5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 1/76

 

PDF generated using the open source mwlib toolkit. See http://code.pediapress.com/ for more information.

PDF generated at: Mon, 21 Mar 2011 10:56:55 UTC

Čitanka broj 1

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 2/76

 

Contents

Articles

Treći dio 1

Skup 1

Prazni skup 6

Funkcija (matematika) 9

Domena (matematika) 10

Slika (matematika) 11

Injektivna funkcija 12

Surjektivna funkcija 13

Bijekcija 14

Kodomena 15

Niz 16

Geometrijski niz 17

Prirodni broj 18

Zbrajanje 19

Nula 19

Cijeli broj 20Množenje 20

Racionalni broj 21

Realni broj 21

Kvadratna funkcija 22

Eksponencijalna funkcija 25

Logaritam 28

Broj e 30

Drugi dio 31

Kartezijev koordinatni sustav 31

Krivulja 36

Ortodroma 37

Jednadžba pravca 38

Koeficijent smjera pravca 41

Parabola (krivulja) 42

Hiperbola (krivulja) 44

Elipsa 46

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 3/76

 

Kružnica 48

Promjer 52

Luk (matematika) 53

Treći dio 54

Trokut 54

Trigonometrija 55

Sinus 56

Kosinus 57

Period 58

Kompleksni broj 59

Imaginarni broj 60

Vektor 61

Matrica (matematika) 65

Jedinična matrica 68

Rang matrice 69

References

Article Sources and Contributors 71

Image Sources, Licenses and Contributors 72

Article Licenses

Licencija 73

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 4/76

 

1

Treći dio

SkupU matematici, skup se može shvatiti kao bilo koja kolekcija različitih objekata smatranim cjelinom. Iako se ovo čini

 jednostavnom idejom, skupovi su svejedno jedan od najvažnijih fundamentalnih koncepata u modernoj matematici.

Matematička disciplina koja proučava moguće skupove, teorija skupova, je sadržajno bogata i aktivna.

Teorija skupova, stvorena tek krajem 19. stoljeća, je danas sveprisutni dio matematičkog obrazovanja, te se stoga u

većini zemalja uvodi već u osnovnoj školi. Teorija skupova se može shvatiti kao osnova nad kojom može biti

izgrađena gotovo cijela matematika, te kao ishodište iz kojeg gotovo cijela matematika može biti izvedena. Ovaj

članak predstavlja kratak i osnovni uvod u ono što matematičari zovu "intuitivna" ili "naivna" teorija - za više detalja

pogledati naivna teorija skupova. Za rigorozniji i moderniji aksiomatski pristup skupovima, pogledati aksiomatska

teorija skupova.

Matematički odnos između skupova se može vizualizirati Vennovim dijagramom.

Definicija

Na početku svog djela   Beiträge zur 

  Begründung der transfiniten Mengenlehre,

Georg Cantor, principijelni tvorac teorije

skupova, je napisao sljedeću definiciju

skupa:[1] Pod terminom skup smatramo bilo

koju kolekciju M određenih, različitih

objekata m naše zamjedbe ili misli (koji ćese zvati elementi skupa M) u cjelinu.

Objekte skupa također zovemo njegovim

članovima. Elementi skupa mogu biti raznih

vrsta: brojevi, ljudi, slova abecede, drugi

skupovi itd. Skupovi se dogovorno

označavaju velikim slovima A, B, C , itd. Za dva skupa A i B kažemo da su jednaka i zapisujemo A = B ako imaju iste

članove.

Skup, za razliku od multiskupa, ne može sadržavati više jednakih elemenata. Sve skupovne operacije čuvaju svojstvo

 jedinstvenosti elementa u skupu. Slično, redoslijed nabrajanja elemenata skupa je nebitan, za razliku od slijeda ilitupla.

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 5/76

 

Skup 2

Opisivanje skupovaNemaju svi skupovi precizan opis - neki mogu jednostavno biti proizvoljne kolekcije, bez nekog jasno izraženog

"pravila" koje kazuje koji su elementi unutar ili van skupa.

Neki skupovi mogu biti opisani riječima, na primjer:

 A je skup čiji su članovi prva četiri cijela broja.

 B je skup čiji su članovi boje francuske zastave.

Dogovorno se skup također može definirati eksplicitnim nabrajanjem svih elemenata između vitičastih zagrada, na

primjer:

C = {4, 2, 1, 3}

 D = {crvena, bijela, plava}

Dva različita opisa mogu definirati isti skup. Na primjer, gore definirani skupovi  A i C  su identični, pošto imaju

 jednake članove. Skraćeni zapis A = C se koristi za izražavanje takve jednakosti. Slično, za gore definirane skupove

vrijedi B = D.

Identitet skupa ne ovisi o redoslijedu nabrajanja elemenata skupa, kao i o mogućim ponavljanjima elemenataprilikom nabrajanja. Na primjer, {6, 11} = {11, 6} = {11, 11, 6, 11}.

Za skupove sa mnogo elemenata ponekad se koristi skraćena lista. Na primjer, prvih tisuću pozitivnih cijelih brojeva

se mogu opisati simboličkom kraticom:

{1, 2, 3, ..., 1000},

pri čemu specijalni simbol od tri točke (...) označava da se lista nastavlja na podrazumjevani način.

Slično se skup parnih brojeva može opisati notacijom:

{2, 4, 6, 8, ... }.

Složeniji skupovi se ponekad opisuju različitom notacijom. Na primjer, skup  F čiji su članovi prvih dvadeset brojeva

koji su za četiri manji od kvadrata cijelog broja, može biti opisan na sljedeći način:

 F = {  – 4 : n je cijeli broj; i 0 ≤ n ≤ 19}

U ovom opisu, dvotočka (:) znači "takav da", i matematičari interpretiraju ovaj opis kao " F   je skup svih brojeva

oblika  – 4, takvih da je n cijeli broj u opsegu od 0 do 19 inkluzivno." (Ponekad se umjesto dvotočke koristi

vertikalna crta |.)

Članstvo skupa

Ako nešto jest ili nije element nekog pojedinačnog skupa, tada to simboliziramo sa odnosno . Na primjer, u

odnosu na već definirane skupove, vrijedi:

• i (budući da je 285 = 17² − 4); ali

• i .

Kardinalnost skupaSvaki gore opisan skup ima konačan broj članova - na primjer, skup  A ima četiri člana, dok skup B ima tri člana.

Skup također može imati nula članova. Takav skup zove se prazni skup i označava simbolom ø. Na primjer, skup  A

svih trostranih kvadrata ima nula članova, i stoga je A = ø. Poput broja nula, iako naizgled trivijalan, prazni se skup

pokazao kao poprilično važan u matematici.

Skup također može imati beskonačan broj članova - na primjer, skup prirodnih brojeva je beskonačan.

Kaže se da su dva skupa ekvipotentna (imaju isti kardinalitet ili su  jednakobrojni ili su bijektivni) ako postoji

bijekcija iz jednoga skupa u drugi skup. Relacija ekvipotencije je relacija ekvivalencije, pa se skupovi svrstavaju u

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 6/76

 

Skup 3

disjunktne klase - klasa kojoj pripada skup S zove se kardinalni broj skupa S i oznčava se sa ili card S ili #S .

PodskupAko je svaki član skupa A također član skupa B, tada se za A kaže da je podskup od B, piše se , te izgovara

 A je sadržan u B. Može se, također, zapisati što se čita kao B je nadskup od A, B uključuje A ili B sadrži A.

Relacija između skupova uspostavljenu sa zove se inkluzija.

Ako je A podskup i nije jednak skupu B, tada se za A kaže da je pravi podskup skupa B, zapisuje s ( A je

 pravi podskup od B) ili ( B je pravi nadskup od A). Međutim, u nekoj literaturi ovi se simboli čitaju isto kao

i i , te se stoga češto preferira korištenje eksplicitnijih simbola i za prave podskupove i nadskupove.

 A je podskup od B

Primjeri:

• Skup svih žena je pravi podskup skupa svih ljudi.

•

•

Prazni skup je podskup svakog skupa i svaki skup je sam svoj podskup:

••

Posebni skupoviNeki istaknuti skupovi imaju izuzetnu matematičku važnosti i toliko se često koriste da su dobili posebna imena i

notaciju. Jedan od njih je već spomenuti prazni skup. Neki od ostalih su:

• označava skup svih prostih brojeva.

• označava skup svih prirodnih brojeva. Drugim riječima, = {1, 2, 3, ...}, ili rjeđe = {0, 1, 2, 3, ...}.

• označava skup svih cijelih brojeva (bilo pozitivnih, negativnih ili nule). Stoga je = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.

• označava skup svih racionalnih brojeva (tj. skup svih pravih i nepravih razlomaka). Stoga je = { : a,b

i b ≠ 0}. Na primjer, i . Svi cijeli brojevi su u ovom skupu pošto se svaki cijeli broj a

može izraziti kao razlomak .• je skup svih realnih brojeva. Ovaj skup uključuje sve racionalne i iracionalne brojeve (tj. brojeve koji se ne

mogu zapisati u obliku razlomka, kao što su i √2).

• je skup svih kompleksnih brojeva.

Svaki od ovih skupova brojeva je beskonačan, premda vrijedi , iako se prosti

brojevi općenito koriste manje od ostalih skupova izvan teorije brojeva i srodnih disciplina.

Međutim, ne postoji samo jedna vrsta beskonačnosti. Za skup koji je ekvipotentan (jednakobrojan) sa skupom

prirodnih brojeva kažemo da je prebrojivo beskonačan (kraće  prebrojiv), a "veći" skupovi su neprebrojivo

beskonačni (kraće neprebrojivi).

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 7/76

 

Skup 4

Prebrojivo beskonačni skupovi su, na primjer, skupovi , kao i skup svih prirodnih brojeva koji su parni,

neparni, djeljivi s 3, djeljivi 4, itd. Primjeri neprebrojivo beskonačnih skupova su i .

UnijaPostoji nekoliko načina za konstruiranje novih skupova od već postojećih. Dva se skupa mogu "zbrojiti". Unija

skupova A i B, označena sa A U B, je skup svih elemenata koji su članovi ili skupa  A ili skupa B.

Unija skupova A i B

Primjeri:

• {1, 2} U {crvena, bijela} = {1, 2, crvena, bijela}

• {1, 2, zelena} U {crvena, bijela, zelena} = {1, 2, crvena, bijela, zelena}

• {1, 2} U {1, 2} = {1, 2}

Neka osnovna svojstva unije:

•  A U B =  B U A

•  A je podskup skupa  A U B

•  A U A =  A

•  A U ø =  A

PresjekNovi se skup također može konstruirati određivanjem "zajedničkih" elemenata obaju skupova. Presjek skupova A i

 B, označen sa A ∩  B, je skup svih elemenata koji su članovi i skupa  A i skupa B. Ako je A ∩  B = ø, tada za A i B

kažemo da su disjunktni.

