of our SIGs, especially now thatnew funding opportunities should make cooperationeasier and give a boost to SIGs activities. Other pos-sibilities are available as well, as I have describedearlier. If you need further information, please havea look at our website (www.enbis.org) or contact me([email protected]) or the next ENBIS Presi-dent, Ron Kenett ([email protected] ).

Finally, I have to apologise since I wrote in En-glish. I love a lot your language (and your country)but I can just read and speak it, whereas my writingwould be very poor.

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EL RINCÓN DEL PRESIDENTE


Domingo Morales GonzálezCentro de Investigación Operativa

Universidad Miguel Hernández de Elche

Después del paréntesis del verano y transcu-rridos cinco meses desde nuestro último CongresoNacional de Estadística e Investigación Operativa,aprovecho la oportunidad que me brinda el editordel boletín para poder transmitir algunas reflexio-nes sobre un par de asuntos de actualidad. Algunosde los temas que trataré en este artículo ya los expu-se durante la Asamblea General de Tenerife y otrosson posteriores a dicha fecha.

Quiero comenzar agradeciendo el tremendo es-fuerzo que realizaron nuestros compañeros del De-partamento de Estadistica Investigación Operativay Computación de la Universidad de La Laguna (yle doy las gracias en especial a Joaquín Sicilia) paraorganizar el XXIX Congreso Nacional de Estadís-tica e Investigación Operativa. En Tenerife, comono podía ser de otra forma, me sentí una vez máscomo en casa. Me consta que organizar un congresoes un trabajo arduo, en especial cuando ha alcanza-do las dimensiones actuales. A finales de septiembrede 2007 se celebrará el XXX congreso en Valladolid,donde esperamos que también haya una alta asis-tencia. Desde esta tribuna quiero enviar un mensajede ánimo y apoyo a los nuevos organizadores.

Desde mi punto de vista el tema de debate in-terno más importante de los últimos meses ha sidola situación de nuestras revistas TEST y TOP, lascuales están cada vez más asentadas en el panora-ma científico internacional. Lamentablemente TOPaun no ha entrado en las listas de impacto del Jour-nal Citation Report de ISI, pero su trayectoria nospermite ser optimistas de cara al futuro. Duran-te los últimos seis años hemos tenido unos editoresexcelentes, Marco A. López Cerdá e Ignacio Gar-cía Jurado, que se han desvivido por la revista yhan conseguido mantener unos estándares de cali-dad envidiables. Solamente aquellos que han esta-do al frente de una revista científica como TESTo TOP pueden valorar el volumen de trabajo y laresponsabilidad que conlleva el trabajo de editor.Muchas gracias a ambos. A partir de 2006 tendre-mos dos nuevos editores, Justo Puerto Albandoz yEmilio Carrizosa Priego, a los cuales quiero desearle

un éxito rotundo al frente de TOP.TEST ha consolidado su situación en el JCR. Si

el índice de impacto de TEST en el año 2003 y 2004fue alto (0.581 ocupando la posición 41 de entre75 revistas referenciadas en 2003 y 0.881 ocupandola posición 27 de entre 77 revistas referenciadas en2004) en el año 2005 ha superado todas nuestrasexpectativas más optimistas con un índice de 1.163ocupando la posición 17 de 81 revistas referencia-das. Los editores actuales de TEST, Leandro PardoLlorente y María Ángeles Gil Álvarez, así como losanteriores son claramente los culpables de esta si-tuación idílica. No obstante, el índice de impactoes un cociente que en el caso de nuestras revistastiene un denominador muy pequeño, siendo en con-secuencia muy volátil. Por tal motivo, una posiblebajada del índice para 2006 no debería interpretarsecomo un fracaso.

En la Asamblea General de Tenerife se aceptóla oferta de Springer para la publicación y distribu-ción de de TEST y TOP. En septiembre se firmóel contrato para el periodo 2007-2011 y empezó lacoordinación con esta editorial. Se abre en definitivauna nueva etapa que permitirá consolidar interna-cionalmente a nuestras revistas.

Soy consciente de que el acuerdo firmado conSpringer sea tal vez el hito más relevante de mimandato como presidente de la SEIO. No ha sidofácil llegar al convencimiento de que lo mejor pa-ra nuestras revistas y para la propia sociedad seapactar con una de las grandes editoriales científi-cas. Yo antes de Presidente he sido Secretario Ge-neral y he sido responsable de la edición técnica,impresión, venta y distribución de las revistas. Dealguna forma he tenido que perder una cierta dosisde romanticismo al reconocer nuestra incapacidadde realizar una gestión profesional exitosa y sobretodo económicamente rentable.

La idea de cooperar con una editorial de presti-gio es ya antigua, pero nunca hasta ahora se habíandado unas condiciones tan ideales como para teneruna posición de negociación medianamente venta-josa. La trayectoria de TEST con su impresionante

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éxito en las listas de impacto y al mismo tiempocon su alarmante aumento de artículos aceptadosen cola de publicación fueron probablemente los ca-talizadores que aceleraron el proceso para tomar ladecisión de establecer negociaciones con distintaseditoriales. Fueron precisamente nuestros editoreslos que acabaron convenciéndome de tal necesidad.

De entre las razones y argumentos que se ba-rajaron a favor de un acuerdo con una compañíaeditorial se pueden destacar los siguientes:

1) Económicas, debido a la reducción costes y deconsumo de tiempo para SEIO,

2) visibilidad/difusión internacional de TEST yTOP,

3) aumento de números (y en consecuencia depáginas) por volumen con la consiguiente dis-minución de artículos aceptados en cola de pu-blicación,

4) incremento de las opciones de TOP para en-trar en las listas de impacto,

5) eliminación de dificultades en la búsqueda edi-tores técnicos e imprentas, implicando la agi-lización de los periodos de cambio de editores,

y todo ello teniendo en cuenta que la SEIO conservalos derechos de copyright, el control científico y lapolítica editorial.

Durante los meses de octubre, noviembre y di-ciembre de 2006 tendremos un periodo de coordi-nación con Springer en el que les transferiremos laslistas de socios, de subscriptores, e información elec-trónica relevante para la creación de los nuevos por-tales de TEST y TOP. Durante ese periodo nues-tra Secretaria General, María Jesús Ríos, y nuestroseditores Técnicos María Asunción Lubiano y Anto-nio Alonso, jugarán un papel relevante. A partir de2007 Springer publicará las revistas, nos enviará losejemplares y nos dará acceso electrónico completoa los portales de las mismas. Asimismo Springergarantizará a los socios de la SEIO un 20% de des-cuento en las compras de libros que hagamos víaweb y para ello nos proporcionará palabras claveindividualizadas.

Por otra parte, un evento que ha estado de ac-tualidad durante este año y que se ha celebrado du-rante el pasado mes de agosto ha sido el CongresoInternacional de Matemáticos ICM2006 de Madrid.Este ha significado el mayor evento científico de lasmatemáticas en España, y en gran medida, ha su-puesto el reconocimiento del avance espectacular de

esta disciplina (incluyendo la estadística y la inves-tigación operativa) en nuestro país.

Como ha expuesto Manuel de León en el edito-rial del boletín 2006.1 del Comité Español de Ma-temáticas (CEMAT, donde la SEIO tiene dos re-presentantes): “en el ICM2006 Madrid se han dadoalgunas circunstancias que han supuesto una dife-rencia con otros ICM: el alto nivel científico y laexcelente presentación de las conferencias, el impre-sionante marco que supuso el Palacio Municipal deCongresos, el uso adecuado de las nuevas tecnolo-gías, la excelente organización de nuestra Agenciade Congresos UNICONGRESS, el trabajo organi-zado e infatigable de nuestro Gabinete de Prensa,la labor entusiasta de nuestros 350 voluntarios, hanconseguido un ICM ciertamente espectacular.”

Uno de los objetivos del ICM fue incrementarla presencia internacional de las matemáticas espa-ñolas. Obviamente, el señalar un objetivo colectivosupuso centrar una gran cantidad de esfuerzos en laconsecución del mismo. La SEIO ha colaborado ycoordinado actividades con el resto de las socieda-des matemáticas españolas; en especial, con la RealSociedad Matemática Española (RSME), la Socie-dad de Matemática Aplicada (SEMA) y la SocietatCatalana de Matematiques (SCM). Resultados vi-sibles de esa cooperación se han sido la creacióndel CEMAT, la consecución de un proyecto Con-solider, la celebración del primer congreso conjuntode las cuatro sociedades (MAT.ES 2005) en Valen-cia, la participación en el Comité Organizador delICM2006 y los acuerdos firmados para facilitar laexistencia de socios comunes a varias sociedades.

Por último, no quiero despedirme sin comentaralguno de los logros de nuestro editor, Jesús LópezFidalgo, en lo relativo a la citación de los artículospublicados en el boletín en grandes bases de datos,tales como Mathscinet y Zentralblatt. Por tal mo-tivo, y sobre todo por la satisfacción de publicarartículos divulgativos o de aplicaciones, os animoa todos a enviar trabajos al boletín. De esa formay con la ayuda de todos iremos mejorando poco apoco esta publicación.

En definitiva, la SEIO es cosa de todos. Hoy es-toy yo al frente pero mañana estará otro. La aporta-ción de todos es vital y desde los Consejos de la So-ciedad agradeceremos todas las iniciativas que nossugieran. Aun queda mucho camino por recorrer pe-ro lo importante es seguir avanzando. Un cordialsaludo a todos.

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ARTÍCULOS DE ESTADÍSTICA

1. ARTÍCULOS DE ESTADÍSTICA

ANDREI MARKOV (1856-1922)EN EL 150 ANIVERSARIO DE SU NACIMIENTO

Miguel A. Gómez VillegasDepartamento de Estadística e Investigación Operativa I

Facultad de Ciencias MatemáticasUniversidad Complutense de Madrid

Andrei Andreevich Markov nace en Ryazan (Ru-sia) el 14 de junio de 1856 y muere en San Peters-burgo en 1914, se cumplen por tanto 150 años delnacimiento del creador de las cadenas de Markov,uno de los conceptos más importantes en la cons-trucción de modelos en gran cantidad de camposque abarcan desde la sociología a la física teórica.

Markov estudia en San Petersburgo y muestraun carácter fuerte que le causará problemas poste-riormente con el régimen zarista y con sus colegasde la Universidad de San Petersburgo. Era mal es-tudiante en todo menos en matemáticas. En 1913la dinastía Romanov, que había estado en el poderen Rusia desde 1613, celebró sus 300 años de per-manencia en el mismo -él prefiririó celebrar los 200años de la ley de los grandes números tal y como ha-bía sido introducida postumamente por J. Bernoullien 1713-.

Inició sus estudios universitarios de matemáti-cas en 1874 que acabó en 1878, siendo premiadocon una medalla de oro al terminarlos. Realizó enla Universidad de San Petersburgo su carrera aca-démica. Su tesis doctoral estuvo en el ámbito de lateoría de números, pero con la retirada de Cheby-chev, en 1883, Markov pasó a encargarse del cursosobre la teoría de la probabilidad continuando conel mismo incluso después de su retirada de la uni-versidad en 1905.

Perteneció a la escuela matemática de San Pe-tersburgo fundada por Chebychev, y junto a Liapu-nov llegó a ser una de las figuras más eminentes dela misma en el campo de la probabilidad. Bernstein(1927), otro de los representantes de la escuela deSan Petersburgo, decía de él:

Sin duda el más importante continuador de las ideassobre probabilidad fué Markov, sus trabajos son mo-delos de rigor y claridad en la exposición, y han con-tribuido en gran medida a transformar la teoría de laprobabilidad en uno de los más perfectos campos de lamatemática y a aumentar la popularidad de los métodosy las ideas de Chebychev.

Sus primeras contribuciones son relativas al teo-rema central del límite para variables independien-tes pero no idénticamente distribuidas y son motiva-das por una imprecisión que había cometido Cheby-chev y que Markov corrige. En concreto Cheby-chev había demostrado que si las variables aleato-rias X1, ..., Xn, ... cumplen que (i) son de media ce-ro; y (ii) E|(Xi)|k ≤ C, entonces

lımn→+∞ Pr{

Sn−E[Sn]√V [Sn]

≤ t

}

= 1√2π

∫ t

−∞ e−0,5x2dx,

donde Sn =∑n

i=1 Xi. Markov establece que ha deañadirse la hipótesis (iii) (

∑ni=1 V ar[Xi])/n es uni-

formemente acotada.La demostración del teorema central del límite

dada por Chebychev está basada en la utilizaciónde variables aleatorias truncadas, la obtenida porMarkov se basa en la utilización de la desigualdad

Pr{|Sn − E[Sn]|/n ≥ ε} ≤ V ar[Sn](nε)2

La demostración basada en la función caracte-rística es posterior y se debe a Lyapunov.

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ARTÍCULOS DE ESTADÍSTICA

Sin duda la otra contribución importante deMarkov fué la introducción del concepto de cade-na de Markov, como un modelo para el estudio devariables dependientes, el cual dió lugar a una grancantidad de investigación posterior en la teoría delos procesos estocásticos. Las páginas 319-338 deMarkov (1951) contienen estos resultados, en el mis-mo libro puede verse también una lista completa delos trabajos de Markov y dos fotografías del mismotomadas por su hijo.

Los trabajos sobre estadística de Markov consis-ten en la modelización de la alternancia entre voca-les y consonantes, mediante una cadena de Markovcon dos estados, de composiciones literarias en ru-so, y en el estudio de los mínimos cuadrados parala obtención del teorema de Gauss-Markov.

Una exposición detallada de las contribuciones

de los matemáticos de la escuela de San Petersbur-go puede verse en el clásico libro de Maistrov (1974)sobre la historia de la probabilidad.

Justo es rendir tributo a uno de los más promi-nentes representantes de la escuela de San Peters-burgo.

Referencias

[1] Bernstein S.N. (1927). Sur l’extension du théo-rème limité du calcul des probabilités aux som-mes des quantités dépendantes,Math. Ann., 97,1-59.

[2] Maistrov L.E. (1974). Probability Theory: AHistorical Sketch, Academic Press, London.

[3] Markov A.A. (1951). Izbrannie Trudy AN SSR,Leningrad. [Selected works on number theoryand the theory of probability].

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ARTÍCULOS DE INVESTIGACIÓN OPERATIVA

2. ARTÍCULOS DE INVESTIGACIÓN OPERATIVA

TEORÍA DE LA DECISIÓN MULTICRITERIO: UN EJEMPLO DEREVOLUCIÓN CIENTÍFICA KUHNIANA

Rafael Caballero1 y Carlos Romero2

1 Departamento de Economía Aplicada (Matemáticas)Universidad de Málaga

2 Departamento de Economía y Gestión ForestalUniversidad Politécnica de Madrid

Ignatius vestía por su parte, de un modo cómodoy razonable. La gorra de cazador, le protegía con-tra los enfriamientos de cabeza ... Era un atuendoaceptable, según todas las normas teológicas y geo-métricas, aunque resultara algo abstruso, y sugeríauna rica vida interior.

