Skripta signali 3
-
Upload
lejla-lunjo-mehica -
Category
Documents
-
view
260 -
download
2
Transcript of Skripta signali 3
-
7/23/2019 Skripta signali 3
1/282
Digitalne telekomunikacijeskripta
Vladimir MiloeviVlado Deli
Milan Narandi
edomir Stefanovi
Univerzitet u Novom SaduFakultet tehnikih naukaKatedra za telekomunikacije i obradu signala
-
7/23/2019 Skripta signali 3
2/282
-
7/23/2019 Skripta signali 3
3/282
The publishing of this script was financed by Austrian Cooperation
through WUS Austria within the CDP+ 025/2004 project.
THIS COPY IS NOT FOR SALE
Objavljivanje ove skripte omoguili su Austrian Cooperation i WUS
Austria u okviru projekta CDP+ 025/2004.
BESPLATAN PRIMERAK
-
7/23/2019 Skripta signali 3
4/282
-
7/23/2019 Skripta signali 3
5/282
ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA 5
SADRAJ
1. UVOD 7
1.1. Opti model sistema za digitalni prenos signala 71.2. Kodni i modulacioni kanal 8
2. STATISTIKA TEORIJA TELEKOMUNIKACIJA 9
2.1. Uvod 92.2. Reeni zadaci 15
VEBA 1 37
3. KARAKTERISTIKE DIGITALNIH SIGNALA 47
3.1. Uvod 473.2. Reeni zadaci 50
VEBA 2 67
4. SKREMBLOVANJE I PN SEKVENCE 71
4.1. Uvod 714.2. Reeni zadaci 73
5. LINIJSKO KODOVANJE 81
5.1. Uvod 815.2. Reeni zadaci 83
VEBA 3 93
6. PRENOS U OSNOVNOM OPSEGU 95
6.1. Uvod 956.2. Reeni zadaci 99
7. VEROVATNOA GREKE PRI PRENOSU U OSNOVNOM OPSEGU 119
7.1. Uvod 1197.2. Reeni zadaci 121
8. OPTIMIZACIJA PRENOSA U OSNOVNOM OPSEGU 135
8.1. Uvod 135
8.2. Reeni zadaci 137VEBA 4 157
-
7/23/2019 Skripta signali 3
6/282
6 SADRAJVEBA 5 163
9. DIGITALNA AMPLITUDSKA MODULACIJA 173
9.1. Uvod 1739.2. Reeni zadaci 175
10. DIGITALNA FAZNA MODULACIJA 189
10.1. Uvod 18910.2. Reeni zadaci 191
11. DIGITALNA FREKVENCIJSKA MODULACIJA 205
11.1. Uvod 20511.2. Reeni zadaci 208
12. SPEKTRALNO EFIKASNE MODULACIJE 219
12.1. Uvod 21912.2. Reeni zadaci 220
VEBA 6 237
13. PRENOS U PROIRENOM SPEKTRU 247
13.1. Uvod 24713.2. Reeni zadaci 250
VEBA 7 261
14. SINHRONIZACIJA 263
14.1. Uvod 26314.2. Reeni zadaci 266
VEBA 8 275
PRILOG 277
Tablica Q-funkcije 277
LITERATURA 281
-
7/23/2019 Skripta signali 3
7/282
ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA 7
1 UVODTelekomunikacijeje mogue definisati kao proces prenosa poruka od jedne ili veeg broja
taaka - izvora, do drugih, udaljenih taaka - korisnika poruka. Prenos se vri posredstvom
elektromagnetskih sistema. U zavisnosti od tipa prenoenih signala, razlikuju se analogni i
digitalni prenos, odnosno analogne i digitalne telekomunikacije.
Digitalni signali mogu biti dvojakog porekla. Izvorno digitalni su oni signali koje generiu
digitalni izvori i nazivaju se signali podataka. S druge strane, oni mogu nastati i
digitalizovanjem analognih signala - A/D konverzijom; takvi su PCM i DM signali.
Bez obzira na poreklo, digitalni signali su sluajni signali, i tretiraju se alatima teorije
verovatnoe. Takoe, svaki digitalni signal mora imati neku karakteristiku koja jediskontinualna u vremenu i koja se moe opisati konanim skupom diskretnih vrednosti. Ove
vrednosti mogue je numerisati, pa se zato prenos digitalnih signala svodi na prenos brojki,
odnosno digita.
1.1 OPTI MODEL SISTEMA ZA DIGITALNI PRENOS SIGNALABlok ema sistema, data na slici 1.a, predstavlja optu koncepciju prenosa digitalnih signala
oba porekla. U taku A na ulazu kodera dolazi digitalna poruka, predstavljena nizom simbola
M-arnog alfabeta.
)(tf
}{ kb }{ ka )(ts
)( ts }{ ka }{ kb
)( tf
Slika 1.a Opta blok ema sistema za digitalni prenos signala
Koder, prikazan blok emom na slici 1.b. vri viestruku transformaciju informacionogsadraja signala na digitalnom nivou.
Skrembler obezbeuje transparentnost digitalnog signala, omoguavajui liniji da dobro
prenese signale bez obzira na prirodu izvora koji ih generie. Skremblovanjem se postie: mala fluktuacija gustine jedinica (smanjenje verovatnoe pojave dugog niza nula), to
je bitno za uspostavljanje sinhronizacije izmeu predajnika i prijemnika;
-
7/23/2019 Skripta signali 3
8/282
8 UVOD
ravnomernost raspodele spektralne gustine srednje snage digitalnog signala ieliminacija periodinih (diskretnih) komponenti signala, koje predstavljaju znaajan
uzrok presluavanja izmeu kanala.
Slika 1.b Blok ema kodera predajnika
Zatitni koder poveava redundantnost digitalnog signala dodavanjem neinformacionih bita
informacionom sadraju. Na taj nain poveava se otpornost digitalnog signala na uticaj
smetnji, odnosno omoguava se detekcija i korekcija pogreno prenetih simbola.
Linijski koder prilagoava spektar digitalnog signala karakteristikama linije veze, odnosno
prenosnog medija i obezbeuje uslove za sinhronizaciju i kontrolu ispravnosti prenosa.
Dekoder, prikazan blok emom na slici 1.c. vri takoe trostruku funkciju, koja je inverzna
funkciji kodera.
Slika 1.c Blok ema dekodera prijemnika
1.2 KODNI I MODULACIONI KANALDeo telekomunikacionog sistema na slici 1.1. koji obuhvata modulator, liniju veze i
demodulator naziva se kodni kanal. Kodni kanal je diskretni, digitalni kanal, jer se na
njegovom ulazu i izlazu pojavljuju nizovi simbola (kodne rei). Ukoliko se pretpostavi da je
kodni kanal bez memorije (u modulacionom kanalu je prisutan samo um) mogue ga jeopisati matricom transverovatnoa.
Kodni kanal je okarakterisan verovatnoom greke, kao kvantitativnom merom za ocenu
kvaliteta prenosa simbola i diskretnih poruka (verovatnoa greke po simbolu, bitu, bloku
bita itd.). Na osnovu karakteristika kodnog kanala vri se izbor metodazatitnog kodovanja u
cilju smanjenja verovatnoe greke.
U primopredajnim ureajima koder i dekoder zajedno ine kodek.
Modulacioni kanal je analogni kanal, ija je osnovna funkcija da to vernije prenese signale
sa svog ulaza na izlaz. ini ga linija veze (prenosni medijum) i izvor aditivnih, stohastikih
smetnji (npr. Gausov um). Kao prenosni putevi najee se koriste kablovi, usmerene
(mikrotalasne) veze, optiki vodovi i radio veze.Ciljevi modulacionog i kodnog kanala su slini: prenos diskretnih poruka, odnosno digitalnih
signala uz minimalnu verovatnou greke. Razlikuju se naini i metode ostvarivanja ovog
cilja. Za modulacioni kanal vezuje se izbor talasnih oblika signala, odnosno izbor
modulacionog postupka. Vri se prilagoenje karakteristika signala karakteristikama linije
veze i prisutnih smetnji, u cilju to vernijeg prenosa, odnosno to pouzdanije rekonstrukcije
primljenog signala.
Modulator i demodulator sadrani su u zajednikom ureaju, modemu.
Materija koju obuhvata ova zbirka zadataka se uglavnom odnosi na problematiku
modulacionog kanala.
-
7/23/2019 Skripta signali 3
9/282
ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA 9
2 STATISTIKA TEORIJA TELEKOMUNIKACIJA2.1 UVOD2.1.1 Osnovni elementi teorije verovatnoe
Bajesova formula
Neka je potpun sistem dogaaja (tj. dogaaji i su disjunktni za
svako i , i
},...,,{ 21 nHHH iH jH
nji ,...,1, = ji [ ] =i
iHP 1). Vai:
[ ] [ ][ ] [ ]
=
i
ii
kk
HPHAP
HAPAHP
/
// (2.1)
2.1.2 Sluajna promenljivaMomenti sluajne promenljive
N-ti moment diskretne i kontinualne sluajne promenljive je definisan izrazom:
=i
ini
n xPx )( , i
= dxxpxnn )( (2.2)
Prvi moment je statistika srednja vrednost m= .N-ti centralni momentdiskretne i kontinualne sluajne promenljive je definisan izrazom:
( ) ( ) =i
ii
nxPx )( , i ( ) ( )
= dxxpxn
)( (2.3)
Drugi centralni moment (n = 2), je varijansa i predstavlja naizmaninu snagu, odnosno
razliku izmeu ukupne (
2
2 ) i jednosmerne snage (2
).
Zdrueni (n+k) - ti centralni momentdve sluajne promenljive, i , je definisan izrazom:
( ) ( )knnk = (2.4)Zdrueni centralni moment drugog reda dvodimenzionalne sluajne promenljive jekovarijansa:
K=11 (2.5)
2.1.3 Transformacija gustine verovatnoeNeka su i dve sluajne promenljive povezane relacijom =f(). Razlikujemo dva sluaja:
1. Izmeu nove i stare promenljive postoji korespodencija 1:1. Tada je gustinaverovatnoe nove promenljive data izrazom:
-
7/23/2019 Skripta signali 3
10/282
10 STATISTIKA TEORIJA TELEKOMUNIKACIJA
)(1
)()(
yfxdx
dy
xpyp
=
=
(2.6)
2. Izmeu nove i stare promenljive postoji korespodencija 2:1. Tada je gustinaverovatnoe nove promenljive data izrazom:
)(1
)()()(
yfxdx
dy
xpxpyp
=
+=
, za 0y (2.7)
,0)( =yp za .0y
U optem sluaju, za sluajne promenljive N ,...,, 21 i N ,...,, 21 , koje su povezane
jednoznanim funkcijama:
),,...,,(
...
),,...,,(
),,...,,(
21
2122
2111
NNN
N
N
f
f
f
=
=
=
gustina verovatnoe su povezane izrazom
( ) Jyyygxyyygxpyyyp NNNNN
NN
=== ),...,,(),...,,...,,(),...,,( 212111,...,2,121,...,2,1 (2.8)
J je apsolutna vrednost Jakobijana, koji predstavlja determinantu matrice:
N
N
N
N
y
g
y
g
y
g
y
g
J
=
...
......
...
1
11
1
(2.9)
U prethodnom postupku, pretpostavljeno je da se sluajne promenljive N ,...,, 21 mogu
izraziti kao jednoznane funkcije od N ,...,, 21 :
).,...,,(
...),,...,,(
),,...,,(
21
2122
2111
NNN
N
N
g
g
g
=
=
=
(2.10)
Suma sluajnih promenljivih
Ako je 21 += i ako je poznata zdruena gustina verovatnoe promenljivih 1 i 2 ,
, tada je gustina verovatnoe zbirne sluajne promenljive data izrazom:),( 2121 xxp
= 11121 ),()( dxxyxpyp (2.11)
Ako su 1 i 2 nezavisne sluajne promenljive, vai :
-
7/23/2019 Skripta signali 3
11/282
ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA 11
= 11211 )()()( dxxypxpyp , (2.12)
to predstavlja konvoluciju gustina verovatnoa promenljivih koje ine zbir.