Presjek skupova A i B

Primjer:

• {1, 2} ∩ {crvena, bijela} = ø

• {1, 2, green} ∩ {crvena, bijela, zelena} = {zelena}

• {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}

Neka osnovna svojstva presjeka:•  A ∩  B =  B ∩  A

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 8/76

 

Skup 5

•  A ∩  B je podskup skupa  A

•  A ∩  A =  A

•  A ∩ ø = ø

Komplementi

Dva se skupa također mogu "oduzeti". Relativni komplement skupa A u skupu B (još se koristi i naziv skupovnarazlika skupova  B i  A), označeno sa  B −  A, (ili  B  \  A), je skup svih elemenata koji su članovi skupa  B, ali nisu

članovi skupa A. Potrebno je uočiti da je valjana operacija "oduzimanja" članova koji nisu u skupu, poput micanja

elementa zelena iz skupa {1,2,3} - takva operacija nema učinka.

U određenim postavkama, svi skupovi koji se promatraju, smatraju se podskupovima nekog danog univerzalnog

skupa  U . U takvim slučajevima, U  −  A zove se apsolutni komplement ili jednostavno komplement skupa  A, i

označava s A′, AC ili .

Relativni komplement

skupa A u skupu B

Komplement skupa A u skupu U 

Primjeri:

• {1, 2} − {crvena, bijela} = {1, 2}

• {1, 2, zelena} − {crvena, bijela, zelena} = {1, 2}• {1, 2} − {1, 2} = ø

• Ako je U skup svih cijelih brojeva, P skup parnih brojeva, a N skup svih neparnih brojeva, tada komplement

skupa P u U iznosi N , ili ekvivalentno, P′ = N .

Neka osnovna svojstva komplementa:

•  A U A′ = U 

•  A ∩  A′ = ø

• ( A′ )′ = A

•  A −  A = ø

•  A −  B = A ∩  B′ 

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 9/76

 

Skup 6

Bilješke[1] Allenby, 1991. p. 1

Izvori• Halmos, Paul R., Naive Set Theory, Princeton, N.J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0-387-90092-6

• Stoll, Robert R., Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4

• Allenby, R.B.J.T, Rings, Fields and Groups, Leeds, England: Butterworth Heinemann (1991) ISBN

0-340-54440-6

Prazni skup

Prazni skup je skup koji ne sadrži elemente.

U matematici, specifično u teoriji skupova, prazni skup je jedinstveni

skup koji ne sadrži nijedan element. U aksiomatskoj teoriji skupova se

njegovo postojanje postulira aksiomom praznog skupa, iz kojeg segrade svi konačni skupovi.

Razna općenita svojstva skupova su trivijalno istinita za prazni skup.

Notacija

Prazni se skup označava jednim od simbola " " ili " ",

izvedenim iz slova Ø danske i norveške abecede, i uvedenim od strane

grupe Bourbaki (specifično André Weil] 1939. [1]). Druga uobičajena

notacija za prazni skup jest "{}".

Svojstva

• Za svaki skup A, prazni skup je podskup od A:

∀ A: ∅ ⊆ A

• Za svaki skup A, unija skupa A i praznog skupa jest A:

∀ A: A ∪ ∅ = A

• Za svaki skup A, presjek skupa A i praznog skupa je prazni skup:

∀ A: A ∩ ∅ = ∅

• Za svaki skup A, Kartezijev produkt skupa A i praznog skupa je prazni skup:

∀ A: A × ∅ = ∅

• Jedini podskup praznog skupa jest sam prazni skup:

∀ A: A ⊆ ∅ ⇒ A = ∅

• Broj elemenata praznog skupa (tj. njegova kardinalnost) jest nula - prazni je skup konačan:

|∅| = 0

• Za svako svojstvo:

• za svaki element skupa ∅ svojstvo je zadovoljeno (trivijalno istinito)

• ne postoji element skupa ∅ za koji je svojstvo zadovoljeno

• Obratom ove tvrdnje slijedi: ako su, za neko svojstvo, sljedeće dvije tvrdnje zadovoljene:

• za svaki element skupa V svojstvo je zadovoljeno

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 10/76

 

Prazni skup 7

• ne postoji element V za kojeg je svojstvo zadovoljeno

tada V = ∅

U matematici je termin prazan skup nedvosmislen u uporabi - u teoriji skupova, dva skupa su jednaka ako imaju iste

elemente, te stoga može biti samo jedan skup bez elemenata.

Smatran podskupom brojevne crte (ili općenitije bilo kojeg topološkog prostora), prazni je skup istovremeno i

otvoren i zatvoren. Sve njegove granice (kojih nema) su u praznom skupu, te je skup stoga zatvoren - a istovremenoza svaku svoju točku (kojih također nema) postoji otvoreno okruženje u praznom skupu, te je stoga i otvoren.

Štoviše, prazni skup je kompaktan činjenicom da je svaki konačni skup kompaktan.

Okruženje praznog skupa je prazno. Ovo je poznato kao "očuvanje nularnih unija".

Uobičajeni problemiPrazni skup nije isto što i ništa - on je skup koji sadrži ništa, a taj skup jest nešto. Ovo poimanje često uzrokuje

nedoumice kod onih koji se prvi put susreću sa pojmom praznog skupa. Korisno je predočiti si prazni skup kao vreću

koja može sadržavati neke stvari - vreća može biti prazna, ali vreća zasigurno sama po sebi postoji.

Po definiciji podskupa, prazni skup je podskup bilo kojeg skupa  A, budući da svaki element x skupa {} pripada skupu A. Ako ne bi bilo istinito da je svaki element skupa {} u skupu  A, tada bi morao postojati barem jedan element skupa

{} koji nije prisutan u  A. Budući da uopće ne postoje elementi skupa {}, ne postoji element skupa {} koji nije u  A,

što vodi do zaključka da je svaki element skupa {} u skupu A, te da je {} podskup skupa  A. Svaka tvrdnja koja

započinje sa "za svaki element skupa {}" ne tvrdi ništa novo - ona je trivijalno istinita. Ovo se često parafrazira kao

"sve je istina nad elementima praznog skupa".

Aksiomatska teorija skupovaU aksiomatskoj teoriji skupova poznatoj i kao Zermelo-Fraenkelova teorija skupova, postojanje praznog skupa je

osigurano aksiomom praznog skupa. Jedinstvenost praznog skupa slijedi iz aksioma rasprostranjenosti.Svaki aksiom koji tvrdi postojanje nekog skupa će implicirati aksiom praznog skupa, koristeći separacijsku shemu

aksioma. Na primjer, ako je A skup, tada separacijska shema aksioma dopušta konstrukciju skupa B = { x in A | x ≠

 x}, koji se može definirati da bude prazni skup.

Operacije na praznom skupuOperacije obavljene na praznom skupu (kao skup stvari nad kojima se operira) mogu također zbunjivati. (Takve

operacije zovemo nularne operacije.) Na primjer, suma svih elemenata praznog skupa je nula, ali produkt svih

elemenata praznog skupa je jedan. Ovo se čini čudno, pošto prazni skup nema elemenata, i postavlja se pitanje kakvu

razliku čine operacije njihova zbrajanja i množenja (pošto oni ni ne postoje)? U konačnici, rezultat ovih operacijaviše govori o operaciji u pitanju nego o praznom skupu. Na primjer, uočavamo da je nula neutralni element operacije

zbrajanja, dok je jedan neutralni element operacije množenja.

MeđeBudući da prazni skup nema članova, kad ga promatramo kao podskup bilo kojeg uređenog skupa, bilo koji član

skupa će biti gornja i donja međa za prazni skup. Na primjer, kada ga smatramo podskupom realnih brojeva, sa

svojim uobičajenim uređenjem predstavljenim realnom brojevnom crtom, svaki realni broj je i gornja i donja međa

praznog skupa. Kad ga promatramo kao podskup proširenih realnih brojeva koje dobijemo dodavanjem dva "broja"

ili "točke" normalnom skupu realnih brojeva, negativnu beskonačnost označenu simbolom za koju definiramo

da je manja od bilo kojeg drugog proširenog realnog broja, te  pozitivnu beskonačnost označenu simbolom za

koju definiramo da je veća od bilo kojeg drugog proširenog realnog broja, tada vrijedi:

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 11/76

 

Prazni skup 8

i

To jest, najmanja gornja međa (sup ili supremum) praznog skupa je negativna beskonačnost, dok je najveća donja

međa (inf ili infimum) pozitivna beskonačnost. Po analogiji sa gornjim, slijedi da je u domeni proširenih realnih

brojeva negativna beskonačnost neutralni element za operatore maksimuma i supremuma, dok je pozitivnabeskonačnost neutralni element za minimum i infimum.

Prazni skup i nulaVeć je spomenuto da prazni skup ima nula elemenata, ili da je njegova kardinalnost jednaka nula. Veza između ova

dva koncepta ide i dalje: u standardnoj definiciji prirodnih brojeva preko skupova, nula je definirana kao prazni

skup.

Teorija kategorijaAko je  A skup, tada postoji točno jedna funkcija  f  iz {} u  A, prazna funkcija. Kao rezultat toga, prazni skup je

 jedinstven inicijalni objekt kategorije skupova i funkcija.

Prazni se skup može pretvoriti u topološki prostor na samo jedan način (definiranjem da je prazni skup otvoren) -

ovaj prazni topološki prostor je jedinstven inicijalni objekt u kategoriji topoloških prostora sa kontinuiranim

(neprekinutim) preslikavanjima.

References[1] http://members. aol.  com/jeff570/set.  html

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 12/76

 

Funkcija (matematika) 9

Funkcija (matematika)Funkcija ili preslikavanje je jedan od najvažnijih matematičkih pojmova koji predstavlja preslikavanje elemenata

iz jednog skupa (domena) u drugi (kodomena). Pri tome preslikavanje mora biti jedinstveno, tj. svaki član domene se

preslikava u točno jedan član kodomene.

Definicija

Funkcija ili preslikavanje  je uređena trojka koja sadrži skupove , i neko pravilo

po kojem se svakom elementu pridružuje jedinstveni element tako da je .

Skup se naziva   područje definicije ili domena funkcije , a skup   područje vrijednosti ili kodomena

funkcije . Element domene je nezavisna varijabla ili argument funkcije , a element kodomene je zavisna

varijabla funkcije .

Želimo li istaknuti skupove na kojima funkcija izvršava pridruživanje, pišemo . Želimo li istaknuti

pravilo po kojem funkcija djeluje, pišemo .

Jednakost funkcijaFunkcije i su jednake, što zapisujemo sa , ako vrijedi:

1. imaju jednake domene, tj. ;

2. imaju jednako pravilo preslikavanja tj. .

Znači, iako funkcije i imaju jednako pravilo pridruživanja (kada se kod skrati

razlomak dobijemo ) one nisu jednake jer nemaju istu domenu ( , dok je ).

Klasifikacija funkcijaFunkcija može imati mnogo svojstava, ali neka od važnijih su injektivnost, surjektivnost i bijektivnost.

Injekcija ili 1-1 preslikavanje je funkcija takva da ne postoje dva različita elementa domene koja se preslikavaju u

isti element kodomene. Za takvu funkciju kažemo da ima svojstvo injektivnosti i da je injektivna.

Matematički zapisujemo,

ili ekvivalentnu tvrdnju .

Slika funkcije  f  je skup elemenata iz kodomene na koje se preslikava neki element domene.

Surjekcija ili preslikavanje na  je funkcija čija slika je jednaka cijeloj kodomeni .

Drugim riječima, za svaki element kodomene ima neki iz domene koji se u njega preslikava, pa su svi elementikodomene "iskorišteni".