La conjura de los necios, John Kennedy Toole

1. El Paradigma Decisional Tradicional: UnApunte

Los problemas más complejos son, en bastantesocasiones, aquellos que aparentemente tienen unasolución más directa y sencilla. Así, si nos pregun-tamos por el propósito de la Teoría de la Decisióny la caracterización de su objeto de estudio, diría-mos que son aquellos procesos que consisten “sim-plemente” en la elección por parte de un centro de-cisor (un individuo o un grupo de individuos) delo “mejor” entre “lo posible” . El estudio del corres-pondiente proceso de elección puede realizarse pormotivos distintos tales como: a) explicar el com-portamiento real de los centros decisores (enfoquepositivo o descriptivo), b) explicar cómo deberíancomportarse los centros decisores, para que su con-ducta se ajuste a una serie de normas o axiomas quese consideran caracterizan la racionalidad (enfoquenormativo) y c) ayudar al centro decisor a tomar lamejor decisión posible de cara a sus intereses parti-culares (enfoque prescriptivo).

Ahora bien, sea cual sea el propósito persegui-do, la Teoría de la Decisión pretende “simplemente”proporcionar marcos analíticos que permitan elegir“lo mejor” dentro de “lo posible” . Sin embargo, este,aparentemente, sencillo propósito, a la hora de ha-cerlo operativo, implica en muchos casos importan-tes complejidades analíticas. Pasamos a comentarbrevemente cómo se ha abordado tradicionalmente

el problema de determinar “lo posible” , así como “lomejor” . En cualquier problema de toma de decisiónexisten recursos limitados (la idea económica de “es-casez” ), que generan las restricciones del problema.Aquel o aquellos vectores de las variables de deci-sión que satisfagan el conjunto de restricciones delproblema decisional, constituyen el conjunto facti-ble o alcanzable, y formaliza lo que intuitivamenteentendemos por “lo posible” . Este conjunto facti-ble puede tener diferentes estructuras matemáticas(conjunto de igualdades y/o desigualdades, politopoconvexo, restricciones lógicas, etc.).

Por otra parte, para caracterizar “lo mejor” seintroduce en el análisis una función denominada decriterio, que intenta reflejar las preferencias o deseosdel centro decisor. Esta función de criterio (funciónde utilidad o función de valor), asocia de una mane-ra monótona un número real a cada solución facti-ble. La función de criterio puede tener diferentes es-tructuras matemáticas (cóncava, convexa, cuadráti-ca, etc). Recurriendo a técnicas matemáticas se op-timiza (i.e., se maximiza o se minimiza) la funciónde criterio sobre el conjunto factible, obteniéndosede esta manera lo que se denomina solución ópti-ma, que representa la solución buscada, esto es, “lamejor” solución dentro de “lo posible” . La técnicamatemática más adecuada, para abordar el anteriorproblema de búsqueda, depende de las propiedadesmatemáticas del conjunto factible y de la funciónde criterio.

La estructura paradigmática que acabamos deexponer intuitivamente, sirve de soporte a múlti-ples enfoques teóricos que van desde la teoría delequilibrio del consumidor, a la programación ma-temática (lineal, cuadrática, entera, etc.). Es decir,este tipo de estructura tiene una gran solidez lógicao, dicho con otras palabras, su coherencia interna

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es perfecta. Sin embargo, desde un punto de vis-ta de contenido empírico o de coherencia externa,el paradigma anterior presenta serias debilidades einconveniencias que lo desvía considerablemente delos procesos reales de toma de decisiones sea cuálsea su orientación, y muy especialmente si nos en-frentamos a una orientación positiva o prescriptiva.

2. El Paradigma Decisional Tradicional:Una Crítica

El paradigma decisional tradicional, anterior-mente expuesto, entra en “crisis” kuhniana por pre-sentar importantes anomalías (i.e., discrepanciasentre lo que predice o prescribe el paradigma yla realidad observada) en dos direcciones distintas.En primer lugar, en muchas situaciones decisiona-les reales (económicas o no económicas), los centrosdecisores, sean cuáles sean sus características (unindividuo o un conjunto de individuos, un ente pri-vado o un ente público, etc.), no desean ordenar lassoluciones factibles en base a un único criterio, sinoque desean efectuar este tipo de tarea con arreglo adiferentes criterios que reflejen sus particulares pre-ferencias.

Ilustremos la crítica anterior con la ayuda de al-gunos ejemplos sencillos. Así, cuando una personadecide comprar o alquilar un apartamento, el con-junto factible que define “lo posible” queda caracte-rizado por todos los apartamentos que caen dentrode la restricción presupuestaria de la persona encuestión. A continuación, nuestro comprador eva-luará los apartamentos factibles en base a varioscriterios tales como: número de habitaciones, anti-güedad del edificio, barrio, etc. Los ejemplos en estadirección son innumerables en multitud de camposde aplicación. Es decir, la estructura de preferen-cias de los centros decisores queda caracterizada, engeneral, por varios criterios que usualmente entranen conflicto. En el caso de la búsqueda del aparta-mento, los mejores barrios son los más caros; en laformación de una cartera financiera, los valores conexpectativas de rendimientos más altos son los másarriesgados, y así sucesivamente. Los criterios múl-tiples son la regla más que la excepción. ¡La vidareal es multicriterio!

La existencia de criterios múltiples implica unaimportante “anomalía” en el paradigma decisionaltradicional, pero no es la única. En efecto, otro ti-po de problema o “anomalía” surge cuando refle-

xionamos acerca de cómo los enfoques tradicionalesformalizan “lo posible” . Así, la caracterización delconjunto factible por medio de restricciones (igual-dades o desigualdades algebraicas) que no puedenviolarse en ningún caso, no es en absoluto realista.En efecto, en general es mucho más realista acep-tar que una relajación (violación) del término dela derecha de algunas de las restricciones no afecteseriamente al marco real en el que hemos definidoel problema decisional, máxime cuando dicha rela-jación puede permitir mejoras significativas en losresultados alcanzados por algunos de los criteriosque caracterizan “lo mejor” .

En resumen, las consideraciones anteriores nosllevan claramente a la conclusión de que los centrosdecisores toman sus decisiones definiendo “lo mejor”en base a varios criterios y definiendo “lo posible”a través de condiciones menos rígidas (intervalos,números difusos, restricciones blandas) que las tra-dicionales restricciones. En definitiva, los centrosdecisores cuya racionalidad queda adecuadamentereflejada por el paradigma tradicional son, en gene-ral, entes abstractos cuyo comportamiento se desvíaconsiderablemente del que siguen los centros deci-sores de “carne y hueso” que pueblan el mundo enque vivimos.

3. Los Pioneros de “Carolina del Sur” y el“Rey Midas” : El Nacimiento de un Paradig-ma

Siguiendo la epistemología kuhniana, basada enla siguiente concatenación de acontecimientos:

Paradigma ⇒ Anomalías ⇒ Crisis ⇒Revolución ⇒ Nuevo Paradigma

cabe formularse dos preguntas. La primera, cuán-do comenzó esta “revolución científica” en el campode la Teoría de la Decisión; y la segunda, en quémomento histórico puede decirse que el nuevo pa-radigma fue aceptado por una parte significativa dela comunidad científica, comenzando un periodo de“ciencia normal” en el que se busca la máxima arti-culación del paradigma con la realidad.

En lo referente a la primera pregunta los prece-dentes son los siguientes. En primer lugar, tenemosla adaptación al contexto multicriterio del conceptode optimalidad paretiana, introducido en el cam-po de la economía por Vilfredo Pareto en 1896. Ensegundo lugar, tenemos de nuevo la adaptación al

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contexto multicriterio de las ideas matemáticas so-bre el intercambio económico propuestas en 1881por el británico Francis Edgeworth en su clásico li-bro Mathematical Physics. Más recientemente, de-ben citarse los trabajos de Koopmans (1951) dondese desarrolla el concepto de vector eficiente o no-dominado y de Kuhn y Tucker (1951)1 donde seestablecen las condiciones que garantizan la exis-tencia de soluciones eficientes en un problema deprogramación matemática vectorial o multiobjeti-vo.

Paralelamente a estos resultados, el embrión dela revolución “multicriterio” se complementan conalgunas de las contribuciones de ese “Rey Midas Bi-céfalo” , que formaron el dúo Charnes y Cooper.Permítasenos en este sentido una pequeña digre-sión, como uno de nosotros indica en sus conferen-cias, este dúo de insignes investigadores son como el“Rey Midas” , pues todo lo que tocan lo conviertenen “oro científico” . A título de ejemplo, ellos sonlos creadores, entre otros conceptos y enfoques teó-ricos, de los siguientes: los métodos no paramétricosde regresión, la programación fraccional, la progra-mación con restricciones probabilísticas (“ChanceConstraint Programming” ), la programación pormetas (“Goal Programming” ), el análisis envolven-te de datos (“Data Envelopment Analysis” ), etc.Pues bien, este singular dúo también jugó un papelesencial en la gestación de la “revolución científica”multicriterio. En efecto, en un artículo publicadoen colaboración con Ferguson en 1955 en Manage-ment Science se presenta el embrión de la progra-mación por metas, que posteriormente elaboran enun apéndice de su clásico libro Management Modelsand Industrial Applications of Linear Programming.

Las ideas anteriormente expuestas, que consti-tuyen el embrión del paradigma decisional multicri-terio, fueron desarrolladas por otros investigadoresa lo largo de los años sesenta. Estos esfuerzos cul-minan en 1972 con la celebración en la Universi-dad de Carolina del Sur de la “First InternationalConference on Multiple Criteria Decision Making.”

En dicha conferencia, con una asistencia de unos200 delegados, se presentaron más de sesenta traba-jos. Entre los delegados, se encontraban los auténti-cos pioneros del movimiento multicriterio. Jóvenescientíficos, con edades en torno a los treinta años,y que en su mayoría presentaban resultados deri-vados de sus tesis doctorales, así como figuras yaconsagradas. Estos pioneros de “Carolina del Sur” ,auténticos revolucionarios kuhnianos, conformaronel núcleo del nuevo paradigma multicriterio. Sin serexhaustivos no podemos dejar de citar entre los “Jó-venes Turcos” 2 nombres como los de: Dyer, Ignizio,Ijiri, Keeney, Steuer, Yu y Zeleny y entre las figurasconsagradas a Churchman, Evans, Fishburn, Roy yZadeh. Las contribuciones de estos autores han teni-do un enorme valor seminal, muchos de ellos siguen“productivos” en el campo multicriterio, y sus traba-jos siguen siendo profusamente citados casi cuaren-ta años después. Las actas de la conferencia fueroneditadas por Cochrane y Zeleny (1973), pudiéndosedecir que dicho volumen de actas constituye la acep-tación del paradigma decisional multicriterio como“ciencia normal” .

4. El Paradigma Multicriterio: El periodode Ciencia Normal

En la Conferencia de Carolina del Sur se acor-dó constituir el “Special Interest Group on MultipleCriteria Decision Making” , que en 1979 se convir-tió en la actual “International Society on MultipleCriteria Decision Making” con Stanley Zionts comoprimer presidente. Esta organización tiene en la ac-tualidad unos 1400 socios distribuidos entre aproxi-madamente 90 países. Esta sociedad ha celebrado,con una periodicidad bianual, 18 conferencias. Laúltima conferencia se ha celebrado en Creta (Gre-cia) en junio del 2006.

Compatible con la estructura de la “Internatio-nal Society” , se han creado algunos grupos especia-lizados, entre los que cabe destacar los siguientes.“The European Working Groupo on MulticriteriaDecision Aid” formado en 1975 que celebra reunio-

1Para evitar confusiones conviene aclarar que a lo largo del trabajo nos referimos a dos Kuhn distintos. El primero, esThomas S. Kuhn autor del libro “The Structure of Scientific Revolutions” , y uno de los filósofos de la ciencia más influyentedel siglo XX. El otro, es Harold W. Kuhn actualmente Catedrático Emérito de Economía Matemática en la Universidad dePrinceton, e internacionalmente conocido por su trabajo conjunto con Albert W. Tucker que supuso el inicio de la teoría dela programación matemática no lineal y que constituye uno de los precedentes básicos del paradigma decisional multicriterio.

2Término utilizado para referirse a una serie de jóvenes intelectuales, John Maynard Keynes entre ellos, pertenecientesal King´s College de Cambridge, que en la primera parte del siglo XX iniciaron un movimiento contestario con el fin decambiar las normas victorianas con las que funcionaba el King´s.

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nes de trabajo cada seis meses. “The European Spe-cial Interest Group on Multicriteria Análisis (ESIG-MA)” , formado en 1985 y que suele celebrar susreuniones un día antes o un día después de la “Eu-ropean Conference on Operational Research (EU-RO)” . Finalmente, debe de citarse “The Multiob-jective and Goal Programming Group (MOPGP)”formado en 1994 y que celebra una conferencia ca-da dos años. La última conferencia del MOPGP secelebró en Tours (Francia) en junio del 2006.

Desde la conferencia de los “Pioneros de Caroli-na del Sur” , se ha producido una verdadera eclo-sión de artículos científicos sobre temas multicrite-rio, resultando difícil encontrar un número de al-guna revista del campo de las ciencias de la de-cisión en el que no aparezca algún artículo rela-cionado con el campo multicriterio. Asimismo, sonnumerosas las revistas científicas que han dedicadonúmeros especiales a diferentes temas multicriterio.Entre otras revistas, y sin ser exhaustivos, puedencitarse las siguientes: Agricultural Systems, Annalsof Operations Research, Computers & OperationsResearch, Engineering Costs and Production Eco-nomics, European Journal of Operational Research,Large Scale Systems, Management Science, Mat-hematical Modelling, Naval Research and LogisticsQuaterly, Regional Science and Urban Economics,Socio-Economic Planning Sciences, Water Resour-ces Bulletin y un largo etcétera.