Srednja vrednost zbira i proizvoda dve sluajna promenljive
Srednja vrednost sume i proizvoda dva sluajne promenljive est je sluaj utelekomunikacijama:
( ) ( )
+=+=+ dxdyyxpyx , (2.13)
=
dxdyyxpxy ),( (2.14)
Kada su sluajne promenljive i statistiki nezavisne vai:
=
2.1.4 Karakteristine raspodeleUniformna raspodela
Data je izrazom:
=
drugde.0
,1
)( 2112
xxxxxxp (2.15)
Srednja vrednost i varijansa dati su izrazima:
2
12 xx += , i12
)( 2122 xx = .
Pokazuje se da je bilo koji tip raspodele, mogue transformisati u uniformnu
raspodelu, formalnim uvoenjem nove sluajne promenljive
)(xp
[ ]xPy = , 10 y .Transformacijom se dobija uniformna raspodela oblika:
=drugde.0
,101)(
yyp (2.16)
Gausova raspodela
Data je izrazom:
22
2)(
2
1)(
mx
exp
= (2.17)
Srednja vrednost i varijansa su jednake m i , respektivno.2
2.1.5 Sluajni procesiSluajni proces ),( tA (ili kako se jo naziva stohastiki proces,stokhastikos zasnovan na
pretpostavkama), funkcija dve promenljive sluajnog dogaaja A i vremena. Utelekomunikacijama sluajni procesi predstavljaju sluajnu promenu elektrine veliine
(struja ili napon), i nazivaju se estosluajni signali.
-
7/23/2019 Skripta signali 3
12/282
12 STATISTIKA TEORIJA TELEKOMUNIKACIJA
Za odreenu realizaciju sluajnog dogaaja iAA = , sluajni proces postaje vremenska
funkcija )(),( ttA ii = . Skup svih moguih realizacija (tj. vremenskih funkcija) sluajnog
procesa se naziva statistiki ansambl. Za odreeni vremenski trenutak , sluajni proces
postaje sluajna promenljivakt
kktA =),( (tj. vremenski odbirci sluajnog procesa su
sluajne promenljive). Konano, za datu vrednost dogaaja i dati vremenski trenutak,sluajni proces se svodi na brojnu vrednost.
Stacionarnost sluajnog procesa
Sluajni proces je stacionaran ukoliko je gustina raspodele sluajnih promenljivih koje sedobijaju odabiranjem sluajnog procesa ista (tj. ne zavisi od trenutka odabiranja), tj:
)()(1
xpxp = za svako .it
Stacionarnost se moe posmtrati i u irem smislu. Za sluajni proces se kae da jestacionaran u irem smislu ukoliko je:
1. stacionaran po srednjoj vrednosti:
mk = za svako .it
2. stacionaran po autokorelaciji:
)(),,(
),,,(),(
21122121
212121212121
Rdxdxttxxpxx
dxdxttxxpxxttR
==
===
gde je 12 tt = , tj, zavisi samo od razlike trenutaka posmatranja, a i
njihovih konkretnih vrednosti.
),( 21 ttR
Srednja vrednost po vremenu i ansamblu - ergodinost sluajnog procesa
Kod stacionarnog ansambla, srednja vrednost po vremenu i ansamblu data je izrazima:
dttfT
tf
T
TT
= )(
2
1lim)( ,
= dxxxp )( (2.18)
gde je neka realizacija sluajnog procesa, a x odbirak sluajnog procesa u nekomvremenskom trenutku.
)(tf
Ako su ove veliine jednake, ansambl je ergodian po srednjoj vrednosti (za ergodinost posrednjoj vrednosti, umesto striktno stacionarnog, moe se posmatrati sluajni proces
stacionaran samo po srednjoj vrednosti).Vremenska i statistika autokorelacione funkcija stacionarnog ansambla su:
dttftfT
T
TT
f
+= )()(
2
1lim)( (2.19)
= 212121 ),,()( dxdxxxpxxR (2.20)
Ukoliko su ove vrednosti jednake, )()( Rf = , sluajni proces je ergodian po
autokorelaciji (za ergodinost po autokorelaciji, umesto striktno stacionarnog, moe seposmatrati sluajni proces stacionaran samo po autokorelaciji).Kae se da je sluajan proces ergodian u irem smislu ukoliko je ergodian po srednjojvrednosti i po autokorelaciji.
-
7/23/2019 Skripta signali 3
13/282
ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA 13
Sluajni proces je ergodian ukoliko su sva njegova vremenska usrednjavanja iusrednjavanja po ansamblu jednala.
Meukorelaciona funkcija
Za ergodine sluajne procese )(t i )(t definie se meukorelaciona funkcija oblika:
==+=T
T
gfT
fg RdttgtfTtgtf )()()(2
1lim)()()( (2.21)
gde su i njihove realizacije, respektivno.)(tf )(tg
Kovarijansa meusobno stacionarnih procesa data je izrazom:
( ) )())()(()()()( =++= KtgtgtftfK (2.22)Ako realizacije i pripadaju istom stacionarnom ansamblu, kovarijansa postaje
autokovarijansa.
)(tf )(tg
2.1.6
Spektralna gustina snage, Viner - Hininova teorema
Spektralna gustina srednje snage sluajnog procesa i njegova autokorelaciona funkcija ineFurijeov transformacioni par.
= deRSj)()( (2.23)
=
deSRj)(
2
1)( (2.24)
Ako autokorelaciona funkcija i spektralna gustina srednje snage ne zadovoljavaju uslove:
-
7/23/2019 Skripta signali 3
14/282
14 STATISTIKA TEORIJA TELEKOMUNIKACIJA
)()()( RRR = (2.29)
=
dSSS )()(2
1)( (2.30)
2.1.7
Beli i obojeni umBeli um predstavlja stacionaran sluani proces konstantne spektralne gustine srednje snage:
-
7/23/2019 Skripta signali 3
15/282
ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA 15
2.2 ZADACI2.2.1 Posmatra se pojednostavljeni model telekomunikacionog sistema dat na slici (Slika
2.2.1.1). Izvor emituju binarne simbole iz skupa }1,0{ , koji se koduju jednostavnim
repetitivnim kodom tako to se svaki simbol ponovi pet puta (umesto simbola 0 alje se
sekvenca 00000, odnosno umesto 1 alje se sekvenca 11111). Apriorne verovatnoepojavljivanja 0, odnosno 1 su [ ] 3.00 ==niP i [ ] 7.01 ==niP . Smetnje koje deluju ukanalu utiu na verovatnou ispravnog prijema simbola, i ona iznosi 0.6 (da nema smetnji
verovatnoa ispravnog prijema bi bila 1), pri emu se smatra da smetnje nezavisno
pogaaju simbole kodne rei (kanal bez memorije).
Ukoliko je primljena sekvenca 10110, odrediti koji je simbol izvor najverovatnije
generisao.
ni
nx
nx n
i)
Slika 2.2.1.1
Reenje:
Oznaimo dogaaje i pridruene verovatnoe opisane tekstom zadatka na sledei nain:
[ ] [ ] 3.000 === PiP n , [ ] [ ] 7.011 === PiP n , sa 1H obeimo dogaaj da je poslata kodna re 00000, [ ] [ ] 3.001 === niPHP , sa 2H obeimo dogaaj da je poslata kodna re 11111, [ ] [ ] 7.012 === niPHP , [ ] [ ] 6.0prenosaispravnogaverovatno == GPP , i saA obeleimo primljenu sekvencu 10110.
Na osnovu primljene sekvenceA, prijemnik procenjuju koja je kodna re bila poslata na
osnovu toga koja je uslovna verovatnoa vea [ ]AHP /1 , odnosno [ ]AHP /2 . Nakontoga, dekodovanje informacionog simbola iz kodne rei je trivijalno.
Navedene uslovne verovatnoe se mogu izraunati kao:
[ ] [ ][ ]
[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]2211
1111
///,/
HPHAPHPHAPHAPHP
APAHPAHP
+== , i
[ ][ ]
[ ][ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]2211222
2//
/,/
HPHAPHPHAP
HAPHP
AP
AHPAHP
+
== .
Dalje imamo:
[ ] 02304.0][][][][][/ 1 == GPGPGPGPGPHAP ,
[ ] 03456.0][][][][][/ 2 == GPGPGPGPGPHAP , i
031104.07.003456.03.002304.0][ =+=AP .
Na kraju dobijamo:
[ ] 22.0/1
=AHP , i
-
7/23/2019 Skripta signali 3
16/282
16 STATISTIKA TEORIJA TELEKOMUNIKACIJA
[ ] 78.0/2
=AHP .
Na osnovu dobijenih vrednosti za uslovne verovatnoe, odluiva na svom izlazu daje
simbol 1.
Na kraju, dodajmo i to da se tip kanala opisan u ovom zadatku naziva binarni simetrini
kanal, i skraeno obeleava sa BSC (Binary Symmetric Channel).
2.2.2 U jednom binarnom sistemu za prenos podataka na predaji se javlja pozitivni impuls kojiodgovara kodnom znaku 1 (dogaaj 1H ), i negativni impuls koji odgovara kodnom znaku
0 (dogaaj 2H ) sa verovatnooma [ ] 6.01 =HP i [ ] 4.02 =HP . Prijemnik detektuje trivrste signala:
pozitivni impuls 1, negativni impuls 0, i neodreeni impuls E (znakEpotie od engleske rei Erasure, pa se ovakav kanal
naziva binarni kanal sa brisanjem, i skraeno obeleava sa BEC Binary Erasure
Channel).Uslovne verovatnoe dogaaja na prijemu kada su realizovani dogaaji na predaji su:
[ ] 1.0/0 1 =HP , [ ] 1.0/ 1 =HEP i [ ] 8.0/1 1 =HP , i [ ] 8.0/0 2 =HP , [ ] 1.0/ 2 =HEP i [ ] 1.0/1 2 =HP .
Izraunati sledee verovatnoe na prijemu:
a) [ ]0P , [ ]1P i [ ]EP ,b) verovatnou ispravnog prijema i greke na prijemu,c) ako je primljen pozitivan impuls, kolika je verovatnoa da je impuls na predaji bio
negativan odnosno pozitivan,
d) ako je primljen negativan impuls, kolika je verovatnoa da je impuls na predaji bionegativan odnosno pozitivan,
e) ako je primljen neodreeni impuls, kolika je verovatnoa da je impuls na predajibio negativan odnosno pozitivan?
Reenje:
a)[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 52.0/1/11 2211 =+= HPHPHPHPP ,
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 38.0/0/00 2211 =+= HPHPHPHPP , i
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1.0// 2211 =+= HEPHPHEPHPEP .
b) Obeleimo dogaaj da je prijem ispravan sa T.[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 8.0/0/1 2211 =+= HPHPHPHPTP , i
2.0=TP .
c)[ ]
[ ][ ]
[ ] [ ][ ]
923.01
/1
1
1,1/ 1111 =
==
P
HPHP
P
HPHP , i
[ ][ ]
[ ][ ] [ ]
[ ] 077.01/1
1
1,1/ 2222 =
== P
HPHP
P
HPHP .
-
7/23/2019 Skripta signali 3
17/282
ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA 17
d)[ ]
[ ][ ]
[ ] [ ][ ]
158.00
/0
0
0,0/ 1111 =
==
P
HPHP
P
HPHP , i
[ ][ ]
[ ][ ] [ ]
[ ]842.0
0
/0
0
0,0/ 2222 =
==
P
HPHP
P
HPHP .
e)[ ]
[ ][ ]
[ ] [ ][ ]
6.0/,
/ 1111 =
==EP
HEPHP
EP
EHPEHP , i
[ ][ ]
[ ][ ] [ ]
[ ]4.0
/,/ 2222 =
==
EP
HEPHP
EP
EHPEHP .
2.2.3 Data je funkcija nxexkxf 22
)(
= gde su k i n pozitivne konstante.
a) U kom domenu moe funkcija )(xf da predstavlja gustine raspodele verovatnoa(GRV) neke sluajne promenljive? Odrediti relaciju izmeu k i n .
b) Izraunati verovatnou da sluajna promenljiva ija je gustina raspodele )(xf uzme neku vrednost iz intervala 2,2 .
c) Napisati izraz za kumulativnu funkciju raspodele i skicirati njen izgled.Reenje:
a) Da bi )(xf bila GRV, njene vrednosti moraju biti nenegativne. To je sluaj za 0x :1
0
2
2
==
kndxexk nx
.
b)[ ]
2
2
2
2
2
122
e
edxexkxP n
x
==
.
c).1)( 2
2
0
2
2
n
xx
n
t
X edtetkxF
==
Slika 2.2.3.1 prikazuje izgled kumulativne funkcije raspodele.