Matematički zapis: . Za takvu funkciju kažemo da ima svojstvo surjektivnosti i da

 je surjektivna.Bijekcija ili 1 na 1 korespondencija ili obostrano jednoznačno preslikavanje   je funkcija koja je injektivna i

surjektivna. Kažemo još da je funkcija bijektivna i da ima svojstvo bijektivnosti.

Primjer bijekcije je identiteta, odnosno funkcija definirana s .

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 13/76

 

Funkcija (matematika) 10

Graf funkcije

Graf funkcije

Graf funkcije jest skup točaka ravnine za koje vrijedi te čine krivulju. Formalnije, to je

skup .

Domena (matematika)U matematici, domena k-mjesne relacije L ⊆ X 

1× … × X 

k  je jedan od skupova X 

 j, 1 ≤ j ≤ k .

U specijalnim slučajevima za k = 2 i  L ⊆ X 1

× X 2 je funkcija L : X 

1 → X 

2, uobičajeno je da se X 

1naziva domena ili

područje definicije i X 2 kodomena ili područje vrijednosti.

Domena funkcije

Za danu funkciju f : X →Y , skup X svih ulaznih vrijednosti zovemo domenom funkcije f , a skup svih mogućih izlaznihvrijednosti Y kodomenom. Slika funkcije f  je skup svih stvarnih izlaza { f ( x) : x je u domeni}. Ponekad se kodomena

netočno zove slikom prilikom nerazlikovanja između stvarnih i mogućih vrijednosti.

Dobro definirana funkcija mora preslikavati svaki element domene u element svoje kodomene. Na primjer, funkcija f 

definirana sa

 f ( x) = 1/  x

nema definiranu vrijednost za  f (0). Stoga, skup R realnih brojeva ne može biti njena domena. U ovakvim

slučajevima, funkcija je ili definirana na R  \{0}, ili se "rupa" eksplicitno popuni definiranjem f (0). Ako proširimo

definiciju f na

 f ( x) = 1/  x, for x ≠ 0 f (0) = 0,

tada je f definirana za sve realne brojeve i možemo odabrati R kao njenu domenu.

Nad bilo kojom funkcijom se može napraviti restrikcija na podskup svoje domene. Restrikcija funkcije g : A →  B na

S , pri čemu jeS  ⊆ A, se piše kao g |S 

: S  →  B.

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 14/76

 

Domena (matematika) 11

Domena parcijalne funkcijePostoje dva različita značenja u trenutnoj matematičkoj uporabi u svezi notacije domene parcijalne funkcije. Većina

matematičara, uključujući teoretičare rekurzije, koristi termin "domena funkcije  f " za skup svih vrijednosti x takvih

da je definirano f(x). Neki (osobito teoretičari kategorija), smatraju da je domena parcijalne funkcije  f : X →Y  jednaka

 X , neovisno o tome postoji li f(x) za sve x u X .

Teorija kategorijaU teoriji kategorija, umjesto sa funkcijama barata se sa morfizmima, koji su jednostavno strelice iz jednog u drugi

objekt. Domena bilo kojeg morfizma je stoga objekt iz kojeg strelica započinje. Ovako gledano, mnoge ideje o

domenama iz teorije skupova moraju biti ili napuštene, ili preformulirane nešto apstraktnije. Na primjer, notacija

restrikcije morfizma na podskup svoje domene mora biti modificirana, uvođenjem koncepta podobjekta.

Kompleksna analizaU kompleksnoj analizi, domena je otvoreni povezani podskup skupa kompleksnih brojeva.

Slika (matematika)U matematici, slika funkcije je skup svih izlaznih vrijednosti koje funkcija poprima.

Formalna definicijaZa danu funkciju , slika od je definirana kao skup

Slika od f se ponekad označava i sa ran( f ).

Sliku ne treba brkati sa kodomenom  B. Slika je podskup kodomene, koji može, ali i ne mora obuhvatiti cijelu

kodomenu - mogu postojati elementi kodomene koji nisu elementi slike (vidi primjere niže). Ponekad se neprecizno

za kodomenu uzima slika funkcije. Češće (i preciznije) je kodomena neki standardni skup, poput npr. realnih ili

kompleksnih brojeva, a slika je tada podskup toga skupa.

Funkciju čija je slika jednaka kodomeni zovemo surjekcija ili preslikavanje na.

PrimjeriNeka je f funkcija nad realnim brojevima:

definirana sa

Kodomena funkcije f  je R, i f poprima sve nenegativne vrijednosti ali nikad ne poprima negativne vrijednosti, i stoga

 je slika funkcije ustvari skup R+ —skup nenegativnih realnih brojeva, tj. interval [0,∞):

Neka je sad g funkcija nad realnim brojevima:

definirana sa

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 15/76

 

Slika (matematika) 12

U ovom je slučaju slika funkcije g jednaka svojoj kodomeni R, pošto za svaki realni broj y vrijedi:

Drugim riječima, g je preslikavanje na R.

Injektivna funkcija

Na slici vidimo da su se svi elementi iz X

preslikali u različite elemente u Y

Za funkciju kažemo da je injektivna funkcija ili samo injekcija ako ne postoje dva različita

elementa domene, a koji se preslikavaju u neki isti element iz kodomene.

To znači da se svi elementi iz domene preslikavaju u međusobno različite elemente iz kodomene (funkcija ne "lijepi"

različite elemente u isti).

Zapisano simboličkom logikom, je injektivna ako vrijedi:

što je ekvivalentno tvrdnji:

   Nedovršeni članak koji govori o matematici treba dopuniti.  funkcija Dopunite ga  [1]  prema pravilima

Wikipedije.

References[1] http://en.  wikipedia.  org/wiki/:Injektivna

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 16/76

 

Surjektivna funkcija 13

Surjektivna funkcijaZa funkciju kažemo da je surjektivna ili surjekcija ako je slika funkcije jednaka kodomeni funkcije.

To znači da za svaki član kodomene funkcije postoji barem neki član iz domene funkcije koji se preslikava u njega.

Zapisano simboličkom logikom, takav da .

Na slici vidimo da su svi elementi u Y

"pogođeni" nekim elementom iz X

   Nedovršeni članak koji govori o matematici treba dopuniti.

 funkcija Dopunite ga [1] prema pravilima Wikipedije.

References[1] http://en.  wikipedia.  org/wiki/:Surjektivna

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 17/76

 

Bijekcija 14

Bijekcija

Bijektivna funkcija.

U matematici, za funkciju iz skupa  X  u skup Y  kažemo da je

bijektivna ako za svako  y u Y postoji točno jedan  x u  X takav da

 f ( x) = y.

Drugim riječima,  f   je bijektivna je 1-1 korespondencija između

tih skupova, tj. i 1-1 (injekcija) i na (surjekcija)[1]

Na primjer, funkcija sljedbenika sljed , definirana na skupu cijelih

brojeva u , tako da svakom cijelom broju x pridjeljuje cijeli

broj sljed( x) = x + 1. Za drugi primjer, neka se promotri funkcija

sumraz koja svakom paru ( x, y) realnih brojeva pridjeljuje par

sumraz( x, y) = ( x + y, x −  y).

Bijektivna se funkcija još zove bijekcija ili obostrano jednoznačno preslikavanje ili permutacija. Potonji se

termin češće koristi kad je  X  = Y . Valja uočiti da 1-1 funkcija nekim autorima znači 1-1 korespondencija (tj.

bijekcija), a drugim autorima injekcija. Skup svih bijekcija iz Y u Y se označava kao X Y .

Bijektivne funkcije imaju fundamentalnu ulogu u mnogim područjima matematike, poput definicije izomorfizma (i

srodnih koncepata poput homeomorfizma i difeomorfizma), permutacijske grupe, projektivne ravnine, i mnogim

drugim.

Kompozicija i inverziFunkcija  f   je bijektivna ako i samo ako je njezina inverzna relacija f 

  −1 funkcija. U tom je slučaju  f   −1 također i

bijekcija.

Kompozicija g o  f dvaju bijekcija  f X Y i g Y Z  je bijekcija. Inverz od g o  f  je (g o  f )−1 = ( f  −1) o (g−1).

Bijekcija komponirana od injekcije i surjekcije.

S druge strane, ako je kompozicija g o  f 

dvaju funkcija bijektivna, možemo samo

reći da je f injektivna i g surjektivna.

Relacija f iz X u Y  je bijektivna funkcija ako

i samo ako postoji druga relacija g iz Y u  X 

takva da je g o  f  identiteta na  X , i  f  o g  je

identiteta na Y . Slijedi da skupovi imaju isti

kardinalni broj

Izvori

[1] (Bilješka: uporaba pojma "1-1" za opis injektivne

funkcije može biti problematično, s obzirom da ga

neki autori shvaćaju u smislu 1-1 korespondencija,

tj. bijektivna funkcija

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 18/76

 

Bijekcija 15

Vidjeti također• injekcija

• izomorfizam

• permutacija

• simetrična grupa

• surjekcija

  Nedovršeni članak koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga (http://en.   wikipedia.  org/wiki/ 

:Bijekcija) prema pravilima Wikipedije.

Kodomena

Domena, kodomena i slika funkcije

U matematici, kodomena ili područje vrijednosti

funkcije f : X  → Y  je skup Y .

 Domena funkcije f  je skup X .

Slika funkcije f  je skup f ( X ) definiran s { f ( x) : x ∈ X }.

Iz ovih definicija slijedi da je slika funkcije  f  uvijek

podskup kodomene od f .

Primjer

Zorni prikaz razlike između kodomene i slike se može

pronaći razmatranjem matrice linearne transformacije.

Dogovorno je domena linearne transformacijeasocirane sa matricom a kodomena , pri

čemu je matrica tipa (ima m redaka i n stupaca). Ali bi slika (skup brojeva dobiven množenjem udesno

svakog vektor-stupca matrice duljine n) mogla biti znatno manja. Na primjer, ako matrica sadrži samo nule, tada je

bez obzira na veličinu njena slika samo vektor 0. Dimenzija rezultirajućeg vektora je m. Ovo je važan zaključak, s

obzirom da je dovoljno promijeniti samo jedan broj u matrici da njena slika ne bude nula.

Drugi primjer: neka je funkcija f funkcija nad realnim brojevima:

definirana sa

Kodomena funkcije  f  jest R, ali očito  f ( x) nikad ne poprima negativne vrijednosti, te je stoga slika u biti skup

R0

+ —nenegativnih realnih brojeva, tj. interval [0,∞):

Funkcija g je mogla biti definirana i na sljedeći način:

Iako  f  i g imaju isti krajnji učinak na dani broj, one nisu, u modernom shvaćanju, jednake funkcije, pošto imaju

različite kodomene.

Da bismo pobliže vidjeli zašto, pretpostavimo da imamo definiranu drugu funkciju,

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 19/76

 

Kodomena 16

 Moramo definirati domenu te funkcije kao :

.

Sada definirajmo kompozicije

,

.

Postavlja se pitanje, koja od ovih kompozicija ima smisla?

Ispostavlja se da je prva ta koje nema smisla. Pretpostavimo da ne znamo koja je slika funkcije  f - samo znamo da

može poprimiti vrijednosti iz . Ali tad dolazi do problema, pošto drugi korijen nije definiran za negativne

brojeve! Sad imamo moguću kontradikciju.