El indiscutible éxito y apoyo sociológico por par-te de la comunidad científica al paradigma multi-criterio condujo en 1992 a la aparición de la revistaJournal of Multi-Criteria Decision Analysis, publi-cada por John Wiley and Sons y con Simon Frenchcomo primer editor. Cabe preguntarse sobre la ra-cionalidad que subyace a la publicación de una re-vista científica exclusivamente dedicada a temas denaturaleza multicriterio. En efecto, con la apariciónde una revista con estas características es como siaceptáramos la existencia de dos entornos decisio-nales diferentes: el monocriterio y el multicriterio,lo que parece entrar en contradicción con los ar-gumentos que hemos desarrollado hasta ahora. Enefecto, tal como uno de los clásicos del multicriterioafirma “No decision-making occurs unless at leasttwo criteria are present. If only one criterion exists,mere measurement and search suffice for making achoice” (Zeleny, 1982 página 74). En definitiva, pue-de afirmarse que la teoría de la decisión monocrite-

rio constituye un “viejo” paradigma superado porel nuevo enfoque multicriterio. El “viejo” enfoquepuede reducirse al nuevo paradigma como un ca-so particular del mismo. En cualquier caso, la tasade crecimiento científico del paradigma multicrite-rio durante su periodo de ciencia normal, no tieneparangón en el campo de las ciencias de la decisión oen disciplinas próximas. Basta citar en este sentido,el trabajo de Steuer et.al. (1996) donde se categori-zan para el periodo 1987-1992 más de 1200 artícu-los en revistas científicas sobre teoría de la decisiónmulticriterio. “Surveys” más recientes, como el rea-lizado por Ehrgott y Gandibleux (2002) muestra noya sólo un mantenimiento, sino un reforzamiento delparadigma multicriterio.

5. El paradigma Multicriterio: PrincipalesRamas o Enfoques

Una posible aproximación definitoria de la teoríade la Decisión Multicriterio, no atribuible a ningúnautor en concreto, sino al “sentido común multicri-terio” podría ser la siguiente:

Conjunto de métodos matemáticos y técnicasde computación que tienen como propósito expli-cativo, normativo o prescriptivo evaluar un nú-mero finito y explícito (caso discreto) o infinito(caso continuo) de alternativas en base a un nú-mero finito de criterios.

La anterior definición deliberadamente ambiguaes compatible con numerosos enfoques o métodosde naturaleza multicriterio. En lo que queda de es-te apartado se van a exponer los rasgos básicos delos enfoques multicriterio que han sido más estu-diados y aplicados en los aproximadamente últimoscuarenta años.

La idea que marca el paradigma multicriterio escontemplar y analizar las opciones disponibles (al-ternativas) desde diversos puntos de vista, es decir,con distintos criterios, con los cuales valoramos di-chas opciones para poder compararlas y obtener las“mejores” . En este contexto, hay que tener en con-sideración el interés del decisor, en cuanto a lo quepara él significa tomar la “mejor” decisión.

Esta decisión, en muchas de las ocasiones, es unasolución dominante, también denominada eficienteu óptimo de Pareto. Se trata de aquellas alternati-vas en las que, si se puede mejorar el valor de algúncriterio de los considerados, forzosamente hay algún

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otro que se empeora, es decir, una alternativa es unasolución eficiente si no se pueden mejorar o mante-ner simultáneamente todos los criterios. La cuestiónes cómo encontrarlas y, por otra parte, dado quenormalmente existirán muchas, cómo escoger una oun grupo reducido de las mismas según el interésdel decisor.

La forma de abordar esta búsqueda difiere de-pendiendo del problema en estudio, discreto o con-tinuo, pues aunque en ambos casos podemos buscarel mismo tipo de soluciones, las técnicas utilizadaspara su búsqueda son muy diferentes. Si lo que sedesea es la determinación del conjunto de solucioneseficientes, la información necesaria que debe apor-tar el decisor es escasa y consistirá en expresar deuna forma explícita las acciones posibles a realizar(alternativas), los condicionamientos del problema(restricciones a tener en cuenta) y los objetivos opuntos de vista mediante los cuales deberán valo-rarse nuestras posibles acciones.

Si la información aportada por el decisor es es-casa, también será escasa la precisión sobre la solu-ción preferida por él, y así, en general, el conjuntode soluciones dominantes será un conjunto amplio, eincluso, infinito, en el caso de problemas continuos.

Para delimitar la solución que más se aproxi-ma a las preferencias del decisor, éste debe revelarinformación sobre dichas preferencias con el fin deobtener alguna forma de comparar aquellas alterna-tivas eficientes, que en principio no son comparablesentre si.

Los enfoques para la resolución pueden ser va-riados, pero en general, se intenta agregar toda lainformación asociada a una alternativa. Esta agre-gación de todos los criterios en una única valoraciónse puede llevar a cabo mediante diversos métodos,algunos válidos para problemas discretos, otros paraproblemas continuos y algunos para cualquier tipode problemas, pero sí es único el sentido de la tareaque se desea realizar: valorar todas las alternativasde acuerdo a las preferencias del decisor y obteneraquella solución que mejor se adapte a dichas pre-ferencias.

El primero de los enfoques que citaremos es laTeoría de la Utilidad Multiatributo (Keeney y Raif-fa, 1976), en la que se intenta obtener, mediante in-formación suministrada por el decisor, la forma demedir la utilidad que, para cada criterio, le apor-tan las distintas alternativas, para posteriormente

obtener una valoración de la utilidad agregada detodos los criterios. Esta forma de valoración suelellevarse a cabo mediante funciones aditivas, multi-plicativas o de tipo polinomial, siendo las funcionesaditivas las más usuales, aunque son las más exi-gentes en cuanto a las condiciones necesarias parasu utilización.

Otro enfoque es aquel en el cual, con el fin de po-der comparar mejor las alternativas, y especialmen-te las eficientes, se introducen las denominadas Re-laciones de Sobreclasificación. En este ámbito, ca-be destacar los métodos ELECTRE (Roy, 1968) yPROMETHEE (Brans et al., 1984), basados en laidea de que una acción supera a otra si es mejor pa-ra muchos puntos de vista y no es sustancialmentepeor para ninguno de ellos, donde la imprecisión delos términos de dicha afirmación debe ir concretadaa través de la información revelada por el decisor.

Otros métodos se basan en obtener la valoraciónde las alternativas, según cada punto de vista, me-diante preguntas al decisor por comparación entrepares de acciones, además de permitir una estruc-tura jerárquica de los puntos de vista o criteriosconsiderados. Este enfoque es denominado ProcesoAnalítico Jerárquico (Saaty, 1980).

En el caso de problemas continuos, los enfoquesen la metodología están muy marcados por el gradode interconexión con el decisor a lo largo del procesopara llegar a la mejor solución. Así, si la informaciónúnicamente viene marcada por las condiciones delproblema y los objetivos, junto con su valoración,lo más que podemos aspirar es a la determinaciónde la frontera eficiente, pero estando formada éstanormalmente por un conjunto infinito o muy nu-meroso, debe ser requerida una mayor información,para una búsqueda adecuada.

Así, en primer lugar, surgen dos enfoques comoson la Programación Compromiso y la Progra-mación por Metas. La Programación Compromiso(Yu., 1973, 1985 y Zeleny, 1974, 1982) intenta de-terminar aquella solución eficiente que más se apro-xima al punto ideal, (aquella situación donde ob-tendríamos lo mejor para cada criterio, que, comotal punto ideal, siempre es inalcanzable). En estecontexto, el decisor deberá aportar como informa-ción adicional la importancia relativa para que cadacriterio se aproxime a su correspondiente ideal.

Por otra parte, si la mejor decisión para el de-cisor se basa inicialmente en alcanzar una solución

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que verifique unos umbrales, o niveles de aspiraciónespecificados por él, para los distintos criterios, nosencontramos con el segundo enfoque, la Programa-ción por Metas (Charnes, Cooper y Ferguson, 1955,Charnes y Cooper, 1961). Este planteamiento pue-de considerarse como la dimensión operativa de lalógica “satisfaciente” propuesta por el Nóbel Simon,dentro de una teoría de la racionalidad acotada. Es-te enfoque lo que busca es el cumplimiento de dichosumbrales o niveles de aspiración, que, en algunos ca-sos se tratarán de superar, mientras que en otros sepretenderán no exceder, dependiendo de los crite-rios. Además, en aquellas situaciones donde estosumbrales no se puedan alcanzar, se tratará de de-terminar aquella situación que esté lo más próximaa los mismos, para lo cual, existen diversas formasde acercarnos a la elección final, dependiendo de lautilidad del decisor en el cumplimiento de sus um-brales. Por el contrario, si estos niveles son alcan-zables se puede ir más allá tratando de encontraraquellas alternativas que además sean eficientes.

El último enfoque que comentaremos, aunqueexisten muchos más, teniendo en consideración queeste paradigma intenta aproximarse a los proble-mas y a su resolución, corresponde a los métodosinteractivos, que, como su nombre indica, mantie-nen una interacción permanente con el decisor sobresituaciones concretas, obtenidas a partir de la infor-mación aportada por el decisor, y sobre ellas, y portanto de manera local, el decisor vuelve a aportarinformación sobre sus preferencias, bien sobre lasponderaciones locales, bien sobre los niveles a con-seguir, o bien por la elección de las alternativas quele han sido presentadas. Mediante este procedimien-to interactivo e iterativo, nos vamos aproximando ala solución buscada por dicho decisor.

6. El Grupo Español de Multicriterio

La aportación española al movimiento multicri-terio es claramente relevante. Puede afirmarse, sin“delirios de grandeza” , pero a la vez sin “falsas mo-destias” que la participación española en la comen-tada tarea es objetivamente más que notable. Enefecto, en cuanto a número de socios en la “Inter-national Society” , porcentaje de publicaciones enrevistas científicas (i.e., revistas SCI y SSCI) y ci-tas externas, España ocupa la segunda posición pordetrás de Estados Unidos. Así, en las últimas esta-dísticas de la “International Society” el número de

socios españoles es de 81, claramente por delantede países como Alemanía, Francia o Gran Bretaña.Una prueba más del reconocimiento “español” porparte de la “International Society” , es la recienteconcesión a uno de los autores de este artículo dela medalla “Georg Cantor” , que es una de las másaltas distinciones concedidas en el mundo muticri-terio. En pocas palabras, no parece atrevido afirmarque este campo disciplinar, en España, goza de unasalud científica equiparable con el de los mejores.

Los investigadores españoles en el campo “mul-ticriterio” proceden fundamentalmente de la econo-mía, de la ingeniería y de la matemática, reflejandoel carácter pluridisciplinar que tienen las ciencias dela decisión. Por otra parte, la vertebración españolaen el “multicriterio” se ha ido realizando paulatina-mente desde comienzos de los años 80. Este pro-ceso de vertebración culminó orgánicamente con lacreación del “Grupo Español Multicriterio” en Abrilde 1996. Los primeros coordinadores del grupo fue-ron Sixto Ríos Insúa y Rafael Caballero, seguidosde Jacinto González-Pachón y Gabriela Fernández-Barberis, que en la actualidad es la coordinadorajunto con Emilio Carrizosa. El “Grupo Español” ,con el apoyo financiero del Ministerio de Educacióny Ciencia, ha creado una red temática de “decisio-nes multicriterio” . Bajo esta red se han realizadodiferentes reuniones de trabajo que han fortaleci-do la cohesión entre los investigadores españoles eneste campo. El “Grupo Español” preocupado, entreotras cosas, por el lado aplicado del “Multicriterio”ha publicado recientemente el libro “La aventura dedecidir: una aproximación científica mediante casosreales” , en el que 38 autores pertenecientes a 10 uni-versidades españolas, presentan experiencias realesen campos diversos como la sanidad, la educación,las finanzas, el medio natural y un largo etcétera.

Por el lado teórico, y sin ánimo de ser exhausti-vo, los miembros del “Grupo Español” han realizadocontribuciones relevantes reconocidas internacional-mente en las siguientes ramas del “Multicriterio” :Enfoques interactivos multicriterio, Juegos vecto-riales, Métodos de sobreclasificación (ELECTRE,PROMETHEE), Negociación y democracia elec-trónica, Proceso analítico jerárquico (AHP), Pro-gramación compromiso, Programación multicriteriodifusa, Programación multiobjetivo, Programaciónpor metas y Teoría de la utilidad con atributos múl-tiples.

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Asimismo, es de destacar las intensas relacio-nes internacionales que mantienen los miembros del“Grupo Español” con investigadores de “élite” en es-te campo. Relaciones que no consisten sólo en quelos investigadores españoles “visiten” a los investiga-dores de “élite” , sino que, en muchos casos, son estosinvestigadores los que realizan visitas y estancias enlos “centros españoles” (a título exclusivamente in-dicativo se pueden citar los casos de M. Ehrgott, X.Gandibleux, J. Ignizio, D. Jones, P. Korhonen, K.Miettinen, I. Stancu-Minasian, R. Steuer, A. Wein-traub, J.B. Yang, etc.).

7. Una observación Final

Permítasenos finalizar con un pequeño comenta-rio a mitad de camino entre la metáfora y la ironía.El paradigma multicriterio nos recuerda a ese grancarácter de la literatura, el falstaffiano Ignatius JReilly. En efecto, su “vestimenta” , sus “opiniones”son algo abstrusas, pero son aceptables según lasnormas teológicas y geométricas (es decir, según elcomportamiento real de los seres humanos) y sugie-re ¡una rica vida interior!

Tal vez el paradigma multicriterio no haya lo-grado alcanzar plenamente sus metas-bastante am-biciosas por otra parte- ahora bien, se trata de untema crucial en el que, quedando mucho por hacer,hemos depositado grandes esperanzas intelectuales.

Agradecimientos

Son ya muchos los años en los que hemos coin-cido con los “amigos” del “Grupo Español” en innu-merables congresos y conferencias por España y pormedio mundo. Agradecemos a todos ellos su apo-yo, sus comentarios, sus ideas y lo que es lexicográ-ficamente más importante su amistad. Finalmen-te, agradecer a Luis Díaz-Balteiro, Trinidad GómezNúñez y Jacinto González-Pachón los comentariosy mejoras del presente texto.

Referencias

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[2] Charnes A., and Cooper W. (1961). Mana-gement Models and Industrial Applications of

Goal Programming, John Wiley and Sons, Nue-va York.

[3] Charnes A., Cooper W., and Ferguson R.(1955). Optimal estimation of executive com-pensation by linear programming. ManagementScience, 1, 138-151.

[4] Cochrane J.L., and Zeleny, M. (editores). Múl-tiple Criteria Decision Making, University ofSouth Carolina Press, Columbia.

[5] Ehrgott E., and Gandibleux X. (2002).Multicri-teria Optimization: State of the Art AnnotadedBibliographic Survey, Kluwer Academic Press,Bostón.

[6] Fernández, F.R., Caballero, R., and Romero,C. (Coordinadores). La aventura de decidir:una aproximación científica mediante casos rea-les. (Red Temática de Decisiones Multicriterio),Universidad de Málaga, Málaga.

[7] Keeney R.L., and Rafia H. (1976, segunda edi-ción 1993). Decisions with Multiple Objectives:Preferences and Values Trade-Offs, John Wileyand Sons, Nueva York.

[8] Roy B. (1968). Classement et choix en présencede points de vue multiples (La méthode ELEC-TRE). Revue Francais dÍnformatique et de Re-cherche Opérationelle, 6, 57-75.

[9] Saaty T.L. (1980). The Analytic Hierarchy Pro-cess, McGraw-Hill, Nueva York.