[ ]xFX
x
1
Slika 2.2.3.1
-
7/23/2019 Skripta signali 3
18/282
18 STATISTIKA TEORIJA TELEKOMUNIKACIJA
2.2.4 Na ulazu i izlazu sistema su signali ije su trenutne vrednosti sluajne promenljiveXi Y.Odrediti funkciju gustine raspodele verovatnoa sluajne promenljive Y za sve
kombinacije funkcija gustine raspodele verovatnoa sluajne promenljive i prenosnih
funkcija sistema.
Funkcije gustine raspodele verovatnoa sluajne promenljiveXsu:
1. [ ] =
drugde.0,1,01)( xxpX
2. 22
2
1)(
x
X exp
=
.
Prenosne funkcije sistema su (pri emu su a i b pozitivne konstante):
1. baxxy +=)( ,2. 2)( axxy = ,3.
=+=
=
=
drugde.0
,02
1
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
yeay
ax
e
ax
e
ypa
y
a
yx
x
a
yx
x
Y
y
[ ]ypY
Slika 2.2.4.5
-
7/23/2019 Skripta signali 3
21/282
ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA 21
f) (Kombinacija Gausove raspodele i linearnog sistema sa zasienjem.)Analogno delu zadatka pod c), dobijamo:
[ ]( )
+++
=
drugde.0
,)()()(2
1 22
2 abyababyabyaQebyp
b
y
Y
pri emu je:
=
==
a
xa x
dxedxeaQ 2
2
2
2
2
1
2
1)(
.
y
[ ]ypY
)()( abyaQ )()( abyaQ +
Slika 2.2.4.6
2.2.5 U prijemnicima modulisanih signala esto se vri izdvajanje nosioca, koji predstavljaneki sinusoidalni signal amplitude A , krune uestanosti 0 i poetne faze . Obino su
na mestu prijema poznate vrednosti za amplitudu i krunu uestanost, dok je po
etna faza
nepoznata. Zato se poetna faza moe predstaviti sluajnom promenljivom sa
uniformnom raspodelom ija je gustina raspodele verovatnoa:
[ ]
=
drugde.0
,202
1
x
xp
Odrediti GRV sluajne promenljive koja predstavlja trenutnu vrednost noseeg signala u
nekom odreenom trenutku 1tt= .
Reenje:
Trenutna vrednost nosioca predstavlja sluajnu promenljivu koju emo obeleiti sa Z,
)sin( 10 += tAZ , a trenutni ugao sinusoide emo obeleiti sa , += 10t . GRV
sluajne promenljiveZemo odrediti u dva koraka. U prvom emo odrediti GRV za , a
zatim iz nje izvesti traenu GRV na osnovu relacije sinAZ = .
Poto je += 10t , na osnovu zadatka 2.2.4 pod a) se dobija:
[ ]
+
=
drugde.0
,22
11010
tyt
yp
-
7/23/2019 Skripta signali 3
22/282
22 STATISTIKA TEORIJA TELEKOMUNIKACIJA
Poto preslikavanje yAz sin= nije 1 na 1, posluiemo se slinim rezonovanjem kao u
zadatku 2.2.4 pod b). Na osnovu slike (Slika 2.2.5.1) se vidi da vai:
[ ][ ] [ ]
21 yyyy
Z
dy
dz
yp
dy
dz
ypzp
==
+=
,
pri emu je;
22
2
22 1sin1cos zA
A
zAyAyA
dy
dz==== .
Na kraju se dobija:
[ ]
=
+
=
drugde.0
,011
drugde.0
,02
1
2
1
22
2222
AzzA
Az
zAzAzpZ
y
z [ ]zpZ
A
1y
2y
zA
A
1
10t 210 +t
Slika 2.2.5.1
2.2.6 Na ulazu u radio prijemnik superponiraju se dva sinusoidalna signala jedininihamplituda i krune uestanosti 0 , a sluajne fazne razlike koja je uniformno
raspodeljena u intervalu [ ]2,0 . Odrediti i nacrtati GRV sluajne promenljive kojapredstavlja anvelopu signala na ulazu. Izraunati verovatnou da anvelopa ulaznog
signala bude manja od polovine amplituda pojedinih komponenti.
Reenje:
Na ulazu radio prijemnika je signal:
( )
+=++= 2sin2cos2)sin()sin(
000
x
t
x
xttts .
-
7/23/2019 Skripta signali 3
23/282
ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA 23
Sluajna promenljiva koja predstavlja anvelopu na ulazu je2
cos2x
y = .
Ovo preslikavanje je jednoznano na intervalu [ ]2,0 , pa sledi:
[ ][ ]
)(1 yfx
XY
dx
dy
dxxp
dyyp
=
= .
Slino kao i u zadatku 2.2.5, vai:
41
2cos1
2sin
22 yxx
dx
dy=== ,
pa se konano dobija:
[ ]
=
drugde.0
,22
412
1
2
yyypY
Verovatnoa da je anvelopa u intervalu
2
1,
2
1(polovina amplituda pojedinih
komponenti) je:
[ ]
=
=
==
nnoU
xU
QdxeUnP
0
/
2
2
02
1][ ,
.10)76,4(][ 60
=> QUnP
b)[ ] [ ] 68,0)1(2121 ==>=
-
7/23/2019 Skripta signali 3
34/282
34 STATISTIKA TEORIJA TELEKOMUNIKACIJA
( ) ( ) ( )+
2
2
sin2
Tt
Tt
cus duuunT
tn ,
pri emu je
B
T
fc
11
-
7/23/2019 Skripta signali 3
35/282
ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA 35
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ),22
2sin1
2cos1
)cos(2
21
2
2
2
2
2
2
tnT
ktn
T
ktntn
duuT
tnduuT
tntnduuunT
c
c
s
c
cc
Tt
Tt
cs
Tt
Tt
ccc
Tt
Tt
cu
+=
+=
+
+
+
jer je 2,2 21
-
7/23/2019 Skripta signali 3
36/282
36 STATISTIKA TEORIJA TELEKOMUNIKACIJA
d) Spektralna gustina snage uma je nakon filtriranja ograniena na intervale( ) ( )[ ]BfBf cc + , i [ ]BfBf cc + , (Slika 2.2.17.2). Snaga uma nakon filtriranja
je:
( ) 00 2
22 BNdf
NdffSP
Bf
Bf
uu
c
c
=== +
.
f
( )fSu
2
0N
cf
cf
Slika 2.2.17.2
Na osnovu zadatka pod c), vai:( ) ( ) ( )0002 0 scuu RRRBNP ==== .
Dalje je:
( ) ( )dffSBNR cc
== 020 .
Poto je spektralna gustina snage procesa ( )tnc konstanta u intervalu [ ]BB, , vai:
( )
=drugde.0
,0 BfBNfSc
Na slian nain se moe pokazati da je spektralna gustina snage procesa ( )tns :
( )
=drugde.0
,0 BfBNfSs
-
7/23/2019 Skripta signali 3
37/282
ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA 37
V E B A 1
SLUAJNE PROMENLJIVE I STOHASTIKI PROCESI
I PRIPREMA VEBE (DOMAI ZADATAK)
P1) Uniformno raspodeljena sluajna promenljiva
P1.1. Neka je U U (a,b) uniformno raspodeljena sluajna promenljiva nad intervalom[a,b], a < b
a) Odrediti i nacrtati gustinu verovatnoe od U.b) Odrediti i nacrtati kumulativnu funkciju raspodele od U.c) Izraunati E[U] I E[U], u kao i funkcije promenljivih a i b.d)
Odrediti vezu izme
u "irine" uniformne raspodele, b-a, i njene varijanse.e) Za a = 2, b = 6 izraunati P (-2
-
7/23/2019 Skripta signali 3
38/282
38 VEBA 1
P4.2. Odrediti srednju i srednju kvadratnu vrednost sluajnog procesa Z (t), ako jegrafiki zadata:
a) autokorelaciona funkcija Rz();b) spektralna gustina srednje snage Sz (f).
a)
b)
Slika 1.1.
P4.3. Koji uslov moraju zadovoljiti dva sluajna procesa da bi bili nekorelisani?
P5) Linerno filtriranje sluajnog procesa.
P5.1. Odrediti odziv filtra ija je prenosna funkcija : H (f) = f 0 / (f0 + j2f) ako je nanjegovom ulazu prisutan beli um spektralne gustine srednje snage Sn (f) = N0 / 2. Ukakvoj su vezi spektralna gustina srednje snage odziva i prenosna funkcija filtra H(f)?
P5.2. (CCS) Beli um X(t) sa spektralnom gustinom srednje snage ffSX = ,1)(
pobuuje linearan filtar iji je impulsni odziv h . Odrediti spektralnu
gustinu snage i autokorelacionu funkciju procesa na izlazu filtra.
-
7/23/2019 Skripta signali 3
39/282
ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA 39
II ZADATAK VEBE
SLUAJNE PROMENLJIVE
1) Uniformno raspodeljene sluajna promenljiva (CST)
1.1. Koristei funkcije unif_pdf i unif_cdf nacrtati gustinu verovatnoe (pdf) ikumulativnu funkciju raspodele (cdf) uniformne sluajne promenljive U (2,6):
>>subplot(121),unif_pdf(2,6),axis([0,8,-0.2,1.2]);>>subplot(121),unif_cdf(2,6),axis([0,8,-0.2,1.2]);
Grafik 1.1.
1.2. Ako je U~U (2,6) odrediti verovatnoe koristei generisane grafike za pdf i cdf utaki 1.1.
P ( 0>mean_u=mean(u),var_u=var(u)
Uporediti ove rezultate sa rezultatima koji se oekuju na osnovu P1.1. ikomentarisati razlike.
b) Da li moete da pretpostavite algoritme MATLAB funkcija mean i var?Prikaite sadraje ovih funkcija komandom type.
c) Iskoristite funkcije mean_u i var_u za odreivanje E[ u ]. Proverite rezultat saMATLAB funkcijom meansq.
-
7/23/2019 Skripta signali 3
40/282
40 VEBA 1
2) Gausova sluajna promenljiva
2.1. Koristei MATLAB funkcije gaus_pdf i gaus_cdf prikazati grafike gustineverovatnoe (pdf) i kumulativne raspodele (cdf) sluajne promenljive G ~ N (,), priemu je = mean_u i = var_u iz pripreme 1.3.>>clg,subplot(121),gaus_pdf(mean_u,var_u)>>subplot(122),gaus_cdf(mean_u,var_u)
Grafik 1.2.
2.2. Naznaiti vrednosti na horizontalnoj osi gde pdf ima maksimalnu vrednost i gde jecdf jednaka 0.5. Uporediti ove vrednosti sa srednjom vrednou Gausove raspodele.
2.3. Odrediti sledee verovatnoe :
P ( 0 < G 3 ) P ( 3 < G 5 ) P ( G 5 )
Tabela 1.2
Uporediti dobijene rezultate sa vrednostima u tabeli 1.1 za uniformnu raspodelu. Gausovaraspodela koriena u ovom zadatku i uniformna raspodela iz prvog dela vebe imaju istesrednje vrednosti i varijanse, ali se rezultati razlikuju. Moete li objasniti zato?
