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A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t n a n c i e r s
m e s u r e s d e r i s q u e s
e t c a d r e r è g l e m e n t a i r e
A r t h u r C h a r p e n t i e r
E d F , f o r m a t i o n c o n t i n u e
a r t h u r . c h a r p e n t i e r @ u n i v - r e n n e s 1 . f r
1
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A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
O v e r v i e w o f t h e t w o s e s s i o n s
1 . N o t i o n s d e b a s e e n p r o b a b i l i t é
2 . P r o c e s s u s s t o c h a s t i q u e s e n t e m p s d i s c r e t
3 . M a r c h é s n a n c i e r s e n t e m p s d i s c r e t
4 . I n t é g r a t i o n s t o c h a s t i q u e e n t e m p s c o n t i n u
5 . F o r m u l e d ' I t ô e t f o r m u l e d e F e y n m a n - K a c
6 . C h a n g e m e n t d e p r o b a b i l i t é
7 . I n t r o d u c t i o n a u x p r o c e s s u s s t o c h a s t i q u e s d i s c o n t i n u s
8 . I n t r o d u c t i o n a u x m o d è l e s d e t a u x d ' i n t é r ê t
9 . M e s u r e s d e r i s q u e s , a s p e c t r è g l e m e n t a i r e s e t p r i n c i p e s d e b a s e
1 0 . C o r r é l a t i o n s , c o p u l e s
1 1 . M o d è l e s s t a t i q u e s
1 2 . M o d è l e s d y n a m i q u e s
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A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
O v e r v i e w o f t h e t w o s e s s i o n s
C o n s i d e r a s e t o f r i s k s , d e n o t e d b y a r a n d o m v e c t o r X = (X 1, . . . , X d)
T h e i n t e r e s t i s a n a g r e g a t i o n f u n c t i o n o f t h o s e r i s k s g(X ) , w h e r e
g : Rd → R, a n d
w e w i s h t o m e a s u r e t h e r i s k o f t h i s q u a n t i t y R(g(X ))
, f o r s o m e r i s k m e a s u r e R
.
•S é a n c e 9 : M e s u r e s d e r i s q u e s , a s p e c t r è g l e m e n t a i r e s e t p r i n c i p e s
d e b a s e
w h a t i s a r i s k m e a s u r e ?
w h a t a r e a c a d e m i c o r p r a g m a t i c r i s k s m e a s u r e s , a n d w h a t a b o u t
a c c o u n t i n g s t a n d a r d s ?
w h a t a r e d e s i r a b l e p r o p e r t i e s o f
R?
h o w t o e s t i m a t e R(Z )
g i v e n a s a m p l e Z 1, . . . , Z n
?
•S é a n c e 1 0 : C o r r é l a t i o n s , c o p u l e s
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O v e r v i e w o f t h e t w o s e s s i o n s
C o n s i d e r a s e t o f r i s k s , d e n o t e d b y a r a n d o m v e c t o r X = (X 1, . . . , X d)
T h e i n t e r e s t i s a n a g r e g a t i o n f u n c t i o n o f t h o s e r i s k s g(X ) , w h e r e
g : Rd → R, a n d
w e w i s h t o m e a s u r e t h e r i s k o f t h i s q u a n t i t y R(g(X ))
, f o r s o m e r i s k m e a s u r e R
.
•S é a n c e 9 : M e s u r e s d e r i s q u e s , a s p e c t r è g l e m e n t a i r e s e t p r i n c i p e s
d e b a s e
•S é a n c e 1 0 : C o r r é l a t i o n s , c o p u l e s
h o w t o m o d e l X
?
w h a t a b o u t d i v e r s i c a t i o n e e c t s ?
w h a t i s t h e c o r r e l a t i o n o f r i s k s i n X ?
c a n w e c o m p a r e R(g(X ))
a n d R(g(X ⊥))
( i . e . u n d e r i n d e p e n d e n c e ) ?
w h a t i s t h e c o n t r i b u t i o n o f X i i n t h e o v e r a l l r i s k ?
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S o m e p o s s i b l e m o t i v a t i o n s . . . i n n a n c e
C o n s i d e r a s e t o f s t o c k p r i c e s a t t i m e T
d e n o t e d X = (X 1, . . . , X d)
a n d
Y = (Y 1, . . . , Y d) t h e r a t i o o f t h e p r i c e a t t i m e T d i v i d e d b y t h e p r i c e a t t i m e 0 ,
a n d a n d l e t g(X ) d e n o t e t h e p a y o a t t i m e
T o f s o m e n a n c i a l d e r i v a t i v e ,
• e . g . s p r e a d d e r i v a t i v e s , g(x1, x2) = (x1 − x2 − K )+ b a s e d o n t h e s p r e a d
b e t w e e n t w o a s s e t s , o r m o r e g e n e r a l l y a n y e x t r e m e s p r e a d o p t i o n s , d u a l
s p r e a d o p t i o n s , c o r r e l a t i o n o p t i o n s o r r a t i o s p r e a d o p t i o n s ,
•e . g . b u t t e r y d e r i v a t i v e s ,
g(x) = (ax− K )+ , i . e . c a l l o p t i o n o n a p o r t f o l i o
o f d
a s s e t s ,
•e . g . m i n - m a x d e r i v a t i v e s o r r a i n b o w ,
g(x) = (minx − K )+ ,
g(x) = (maxx − K )+ , i . e . c a l l o p t i o n o n t h e m i n i m u m o r m a x i m u m o f d
a s s e t s ,
• e . g . A t l a s d e r i v a t i v e s , g(x) = (
i=i+i=i−
Y i − K )+ , w h e r e t h e s u m i s c o n s i d e r e d
s k i p p i n g t h e i− l o w e s t a n d t h e d − i+ l a r g e s t r e t u r n s , o r H i m a l a y a
d e r i v a t i v e s , g(x) = (
i=di=i+
Y i − K )+ ,
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S o m e p o s s i b l e m o t i v a t i o n s . . . i n e n v i r o n m e n t a l r i s k s
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S o m e p o s s i b l e m o t i v a t i o n s . . . i n c r e d i t r i s k
A p p l i c a t i o n s w i t h a h i g h n u m b e r o f r i s k s c a n a l s o b e c o n s i d e r e d , i n c r e d i t r i s k f o r
i n s t a n c e . L e t X = (X 1,...,X d)
d e n o t e t h e v e c t o r o f i n d i c a t o r v a r i a b l e s ,
i n d i c a t i n g i f t h e i- t h c o n t r a c t d e f a u l t e d d u r i n g a g i v e n p e r i o d o f t i m e . I f a c r e d i t
d e r i v a t i v e i s b a s e d o n t h e o c c u r r e n c e o f
kd e f a u l t s a m o n g
dc o m p a n i e s , a n d t h u s ,
t h e p r i c i n g i s r e l a t e d t o t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e n u m b e r o f d e f a u l t s , N
, d e n e d a s
N = X 1 + ... + X d . U n d e r t h e a s s u m p t i o n o f p o s s i b l e c o n t a g i o u s r i s k s , t h e
d i s t r i b u t i o n o f N s h o u l d i n t e g r a t e d e p e n d e n c i e s .
C r e d i t M e t r i c s i n 1 9 9 5 s u g g e s t e d a G a u s s i a n m o d e l f o r c r e d i t c h a n g e s , b a s e d o n a
p r o b i t a p p r o a c h , X i = 1(X ∗i < ui) , w h e r e X ∗i ∼ N (0, 1) .
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!6 !4 !2 0 2 4 6
0 .
0
0 .
1
0 .
2
0 .
3
0 .
4
0 .
5
0 . 6
Value of the company
Probit model in dimension 1
DEFAULT
!4 !2 0 2 4
! 4
! 2
0
2
4
Value of company (1)
V a l u e
o f c o m p a n y ( 2 )
(1) DEFAULTS
( 2 ) DE F A UL T S
Probit model in dimension 2
F i g u r e 1 : M o d e l i n g d e f a u l t s b a s e d o n a p r o b i t a p p r o a c h .
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S o m e p o s s i b l e m o t i v a t i o n s . . . i n r i s k m a n a g e m e n t
C o n s i d e r a s e t a r i s k s X = (X 1,...,X d)( r e t u r n s i n a p o r t f o l i o , l o s s e s p e r l i n e o f
b u s i n e s s , p o s i t i o n s o f n a n c i a l d e s k s )
A c l a s s i c a l r i s k m e a s u r e ( a s i n M a r k o w i t z ( 1 9 5 9 ) ) i s t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n ,
σ(X i) = V ar(X i) = E((X i−E(X ))2)
. T h e r i s k o f t h e p o r t f o l i o
S = X 1 + . . . + X d i s
σ(S ) =
σ(X 1)2 + . . . + σ(X d)2 + 2
i<j
r(X i, X j )σ(X i)σ(X j).
R i s k s a r e n o w m e a s u r e d u s i n g V a l u e - a t - R i s k ( i . e . q u a n t i l e s ) , a n d t h e r e i s n o
r e l a t i o n s h i p b e t w e e n q(X 1 + . . . + X d) a n d q(X 1) + . . . + q(X d) .
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A g e n d a
• G e n e r a l i n t r o d u c t i o n
F i n a n c i a l r i s k s
• M a r k e t r i s k s
•C r e d i t r i s k
•O p e r a t i o n a l r i s k
R i s k m e a s u r e s a n d c a p i t a l a l l o c a t i o n
• R i s k m e a s u r e s : a n a x i o m a t i c i n t r o d u c t i o n
•R i s k m e a s u r e s : c o n v e x i t y a n d c o h e r e n c e
• C a p i t a l a l l o c a t i o n : a n a x i o m a t i c i n t r o d u c t i o n
R i s k m e a s u r e s a n d s t a t i s t i c a l i n f e r e n c e
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A g e n d a
• G e n e r a l i n t r o d u c t i o n
F i n a n c i a l r i s k s
• M a r k e t r i s k s
•C r e d i t r i s k
• F r o m v a r i a n c e t o V a l u e - a t - R i s k
R i s k m e a s u r e s a n d c a p i t a l a l l o c a t i o n
• R i s k m e a s u r e s : a n a x i o m a t i c i n t r o d u c t i o n
•R i s k m e a s u r e s : c o n v e x i t y a n d c o h e r e n c e
• C a p i t a l a l l o c a t i o n : a n a x i o m a t i c i n t r o d u c t i o n
R i s k m e a s u r e s a n d s t a t i s t i c a l i n f e r e n c e
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S o m e r e f e r e n c e s o n r i s k m a n a g e m e n t
F ö l l m e r , H . & S c h i e d , A . ( 2 0 0 4 ) . S t o c h a s t i c n a n c e . A n i n t r o d u c t i o n i n
d i s c r e t e t i m e . G r u y t e r S t u d i e s i n M a t h e m a t i c s ,
J o r i a n , P . ( 2 0 0 7 ) . V a l u e - a t - R i s k ,
M c N e i l , A . F r e y , R . , & E m b r e c h t s , P . ( 2 0 0 5 ) . Q u a n t i t a t i v e R i s k
M a n a g e m e n t : C o n c e p t s , T e c h n i q u e s , a n d T o o l s . P r i n c e t o n U n i v e r s i t y P r e s s ,
R o n c a l l i , T . ( 2 0 0 4 ) . L a g e s t i o n d e s r i s q u e s n a n c i e r s . E c o n o m i c a .
B a s e l C o m m i t t e e o n B a n k i n g S u p e r v i s i o n . I n t e r n a t i o n a l c o n v e r g e n c e o f c a p i t a l
m e a s u r e m e n t a n d c a p i t a l s t a n d a r d s . h t t p : / / w w w . b i s . o r g / p u b l / b c b s 1 2 8 . p d f
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I n t r o d u c t i o n t o r i s k m a n a g e m e n t : c r i s i s
a s t a t i s t i c a l m o d e l i s a p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n c o n s t r u c t e d t o e n a b l e i n f e r e n c e s t o
b e d r a w n o r d e c i s i o n s m a d e f r o m d a t a ( J o r i o n ( 2 0 0 7 ) ) .
1 9 7 4 H e r s t a t t B a n k , 6 2 0 m i l l i o n U S D ( ⇒
R e a l T i m e G r o s s S e t t l e m e n t S y s t e m s )
1 9 9 4 M e t a l l g e s e l l s c h a f t , 1 3 4 0 m i l l i o n U S D ( o i l f u t u r e s )
1 9 9 4 O r a n g e C o u n t y , 1 8 1 0 m i l l i o n U S D ( d e r i v a t i e s )
1 9 9 4 P r o c t e r & G a m b l e , 1 0 2 m i l l i o n U S D ( d e r i v a t i e s )
1 9 9 5 B a r i n g s , 1 3 3 0 m i l l i o n U S D ( f r a u d u l e n t m a n i p u l a t i o n s )
1 9 9 7 N a t w e s t , 1 2 7 m i l l i o n U S D ( f r a u d u l e n t m a n i p u l a t i o n s )
1 9 9 8 L T C M ( L o n g T e r m C a p i t a l M a n a g e m e n t ) , 2 0 0 0 m i l l i o n U S D ( l i q u i d i t y c r i s i s )
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D i s t i n g u i s h i n g a m o n g r i s k s
•m a r k e t r i s k
•i n t e r e s t r a t e r i s k
•c u r r e n c y r i s k
•v o l a t i l i t y r i s k
•c r e d i t r i s k
•d e f a u l t r i s k
•d o w n g r a d i n g r i s k
•o p e r a t i o n a l r i s k
•d i s a s t e r r i s k
•f r a u d r i s k
•t e c h n o l o g i c r i s k
•l i t i g a t i o n r i s k
•l i q u i d i t y r i s k
•m o d e l r i s k
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H i s t o r y o f r i s k m e a s u r e s
T h e e v o l u t i o n o f ( a n a l y t i c a l ) R i s k M a n a g e m e n t T o o l s ( f r o m J o r i o n ( 2 0 0 7 ) )
1 9 3 8 b o n d d u r a t i o n
1 9 5 2 M a r k o w i t z m e a n - v a r i a n c e f r a m e w o r k
1 9 6 3 S h a r p e ' s s i n g l e b e t a m o d e l
1 9 7 3 B l a c k & S c h o l e s o p t i o n p r i c i n g f o r m u l a
1 9 8 3 R A R O C , R i s k A d j u s t e d R e t u r n
1 9 9 2 S t r e s s t e s t i n g
1 9 9 3 V a l u e - a t - R i s k ( V a R )
1 9 9 4 R i s k M e t r i c s
1 9 9 7 C r e d i t M e t r i c s
1 9 9 8 i n t e g r a t i o n o f c r e d i t a n d m a r k e t r i s k
1 9 9 9 c o h e r e n t r i s k m e a s u r e s
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A g e n d a
• G e n e r a l i n t r o d u c t i o n
F i n a n c i a l r i s k s
• M a r k e t r i s k s
•C r e d i t r i s k
• F r o m v a r i a n c e t o V a l u e - a t - R i s k
R i s k m e a s u r e s a n d c a p i t a l a l l o c a t i o n
• R i s k m e a s u r e s : a n a x i o m a t i c i n t r o d u c t i o n
•R i s k m e a s u r e s : c o n v e x i t y a n d c o h e r e n c e
• C a p i t a l a l l o c a t i o n : a n a x i o m a t i c i n t r o d u c t i o n
R i s k m e a s u r e s a n d s t a t i s t i c a l i n f e r e n c e
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8/8/2019 Slides Edf 1
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A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
M a r k e t r i s k s
C l a s s i c a l m o d e l s f o r s t o c k p r i c e s ,
• d y n a m i c m o d e l s ( B a c h e l i e r ( 1 9 0 0 ) , B l a c k & S c h o l e s ( 1 9 7 3 ) ) , B r o w n i a n
g e o m e t r i c
dS t = µS tdt
d r i f t
+√
V S tdW t
r a n d o m p a r t
,
w h e r e (W t)t≥0 i s a s t a n d a r d b r o w n i a n m o t i o n ,
• m o r e a d v a n c e d d y n a m i c m o d e l s ( H e s t o n ( 1 9 9 3 ) ) h a v e s t o c h a s t i c v o l a t i l i t y
dS t = µS tdt +√
V tdW St
dV t
= κ(θ−
V t)dt + ξ
√V
tdW V
t,
w h e r e (W St )t≥0 a n d
(W V t )t≥0 a r e t w o s t a n d a r d b r o w n i a n m o t i o n s ( p o s s i b l y
c o r r e l a t e d ) .