Ovakva je situacija nejasna, i u formalnom bi se radu trebala izbjegavati. Kompozicija funkcija stoga zahtijeva po

definiciji da kodomena (ne slika, koja je pak posljedica funkcije i stoga neodređena na razini kompozicije) funkcije

na desnoj strani bude jednaka domeni funkcije na lijevoj strani.

Kodomena može utjecati na surjektivnost funkcije - u našem primjeru, g   je surjekcija dok f  to nije. Kodomena ne

utječe na injektivnost funkcije.

NizOpćenito, niz možemo zamisliti kao objekte poredane po nekom pravilu, tako da uvijek znamo tko je prethodnik i

sljedbenik svakog objekta u redu (osim eventualno prvog i zadnjeg).

Uzmimo za primjer razred od dvadeset učenika koji su poredani po abecednom redu. Za svakog od učenika znamo

tko je "prije" njega (osim kod prvog), a tko "poslije" (osim kod zadnjeg). To možemo zamisliti kao da smo svakom

od brojeva iz skupa pridružili po jednog učenika.

Sličan primjer su dani u tjednu (brojevima od 1 do 7 pridruženi su prvi dan, drugi dan,...).

Matematička definicija nizaTakvi primjeri motiviraju matematičku definiciju niza: funkciju zovemo niz u skupu S.

Dakle, niz je funkcija kojoj je domena skup prirodnih brojeva, a kodomena neki skup S. U prvom našem primjeru,

skup S bi mogao biti {"Učenici razreda"}, a u drugom {"Dani u tjednu"}.

Niz se, umjesto uobičajene notacije , označava sa ili samo ili .

Primjeri

Članovi niza zadanog sa izgledaju ovako:

Primjećujemo da je brojnik uvijek jedan, a nazivnik su prirodni brojevi. Broju jedan je pridružen 1, broju dva 1/2,

broju tri 1/3, i tako dalje. Zato kažemo da je npr. 1/16 šesnaesti član niza. Oznaka trotočje označava da je niz

beskonačan.

Sama funkcija može biti definirana sa više od jednog pravila. Primjer za takvu funkciju je:

Ova funkcija također zadovoljava uvjete za niz jer joj je domena skup (kodomena je skup ).

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 20/76

 

Niz 17

Članovi ovog niza izgledaju ovako:

Važni nizoviPosebno su važni aritmetički niz i geometrijski niz.

Geometrijski nizGeometrijski niz je niz brojeva kod kojeg je količnik svakog člana i člana ispred njega uvijek stalan broj. Taj broj

označavamo sa q i nazivamo ga kvocijentom, a računamo ga pomoću formule

Da bi formirali geometrijski niz moramo poznavati a1

i q. Opći član niza koji ima beskonačno elemenata:

Formula za zbroj konačno mnogo članova:

Ime geometrijskog niza govori da je svaki član (osim prvog) geometrijska sredina dvaju susjednih članova.

  Nedovršeni članak koji govori o matematici treba dopuniti. niz Dopunite ga [1] prema pravilima Wikipedije.

References[1] http://en.  wikipedia.  org/wiki/:Geometrijski

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 21/76

 

Prirodni broj 18

Prirodni brojPrirodnim brojevima zovemo pozitivne cijele brojeve {1, 2, 3, ...} ili, ponekad, ne-negativne cijele brojeve {0, 1, 2,

...}. Skup prirodnih brojeva u matematici označavamo velikim slovom N, a u slučaju da skup sadrži nulu,

označavamo ga i s indeksom 0: N0.

Eksperimentalno možemo reći:

I nije prazan skup.

II je uređen skup.

III Ako je n , onda je skup svih prirodnih brojeva manjih od n konačan.

IV Skup nema maksimalnog (najvećeg) elementa.

DefinicijaNeprazni skup zove se skup prirodnih brojeva, a njegovi su elementi prirodni brojevi, ako vrijede ovi uvjeti

(aksiomi):Aksiom A: Postoji funkcija s sa u .

Aksiom B: Postoji barem jedan element u , označimo ga sa 1, takav da je s(n) 1, .

Aksiom C: Ako je s(m)=s(n) za m,n , onda je m=n.

Aksiom D: Ako je M podskup od i ako vrijedi:

(I) 1  M 

(II) ( ) (n   M s(n) M )

onda je M =

Navedeni aksiomi poznati su pod imenom   Peanovi aksiomi skupa prirodnih brojeva, prema talijanskom

matematičaru G. Peanu (1858-1931).

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 22/76

 

Zbrajanje 19

ZbrajanjeZbrajanje   je osnovna aritmetička operacija, kojom saznajemo informaciju kad dvije ili više veličina (brojeva)

skupimo zajedno, koliko ih sveukupno ima. Zbrajati možemo jabuke, kruške, lubenice, ovčice u snu ili ljude na plaži

(sve su to cijeli brojevi), no i tekućine utočene i istočene iz spremnika, težine razne hrane i neprehrambenih artikala

(decimalni brojevi).

Matematički zbrajanje predstavljamo znakom plus +, npr. 1 + 2 = 3. Brojeve koje zbrajamo nazivamo pribrojnici.

Zbrajanje je komutativno, što znači da je 1 + 2 = 2 + 1, tj. možemo slobodno zamijeniti mjesta pribrojnika, a rezultat

zbrajanja se neće promijeniti.

Zbrajanje je i asocijativno, jer vrijedi ( 1 + 2 ) + 3 = 1 + ( 2 + 3 )

Kod zbrajanja članova nekog niza koristi se veliko grčko slovo sigma:

što znači da zbrajamo prvih n članova niza, od x1

do xn. Zbroj članova nekog niza zovemo red.

NulaNula je jedini realni broj koji nije ni pozitivan ni negativan.

Pri zbrajanju je neutralni element. Budući da je broj nula kardinalnost praznog skupa, ovisno o definiciji dopunjuje i

skup prirodnih brojeva.

U skupu cijelih brojeva nula slijedi minus jedan i prethodnik je broja jedan.

Nula je parni broj.

PovijestZnamenka »0« (ništica) omogućila je nastanak dekadskog brojevnog sustava, i s time razvitak suvremene

matematike. Razumijevanje prirode nule kao broja, tj. kao predmet aritmetike se je razvio tek nakon izuma ništice.

Podrijetlo pojmaNaziv dolazi od latinske riječi nullus (="niti jedan", "ništa").

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 23/76

 

Cijeli broj 20

Cijeli brojCijelim brojevima zovemo skup brojeva {0,1,-1,2,-2,...}, tj. skup koji uključuje prirodne brojeve, nulu i negativne

cijele brojeve. Skup cijelih brojeva u matematici označavamo velikim slovom Z, a matematičkom notacijom to

izgleda ovako:

U skupu prirodnih brojeva često ne možemo izvršiti operaciju oduzimanja. Naime ako je

a,b,c a-b=c i a<b , ne postoji broj c . Zato se uvode negativni cijeli brojevi i 0, koji zajedno sa prirodnim

brojevima čine skup cijelih brojeva. Skup je ekvipotentan skupu (postoji bijekcija između tih skupova -

skupovi koji imaju jednako mnogo elemenata).

Množenje

3 × 4 = 12, dvanaest točaka prikazano je kao tri

reda po četiri točke (ili 4 stupca po 3 točke)

Množenje cijelih brojeva je aritmetička operacija višestrukog zbrajanjabroja sa samim sobom. Na primjer, četiri pomnoženo s tri je dvanaest,

 jer kad tri puta zbrojimo 4 sa samim sobom dobijemo dvanaest:

Svojstva množenjaZa cijele brojeve, racionalne, realne i kompleksne brojeve množenje posjeduje sljedeća svojstva (tj. množenje u tim

skupovima ispunjava sljedeća svojstva):

komutativnost

množenik i množitelj mogu zamijeniti mjesta bez promjene umnoška x · y = y · x.

asocijativnost

redosljed množenja nije bitan

( x · y)· z = x·( y · z).

distributivnost

množenje je distributivno prema zbrajanju

 x·( y + z) = x·y + x·z.

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 24/76

 

Racionalni broj 21

Racionalni brojRacionalni broj lat. (ratio - omjer, razmjer) je broj nastao dijeljenjem dva cijela broja, npr. 1:2, 1:3, 555:333. Može

se napisati

u obliku razlomka, a / b, gdje je a brojnik a b nazivnik (cijeli broj različit od 0) ili

u obliku decimalnoga broja npr. 1/2 = 0,5; 1/3 = 0,3333333333...

Skup racionalnih brojeva uveden je zato što operacija dijeljenja nije uvijek moguća na skupu cijelih brojeva .

Ako su a, b, c brojevi iz skupa cijelih brojeva a je djeljivo sa b ako postoji cijeli broj c takav da je a = b × c.

Skup racionalnih brojeva je skup svih klasa ekvivalencije na skupu x , odnosno = {m / n : m , n 

}.

Dok su skupovi prirodnih i cijelih brojeva diskretni, skup racionalnih brojeva je gust (između svaka dva

različita racionalna broja nalazi se još beskonačno mnogo racionalnih brojeva).

Realni brojSkup realnih brojeva je unija skupa racionalnih brojeva i skupa iracionalnih brojeva.

Računske operacije na skupu su definirane kao i za ostale skupove

, i , tj. za realne brojeve vrijede svojstva asocijativnosti i

komunikativnosti zbrajanja i množenja, te distributivnost množenja

prema zbrajanju.

• Skup je gust, odnosno između svaka dva različita realna broja

postoji beskonačno realnih brojeva.

• Skup je neprebrojiv.

• Elementi skupa prekrivaju čitav brojevni pravac.

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 25/76

 

Kvadratna funkcija 22

Kvadratna funkcijaMatematička funkcija  y=f(x), pojednostavljeno, podrazumijeva ovisnost jedne veličine o drugoj. Pri tome

razlikujemo slobodnu veličinu ili nezavisnu varijablu  x koja poprima vrijednosti iz skupa domene funkcije (skupa

elemenata vrijednosti varijable za koje je funkcija definirana) i zavisnu varijablu  y koja poprima vrijednosti iz skupa

kodomene funkcije. O kodomeni funkcije govorimo često kao i o skupu vrijednosti funkcije, a o funkciji kao oprocesu pridruživanja gdje se svakom elementu iz domene funkcije pridružuje jedan i samo jedan odgovarajući

element iz kodomene funkcije. Uobičajeno je govoriti i o preslikavanju elemenata iz domene funkcije u kodomenu

funkcije. Postoje brojne vrste funkcija, gdje su jedne od njih polinomne funkcije gdje je funkcija  y=f(x) izražena u

obliku polinoma određenog stupnja

a kvadratna funkcija je polinomna funkcija gdje je najveća potencija n=2.

Karakteristične vrijednosti kvadratne funkcije

f(x) = x^2 - x - 2\,\!

Kvadratna funkcija se najčešće zapisuje u

obliku

te u nekom konkretnom slučaju može imati na primjer oblik

gdje je grafički prikaz takve funkcije u koordinatnom sustavu prikazan na priloženoj slici (gore desno).