2.4. Ako pretpostavimo da sluajna promenljiva X N ( , ) ima konstantnu srednjuvrednost =1, grafiki prikazati uticaj promene varijanse {0.5, 1, 2, 5, 10 } naizgled gustine raspodele:
>>clf>>m=1;gaus_pdf(m,0.5)
>>axis([-101000.6]),holdon>>gaus_pdf(m,1)
>>gaus_pdf(m,10)
-
7/23/2019 Skripta signali 3
41/282
ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA 41Pitanje 1.1.Ako pretpostavimo dogaaj A : 0clf>>m=1;gaus_cdf(m,10)
>>axis([-101001]),holdon>>gaus_cdf(m,1)>>gaus_cdf(m,10)
a) Da li moete pretpostaviti granini oblik cdf kada ? Prikaz cdf za maluvrednost moe pomoi pri odgovaranju na postavljeno pitanje:
02 2
>>gaus_cdf(m,0.00001)
b) ta znai imati raspodelu verovatnoa sa vrlo malom varijansom? Prikaz
odgovarajue pdf pomae da bolje ilustrujemo ovo pitanje:
>>clf>>gaus_pdf(m,0.00001)
>>axis([020200])
c) Ako u poslednjem koraku uzmemo uniformno raspodeljenu sluajnu promenljivusa srednjom vrednou i varijansom 0.0001, da li e se rezultujua funkcija pdf
promeniti?
2.6. Da bi utvrdili efekte promene srednje vrednosti {-4,-1,2,5} na pdf Gausoveraspodele, njenu varijansu, , draemo konstantnom:
>>clf>>s=1;gaus_pdf(-4,s)
>>axis([-8800.5]),holdon>>gaus_pdf(-1,s)
>>gaus_pdf(5,s)
a) ta sada zapaate: kakav je uticaj promene srednje vrednosti ?b) Neka je X (, ) sluajna promenljiva sa normalnom raspodelom X ( ,) N (,). Uporediti vrednosti P(-5< X(-4,1)
-
7/23/2019 Skripta signali 3
42/282
42 VEBA 1
>>x=gauss(-5,1,100);>>y=gauss(0,1,100);>>z=gauss(5,1,100);>>clf>>plot(x)
>>axis([1100-1010]),gridon,holdon>>plot(y)>>plot(z)Da li je mogue konstatovati da srednja vrednost Gausove sluajne promenljive utie na
jednosmerni nivo talasnog oblika (sekvence)?
3.2. Generisati sluajne sekvence na osnovu Gausovih raspodela sa razliitimvrednostima varijanse:
>>a=gauss(0,4,100);>>b=gauss(0,1,100);
>>c=gauss(0,0.5,100);>>d=gauss(0,0.01,100);>>clf
>>subplot(221),plot(a),axis([1100-1010])>>subplot(222),plot(b),axis([1100-1010])>>subplot(223),plot(c),axis([1100-1010])>>subplot(224),plot(d),axis([1100-1010])Koristei MATLAB funkcije mean i var odrediti srednju vrednost i varijansu svakesekvence, i dobijene podatke uneti u tabelu 1.3. Odrediti srednju kvadratnu vrednost
svakog signala koristei dobijene vrednosti srednje vrednosti i varijanse. Proveritirezultate korienjem funkcije meansq.
sekvenca srednja vrednost varijansasrednja kvadratna
vrednosta
bc
Tabela 1.3
Pitanje 1.2.Ako talasni oblici iz ovog primera predstavljaju um, koji bi od njih uneo najmanjesmetnji vaem komunikacionom sistemu? Ako prikazani talasni oblici predstavljajukorisne signale bez prisutnog uma, koji biste upotrebli za prenos informacije i zato?
SLUAJNI PROCESI
4) Stacionarnost u irem smislu i ergodinost
4.1 Generisati sve etiri realizacije sluajnog procesa X (,t) opisanog u pripremnomzadatku P3.2 i prikazati prvih 400 uzoraka svake realizacije.
>>x=realize([0pi/2pi3*pi/2]);>>subplot(221),waveplot(x(1,1:400));
>>subplot(222),waveplot(x(2,1:400));
-
7/23/2019 Skripta signali 3
43/282
ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA 43>>subplot(223),waveplot(x(3,1:400));
>>subplot(224),waveplot(x(4,1:400));
a) Odrediti vrednosti svake realizacije sluajne promenljive X (,t) za trenutket = 0, 0.5, 1.25, 2.2, 3.4 ms. Za svako t izraunati srednju vrednost poansamblu i srednju kvadratnu vrednost po ansamblu
time [ ms ]
0.0 0.5 1.25 2.2 3.4
X (1,t)
X (2,t)
X (3,t)
X (4,t)
E[X (,t)]
E[X(,t)]
Tabela 1.4.
4.2. Koriste
i funkciju ecorrodrediti autokorelacionu funkciju Rx( t1,t2) za vrednosti t1 it2 iz tabele 1.5.
>>ecorr(x,t1,t2)
t1 t2 0.0 0.7 1.9 2.6
0.0
0.7
1.9
2.6
Tabela 1.5.
Pitanje 1.3.Zato su vrednosti u tabeli 1.5 simetrine? Zato su Rx(1.9, 2.6) i Rx(0.7, 0) jednake?Kako bi izraunali Rx(t1,t2) sa grafika koji su generisani u zadatku 4.1?
4.3. Odrediti vremenske srednje vrednosti za X (,t) i X(,t) za svaku vrednost .
Rezultate uneti u tabelu 1.6.>>[mean(x(1,:))meansq(x(1,:))]
-
7/23/2019 Skripta signali 3
44/282
44 VEBA 1
>>[mean(x(2,:))meansq(x(2,:))]
>>[mean(x(3,:))meansq(x(3,:))]
>>[mean(x(4,:))meansq(x(4,:))]
X (,t) X(,t)
1
2
3
4
Tabela 1.6.
Uporediti ove vrednosti sa vrednostima dobijenim u tabeli 1.4. ta to govori oergodinosti X(,t)?
4.4. Prikazati autokorelacionu funkciju X (1,t) koja je odreena usrednjavanjem uvremenu:
>>clf
>>acf(x(1,:),100);
Da li je vremenska autokorelaciona funkcija (acf) za X (1,t) razliita od acf za X (3,t)?
Pitanje 1.4.Ako je X(, t) ergodian proces, kako se moe izraunati Rx(2.6, 0.7) koristei grafik izzadatka 4.4?
4.5 Generisati sluajni proces Y (, t) = cos(21000t + ) definisan u terminimadiskretne sluajne promenljive faze koja uzima vrednosti 1 = 0 i 1 = sa jednakimverovatnoama.
>>y=realize([0,pi]);
Prikazati obe realizacije sluajnog procesa Y (, t). Odrediti srednju vrednost i srednjukvadratnu vrednost za t = 1ms i t = 1.25 ms
>>subplot(211),waveplot(y(1,1:400))>>subplot(212),waveplot(y(2,1:400))
Pitanje 1.5.Da li je Y(, t) stacionaran u irem smislu? Da li je Y(, t) ergodian proces?Obrazloite odgovore.
-
7/23/2019 Skripta signali 3
45/282
ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA 455) Autokorelaciona funkcija i spektralna gustina srednje snage
Korelacija je mera slinosti izmeu dva skupa podataka, u tom smislu da to su skupovisliniji vea e biti apsolutna vrednost korelacije. Jedna od primena je procena sluajneveliine na osnovu posmatranja nekog zavisnog procesa. Autokorelacija je korelacionamera odmeraka uzetih iz istog sluajnog procesa.
5.1. Generisati 4096 uzorak korelusanog sluajnog procesa Z(t) i prikazati rezultujuigrafik
>>close(2),clf
>>z=corr_seq(0.85,4096.3,0);
>>waveplot(z)
a) Izraunati i prikazati autokorelacionu funkciju RZ() i spektralnu gustinusrednje snage SZ(f) sluajnog procesa Z(t)
>>clf,subplot(211),acf(z)
>>subplot(212),psd(z)
Uporedite SZ(f) sa odgovorima na pripremno pitanje P4.2.
b) Izraunati srednju vrednost i srednju kvadratnu vrednost sluajnog procesaZ(t) koristei RZ().
E [Z(t)] =
E [Z(t)] =
c) Odredite srednju kvadratnu vrednost procesa Z(t) koristei SZ(f). Srednjakvadratna vrednost je ekvivalentna oblasti ispod PSD funkcije pomnoena safaktorom skaliranja. Faktor skaliranja predstavlja broj uzoraka podeljen safrekvencijom odabiranja. U ovom eksperimentu faktor skaliranja ima vrednost0.04096.
E [Z(t)] = * 0.04096 =
6) Beli um
Spektralna gustina srednje snage belog uma je konstantna funkcija na celom propusnom
opsegu. Beli um korien kao ulaz sistema prisutan je na svim frekvencijama, zato sekoristi za identifikaciju sistema tj. za odreivanje frekvencijskog odziva nepoznatogsistema.
6.1. Generisati 1024 uzoraka belog Gausovog uma sa nultom srednjom vrednou ijedininom snagom. Iskoristiti dobijenu sekvencu kao ulaz u nepoznati sistem kojipredstavlja filtar sa nepoznatom irinom propusnog opsega.
-
7/23/2019 Skripta signali 3
46/282
46 VEBA 1
>>clf
>>wn=gauss(0,1,1024);
>>cn=blackbox(wn);
a) Dovedimo izlaz iz nepoznatog filtra na usko pojasni filtar sa promenljivimpropusnim opsegom
>>spect_est(cn)
Nakon poziva funkcija spect_estpotrebno je zadati frekvencijski opseg ukojem se vri procena spektra kao i irinu propusnog opsega uskopojasnogfiltra koji se koristi za analizu spektra. Za spektralni opseg unesite [0, 5 kHz]a za irinu propusnog opsega filtra 250 Hz. Po unoenju podaka, funkcija
prikazuje spektralnu amplitudsku karakteristiku izlaznog signala unutarzadatog frekvencijskog opsega i sa rezolucijom koja odgovara iriniupotrebljenog uskopojasnog filtra.
Grafik 1.3.
b) Prikazati rezultat spektralne analize na grafiku 2.1. Uporediti tanostprocenjene spektralne raspodele koja aproksimira frekvencijski odziv
nepoznatog sistema porede
i sa spektralnom gustinom srednje snage nanjegovom izlazu.
>>holdon,psd(cn)
Pitanje 1.6.Odrediti propusni opseg i red nepoznatog filtra koji je predstavljen blackbox funkcijom.
-
7/23/2019 Skripta signali 3
47/282
ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA 47
3 KARAKTERISTIKE DIGITALNIH SIGNALA3.1 UVOD3.1.1 Osnovne definicije i oznake
Osnovne komponente digitalnog signala su:
informacioni sadraj,
vremenski oblik elementarnog impulsa,
digitski takt (signalizacioni interval).
Informacioni sadraj predstavlja vremenski niz diskretnih simbola:
{ } LL ,,,, 11 += kkkk aaaa (3.1)
Simboli ak uzimaju vrednosti iz konanog skupa (alfabeta) { }.1,,2,1,0, == MmAA m L
Ako je ak simbol alfabeta A , elementarni impuls, a Tsignalizacioni interval, digitalni
signal se moe predstaviti u obliku:
)(th
s t a h t kT kk N
N
( ) ( )= = (3.2)
Ako se uvedu sledee pretpostavke:
su meusobno zavisne sluajne veliine,{ }ka svi nizovi elemenata informacionog sadraja ine ergodian ansambl u irem smislu,
tada e vaiti:
akk aa == }{ , i (3.3)
)(}}{{ nRaaaa ankknkk == ++ (3.4)
U poslednjim izrazima su:
][][
1
mk
M
m
mkk AaPAaEa === =
, i (3.5)
= =
+++ ====M
i
M
j
jnkikjinkknkk AaAaPAAaaEaa1 1
],[][ (3.6)
statistika srednja vrednost i autokorelacija elemenata informacionog sadraja, a
= +
=N
Nk
kN
k aN
a12
1lim}{ , i (3.7)
=
+++
=
N
Nk
nkknkk aaN
aaN 12
1lim}}{{ (3.8)
srednja vrednost i autokorelacija lana informacionog sadraja po vremenu.
-
7/23/2019 Skripta signali 3
48/282
48 KARAKTERISTIKE DIGITALNIH SIGNALA
3.1.2 Statistike i spektralne karakteristike digitalnih signalaSrednja vrednost digitalnog signala po vremenu je:
)0()()(2
1lim)( H
Tdtth
Tdtts
NTts aa
NT
NTN
===
(3.9)
Statistika srednja vrednost je:
=
=
===
k
Tktja
k
a eT
kH
TkTthtsEts /2)()]([)(
(3.10)
Autokorelacija digitalnog signala po vremenu definisana je izrazom:
=
= =
+=
+=
+=+=
m
aT
NT
NT
N
Nk
N
Nn
nkN
NT
NTN
mRmTRT
dtnTthkTthaaNT
dttstsNT
tstsR
)()(1
)()(2
1lim
)()(2
1lim)()()(
(3.11)
gde je , ankm =
+= dtththRT )()()( (3.12)
autokorelacija elementarnog impulsa.