[10] Steuer R.E., Gardiner L.R., and Gray J.(1996). A bibliographic survey of the activitiesand international nature of multiple criteria de-cision making. Journal of Multi-Criteria Deci-sion Analysis, 5, 195-217.

[11] Yu P.L. (1973). A class of solutions for groupdecision problems. Management Science, 19,936-946.

[12] Yu P.L. (1985). Multiple Criteria Decision Ma-king: Concepts, Techniques and Extensions, Ple-num Press, Nueva York.

[13] Zeleny M. (1974). A concept of compromise so-lutions and the method of the displaced ideal.Computers and Operations Research, 1, 479-496.

[14] Zeleny M. (1982). Multiple Criteria DecisionMaking, McGrwaw-Hill, Nueva York.

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EL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN VECTORIALCONCEPTOS DE OPTIMALIDAD

Vicente Novo SanjurjoDepartamento de Matemática Aplicada

Universidad Nacional de Educación a Distancia

1. Introducción

La necesidad de resolver problemas de optimi-zación se presenta frecuentemente en cualquier ac-tividad técnica o científica. El creciente y constantedesarrollo tecnológico ha producido un considerableaumento en el número y complejidad de este tipo deproblemas, lo que ha motivado el estudio de teoríasmatemáticas conducentes a su resolución (un buenejemplo es la teoría de subdiferenciación de funcio-nales convexos).

Esta necesidad de marcos cada vez más genera-les ha conducido a los problemas de OptimizaciónVectorial. Las aplicaciones de la Optimización Vec-torial son muy diversas y cubren desde las más natu-rales a la Programación Vectorial y Multiobjetivo (omulticriterio), a otras muchas en Estadística (teo-ría de test de hipótesis, soluciones bayesianas, ma-trices de covarianza minimales), Teoría de Juegos(juegos cooperativos), Análisis Funcional (teoremade Hahn-Banach, lema de Bishop-Phelps, principiosvariacionales tipo Ekeland) etc. (véase [18]). En losúltimos años se ha empezado a trabajar en proble-mas de optimización con multifunciones y en el de-sarrollo de una teoría de optimización de conjuntos.

Esta nota, que sólo pretende ser una breve intro-ducción a la Optimización Vectorial, se estructuraen tres secciones. En la sección 2 se formulan losproblemas (para el caso de minimales), con especialatención a los programas vectoriales y multiobjeti-vo, y se comentan los antecedentes. En la sección3 se presentan los conceptos de optimalidad y unamuestra de resultados básicos en este campo.

2. Formulación del problema y anteceden-tes

En un problema de optimización vectorial(POV) se estudian los elementos minimales de unsubconjunto no vacío E de un espacio vectorial par-cialmente ordenado Y . Nótese que, en principio, nose requiere estructura topológica para formular elproblema, de forma que, una línea moderna de in-vestigación consiste en sustituir los conceptos topo-

lógicos por conceptos algebraicos, por ejemplo, elinterior topológico se sustituye por el interior alge-braico o core (véase [1] y [18]).

La estructura de preferencia en Y se define pormedio de un cono como sigue. Sea D ⊂ Y un cono(αD ⊂ D, ∀α ≥ 0), y consideremos la siguiente re-lación binaria en Y . Dados x, y ∈ Y ,

y ≤ x ⇔ y − x ∈ −D.

Se dice que D es puntiagudo (pointed) si D ∩(−D) = {0}, que es agudo si clD es puntiagudoy, en espacios vectoriales topológicos (e.v.t), que essólido si intD 6= ∅.

Si D ⊂ Y es un cono convexo y ≤ la relaciónbinaria definida anteriormente, se verifica que:(i) ≤ es reflexiva,(ii) ≤ es transitiva,(iii) ≤ es compatible con la estructura vectorial deY (para todo x, y, z ∈ Y y todo α ∈ R+, se verificaque x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z y αx ≤ αy),(iv) si además D es puntiagudo, entonces ≤ es an-tisimétrica.

En consecuencia, un cono convexo induce en Y

un preorden parcial, compatible con la estructuravectorial, que nos permitirá definir los conceptos deoptimalidad en optimización vectorial. Nótese quesi D es puntiagudo se tiene un orden parcial, y quela diferencia esencial con los problemas escalares esque existen elementos que no son comparables.

Las aplicaciones más naturales de las técnicasde optimización vectorial se encuentran en la reso-lución de los programas vectoriales que se formulancomo sigue: Sean X, Y , W y Z espacios vectoriales,f : X → Y, g : X → W, h : X → Z, M ⊂ X, ylos espacios Y y W dotados de un preorden parcialdefinido, respectivamente, por los conos convexosD ⊂ Y y P ⊂ W . Un programa vectorial (PV) es:

Min {f(x) : x ∈ M},y se tiene un programa vectorial con restricciones(PVR) si S = {x ∈ X : g(x) ∈ −P, h(x) = 0},Q ⊂ X y M = S∩Q. Este programa es multiobjeti-vo (PMO) si X = Rn, Y = Rp, W = Rm y Z = Rr,

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en cuyo caso se puede trabajar con las funcionescomponentes de f , g y h que denotaremos, respec-tivamente, por fi con i ∈ I = {1, . . . , p}, gj conj ∈ J = {1, . . . , m} y hk con k ∈ K = {1, . . . , r}. Sien el PMO se considera el orden de las componen-tes (D = Rp

+), se tiene el problema multiobjetivoPareto y si p = 1 se tiene un programa escalar.

En los últimos años se está empezando a traba-jar en otra extensión de este tipo de problemas, losprogramas vectoriales con multifunciones (la fun-ción objetivo valora en partes de Y que denotamospor 2Y ). Sean F : X → 2Y y G : X → 2W .

Programa vectorial con multifunciones:General (PVM): Min{F (x) : x ∈ M}.Con restricciones (PVMR): si M = S ∩ Q y

S = {x ∈ X : G(x) ∩ (−P ) 6= ∅}.En este tipo de problemas con multifunciones

aparece una dificultad añadida al perderse la es-tructura de espacio vectorial en el espacio objetivo.

Tradicionalmente, en las ciencias, las buenas de-cisiones se basaban en un único criterio, sin embar-go, en campos como la política, la economía, los ne-gocios, las ciencias sociales, la ingeniería o la indus-tria es habitual considerar múltiples aspiraciones uobjetivos, a veces enfrentados, con lo que se hace ne-cesario el estudio de técnicas de decisión basadas enun número finito de objetivos (programación mul-tiobjetivo) o incluso en un número no finito (pro-gramación vectorial). El gran interés que ha desper-tado este campo de trabajo en las últimas décadasqueda reflejado en el trabajo de White [32] que dauna relación de más de 500 trabajos que describendiferentes aplicaciones en el caso multiobjetivo.

El primer tratado de un problema de optimiza-ción multiobjetivo fue dado por el economista po-lítico F.Y. Edgeworth (1845-1926) en su obra Mat-hematical Psychics (1881). Otro economista, V.F.D.Pareto (1848-1923), en su obra Manuale di Econo-mia Política (1896), extendió la teoría y proporcio-nó condiciones necesarias para lo que hoy denomi-namos óptimos de Pareto. El concepto de multicri-terio también fue tratado por otros autores en elmarco de la teoría de juegos, es el caso de variostrabajos de Borel en los años 20, de Von Neumanno de la obra clásica de éste último y Morgenstern,Theory of Games and Economic Behavior (1943).Sin embargo, el primer tratamiento matemático for-mal de un problema de programación vectorial enespacios de dimensión finita se encuentra incluido

en el célebre trabajo sobre programación no linealde Kuhn y Tucker [23] de 1951, y el primero en elcaso general de los programas vectoriales fue dadopor otro economista L. Hurwitz en 1958.

El primer resultado sobre condiciones de opti-malidad, para un programa multiobjetivo Paretocon restricciones de desigualdad, fue dado por Kuhny Tucker ([23], teorema 4) utilizando el lema de Far-kas. Es obligado indicar que este resultado ya habíasido establecido por Karush, en 1939, en su tesisdoctoral bajo la dirección de Graves. La razón desu falta de difusión es que, en aquel momento, elcentro de interés era el cálculo de variaciones y nose podía prever el potencial de aplicaciones que ten-dría. Sin embargo, el trabajo de Kuhn y Tucker tuvoun gran impacto ya que se publicó después del de-sarrollo por Dantzig del algoritmo simplex, lo quehabía despertado gran interés por los programas conrestricciones de desigualdad.

A partir del trabajo de Kuhn y Tucker, se ha tra-tado de extender sus resultados a situaciones másgenerales, bien incluyendo otro tipo de restriccio-nes o espacios más generales, o bien relajando lascondiciones de regularidad o el tipo de óptimo. Eldesarrollo, en paralelo, de las diferentes teorías dediferenciación generalizada, ha permitido tratar, enlas últimas décadas, problemas de programación es-calar con funciones o condiciones no diferenciablesque, en los últimos años, se han extendido a los pro-gramas vectoriales.

Formulado el problema, las cuestiones más rele-vantes son:

1. ¿Bajo qué condiciones podemos asegurar laexistencia de solución? Teoremas de existencia deminimales.

2. ¿Qué condiciones (necesarias y/o suficientes)verifican las soluciones? Condiciones de optimali-dad.

3. ¿Cómo podemos determinar estas solucionescuando existan? Métodos y técnicas de búsqueda desoluciones.

3. Conceptos de optimalidad o eficiencia

En esta sección se introducen los diferentes con-ceptos de solución minimal o eficiente de un proble-ma de optimización vectorial y se comentan algunaspropiedades de estas soluciones. Se dan las defini-ciones para el problema POV ya que luego se trasla-dan de forma inmediata a los programas vectoriales

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haciendo E = f(M). En los problemas de optimi-zación vectorial se han ido considerando diferentesconceptos de optimalidad como son los de elementosminimales, minimales ideales, propiamente minima-les, débilmente minimales, estrictamente minimaleso ε-minimales.

Definición 3.1. y0 ∈ E es minimal ideal de E

si y0 ≤ y para todo y ∈ E.Definición 3.2. y0 ∈ E es eficiente o minimal

de E si no existe y ∈ E, y 6= y0, tal que y ≤ y0. Sedenota y0 ∈ Min(E, D).

Esta definición es equivalente a las siguientes:(i) no existe y ∈ E, tal que y0 ∈ y + D \ {0}.(ii) (E − y0) ∩ (−D) = {0}.En la definición conjuntista (ii) aparece clara-

mente visible que los teoremas de separación deconjuntos y los teoremas de alternativas serán he-rramientas básicas para obtener las condiciones deoptimalidad.

Si Y es un e.v.t. y la condición anterior se verifi-ca en un entorno del punto, se tiene el concepto desolución minimal o eficiente local, es decir, y0 ∈ E

es minimal local de E, si existe un entorno V dey0, tal que ((E ∩ V )− y0)∩ (−D) = {0}. Se denotay0 ∈ Minl(E, D).

Si se sustituye D por su interior (en este caso sesupone D sólido), se tienen los conceptos de eficien-cia débil.

Definición 3.3. (i) y0 ∈ E es minimal dé-bil de E si (E − y0) ∩ (−intD) = ∅. Se denotay0 ∈ Mind(E, D).(ii) y0 ∈ E es minimal local débil de E si existe unentorno V de y0, tal que ((E∩V )−y0)∩(−intD) =∅. Se denota y0 ∈ Minld(E, D).

Nótese que si D no es sólido, todo elemento deE es minimal débil, con lo que este concepto carecede interés para conos que no sean sólidos.

Uno de los problemas que presenta la optimiza-ción vectorial es que, a menudo, el conjunto de solu-ciones es muy amplio, lo que ha llevado a muchos in-vestigadores a introducir los diferentes conceptos deeficiencia propia con objeto de seleccionar algunasde las soluciones eficientes. La primera noción de efi-ciencia propia fue introducida por Kuhn y Tucker[23] y modificada posteriormente por Geoffrion [8].Otros autores han introducido otros conceptos deeficiencia propia, tal vez los más consolidados seanlos de Benson [2], Borwein [3] y Henig [14]. Se tra-ta de eliminar soluciones eficientes con propiedades

no deseables, es decir, de alguna manera depurar elconjunto de soluciones eficientes, seleccionando só-lo algunas que presenten mejores propiedades, enalgún sentido a precisar.

Definición 3.4 (Geoffrion [8]). x0 ∈ M es pro-piamente eficiente del PMO Pareto si es eficientey existe k > 0 tal que para todo i ∈ {1, . . . , p} ytodo x ∈ M que verifique que fi(x) < fi(x0), existej ∈ {1, . . . , p} tal que

fj(x0) < fj(x), fi(x0)−fi(x)fj(x)−fj(x0)

≤ k.

Definición 3.5. y0 ∈ E es propiamente eficien-te en el sentido de

(i) Borwein [3] siT (E + D, y0) ∩ (−D) = {0}.(ii) Benson [2] siclcono(E + D − y0) ∩ (−D) = {0}.(iii) Henig [14] six0 ∈ Min(E, D′) para algún cono convexo D′ tal

que D \ {0} ⊂ intD′.En la definición de Geoffrion la idea es que, si al

pasar de una solución a otra se gana un poco en unobjetivo a costa de perder mucho en los otros, noparece adecuado aceptar la segunda solución fren-te a la primera. El concepto de Geoffrion es válidopara el caso multiobjetivo. En las definiciones deBorwein y Benson, ya válidas para el caso vectorial,se sustituye el conjunto a estudio por algún conjun-to que lo aproxime. Benson utiliza la clausura delcono generado y Borwein considera el cono tangen-te (de Bouligand) en espacios normados dado por:T (E, y0) = {y ∈ Y : ∃tn → 0+, ∃yn ∈ E tales quelım

n→∞t−1n (yn − y0) = y}.

Se demuestra que toda solución propia Bensones propia Borwein y que estos conceptos coincidenpara conjuntos convexos. Henig considera un conoconvexo que contenga a D \{0} en su interior. Paraun estudio detallado de estos conceptos puede verse,por ejemplo, [30] y [7].

Si denotamos por Minp(E, D) las solucionespropias, en cualquier sentido, se tiene que:

Minp(E, D) ⊂ Min(E, D) ⊂ Mind(E, D).Un concepto muy utilizado en optimización es-

calar es el de mínimo estricto de orden k (véaseHestenes [17]) que ha sido extendido por Jiménez[19] a los programas multiobjetivo y vectoriales. Eneste caso, este concepto, adquiere un especial interésya que se puede considerar como un nuevo concep-to de eficiencia propia. En Jiménez, Novo [20, 21],se desarrolla una teoría de minimales estrictos de

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orden k para programas vectoriales.Definición 3.6 (Jiménez [19]). Sea k ≥ 1 un

número entero. x0 ∈ M es un minimal local (resp.global) estricto de orden k del problema PV en es-pacios normados, si existen una constante α > 0 yun entorno U de x0 (resp. U = X) tales que, paratodo x ∈ M ∩ U \ {x0}:

(f(x) + D) ∩B(f(x0), α‖x− x0‖k) = ∅.En la actualidad está ampliamente reconocido

que el concepto de ε-eficiencia o solución aproxima-da ocupa un papel importante, tanto en el desa-rrollo teórico de la optimización vectorial como ensus aplicaciones. En los problemas de optimizaciónescalar las soluciones ε-óptimas tienen un significa-do claro, ya que se trata de puntos x0 ∈ M queverifican la siguiente condición (ε ≥ 0)

infx∈M{f(x)} ≤ f(x0) ≤ infx∈M{f(x)}+ ε.