1 9
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 20/131
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
5 0
1 0 0
1 5 0
2 0 0
Stock price over 1 year, large volatility
Time
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
5 0
1 0 0
1 5 0
2 0 0
Stock price over 1 year, large volatility
Time
F i g u r e 4 : R a n d o m g e n e r a t i o n o f a s t o c k p r i c e , dS t = µS tdt + σS tdW t .
2 0
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 21/131
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
M a r k e t r i s k s
N o t e t h a t c o n t i n u o u s GARCH
p r o c e s s e s c a n a l s o b e c o n s i d e r e d dS t = µS tdt +√
V tdW St
dV t = κ(θ − V t)dt + ξV tdW V t ,
2 1
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 22/131
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
M a r k e t r i s k s
•t h e c a p i t a l a s s e t p r i c i n g m o d e l ( M a r k o w i t z ( 1 9 7 0 ) o r t h e S h a r p e i n d e x a r e
b a s e d o n t h e m e a n - v a r i a n c e f r a m e w o r k ,
0 5 #0 #5
! # . 0
! 0 . 5
0 . 0
0 . 5
# . 0
# . 5
% . 0
% . 5
&ca)t!type
& s p / ) a n c e
0 " #0 #"
! # . 0
! 0 . "
0 . 0
0 . "
# . 0
# . "
% . 0
% . "
&ca)t!t+pe
& s p / ) a n c e
F i g u r e 5 : C a p i t a l a s s e t p r i c i n g m o d e l , t h e m e a n - v a r i a n c e f r a m e w o r k .
2 2
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 23/131
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
H o w t o q u a n t i f y m a r k e t r i s k s : v o l a t i l i t y
A l l t h e i n f o r m a t i o n a b o u t u n c e r t a i n t y i s s u m m a r i z e d b y t h e v o l a t i l i y - o r
v a r i a n c e - p a r a m e t e r .
N o t e t h a t t h i s i s o n e o f t h e d r a w b a c k o f t h e u s e o f t h e G a u s s i a n d i s t r i b u t i o n .
2 3
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 24/131
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
A ( v e r y ) s h o r t w o r d o n d i v e r s i c a t i o n
N a t u r a l l y , i n h i g h e r d i m e n s i o n ( w h e n d e a l i n g w i t h m u l t i p l e s t o c k s ) , G a u s s i a n
v e c t o r s a r e c o n s i d e r e d
X = X 1
X 2.
.
.
X d
∼ N
µ1
µ2
.
.
.
µd
,σ21 ρ1,2σ1σ2 · · · ρ1,dσ1σd
ρ2,1σ2σ1 σ22 · · · ρ2,dσ2σd
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ρd,1σdσ1 ρd,2σdσ2 · · · σ2d
A l l t h e i n f o r m a t i o n a b o u t m a r g i n a l r i s k s i s i n t h e v a r i a n c e s ( σ2
i ) w h i l e a l l t h e
i n f o r m a t i o n o n t h e d e p e n d e n c e i s i n t h e c o r r e l a t i o n c o e c i e n t s ( ρi,j ) .
2 4
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 25/131
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
O n t h e G a u s s i a n d i s t r i b u t i o n
T h e G a u s s i a n d i s t r i b u t i o n i s v e r y i m p o r t a n t f o r m a n y r e a s o n s ,
•i t i s a s t a b l e d i s t r i b u t i o n , i . e . i t a p p e a r s a s a l i m i t i n g d i s t r i b u t i o n i n t h e
c e n t r a l l i m i t t h e o r e m : f o r i . i . d . X i ' s w i t h n i t e v a r i a n c e ,
√n
X − E(X )√V X
L→ N (0, 1).
•i t i s a n e l l i p t i c d i s t r i b u t i o n , i . e . X = µ +AX 0 w h e r e AA = Σ, a n d w h e r e
X 0 h a s a s p h e r i c d i s t r i b u t i o n , i . e . f (x0)
i s a f u n c t i o n o f x0x0 ( s p h e r i c a l l e v e l
c u r v e s ) ,
2 5
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 26/131
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
−3 −2 −1 0 1 2 3
− 3
− 2
− 1
0
1
2
3
Level curves of a spherical distribution
−3 −2 −1 0 1 2 3
− 3
− 2
− 1
0
1
2
3
Level curves of a elliptical distribution
F i g u r e 6 : T h e G a u s s i a n d i s t r i b u t i o n .
2 6
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 27/131
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
O n t h e G a u s s i a n d i s t r i b u t i o n
A s a c o n s e q u e n c e , i f X ∼ N (µ,Σ), a n d i f
X = X 1
X 2 ∼ N µ1
µ2 ,Σ11 Σ12
Σ21 Σ22 • X i ∼ N (µi, Σi)
, f o r a l l i = 1, · · · , d
,
• αX = α1X 1 + · · · + αdX d ∼ N (αµ,αΣα),
•X 1
|X 2 = x2
∼ N (µ1 + Σ12Σ
−12,2(x2
−µ2),Σ1,1
−Σ12Σ
−12,2Σ21)
2 7
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 28/131
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
−3
−2
−1
0
1
23
−3
−2
−1
0
1
2
30.00
0.05
0.10
0.15
0.20
Density of the Gaussian distribution
−3 −2 −1 0 1 2 3
− 3
− 2
− 1
0
1
2
3
Level curves of a elliptical distribution
F i g u r e 7 : T h e G a u s s i a n d i s t r i b u t i o n .
2 8
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 29/131
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
A g e n d a
•G e n e r a l i n t r o d u c t i o n
F i n a n c i a l r i s k s
• M a r k e t r i s k s
•C r e d i t r i s k
• F r o m v a r i a n c e t o V a l u e - a t - R i s k
R i s k m e a s u r e s a n d c a p i t a l a l l o c a t i o n
• R i s k m e a s u r e s : a n a x i o m a t i c i n t r o d u c t i o n
•R i s k m e a s u r e s : c o n v e x i t y a n d c o h e r e n c e
• C a p i t a l a l l o c a t i o n : a n a x i o m a t i c i n t r o d u c t i o n
R i s k m e a s u r e s a n d s t a t i s t i c a l i n f e r e n c e
2 9
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 30/131
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
C r e d i t r i s k
C r e d i t r i s k i s t h e r i s k t h a t a n o b l i g o r d o e s n o t f u l l h i s p a y m e n t o b l i g a t i o n s ,
e i t h e r w h o l l y o r i n p a r t .
F o r s i n g l e o b l i g o r s , o n e s h o u l d m o d e l
• r i s k a r r i v a l ( g i v e n a t i m e h o r i z o n , i t t h e r e a d e f a u l t ? )
• r i s k t i m i n g ( w h e n d o e s t h e d e f a u l t o c c u r ? )
• r i s k m a g n i t u d e ( h o w h i g h i s t h e l o s s ? )
a n d o n a p o r t f o l i o l e v e l
• r i s k c o r r e l a t i o n ( w i l l t h e r e b e a n y c o n t a g i o n ? )
H e r e , l o s s d i s t r i b u t i o n s h a v e l o w p r o b a b i l i t i e s b u t h i g h l o s s e s ( h i g h d o w n s i d e r i s k ,
s t r o n g l y s k e w e d ) .
H e n c e , f o r c r e d i t r i s k , v o l a t i l i y h a s n o m e a n i n g .
M a i n p r o b l e m : n o m u c h h i s t o r i c a l d a t a .
3 0
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 31/131
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
C l a s s i c a l c r e d i t r i s k m o d e l s
•c r e d i t s c o r i n g , l o g i t / p r o b i t m o d e l s t o m o d e l d e f a u l t o c c u r e n c e
• m o d e l s f o r r a t i n g t r a n s i t i o n b a s e d o n M a r k o v c h a i n s
•m o d e l s f o r b o n d p r i c e s , i n t e n s i t y b a s e d
3 1
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 32/131
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
T h e b i n o m i a l m o d e l f o r c r e d i t d e f a u l t
C o n s i d e r d e f a u l t s i n a p o r t f o l i o , u n t i l a x e d t i m e - h o r i z o n T , w i t h n o i n t e r e s t
r a t e .
T h e e x p o s u r e s a r e o f i d e n t i c a l s i z e L
, i d e n t i c a l r e c o v e r y r a t e c
. A s s u m e a l s o t h a t
t h e p o r t f o l i o i s h o m o g e n e o u s , i . e . e a c h o b l i g o r d e f a u l t s w i t h a p r o b a b i l i t y p
b e f o r e t i m e - h o r i z o n T
.
A s s u m e t h a t d e f a u t s h a p p e n i n d e p e n d e n t y o f e a c h o t h e r .
L e t X
d e n o t e t h e n u m b e r o f d e f a u l t i n t h e p o r t f o l i o , s o t h a t t h e l o s s i s X (1 − c)L
.
I f d e f a u l t s a r e i n d e p e n d e n t ,
P(X = k) =
d
k pk(1 − p)d−k =
d!
k!(d
−k)!
pk(1 − p)d−k = (k; d, p)
a n d
P(X ≤ k) =k
i=0
d
k
pk(1 − p)d−k = B(k; d, p)
3 2
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 33/131
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
0 5 10 15 20 25 30
0 . 0
0
0 . 0
5
0 . 1
0
0 . 1
5
0 . 2
0
Distribution of number of defaults, n=30, p=20%
Number of defaults
P r o b a b i l i t y
0 5 10 15 20 25 30
0 . 0
0
0 . 0
5
0 . 1
0
0 . 1
5
0 . 2
0
0 . 2
5
0 . 3
0
0 . 3
5
Distribution of number of defaults, n=30, p= 5%
Number of defaults
P r o b a b i l i t y
0 5 10 15 20 25 30
0 . 2
0 . 4
0 . 6
0 . 8
1 . 0
Distribution of number of defaults, n=30, p=20%
Number of defaults
C u m u l a t i v e p r o b a b i l i t y
0 5 10 15 20 25 30
0 . 2
0 . 4
0 . 6
0 . 8
1 . 0
Distribution of number of defaults, n=30, p= 5%
Number of defaults
C u m u l a t i v e p r o b a b i l i t y
F i g u r e 8 : D i s t r i b u t i o n o f t h e n u m b e r o f d e f a u l t s , i n d e p e n d e n t c a s e .
3 3
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 34/131
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
E x t e n d i n g t h e b i n o m i a l m o d e l f o r c r e d i t d e f a u l t
A s i m p l i e d r m ' s v a l u e m o d e l c a n b e c o n s i d e r e d , w h e r e t h e d e f a u l t o f e a c h
o b l i g o r k
i s t r i g g e r e d b y t h e c h a n g e o f t h e v a l u e V k(t)
o f t h e a s s e t s o f i t s r m .
A s s u m e t h a t V k(T ) i s n o r m a l l y d i s t r i b u t e d , a n d s t a n d a r d i z e d , i . e .
V k(T ) ∼ N (0, 1) . A s s u m e m o r e g e n e r a l l y t h a t
V (T ) = (V 1(T ), · · · , V d(T )) ∼ N (0,Σ), i . e . t h e a s s e t v a l u e s o f d i e r e n t o b l i g o r s
m i g h t b e c o r r e l e t e d w i t h e a c h o t h e r .
O b l i g o r k
d e f a u l t s i f i t s r m ' s v a l u e f a l l s b e l o w a b a r r i e r V k(T ) ≤ Bk .
T h i s c a n b e s e e n a s a m u l t i v a r i a t e p r o b i t m o d e l .
3 4
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 35/131
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
A o n e - f a c t o r m o d e l f o r c r e d i t d e f a u l t
A s s u m e t h a t t h e v a l u e s o f t h e a s s e t s o f t h e o b l i g o r s a r e d r i v e n b y o n e c o m m o n
f a c t o r
Y , a n d a n i d i o s y n c r a t i c s t a n d a r d n o r m a l n o i s e c o m p o n e n t
εk , s o t h a t
V k(T ) =√
ρY +
1 − ρεk, k = 1, · · · , d,
w h e r e Y
a n d t h e εk ' s a r e i n d e p e n d e n t a n d
N (0, 1)d i s t r i b u t e d .
T h i s i s a n e x c h a n g e a b l e m o d e l : c o n d i t i o n a l o n t h e r e a l i s a t i o n o f t h e s y s t e m a t i c
f a c t o r Y , t h e r m ' s v a l u e s a n d t h e d e f a u l t s r a e i n d e p e n d e n t .