Spektralna gustina srednje snage (SGSS) digitalnog signala definisana je izrazom:
=
==m
fmTja
fj
emRfHTdeRfS
222
)()(1
)()( (3.13)
2)( fH je spektralna gustina energije signala i predstavlja njegov uticaj na SGSS,h t( )
K fT
R m ea aj fmT
m
( ) ( )=
=
1 2 (3.14)
predstavlja spektar informacionog sadraja,
[ ]
=
=
+
=
m
fmTjaa
m
aa emR
TT
mf
TfK
222
2
)(1
)( (3.15)
Sledi:
)()()( fSfSfS kd += , (3.16)
pri emu su i diskretni i kontinualni deo SGSS respektivno, a mogu se
predstaviti sledeim izrazima:
)( fSd )( fSk
=
=
m
ad
T
mf
TfHfS
2
22
)()( , i (3.17)
[ ]
=
=m
fmTjaak emR
TfHfS 22
2)(
1)()(
(3.18)
Ukoliko je digitalni signal sa statistiki nezavisnim elementima informacionog sadraja,statistika autokorelacija informacionog sadraja je:
-
7/23/2019 Skripta signali 3
49/282
ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA 49
===
.0
,0)0()(
2
2
m
mRamR
a
aka
(3.19)
=
++=m
Ta
Ta mTR
TR
TR )()()(
22
(3.20)
je autokorelacija digitalnog signala, pri emu je varijansa elemenata informacionog
sadraja.
a2
=
+==m
Ta
Ta mTR
TR
TRP )()0()0(
22 (3.21)
predstavlja srednju snagu digitalnog signala.
Spektralna gustina srednje snage je tada data izrazom:
=
+=
m
aa
T
mfjfH
TjfH
TfS
22
22
2
)()()( (3.22)
Ako su elementi alfabeta informacionog sadraja polarni:
{ 1,,2,1,0,)]1(2[ }=== MmdMmAAa mk L (3.23)
gde je d polovina rastojanja izmeu susednih simbola alfabeta, iste apriorne verovatnoe:
MmM
AP m ,,2,1,1
)( L== (3.24)
sledi:
a = 0 (SGSS nema diskretni deo).
22
22
3
1d
Maka
== (varijansa alfabeta) (3.25)
RM
dTR
T( ) ( ) =
2
21
3
1(autokorelacija) (3.26)
a srednja snagatakvog digitalnog signala je:
== dtthT
dffHT
P aa )()( 22
22
(3.27)
-
7/23/2019 Skripta signali 3
50/282
50 KARAKTERISTIKE DIGITALNIH SIGNALA
3.2 ZADACI3.2.1 Prikazati vremenski oblik digitalnog signala kojim se prenosi binarna sekvenca
10011011, ukoliko se za prenos koriste sledei formati signala (kodovi):
unipolarni kod bez povratka na nulu (unipolarni NRZ Non-Return to Zero),
diferencijalni unipolarni kod bez povratka na nulu ( diferencijalni unipolarni NRZ),
bipolarni kod bez povratka na nulu (bipolarni NRZ),
bipolarni kod sa povratkom na nulu (bipolarni RZ Return to Zero),
Manester kod,
diferencirajui RZ kod.
Reenje:
Unipolarni NRZ kod
Ovo je najjednostavniji nain kodovanja. Binarno 1 se koduje impulsom pozitivnog
nivoa, dok se binarno 0 koduje odustvom impulsa. Oba simbola traju itavsinhronizacioni interval. Problem je to pri dugotrajnom nizu 1-ca, odnosno 0, nema
tranzicija u digitalnom signalu, pa se gubi informacija o taktu, i stoga ovaj format ne
moe da slui za odravanje sinhronizacije izmeu predajnika i prijemnika.
Diferencijalni unipolarni NRZ kod
Kod ovog formata je karakteristino da se koduju promene u informacionoj sekvenci.
Ukoliko su susedni biti iste vrednosti, to se koduje odsustvom impulsa, a ukoliko su
susedni biti razliite vrednosti, to se koduje pozitivnim impulsom. Simboli traju itav
signalizacioni interval, a prvi simbol se koduje na prethodno dogovoren nain (u ovom
primeru je poetni simbol pozitivan ako sekvenca poinje bitom 1).
Bipolarni NRZ kod
I u ovom sluaju je nivo signala konstantan za vreme prenosa jednog bita. Koriste se
takoe dva naponska nivoa, ali za razliku unipolarnog NRZ koda, pozitivan impuls
koduje binarno 1, a negativan impuls koduje binarno 0. Ovde vai isti problem vezan za
NRZ kodove pri dugotrajnom nizu 1-ca, odnosno 0, nema tranzicija, pa ni bipolarni
NRZ ne moe da slui za odravanje sinhronizacije.
Bipolarni RZ
U ovom formatu, binarno 1 je predstavljeno pozitivnim, a binarno 0 negativnim
impulsom. Za razliku od prethodno navedenih formata, na sredini svakog intervala signal
pada na nulti nivo. Kako na sredini svakog interval postoji tranzicija, sinhronizacija
izmeu izmeu predajnika i prijemnika se lako odrava. Nedostatak je, meutim, da su
promene signala dva puta ee nego protok bita, pa je i zahtevani propusni opseg duplo
vei.
Manester kod
Slino kao i kod RZ kodova, postoji tranzicija na sredini intervala. Prva polovina
intervala oznaava vrednost bita (pozitivan impuls za binarno 1, a odsustvo impulsa za
binarno 0), a na druga polovina je suprotne vrednosti od prve. Prednost nad RZ-om je
postojanje samo dva naponska nivoa.
AMI kod
AMI kod poseduje tri naponska nivoa. Binarno 0 se koduje naponom nula, a binarno 1naizmenino negativnim i pozitivnim nivoom (pseudoternarni kod). Impulsi traju
polovinu signalizacionog intervala.
-
7/23/2019 Skripta signali 3
51/282
ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA 51
Slika 3.2.1.1 prikazuje vremenske oblike navedenih formata.
1 0
+V
-V
0
biti informacione
sekvence
unipolarni NRZ
Mancester
AMI
diferencijalni
unipolarni NRZ
+V
0
bipolarni NRZ 0
+V
bipolarni RZ
1 1 1 10 0
-V
0
+V
0
+V
-V
0
+V
Slika 3.2.1.1
3.2.2 Izvesti izraze za varijanse informacionih sadraja digitalnih signala sa simbolima izM-arnih alfabeta:
a) { }1,,2,1,0],)1(2[ === MmdMdmAA m L (polarni),
b) { }1,,2,1,0,2===
MmdmAA mL
(unipolarni),pod pretpostavkom da su svi simboli jednako verovatni.
Reenje:
Varijansa informacionog sadraja digitalnog signala je 222 aaa = .
a) Kako je a = 0, varijansa je jednaka srednjoj kvadratnoj vrednosti alfabeta:
-
7/23/2019 Skripta signali 3
52/282
52 KARAKTERISTIKE DIGITALNIH SIGNALA
( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( )( ) ( )
( )
.3
1
6
1223321
112
11
6
121
1114
1124121
)(
22
2222
22
1
0
2
1
0
1
0
2
2
1
0
2221
0
2
1
0
22
dM
MMMMMM
M
Md
MMMM
MMMM
M
d
MmMmMd
MmMmM
ddMmd
M
AAP
M
m
M
m
M
m
M
m
M
m
M
m
mma
=
+++=
+
=
+=
+==
=
=
=
=
=
=
=
b) Kod unipolarnog alfabeta srednja vrednost alfabeta je razliita od nule:
dMMM
M
ddm
MAAPa
M
m
M
m
mm )1(2
)11)(1(22
1)(
1
0
1
0
=+
===
=
=
,
pa poto je srednja kvadratna vrednost:
( )
,3
)12)(1(2
6
)12()1(42
1)(
2
21
0
21
0
22
dMM
MMM
M
ddm
MAAPa
M
m
M
m
mm
=
===
=
=
za varijansu informacionog sadraja unipolarnog digitalnog signala dobija se:
22
222222
3
1)12(
3
)12)(1(2 d
MdMMd
MMaaa
=+
== .
Dakle, varijansa informacionog sadraja polarnog i unipolarnog digitalnog signala ista
je i data je izrazom:
22
2
3
1d
Ma
= .
Ovo je i logino, s obzirom da varijansa reprezentuje samo naizmenini deo snage
sluajnog signala.
3.2.3 Ako su snage unipolarnih binarnih signala od kojih je prvi bez povratka na nulu, a drugisa povratkom na nulu iste, odrediti i uporediti njihove spektralne gustine srednje snage
(SGSS), pod uslovom da su im alfabeti identini i da su simboli statistiki nezavisni sa
podjednakim verovatnoama pojavljivanja.
Slika 3.2.3.1 Unipolarni binarni digitalni signali a) bez povratka na nulu b) sa povratkom na nulu
-
7/23/2019 Skripta signali 3
53/282
ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA 53
Reenje:
Digitalni signali )(1
ts i )(2
ts dati su sledeim izrazima:
==
=drugde.0
,0)(,)()(
11111
TtUthnTthats
n
n
==
=drugde.0
,20)(,)()(2
2222TtUthnTthats
n
n
Za izraunavanje SGSS vai izraz (3.22).
Treba odrediti a
2 i a , kao i spektar elementarnog impulsa )( fH .
Statistike oba informaciona sadraja su iste i izraunavaju se na sledei nain:
.4
1
,2
11)1(0)0(
,4
1
,2
11)1(0)0(
22
22
2221
22
21
1
21 aa
aPPa
aa
PPa
==
==+=
==
=+=
Poto su srednje snage oba digitalna signala po uslovu zadatka iste, parametri U1 i U2
mogu se izraziti preko srednje snage Ps .
Za srednju snagu unipolarnog digitalnog signala ne moe se koristiti izraz (3.27) - dat za
polarne signale, ve se polazi od opteg izraza (3.21). Kako je proizvod
0)()( =+ mTthth za m 0 u izrazu (3.12) za )(mTRT
, izraz (3.21) za srednju snagu
unipolarnih digitalnih signala sa elementarnim impulsima h t1( ) i )(2 th svodi se na:
= dtthT
aP )(2
2
,
odnosno:
sss PUPUdtthT
aP 22
1)(
1 21
21
21
211 ====
,
.42
1
2
1 22
222 sss PUPUP ===
Treba jo odrediti Furijeove transformacije elementarnih impulsa )(1
th i )(2
th :
,)(
)(sin2)(
,)sin(
)()(
2
222
1
221
0
21
211
fT
fTTPfH
efT
fTTUdteUdtethfH
s
TfjT
ftjftj
=
===
-
7/23/2019 Skripta signali 3
54/282
54 KARAKTERISTIKE DIGITALNIH SIGNALA
( )
( )
.0sin
0
,sin
24
1
)(
)(sin
4
2
sin
24
1
)(
)(sin
4
2)(
2
2
2
222
2
2
2
2
2
22
22
1
=
+=
+=
=
=
k
kk
T
kf
k
kTP
TfT
fTTT
P
T
kf
TT
k
TT
k
TPTfT
fTT
T
PfS
k
ss
k
ss
SGSS unipolarnog digitalnog signala srednje snage sP bez povratka na nulu, pri brzini
signalizacije 1/Tje:
)(2
1
)(
sin
2
1)(
2
2
1 fPfT
fTTPfS ss
+= .