En optimización vectorial, la noción de soluciónaproximada o ε-eficiente se ha definido de diferen-tes formas que no son equivalentes. Sean ε ∈ R+,q ∈ D\{0} y ϕ : Y → R estrictamente creciente(y1, y2 ∈ Y , y1 − y2 ∈ −D\{0} ⇒ ϕ(y1) < ϕ(y2)).

Definición 3.7. Se considera el problema PV.(i) (Kutateladze [25]). x0 ∈ M es una solución

ε-eficiente si (f(M)−(f(x0)−εq))∩(−D\{0}) = ∅.(ii) (Tanaka [31]). Consideremos que Y es un

espacio normado y denotemos por B la bola abiertaunidad en Y . x0 ∈ M es una solución ε-eficiente si(f(M)− f(x0)) ∩ (−D) ⊂ εB.

(iii) (Dentcheva y Helbig [6]). x0 ∈ M es una so-lución ε-eficiente si x ∈ M, f(x) − f(x0) ∈ −D ⇒ϕ(f(x0)) ≤ ϕ(f(x) + εq).

En Gutiérrez et al. [11, 12] se introduce unanoción que unifica los diferentes conceptos de so-lución aproximada en optimización vectorial.

El tratamiento de los problemas de optimizaciónvectorial con multifunciones se ha abordado por me-dio de dos criterios, el criterio vectorial que consisteen reducir el problema a uno de optimización vec-torial, y el criterio conjuntista que parece el másnatural y consiste en utilizar ordenes conjuntistasen el conjunto de partes de Y .

Criterio vectorial: Se estudian los puntos eficien-tes del conjunto F (M) = ∪x∈MF (x) con respectoal preorden parcial definido en Y .

Criterio conjuntista: Se estudian los conjuntoseficientes de la familia {F (x) : x ∈ M} con respectoa un preorden parcial ¹, definido entre subconjun-tos no vacíos de Y , es decir, se utilizan preordenes

en el conjunto de partes de Y . Por ejemplo, dadosA,B ⊂ Y no vacíos A ¹ B ⇔ B ⊂ A + D (véase,por ejemplo, [24] y [16]).

Por último y una vez definidos los conceptos deoptimalidad, aunque sea de forma incompleta, sepresenta una muestra de resultados básicos referidosa las tres líneas de trabajo indicadas anteriormen-te: Condiciones de existencia o teoremas de Weiers-trass vectoriales (teoremas 3.8 y 3.9), condicionesde optimalidad (teorema 3.10) y a una de las téc-nicas usuales de búsqueda de soluciones como es latécnica de escalarización (teorema 3.11).

Sean Y un espacio vectorial topológico separadoy E ⊂ Y . Dado y0 ∈ E, llamaremos sección de E

en y0 al conjunto Ey0 = {y ∈ E : y0 − y ∈ D}.Teorema 3.8 (Borwein [4]). Sea D un cono con-

vexo y cerrado. Si existe y0 ∈ E tal que Ey0 es novacía y compacta, entonces Min(E, D) es no vacío.

E es D-semicompacto si cualquier recubrimien-to de E de la forma {(yα − clD)c : α ∈ I, yα ∈ E}admite un subrecubrimiento finito.

Teorema 3.9 (Corley [5]). Si D es agudo y E esD-semicompacto, entonces Min(E, D) es no vacío.

Naturalmente que en el caso de los programasvectoriales se han de imponer condiciones al con-junto factible y a la función objetivo. Un estudiobastante completo sobre condiciones de existenciade minimales puede verse en [26] y [10].

Como muestra de las condiciones de optimali-dad, se enuncia una regla de multiplicadores pa-ra un programa multiobjetivo con restricciones deigualdad y de desigualdad y funciones de clase C1.

Teorema 3.10. Si x0 ∈ M es un mínimo localdébil de PMOR Pareto, entonces existen (λ, µ, ν) ∈Rp × Rm × Rr tales que(λ, µ) ≥ 0,

µjgj(x0) = 0 j = 1, . . . , m,p∑

i=1

λi∇fi(x0)+m∑

j=1

µj∇gj(x0)+r∑

k=1

νk∇hk(x0) = 0.

Si (λ, µ, ν) 6= 0 la regla es de tipo Fritz John, siλ 6= 0 es de tipo Kuhn-Tucker y si λ > 0 es de ti-po Kuhn-Tucker fuerte. En 1788, Lagrange obtuvola primera regla de multiplicadores sólo con restric-ciones de igualdad para el caso escalar, y casi 200años después, en 1967, Mangasarian y Fromovitz[28] establecen reglas de multiplicadores, tanto detipo Fritz John como de tipo Kuhn-Tucker, para elproblema multiobjetivo con ambos tipos de restric-ciones. En los últimos años estas reglas de multi-

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plicadores se han extendido al caso vectorial y concondiciones de diferenciabilidad más débiles. Otrotema de gran interés, en este campo, es el estudiode las cualificaciones de restricciones o condicionesde regularidad que se han de imponer para obtenerreglas de tipo Kuhn-Tucker (véase, por ejemplo, [27]y [9]).

En relación con las técnicas de resolución de losprogramas vectoriales, sin duda la técnica de escala-rización ocupa el lugar central. Esta técnica consisteen estudiar los elementos minimales del PV por me-dio de una familia de problemas escalares asociadosa PV como sigue. Dado un PV y ϕ : Y → R, alvariar ϕ se tiene la familia de programas escalares

Min{(ϕ ◦ f)(x) : x ∈ M}.El problema está en analizar el tipo de funcio-

nales de escalarización ϕ que nos permitan asegurarque una solución del programa escalar es solución(de algún tipo) del PV, y viceversa. Un resultadoclásico en el caso multiobjetivo es el siguiente.

Teorema 3.11. Consideremos el PMO Paretoy asociado a éste la familia de problemas escalares

Min {∑pi=1 αifi(x) : x ∈ M}

Cada solución de este programa escalar, conα1, . . . , αp > 0, es propiamente minimal Geoffriondel PMO.

En general, en el caso de los programas vectoria-les, se ha empezado trabajando con escalarizacionesdefinidas por elementos del polar positivo del conode orden, pero también se está trabajando con es-calarizaciones no lineales y no convexas dadas porotro tipo de funcionales, como pueden ser los fun-cionales de tipo max o algunas generalizaciones delfuncional de Minkowski que han de verificar algu-na propiedad de monotonía generalizada (véase, porejemplo, [13], [16]).

4. Conclusiones

En esta nota se presenta una breve introduccióna la Optimización Vectorial, campo en fuerte desa-rrollo en la actualidad, debido al interés teórico delproblema y sobre todo a su gran potencial de apli-caciones. En este momento se sigue trabajando en elestudio de condiciones de optimalidad para proble-mas de optimización vectorial, tanto diferenciablescomo no diferenciables, utilizando derivadas genera-lizadas o conjuntos aproximadores [22] y, a menudo,con algún tipo de convexidad generalizada [1], y seha iniciado el estudio de las nociones de solución de

un programa vectorial con multifunciones [15] y delos problemas de optimización de conjuntos [24].

Agradecimientos: Agradezco a los profesoresB. Jiménez, C. Gutiérrez y E. Hernández la revisiónde este trabajo y sus comentarios y sugerencias. Eltrabajo ha sido parcialmente subvencionado por elMinisterio de Ciencia y Tecnología a través del pro-yecto BFM2003-02194.

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ARTÍCULOS DE APLICACIÓN

3. ARTÍCULOS DE APLICACIÓN

TARIFICACIÓN DEL SEGURO DEL AUTOMÓVIL: MÉTODOS DEANÁLISIS MULTIVARIANTE

Eva Boj del ValDepartamento de Matemática Económica, Financiera y Actuarial

Universidad de Barcelona

1. Introducción

La tarificación de los seguros, desde el punto devista técnico1, tiene como objetivo el correcto cálcu-lo de primas equitativas2 y suficientes3. Distingui-mos dos sistemas de tarificación: a priori y a pos-teriori. Para la realización de un proceso de tarifi-cación el actuario hace uso de métodos estadísticos,principalmente de técnicas de análisis multivarian-te. En este trabajo nos centramos en las técnicasestadísticas que se aplican en la tarificación a prioridel seguro del automóvil, en concreto en el ModeloLineal Generalizado (MLG) y la Regresión Basadaen Distancias (RBD).

Para una correcta tarificación es necesario teneren cuenta las peculiariedades que cada coberturatiene actualmente en España y en qué modo se rea-liza la recogida de datos, tanto a nivel de entidadaseguradora individual como a nivel de bases de da-tos y plataformas del sector asegurador.

El trabajo se ha estructurado como sigue: en elapartado 2 realizamos una breve descripción de losprocesos de tarificación de los seguros no vida; enel apartado 3 describimos el tipo de datos con elque realizar el cálculo de primas y los métodos es-tadísticos aplicables para su resolución, en especialel MLG y la RBD; en el apartado 4 discutimos laspeculariedades del seguro obligatorio del automó-vil en España y en qué modo deben ser tenidas encuenta en el cálculo de sus tarifas; finalmente, en elapartado 5, comentamos las aportaciones recientesy perspectivas futuras de investigación respecto dela RBD en su aplicación en el ámbito actuarial.

2. Tarificación de los seguros no vida

El actuario debe elaborar unas bases técnicasque comprendan, entre otros aspectos: informacióngenérica (explicación del riesgo asegurable, los fac-tores de riesgo considerados en la tarifa y los siste-mas de tarificación utilizados) e información esta-dística sobre el riesgo (la estadística utilizada indi-cando el tamaño de la muestra, las fuentes, el mé-todo de obtención y el período a que se refiera).Desde el punto de vista legal los seguros directosse clasifican en los seguros de vida y el resto, tam-bién denominados de no vida. Los seguros de vidacubren el riesgo de muerte y/o supervivencia de laspersonas y los riesgos complementarios de acciden-te y enfermedad (véase [8] para un mayor detalle enla clasificación de los ramos). En este trabajo nosocupamos de la tarificación de los seguros no vida,y en especial del seguro del automóvil.

2.1. La prima o precio del seguro

Supongamos que disponemos de una cartera –o conjunto de pólizas– infinita cuyos elementos sonidénticos, es decir, que observamos el mismo riesgode un ramo de no vida. Para cada póliza observa-mos los datos referentes a la siniestralidad, recogidaen las variables aleatorias número de siniestros (engeneral del período de un año), N , y sus correspon-dientes cuantías, Xi para i = 1, . . . , N . El coste total

por póliza, S, viene dado por la suma: S =N∑

i=1

Xi. Si

asumimos como hipótesis del proceso de riesgo la deequidistribución de las cuantías de los siniestros, lade independencia entre dichas cuantías y la de inde-pendencia entre la cuantía por siniestro y el número

1Ley 30/1995 de Ordenación y Supervisión de los Seguros Privados.2El principio de equidad se refiere a que la prima se ajuste al riesgo de siniestralidad de cada póliza, es decir, que el

asegurado pague según el riesgo que incorpora. Este criterio implica tener en cuenta los factores de riesgo que explican enmayor medida el comportamiento de la estructura aleatoria de siniestralidad.

3El principio de suficiencia se refiere a que en términos esperados las primas sean suficientes para cubrir todos losriesgos de la cartera considerada y que permitan hacer rentable, en condiciones de estabilidad a largo plazo, a la empresaaseguradora.

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de siniestros, la esperanza del coste total por póliza,E[S], la calculamos como el producto de la esperan-za del número de siniestros por la esperanza de lacuantía de un siniestro: E[S] = E [N ]×E [X] . Estacantidad se denomina prima pura con bases de se-gundo orden, P . Cambiamos el riesgo aleatorio queconlleva la póliza, que puede tomar cualquier valorpositivo o nulo, por un valor cierto fijo que coincidecon la esperanza matemática del coste total:

P = E [N ]× E [X] . (1)

La prima pura (1) es la componente base delprecio del seguro, con esta cantidad la entidad ase-guradora acumula la cantidad suficiente para ha-cer frente a los siniestros previstos y esperados. Sucálculo debe estar basado en información estadís-tica propia de cada ramo, y en su caso, de cadaproducto o modalidad de seguro. Por ello, es nece-sario partir de una base de datos de calidad, tantoa nivel individual de entidad aseguradora, como anivel sectorial.

En la práctica no se dispone ni de una carterainfinita ni de suficiente información estadística, porlo que la prima de riesgo se corresponde con la espe-ranza matemática (1) más un recargo de seguridado de solvencia. Además, hasta la obtención del pre-cio final del seguro, añadimos la parte de gastos degestión interna y externa de la entidad asegurado-ra, la parte de beneficios y los recargos externos ala prima e impuestos repercutibles (ver [8]). En estetrabajo nos ocupamos únicamente del cálculo de laprima pura sin entrar en la aplicación de recargosde solvencia, para lo cual sería necesario tener encuenta que las diferentes coberturas no son inde-pendientes entre sí.

2.2. Tarificación a priori o class-rating

El sistema de tarificación a priori asigna unaprima a un riesgo que se incorpora en una carte-ra sin tener necesariamente experiencia sobre la si-niestralidad que conlleva. Únicamente es necesarioconocer determinadas características para asignaruna siniestralidad esperada y con ella una prima.

Supongamos que disponemos de la experienciade una cartera para una determinada cobertura deseguro en un período fijado. Para cada póliza, sehan observado los datos referentes a las variablesaleatorias de siniestralidad (número de siniestros ysus correspondientes cuantías), y una serie de fac-

tores potenciales de riesgo, los cuales pueden hacerreferencia a características del objeto asegurado oa otros condicionamientos de este: característicasdel asegurado, del tomador del seguro, condicionessocio-económicas que lo rodean, etc. Los principiostécnicos en que se basa la tarificación a priori con-sisten en un proceso que debe solucionar las siguien-tes fases ([35], [19], [4], [6]):

1) La determinación de la estructura de tarifaque consiste en ([8]):

- La selección de las variables de tarifa:es la elección de los factores de riesgoo características que utilizaremos paradistinguir a los asegurados con diferen-tes riesgos asociados ya que influyen enla siniestralidad. Los factores selecciona-dos pasan a ser las denominadas varia-bles tarificadoras o de tarifa;- La determinación de las clases de ta-rifa: es la elección de las clases o agru-paciones de clases de las variables tarifi-cadoras que acaban discriminando a losdiferentes grupos de riesgo en la tarifafinal;- La obtención de los grupos de tarifa:es la obtención de grupos homogéneosde riesgo, exclusivos y exhaustivos, for-mados a partir de las clases de tarifaanteriores;- La inclusión de los gastos en la tarifa;- Y el tratamiento especial y adecuadode los grandes riesgos.