A s s u m i n g t h a t Bk = B
a n d t h a t t h e e x p o s u r e i s Lk = 1
, t h e n
P(X = k) =
P(X = k|Y = y)φ(y)dy,
a n d c o n d i t i o n a l o n
Y = y, t h e p r o b a b i l i t y t o h a v e
kd e f a u l t s i s
P(X = k|Y = y) =
d
k
p(y)k(1 − p(y))d−k
3 5
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 36/131
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
A o n e - f a c t o r m o d e l f o r c r e d i t d e f a u l t
w h e r e p(y) i s t h e p r o b a b i l i t y t h a t V i(T ) f a l l s b e l o w B , i . e .
p(y) = P(V i(T )
≤B
|Y = y) = Pε
i ≤B
−
√Y
√1 − ρ ≤BY = y = ΦK − √
ρy
√1 − ρ .
S u b s t i t u t i n g y i e l d s
P(X = k) =
d
k
Φ
K − √
ρy√1 − ρ
k 1 − Φ
K − √
ρy√1 − ρ
d−k
φ(y)dy
3 6
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 37/131
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq q q q q q q q q q q q q q q q q q
0 5 10 15 20 25 30
0 . 0
0
0 . 0
5
0 . 1
0
0 . 1
5
Distribution of number of defaults, n=30, p=20%, r=0.1
Number of defaults
P r o b a b i l i t y
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq q q q q q q q q q q q q q q q q q
0 5 10 15 20 25 30
0 . 0
0
0 . 0
5
0 . 1
0
0 . 1
5
Distribution of number of defaults, n=30, p=20%, r=0.2
Number of defaults
P r o b a b i l i t y
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq q q q q q q q q q q q q q q q q q
0 5 10 15 20 25 30
0 . 0
0
0 . 0
5
0 . 1
0
0 . 1
5
Distribution of number of defaults, n=30, p=20%, r=0.3
Number of defaults
P r o b a b i l i t y
0 5 10 15 20 25 30
0 . 0
0 . 2
0 . 4
0 . 6
0 . 8
1 . 0
Distribution of number of defaults, n=30, p=20%, r=0.1
Number of defaults
C u m u l a t i v e p r o b a b i l i t y
0 5 10 15 20 25 30
0 . 0
0 . 2
0 . 4
0 . 6
0 . 8
1 . 0
Distribution of number of defaults, n=30, p=20%, r=0.2
Number of defaults
C u m u l a t i v e p r o b a b i l i t y
0 5 10 15 20 25 30
0 . 2
0 . 4
0 . 6
0 . 8
1 . 0
Distribution of number of defaults, n=30, p=20%, r=0.3
Number of defaults
C u m u l a t i v e p r o b a b i l i t y
F i g u r e 9 : D i s t r i b u t i o n o f t h e n u m b e r o f d e f a u l t s , n o n i n d e p e n d e n t c a s e .
3 7
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 38/131
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
U s i n g v a r i a n c e f o r c r e d i t r i s k ?
I s v a r i a n c e r e l e v a n t t o m e a s u r e r i s k ?
N o s i n c e i t i s n o t a d o w n s i d e r i s k .
3 8
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 39/131
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
0
2 0
4 0
6 0
8 0
1 0 0
Evolution of the variance of X as a function of rho, p=20%
Evolution of parameter rho
V a r i a n c e
F i g u r e 1 0 : E v o l u t i o n o f t h e v a r i a n c e o f X
a s a f u n c t i o n o f ρ
.
3 9
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 40/131
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
U s i n g v a r i a n c e f o r c r e d i t r i s k ?
O n e h a s t o n d a c o e c i e n t w h i c h m e a s u r e s p r o p e r l y d o w n s i d e r i s k . A n i d e a i s
t o u s e a q u a n t i l e
D e n i t i o n 1 . T h e α - q u a n t i l e o f a d i s t r i b u t i o n F X i s qX (α) , s u c h t h a t
qX (α) = F −1X (α)w h e r e
F −1X (u) = inf x, F X (x) ≥ u, w h e r e u ∈ (0, 1).
T h e n F −1X (·) i s i n c r e a s i n g o n
(0, 1), c o n t i n u o u s f r o m t h e l e f t , w i t h l i m i t s f r o m t h e
r i g h t , a n d f u r t h e r
F −1X F X (x) ≤ xf o r a n y
xa n d
F X F −1X (u) ≥ uf o r a n y
p.
R e m a r k A l m o s t e q u i v a l e n t l y , i t i s p o s s i b l e t o d e n e
F −1X (u) = supx, F X (x) ≤ u,w h e r e
u ∈ (0, 1).
4 0
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 41/131
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
2 0
4 0
6 0
8 0
1 0 0
Evolution of the variance of X as a function of rho, p= 5%
Evolution of parameter rho
Q u a n t i l e
90% quantile
95% quantile
99% quantile
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
4 0
6 0
8 0
1 0 0
Evolution of the variance of X as a function of rho, p=20%
Evolution of parameter rho
Q u a n t i l e
90% quantile
95% quantile
99% quantile
F i g u r e 1 1 : E v o l u t i o n o f t h e q u a n t i l e o f X
a s a f u n c t i o n o f ρ
.
4 1
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 42/131
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
A g e n d a
•G e n e r a l i n t r o d u c t i o n
F i n a n c i a l r i s k s
• M a r k e t r i s k s
•C r e d i t r i s k
• F r o m v a r i a n c e t o V a l u e - a t - R i s k
R i s k m e a s u r e s a n d c a p i t a l a l l o c a t i o n
• R i s k m e a s u r e s : a n a x i o m a t i c i n t r o d u c t i o n
•R i s k m e a s u r e s : c o n v e x i t y a n d c o h e r e n c e
• C a p i t a l a l l o c a t i o n : a n a x i o m a t i c i n t r o d u c t i o n
R i s k m e a s u r e s a n d s t a t i s t i c a l i n f e r e n c e
4 2
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 43/131
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
V a l u e - a t - R i s k
T h e e x p r e s s i o n i s q u i t e r e c e n t a n d i t s o r i g i n i s u n c e r t a i n : i n t h e 8 0 ' s , s o m e
p a p e r s i n t r o d u c e d d o l l a r s - a t - r i s k , c a p i t a l - a t - r i s k , i n c o m e - a t - r i s k , e a r n i n g - a t - r i s k
a n d n a l l y v a l u e - a t - r i s k
D e n o m i n a t i o n h a s b e e n s t a b i l i z e d a f t e r t h e p u b l i c a t i o n o f R i s k M e t r i c s T e c h n i c a l
D o c u m e n t i n 1 9 9 4 , b y J P M o r g a n . N o t e t h a t t h e w o r k a c c o m p l i s h e d b y
J P M o r g a n w a s m o r e a p u l i c r e l a t i o n c a m p a i g n t h a n a n a d v a n c e d t e c h n i c a l s t u d y :
V a R i s m o r e a p r a c t i c e t h a n a t h e o r y .
V a R s u m m a r i z e s t h e w o r s t l o s s e v e r o n a t a r g e t h o r i z o n t h a t w i l l n o t b e e x c e e d e d
w i t h a g i v e n l e v e l o f c o n d e n c e , i . e . f o r m a l y i t i s a q u a n t i l e o f t h e p r o j e c t e d
d i s t i b u t i o n o f g a i n s a n d l o s s e s o v e r t h e t a r g e t h o r i z o n
T i l l G u l d i m a n n ( 1 9 9 2 ) c r e a t e d t h e t e r m v a l u e - a t - r i s k w h i l e h e a d o f g l o b a l
r e s e a r c h a t J P M o r g a n i n t h e l a t e 8 0 ' s . I t a p p e a r e d i n t h e G 3 0 r e p o r t ( g r o u p o f
t h i r t y ) i n J u l y 1 9 9 3 .
4 3
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 44/131
A t e c h n i c a l d e n i t i o n f o r t h e V a l u e - a t - R i s k
D e n i t i o n 2 . L e t X
d e n o t e t h e l o s s d i s t r i b u t i o n , t h e n
V aR(X, α) = qX (α), f o r a l l
α ∈ (0, 1).
4 4
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 45/131
T h e B a s e l I I a c c o r d ( 2 0 0 4 )
J u n e 2 0 0 4 , t h e B a s e l C o m m i t t e e n a l i z e d t h e B a s e l A c c o r d s , b a s e d o n t h r e e
p i l l a r s
• m i n i m u m r e g u l a t o r y r e q u i e r e m e n t s , i . e . s o m e r i s k - b a s e d c a p i t a l r e q u i r e m e n t s :
s e t c a p i t a l c h a r g e s a g a i n s t c r e d i t r i s k ( i n t e r n a l r a t i n g b a s e d ) , m a r k e t r i s k
( i n t e r n a l m o d e l a p p r o a c h ) a n d o p e r a t i o n a l r i s k . t h e g o a l i s t o k e e p c o n s t a n t
t h e l e v e l o f c a p i t a l i n t h e g l o b a l b a n k i n g s y s t e : 8%
o f r i s k w e i g h t e d a s s e t s ,
• s u p e r v i s o r v r e v i e w , i . e . e x p a n d e d r o l e f o r b a n k r e g u l a r t o r s , t o e n s u r e t h a t
b a n k s o p e r a t e a b o v e t h e m i n i m u m r e g u l a t o r y c a p i t a l r a t i o s , t h a t b a n k s h a v e
a p p r o p r i a t e p r o c e s s e s f o r a s s e s s i n g t h e i r r i s k s , a n d a p p r o p r i a t e c o r r e c t i v e
a c t i o n s
•m a r k e t d i s c i p l i n e , i . e . s e t o f d i s c l o s u r e r e c o m m e n d a t i o n s , e n c o u r a g i n g t o
p u b l i s h i n f o r m a t i o n s a b o u t e x p o s u r e s , r i s k p r o l e s , c a p i t a l c u s h i o n . . .
F r o m t h e r s t p i l l a r , t h e r e s h o u l d b e a c r e d i t r i s k c h a r g e ( C R C ) , a m a r k e t r i s k
c h a r g e ( M R C ) a n d a n o p e r a t i o n n a l r i s k c h a r g e ( O R C ) , a n d t h e b a n k ' s t o t a l
4 5
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 46/131
c a p i t a l m u s t e x c e e d t h e t o t a l - r i s k c h a r g e ( T R C )
C a p i t a l >
T R C =
C R C +
M R C +
O R C .
W h y u s i n g V a R a s a r i s k m e a s u r e ?
M a r k o w i t z ( 1 9 5 2 ) c l a i m e d t h a t s t a n d a r d d e v i a t i o n s h o u l d b e a n i n t u i t i v e a n d
a p p r o p r i a t e r i s k m e a s u r e ( l e a d i n g t o t h e m e a n - v a r i a n c e t r a d e - o ) .
T h e s a m e y e a r , R o y ( 1 9 5 2 ) c l a i m e d t h a t t h e o p t i m a l b u n d l e o f a s s e t s
( i n v e s t m e n t ) f o r i n v e s t o r s w h o e m p l o y t h e s a f e t y r s t p r i n c i p l e i s t h e p o r t f o l i o
t h a t m i n i m i z e s t h e p r o b a b i l i t y o f d i s a s t e r .
R o y A . D . ( 1 9 5 2 ) , S a f e t y r s t a n d t h e h o l d i n g o f a s s e t s , E c o n o m e t r i c a , 2 0 ,
4 3 1 - 4 4 9 .
M a r k o w i t z H . M . ( 1 9 5 2 ) , P o r t f o l i o s e l e c t i o n , J o u r n a l o f F i n a n c e , 7 , 7 7 - 9 1 .
4 6
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 47/131
A g e n d a
•G e n e r a l i n t r o d u c t i o n
F i n a n c i a l r i s k s
• M a r k e t r i s k s
•C r e d i t r i s k
• F r o m v a r i a n c e t o V a l u e - a t - R i s k
R i s k m e a s u r e s a n d c a p i t a l a l l o c a t i o n
• R i s k m e a s u r e s : a n a x i o m a t i c i n t r o d u c t i o n
•R i s k m e a s u r e s : c o n v e x i t y a n d c o h e r e n c e
• C a p i t a l a l l o c a t i o n : a n a x i o m a t i c i n t r o d u c t i o n
R i s k m e a s u r e s a n d s t a t i s t i c a l i n f e r e n c e
4 7
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 48/131
I n t r o d u c t i o n t h e r i s k m e a s u r e s , a n d r i s k p e r c e p t i o n
S . C l a m [ . . . ] o n c e s a i d :
I d e n e a c o w a r d a s s o m e o n e w h o w i l l n o t b e t w h e n
y o u o e r h i m t w o - t o - o n e o d d s a n d l e t h i m c h o o s e h i s s i d e .
W i t h t h e c e n t u r i e s o l d S t . P e t e r s b u r g p a r a d o x i n m y m i n d , I p e d a n t i c a l l y
c o r r e c t e d h i m : Y o u m e a n w i l l n o t m a k e a s u c i e n t l y s m a l l b e t ( s o t h a t t h e
c h a n g e i n t h e m a r g i n a l u t i l i t y o f m o n e y w i l l n o t c o n t a m i n a t e h i s c h o i c e ) . .
R e c a l l i n g t h i s c o n v e r s a t i o n , a f e w y e a r s a g o I o e r e d s o m e l u n c h c o l l e a g u e s t o
b e t e a c h $ 2 0 0 t o $ 1 0 0 t h a t t h e s i d e o f a c o i n t h e y s p e c i e d w o u l d n o t a p p e a r a t
t h e r s t t o m . O n e d i s t i n g u i s h e d s c h o l a r - w h o l a y s n o c l a i m t o a d v a n c e d
m a t h e m a t i c a l s k i l l s - g a v e t h e f o l l o w i n g a n s w e r :
4 8
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 49/131
I n t r o d u c t i o n t h e r i s k m e a s u r e s , a n d r i s k p e r c e p t i o n
I w o n ' t b e t b e c a u s e I w o u l d f e l l t h e $ 1 0 0 l o s s m o r e t h a n t h e $ 2 0 0 g a i n . B u t
I ' l l t a k e y o u o n i f y o u p r o m i s e t o l e t m e m a k e 1 0 0 s u c h b e t s
.
W h a t w a s b e h i n d t h i s i n t e r e s t i n g a n s w e r ? H e , a n d m a n y o t h e r s , h a v e g i v e n
s o m e t h i n g l i k o t h o f o l l o w i n g e x p l a n a t i o n .