Na slian nain dolazi se do SGSS unipolarnog digitalnog signala sa povratkom na nulu:
,
2
2sin
4
1
2
2sin
4)(
,
2
2sin
)(
,
2
2sin
2
1)(
2
2
2
22
2
22
2
2
22
2
4/22
2/
0
222
+
=
=
==
=
T
kf
k
k
TPTfT
fT
TT
PfS
fT
fT
TPfH
efT
fT
TUdteUfH
k
ss
s
fTjT
ftj
=
+=
+
=
=
.01
,12)12(
2
,0,20
2
2sin 2
2
k
mkm
mmk
k
k
SGSS unipolarnog digitalnog signala sa povratkom na nulu srednje snage Ps , pri brzini
signalizacije 1/T je:
.)12(
)12(
1)(
4
2
2sin
4
1)(
222
2
2
=
+
+++
=
m
sss
T
mf
m
Pf
P
fT
fT
TPfS
U spektru digitalnog signala )(1
ts , iji je elementarni impuls bez povratka na nulu (NRZ
Non Return to Zero), diskretne komponente se nalaze u nulama obvojnice
2
)sin(
fT
fT
,
pa se digitalni takt ne moe izdvojiti na osnovu spektra (Slika 3.2.3.2).
-
7/23/2019 Skripta signali 3
55/282
ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA 55
Slika 3.2.3.2 SGSS unipolarnog digitalnog signala
U spektru digitalnog signala )(2
ts , iji je elementarni impuls sa povratkom na nulu (RZ -
Return to Zero), postoje diskretne komponente na rastojanju 2/T, pa se na osnovu njih
moe rekonstruisati digitalni takt (Slika 3.2.3.3).
Slika 3.2.3.3 SGSS unipolarnog digitalnog signala sa povratkom na nulu
Takoe, treba primetiti da su arkade spektra signala sa povratkom na nulu dva puta ire
od arkada spektra bez povratka na nulu. To je posledica injenice da se kod signala sa
povratkom na nulu promene nivoa deavaju dva puta veom frekvencijom (na polovini
signalizacionog intervala). Jedna od najee korienih procena za potrebnu irinu
propusnog opsega sistema za prenos digitalnih signala je irina prve arkade. Na osnovu
gore reenog, signal sa povratkom na nulu zahteva dva puta ve
i propusni opseg odsignala bez povratka na nulu.
3.2.4 Odrediti snagu digitalnog signala, iji su simboli jednako verovatni iz polarnog M-arnogalfabeta, a spektar elementarnog impulsa je dat izrazom:
>
=
.2
1||0
,2
1||
)(
Tf
TfT
fH
-
7/23/2019 Skripta signali 3
56/282
56 KARAKTERISTIKE DIGITALNIH SIGNALA
Reenje:
Vai:
=
+== df
T
mffH
TfH
TdffSP
m
aa 2
2
22
2
)()()( .
Poto se radi o polarnom alfabetu sa jednakoverovatnim simbolima, gornji izraz postaje:
= dffHT
P a2
2
)(
.
Varijansa simbola iz polarnogM-arnog alfabeta je (zadatak 3.2.2):
22
2
3
1d
Ma
= ,
pa se konano dobija:
2
2
22
22
1
2
1
22
2
311
31
31 dM
TTd
TMdfTd
TMP
T
T
=
=
=
.
3.2.5 U prenosu podataka brzinom sbvd
1200= koristi se impuls:
-
7/23/2019 Skripta signali 3
57/282
ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA 57
.2
1
2sin
2
1
6
12cos
1
6
1
2
2cos1
1
3
1cos
1
3
1)(
2
2/
2/
222/
2/
2/
2/
22
2/
2/
222/
2/
222
22
consta
T
tTT
T
dM
dt
T
tdt
T
dM
dtT
t
Td
Mdt
T
t
Td
Mdtth
T
aP
T
T
M
T
T
T
T
M
T
T
M
T
T
Ms
==
+
=
+
=
+
=
==
Digitalni takt je funkcija broja simbolaMi datog digitalnog protokadv
MT
ld= .
Elementarni impuls je polukosinus (HC -Half Cosine):
( ) ( )
( )
.)2(1
)cos(2
211
211
2cos2
cos
2
12
1cos
2
12
1
2sin
2
12
1
2sin
2
12
1
22
1
2sin
2
12
1
22
1
2sin
2
12
1
2
12sin
2
12
1
2
12sin
2
12
1
2
12cos
2
12cos
2cos2cos
)2cos(cos2)()(
2
2/
0
2/
0
2/
0
2/
0
2/
0
2/
0
2/
0
2
fT
fTT
fTfTfTT
fT
Tf
fT
Tf
fT
Tf
fT
Tf
T
Tf
Tf
T
Tf
Tf
tT
f
Tf
tT
f
Tf
dttT
fdttT
f
dtT
tftdt
T
tft
dtftT
tdtethfH
TT
TT
TT
Tftj
=
+
+=
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+=
+
+=
==
SGSS je:
=
=
22
2
22
22
ld
21
ldcos
ld4
2)2(1
)cos(4)(
d
dds
v
Mf
v
Mf
v
M
PfT
fTT
T
afS
-
7/23/2019 Skripta signali 3
58/282
58 KARAKTERISTIKE DIGITALNIH SIGNALA
,ld
21
ldcos
ldld
21
ldcos
ld8)(
2
2
2
22
=
=
d
d
d
d
d
s
v
Mf
v
Mf
MC
v
Mf
v
Mf
v
MPfS
gde je2
8
d
s
v
PC= .
Prva arkada spektra lei u intervalu [ ]0101, ff , gde je sa 01f oznaena prva uestanost
za koju vai 0)( 01 =fS . Potencijalni kandidati za 01f su nule funkcije
dv
Mf
ldcos .
Prva nula ove funkcije jeM
vf d
ld2= , meutim ovo nije i nula )( fS , jer tada i imenilac
2
ld21
dvMf jednak 0. Traenjem granine vrednosti )( fS se za ovu vrednost f
dobija:
16ld
ld2
MC
M
vS d =
.
Druga nula
dv
Mf
ldcos je za
M
vf d
ld2
3= , to je takoe i nula )( fS , pa je prva arkada
spektra u opsegu
M
v
M
v dd
ld2
3,
ld2
3.
Za f= 0 amplituda prve arkade je MCS ld)0( = . Sa poveanjem M, amplituda prve
arkade e se poveavati sa ldM.
Spektar ovog signala prikazan je na slici (Slika 3.2.5.1). Za razliku od prethodnih
zadataka, bone arkade su nacrtane u pravoj razmeri u odnosu na prvu arkadu. Sa slike se
vidi da je procena koja kae da se znaajan deo spektra nalazi u prvoj arkadi opravdana.
Slika 3.2.5.1 SGSS HC digitalnog signala u funkciji od M
-
7/23/2019 Skripta signali 3
59/282
ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA 59
Slika 3.2.5.2 daje predstavu spektra u logaritamskoj razmeri. Na ovoj slici se jasno vide
nule spektra digitlanog signala. Nule spektra S f( ) su odreene nulama funkcije
dv
Mf
ldcos , tj. += kk
M
vf dok ),12(
ld2(sem prve nule, kako je ve objanjeno).
Slika 3.2.5.2
Vidi se da poveavanjemMsuavaju se arkade, a povrine ispod krivih ostaju iste jer je
snaga ista. Sledi tabela u kojoj je prikazano kako se menjaju nule spektra u funkciji Mza
k= 1, 2.
nule
funkcije M
vf do
ld2
31 =
M
vf do
ld2
52 =
irina prve
arkade
M= 8 dv2
1 dv
6
5 1200Hz
M= 4 dv4
3 dv
4
5 1800Hz
M= 2 dv23 dv
25 3600Hz
Tabela 3.2.1 Prve dve nule funkcije SGSS
Prethodna analiza pokazuje da se poveanjem broja simbola alfabeta suava spektar
digitalnog signala, odnosno da se isti digitalni protok moe ostvariti kroz ui propusni
opseg kanala. Meutim, tada se uslonjava ureaj i poveava uticaj uma.
3.2.6 Signalom prikazanim na slici (Slika 3.2.6.1), prenose se simboli binarnog polarnogalfabeta A = { , }1 1 . Brzina signalizacije je Bd1200
1=
T
.
a) Odrediti spektralnu gustinu srednje snage digitalnog signala ako su simboli razliiteverovatnoe.
-
7/23/2019 Skripta signali 3
60/282
60 KARAKTERISTIKE DIGITALNIH SIGNALA
b) Nacrtati SGSS kada su simboli jednako verovatni.
Slika 3.2.6.1 Deo digitalnog signala
Reenje:
a) Simboli ovog signala pripadaju binarnom alfabetu }1,1{},{ 01 == AAAak .
Sa slike (Slika 3.2.6.1) se moe videti da je elementarni impuls oblika:
-
7/23/2019 Skripta signali 3
61/282
ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA 61
fTje
fTj
fT
fT
UTfH
=2
sin
2
2sin
)( ,
.2
sin
2
2sin
2sin
2
2sin)( 2
2
22
2
2
=
= fT
fT
fT
TUefT
jfT
fT
UTfHfTj
Zamenom2
)( fH u izraz za SGSS digitalnog signala sledi:
,)12(
2
1
1)]()([
2sin
2
2sin
)()(4
2sin
2
2sin
)]()([
2sin
2
2sin
)()(4)(
22
2201
2
2
2210
2
2
22
22
201
2
2
2210
=
=
+
+
+
+
=
+
+
=
k
k
T
kf
k
UAPAP
fT
fT
fT
TUT
APAP
T
kf
fT
fT
fT
TUT
APAP
fT
fT
fT
TUT
APAPfS
jer je:
+=
+=
+=
==
=
=
.)12(
2)1(
2
)12()1(
;12,)1(
,2,0
2sin
2sin0
22
2
222
2
2
TUk
TUkT
njH
kn
knn
fT
T
nf
T
nf
k
k
k
Slika 3.2.6.2 prikazuje spektar digitalnog signala kada simboli nisu jednakoverovatni,
odnosno kada srednja vrednost nije jednaka 0. Posledica toga je postojanje -impulsau spektru.
-
7/23/2019 Skripta signali 3
62/282
62 KARAKTERISTIKE DIGITALNIH SIGNALA
Slika 3.2.6.2
b) Za jednakoverovatne simbole se dobija:
0)()( 01==
aAPAP i 1
2=
a ,
=2
sin
2
2sin
)( 2
2
2 fT
fT
fT
TUfS
1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/0 fT T T T T T
UTU
1
2
2
4
U1
9
U1
U1
25
S f( )
Slika 3.2.6.3
3.2.7 Digitalni signal kao nosilac koristi elementarni impuls iji je spektar dat izrazom:
( )
>
+
0 lokacija prve nule SGSS
funkcije.
1
P2.2. Ako je prenosni opseg linijskog koda odreen sa odrediti prenosne opsegelinijskih kodova datih u taki 1.
TB 1f
P2.3. Koja je osnovna razlika izmeu SGS za Manester kod i NRZ tehniku?
II ZADATAK VEBE
1) Oblici binarnog digitalnog signala: talasni oblici razliitih linijskih kodova (CST)
Nizovi binarnih jedinica i nula, kao u sistemima sa impulsnom kodnom modulacijom(PCM), mogu biti predstavljeni u razliitim signalizacionim formatima koji su poznati
pod imenom linijski kodovi. U ovom odeljku posmatramo razliite oblike binarnogdigitalnog signala i njihove karakteristike. Za tu namenu koristimo Matlab-ovu funkcijuwave_gen (Communication System Toolbox) kojom generiemo talasne oblike kojireprezentuju binarnu sekvencu:
wave_gen(binary_sequence,line_code_name, Rb)
gde je Rb binarni protok dat u b/s. Ako se koristi ova funkcija sa samo prva dvaargumenta tada je podrazumevana vrednost za Rb =1000 b/s.
1.1. Formirajte sledeu binarnu sekvencu:
>> b=[ 1 0 1 0 1 1];
-
7/23/2019 Skripta signali 3
68/282
68 VEBA 2
a) Generisati talasni oblik koji reprezentuje sekvencu b koristei unipolarni NRZlinijski kod sa =1000b/s i prikazati talasni oblik x.bR
>> x=wave_gen(b,unipolar_nrz,1000);>> waveplot(x)
b) Ponoviti korak a) za: polarni NRZ (polar_nrz); unipolarni RZ (unipolar_rz); bipolarni RZ (bipolar_rz); Manester (manchester).