2) El cálculo de la prima para cada grupo detarifa, que consiste en la estimación de las primasde riesgo equitativas y suficientes que ajusten la si-niestralidad para cada grupo de tarifa a partir de laesperanza del número de siniestros y de la cuantíapor siniestro.

3) Por último, se realiza la adecuación de la ta-rifa al mercado competitivo teniendo en cuenta lacompetencia de mercado y los segmentos de pobla-ción a los que va dirigida la cobertura.

Formamos pocos grupos si buscamos una tarifaresultante sencilla y aplicable, que diferencie míni-mamente los riesgos de calidades diferentes, o for-mamos una agrupación más fina si el objetivo esmayor ajuste en la prima individual y más detalleen la tarifa final.

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Los pasos de selección de variables tarificadoras,de determinación de las clases de tarifa y de obten-ción de los grupos de tarifa, dentro de la fase dedeterminación de la estructura de tarifa, están en-tre ellos estrechamente vinculados, y su resoluciónno es independiente en función de las metodologíasde análisis estadístico utilizadas (ver [8]).

Para la realización de un proceso de tarificacióna priori es conveniente que la experiencia en que sebasa la tarifa pertenezca a un intervalo temporal lomás cercano posible al de actualización, y son nece-sarias revisiones periódicas con datos actualizadosque repitan el proceso con todas sus fases, empezan-do por la selección de variables de tarifa ([13]). Si elperíodo de observación es el año más reciente los si-niestros pueden ser siniestros en curso o pendientesde reclamación, ya que ese año es el que tiene los si-niestros más inmaduros. En tal caso es convenienterealizar, previamente al estudio de tarificación, unarevisión de reservas de siniestros pendientes con elobjetivo de obtener niveles actualizados de sinies-tralidad. Este es el caso del seguro obligatorio delautomóvil cuando analizamos la cuantía por sinies-tro para la cobertura de responsabilidad civil dedaños personales, ya que el período de maduraciónde dichos siniestros es largo.

2.3. Tarificación a posteriori oexperience-rating

El sistema de tarificación a posteriori, en opo-sición al de la tarificación a priori, parte de unaprima inicial para cada unidad de riesgo, individuoo grupo, que se modifica de acuerdo a la experienciaindividual o colectiva para dar lugar a las primas delos períodos sucesivos. En un sentido amplio, la ex-presión experience-rating se aplica a todo problemade actualización de tarifas mediante la incorpora-ción de nueva información.

La justificación de estos sistemas está en quedentro de cada clase de riesgo existe heterogeneidaddebida a la influencia de ciertos factores de riesgono considerados (conocidos o desconocidos) o a laincorrecta agrupación de las clases de los sí conside-rados. La heterogeneidad queda recogida por la si-niestralidad de los períodos sucesivos. Al considerarla experiencia propia de cada póliza obtenemos unmayor grado de equidad en las primas de ejerciciosposteriores. Incorporamos la información evolutivamediante un sistema de bonificaciones y penaliza-

ciones (sistema bonus-malus).

En el seguro del automóvil ([27], [30], [36], [37])su aplicación suele tomar como referencia el nú-mero de siniestros declarados en un período de unaño; si no se han declarado siniestros a las garantíascomputables se asciende por la escala de descuentosuno o más escalones. Por cada siniestro declarado alas garantías computables se desciende por la escalauno o más tramos, bien reduciéndose los descuentos,bien aplicando recargos. También se han realizadoestudios basados en las cuantías de los siniestrosdeclarados ([33]).

3. Tarificación y análisis multivariante

En este apartado, describimos el tipo de datoscon el que realizar los estudios de tarificación y lastécnicas de análisis multivariante empleadas parasu resolución.

3.1. Datos: experiencia de siniestralidady factores de riesgo

Una fase previa a todo el proceso de tarificaciónes la recopilación de los datos. Es imprescindibleprocesar la máxima información en torno al riesgoasegurado. La siniestralidad evoluciona en el tiem-po por lo que es posible que a partir de un momentosea explicada por factores no tenidos en cuenta an-teriormente.

Una vez recopilados los datos, el paso básico esla selección de las variables de tarifa que influyenpor un lado en el número de siniestros, N , y, porotro, la selección de las variables de tarifa que in-fluyen en la cuantía de un siniestro, X. El conjuntode factores de riesgo que explican ambas variablesno tienen por qué coincidir. Su selección, hasta laformación de los grupos de tarifa, se realiza median-te métodos estadísticos de análisis multivariante deselección de predictores (ver [8]).

Experiencia de siniestralidad

El objetivo es clasificar las pólizas según el ries-go que incorporan, por lo que la variable aleatoriaque recoge la siniestralidad (coste total, S, núme-ro de siniestros, N , o cuantía de un siniestro, X)es la variable dependiente. El número de siniestros,N , es una variable discreta numérica que toma valo-res en los naturales. Dependiendo de la metodologíaestadística utilizada, a veces es tratada como cuan-titativa, y a veces como categórica ordinal.

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Factores de riesgo

Los factores potenciales de riesgo, F =(f1, f2, . . . , fP ), son los predictores, mediante algunode ellos (variables de tarifa) explicamos la estructu-ra de riesgo. Son características “medibles” que ob-servamos y que tienen una posible relación de causacon la siniestralidad objeto de estudio. Es necesarioque tengan una definición y que puedan ser repre-sentados a través de variables.

En general el conjunto de factores de riesgo esde tipo mixto (mezcla de variables cuantitativas ycualitativas), y es importante disponer de los datosen sus escalas originales. En ocasiones nos encon-tramos predictores continuos discretizados de ante-mano (por ejemplo la edad del conductor en inter-valos de edad). Esto implica una pérdida de infor-mación al pasar a una escala de medida menor. Re-sulta imposible obtener los datos originales, cuanti-tativos, de los ya codificados como discretizaciones,pues no sabemos qué valor tomó la variable dentrode cada grupo, sólo sabemos entre qué valores os-ciló. En este caso no somos capaces de deshacer laagrupación original para realizar otra que propor-cione mejores resultados.

El pequeño esfuerzo que representa para una en-tidad aseguradora la correcta gestión inicial de da-tos (aparte de la gestión obligada para la ESA4 querequiere UNESPA5) supone una mejora significati-va en el largo y costoso proceso de tarificación queha de servir a largo plazo para la obtención de mayo-res beneficios. El mercado español es competitivo yello implica un reto para las compañías que confíanen métodos simples de tarificación que no tienen encuenta la composición de sus carteras.

Datos ponderados:

Cuando nos centramos en un período de obser-vación pueden haber pólizas que no han estado envigor durante el período completo porque se hanincorporado a lo largo del período o porque hanvencido a lo largo del mismo y no han renovado.Para reflejar este hecho una posibilidad es extrapo-lar el resultado de siniestralidad a todo el período,y otra es ponderar la siniestralidad según el tantopor uno de período en que la póliza ha estado vivacon respecto al tiempo total ([5]).

Por otro lado, debido al gran volumen de las

carteras de seguros (n 1 104) es usual trabajar condatos agregados. En este caso, los pesos se corres-ponden con el número de pólizas para el númeromedio de siniestros y el coste total medio, y con elnúmero de siniestros para la cuantía media por si-niestro. Para agregar los n datos consideramos quetodos los factores son categóricos (discretizando deuna manera adecuada a los continuos (ver [8])) yconstruimos una tabla cruzada de todos ellos. Pa-samos a tener tantas observaciones diferentes, m,como el producto del número de clases de todos losfactores menos las combinaciones de celdas vacías.

En el tratamiento del número de siniestros condatos agregados (o en general ponderados) tenemosdos posiblidades ([15]). Una es la de trabajar di-rectamente con la variable aleatoria número totalde siniestros por celda (o combinación), Nu parau = 1, . . . , m y otra más habitual es trabajar con lafrecuencia de siniestralidad. La frecuencia de sinies-tralidad se obtiene dividiendo la variable aleatorianúmero total de siniestros por celda, Nu, por el nú-mero de expuestos o pólizas de dicha celda, eu: Nu

eu

para u = 1, . . . ,m. La ponderación, wu, de la fre-cuencia de siniestralidad de cada celda es wu = eu.

En el tratamiento de las cuantías de los sinies-tros con datos agregados también tenemos las dosposibilidades anteriores: trabajar directamente conla variable aleatoria coste total de los siniestros porcelda, Su para u = 1, . . . , m; o trabajar con la cuan-tía media por celda construida dividiendo la varia-ble aleatoria coste total de los siniestros por celda,Su, por el número de siniestros de dicha celda, nu:Su

nupara u = 1, . . . , m. La ponderación de la cuantía

media de cada celda es wu = nu.

Podemos realizar dos procesos de selección depredictores diferentes, uno para el número de sinies-tros y otro para las cuantías de dichos siniestros. Losconjuntos de variables de tarifa así obtenidos pue-den o no coincidir. Como resultado de la tarificaciónobtenemos una predicción para el número esperadode siniestros por póliza y una para la cuantía espe-rada de un siniestro, cuyo producto nos proporcionala prima pura (1).

3.2. Modelos de predicción

Los primeros artículos sobre modelos estadísti-cos en el seguro del automóvil se centran en el nú-mero de siniestros prestando menos atención a las

4Estadística sectorial del Seguro de Automóviles.5Unión Española de Entidades Aseguradoras y Reaseguradoras.

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cuantías. Históricamente el debate principal ha es-tado basado en si se debía utilizar un modelo aditivoo uno multiplicativo para establecer la relación en-tre el número medio de siniestros y los factores deriesgo. Los dos modelos son casos particulares delMLG: el modelo aditivo clásico de función de enlaceidentidad y de error Normal ([28], [29], [?]), es decir,el modelo clásico de regresión; y el modelo multipli-cativo, de función de enlace logarítmica, combinadocon una distribución de Poisson ([38]). En [38] en-contramos al MLG presentado como una extensióndel modelo clásico de regresión lineal, y como la for-malización probabilística motivada en los inicios porel modelo de Bailey y Simons ([2],[3]) entre otros.

El modelo de predicción más sencillo es el mode-lo clásico de regresión lineal por mínimos cuadradosordinarios. Pero diversas limitaciones de este mode-lo (las deficiencias de ajuste en muchas situacionesreales, la restricción a respuestas gausianas o análo-gas) motivan a buscar modelos más generales quepermitan seleccionar la función de predicción de unafamilia más amplia que la de las funciones lineales,permitiendo alguna no linealidad. En este apartadonos detenemos en dos formas importantes de intro-ducir esta no linealidad correspondientes a los MLGy a la RBD.

Ambos modelos de predicción son extensiones endirecciones distintas del modelo de mínimos cuadra-dos ordinarios, y están contenidos en la clase mu-cho más grande de los modelos no lineales. Fijadauna clase, encontramos el elemento de ella más ade-cuado a unos datos concretos de acuerdo con algúncriterio de proximidad, como mínimos cuadrados omáxima verosimilitud. Los modelos más sencillosson más robustos, mientras que cuando se permiteuna familia grande existe el peligro de caer en lasobreparametrización.

Los Modelos Lineales Generalizados ([31],[20]) han sido muy aplicados en tarificación ([26],[15], [7], [8]).

Cuando tarificamos respecto de la cuantía delos siniestros es apropiado utilizar una distribuciónGamma o una Gaussiana Inversa preferiblementea una Normal ya que estas distribuciones no to-man valores negativos y tienen asimetría positiva;y cuando tarificamos respecto del número de sinies-tros es apropiado utilizar una distribución de Pois-son, una Binomial o una Binomial Negativa. Véase[31] pp. 337, 400 y 413-414 para un estudio deta-

llado sobre la función de enlace y la distribución deerror óptimas para unos datos determinados y unaselección de predictores concreta. Los datos emplea-dos en la referencia anterior son datos actuariales decuantías de siniestros extraidos de [1] referentes a lacobertura de daños propios, estos mismos datos sehan empleado en [11] con RBD.

En general, el MLG más apropiado para unosdatos es el que proporciona una menor desvianza–la medida que en estos modelos generaliza la su-ma de cuadrados residual. Las diferentes manerasde reducirla son ([32]): variar la función de enlace,variar la distribución del error, y/o variar las va-riables de tarifa incluidas en el modelo. Lo usual,aunque no óptimo, es fijar una función de enlace yuna distribución del error y a posteriori realizar laselección de variables de tarifa mediante un procesode selección de predictores haciendo uso del esta-dístico de test F basado en desvianzas ([15], [34],[38]). Los programas informáticos que ofrecen lasconsultorías a las entidades aseguradoras suelen im-plementar únicamente y de manera cerrada el MLGde distribución del error Gamma para las cuantíasy de Poisson para el número de siniestros, pudien-do elegir entre el link identidad para componer unatarifa aditiva y el logarítmico para una multiplica-tiva. El MLG resultante permite cubrir la fase deselección de variables de tarifa y también el cálculode la prima pura (1). Esto no ocurre si la técnicaestadística utilizada para la selección de variablesde tarifa se basa por ejemplo en análisis cluster oanálisis discriminante (ver [8]).

La Regresión Basada en Distancias fue pro-puesta por Cuadras en [16]. Detalles y aportacionesposteriores pueden verse en [17], [18], [8] y [12].

La RBD es una extensión del modelo clásico deregresión: la información aportada por las variablesde tarifa queda reflejada en una matriz de distan-cias, intuitivamente la respuesta se proyecta en elespacio euclídeo obtenido mediante escalado mul-tidimensional métrico de esta distancia. Con pre-dictores cuantitativos y métrica l2 se obtiene comocaso particular el modelo de mínimos cuadrados or-dinarios.

Un resumen del procedimiento es como sigue:partimos de una respuesta continua, y, centrada, yun conjunto de predictores F (que pueden ser detipo mixto), mediante una métrica euclídea ([14],[24]) calculamos la matriz de distancias al cuadra-

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do, ∆2, y la de productos escalares G = − 12J∆2J,

donde J es la matriz de centrado J = In − 1n1n1T

n .Una descomposición XXT = G (que existe por lacondición euclídea) da una configuración euclídeacentrada X, sobre la que aplicamos mínimos cua-drados ordinarios. La predicción, y = Hy dondeH = X(XT X)−1XT y, puede obtenerse directamen-te sin explicitar X como H = G+G siendo G+

la pseudo-inversa de Moore-Penrose de G ([21]).Calculamos la predicción para un nuevo individuo{n + 1} haciendo uso de la fórmula de interpolaciónde Gower ([22], [25]) y obtenemos la fórmula de pre-dicción yn+1 = 1

2 (g− d)G+y, donde g es el vectorfila que contiene la diagonal de G y d es el vectorfila que contiene las distancias del nuevo individuoal resto, d = (d2

n+1,1, . . . , d2n+1,n)T . En el caso ge-

neral de predictores de tipo mixto podemos utilizarel coeficiente de similaridad de Gower ([23], [24]).