O n e t o s s i s n o t e n o u g h t o m a k e i t
r e a s o n a b l y s u r e t h a t t h e l a w o f a v e r a g e s w i l l t u r n o u t i n m y f a v o r . B u t i n a
h u n d r e d t o s s e s o f a c o i n , t h e l a w o f l a r g e n u m b e r s w i l l m a k e a d a m g o o d b e t . I
a m , s o t o s p e a k , v i r t u a l l y s u r e t o c o m e o u t a h e a d i n s u c h a s e q u e n c e , a n d t h a t i s
w h y I a c c e p t t h e s e q u e n c e w h i l e r e j e c t i n g t h e s i n g l e t o s s .
.
O n e c a n c h e c k t h a t P(
g a i n > 0) = P(
a t l e a s t 34
o d d s ) ∼ 99.91%
.
H o w e v e r , w i t h o n e t o s s , t h e m a x i m a l l o s s i s $ 1 0 0 b u t i t b e c o m e s $ 1 0 , 0 0 0 w i t h
1 0 0 t o s s e s .
4 9
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 50/131
N o t a t i o n s
L e t X
b e a r e a l v a l u e d r a n d o m v a r i a b l e , i n t e r p r e t e d a s a ( n e t ) l o s s .
D e n i t i o n 3 . A r i s k m e a s u r e i s a f u n c t i o n
R : X →R
, i n t e r p r e t e d a s t h e c a p i t a l
n e c e s s a r y .
E x a m p l e 4 . R(X ) = supX (ω), ω ∈ Ω
, R(X ) = supEQ(X ),Q ∈ Q
w h e r e Q
i s a s e t o f p r o b a b i l i t i e s ( c a l l e d s c e n a r i o s ) , R(X ) = F −1X (α) w h e r e α ∈ (0, 1) . . . e t c .
5 0
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 51/131
R i s k m e a s u r e s a n d p r i c e o f a r i s k
P a s c a l , F e r m a t , C o n d o r c e t , H u y g e n s , d A l e m b e r t i n t h e X V I I I t h c e n t u r y
p r o p o s e d t o e v a l u a t e t h e p r o d u i t s c a l a i r e d e s p r o b a b i l i t é s e t d e s g a i n s ,
< p,x >=
ni=1
pixi = EP(X ),
b a s e d o n t h e r è g l e d e s p a r t i e s .
F o r Q u é t e l e t , t h e e x p e c t e d v a l u e w a s , i n t h e c o n t e x t o f i n s u r a n c e , t h e p r i c e t h a t
g u a r a n t e e s a n a n c i a l e q u i l i b r i u m .
F r o m t h i s i d e a , w e c o n s i d e r i n i n s u r a n c e t h e p u r e p r e m i u m a s EP(X )
. A s i n
C o u r n o t ( 1 8 4 3 ) , l ' e s p é r a n c e m a t h é m a t i q u e e s t d o n c l e j u s t e p r i x d e s c h a n c e s
( o r t h e f a i r p r i c e m e n t i o n e d i n F e l l e r ( 1 9 5 3 ) ) .
5 1
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 52/131
W h a t i s p r o b a b i l i t y P ?
m y d w e l l i n g i s i n s u r e d f o r $ 2 5 0 , 0 0 0 . M y a d d i t i o n a l p r e m i u m f o r e a r t h q u a k e
i n s u r a n c e i s $ 7 6 8 ( p e r y e a r ) . M y e a r t h q u a k e d e d u c t i b l e i s $ 4 3 , 7 5 0 . . . T h e m o r e I
l o o k t o t h i s , t h e m o r e i t s e e m s t h a t m y c h a n c e s o f h a v i n g a c o v e r e d l o s s a r e a b o u t
z e r o . I ' m p a y i n g $ 7 6 8 f o r t h i s ? ( B u s i n e s s I n s u r a n c e , 2 0 0 1 ) .
•E s t i m a t e d a n n u a l i z e d p r o a b i l i t y i n S e a t l e
1/250 = 0.4%,
• A c t u a r i a l p r o b a b i l i t y 768/(250, 000 − 43, 750) ∼ 0.37%
T h e p r o b a b i l i t y f o r a n a c t u a r y i s 0.37%
( c l o s e d t o t h e a c t u a l e s t i m a t e d
p r o b a b i l i t y ) , b u t i t i s m u c h s m a l l e r f o r a n y o n e e l s e .
5 2
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 53/131
S a i n t P é t e r s b o u r g ' s p a r a d o x
P r o b l e m p r o p o s e d b y B e r n o u l l i ( 1 7 1 3 ) ,
U n e p i è c e d e m o n n a i e e s t l a n c é e j u s q u ' à c e q u e p i l e a p p a r a i s s e . L e j o u e u r A
r e ç o i t a l o r s d e l a b a n q u e B l a s o m m e d e 2n f r a n c s , o u n e s t l e n o m b r e t o t a l d e
l a n c e r s . Q u e l l e m i s e d o i t d i s p o s e r A
a v a n t l e p r e m i e r j e t p o u r q u e l a p a r t i e s o i t
é q u i t a b l e ?
I t i s a p a r a d o x s i n c e t h e e x p e c t e d v a l u e i s i n n i t e
∞
i=1
P(s t o p a f t e r
nd r a w
) · 2n =
∞
i=1
1
2n· 2n =
∞
i=1
1 = ∞.
5 3
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
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S a i n t P é t e r s b o u r g ' s p a r a d o x
M a n y a n s w e r s h a v e b e e n i n v e s t i g a t e d
• t h e b a n k d o e s n o t h a v e i n n i t e l i a b i l i t i e s , a n d t h u s , t h e p l a y e r c a n p l a y o n l y
a n i t e t i m e ( B u f f o n ( 1 7 7 7 ) , P o i s s o n ( 1 8 3 7 ) , B o r e l ( 1 9 4 9 ) ) ,
• t h e p l a y e r h a s a m o r a l u t i l i t y o f m o n e y ( C r a m e r ( 1 7 2 8 ) , B e r n o u l l i
( 1 7 3 8 ) , v o n N e u m a n n & M o r g e n s t e r n ( 1 9 5 6 ) ) w h e r e a c o n c a v e u t i l i t y
f u n c t i o n i s c o n s i d e r e d ,
•t h e p l a y e r b e t s u s i n g s u b j e c t i v e p r o b a b i l i t i e s , w e r e r a r e e v e n t s a r e a s s u m e d
t o b e i m p o s s i b l e ( D ' A l e m b e r t ( 1 7 5 4 ) , M e n g e r ( 1 9 3 4 ) , Y a a r i ( 1 9 8 7 ) )
5 4
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
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R i s k m e a s u r e s : t h e e x p e c t e d u t i l i t y a p p r o a c h
Ru(X ) =
u(x)dP =
P(u(X ) > x))dx
w h e r e u : [0, ∞) → [0, ∞) i s a u t i l i t y f u n c t i o n .
E x a m p l e w i t h a n e x p o n e n t i a l u t i l i t y , u(x) = [1 − e−αx]/α
,
Ru(X ) =1
αlogEP(eαX )
.
5 5
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
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R i s k m e a s u r e s : Y a r r i ' s d u a l a p p r o a c h
Rg(X ) =
xdg P =
g(P(X > x))dx
w h e r e g : [0, 1] → [0, 1] i s a d i s t o r t e d f u n c t i o n .
E x a m p l e i f g(x) = I(X ≥ α) Rg(X ) = V aR(X, α)
, a n d i f g(x) = minx/α, 1
Rg(X ) = T V a R(X, α) ( a l s o c a l l e d e x p e c t e d s h o r t f a l l ) ,
Rg(X ) = EP(X |X > V aR(X, α)).
5 6
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8/8/2019 Slides Edf 1
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Y a r r i ' s d u a l a p p r o a c h : c a p a c i t i e s a n d C h o q u e t ' s i n t e g r a l
H e r e Rg(X ) = g(P(X > x))dx = g(F X (x))dx w i t h g : [0, 1] → [0, 1]
i n c r e a s i n g . T h u s , g F X i s a d e c r e a s i n g f u n c t i o n t a k i n g v a l u e s i n
[0, 1]o n
[0, ∞):
g F X i s a s u r v i v a l f u n c t i o n .
C a n Rg(X )
b e s e e n a s a n e x p e c t e d v a l u e o f X
w i t h a c h a n g e o f m e a s u r e ?
Y e s i f t h e r e e x i s t s a p r o b a b i l i t y m e a s u r e Q s u c h t h a t g F X (x) = Q(X > x) . I f i t
i s p o s s i b l e t o d e n e s u c h a m e a s u r e Q
, g e n e r a l l y Q
i s n o t a p r o b a b i l i t y m e a s u r e .
I n f a c t , Q
s a t i s e s
• Q(∅) = 0( s i n c e
F X (∞) = 0a n d
g(0) = 0) ,
• Q(Ω) = 1( s i n c e
F X (0) = 1a n d
g(1) = 1) ,
• Q(A) ≤ Q(B)i f
A ⊂ B( s i n c e
F X (·)i s d e c r e a s i n g a n d
g(·)i s i n c r e a s i n g ) .
5 7
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8/8/2019 Slides Edf 1
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Y a r r i ' s d u a l a p p r o a c h : c a p a c i t i e s a n d C h o q u e t ' s i n t e g r a l
S u c h a m e a s u r e Q
s a t i s e s o n l y Q(A) ≤ Q(B)
i f A ⊂ B
: Q
i s a c a p a c i t y .
W i t h t h i s n o t a t i o n ,
Rg(X ) =
xdg P =
g(P(X > x))dx = Q(X > x)dx,
b u t s i n c e Q
i s n o t a p r o b a b i l i t y m e a s u r e , Rg(·)
i s n o t a n e x p e c t e d v a l u e : i t i s t h e
s o - c a l l e d C h o q u e t ' s i n t e g r a l .
5 8
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8/8/2019 Slides Edf 1
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D i s t o r t i o n o f v a l u e s v e r s u s d i s t o r t i o n o f p r o b a b i l i t i e s
0 1 2 3 4 5 6
0 .
0
0 .
2
0 . 4
0 .
6
0 .
8
1 .
0
Calcul de l’esperance mathématique
F i g u r e 1 2 : E x p e c t e d v a l u e
xdF X (x) =
P(X > x)dx.
5 9
8/8/2019 Slides Edf 1
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8/8/2019 Slides Edf 1
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D i s t o r t i o n o f v a l u e s v e r s u s d i s t o r t i o n o f p r o b a b i l i t i e s
0 1 2 3 4 5 6
0 .
0
0 .
2
0 . 4
0 .
6
0 .
8
1 .
0
Calcul de l’intégrale de Choquet
F i g u r e 1 4 : D i s t o r t e d p r o b a b i l i t i e s
g(P(X > x))dx.
6 1
8/8/2019 Slides Edf 1
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8/8/2019 Slides Edf 1
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O r d e r i n g a n d c o m p a r i n g r i s k s
A s s u m e t h a t r i s k s a r e p o s i t i v e r a n d o m v a r i a b l e s .
T h e h i g h e r R(X )
, t h e r i s k e r X
i s . Y
w i l l b e s a i d t o b e m o r e r i s k y t h a n X
w i l l b e
d e n o t e d
X Y .
I n P a s c a l ' s a p p r o a c h F X (x) = P(X ≤ x)
X Y ⇐⇒ R(X ) ≤ R(Y ) w h e r e R(X ) = EP(X ) =
xdF X (x).
6 3
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M o r e d i c u l t t o q u a n t i f y t h a n t o c o m p a r e
D e n i t i o n 5 .
i s a n o r d e r i n g r e l a t i o n s h i p i f i t i s r e e x i v e ( F X F X ) ,
t r a n s i t i v e ( i f F X F Y a n d F Y F Z t h e n F X F Z ) a n d a n t i s y m m e t r i c ( i f
F X F Y a n d F Y F X t h e n
F X = F Y ) .
N o t e t h a t t h e o r d e r i n g o n t h e s e t o f d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n s w i l l b e e x t e n d e d t o t h e
s e t o f p o s i t i v e r a n d o m v a r i a b l e s ( w i t h X ∼ Y
i f F X = F Y , i . e .
X L= Y ) .
D e n i t i o n 6 . s a t i s e s t h e a d d i t i v i t y a x i o m i f f o r a n y r i s k s X
, Y
a n d Z
s u c h
t h a t X Y
, t h e n X + Z Y + Z
.
I t d e n o t e s t h e i n v a r i a n c e o f p e r c e p t i o n i n c a s e o f a c o m m o n v a r i a t i o n . I t m i g h t
a l s o b e c a l l e d t h e l i n e a r i t y a x i o m .
6 4
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M o r e d i c u l t t o q u a n t i f y t h a n t o c o m p a r e
D e n i t i o n 7 . s a t i s e s t h e c o n t i n u i t y a x i o m ( o r A r c h i m e d e a n a x i o m ) i f f o r
a n y F X , F Y a n d F Z s u c h t h a t F X F Y F Z , t h e n f o r a l l α, β ∈ (0, 1)
αF X + [1 − α]F Z F Y βF X + [1 − β ]F Z .
P r o p o s i t i o n 8 . I f s a t i s e s t h e c o n t i n u i t y a n d a s s o c i a t i v i t y a x i o m s ,
X Y ⇐⇒ R(X ) ≤ R(Y )
w h e r e
R(X ) = EP(X ) = xdF X (x) =
∞
0
P(X > x)dx.
6 5
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
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T h e e x p e c t e d u t i l i t y a p p r o a c h
I n o r d e r t o a n s w e r S a i n t P e t e r s b o u r g ' p a r a d o x , o n e s o l u t i o n , p r o p o s e d b y
B e r n o u l l i w a s t o i n t r o d u c e a m o r a l v a l u e o f m o n e y , i . e . a n o n l i n e a r p e r c e p t i o n
o f g a i n s : h e s u g g e s t s t o c o n s i d e r log(1 + X )
i n s t e a d o f X
. T h e p r i c e o f t h e g a m e
w a s t h e n EP(log(1 + X ))
. A n a l o g o u s l y , C r a m è r s u g g e s t e d t o c o n s i d e r
√X
, s o
t h a t t h e p r i c e w a s EP(√
X ) .