Poto se porede talasni oblici za isto Rbmoe se koristiti funkcija wave_gen sa samo dvaargumenta, odnosno komandna linija moe se saeti korienjem:
>> waveplot(wave_gen(b, line_code_name))
Pitanje 2.1.Utvrditi koji od posmatranih linijskih kodova generiu talasne oblike bez jednosmerne(DC) komponente? Zato je odsustvo DC komponente od praktinog znaaja za prenostalasnih oblika.
2) Spektralna gustina snage (PSD PowerSpectral Density) linijskih kodova.
2.1. (CST) Generii sluajnu binarnu sekvencu duine 1000 bita:
>> b=binary(1000);
a) Prikai PSD funkciju svakog linijskog koda iz zadatka 1.1:
>> psd(wave_gen(b,line_code_name))
b) Ako i oznaavaju prvi i drugi spektralni maksimum, a i prvu i
drugu spektralnu nulu (pri emu se sve navedene frekvencije pozitivne, ),
popuniti tabelu 3.1. Usvojiti da je frekvencijski opseg potreban za prenos nekogsignala,
1pf 2pf 1nf 2nf
0(.) >f
TB , odreen prvom spektralnom nulom u njegovoj amplitudskojkarakteristici.
Rb=1000b/s 1pf 1nf 2pf 2nf TB
unipolarni NRZ
polarni NRZ
unipolarni RZ
bipolarni RZ
Manester
Tabela 3.1.
2.2. (CST) Da bi se ilustrovala zavisnost spektralne gustine snage (PSD funkcije) od
binarnog protoka, koristi Manester kod i menjaj .bR
>> psd(wave_gen(b, manchester, )bR
-
7/23/2019 Skripta signali 3
69/282
ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA 69
gde 5 kb/s, 10 kb/s, 20 kb/s. (Umesto Manester koda mogue je koristiti bilo kojibR
drugi kod iz odeljka 1.1.) Posmatraj lokaciju spektralnih nula i maksimuma i ustanovivezu sa .bR
Pitanje 3.2Za osnovni komunikacioni kanal sa propusnim opsegom od 10 kHz, koliki jemaksimalni digitalni protok za svaki od linijskih kodova ispitanih u odeljku 1.1.
2.3. (CCS) Odrediti i prikazati spektralnu gustinu snage sluajnog procesa S(t) ija je
realizacija PAM signal kod kojeg h(t) predstavlja pravougaoni
impuls prikazan na slici 2.1. i:
)()( nTthatsn
n = =
a) kod kojeg informacioni simboli nekorelisani,}{ na
b) ako je autokorelaciona funkcija sekvence i ukoliko
je varijansa
:}{ na
=
=
=
inae0
12/1
0,1
)( m
m
mRa
.12 =a
)(th
T
1
T
t
0
Slika 2.1.Pravougaoni elementarni impuls
-
7/23/2019 Skripta signali 3
70/282
70 VEBA 2
-
7/23/2019 Skripta signali 3
71/282
ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA 71
4 SKREMBLOVANJE I PN SEKVENCE4.1 UVOD4.1.1 Skremblovanje
Skremblovanje predstavlja vid kodovanja, koje kao rezultat daje digitalni signal sa
osobinama stacionarnog sluajnog niza bez memorije sa podjednakom verovatnoom pojave
svih simbola. Ovim se postie transparentnost - nezavisnost osobina prenoenog digitalnog
signala od informacionog sadraja koji on nosi.
Ako je:
{ } LL ,,, 11 += nnnn aaaa (4.1)
digitalni niz sa statistiki zavisnim elementima informacionog sadraja, a
{ } LL ,,,, 11 += nnnn bbbb (4.2)
sluajni niz sa statistiki nezavisnim simbolima i podjednakom verovatnoom svih elemenata
informacionog sadraja, tada niz:
{ } LL ,,,, 11 += nnnn cccc (4.3)
nastao kao rezultat operacije skremblovanja nad nizovima { }n
a i { }n
b moe imati osobine
sluajnog niza { }bn .
Ako su { i binarni nizovi, postupak skremblovanja svodi se na logiku operaciju"sabiranja po modulu 2", ( ).
}a n { }bn
Ako niz { ima osobine sluajnog niza:}bn
==
=
+
,0
4
1
,02
1
,2
1
k
k
bb
b
knn
n
(4.4)
niz { sa elementima}cnc a b
n n=
n(4.5)
imae iste osobine:
==
=
+
04
1
,02
1
,2
1
k
k
cc
c
knn
n
(4.6)
Deskremblovanje se vri ponovnim skremblovanjem sa istim sluajnim nizom { :}bn
-
7/23/2019 Skripta signali 3
72/282
72 SKREMBLOVANJE I PN SEKVENCE
nnnnnnnnnnnaabbabbabcd ===== 0][][ (4.7)
Meutim, nemogue je dva puta generisati isti sluajni niz { , na predaji i na prijemu.
Jedno reenje je dodatni kanal koji bi prenosio niz { , ili multipleks nizova { i { . U
praksi se koriste deterministiki izvori (PN generatori) sa nizovima koji dosta dobro
statistiki aproksimiraju sluajne nizove. To su pseudosluajni izvori koji zahtevaju dodatni
kanal za sinhronizaciju (ali mnogo manjeg kapaciteta), ili tzv. samosinhroniui skrembleri.
}bn
}bn
}bn
}cn
Za pseudosluajni niz vae sledee karakteristike:
periodinost s periodom L
{ } { }b bn n
= +L
m+
(4.8)
kanjenje i sabiranje
{ } { } { }b b bn n k n
=+ (4.9)
gde su m i k neki brojevi digitskih intervala,
ergodinost u irem smislu (jednakost srednjih vrednosti i autokorelacija po ansamblui vremenu)
)(1
}}{{][1
kRbbL
bbbbbbE
L
n
knnknnknnknn====
=++++ (4.10)
Srednja vrednost i autokorelacija pseudosluajnog niza periode ponavljanja L su:
bL
Ln
=+ 1
2(4.11)
==+ ...,2,,0
2
1
...,2,,0
LLkb
LLkb
bb
n
n
knn(4.12)
-
7/23/2019 Skripta signali 3
73/282
ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA 73
4.2 ZADACI4.2.1 Slika 4.2.1.1 prikazuje prosto sekvencijalno kolo sa ND flip-flopova (kola za kanjenje),
N+ 1 prekidaem i sabiraem po modulu 2 (tzv. pomeraki ili ift-registar), koje priodreenoj kombinaciji prekidaa postaje generator PN niza.
Slika 4.2.1.1 PN generator
a) Kolika je maksimalna periodaL ponavljanja niza PN generatora na slici 3.2.?b) Koristei ergodinost PN niza i osobinu kanjenja i sabiranja, odrediti srednju
vrednost niza nb i njegovu autokorelacionu funkciju )(kR .
Reenje:
a) Pretpostavimo da se struktura sekvencijalnog kola (poloaj prekidaa i dr.) ne menja ida su prekidai PN i P0 zatvoreni. Kada se ponovi neki sadraj u PN generatoru, dalje
se deterministiki ponavlja isti niz. Poto je 2N
broj razliitih kombinacija od Nbinarnih elemenata, perioda ponavljanja PN niza mora biti NL 2 . Sadraj svih nulase mora iskljuiti jer se on sam ponavlja, pa je maksimalna perioda koju ovakvastruktura moe da generie jednaka:
12max =NL .
Ova perioda moe se postii samo pri nekim kombinacijama prekidaa, a takavgenerator naziva se PN generator niza maksimalne duine (MLSR -Maximum LengthShift Register).
b) U periodi je2
2Njedinica pa je srednja vrednost jednaka:
L
Lb
N
N
n
1
2
1
12
2 1 +=
=
.
Poto je PN niz periodian, periodina je i njegova autokorelaciona funkcija i to saistom periodom. Zbog ergodinosti, autokorelaciju moemo raunati u vremenu:
=
+=
L
n
knnbbL
kR1
1)( .
Koristei relaciju )(2
12)( 2 yxyxxyyxyxyxyx +=+== dobija se:
( )=
+++=
L
n
knnknn bbbbL
kR12
1)( .
-
7/23/2019 Skripta signali 3
74/282
74 SKREMBLOVANJE I PN SEKVENCE
Za k 0 , koristei osobinu iftovanja i sabiranja, autokorelacija je:
+=
=
+
=
+
=
L
n
mn
L
n
kn
L
n
n bbbL
kR1112
1)( .
Sve tri sume su iste jer predstavljaju zbir elemenata u jednoj periodi, pa je:
0za,21121)( 1==
=
kbbL
kR n
L
n
n .
Ako je 0=k , onda je 0= nn bb i
nbR =)0( .
Ovim su izvedeni izrazi (4.11) i (4.12).
4.2.2 Na slici (Slika 4.2.2.1) su prikazana dva PN generatora saN= 4 D flip-flopa.a) Objasniti princip rada i odrediti veliineL i bn za ova dva PN generatora.b) Izraunati i skicirati autokorelaciju PN niza koji se dobija pomou generatora saslike 4.2.2.1 b), pri emu je autokorelacija definisana kao
( )( )=
+=
L
n
knn bbL
kR1
12121
)( , a knb + oznaava ciklini ift za kpozicija.
c) Konstruisati set-reset skrembler pomou PN generatora sa slike 4.2.2.1 b) i odreditiskremblovani niz poruke ...}10110010001001001011110{...}{ 1111111111=na
ijih pet uzastopnih jedinica sa periodom ponavljanja 25 predstavlja sinhro-grupu.
Slika 4.2.2.1 a) Delitelj sa 6 (3) b) Generator m-sekvence
Reenje:
a)
Poto je 4=
N , maksimalna duina periode PN niza je 15124
max==
L .Analizirajmo data dva PN generatora sa razliitim kombinacijama prekidaa.
U prvom sluaju (Slika 4.2.2.1 a) perioda ponavljanja zavisi od poetnog sadraja PNgeneratora i jednaka je 6 ili 3. Srednja vrednost generisanog niza takoe zavisi odpoetnog sadraja i jednaka je 2/3 ili 1/3.
-
7/23/2019 Skripta signali 3
75/282
ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA 75
Slika 4.2.2.2 Nizovi koje generie sekvencijalno kolo sa slike 3.2.1. a)
Drugi PN generator (Slika 4.2.2.1 b) daje PN niz maksimalne duine, tzv. MLSRsekvencu (Maximum Length Shift Register, ili m-sekvencu, kako se jo naziva). U
jednoj periodi generie se 8 jedinica i 7 nula po sluajnom redosledu. Srednja
vrednost tog niza je2
1
15
8=nb .
1 1 1 1
0 1 1 1
0 0 1 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
1 1 1 1
1 0 0 1
1 1 0 0
0 1 1 0
1 0 1 1
0 1 0 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 0
0 0 0 1
15
0 0 0 0
0 0 0 0
L2 1
L2 16
L1
L1
Slika 4.2.2.3 PN niz kola sa slike 3.2.1. b)
Za vrednosti N koje se koriste u praksi (npr: 9, 15 ili 23) postoje tabele tzv.primitivnih generatorskih polinoma iji koeficijenti odgovaraju poloajima prekidaau PN generatoru. Za vee N postoji vie reenja; najinteresantnija su ona saminimalnim brojem nenultih koeficijenata poto zahtevaju najmanji broj sabiraa pomodulu 2. Osim smanjenja prostorne kompleksnosti kola koja generiu ovakvusekvencu, ovim se postie i najmanji koeficijent propagacije greke (vidi zadatak4.2.3 b).
b) PN sekvence se primenjuju kod tehnike prenosa u proirenom opsegu pomoudirektne sekvence, (DS-SS Direct Sequence Spread Spectrum, vidi zadatak 13.2.1).Za ove primene se binarno 0 i 1 prenose pomou negativnog, odnosno pozitivnog
impulsa, respektivno. Definisanje autokorelacije kao ( )( )=
+=
L
n
knn bbL
kR1
12121
)(
odgovara ovoj injenici. Drugim reima nb i knb + e prilikom prenosa imati vrednosti
1, a operacija ( )( )1212 +knn bb odgovara mnoenju bipolarnih impulsa,
predstavljenom kroz mnoenje binarnih vrednosti.