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 26/76

 

Kvadratna funkcija 23

Nulišta funkcije

U analizi osobina neke funkcije uobičajeno je najprije naći nulišta funkcije, odn. nultočke grafa funkcije za koje

funkcija poprima vrijednost nula. U prikazanom slučaju to vodi rješavanju kvadratne jednadžbe

rješenja koje su :

Točke i predstavljaju zato nultočke grafa funkcije

.

U jednostavnijim slučajevima nulišta funkcije, odn. nultočke grafa funkcije možemo naći neposredno iz same

funkcije. Naime, razmatrajući funkciju

na prvi pogled je vidljivo da se ona može prikazati u obliku umnoška dva binomna člana kao

gdje će očito vrijednost funkcije biti jednaka nuli za i .Ukoliko graf funkcije zaista siječe apscisu, odn. x-os koordinatnog sustava, tada će nulišta funkcije biti realni brojevi

 jer su i rješenja kvadratne jednadžbe realna. No, međutim, ukoliko graf funkcije ne siječe x-os tada niti odgovarajuća

kvadratna jednadžba neće imati realna rješenja, već će se rješenja nalaziti u domeni kompleksnih brojeva.

Tjeme grafa funkcije

U primjeru datu kvadratnu funkciju možemo razmatrati i kao parabolu osnovnog oblika

no pomaknutu iz središta koordinatnog sustava, gdje je p poluparametar parabole. Iz funkcije zadane sa

može se naći redom

odakle slijedi da su koordinate tjemena T grafa funkcije određene koordinatama x=0,5 i y=-2,25 te govorimo o grafu

funkcije čije je tjeme "pomaknuto" izvan središta koordinatnog sustava.

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 27/76

 

Kvadratna funkcija 24

Ekstremi kvadratne funkcije

Kvadratna funkcija ima jedan ekstrem, minimum ili maksimum funkcije, a ovisno o predznaku vodećeg člana

funkcije. Za funkciju

to će biti minimum funkcije (a>0) koji se na grafu funkcije nalazi u točki gdje je smješteno tjeme funkcije T .

Ekstrem funkcije može se naći i na drugi način. Diferencirajući funkciju nalazimo da je

odakle slijedi da je

Ekstrem funkcije postoji za dy/dx=0 što vrijedi za x=1/2, a to je upravo x koordinata tjemena parabole u grafu. Kako

 je, nadalje, druga derivacija za svaki x veća od nule, očito se zaista radi o minimumu funkcije što se evidentno vidi i

iz grafa funkcije.

Parabola i kvadratna funkcijaParabola je kao krivulja de facto graf kvadratne funkcije. Valja samo ustanoviti vezu između odgovarajućih članova

polinoma kvadratne funkcije te poluparametra p parabole.

Paraboli s tjemenom u ishodištu koordinatnog sustava i osnosimetričnoj u odnosu na y-os koordinatnog sustava

odgovara tjemena jednadžba oblika

odakle slijedi da je

Uspoređujući parabolu s tjemenom u ishodištu koordinatnog sustava kao grafa odgovarajuće kvadratne funkcije

nalazimo da je

gdje je evidentno

, odnosno

što predstavlja neposrednu vezu poluparametra parabole  p i vodećeg člana a polinoma kvadratne funkcije. Do

odgovarajuće sličnih odnosa može se doći i razmatranjem parabole, odn. odgovarajućeg grafa kvadratne funkcije s

pomaknutim tjemenom izvan središta koordinatnog sustava.

Konačno, valja napomenuti da paraboli definiranoj tjemenom jednadžbom

odgovara inverzna kvadratna funkcija oblika

gdje će sada, naravno, članovi a, b i c poprimiti neke druge vrijednosti, a uz zadržavanje svih odgovarajućih

ekvivalentnih odnosa.

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 28/76

 

Kvadratna funkcija 25

Značaj kvadratne funkcijeRazmatranje svojstava kvadratne funkcije često je na neki način uvod u analizu sve složenijih matematičkih funkcija

i uvod u matematičku analizu općenito. Kvadratnu funkciju, međutim, vrlo često nalazimo u prirodi u različitim

fizikalnim sustavima jer je, na primjer, u svakom ubrzanom gibanju prijeđeni put ovisan o kvadratu vremena,

električna snaga na otporniku ovisna je o veličini otpora i kvadratu struje koja prolazi kroz njega, električna energija

pohranjena u kondenzatoru ovisi o njegovu kapacitetu i kvadratu napona koji postoji na njegovim oblogama i td.

Literatura• Gusić J., Mladinić P., Pavković B, "Matematika 2", Školska knjiga, Zagreb, 2006.

• Antoliš S., Copić A., "Matematika 4", Školska knjiga, Zagreb, 2006.

Eksponencijalna funkcija

Eksponencijalna funkcija

U matematici eksponencijalna funkcija je funkcija y = e x

gdje je broj eprirodna konstanta i baza prirodnih logritama. Funkcija  y = e

 x  je

definirana unutar cijelog skupa realnih brojeva, monotono je rastuća

porastom nezavisne varijable  x, gdje se brzina rasta povećava kako

raste x.

Graf funkcije (slika desno) leži iznad  x-osi, ali joj se asimptotski

približava kako  x teži prema sve manjim negativnim vrijednostima.

Brzina rasta funkcije je u svakoj točki jednaka vrijednosti funkcije u toj

točki. Inverzna funkcija eksponencijalne funkcije je funkcija prirodnog

logaritma  y = ln( x) te se u starijim izvorima eksponencijalna funkcija

spominje kao antilogaritamska funkcija.

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 29/76

 

Eksponencijalna funkcija 26

Definicija

Eksponencijalna funkcija (plavo) i vrijednost

limesa za n=0 do n=8 (crveno).

Eksponencijalna funkcija e x može biti definirana kao niz potencija

razvijenih u Taylorov red:

Eksponencijalna funkcija se može također izraziti i kao limes:

Kako n raste, vrijednost limesa izraza se sve više približava vrijednosti e x (slika desno).

Jedinstveno svojstvo eksponencijalne funkcije može se izraziti pomoću jednakosti

odnosno napisano drukčije

DerivacijaVažnost eksponencijalne funkcije u matematici i znanosti potječe uglavnom iz svojstava njezine derivacije koja ima

svojstvo da je

što znači da je funkcija e x ujedno i svoja derivacija. Isto takvo svojstvo imaju i funkcija oblika  Ke

 x gdje je  K 

konstanta.

Za sve funkcije takvih svojstava vrijedi da je:

• strmina, odn. nagib grafa funkcije u svakoj točki jednak vrijednosti funkcije u toj točki,

• brzina porasta funkcije za vrijednost slobodne varijable x jednaka vrijednosti funkcije u x,

• eksponencijalna funkcije rješenje diferencijalne jednadžbe y ′ = y.

Štoviše, i drugi oblici diferencijalnih jednadžbi nalaze rješenje u eksponencijalnim funkcijama uključivšiSchrödingerovu jednadžbu, Laplaceovu jednadžbu te jednadžbu jednostavnog harmoničkog gibanja.

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 30/76

 

Eksponencijalna funkcija 27

Eksponencijalna funkcija s realnim brojem a kao bazom

Graf funkcije y=a x za različite baze a: baza10 (zeleno), baza e (crveno), baza 2 (plavo) i

baza ½ (cijan). Svaka krivulja prolazi točkom (0,1), a za x=1 vrijednost y funkcije

upravo je jednaka bazi.

Katkada se pojam eksponencijalne

funkcije koristi općenitije za funkcije

oblika

gdje baza a može biti i bilo koji pozitivni

realni broj, a ne nužno broj e.

Za eksponencijalne funkcije s drugim

bazama vrijedi da je

Eksponencijalna funkcija u kompleksnoj ravniniEksponencijalna funkcija može se definirati i u kompleksnoj ravnini na nekoliko ravnopravnih načina. Neki od njih

odražavaju iste izraze kao i za eksponencijalne funkcije realne varijable. Na primjer, eksponencijalna funkcija

kompleksne varijable može se izraziti u obliku reda potencija gdje su realne vrijednosti zamijenjene kompleksnima:

Koristeći ovu definiciju jednostavno je pokazati da jednakost

vrijedi i u kompleksnoj ravnini.

Razmatrana kao funkcija definirana u kompleksnoj ravnini, eksponencijalna funkcija zadržava svoja osnovna

svojstva:

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 31/76

 

Eksponencijalna funkcija 28

za sve kompleksne brojeve  z i w. Eksponencijalna funkcija može biti i periodička kada je funkcija imaginarnog

argumenta perioda jer vrijedi

i

gdje su a i b realne vrijednosti. Jednakost povezuje eksponencijalnu funkciju s trigonometrijskim funkcijama i dalje s

hiperboličkim funkcijama. Štoviše, može se definirati i funkcija oblika ab, gdje su i a i b kompleksne veličine.

Pojam prirodnog logaritma se može također proširiti i na funkciju kompleksnog argumenta ln( z), gdje možemo

definirati općenitije da je

za sve kompleksne brojeve  z i w. Ovo je također višeznačna funkcija i identitet vrijedi ukoliko se uzme u obzir

višeznačnost funkcije. Naime, upravo zbog višeznačnosti funkcije općenito ne vrijedi pravilo množenja eksponenata

za pozitivne realne brojeve

Literatura• Gusić J., Mladinić P., Pavković B., "Matematika 2", Školska knjiga, 2006.

• Antoliš S., Copić A., "Matematika 4", Školska knjiga, 2006.

Logaritam

Logaritamska funkcija po tri baze, crveno po bazi 10, zeleno po bazi e, plavo po bazi 2

Logaritam nekog pozitivnog realnog

broja  x u nekoj bazi b   je broj y kojimse treba potencirati bazu da bi dobili

zadanu vrijednost x.[1]

Što pišemo na slijedeći način:

Primjeri logaritama brojeva po bazi 10:

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 32/76

 

Logaritam 29

Negativni logaritam se piše kao n = − logb x; primjer njegove upotrebe je u kemiji gdje predstavlja koncentraciju

protona (pH).

Antilogaritam se koristi da označi   funkciju inverznu logaritmu (eksponencijalna funkcija, odnosno stupnjevanje).

Piše se kao antilogb(n) i znači isto što i bn.

Dvostruki logaritam je inverzna funkcija dvostruke eksponencijalne funkcije. Super logaritam ili hiper logaritam je

inverzna funkcija super eksponencijalne funkcije. Super logaritam za x raste sporije i od dvostrukog logaritma za

veliko x.

Diskretni logaritam se pominje u teoriji konačnih grupa. Veruje se da je za neke konačne grupe diskretni logaritam

vrlo teško izračunati, dok je diskretne eksponencijale veoma lako izračunati. Ova asimetrija ima primijene u

kriptografiji.

Povijest

Jost Birgi, švicarski proizvođač satova je prvi primijetio logaritme. Metod prirodnog logaritma je prvi predložio1614 John Napier u svojoj knjizi Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Ovaj metod je doprinjeo u napretku

nauke, a posebno astronomije čineći neke teške računice mogućim. Sve do upotrebe računara u nauci, ovaj metod je

korišten u svim granama praktične matematike. Pored svoje upotrebe u računima, logaritmi su popunili važno

mijesto u višoj, teoretskoj matematici.