H e n c e , t h e i d e a w a s t o c o n s i d e r a u t i l i t y f u n c t i o n o f g a i n s , u(·) , w h i c h c a n
c h a n g e f o r a l l p l a y e r s .
S e v e r a l m a t h e m a t i c i a n s , f o r e x a m p l e L a p l a c e , d i s c u s s e d t h e B e r n o u l l i p r i n c i p l e
i n t h e f o l l o w i n g c e n t u r y , a n d i t s r e l e v a n c e t o i n s u r a n c e s y s t e m s s e e m s t o h a v e
b e e n g e n e r a l l y r e c o g n i z e d . I n 1832 , B a r r o i s p r e s e n t e d a f a i r l y c o m p l e t e t h e o r y o f
r e i n s u r a n c e b a s e d o n L a p l a c e ' s w o r k o n t h e B e r n o u l l i p r i n c i p l e . ( B o r c h
( 1 9 7 4 ) ) .
6 6
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
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T h e e x p e c t e d u t i l i t y a p p r o a c h
D e n i t i o n 9 .
s a t i s e s t h e i n d e p e n d e n c e a x i o m i f f o r a n y d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n
F X , F Y a n d F Z s u c h t h a t F X F Y , t h e n f o r a l l λ ∈ [0, 1]
λF X + [1 − λ]F Z λF X + [1 − λ]F Z .
o r e q u i v a l e n t l y
(λX ) ⊕ ([1 − λ]Z ) (λY ) ⊕ ([1 − λ]Z ),
w h e r e ⊕ d e n o t e s a m i x t u r e .
H e n c e , o r d e r i n g a r e n o t m o d i e d w h e n m i x i n g r i s k s w i t h a t h i r d o n e . R e c a l l t h a t
(λX ) ⊕ ([1 − λ]Z ) = (λX ) + ([1 − λ]Z ).
6 7
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
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E x a m p l e 1 0 . I f X, Y
a r e t w o B e r n o u l l i v a r i a b l e s B(2/3)a n d B(1/3)
r e s p e c t i v e l y
, i n d e p e n d e n t ,
X = 0 p = 1/31 p = 2/3
a n d Y = 0 p = 2/3
1 p = 1/3
X ⊕ Y = X p = 1/2
Y p = 1/2 =
0 p = 1/3 × 1/2
1 p = 2/3
×1/2 0 p = 2/3 × 1/2
1 p = 1/3 × 1/2
= 0 p = 1/2
1 p = 1/2
X + Y =
0 + 0 p = 1/3 × 2/3
0 + 1 p = 1/3×
1/3
1 + 0 p = 2/3 × 2/3
1 + 1 p = 2/3 × 1/3
= 0 p = 2/9
1 p = 5/9
2 p = 2/9
6 8
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 69/131
P r o p o s i t i o n 1 1 . I f s a t i s e s t h e c o n t i n u i t y a n d i n d e p e n d e n c e a x i o m s , t h e r e
e x i s t s a f u n c t i o n u
w i t h v a l u e s i n R
, c o n t i n u o u s , s t r i c t l y i n c r e a s i n g , u n i q u e u p t o
a n a n e t r a n s f o r m a t i o n , s u c h t h a t
X Y ⇐⇒ Ru(X ) ≤ Ru(Y )
w h e r e
Ru(X ) = EP(u(X )) =
u(x)dF X (x).
P r o o f . v o n N e u m a n n & M o r g e n s t e r n ( 1 9 4 4 ) o r F i s h b u r n ( 1 9 7 0 ) .
T h e c o n t i n u i t y o f u
c o m e s f r o m t h e c o n t i n u i t y a s s u m p t i o n o f t h e o r d e r i n g .
I f
ui s c o n c a v e , t h e r i s k t a k e r i s s a i d t o b e r i s k a d v e r s e s i n c e ( J e n s e n ' s i n e q u a l i t y )
EP(u(X )) ≤ u(EP(X )).
6 9
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 70/131
T h e e x p e c t e d u t i l i t y a p p r o a c h
T h e i n s u r a n c e p r e m i u m i s t h e n o b t a i n e d b y t h e n u l l u t i l i t y p r i n c i p l e : π(X )
s a t i s e s
EP(u(π(X ) − X )) = 0.
E x a m p l e 1 2 . W i t h a n e x p o n e n t i a l u t i l i t y , u(x) = [1 − e−αx]/α , a l o r s
π(X ) = 1α
log EP(eαX ) .
N o t e t h a t t h e e x p o n e n t i a l u t i l i t y d o e s n o t e x i s t f o r h e a v y t a i l e d r i s k s .
E x a m p l e 1 3 . W i t h a q u a d r a t i c u t i l i t y , u(x) = x − x2/2s
w h e r e x < s
, t h e n
π(X ) ∼ EP(X ) +
κ
2 V arP(X ).
7 0
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 71/131
R i s k a v e r s i o n a n d n a n c e
O n e c a n i n t r o d u c e , A r r o w - P r a t t c o e c i e n t o f a b s o l u t e r i s k a v e r s i o n ,
RA(x) = −u(x)
u(x), a n d t h e c o e c i e n t o f r e l a t i v e r i s k a v e r s i o n ,
RR(x) = −xu(x)
u(x)
C A R A ( C o n s t a n t A b s o l u t e R i s k A v e r s i o n ) m e a n s t h a t RA(·)
i s c o n s t a n t , i . e .
u(x) = − 1
αexp(−αx)
.
C R R A ( C o n s t a n t R e l a t i v e R i s k A v e r s i o n ) m e a n s t h a t RA(·)
i s c o n s t a n t , i . e .
u(x) = − x
1−α
1 − α, f o r α > 0 , i n c l u d i n g t h e l i m i t i n g c a s e u(x) = log(x) ( w h e n α → 1 .
• m o d e l i n g p o r t f o l i o s w i t h G a u s s i a n r e t u r n s a n d C A R A u t i l i t y
A s s u m e t h a t X ∼ N (µ, σ2)
a n d u(x) = − 1
αexp(−αx)
, f o r s o m e α > 0
.
B y s o l v i n g u(EP(X )
−π) = EP(u(X ))
, u s i n g t h e e x p r e s s i o n o f t h e L a p l a c e
t r a n s f o r m o f t h e G a u s s i a n d i s t r i b u t i o n ,
EP(u(X )) = − 1
αEP(exp(−αX )) = − 1
αexp
−αµ +
α2
2σ2
,
7 1
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
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a n d
u(EP(X ) − π) = − 1
αexp(−α(µ − π)),
t h u s , o n e g e t s t h a t π = α
2σ2
.
•m o d e l i n g p o r t f o l i o s w i t h l o g n o r m a l r i s k s a n d C R R A u t i l i t y
A s s u m e t h a t log X ∼ N (µ, σ2)
a n d u(x) = − x1−α
1 − α, f o r s o m e
α > 0.
B y s o l v i n g u(EP(X ) − π) = EP(u(X ))
, o n e g e t s t h a t π = ασ2
2× EP(X )
.
•q u a d r a t i c u t i l i t y p r i n c i p l e
I f u i s q u a d r a t i c u(x) = x − x2/2s , t h e n
EP(u(X )) = EP(X )1 − 12sEP(X )− 1
2sV arP(X ),
h e n c e o n l y t h e m e a n a n d t h e v a r i a n c e m a t t e r .
7 2
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
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C h a n g i n g p r o b a b i l i t i e s ?
Q u e s t i o n : w h a t i s p r o b a b i l i t y P
?
I l y a d o n c u n e a v e r s i o n p a r t i c u l i è r e p o u r l ' i n c e r t i t u d e l i é e à l ' i g n o r a n c e . O n
p r é f è r e a v o i r u n m o d è l e p r o b a b i l i s t e q u e p a s d e m o d è l e d u t o u t , o n p r é f è r e é v a l u e r
r a i s o n n a b l e m e n t s e s c h a n c e s d e s u c c è s , f u s s e n t - e l l e s m i n c e s , q u e d e n ' e n a v o i r
a u c u n e i d é e . ( E k e l a n d ( 1 9 9 1 ) ) .
I d é e d e R a m s e y ( 1 9 3 1 ) , f o r m a l i s é e p a r S a v a g e ( 1 9 7 2 ) : l e s i n d i v i d u s n e r a i s o n n e
p a s s o u s P, l a p r o b a b i l i t é r é e l l e ( i n c o n n u e ) , m a i s s o u s u n e p r o b a b i l i t é s u b j e c t i v e
Q.
P r o b l è m e : d i c i l e d ' e s t i m e r u n e p r o b a b i l i t é d ' é v è n e m e n t r a r e .
T r a v a u x d e S e l v i g e ( 1 9 7 5 ) : i m p o r t a n c e d e s é v è n e m e n t s r a r e s a u x c o n s é q u e n c e s
i m p o r t a n t e s . A p p r o c h e p s y c h o l o g i q u e d u r i s q u e : b e s o i n d e c o m p a r e r à d e s
é v è n e m e n t s r a r e s q u a n t i a b l e s ( t a u x d e m o r t a l i t é i n f a n t i l e , q u i n t e u s h a u
p o c k e r . . . ) .
7 3
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
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C h a n g i n g p r o b a b i l i t i e s ?
D e n i t i o n 1 4 . e s t u n e r e l a t i o n v é r i a n t l ' a x i o m e d e m o n o t o n i e s i
P(X + ε ≤ Y ) = 1i m p l i q u e
X Y , p o u r t o u t
ε > 0.
P r o p o s i t i o n 1 5 . S i e s t u n e r e l a t i o n d ' o r d r e v é r i a n t l e s a x i o m e s d e
c o n t i n u i t é , d ' a d d i t i v i t é e t d e m o n o t o n i e , a l o r s i l e x i s t e u n e p r o b a b i l i t é Q
t e l l e q u e
X Y ⇐⇒ RQ(X ) ≤ RQ(Y )
o ù
RQ(X ) = EQ(X ) =
∞0
Q(X > x)dx.
7 4
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
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U s i n g s u b j e c t i v e p r o b a b i l i t i e s
C o n s i d é r o n s u n c a l l e u r o p é e n , d o n t l e p a y o a c t u a l i s é e s t e−rT (S T − K )+ . L e
p r i x n ' e s t p a s EP
e−rT (S T − K )+
.
L e p r i x d ' u n c a l l e u r o p é e n p r o p o s a n t d e t o u c h e r
(S T − K )+à m a t u r i t é . L a
v a l o r i s a t i o n d e l ' o p t i o n , à l a d a t e d ' a u j o u r d ' h u i e s t b a s é e s u r l a n o t i o n d e
p o r t e f e u i l l e d e r é p l i c a t i o n : d e u x p o r t e f e u i l l e s o r a n t l e m ê m e p a y o à u n e d a t e T
o n t n é c e s s a i r e m e n t l e m ê m e p r i x a u j o u r d ' h u i ( s i n o n i l s e r a i t p o s s i b l e d e
c o n s t i t u e r u n e o p p o r t u n i t é d ' a r b i t r a g e ) .
7 5
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
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C h a n g i n g p r o b a b i l i t i e s ?
C o n s i d é r o n s l e m o d è l e d e C o x , R o s s & R u b i n s t e i n ( 1 9 7 9 ) , a v e c u n a c t i f s a n s
r i s q u e v a l a n t 1
a u j o u r d ' h u i , e t 1 + r
d a n s u n a n , e t u n a c t i f r i s q u é v a l a n t S 0
a u j o u r d ' h u i , e t , d a n s u n a n S 1 , v a l a n t s o i t
Su, s o i t
Sd, a v e c
d < 1 + r < u,
s u i v a n t l ' é t a t d e l a n a t u r e . C o n s i d é r o n s u n c a l l e u r o p é e n d o n n a n t l e d r o i t
d ' a c h e t e r l e s o u s - j a c e n t à m a t u r i t é ( d a n s u n a n ) à l a v a l e u r K.
L e p a y o d a n s u n
a n e s t a l o r s (S 1 − K )+ . C o n s t r u i s o n s u n p o r t e f e u i l l e α + βS 0 p e r m e t t a n t d e
r é p l i q u e r l a v a l e u r d e l ' o p t i o n d a n s u n a n :
• s i l e m a r c h é m o n t e , l e p o r t e f e u i l l e v a u d r a α (1 + r) + βS u
, e t l ' o p t i o n
C u = (Su − K )+
• s i l e m a r c h é b a i s s e , l e p o r t e f e u i l l e v a u d r a
α (1 + r) + βSd, e t l ' o p t i o n
C d = (Sd − K )+
7 6
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C h a n g i n g p r o b a b i l i t i e s ?
D a n s u n m a r c h é a v e c a b s e n c e d ' o p p o r t u n i t é d ' a r b i t r a g e , s i c e s d e u x p r o d u i t s o n t
l a m ê m e v a l e u r d a n s u n a n , c ' e s t d o n c q u ' i l s o n t l e m ê m e p r i x a u j o u r d ' h u i . L e
p o r t e f e u i l l e q u i p e r m e t d e r é p l i q u e r l e p a y o d e l ' o p t i o n e s t o b t e n u e n r é s o l v a n t
α (1 + r) + βS u = C u
α (1 + r) + βS d = C d
c ' e s t à d i r e q u e
α =C u − C d
S 0u − S 0de t β =
1
1 + r
C u − S 0u
C u − C dS 0u − S 0d
.
N o t o n s a u p a s s a g e q u ' i l e s t a i n s i t o u j o u r s p o s s i b l e d e c o n s t i t u e r u n u n i q u e
p o r t e f e u i l l e d e r é p l i c a t i o n .
7 7
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C h a n g i n g p r o b a b i l i t i e s ?
L e p r i x d e l ' o p t i o n a u j o u r d ' h u i s ' é c r i t
α + βS 0 =1
1 + r
1 + r − d
u − dC u +
u − (1 + r)
u − dC d
,
q u i p e u t s ' é c r i r e
π = 11 + r
(qC u + (1 − q)C d) , o ù q = 1 + r − du − d
.
N o t o n s q u e q ∈ [0, 1]
, c ' e s t à d i r e q u e l e p r i x d e l ' o p t i o n e s t l ' e s p é r a n c e
m a t h é m a t i q u e , s o u s u n e p r o b a b i l i t é Q
a p p e l é e p r o b a b i l i t é r i s q u e n e u t r e d u p a y o
à é c h é a n c e : π = EQ (p a y o
). N o t o n s q u e Q n ' a r i e n n ' a v o i r a v e c l a p r o b a b i l i t é
d i t e h i s t o r i q u e P q u ' a l e s o u s - j a c e n t d e m o n t e r o u d e d e s c e n d r e : l e p r i x d ' u n
p a y o a l é a t o i r e X
n e s ' é c r i t p a s EP (X )
.