-
7/23/2019 Skripta signali 3
76/282
76 SKREMBLOVANJE I PN SEKVENCE
Dobri PN nizovi imaju osobinu da imaju izraen pik autokorelacije u taki 0=k , aza sve ostale vrednosti kje vrednost autokorelacije znaajno manja. Autokorelacija saovakvim osobinama omoguava laku sinhronizaciju na prijemu, gde se primljenasekvenca korelie (uporeuje) sa lokalno generisanom PN sekvencom, i izraen piklako omoguuje detekciju poetka PN sekvence i postizanje sinhronizama potrebnogza ispravno deskremblovanje. Ovo je posebno vano ako se uzme u obzir uticaj uma
koji se superponira u prenosu i moe da poremeti nivoe koji reprezentuju kodovanisignal i na taj nain povea vrednosti autokorelacije. Veoma izraen pik znai i velikuotpornost na pogrenu sinhronizaciju izazvanu grekama nastalim usled uma.
Vrednosti autokorelacije PN niza generatora sa slike 4.2.1.b) su:
( )
===
drugde.067,0
,...3,2,1,0,1 nnLkkR
Slika 4.2.2.4 prikazuje izgled autokorelacione funkcije. Vidi se da postoji izraen pikna svakom celobrojnom umnoku periode PN sekvence.
( )kR
k
Slika 4.2.2.4
Sve sekvence koje su generisane pomou MLSR registra imaju ovakav oblikperiodine autokorelacije.
Moe se primetiti da autokorelaciona funkcija MLSR sekvence u okviru jedne periodelii na autokorelaciju belog Gausovog uma (pik u taki nula, vrednosti bliske nuli uostalim takama, vidi zadatak 2.2.15). Na osnovu ovoga je jasno zato se koristi naziv
pseudoslu
ajna sekvenca, jer ovakve sekvence po svojim osobinama vrlo podse
ajuna sluajne signale, kao to je um.
c) Kod set-reset skremblera (Slika 4.2.2.5) sinhronizacija se ostvaruje na osnovu samogsignala. Detektori sinhro-grupe vre monitoring digitalnog niza u taki A, odnosno B.
-
7/23/2019 Skripta signali 3
77/282
ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA 77
Slika 4.2.2.5 Set-reset skrembler i deskrembler
Kada detektuju periodinu sinhro-grupu, oni resetuju skrembler, odnosno
deskrembler. Sinhro-grupa prolazi neskremblovana, jer se PN generatori vrte u stanjusvih nula. Po isteku sinhro-grupe detektori setuju skrembler, odnosno deskrembler naisto poetno stanje i oni dalje generiu identine PN nizove. U datom primeru bie(Tabela 4.2.2.1):
{ }an ... 0 11111 01001 01111 11001 00010 11111 10 ...
}{nb ... 1 00000 10001 00110 10111 10001 00000 10 ...
{ }cn ... 1 11111 11000 01001 01110 10011 11111 00 ...
Tabela 4.2.2.1 Set-reset skremblovanje
4.2.3 Slika 4.2.1.1 prikazuje samosinhroniui skrembler koji se koristi za digitalni prenosbrzinom 9600 bit/s po ITU (International Telecommunications Union) preporuci V.32.
Slika 4.2.3.1 Samosinhroniui skrembler
-
7/23/2019 Skripta signali 3
78/282
78 SKREMBLOVANJE I PN SEKVENCE
a) Pod kojim uslovima }{ nb postaje PN niz? Kolika je njegova perioda ponavljanja?b) Pod kojim uslovima dolazi do greke u prijemu n-tog simbola na ?
Reenje:
a) Ako je na ulazu }0{}{ =na niz nula, onda binarni niz }{ nb predstavlja klasinu PNsekvencu. Takav niz ima periodu ponavljanja .607.388.81223max === LL
b) Skremblovani simbol je2318 = nnnn bbab ,
a deskremblovani, u trenutku n,
2318
= nnnn bbba .
Ako u toku prenosa nije nastala greka, tj.nn bb =
, bie
23182318
= nnnnnn bbbbaa .
Ako su takoe ispravno preneti i simboli 18nb i 23nb onda je
nnnnnnn abbbbaa == 18232318 .
Dakle, ako nastane greka u prenosu, nn bb , ona e se multiplicirati onoliko puta
koliko ima direktnih veza u FIR strukturi deskremblera, pa je poeljno da tih vezabude to manje.
Dodatni kanal koji se ostvarivao detektorima sinhro-grupe bio je nepraktian. eleose kompromis - skoro idealno skremblovanje, ali bez dodatnog kanala. Zato se,umesto set-reset skremblera sa sinhronizacijom, sve vie koriste samosinhroniuiskrembleri. Dakle, njihova osnovna prednost je to ne zahtevaju sinhronizaciju, ali
oni imaju problem multipliciranja greke na prijemu.
4.2.4 Data je Vol-Adamarova (Walsh-Hadamard) matrica, dimenzije 8:
=
11111111
1111111111111111
11111111
11111111
11111111
11111111
11111111
8C
Izraunati ciklinu autokorelaciju:
;8,...,3,2,8
1)(
8
1,, ==
=
+iaakR
n
kninii
svake sekvence koja je definisana simbolima nekog reda matrice, i pokazati da je ciklinameukorelacija sekvenci:
;i,8,...,3,2,1,,8
1)(
8
1,,, jijiaakR
n
knjniji == =+
-
7/23/2019 Skripta signali 3
79/282
ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA 79
koje definiu dva razliita reda jednaka 0 za sve cikline pomeraje k (redovi sumeusobno ortogonalni).
Reenje:
Vol-Adamarove matrice postoje za ,...3,2,1,2 == tn t . Generiu se na vrlo jednostavan
na
in, pomo
u rekurzije:
.
,11
11
2
2
=
=
MM
MM
MCC
CCC
C
U konkretnom primeru, izraunavanjem cikline autokorelacije za npr 3. red matrice 8C
se dobija:
Slika 4.2.4.1 prikazuje izgled cikline autokorelacije za svaki red matrice.
( )kR1
( )kR2
( ) ( )kRkR43
,
( ) ( )kRkR75
,
( ) ( )kRkR86
,
Slika 4.2.4.1
-
7/23/2019 Skripta signali 3
80/282
80 SKREMBLOVANJE I PN SEKVENCE
to se tie vrednosti meukorelacije, ortogonalnost se lako proverava. Npr. za 5. i 7. redmatrice i pomeraj 3=k se dobija:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 011111111111111118
1)3(
8
17,5 =+++++++=
=n
R .
Generalno, kao to se iz priloenog moe videti, sekvence definisane Vol-Adamarovom
matricama imaju loije autokorelacione karakteristike od MLSR sekvenci, ali sa drugestrane poseduju osobinu ortogonalnosti. To ih ini veoma pogodnim za primenu usistemima za prenos u proirenom opsegu (DS-SS), u kojima postoji vie korisnika (tzv.CDMA Code Division Multiple Access, zadatak 13.2.3). U ovom sluaju, svaki odkorisnika koristi po jednu sekvencu definisanu Vol-Adamarovom matricom za irenjespektra svog signala, a ortogonalnost omoguava da se korisnike informacije lako moguizvui iz primljenog signala (koji je sastavljenom od mnotva proirenih signala svihkorisnika u sistemu) pomou korelacije. Kao primer CDMA sistema se obino navodimobilna telefonija u Sjedinjenim Amerikim Dravama, pri emu se zbog loih svojstavaautokorelacije, koristi dodatno skremblovanje svih signala sa sekvencom koja poseduje
zahtevane autokorelacione osobine.
-
7/23/2019 Skripta signali 3
81/282
ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA 81
5 LINIJSKO KODOVANJE5.1 UVOD5.1.1 Linijsko kodovanje
Osnovni zadaci linijskog kodovanja su:
oblikovanje spektra digitalnog signala,
ograniavanje pojave velikog broja uzastopnih nula.
Linijsko kodovanje unosi redundansu i pri tome je u kodovanom signalu mogue:
a) zadrati binarnu prirodu signala, a poveati digitalni protok;
b) poveati broj nivoa signala (M> 2), a zadrati istu brzinu signaliziranja;
c) poveati broj nivoa signala i sniziti brzinu signaliziranja.
Pseudoternarni (PT) kodovi imaju tri nivoa (-1,0,1). Ako su nastali linearnomtransformacijom binarnog niza { },na ( )}1,0{na , primenom relacije:
{ },1,0,1,2
11
0
+
=
=
K
k
nknkn bab
(5.1)
nazivaju se linearnim PT kodovima. Koeficijenti kmogu imati samo celobrojne vrednosti.
Unipolarni linearni PT kod je:10 = , 11 =+K , i Kkk ...,,2,1,0 ==
(5.2)
.1)1( += + Knnn aab (5.3)
Za K= 0 to je poznati duobinarni kod.
Polarni linearni PT kod je:
10 = , 11 =+K , i Kkk ,...,2,1,0 == (5.4)
.)1( += Knnn aab (5.5)
Za K= 0 ovaj kod poznat je pod imenom dikod, a za K= 1 dobija se tzv. modifikovani
duobinarni kod.
Ove linearne transformacije realizuju se linearnim kolima koja su okarakterisana kvadratom
modula funkcije prenosa u obliku:
+
+=
kod.polarni)1(sin4
kod,unipolarni)1(cos4)(
2
22
fTK
fTKfH
(5.6)
Ako je spektralna gustina srednje snage (SGSS) digitalnog signala pre kodovanja bila S f( ) ,
tada e linearni linijski kodovani signal imati SGSS oblika:
.)()()(2
fHfSfSL =
(5.7)
Prekodovani linearni PT kodovi eliminiu nedostatke PT kodova, koji se odnose na
prostiranje greke do koje dolazi u toku prenosa i obrtanju polariteta originalnog niza.
-
7/23/2019 Skripta signali 3
82/282
82 LINIJSKO KODOVANJE
Prekodovani dikod je tzv. bipolarni kod(AMI Alternate Mark Inversion), koji se realizuje
prethodnim diferencijalnim kodovanjem:
c a cn n n= 1 . (5.8)
Nedostatak linearnih PT kodova, mogua pojava dugog niza nula u kodovanom signalu,
prevazilazi se primenom nelinearnih PT kodova, od kojih su najpoznatiji PST i modifikovani
alternativno bipolarni kodovi.Kod PST koda par ili skup od tri binarna simbola zamenjuje se parom ternarnih simbola
(2B-2T; 3B-2T). Najee korieni modifikovani bipolarni kodovi su B6ZS i HDBn
(HDB3) kodovi.
-
7/23/2019 Skripta signali 3
83/282
ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA 83
5.2 ZADACI5.2.1 Linijskim koderom prikazanim na slici (Slika 5.2.1.1), koduje se binarni signal
=
=
n
n nTtatx )()( .
Slika 5.2.1.1 Dikod (Diferencirajui kod)
Linijski koder uobliava spektar, a filtar )(fH ga ograni
ava na Nikvistov opseg. D je
kolo za kanjenje za digitski takt T.
a) Odrediti i nacrtati prenosnu karakteristiku predajnika )(fG i impulsni odziv g(t).b) Odrediti sve mogue vrednosti y nT( ) . Odrediti strukturu dekodera koji na osnovu
vrednosti { ( )}y nT daje originalni niz { }an . Na primeru niza
}110110100010{}{ =n
a prikazati kodovane sekvence.
c) Odrediti niz { $ }an na izlazu dekodera na primeru niza iz predhodne take, ako utoku prenosa doe do greke u prijemu 6-tog simbola. Pod istom pretpostavkom
analizirati prenos korienjem kodera na slici (Slika 5.2.1.2).
Slika 5.2.1.2 AMI koder (prekodovani dikod)
Reenje:
a) Prenosna karakteristika predajnika je:( )
>
==
.2
1||0
,2
1||)sin(2
)(1)( 2
Tf
TfefTjT
fHefG
fTj
fTj
>
=
.2
1||0
,2
1|||)sin(|2
|)(|
Tf
TffTT
fG
Impulsni odziv predajnika je:
}.1,0{
,2
1||0
,2
1||
)(
>
=
na
Tf
TfT
fH
-
7/23/2019 Skripta signali 3
84/282
84 LINIJSKO KODOVANJE