U početku, Napier je logaritme zvao "umjetnim brojevima", a antilogaritme "prirodnim brojevima". Kasnije, Napier

  je stvorio riječ logaritam, zvučnu kovanicu koja je trebala označiti odnos: λoγoς (logos) i αριθμoς (arithmos) što

predstavlja broj. Termin antilogaritam je uveden pred kraj 17. stoljeća i iako se nikada nije pretjerano koristio u

matematici, postojao je u tablicama dok nije izašao iz upotrebe.

Logaritamske operacije

Ukidanje eksponenta

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 33/76

 

Logaritam 30

Promjena osnove

Prirodni logaritamLogaritam po bazi e (Eulerov broj) zovemo prirodnim logaritmom i pišemo kao ln umjesto log.

Izvori[1] http://hjp. srce. hr/index.  php?show=search_by_id&id=e15lXBA%3D

  Nedovršeni članak koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga (http://en.   wikipedia.  org/wiki/ 

:Logaritam) prema pravilima Wikipedije.

Broj eBroj e   još nazvan i Eulerov broj ili Napierova konstanta je baza prirodnog logaritma je jedan od najznačajnijih

brojeva u sadašnjoj matematici, pored neutrala zbrajanja i množenja 0 i 1, imaginarne jedinice broj i i broja pi. Osim

što je iracionalan i realan, ovaj broj je još i transcendentan. Do tridesetog decimalnog mjesta, ovaj broj iznosi:

e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 34678 2376732 6727 267 274728 3 39^˘654...

Broj -{e}- se može definirati kao :

1. Limes niza brojeva

2. Suma beskonačnog niza:

gdje je -{n}-! faktorijela n.

3. Pozitivna vrijednost koja zadovoljava sljedeću jednadžbu :

istovjetnost između ova tri slučaja dokazanа.

4. Ovaj broj se sreće i kao dio Eulerovog identitetа:

  Nedovršeni članak koji govori o matematici treba dopuniti. e Dopunite ga [1] prema pravilima Wikipedije.

References[1] http://en.  wikipedia.  org/wiki/:Broj

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 34/76

 

31

Drugi dio

Kartezijev koordinatni sustavPovijest

Zasluga za otkriće Kartezijevog koordinatnog sustava

kako on danas nosi ime, pripala je francuskom

matematičaru Reneu Descartesu (1596.-1650.) koji ga

  je imenovao po svojoj latinskoj inačici imena

Cartesius. Premda je ideja bila utemeljena još 1637.

godine odvojeno u dva zapisa Descartesa i Fermata,

potonji nije objavio svoje otkriće. Upravo je Descarteszato uveo novu zamisao određivanja položaja točke ili

objekta u ravnini upotrijebivši dvije međusobno

okomite osi kao mjerila. Otkriće Kartezijevog

koordinatnog sustava značilo je velik napredak u

matematici povezujući najprije Euklidsku geometriju i

algebru. Kružnice, elipse i druge krivulje sada su prvi

puta mogle biti opisivane “kartezijskim” algebarskim

  jednadžbama pomoću koordinata točaka krivulje u

ravnini. Razvoj kartezijevog koordinatnog sustava

značajno je doprinijeo daljnjem razvoju matematike iomogućio Newtonu Isaac Newton i Leibnitzu Gottfried Wilhelm Leibniz skoro otkriće diferencijalnog i integralnog

računa.

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 35/76

 

Kartezijev koordinatni sustav 32

Kartezijev koordinatni sustavNalik zemljopisnoj karti gdje je položaj nekog mjesta određen s dva podatka: zemljopisnom širinom i zemljopisnom

dužinom, nacrtamo li dva međusobno okomita brojevna pravca, na primjer  x i  y - uobičajeno  x horizontalan, a  y

vertikalan, koji se sijeku u točki O i odredimo li na pravcima  x i  y   jedinične točke E i F, tako da je /OE/=/OF/=1,

definirali smo pravokutni ili Kartezijev koordinatni sustav u ravnini.

Kartezijev dvodimenzionalni koordinatni sustav

Točka O zove se ishodište koordinatnog sustava,

brojevni pravac x zove se os x ili apscisa, a brojevni

pravac y os y ili ordinata koordinatnog sustava.

Katkada govorimo skrećeno o x-osi ili y-osi, odn. o

osima koordinatnog sustava. Na svaku od osi smješten

  je brojevni pravac, gdje svaki realni broj: cijeli,

racionalni ili iracionalni ima jedinstveno mjesto na osi.

Svakoj točki ravnine dodijeljene su na taj načinodgovarajuće koordinate koje nalazimo okomitim, odn.

ortogonalnim projekcijama koje iz odgovarajuće točke

povlačimo na os x, odn. os y, gdje su koordinate date u

određenom broju jediničnih duljina.

Kartezijske koordinate se zapisuju u zagradama u

obliku uređenog para brojeva gdje prvi broj označava

položaj osi na x-osi, a drugi na y-osi. Na slici gore

desno prikazane su tako četiri točke s njihovim

odgovarajućim koordinatama u Kartezijevom koordinatnom sustavu i to: (2,3) zeleno, (−3,1) crveno, (−1.5,−2.5)

plavo i ishodište (0,0) ljubičasto.

Osi koordinatnog sustava dijele ravninu na četiri beskonačno velika dijela, “kvadranta”, od kojih je svaki omeđen s

dvije odgovarajuće osi i naznačen rimskim brojevima od I do IV kako je prikazano na slici desno.

Kartezijev trodimenzionalni koordinatni sustav

Kartezijev koordinatni sustav možemo izabrati i kao o

 jednodimenzionalni matematički prostor, gdje će takav

prostor biti određen jednom osi uz izbor orijentacije osi

i jedinične dužine, a koordinata (jedna) će u tom

slučaju određivati položaj točke na brojevnom pravcukoji je pridružen koordinatnoj osi.

Kartezijev dvodimenzionalni koordinatni sustav

određuje položaj točke u ravnini, a kartezijev

trodimenzionalni koordinatni sustav određuje položaj

točke u prostoru gdje je takav koordinatni sustav

definiran središtem koordinatnog sustava 0, i tri

orijentirane osi ( x,  y i  z) s odgovarajućim jediničnim

dužinama. Koordinate svake točke u takvom sustavu

zadate su uređenim skupom od 3 broja, na primjer (3,

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 36/76

 

Kartezijev koordinatni sustav 33

-1, 5) koji označavaju odgovarajuće koordinate u trodimenzionalnom matematičkom prostoru, gdje su koordinate

predstavljene orijentiranim okomitim udaljenostima od neke točke do odgovarajuće ravnine. U trodimenzionalnom

koordinatnom sustavu nazivi osi (apscisa i ordinata) nisu uvjetovane, no ukoliko se koriste tada je uobičajeno treću,

 z-os, nazvati aplikata. Na isti način je uobičajeno  x-os i  y-os postaviti u horizontalnu ravninu, a preostalu,  x-os

postaviti okomito na njih. Konačno, trodimenzionalni koordinatni sustav dijelimo na osam područja, “oktanata”,

omeđenih s odgovarajućim dijelovim ravnina. Prvi oktant je onaj gdje su sve tri poluosi pozitivne.

Kartezijev višedimenzionalni koordinatni sustav

Slijedeći navedeni princip općenito se mogu koordinate točke odrediti i u n-dimenzionalnom matematičkom prostoru

gdje će se pomoću n odgovarajućih koordinata definirati orijentirana udaljenost od točke do jedne od n hiperravnina.

U četverodimenzionalnom matematičkom prostoru na primjer, postojat će četiri osi x, y, z i w, a koordinate svake

točke u takvom matematičkom prostoru bit će određene uređenim skupom od četiri broja.

Neposredne primjene i svojstva

Udaljenost između dviju točaka u ravniniUdaljenost dviju točaka u ravnini određenih Kartezijevim koordinatama i je

što je na neki način izraz Pitagorina poučka iskazanog u Kartezijevom koordinatnom sustavu.

Polovište dužine

Neka je dužina zadana točkama  A i  B i njihovim koordinatama  A i  B tada će polovište dužine

imati koordinate

i

.

Koordinate težišta trokuta

Neka je trokut ABC smješten u Kartezijevom koordinatnom sustavu i određen točkama s koordinatama A ,

 B i C  , tada će težište trokuta imati koordinate

i

.

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 37/76

 

Kartezijev koordinatni sustav 34

Udaljenost između dviju točaka u prostoru

Udaljenost dviju točaka u prostoru određenih u trodimenzionalnom Kartezijevom koordinatnom sustavu

and je

što se može utvrditi primjenom Pitagorina poučka

Translacija

Skup točaka u ravnini, na primjer trokuta  ABC , može se pomaknuti u ravnini uz očuvanje međusobnih udaljenosti i

orijentacije uz dodavanje utvrđenog parova bojeva ( X ,Y ) Kartezijevim koordinatama svake točke skupa. Ukoliko su

koordinate točaka trokuta  A(x’, y’),  B(x’’, y’’) i C (x’’’, y’’’) tada će translatirani, odn. pomaknuti trokut imati

koordinate A’ (x’+X, y’+Y), B’ (x’’+X, y’’+Y) i C ’ (x’’’+X, y’’’+Y)

Uvećanje, smanjenje

Želimo li u Kartezijevim koordinatama neki lik prikazati većim ili manjim tada valja sve koordinate svih točaka

pomnožiti faktorom proporcionalnosti, nazovimo ga m. Ukoliko su koordinate točaka koje određuju dužinu AB, A(x’,

y’) i B(x’’, y’’) tada će nove koordinate točaka koje određuju dužinu A’B’ biti A’(mx’, my’) i B’(mx’’, my’’). Ukoliko je

m>1 dobiveni lik će biti veći, a ukoliko je m<1 dobiveni lik bit će manji od izvornog lika.

Prikaz krivulja u koordinatnom sustavu uravnini

U Kartezijevom koordinatnom sustavu jednostavno se

prikazuju krivulje u ravnini (kružnica, elipsa, parabola i

td.) te različite funkcije (linearne, polinomne,

eksponencijalne, trigonometrijske i td.).Prikazujući na primjer kružnicu u Kartezijevom

koordinatnom sustavu ustanovljavamo da za svaku

točku kružnice vrijedi da je

te će prema tome jednadžba kružnice polumjera 2 (slika desno) biti

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 38/76

 

Kartezijev koordinatni sustav 35

Prikaz vektora u Kartezijevim koordinatama

Točka u prostoru opisanom Kartezijevim koordinatama može definirati vektor. Vektor pomaka, na primjer r , može

imati hvatište u ishodištu Kartezijeva koordinatnog sustava i vrh u točki u prostoru. Strelica koja pokazuje prema

vrhu vektora definira smjer vektora (smjer pomaka), a ortogonalne projekcije na osi x, y i z odgovarajući pomak u x,

y ili z smjeru. Dužina samog vektora tada je apsolutna veličina pomaka u prostoru

,

a također možemo zapisati da je

,

gdje su i, j i k jedinični vektori u smjeru x, y i z osi.

Vektor u Kartezijevom trodinemzionalnom prostoru određen je na taj način u cijelosti uređenim skupom od četiri

veličine (r, x, y, z). Ovakav prikaz vektora uveo je Sir William Rowan Hamilton.