7 8
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L e s p a r a d o x e s d e A l l a i s e t E l l s b e r g
A l l a i s ( 1 9 5 3 ) , l ' e e t d e c e r t i t u d e o u l ' e e t d e s é c u r i t é
C h o i s i r e n t r e l e s d e u x l o t t e r i e s s u i v a n t e s
L o t e r i e A 100%
d e c h a n c e d e r e c e v o i r 1
m i l l i o n ,
L o t e r i e B
10%d e c h a n c e d e r e c e v o i r
5m i l l i o n s
89% d e c h a n c e d e r e c e v o i r 1 m i l l i o n
1% d e c h a n c e d e n e r i e n r e c e v o i r ,
p u i s e n t r e
L o t e r i e C
11%d e c h a n c e d e r e c e v o i r
1m i l l i o n
89%d e c h a n c e d e n e r i e n r e c e v o i r ,
L o t e r i e D
10%d e c h a n c e d e r e c e v o i r
5m i l l i o n s
90%d e c h a n c e d e n e r i e n r e c e v o i r ,
7 9
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
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P r é f é r e r A à B , e t D à C ( o b s e r v é e m p i r i q u e m e n t ) v i o l e l ' h y p o t h è s e
d ' i n d é p e n d a n c e ( e t m ê m e l e p r i n c i p e d e l a c h o s e s û r e ) .
E l l s b e r g ( 1 9 6 1 ) , l ' e e t d ' a m b i g u i t é
C h o i s i r e n t r e l e s d e u x l o t t e r i e s s u i v a n t e s
L o t e r i e A w i n 1000
s i l a b o u l e t i r é e e s t r o u g e
L o t e r i e B w i n 1000
s i l a b o u l e t i r é e e s t b l e u e ,
p u i s e n t r e
L o t e r i e C w i n 1000
s i l a b o u l e t i r é e n ' e s t p a s r o u g e
L o t e r i e D w i n 1000
s i l a b o u l e t i r é e n ' e s t p a s b l e u e ,
P r é f é r e r A à B , e t C à D ( o b s e r v é e m p i r i q u e m e n t ) v i o l e l ' h y p o t h è s e
d ' i n d é p e n d a n c e ( e t m ê m e l e p r i n c i p e d e l a c h o s e s û r e ) .
8 0
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8/8/2019 Slides Edf 1
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L a d i s t o r t i o n d e p r o b a b i l i t é s , Y a a r i
( 1 9 8 7 )
E x a m p l e 1 6 . U n e x e m p l e d e r e l a t i o n d ' o r d r e e s t l a d o m i n a n c e s t o c h a s t i q u e à
l ' o r d r e 1 . X
1 Y
s i e t s e u l e m e n t s i u n e d e s c o n d i t i o n s s u i v a n t e s ( é q u i v a l e n t e s )
s o n t s a t i s f a i t e s ,
• E(g(X )) ≤ E(g(Y ))p o u r
gc r o i s s a n t e ,
• p o u r t o u t x ∈ R, P(X ≤ x) ≥ P(Y ≤ x)
,
•p o u r t o u t x
∈R, P(X > x)
≤P(Y > x) ,
• p o u r t o u t x ∈]0, 1[ , V aR(X, α) ≤ V aR(Y, α) .
C e t t e r e l a t i o n d ' o r d r e e s t n o t é e V aR d a n s D e n u i t & C h a r p e n t i e r ( 2 0 0 4 ) .
E x a m p l e 1 7 . U n e x e m p l e d e r e l a t i o n d ' o r d r e e s t l a d o m i n a n c e s t o c h a s t i q u e à
l ' o r d r e 2 . X 2 Y s i e t s e u l e m e n t s i u n e d e s c o n d i t i o n s s u i v a n t e s ( é q u i v a l e n t e s )
s o n t s a t i s f a i t e s ,
• E(g(X )) ≤ E(g(Y ))p o u r
gc r o i s s a n t e e t c o n v e x e ,
• E((X − t)+) ≤ E((Y − t)+)p o u r
t ∈ R,
8 1
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8/8/2019 Slides Edf 1
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•p o u r t o u t
x ∈]0, 1[,
α
0
V aR(X, p)dp ≥ α
0
V aR(Y, p)dp,
• p o u r t o u t
x ∈]0, 1[, ∞
αV aR(X, p)dp ≤ ∞
αV aR(Y, p)dp
,
•p o u r t o u t
x ∈ [0, 1[,
T V a R(X, α) ≤ T V a R(Y, α).
C e t t e r e l a t i o n d ' o r d r e e s t n o t é e T V a R d a n s D e n u i t & C h a r p e n t i e r ( 2 0 0 4 ) .
D e n i t i o n 1 8 .
e s t u n e r e l a t i o n v é r i a n t l ' a x i o m e d ' i n d é p e n d a n c e c o m o n o t o n e
s i X Y i m p l i q u e X + Z Y + Z p o u r t o u t Z t e l q u e l e s c o u p l e s (X, Z ) e t
(Y, Z )s o i e n t c o m o n o t o n e s .
R e m a r k 1 9 . X
e t Z
s o n t c o m o n o t o n e s s ' i l n ' e x i s t e p a s ω, ω
t e l s q u e
X (ω) > X (ω)e t
Y (ω) < Y (ω).
D e n i t i o n 2 0 . e s t u n e r e l a t i o n v é r i a n t l ' a x i o m e d e c o h é r e n c e s i p o u r d e s
v a r i a b l e s X
e t Y
c o n s t a n t e s ( P(X = x) = P(Y = y) = 1
) , F X F Y i m p l i q u e
x ≤ y.
8 2
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
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P r o p o s i t i o n 2 1 . S i e s t u n e r e l a t i o n d ' o r d r e v é r i a n t l e s a x i o m e s d e
c o n t i n u i t é , d ' i n d é p e n d a n c e c o m o n o t o n e , m o n o t o n i e , e t e s t c o m p a t i b l e a v e c l a
d o m i n a n c e s t o c h a s t i q u e à l ' o r d r e 1 , a l o r s i l e x i s t e u n e u n i q u e f o n c t i o n d e
d i s t o r t i o n c r o i s s a n t e g : [0, 1] → [0, 1] t e l l e q u e
X Y ⇐⇒ Rg(X ) ≤ Rg(Y )
o ù
Rg(X ) =
xdg P =
g(P(X > x))dx =
10
F −1X (1 − p)dg( p).
8 3
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
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A g e n d a
•G e n e r a l i n t r o d u c t i o n
F i n a n c i a l r i s k s
• M a r k e t r i s k s
•C r e d i t r i s k
• F r o m v a r i a n c e t o V a l u e - a t - R i s k
R i s k m e a s u r e s a n d c a p i t a l a l l o c a t i o n
• R i s k m e a s u r e s : a n a x i o m a t i c i n t r o d u c t i o n
•R i s k m e a s u r e s : c o n v e x i t y a n d c o h e r e n c e
• C a p i t a l a l l o c a t i o n : a n a x i o m a t i c i n t r o d u c t i o n
R i s k m e a s u r e s a n d s t a t i s t i c a l i n f e r e n c e
8 4
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 85/131
C o h e r e n t r i s k m e a s u r e s a n d t h e a x i o m a t i c a p p r o a c h
A r i s k m e a s u r e i s s a i d t o b e c o h e r e n t ( f r o m A r t z n e r , D e l b a e n , E b e r &
H e a t h ( 1 9 9 9 ) ) i f
• R(·) i s m o n o t o n i c , i . e . X ≤ Y i m p l i e s R(X ) ≤ R(Y ) ,
• R(·)i s p o s i t i v e l y h o m o g e n e o u s , i . e . f o r a n y
λ ≤ 0,
R(λX ) = λR(X ),
• R(·)i s i n v a r i a n t b y t r a n s l a t i o n , i . e . f o r a n y
κ, R(X + κ) = R(X ) + κ
,
• R(·) i s s u b a d d i t i v e , i . e . R(X + Y ) ≤ R(X ) + R(Y ) .
s u b a d d i t i v i t y c a n b e i n t e r p r e t e d a s d i v e r s i c a t i o n d o e s n o t i n c r e a s e r i s k .
E x a m p l e : t h e E x p e c t e d - S h o r t f a l l i s c o h e r e n t , t h e V a l u e - a t - R i s k i s n o t .
8 5
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 86/131
C o n v e x r i s k m e a s u r e s
A r i s k m e a s u r e i s s a i d t o b e c o n v e x ( f r o m A r t z n e r , D e l b a e n , E b e r & H e a t h
( 1 9 9 9 ) ) i f
• R(·) i s m o n o t o n i c , i . e . X ≤ Y i m p l i e s R(X ) ≤ R(Y ) ,
• R(·)i s i n v a r i a n t b y t r a n s l a t i o n , i . e . f o r a n y
κ, R(X + κ) = R(X ) + κ
,
• R(·)i s c o n v e x , i . e .
R(λX + (1 − λ)Y ) ≤ λR(X ) + (1 − λ)R(Y ), f o r a n y
λ ∈ [0, 1] .
H e n c e , i f a c o n v e x m e a s u r e s a t i s e s t h e h o m o g e n e i t y c o n d i t i o n , i t i s c o h e r e n t .
R e m a r k A n a t u r a l w a y t o d e n e a c o n v e x m e a s u r e s a t i s f y i n g t h e s m a l l s i z e
c o h e r e n t c o n d i t i o n i s a d d i n g a c o h e r e n t m e a s u r e a l i q u i d i t y c h a r g e ,
Rc o n v e x
(X ) = Rc o h e r e n t
(X ) + Cl i q u i d i t y
(X ).
8 6
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
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S e t s o f a c c e p t a b l e r i s k s
D e n i t i o n 2 2 . G i v e n a r i s k m e a s u r e R , a r i s k X i s a c c e p t a b l e i f X ∈ AR w h e r e
AR =
Y
∈ X s u c h t h a t
R(Y )
≤0
.
C o n v e r s e l y ,
T h e o r e m 2 3 . G i v e n a s e t o f a c c e p t a b l e r i s k s A
, t h e a s s o c i a t e d r i s k m e a s u r e i s
t h e s m a l l e s t c a p i t a l a m o n t m
s u c h t h a t X − m
i s a c c e p t a b l e , i . e .
RA(X ) = inf m ∈ R s u c h t h a t X − m ∈ A.
T h e n RAR(·) = R(·) a n d ARA = A.
P r o p o s i t i o n 2 4 . I f R
i s a c o n v e x r i s k m e a s u r e , t h e n AR i s c o n v e x . C o n v e r s e l y ,
i f A i s c o n v e x , t h e n RA i s a c o n v e x r i s k m e a s u r e .
P r o p o s i t i o n 2 5 . I f R
i s a p o s i t i v e l y h o m o g e n e o u s r i s k m e a s u r e , t h e n AR i s a
p o s i t i v e c o n e . C o n v e r s e l y , i f
Ai s a p o s i t i v e c o n e , t h e n
RA i s a p o s i t i v e l y
h o m o g e n e o u s r i s k m e a s u r e .
E x a m p l e 2 6 . I f R(X ) = supX (ω), ω ∈ Ω
, t h e n AR = Y, Y ≤ 0
. I f
R(X ) = F −1X (α)w h e r e
α ∈ (0, 1), t h e n AR = Y,P(Y ≤ 0) ≥ α.
8 7
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
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C h a r a c t e r i z a t i o n s o f c o h e r e n t r i s k m e a s u r e s
P r o p o s i t i o n 2 7 . I f R
i s a c o h e r e n t r i s k m e a s u r e , t h e n t h e r e e x i s t s a s e t o f
p r o b a b i l i t y m e a s u r e s
Qs u c h t h a t
R(X ) = supQ∈Q
EQ(X ).
8 8
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
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V a l u e - a t - R i s k : g o i n g f u r t h e r
P r o p o s i t i o n 2 8 . T h e V a l u e - a t - R i s k i s ( g e n e r a l l y ) n o t a c o h e r e n t r i s k m e a s u r e .
I f X, Y
∼ B(92.5%)
, i n d e p e n d e n t , t h e n
V ar(X, 90%) + V ar(Y, 90%) = 0 + 0 ≤ V ar(X + Y, 90%) = 1.
q
0.80 0.85 0.90 0.95 1.00
0 .
0
0 . 5
1 .
0
1 .
5
2 .
0
P r o p o s i t i o n 2 9 . T h e V a l u e - a t - R i s k i s a c o h e r e n t r i s k m e a s u r e f o r e l l i p t i c a l
r i s k s .
P r o p o s i t i o n 3 0 . F o r a l l X , n o t e t h a t
V aR(X, α) = inf R(X )s u c h t h a t
Ri s c o h e r e n t a n d
V aR(X, α) ≤ R(X ).
8 9
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
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T a i l V a l u e - a t - R i s k ( o r E x p e c t e d S h o r t f a l l )
D e n e
T V a R(X, α) = E(X
|X > V aR(X, α)) =
1
1 − α 1
α
F X
−1(u)du.
I n s o m e s e n s e , t h e T a i l V a R i s t h e a v e r a g e o f w o r s t c a s e s , w h i l e V aR
w a s t h e b e s t
w o r s t c a s e .
P r o p o s i t i o n 3 1 . T a i l V a l u e - a t - R i s k i s a c o h e r e n t r i s k m e a s u r e .
9 0
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
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A g e n d a
•G e n e r a l i n t r o d u c t i o n
F i n a n c i a l r i s k s
• M a r k e t r i s k s
•C r e d i t r i s k
• F r o m v a r i a n c e t o V a l u e - a t - R i s k
R i s k m e a s u r e s a n d c a p i t a l a l l o c a t i o n
• R i s k m e a s u r e s : a n a x i o m a t i c i n t r o d u c t i o n
•R i s k m e a s u r e s : c o n v e x i t y a n d c o h e r e n c e
• C a p i t a l a l l o c a t i o n : a n a x i o m a t i c i n t r o d u c t i o n
R i s k m e a s u r e s a n d s t a t i s t i c a l i n f e r e n c e
9 1
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 92/131
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
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C a p i t a l a l l o c a t i o n b a s e d o n m a r g i n a l c a p i t a l c o s t
I d e a f r o m c o o p e r a t i v e g a m e t h e o r y .