Hemos construido implícitamente, mediante ladistancia, una función no lineal X = φ(F) que rela-ciona las variables observadas F con los predictoreseuclídeos latentes X.

Esta no linealidad hace que la selección de varia-bles de tarifa sea más complicada que en el modeloclásico, pues no es aplicable el test F usual. En [12]proponemos una solución adaptando un método debootstrap no paramétrico para la estimación de losp-valores de un estadístico F generalizado. Al igualque el MLG, la RBD permite cubrir todas las fasesde la tarificación hasta la estimación de las primaspuras.

4. Tarificación del seguro del automóvil enEspaña en función de las coberturas

El seguro obligatorio del automóvil cubre la res-ponsabilidad civil a terceros respecto a los dañospersonales y materiales ocasionados a terceras per-sonas como consecuencia de un hecho de la circu-lación. Ambas coberturas tienen frecuencia de si-niestralidad y cuantía media de un siniestro muydiferentes, por lo que diferenciamos la informacióncon el objetivo de calcular la esperanza del costetotal por póliza, (1) por separado. Por el mismomotivo tratamos cada cobertura adicional al seguroobligatorio del automóvil hasta llegar a un todo ries-go (responsabilidad civil suplementaria, daños pro-pios, rotura de lunas, incendio, robo, ...) tambiénpor separado. Las primas puras totales por pólizalas calculamos como la suma aritmética de las pri-

mas puras correspondientes a cada cobertura ([26]).Si denotamos por λc al número esperado de sinies-tros y por mc a la cuantía esperada de un siniestrorespecto a la cobertura c (siendo c: daños materia-les, daños personales, daños propios, etc), la primapura total es:

PT =∑

c

λc ×mc. (2)

En el proceso de tarificación realizamos la selec-ción de variables de tarifa por separado para cadacobertura y además, dentro de cada cobertura, se-leccionamos el conjunto de predictores respecto delnúmero de siniestros y respecto de la cuantía deun siniestro. Los conjuntos de variables de tarifapueden o no coincidir. Como resultado obtenemosuna predicción para el número esperado de sinies-tros por póliza y una para la cuantía esperada deun siniestro para cada cobertura, lo que nos permi-te calcular la prima pura total (2). El estudio detarificación puede llevarse a cabo con los datos dela cartera o haciendo uso de las estadísticas basadasen datos sectoriales.

En el seguro del automóvil, y dependiendo de lacobertura, los factores tenidos en cuenta son:

- Factores relativos al vehículo asegurado: valor,antigüedad, categoría, clase, tipo, marca, modelo,número de plazas, potencia, peso, o relación poten-cia / peso, color, etc

- Factores relativos al conductor : edad, sexo, an-tigüedad del carnet, estado civil, profesión, númerode hijos, posibilidad de conductores ocasionales, re-sultado de la experiencia en el pasado, etc

- Factores relativos a la circulación: zona de cir-culación, uso del vehículo, kilómetros anuales, etc

En la práctica, la calidad del ajuste, tanto si uti-lizamos el MLG o la RBD depende de la coberturay de si analizamos el número o las cuantías de lossiniestros. Por ejemplo, para la cobertura de dañosmateriales es usual obtener un buen ajuste cuandoanalizamos el número de siniestros con predictorescomo la edad del conductor, la antigüedad del car-net, la potencia del vehículo,... En cambio, cuandoanalizamos las cuantías de los siniestros en la cober-tura de daños personales es difícil obtener un buenajuste ya que las cuantías dependen en gran medidade elementos que la entidad aseguradora no puedecontrolar a priori.

27


4.1. Escenario actual del seguro del au-tomóvil en España

Para una correcta tarificación del seguro del au-tomóvil debemos tener presentes las peculariedadesque dicho seguro tiene en España. En los últimosaños han habido cambios gracias a la utilización anivel sectorial de las nuevas tecnologías de la in-formática y de las telecomunicaciones por parte deUNESPA y gracias al servicio transaccional pres-tado por TIREA6. En unos años los servicios hancrecido de forma importante (1994: CICOS7, 2002:SDM8, 2000: SINCO9, 2001: ESA,...). Nos referimosa [9] para un mayor detalle.

La Estadística sectorial del Seguro de Au-tomóviles, ESA

UNESPA ha realizado estadísticas comunes enpapel hasta 1997. Estas estadísticas han permitido alas entidades aseguradoras disponer de informaciónestadística detallada a nivel sectorial. Actualmente,la ESA, desde el año 2001, ha retomado el análisisestadístico. El servicio ESA está compuesto por unabase de datos con el total de expuestos y siniestrosaportados por las entidades aseguradoras colabora-doras. En esta nueva estadística sólo las entidadesaseguradoras que colaboran de forma activa tienenacceso a los resultados agregados de las explotacio-nes estadísticas, cosa que implica un mayor gradode compromiso por parte de las entidades asegu-radoras y una mayor validez en los resultados. Lasentidades aseguradoras no participantes reciben tansólo un documento-resumen con información brevey genérica.

Dada la magnitud de las nuevas tecnologías, lasconsultas de las estadísticas descriptivas resultantesde la explotación se realizan de forma on-line, exis-tiendo la posibilidad de descargarlas en ficheros detipo Excel. Es posible solicitar dos tipos de explota-ción: explotación global, con el total de datos carga-dos por la totalidad de las entidades aseguradorascolaboradoras, y explotación individual, para cadauna de las entidades aseguradoras participantes. Decada explotación, se puede obtener un resumen eje-cutivo, o un informe con información de detalle. Elresumen ejecutivo proporciona un resumen para ca-

da una de las garantías contempladas, por año deestadística y tipo de vehículo. La información dedetalle se divide en dos grandes bloques: por un la-do todo lo referente a responsabilidad civil, y porotro, daños propios, incendio, lunas, robo, ocupan-tes, retirada de carnet y defensa Jurídica. Ademásse recogen aparte los casos especiales de flotas ymercancías peligrosas. Como novedad se incorporainformación sobre el segundo conductor.

Con el fin de actualizar la información, en estaestadística se han modificado algunas de las varia-bles de tarifa utilizadas históricamente. Por ejem-plo, la situación del riesgo se mide por la provinciade la póliza y no por el lugar de ocurrencia del si-niestro. También se han actualizado las categoríasy usos de los vehículos, y adicionalmente se utili-za la información técnica de cada vehículo aporta-da por el código de Base SIETE10. El código baseSIETE incluye codificadas las principales caracte-rísticas técnicas de todos los vehículos susceptiblesde ser asegurados en España y radica en Centro Za-ragoza. Concretamente, las variables de tarifa porlas que se pueden obtener resultados son: la edad,la antigüedad del carnet y el sexo del conductor, laprovincia y la antigüedad de la póliza, el tipo (y sussubcategorías), el uso, la antigüedad y el valor delvehículo.

El servicio ESA (que funciona desde el año 2001,y por lo tanto es un servicio bastante reciente) eraun servicio totalmente necesario para llenar el vacíode información técnica del riesgo elemental produ-cido en el Sector Asegurador desde la última ela-boración de la Estadística Común de Automóvilesdel año 1997. De cara a la tarificación es importanteresaltar que en la ESA las variables de tarifa utiliza-das y sus clases han sido actualizadas. A diferenciade las estadísticas comunes anteriores que incluíaninformes actuariales, los resultados de la ESA sonmeramente descriptivos, pero permiten a las entida-des aseguradoras descargar las consultas en ficheroscon los que realizar sus propios estudios.

Respecto a las garantías correspondientes a laresponsabilidad civil obligatoria en que se puededesglosar la estadística, éstas son: responsabilidadcivil de daños materiales, responsabilidad civil de

6Tecnologías de la Información y Redes para las Entidades Aseguradoras.7Centro Informático de Compensación de Siniestros.8Servicio de gestión de Siniestros de Daños Materiales.9Fichero histórico de SINiestralidad de COnductores.10Sistema Informativo de Especificaciones Técnicas.

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daños corporales, responsabilidad civil total y, comonovedad en las dos últimas estadísticas, responsa-bilidad civil de siniestros tramitados por el sistemaCICOS y que son acreedores.

5. Aportaciones recientes y perspectivasde futuro

- En el apartado 3.1 hemos visto que es habi-tual trabajar con datos ponderados, por lo que paracompletar la aplicabilidad de la RBD en la tarifi-cación construimos la versión heteroscedástica delmodelo de predicción y adaptamos a este caso lametodología bootstrap de selección de predictoresincluido el estadístico de test que se desarrolla parael caso homocedástico en [12]. Parte de estos resul-tados se han presentado ya en el XXIX CongresoNacional de Estadística e investigación Operativacelebrado en Tenerife en mayo de 2006 ([11]). Eneste trabajo se presenta la formulación y una apli-cación con los datos de [1] referentes a cuantías desiniestros para la cobertura de daños propios. Ob-tenemos mejores resultados de ajuste con la RBDque con el MLG. Como era de esperar para estacobertura, las variables de tarifa resultantes hacenreferencia a características del vehículo.

- Otro grupo de desarrollos se refiere a proble-mas numéricos o computacionales de la RBD. Den-tro de este ámbito hemos presentado el trabajo Im-plementing PLS for distance-based regression ([10])en el que adaptamos los Mínimos Cuadrados Parcia-les a la RBD con aplicación carteras de seguros delmercado Español moderadamente grandes, n ∼ 104.

- Por otro lado, fijado un conjunto de predicto-res, obtenemos una mayor flexibilidad si selecciona-mos de forma adaptativa la distancia de una familiade métricas euclídeas indexadas por un hiperpará-metro θ. De este modo el ajuste del modelo resul-tante es óptimo dentro de una familia de métricasdada. Unos primeros resultados pueden encontrarseen [21].

- Finalmente, una extensión de la RBD es laRBD-MLG, que consiste en incorporar una funciónde enlace que relacione la esperanza de la respuestacon el predictor lineal, en este caso una combinaciónlineal de los predictores euclideos X.

Agradecimientos

Este trabajo está financiado, en parte, por elMinisterio de Ciencia y Tecnología y FEDER, pro-

yecto MTM2006-09920/ que tiene de título AnálisisMultivariante No Lineal: Técnicas No Paramétricasy Basadas en Distancias y del que es investigadorprincipal el Dr. Pedro Delicado Useros del Departa-mento de Estadística e Investigación Operativa dela Universidad Politécnica de Cataluña. Agradezcolas sugerencias de mis compañeros Ma Mercè Cla-ramunt y Josep Fortiana.

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ESTADÍSTICA OFICIAL

4. ESTADÍSTICA OFICIAL

PREDICCIÓN DEL IPC UTILIZANDO MÉTODOS DE SUBESPACIO

Victor Gómez Enríquez1, Félix Aparicio Pérez2 y Angel Sánchez Avila1

1 Ministerio de Economia.2 Instituto Nacional de Estadística.

Resumen

En la literatura sobre series temporales última-mente se está observando interés en los llamadosmétodos de subespacio. Estos métodos utilizan re-gresión lineal y análisis de correlaciones canónicaspara estimar un modelo ARMAX expresado en for-ma de espacio de estados. En este trabajo utiliza-mos métodos de subespacio para predecir el IPCcon ayuda de algunas variables relacionadas con él.Comparamos los resultados con los obtenidos em-pleando una función de transferencia. Las conclu-siones son que ambos métodos proporcionan resul-tados parecidos, un poco mejores a corto plazo losde la función de transferencia y un poco mejores amedio y largo plazo los de los métodos de subespa-cio. Este resultado es alentador, puesto que con losmétodos de subespacio se consigue un ajuste casiautomático, en contraste con la función de transfe-rencia, que precisa de considerable trabajo a medi-da.

1. Introducción

En este trabajo se estudian las predicciones delIndice de Precios de Consumo (IPC) español, conaño base 2001 utilizando métodos de subespacio.Se comparan estas predicciones con las de una fun-ción de transferencia clásica. En ambos casos setoman como variables exógenas el Indice de Pre-cios Industriales para Bienes de Consumo, (IPI, añobase 2000), el Precio (Spot) del barril de PetróleoBrent (OIL), y el Indice de Importación de Bienesde Consumo, (IIBC, año base 2000). La variableOIL se considera como determinística y sus predic-ciones son, simplemente, los precios en el Mercadode Futuros que corresponden a contratos con el mis-mo vencimiento. En las Figuras 1 y 2 se muestranlas cuatro series en el periodo 1993:1–2006:3.

Jan95 Jul97 Jan00 Jul02 Jan05

80

85

90

95

100

105

110

115 Consumer Price Index

Producer Price Index

Figura 1: IPC y IPI españoles, 1993:1–2006:3.

Para comparar las predicciones se emplea un es-timador móvil, que utiliza doce modelos, el primerohace predicciones basándose en la muestra 1993:1–2004:12, y cada uno de los siguientes añade un mes,asi el último basa sus predicciones en la muestra1993:1-2005:12. Cada uno de estos 12 modelos ha-ce predicciones para los 15 meses posteriores a lamuestra en que se basa.


2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000Oil


80

85

90

95

100

105Imports

Figura 2: OIL, 1993:1–2006:3, y IIBC, 1993:1–2006:2.

2. Función de Transferencia

Para estimar las funciones de transferencia, enprimer lugar ajustamos un modelo VAR a las cua-tro series conjuntamente. Se concluyó que el núme-ro de retardos adecuados a considerar es 13, que nohay relación entre IIBC y las demás series y quela relación entre los inputs IPI (x1t) y OIL (x2t) y

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el output IPC (yt) es unidireccional. Por tanto seajustaron modelos de función de transferencia paraexplicar IPC en función de IPI y OIL.

Tomando 13 retardos en los filtros se llegó almodelo (con la muestra 1993:1–2004:12)

∇∇12yt =ω10 + ω11B

1 + δ1B + δ2B2∇∇12x1t+

(ω20 + ω21B)∇∇12x2t +1

1 + ΦB12at,

donde ∇ = 1−B y ∇12 = 1−B12 son los operado-res de diferenciación habituales. Los tests de diag-nóstico standard confirman que el ajuste es bueno.También se concluye que el modelo no cambia (ex-cepto los valores numéricos de sus parámetros) al irañadiendo cada observación adicional hasta el totalde 12.