Primjene

Svaka os može u praktičnoj primjeni prema potrebi imati različite mjerne jedinice (kilograme, sekunde, vate, itd), štoznači da Kartezijevim koordinatnim sustavom možemo prikazivati ne samo krivulje, likove i geometrijska tijela u

dvodimenzionalnom, odnosno trodimenzionalnom prostoru, već da možemo prikazivati i sve moguće ostale varijable

(masa, vrijeme, energija, sila i mnoge druge). Premda je teško vizualizirati četvero i višedimenzionalne prostore,

algebra Kartezijevih koordinata može se jednostavno proširiti na četiri ili više varijabli tako da se mogu izvršiti

izračuni vrijednosti funkcija i s četiri ili više varijabli. Takva algebra definira geometriju višedimenzionalnih

prostora.

ZnačajKartezijeve koordinate su temelj analitičke geometrije i osiguravaju geometrijsku interpretaciju za brojna područja

matematike kao što su linearna algebra, kompleksna analiza, diferencijalna geometrija i td. Jedan od najpoznatijih

primjera je koncept grafičkog prikaza ili grafa funkcije. Kartezijske koordinate su osnovno oruđe u mnogim

područjima koja se bave geometrijom uključujući astronomiju, fiziku, tehničke struke, ekonomiju i drugdje.

Premda je Descartes dao koordinatnom sustavu svoje ime, valja naglasiti da su se slični koordinatni sustavi koristili i

prije njega uključivši Abu Rayhan Birunia te Perzijsku matematiku X i XI stoljeća.

Nakon Descartesa razvijeni su i drugi koordinatni sustavi kao što su polarni, sferični, cilindrični i drugi.

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 39/76

 

Krivulja 36

Krivulja

Cikloida nastaje gibanjem kružnice po pravcu.

Krivulja   je neprekidna linija, ili točnije rečeno, jednodimenzionalni

skup točaka.

Ravninska krivulja je krivulja kojoj su sve točke u jednoj ravnini, npr.

kružnica, elipsa, hiperbola, parabola, spirala, kardioda, astroida,

cikloida, Gaussova krivulja, Arhimedova spirala.

Prostorna krivulja je krivulja u prostoru, npr. loksodroma.

Loksodroma je spirala na sferi.

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 40/76

 

Ortodroma 37

Ortodroma

Put po ortodromi i loksodromi

Ortodroma   je najkraći put između dvije točke na

zemaljskoj kugli.

Općenito

Najkraći putovi po oksodromama

Velikim krugovima koji opisuju Zemlju, kao što suekvator i svi meridijani središte se nalazi u centru

Zemlje. Ortodroma je najkraći put između dviju točaka

na istom meridijanu. Paralelama središte nije u centru

Zemljine kugle te najkraći put između dvije točke na

istoj paraleli nije njen luk nego dio velikog kruga

(ortodroma) koji prolazi kroz obje točke. Luk

ortodrome predstavlja najkraći mogući luk između bilo

koje dvije točke na površini Zemlje.

Veliki krug

Veliki krug je krug na površini zemaljske kugle koji

ima isti opseg kao i zemaljska kugla i dijeli ju na dva

ista dijela.

Loksodroma

Loksodroma je linija koja presijeca sve meridijane pod

istim kutom (držanje istog pravca). Što je veća razdaljina između nekih dviju točaka na površini Zemlje duži je i put

po loksodromi u usporedbi s putom po ortodromi.

ZaključakPri manjim udaljenostima između dvije točke na površini Zemlje nema velike razlike između ortodromskog i

loksodromskog pravca puta i lakše je zadržati pravac po loksodromi presijecajući meridijane uvijek pod istim kutom.

Putujući po ortodromi pravac se tijekom puta mora mijenjati jer veliki krugovi sijeku meridijane pod različitim

kutovima. Pri velikim udaljenostima između dvije točke put po ortodromi se znatno skraćuje štedeći tako gorivo i

vrijeme njegovog trajanja. Linije ekvatora i meridijana kao jedne od linija velikog kruga površine Zemlje, istodobno

su i ortodrome i loksodrome.

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 41/76

 

Ortodroma 38

Vanjske povezniceVeliki krug

Jednadžba pravcaO pravcu se može razmišljati kao o najkraćoj udaljenosti između dvije točke ili kao o krivulji s beskonačno velikim

radijusom zakrivljenosti. Pojmovi kao što su točke i pravci te njihovi jednostavni i složeniji odnosi u prostoru jedan

su od temelja Euklidske geometrije, a kasnije i analitičke geometrije kakvu je danas poznajemo.

Jednadžba pravca

Implicitna jednadžba pravca

Razmatramo li jednakost oblika

ustanovit ćemo da postoji beskonačan broj parova x,y koji udovoljavaju jednakosti. Kako svaki uređen par brojeva u

kartezijanskom koordinatnom sustavu  x0y određuje koordinate jedne točke, grafički prikaz svih točaka daje nam

sliku pravca u ravnini, a gore prikazanu jednadžbu nazivamo implicitnom ili općom jednadžbom pravca.

Eksplicitna jednadžba pravca

Preuredimo li implicitnu jednadžbu pravca

u drugi oblik kako slijedi

naći ćemo i eksplicitnu jednadžbu pravca koja se može zapisati i u obliku

gdje a i b ovise o A, B i C na način da je

Eksplicitna jednadžba pravca izravno prikazuje koficijent smjera pravca, odn. nagib pravca a te odsječak b koji

pravac određuje na y-osi, odn. ordinati.

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 42/76

 

Jednadžba pravca 39

Segmentna jednadžba pravca

Grafički prikaz pravca y=ax+b i njegovih odsječaka na osima x i y.

Preuredimo li sada eksplicitnu

 jednadžbu pravca

u treći oblik kako slijedi

naći ćemo i jednadžbu pravca u segmentnom obliku gdje su b i -b/a segmenti ili odsječci na y, odn. x-osi. Segmentna

 jednadžba pravca može se zapisati i u slijedećem obliku

gdje su

Druge oznake

Ponekad se implicitna jednadžba pravca iskazuje u obliku

gdje se tada eksplicitna jednadžba pravca prikazuje kao

gdje je k koeficijent smjer pravca, a l odsječak na y-osi.

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 43/76

 

Jednadžba pravca 40

Određenost pravcaPravac je u ravnini određen ili sa zadanom točkom kroz koju prolazi pravac i koeficijentom smjera ili s dvije zadane

točke kroz koje pravac prolazi.

Pravac određen točkom i koeficijentom smjera

Neka je pravac određen točkom i koeficijentom smjera a. Jednadžba pravca se u tom slučaju

uobičajeno prikazuje u obliku

.

Pravac određen s dvije točke

Pravac je po definiciji određen s dvije točke koje nisu jednake, a jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije točke

i prikazuje se uobičajeno u obliku

.

ZnačajPravac, njegovu grafičku i matematičku interpretaciju nalazimo u brojnim područjima matematike i ne samo

matematike. Naime, razmotrimo li eksplicitni oblik jednadžbe pravca

i ukoliko definiramo da je  x slobodna promjenljiva veličina, odn. nezavisna varijabla, a y zavisna varijabla gdje će

nezavisna varijabla poprimati vrijednosti iz domene realnih brojeva i gdje će se svakom elementu domene pridružiti

 jedan i samo jedan odgovarajući element kodomene, tada gore prikazani izraz možemo nazvati funkcijom gdje je

Kodomenu nazivamo i područjem vrijednosti funkcije, a u slučaju gdje je funkcija oblika: , funkciju

nazivamo i linearnom funkcijom, a pravac grafom ili grafičkim prikazom takve funkcije. Linearna funkcija uključuje

i proporcionalnu, odn. razmjernu funkciju oblika

koju slijede brojni prirodni zakoni i pojave u svim područjima znanosti.

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 44/76

 

Koeficijent smjera pravca 41

Koeficijent smjera pravca

Koeficijent smjera pravca određen je omjerom

Koeficijent smjera pravca   je mjera kojom se opisuje nagib pravca u

Kartezijevom ili pravokutnom koordinatnom sustavu.

Definicija

Koeficijent smjera pravca (obično označen slovom k ) se definira kao

promjena u  y koordinati podijeljena s odgovarajućom promjenom u  x

koordinati između dvije točke ( x1, y

1) i ( x

2, y

2) na pravcu:

(Simbol delta, Δ, u matematici ima standardno značenje "promjene" ili "razlike".)

Čim je vrijednost koeficijenta smjera veća (po apsolutnoj vrijednosti), nagib pravca je strmiji u odnosu na x os. Ako

 je vrijednost koeficijenta pozitivna, pravac raste (za veću vrijednost koordinate x neke točke na pravcu povećava se injena koordinata y), a ako je koeficijent negativan, pravac pada. Točke s kojima se računa i njihov poredak mogu se

odabrati proizvoljno.

Geometrijsko značenjeKoeficijent smjera pravca se geometrijski može definirati kao tangens kuta što ga pravac zatvara s pozitivnim

dijelom x osi.

Posebni slučajevi:

• ako je pravac paralelan s x osi, koeficijent smjera pravca jednak je nuli

• ako je pravac okomit na x os, njegov koeficijent smjera nije definiran

Algebarsko značenjeAko je  y linearna funkcija od  x, tad je koeficijent uz  x koeficijent smjera pravca koji je graf funkcije  y. Drugim

riječima, pravac se može zapisati algebarski, u obliku jednadžbe

,

gdje je x argument funkcije, k koeficijent smjera pravca, a l odsječak na y osi.

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 45/76

 

Parabola (krivulja) 42

Parabola (krivulja)

Parabola je krivulja koja nastaje na presjeku između stošca i ravnine.

Parabola kojoj je tjeme u ishodištu koordinatnog sustava.

Parabola   je skup svih točaka u ravnini koje su

  jednako udaljene od zadane točke (žarišta) i

zadanog pravca (ravnalice). Poluparametar

parabole je udaljenost od žarišta do ravnalice.

Parabola je krivulja koja nastaje presjekom stošca i

ravnine.

Jednadžba parabole

Ukoliko je ravnalica parabole r okomita na apscisu

njena je jednadžba  x = - p  /2, gdje je p

poluparametar parabole, tjeme parabole je u

ishodištu koordinatnog sustava, a žarište parabole

ima koordinate F ( p /2,0) tada jednadžba oblika

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 46/76

 

Parabola (krivulja) 43

Parabolična putanja mlaza vode.

predstavlja tjemenu jednadžbu parabole. Ukoliko je parabola osnosimetrična u odnosu na ordinatu ( y-os)

koordinatnog sustava, tada je njezina jednadžba:

.

Tangenta parabole

Tangenta parabole kojoj je tjeme u ishodištu koordinatnog sustava i koja prolazi točkom T  na paraboli,

određena je koordinatama točke T i koeficijentom smjera tangente. Diferencirajući odgovarajuću jednadžbu parabole

dobiva se:

odakle slijedi da je

odn. da je jednadžba tangente na parabolu

.

Ukoliko je parabola osnosimetrična u odnosu na ordinatu ( y-os) koordinatnog sustava, tada diferencirajući

odgovarajuću jednadžbu parabole slijedi da je

odakle slijedi da je

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 47/76

 

Parabola (krivulja) 44

odn. da je jednadžba tangente na parabolu

.