L e t S d e n o t e a s u b s e t o f 1, 2,...,n ( a s u b p o r t f o l i o ) . D e n e t h e a s s o c i a t e d c o s t
f u n c t i o n ,
Γ(S ) = R
j∈SX j
,
s a t i s f y i n g Γ(1,...,n) = R(X ) = k
.
T h e m a r g i n a l c o s t o f r i s k i
i s
M i = Γ(1,...,n) − Γ(1,...,n \ i) = Rj
X j
− Rj=i
X j
,
P r o b l e m i s t h a t M 1 + ... + M n = k
.
9 3
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
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C a p i t a l a l l o c a t i o n b a s e d o n S h a p l e y v a l u e
O n e i d e a i s t o u s e t h e S h a p l e y v a l u e .
L e t S i d e n o t e a l l t h e s u b s e t s o f
1, 2,...,nt h a t c o n t a i n
i.
T h e S h a p l e y - v a l u e o f r i s k i i s
ki
= S∈Si(
|s
| −1)!)(n
− |s
|)!
n! ·[Γ(
S )−
Γ(S \
i
)],
w h e r e | · |
d e n o t e t h e s i z e o f t h e s u b s e t ( c a r d i n a l i t y ) .
I t i s s i m p l y a w e i g h t e d a v e r a g e o f a l l p o s s i b l e c o n g u r a t i o n s .
N o t e t h a t h e r e k1 + ... + kn = k
.
T h i s c a p i t a l a l l o c a t i o n h a s b e e n u s e d b y S w i s s R e .
9 4
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
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C a p i t a l a l l o c a t i o n b a s e d o n S h a p l e y v a l u e
N o t e t h a t i f n = 2
,
R(X 1 + X 2) =1
2(R(X 1 + X 2) − R(X 2) + R(X 1))
a l l o c a t i o n f o r
X1
+1
2(R(X 1 + X 2) − R(X 1) + R(X 2))
a l l o c a t i o n f o r
X2
.
9 5
8/8/2019 Slides Edf 1
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A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
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A u m a n n - S h a p l e y v a l u e a n d c a p i t a l a l l o c a t i o n
E x a m p l e 3 2 . C o n s i d e r t h e v a r i a n c e r i s k m e a s u r e , R(X ) = E(X ) + θ
v a r (X )
,
a n d a s s u m e t h a t X ∼ N (µ,Σ) , t h e n
ki = E(X i) + θc o v
(X i, X ) .
E x a m p l e 3 3 . C o n s i d e r t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n r i s k m e a s u r e ,
R(X ) = E(X ) + θ
v a r (X ) , a n d a s s u m e t h a t X ∼ N (µ,Σ) , t h e n
ki = E(X i) + θc o v (X i, X )
v a r
(X ).
9 7
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
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A u m a n n - S h a p l e y v a l u e a n d c a p i t a l a l l o c a t i o n
A s s u m e t h a t R
i s ( p o s i t i v e l y ) h o m o g e n e o u s , t h e n s o i s C
, i . e . C(λω) = λC(ω)
,
a n d t h u s Ci(λω)Ci(ω)
, i . e . t h e A u m a n n - S h a p l e y v a l u e r e d u c e s t o m a r g i n a l c o s t s ,
ki =
1
0
Ci(u1)du =
1
0
Ci(1) = Ci(1).
N o t e t h a t t h i s a l l o c a t i o n c a n a l s o b e d e r i v e d d i r e c t l y u s i n g E u l e r ' s t h e o r e m f o r
h o m o g e n e o u s f u n c t i o n s ,
C(ω) = ω1∂ C(ω)
∂ω1+ ... + ωn
∂ C(ω)
∂ωn.
9 8
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
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C a p i t a l a l l o c a t i o n u s i n g d i s t o r t i o n r i s k m e a s u r e s
I f R
i s a d i s t o r t i o n r i s k m e a s u r e , R(X ) =
∞
0
g(1 − F x)dx.
W r i t i n g R a s R(X ) = EQX (X ) , w h e r e dQX /dP = g(1 − F X (X )) t h e n
k = R(X ) = EQX (X )a n d
ki = EQX (X i).
9 9
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 100/131
C a p i t a l a l l o c a t i o n a n d d e p e n d e n c e
S i n c e E(XY ) = E(X )E(Y ) + c o v (X, Y ) , w e c a n w r i t e f o r d i s t o r t i o n r i s k m e a s u r e s
ki = EQX (X i) = ki = E(X i · g(1 − F X (x))) = E(X i) + cov(X i, g(1 − F X (X ))),
s i n c e E(g(1 − F X (X ))) = 1
.
H e n c e , t h e c a p i t a l i s m a x i m u m i f
X ia n d
X a r e c o m o n o t o n i c , i . e .
ki = E(X i · g(F X (X ))) ≤ E(X +i · g(F X (X +))) = R(X +i ) = R(X i).
T h e a l l o c a t e d c a p i t a l i s a l w a y s l o w e r t h a n t h e s t a n d - a l o n e r i s k , i . e . t h e
a l l o c a t i o n b e l o n g s t o t h e c o r e ( i n g a m e t h e o r y t e r m s ) .
F u r t h e r , o n e c a n o b t a i n ki < 0
e v e n i f R(X i) > 0
.
1 0 0
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 101/131
A u m a n n - S h a p l e y v a l u e f o r T V a R
T V a R i s a d i s t o r t i o n r i s k m e a s u r e , R(X ) = E(X |X > F −1X (α))
a n d t h u s ,
ki = E(X i|X > F −1X (α)).
A u m a n n - S h a p l e y v a l u e f o r V a R
V a R i s a p o s i t i v e l y h o m o g e n o u s , a n d m a r g i n a l c o s t s w o r k s , R(X ) = F −1X (α) a n d
t h u s ,
ki = E(X i|X = F
−1
X (α)).
1 0 1
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 102/131
C a p i t a l a l l o c a t i o n b a s e d o n e x p e c t e d u t i l i t y
C o n s i d e r f o r i n s t a n c e e x p o n e n t i a l r i s k m e a s u r e s , R(X ) =
1
θlogE(eθX )
.
T h e A u m a n n - S h a p l e y a l l o c a t i o n i s t h e n
ki = 10
E(X ieθuX )E(eθuX )
du = EX i · 1
0
eθuX
E(eθuX ) du
h e r e a g a i n , c h a n g e o f m e a s u r e r e p r e s e n t a t i o n .
R e m a r k 3 4 . I f t h e X i ' s a r e i n d e p e n d e n t , t h e n ki = R(X i) .
1 0 2
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 103/131
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 104/131
E x a m p l e 3 7 . C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g s t o p l o s s d i s t a n c e ,
d(ki, X i) = E([X i − ki]+).
T h e n ki = F −1Xi
(F X+(k)).
E x a m p l e 3 8 . C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g d i s t a n c e o n r i s k m e a s u r e s ,
d(ki, X i) =
R(X i) − ki
k(R(X 1) + ... + R(X n))
2.
T h e n ki =
R(X i)
R(X 1) + ... + R(X n)· k
.
1 0 4
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
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A x i o m a t i c a p p r o a c h f o r c a p i t a l a l l o c a t i o n
B a s e d o n p r e v i o u s r e s u l t s , a s t a n d a r d a s s u m p t i o n i s t o a s s u m e t h a t c a p i t a l
a l l o c a t e d
• d e p e n d s o n X i a n d X ,
•b u t n o t o n t h e d e c o m p o s i t i o n o f t h e r e s t
X −
X i = j=i
X j .
D e n i t i o n 3 9 . A c a p i t a l a l l o c a t i o n i s a f u n c t i o n Λ : R×R → R o f t w o
a r g u m e n t s (x, y)
w h e r e x
i s r i s k X i a n d
yi s t h e p o r t f o l i o
X .
D e n i t i o n 4 0 . A c a p i t a l a l l o c a t i o n Λ
i s c a l l e d c a p i t a l a l l o c a t i o n w i t h r e s p e c t t o
r i s k m e a s u r e R
i f Λ(X, X ) = R(X )
.
T h e c a p i t a l a l l o c a t e d t o X i s t h e n t h e r i s k c a p i t a l R(X ) o f X .
1 0 5
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 106/131
T h e t h r e e a x i o m s f o r c a p i t a l a l l o c a t i o n
T h e r s t a x i o m i s l i n e a r a g g r e g a t i o n : t h e r i s k c a p i t a l o f t h e p o r t f o l i o e q u a l s t h e
s u m o f t h e r i s k c a p i t a l o f r i s k s . H e n c e ,
Λ(X 1, X ) + Λ(X 2, X ) + . . . + Λ(X n, X ) = Λ(X, X ) =
R(X ).
D e n i t i o n 4 1 . A c a p i t a l a l l o c a t i o n Λ
s a t i s e s t h e l i n e a r a g g r e g a t i o n a x i o m i f
Λ(x, x + y) + Λ(y, x + y) = Λ(x + y, x + y).
1 0 6
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 107/131
T h e t h r e e a x i o m s f o r c a p i t a l a l l o c a t i o n
T h e s e c o n d a x i o m i s d i v e r s i c a t i o n : t h e r i s k c a p i t a l f o r a c o m p o n e n t s h o u l d n o t
e x c e e d t h e o v e r a l l r i s k c a p i t a l o f t h e r i s k c o n s i d e r e d a s a s t a n d - a l o n e p o r t f o l i o .
H e n c e ,
Λ(X i, X ) ≤ Λ(X i, X i)f o r a l l
i = 1,...,n.D e n i t i o n 4 2 . A c a p i t a l a l l o c a t i o n
Λs a t i e s t h e d i v e r s i c a t i o n a x i o m i f
Λ(x, y) ≤ Λ(x, x).
1 0 7
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 108/131
T h e t h r e e a x i o m s f o r c a p i t a l a l l o c a t i o n
T h e t h i r d a x i o m i s c o n t i n u i t y : s m a l l c h a n g e s t o t h e p o r t f o l i o h a v e a l i m i t e d
e e c t o n t h e r i s k c a p i t a l . H e n c e ,
Λ(X i, X + εX i)
∼Λ(X i, X )
i f εissmall.
D e n i t i o n 4 3 . A c a p i t a l a l l o c a t i o n Λ
s a t i e s t h e c o n t i n u i t y a x i o m i f
limε→0
Λ(x, y + εy) = Λ(x, y).
1 0 8
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 109/131
Q u e s t i o n s a b o u t c a p i t a l a l l o c a t i o n a x i o m s
T h e e x i s t e n c e i s s u e : g i v e n a r i s k m e a s u r e R
, i s i t p o s s i b l e t o d e r i v e c a p i t a l
a l l o c a t i o n s s a t i s f y i n g t h o s e a x i o m s ?
T h e c o m p l e t e n e s s i s s u e : i f t h e a l l o c a t i o n e x i s t s , i s i t u n i q u e ? I f n o t , i s i t p o s s i b l e
t o a d d m o r e a x i o m s ?
T h e e x p l i c i t f o r m u l a t i o n i s s u e : g i v e n a r i s k m e a s u r e R
, i s i t p o s s i b l e t o s p e c i f y
c a p i t a l a l l o c a t i o n ?
1 0 9
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 110/131
E x i s t e n c e o f c a p i t a l a l l o c a t i o n
R e c a l l t h a t a r i s k m e a s u r e i s
•( p o s i t i v e l y ) h o m o g e n e o u s i f
R(λX ) = λR(X ),
λ ≥ 0,
• s u b a d d i t i v e i f R(X + Y ) ≤ R(X ) + R(Y ) .
I f R i s a p o s i t i v e l y h o m o g e n e o u s a n d s u b a d d i t i v e r i s k m e a s u r e s u c h t h a t t h e
f o l l o w i n g f u n c t i o n a l d e r i v a t i v e
limε→0
R(X + εZ ) − R(X )
ε
e x i s t s f o r e v e r y Z
, t h e n
Λ(x, y = limε→0 R(y + εx)
− R(y)
ε .
1 1 0
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 111/131
U n i c i t y o f c a p i t a l a l l o c a t i o n b a s e d o n R
B a s e d o n t h e t h r e e a x i o m s , t h e r i s k c a p i t a l a l l o c a t i o n
Λi s u n i q u e l y d e t e r m i n e d
a s t h e d e r i v a t i v e o f t h e r i s k m e a s u r e R a t X
i n d i r e c t i o n o f r i s k X i .
1 1 1
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 112/131
E x a m p l e s o f c a p i t a l a l l o c a t i o n : s t a n d a r d d e v i a t i o n
F o r a r i s k m e a s u r e b a s e d o n s t a n d a r d d e v i a t i o n ,
R(X ) = E(X ) + λ ·
v a r (X ),
t h e d e r i v a t i v e c a n b e d e r i v e d s i m p l y a s
Λ(X, Y ) = E(X ) + λ · c o v (X, Y ) v a r
(X ).
1 1 2
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 113/131
E x a m p l e s o f c a p i t a l a l l o c a t i o n : e x p e c t e d s h o r t f a l l
H e r e a l s o a n e x p l i c i t e x p r e s s i o n c a n b e d e r i v e d . I f
R(X ) =1
1 − α
1α
V a R (X, u)du =
E(X · I(X >V a R
(X, α)))
1 − α
( c o n t i n u o u s r a n d o m v a r i a b l e ) , t h e n
Λ(X i, X ) = 11 − α xi · I(X > V a R (X, α))dF Xi(xi).
I f P(X = V aR(X, α)) > 0
, s e t β =
P(X ≤ V aR(X, α)) − α
P(X = V aR(X, α)), t h e n
Λ(X i, X ) =1
1 − α xi · I(X >V a R
(X, α))dF Xi(xi) + β xi · I(X =V a R
(X, α))dF X
1 1 3
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 114/131
E x a m p l e s o f c a p i t a l a l l o c a t i o n : V a l u e - a t - R i s k
T h e V a R i s n o t s u b a d d i t i v e , a n d t h u s t h e r e d o e s n o t e x i s t a l i n e a r , d i v e r s i f y i n g
c a p i t a l a l l o c a t i o n w i t h r e s p e c t t o V a R . N e v e r t h e l e s s , t h e d i r e c t i o n a l d e r i v a t i v e
limε→0
V aR(X + εX i, α) − V aR(X, α)
ε
m i g h t e x i s t f o r c e r t a i n p o r t f o l i o s X . T h i s w a s s u g g e s t e d b y H a l l e r b a c h ( 1 9 9 9 ) ,
a n d w o r k s w e l l - u n d e r c o n t i n u i t y a s s u m p t i o n s ( T a s c h e ( 1 9 9 9 ) o r G o u r i é r o u x ,
L a u r e n t & S c a i l l e t ( 2 0 0 0 ) ) .