3. Métodos de Subespacio

Supongamos que nuestro sistema se puede ex-presar en forma de espacio de estados de las inno-vaciones:

xt+1 = Axt + But + Ket, (1)

yt = Cxt + Dut + et. (2)

Si tenemos una estimación del estado, entoncespodemos emplear la ecuación de regresión

[xt+1

yt

]=

[A B

C D

] [xt

ut

]+

[wt

vt

]

para estimar las matrices del sistema A, B, C y D.Despues usamos los resíduos de la regresión (w′t, v′t)′

para estimar W = V ar(e′tK′, e′t)

′. Sea esta estima-ción

W =[

M N

N ′ R

].

Resolvemos la siguiente Ecuación Algebraica deRiccati en tiempo discreto P = APA′ − (APC ′ +N)(CPC ′+R)−1(APC ′+N)′+M para obtener lasolución de estabilidad P ≥ 0 y la correspondienteganancia de Kalman K = (APC ′+N)(CPC ′+R)−1

que hace a A−KC estable.Para obtener las estimaciones del estado calcu-

lamos regresiones de observaciones "futurasçon res-pecto a observaciones "pasadas". (Hacemos regre-sión de trozos de longitud f de observaciones ad-yacentes del output "futuro"frente a trozos de lon-gitud p de observaciones adyacentes del output einputs "pasados", para enteros f y p adecuados).

El problema de elegir el orden del sistema (ladimensión del estado) se resuelve utilizando los re-sultados clásicos de Anderson sobre correlacionescanónicas parciales.

En cuanto a los enteros f y p una posibilidad esajustar un modelo ARX a los datos y hacer p igualal número de retardos en el modelo resultante. Elnúmero de retardos del "futuro"f , debería ser al me-nos igual al orden del sistema n. Otra posibilidades hacer que f crezca con el tamaño de la muestrautilizando una fórmula del tipo f = loga(T ) con1,5 ≤ a ≤ 2 .

Empleamos el método de subespacio a las seriesdiferenciadas utilizando el operador ∇∇12. Utiliza-mos los siguientes valores de f y p. Para tamañosmuestrales entre 134 y 137, f = 18 y p = 11, pa-ra tamaños muestrales entre 138 y 141, f = 19y p = 11, y para el resto de tamaños muestralesf = 20 y p = 12.

Para calcular las predicciones utilizamos un mo-delo de espacio de estados aumentado que incluyeal modelo (1) y (2) junto con un modelo en for-ma de espacio de estados para el input IPI. El otroinput, OIL, como dijimos, se considera determinís-tico y sus predicciones son simplemente los precioscorrespondientes en el Mercado de Futuros de uncontrato con la misma fecha de vencimiento que elhorizonte de la predicción.

El modelo para la serie IPI es un modelo de li-neas aéreas con una intervención,

x1t =1

1− δBI37t +

(1 + θB)(1 + θB12)∇∇12

at,

donde 0 < δ < 1 y I37t = 1 si t = 37 y I37

t = 0 enotro caso.

4. Resultados

Las Tablas 1 a 3 resumen los resultados de lapredicción de los dos modelos. El RMSE de la Ta-bla 1 se define como

√√√√ 112

T+11+h∑

t=T+h

(yt − yt|t−h

)2,

donde T es el tamaño de la muestra, h es el númerode periodos adelante de la predicción y yt|t−h es lapredicción de 1 a 15 meses hacia el futuro de cadauno de los dos modelos.

Las Tablas 2 y 3 resumen la media de los erro-res de predicción yt − yt|t−h, para los dos modelos.

33


Podemos ver que la función de transferencia pre-dice mejor para horizontes de entre uno y cuatromeses hacia adelante, y peor para el resto de hori-zontes. Hay un sesgo sistemático en las prediccionesde los dos modelos, que se debe al gran incrementoen los precios de la variable OIL en el periódo enque se calculan las predicciones. Este incremento nolo pueden capturar ninguno de los dos modelos.

Estos resultados sugieren que los métodos desubespacio pueden ser una alternativa a los métodosclásicos empleados en análisis de series temporales,con la ventaja de que su utilización es casi automáti-ca, mientras que algunos de los métodos empleadosen análisis de series temporales, como la función detransferencia, requieren bastante trabajo a medidade cada caso realizado por un experto.

Tabla 1. Cociente de RMSE’s por horizonte

Horizonte1 2 3 4 5 6 7 8

1.10 1.27 1.16 1.04 0.91 0.79 0.69 0.69

Horizonte9 10 11 12 13 14 15

0.72 0.75 0.71 0.70 0.72 0.73 0.73

NOTA: Los valores son los cocientes entre losRMSE’s de las predicciones por los métodosde subespacio y función de transferencia paracada horizonte.

Tabla 2. Sesgo de las predicciones (subespacio)

Horizonte1 2 3 4 5 6 7 8

1.41 2.27 2.76 3.66 3.65 3.11 2.86 3.13

Horizonte9 10 11 12 13 14 15

3.08 3.12 2.58 2.47 3.36 4.15 4.71

NOTA: Los valores son 103 veces las mediasde las diferencias entre los valores verdaderosy las predicciones para cada horizonte.

Tabla 3. Sesgo de la predicciones (transferencia)

Horizonte1 2 3 4 5 6 7 8

1.25 1.74 2.67 3.40 3.83 3.91 4.25 4.02

Horizonte9 10 11 12 13 14 15

4.17 3.68 3.36 4.18 5.39 6.47 7.53

NOTA: Los valores son 103 veces las mediasde las diferencias entre los valores verdaderosy las predicciones para cada horizonte

Referencias

[1] Anderson T.W. (1951). Estimating Linear Res-trictions on Regression Coefficients for Multiva-riate Normal Distributions. Annals of Mathema-tical Statistics, 22, 327-351.

[2] Beguin J.M., Gourieroux C., and Monfort A.(1980). Identifcation of a Mixed Autoregressive-Moving Average Process: the Corner Method, inTime Series (Anderson, O.D., ed.), Amsterdam:North-Holland.

[3] Box G.E.P., and Jenkins, G.M. (1976). Time Se-ries Analysis, Forecasting and Control, Holden–Day, San Francisco.

[4] Larimore W.E. (1983). System identification, re-duced order filters and modeling via canonicalvariate analysis. Proceedings of the 1983 Ame-rican Control Conference 2, (H.S. Rao and P.Dorato, eds.), Piscataway, NJ, 445–451.

[5] Ljung L. (1999). System Identification: Theoryfor the User, Prentice Hall, New Jersey.

[6] Liu L.M., and Hanssens D.M. (1982). Identifi-cation of Multiple–Input Transfer Function Mo-dels. Communications in Statistics, Theory andMethods, 11, 297-314.

[7] Tsay R. S. (1985). Model Identifcation in Dyna-mic Regression (Distributed Lag) Models. Jour-nal of Business and Economic Statistics, 3, 228-237.

[8] Tsay R.S. (1989). Parsimonious Parameteriza-tion of Vector Autoregressive Moving AverageModels. Journal of Business and Economic Sta-tistics, 7, 327-341.

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ESTUDIOS MONOGRÁFICOS Y OPINIONES SOBRE LA PROFESIÓN

5. ESTUDIOS MONOGRÁFICOS Y OPINIONES SOBRE LAPROFESIÓN

EN MEMORIA DE MIGUEL MARTÍN DÍAZ

Francisco José Cano Sevilla1 y Miguel Sánchez García2

1 Departamento de Estadística e Investigación Operativa IFacultad de Ciencias Matemáticas

Universidad Complutense de Madrid2 Departamento de Estadística e Investigación Operativa I

Facultad de MedicinaUniversidad Complutense de Madrid

Miguel Martín Díaz, nace el 4 de noviembre de1935 en Piedrahita (Avila) y fallece el 5 de Junio de2006 en Pozuelo de Alarcón (Madrid).

Sus primeros estudios los realiza en su villa na-tal, etapa en la que ya despertaba su mente a laposibilidad de ser un gran matemático. Cursó es-tudios de bachillerato, en el colegio de Piedrahita,adscrito al Instituto de Enseñanza Media de Avi-la, y los superiores en la Universidad Complutense,donde obtuvo los títulos de Licenciado y Doctor enCiencias Matemáticas. Posteriormente realizó dosaños post-doctorales en la Universidad de la Sorbo-na en París. Dedicó los cuarenta años mejores de suvida a la Universidad con exclusiva dedicación.

Como catedrático de Instituto, recordaba siem-pre con cariño sus estudios preuniversitarios. Su se-gundo amor, que fue tanto por la enseñanza, comopor el aprendizaje, le impulsó a tener gran preocu-pación por cómo conseguir que tuvieran una exce-lente formación los alumnos de las enseñanzas pri-maria y secundaria.

Como catedrático de las Universidades de Valla-dolid y de la Complutense de Madrid en el área deconocimiento de Estadística e Investigación Opera-tiva, ha dirigido una treintena de tesis doctorales

y más de diez proyectos de investigación. Autor denumerosos trabajos de investigación en su área es-pecifica, entre los que destacan sus aportaciones ala teoría de las funciones de concentración, caracte-rización de la varianza y otras medidas de disper-sión, martingalas, análisis multivariante, procesosestocásticos, colas, etc.

Maestro de maestros, tiene en su haber grannúmero de discípulos, compañeros con los que hamantenido no sólo una gran amistad sino una grancolaboración en los proyectos de investigación queemprendió.

Su talento, entrega, profesionalidad y generosi-dad hicieron posible el ejercicio de su profesión deprofesor con infinito amor y una humanidad sinlímites. Como profesor, era muy querido por losalumnos. Fue un excelente cumplidor de sus obli-gaciones y defensor a ultranza de la creatividad einnovación en el alumno. Como Vicedecano realizótareas de gestión, de tal modo que todo el perso-nal pudo comprobar su dedicación y entrega a laresolución de los problemas, tarea a la que dedicónumerosas horas.

Hombre de profundo pensamiento y de accióncomprometida con el quehacer diario, quiso mante-ner siempre una actitud de respeto que le llevó amantener buenas relaciones con todos sus compa-ñeros, ya que siempre se le encontraba cuando sele necesitaba. Anfitrión excelente de sus colegas yamigos cuando iban a visitarle tanto a Valladolidcomo a Madrid.

Gran conversador con excelente sentido del hu-mor y dialéctico empedernido sobre cuestiones rela-tivas a casi todos los ámbitos de la vida, que afec-taban tanto a la política, en el buen sentido de la

35

ESTUDIOS MONOGRÁFICOS Y OPINIONES SOBRE LA PROFESIÓN

palabra, como a la cultura, en un sentido muy am-plio, los deportes, espectáculos, a la sociedad; en re-sumen a todo el ser humano. Como buen ciudadanode los pueblos libres del Valle del Corneja, respeta-ba y apreciaba todo tipo de actitudes y opinionesno excluyentes.

Como hombre bueno que fue, transmitía una to-tal seguridad y confianza, infundiendo siempre unagran paz interior, que conllevaba cierta religiosidady una creencia profunda en los valores humanos,que algunas veces trataba de disimular. Hombre degrandes inquietudes, no renunció nunca a un sis-tema profundo de reflexiones y preguntas a la so-ciedad y al mundo acerca del sistema de relacio-nes sociales, económicas y humanas, en una carreraconstante hacia la búsqueda de la verdad de la vida.

Fue un apasionado de la excelencia en todas susmanifestaciones. En su vida fue un permanente de-fensor de los derechos humanos y la convivenciaen libertad. Recordaba con verdadero entusiasmola transición al sistema democrático, las primeraselecciones democráticas y la aprobación de la Cons-titución como norma de convivencia. Como pruebade su compromiso social le gustaba citar frecuen-temente la frase contenida en la elegía de MiguelHernández a su gran amigo: “Tanto dolor se agru-

pa en mi costado, que por doler me duele hasta elaliento” .

Miguel, hombre culto, discreto, rendía cuentasiempre de su interesante y variada trayectoria vitalen todos los aspectos de su existencia. Quiso dejartestimonio de la vida de su pueblo, al que tanto qui-so, con el testimonio constante de escribir la mejorobra de costumbres.

Hablaba con respeto y admiración de sus pa-dres, Demetrio y Angeles, así como de sus abuelosy hermanos. Marido y padre responsable, afectuosoy modélico, soporte firme de su familia, profesor en-tregado, amigo entrañable y leal, vitalista; siempreestuvo comprometido con la vida. Tu esposa Ma-ría Eugenia y tus hijos Ernesto y Sergio, familia,amigos y compañeros nunca te olvidarán.

Los que tuvimos el privilegio de disfrutar de suamistad y de su legado, podemos decirte con el cora-zón: ¡hasta luego, querido Miguel!, ya que parodian-do al poeta, la belleza siempre perdura en el recuer-do.

Al final se nos fue con alegría y de forma silen-ciosa, como lo hacen los hombres verdaderamentegrandes.

Madrid, 25 de septiembre de 2006.

36

CORRESPONSALES

Corresponsales

Luz Braña [email protected] Nacional de Estadística

Francisco Callealta [email protected] de Alcalá de Henares

Fernando Reche [email protected] de Almería

Ana [email protected] Autónoma deMadrid

Jordi Ocañ[email protected] de Barcelona

Luis Antonio Sarabia [email protected] de Burgos

Juan Luis González [email protected] de Cádiz

Araceli [email protected] de Cantabria

Isabel Molina [email protected] Carlos III de Madrid

Licesio Rodríguez Aragó[email protected] de Castilla-LaMancha

Susana Muñoz Ló[email protected] Complutense deMadrid

José María Caridad y Ocerí[email protected] de Córdoba

José Antonio Vilar Ferná[email protected] da Coruña

Miguel González [email protected] de Extremadura

Vera [email protected] de Girona

Rocío Raya [email protected] de Granada

Beatriz Hernández Jimé[email protected] de Huelva

Emilio Lozano [email protected] de Jaén

David Alcaide López de [email protected] de la Laguna

María Eva Vallejo [email protected] de León

Carles Capdevila [email protected] de Lleida

Carmen Morcillo Aixelá[email protected] de Málaga

Marc Almiñana [email protected] Miguel Hernandez

José Fernández Herná[email protected] de Murcia

Susana Montes Rodrí[email protected] de Oviedo

Dolores Romero [email protected] of Oxford

Maria del Pilar Moreno [email protected] Pablo de Olavide

Pilar Muñ[email protected] Politécnica deCatalunya

Javier Alcaraz [email protected] Politécnica deValencia

Ana Fernández [email protected] Pública de Navarra

Antonio Alonso [email protected] Rey Juan Carlos

Juan Carlos Fillat [email protected] de la Rioja

María Teresa SantosMartín [email protected] de Salamanca

María José Lombardía Cortiñ[email protected] de Santiago deCompostela

Antonio Beato [email protected] de Sevilla

María Cruz Valsero [email protected] de Valladolid

Estela Sánchez Rodrí[email protected] de Vigo

Fernando [email protected] de Zaragoza

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