A l t e r n a t i v e i s t o w r i t e V aR(X, α) = E(X ) + λ(X ) ·
v a r (X )
, a n d t o u s e a
c o v a r i a n c e a l l o c a t i o n :
i f R(X )) = E(X ) + λ ·
v a r
(X ),t h e n
Λ(X, Y ) = E(X ) + λ · c o v (X, Y )
v a r (X )
.
T h i s t e c h n i q u e i s v e r y p o p u l a r i n c r e d i t r i s k a p p l i c a t i o n s ( s e e K a l k b r e n e r e t a l .
( 2 0 0 4 ) ) .
1 1 4
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 115/131
A n d n a l l y a s i m i l a r i d e a i s t o w r i t e V aR(X, α) = T V a R(X, a(X ))
f o r s o m e a(
·)
w i t h v a l u e s i n [0, 1]
, a n d t o c o n s i d e r c a p i t a l a l l o c a t i o n b a s e d o n T V a R ( s e e
O v e r b e c k ( 2 0 0 0 ) ) .
N u m e r i c a l e x a m p l e b a s e d o n a s i m u l a t e d p o r t f o l i o
C o n s i d e r t h r e e l i n e s o f b u s i n e s s , w i t h r a t h e r d i e r e n t b e h a v i o r s ,
• a n e x p o n e n t i a l d i s t r i b u t i o n X 1 ∼ E (0.03) , E(X 1) ∼ 33,
• a l o g - n o r m a l d i s t r i b u t i o n X 2 ∼ LN (3, 1)
, E(X 2) ∼ 33
,
•a P a r e t o d i s t r i b u t i o n
X 3 ∼ P (2, 30), E(X 3) ∼ 33
,
A s s u m e f u r t h e r t h a t t h e t h r e e r i s k s a r e i n d e p e n d e n t .
1 1 5
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 116/131
0 50 100 150 200
0 .
0 0 0
0 .
0 1
0
0 .
0 2 0
0 .
0 3 0
Densities of the three risks
0 50 100 150 200
0 .
0
0 .
2
0 .
4
0 .
6
0 .
8
1 .
0
Cumulative distribution function of the three risks
F i g u r e 1 5 : T h e t h r e e l i n e s o f b u s i n e s s .
1 1 6
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 117/131
risk 1
risk 2
risk 3
Allocation of the pure premium
risk 1risk 2
risk 3
Allocation based on 90%!TVaR
risk 1
risk 2
risk 3
Allocation based on 95%!TVaR
risk 1
risk 2
risk 3
Allocation based on stop!loss distance
risk 1
risk 2
risk 3
Relative (proportional) capital allocation !VaR 90%
risk 1
risk 2
risk 3
Relative (proportional) capital allocation !VaR 99%
risk 1
risk 2
risk 3
Relative (proportional) capital allocation !Tail VaR 90%
risk 1
risk 2
risk 3
Relative (proportional) capital allocation !Tail VaR 99%
F i g u r e 1 6 : C o m p a r i n g c a p i t a l a l l o c a t i o n s f o r t h e t h r e e i n d e p e n d e n t l i n e s o f b u s i n e s s
1 1 7
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 118/131
A g e n d a
•G e n e r a l i n t r o d u c t i o n
F i n a n c i a l r i s k s
• M a r k e t r i s k s
•C r e d i t r i s k
•F r o m v a r i a n c e t o V a l u e - a t - R i s k
R i s k m e a s u r e s a n d c a p i t a l a l l o c a t i o n
• R i s k m e a s u r e s : a n a x i o m a t i c i n t r o d u c t i o n
•R i s k m e a s u r e s : c o n v e x i t y a n d c o h e r e n c e
• C a p i t a l a l l o c a t i o n : a n a x i o m a t i c i n t r o d u c t i o n
R i s k m e a s u r e s a n d s t a t i s t i c a l i n f e r e n c e
1 1 8
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 119/131
U s i n g a p a r a m e t r i c m o d e l s
A n a t u r a l i d e a ( t h a t c a n b e f o u n d i n c l a s s i c a l n a n c i a l m o d e l s ) i s t o a s s u m e
G a u s s i a n d i s t r i b u t i o n s : i f X ∼ N (µ, σ) , t h e n t h e α - q u a n t i l e i s s i m p l y
q(α) = µ + Φ−1(α)σ,
w h e r e Φ−1(α)
i s o b t a i n e d i n s t a t i s t i c a l t a b l e s ( o r a n y s t a t i s t i c a l s o f t w a r e ) , e . g .
u = −1.64i f
α = 90%, o r
u = −1.96i f
α = 95%.
D e n i t i o n 4 4 . G i v e n a n s a m p l e X 1, · · · , X n, t h e ( G a u s s i a n ) p a r a m e t r i c
e s t i m a t i o n o f t h e α
- q u a n t i l e i s
qn(α) = µ + Φ−1(α) σ,w h e r e µ =
1
n
n
i=1
X i a n d σ =
1
n−
1
n
i=1
(X i
− µ)2
1 1 9
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 120/131
U s i n g a p a r a m e t r i c m o d e l s
A c t u a l l y , i s t h e G a u s s i a n m o d e l d o e s n o t t v e r y w e l l , i t i s s t i l l p o s s i b l e t o u s e
G a u s s i a n a p p r o x i m a t i o n
I f t h e v a r i a n c e i s n i t e , (X − E(X ))/σ
m i g h t b e c l o s e r t o t h e G a u s s i a n
d i s t r i b u t i o n , a n d t h u s , c o n s i d e r t h e s o - c a l l e d C o r n i s h - F i s h e r a p p r o x i m a t i o n ( s e e
[ ? ] o r [ ? ] ) , i . e .
Q(X, α) ∼ E(X ) + zα
V (X ), ( 1 )
w h e r e
zα = Φ−1(α)+ ζ 1
6[Φ−1(α)2−1]+
ζ 224
[Φ−1(α)3−3Φ−1(α)]− ζ 21
36[2Φ−1(α)3−5Φ−1(α)],
( 2 )
w h e r e ζ 1istheskewnessof
X ,andζ 2 i s t h e e x c e s s k u r t o s i s , i . e . i . e .
ζ 1 =E([X − E(X )]3)
E([X − E(X )]2)3/2a n d
ζ 1 =E([X − E(X )]4)
E([X − E(X )]2)2− 3.
( 3 )
1 2 0
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8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 121/131
U s i n g a p a r a m e t r i c m o d e l s
D e n i t i o n 4 5 . G i v e n a n s a m p l e X 1, · · · , X n, t h e C o r n i s h - F i s h e r e s t i m a t i o n
o f t h e
α- q u a n t i l e i s
qn(α) = µ + zα σ,w h e r e
µ =1
n
ni=1
X i a n d σ =
1
n − 1
ni=1
(X i − µ)2,
a n d
zα = Φ−1(α)+ζ 16
[Φ−1(α)2−1]+ζ 224
[Φ−1(α)3−3Φ−1(α)]− ζ 2136
[2Φ−1(α)3−5Φ−1(α)],
w h e r e
ζ 1 i s t h e n a t u r a l e s t i m a t o r f o r t h e s k e w n e s s o f X
, a n d
ζ 2 i s t h e n a t u r a l
e s t i m a t o r o f t h e e x c e s s k u r t o s i s , i . e . ζ 1 = n(n − 1)
n − 2
√n
ni=1(X i −
µ)3
(n
i=1(X i − µ)2
)3/2
a n d
ζ 2 = n−1(n−2)(n−3)
(n + 1) ζ 2 + 6
where ζ 2 =
nn
i=1(Xi− µ)4(n
i=1(Xi− µ)2)2− 3.
1 2 1
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 122/131
U s i n g a p a r a m e t r i c m o d e l s
M o r e g e n e r a l l y , i f F X ∈ F = F θ, θ ∈ Θ
( a s s u m e d t o b e c o n t i n u o u s ) ,
qX (α) = F −1θ (α) , a n d t h u s , a n a t u r a l e s t i m a t o r i s
qX (α) = F −1 θ (α), ( 4 )
w h e r e
θi s a n e s t i m a t o r o f
θ( m a x i m u m l i k e l i h o o d , m o m e n t s e s t i m a t o r . . . ) .
1 2 2
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 123/131
U s i n g a n o n p a r a m e t r i c e s t i m a t o r
F o r c o n t i n u o u s d i s t r i b u t i o n
q(α) = F
−1
X (α), t h u s , a n a t u r a l i d e a w o u l d b e t o
c o n s i d e r q(α) = F −1X (α) , f o r s o m e n o n p a r a m e t r i c e s t i m a t i o n o f F X .
D e n i t i o n 4 6 . T h e e m p i r i c a l c u m u l a t i v e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n
F X , b a s e d o n
s a m p l e X 1, . . . , X n i s F n(x) =1
n
ni=1
1(X i ≤ x) .
D e n i t i o n 4 7 . T h e k e r n e l b a s e d c u m u l a t i v e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n , b a s e d o n
s a m p l e X 1, . . . , X n i s
F n(x) =
+∞−∞
t − x
h
dF n(t) =
1
nh
ni=1
x
−∞
k
X i − t
h
dt =
1
n
ni=1
K
X i − x
h
w h e r e K (x) = x
−∞k(t)dt, k b e i n g a k e r n e l a n d h t h e b a n d w i d t h .
1 2 3
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 124/131
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 125/131
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
2
4
6
8
The quantile function in R
probability level
q u a n t i l e l e
v e l
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
type=1type=3
type=5type=7
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
2
3
4
5
6
7
The quantile function in R
probability level
q u a n t i l e l e
v e l
q
q
qqq
qqq
qqqq
qqqqqqqq
qqqqqqqq
qqqqqq
qqqq
q
qqqq
q
q
q
q
q
qqq
qqq
qqqq
qqqqqqqq
qqqqqqqq
qqqqqq
qqqq
q
qqqq
q
q
q
type=1type=3
type=5type=7
F i g u r e 1 7 : S e v e r a l q u a n t i l e e s t i m a t o r s i n R .
1 2 5
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 126/131
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 127/131
E . g . t h e s o - c a l l e d H a r r e l l - D a v i s e s t i m a t o r i s d e n e d a s
Qn( p) =
ni=1
in
(i−1)n
Γ(n + 1)
Γ((n + 1) p)Γ((n + 1)q)y(n+1) p−1(1 − y)(n+1)q−1
X i:n,
• n d a s m o o t h e s t i m a t o r f o r
F X, a n d t h e n n d ( n u m e r i c a l l y ) t h e i n v e r s e ,
T h e α
- q u a n t i l e i s d e n e d a s t h e s o l u t i o n o f F X qX (α) = α
.
I f
F n d e n o t e s a c o n t i n u o u s e s t i m a t e o f F
, t h e n a n a t u r a l e s t i m a t e f o r qX (α)
i s
qn(α) s u c h t h a t
F n
qn(α) = α , o b t a i n e d u s i n g e . g . G a u s s - N e w t o n a l g o r i t h m .
1 2 7
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
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P a r a m e t r i c s o r n o n p a r a m e t r i c s ?
0 1 2 3 4 5
0 .
0
0 .
2
0 .
4
0 .
6
0 . 8
Density, theoritical versus empirical
Theoritical lognorFitted lognormalFitted gamma
−4 −2 0 2 4
0 .
0
0 .
1
0 .
2
0 .
3
Density, theoritical versus empirical
Theoritical Student
Fitted lStudent
Fitted Gaussian
F i g u r e 1 8 : E s t i m a t i o n o f V a l u e - a t - R i s k , m o d e l e r r o r .
1 2 8
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
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U s i n g e x t r e m e v a l u e r e s u l t s , a s e m i - p a r a m e t r i c a p p r o a c h
Q u a n t i l e e s t i m a t i o n b a s e d o n e x t r e m e v a l u e r e s u l t s c a n b e s e e n a s s e m i
p a r a m e t r i c . G i v e n a n
- s a m p l e Y 1, . . . , Y n
, l e t Y 1:n ≤ Y 2:n ≤ . . .≤ Y n:n d e n o t e s
t h e a s s o c i a t e d o r d e r s t a t i s t i c s . O n e p o s s i b l e m e t h o d i s t o u s e
P i c k a n d s - B a l k e m a - d e H a a n t h e o r e m . T h e i d e a i s t o a s s u m e t h a t f o r u
l a r g e
e n o u g h , Y − u
g i v e n Y > u
h a s a G e n e r a l i z e d P a r e t o d i s t r i b u t i o n w i t h
p a r a m e t e r s ξ
a n d β
, w h i c h c a n b e e s t i m a t e d u s i n g s t a n d a r d m a x i m u m l i k e l i h o o d
t e c h n i q u e s . A n d t h e r e f o r e , i f u = Y n−k:n f o r k l a r g e e n o u g h , a n d i f ξ>0, d e n o t e
b y
β k a n d
ξk m a x i m u m l i k e l i h o o d e s t i m a t o r s o f t h e G e n r a l i z e d P a r e t o
d i s t r i b u t i o n o f s a m p l e Y n−k+1:n − Y n−k:n,...,Y n:n − Y n−k:n
,
Q(Y, α) = Y n−
k:n+ β k ξk n
k(1
−α)
−
ξk
−1 ( 8 )
1 2 9
8/8/2019 Slides Edf 1
http://slidepdf.com/reader/full/slides-edf-1 130/131
A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .
8/8/2019 Slides Edf 1
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U s i n g e x t r e m e v a l u e r e s u l t s , a s e m i - p a r a m e t r i c a p p r o a c h
10 20 30 40 50 70 0 . 0
0 2
0 . 0
0 5
0 . 0 2 0
0 . 0
5 0
0 . 2
0 0
0 . 5
0 0
x (on log scale)
1 ! F
( x ) ( o n
l o g
s c a l e )
9 9
9 5
9 9
9 5
10 20 30 40 50 60 70
0 . 0
1
0 . 0
2
0 . 0
5
0 . 1
0
0 . 2
0
x (on log scale)
1 ! F
( x ) ( o n
l o g
s c a l e )
9 9
9 5
9 9
9 5
V aR T V a R