Hiperbola (krivulja)Uz zadane dvije točke u ravnini, točke F1 i F2, te duljinu 2a koja simetrično leži na dužini F1F2 uz uvjet 2a<d(F1,

F2), tada hiperbolom s fokusima (žarištima) u točkama F1 i F2 i velikom osi 2a nazivamo skup točaka u ravnini za

koje je apsolutna vrijednost razlike udaljenosti do fokusa F1 i F2 jednak 2a.

Smjestimo li središte hiperbole u središte koordinatnog sustava, tada udaljenost /OF1/=/OF2/ nazivamo linearnim

ekscentricitetom hiperbole. Numerički ekscentricitet hiperbole određen je kao

Jednadžba hiperbole

Jednadžba hiperbole sa središtem u S(0, 0)

Hiperbola sa središtem u ishodištu koordinatnog sustava, realnom poluosi 2a i imaginarnom osi 2b određena je

 jednadžbom

koja se može prikazati i u segmentnom obliku

Jednadžba hiperbole sa središtem u S(p, q)

Hiperbola sa središtem točki S određenoj koordinatama S(p, q), realnom osi 2a i imaginarnom osi 2b određena je

 jednadžbom

koja se može prikazati i u segmentnom obliku

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 48/76

 

Hiperbola (krivulja) 45

Tangenta hiperbole

Tangenta hiperbole sa središtem u S(0, 0)

Tangenta hiperbole koja ima središte u ishodištu koordinatnog sustava i koja prolazi točkom T  na

hiperboli, određena je koordinatama točke T  i koeficijentom smjera tangente. Diferencirajući jednadžbu hiperbole

nalazimo da je

odakle slijedi da je

te da je jednadžba tangente na hiperbolu

odakle se sređivanjem nalazi i drugi oblik jednadžbe tangente hiperbole

Tangenta hiperbole sa središtem u S(p, q)

Tangenta hiperbole koja ima središte u točki S(p, q) i koja prolazi točkom T  na hiperboli, određena je

koordinatama točke T i koeficijentom smjera tangente. Diferencirajući jednadžbu hiperbole nalazimo da je

odakle slijedi da je je

te se sličnim postupkom nalazi da je jednadžba tangente hiperbole

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 49/76

 

Elipsa 46

Elipsa

 Ovo je glavno značenje pojma Elipsa. Za značenje u kontekstu književnosti, pogledajte Elipsa (figura).

Elipsa:

a = velika poluos

b = mala poluos

Elipsa   je zatvorena krivulja iz obitelji

čunosječnica. Elipsa je određena dvjema

poluosima: velikom (oznaka: a) i malom

(oznaka: b). Oblik elipse definira se njenim

ekscentricitetom (ili eliptičnošću, oznaka:

e).

Uz zadane dvije točke u ravnini, točke F1 i

F2 i duljinu 2a na kojoj su simetrično

odabrane točke F1 i F2 uz uvjet 2a>d(F1,

F2), tada elipsom s fokusima (žarištima) u

točkama F1 i F2 i velikom osi 2a nazivamoskup točaka u ravnini za koje je zbroj

udaljenosti do fokusa F1 i F2 jednak 2a.

ParametriSmjestimo li središte elipse u središte koordinatnog sustava, tada udaljenost /OF1/=/OF2/ nazivamo linearnim

ekscentricitetom elipse e. Numerički ekscentricitet elipse određen je kao

Elipsa je određena velikom poluosi i ekscentritetom, ili velikom i malom poluosi gdje vrijedi

i

Jednadžba elipse

Jednadžba elipse sa središtem u S(0, 0)Elipsa sa središtem u ishodištu koordinatnog sustava i poluosima 2a i 2b određena je jednadžbom

koja se može prikazati i u segmentnom obliku

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 50/76

 

Elipsa 47

Jednadžba elipse sa središtem u S(p, q)

Elipsa sa središtem točki S određenoj koordinatama S(p, q) i poluosima a i b određena je jednadžbom

koja se može prikazati i u segmentnom obliku

Tangenta elipse

Tangenta elipse sa središtem u S(0, 0)

Tangenta elipse koja ima središte u ishodištu koordinatnog sustava i koja prolazi točkom T  na elipsi

određena je koordinatama točke T i koeficijentom smjera tangente. Diferencirajući jednadžbu elipse nalazimo da je

odakle slijedi da je

te da je jednadžba tangente na elipsu

odakle se sređivanjem nalazi i drugi oblik jednadžba tangente elipse

Tangenta elipse sa središtem u S(p, q)Tangenta elipse koja ima središte u točki S(p, q) i koja prolazi točkom T  na elipsi određena je

koordinatama točke T i koeficijentom smjera tangente. Diferencirajući jednadžbu elipse nalazimo da je

odakle slijedi da je je

te se sličnim postupkom nalazi da je jednadžba tangente elipse

Vidi također• Ekscentricitet

• Prvi Keplerov zakon

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 51/76

 

Kružnica 48

Kružnica

Kružnica polumjera r  i promjera d te središtem u

točki M 

Kružnica   je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane

točke (središta). Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom.

Aksiom prenošenja dužineNa datom polupravcu postoji jedna i samo jedna točka  B takva da je

dužina jednaka datoj dužini .

Posljedica

Ako su  B1

i  B dvije točke polupravca h s početkom u  A takve da

 AB = AB1

onda je  B = B1. Odnosno, dvije različite točke polupravca h

ne mogu imati jednaku udaljenost od početka polupravca.

Jednadžba kružnice

Jednadžba kružnice sa središtem u S(0,0)

Kružnica sa središtem u ishodištu koordinatnog sustava i polumjerom r određena je jednadžbom:

koja se može prikazati i u segmentnom obliku

.

Jednadžba kružnice sa središtem u S( p,q)

Kružnica sa središtem u točki S ( p,q) i polumjerom r određena je jednadžbom:

ili prikazana u segmentnom obliku

.

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 52/76

 

Kružnica 49

Tangenta kružnice

Tangenta kružnice sa središtem u S(0,0)

Tangenta kružnice koja ima središte u ishodištu koordinatnog sustava i koja prolazi točkom T  na kružnici,

određena je koordinatama točke T i koeficijentom smjera tangente. Diferenciranjem jednadžbe kružnice nalazi se da

 je:

odakle slijedi da je

te da je jednadžba tangente na kružnicu

odakle se sređivanjem nalazi i drugi oblik jednadžba tangente kružnice

.

Tangenta kružnice sa središtem u S( p, q)

Tangenta kružnice koja ima središte u točki S ( p, q) i koja prolazi točkom T  na kružnici određena je

koordinatama točke T i koeficijentom smjera tangente. Diferenciranjem jednadžbe kružnice nalazi se da je:

odakle slijedi da je

te se sličnim postupkom nalazi da je jednadžba tangente kružnice

odakle se sređivanjem nalazi i drugi oblik jednadžbe tangente kružnice

.

Opći pojmoviNeka je u ravnini data točka O i dužina r . Tada, prema aksiomu prenošenja dužine, na svakom polupravcu čiji je

početak točka O i leži u ravnini, postoji jedinstvena točka X takva da je O X = r .

Definicija 1

Kružnica   je skup svih točaka ravnine kojima udaljenost od date točke O na toj ravnini jednaka datoj dužini sa

središtem u O i polumjerom r .

Polumjer kružnice je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice.

Središnji pravac kružnice je pravac koji prolazi kroz središte kružnice. Središte kružnice O dijeli središnji pravac na

dva polupravca koji imaju jednu zajedničku točku s kružnicom, odnosno središnji pravac i kružnica imaju dvije

zajedničke točke.

Dužina PQ koja spaja središnje simetrične točke kružnice naziva se promjer kružnice. Ako je PQ promjer kružnice

onda je PO = OQ odnosno O je sredina promjera.

Tetiva je dužina koja spaja dvije točke kružnice. Promjer je tetiva na kojoj leži središte kružnice.

Središnji pravac dijeli ravninu kružnice na dvije poluravnine odnosno točke kružnice dijeli na dva skupa:

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 53/76

 

Kružnica 50

• skup koji leži u jednoj poluravnini

• skup koji leži u drugoj poluravnini. Ovi skupovi su polukružnice.

Koncentrične kružnice su kružnice koje imaju isto središte.

Središnji kut je kut kojemu je vrh u središtu kružnice.

Luk   je dio kružnice koji pripada središnjem kutu. Polukružnica je luk koji odgovara ispruženom kutu. Luk koji

odgovara nultom kutu svodi se na točku. Punom kutu odgovara kao luk cijela kružnica.

U pravokutnom koordinatnom sustavu jednadžba kružnice glasi:

, gdje su ( p, q) koordinate točke središta kružnice

Opseg kružnice је .

Površina ravnine omeđene kružnicom је .

Središnji kut je dvostruko veći od perifernog kuta nad istom tetivom. Pravi kut je periferni kut nad promjerom. Kut

između tetive i tangente povučene iz jedne točke kružnice jednak je perifernom kutu nad tom tetivom Periferni

kutevi nad istom tetivom su isti ili suplementni.

Udaljenost točke od kružniceAko se točka C spoji s točkama kružnice K (O,r ) dobije se beskonačan skup dužina za C  ≠ O. U slučaju C = O to je

nulta dužina.

Postoji li u ovom skupu dužina od koje ni jedna dužina skupa nije manja i takva dužina koja nije manja ni od jedne

dužine skupa?

To su dužine CA i CB, gdje su A, B točke kružnice koje leže na centralnom pravcu koji prolazi kroz C . Točka A je s

one strane točke O s koje je C , a B sa suprotne strane.

Definicija 2

Element m skupa E (u kome između elemenata postoji relacija < ili > ) koji nije veći ni od jednog elementa skupanaziva se minimum (najmanji element skupa  E ). Element koji nije manji ni od jednog elementa skupa je maximum

(najveći) element skupa E .

U navedenom slučaju dužine AB i AC su minimum i maximumu u skupu dužina.

Definicija 3

Minimum skupa udaljenosti date točke od skupa naziva se udaljenost te točke od skupa.

Teorem 1

Neka je data točka C i kružnica K (O,r ) i pri tom C  ≠ O i neka su točke A, B točke kružnice koje leže na središnjem

pravcu, koja prolazi točkom C . Točka A neka je s one strane s koje je točka O, a  B sa suprotne strane od O. Tada od

svih točaka križnice točka A ima najmanje ,a točka B najveće rastojanje od C i pri tome je:CA = │C O - r │ i CB = C O + r .

Beskonačni skupovi ne moraju imati minimum i maksimum.

Na primjer skup brojeva 1, 1/2, 1/4, 1/8,... ima maksimum a nema minimum.

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 54/76

 

Kružnica 51

Zajedničke točke kružnicaNeka su zadane dvije kružnice  K (C , R) i k (O,r ). Ako se odredi međusobni položaj ovih kružnica, povuče središnji

pravac C O ovih kružnica, s A, B označe točke druge kružnice i to sa A onu koja leži sa one strane od točke O s koje

 je točka C , a s B točku druge kružnice.

Između dužina R  – r , C O i R + r za R > r postoji jedan i samo jedan od ovih odnosa

1. C O > R + r 

2. C O = R + r 

3.  R  –r < C O < R + r 

4. C O < R  – r ( R > r )

5. C O = R - r ( R > r )

Presjek kružnica je prazan skup

• Za C O > R + r <=> C O – r > R <=> CA > R

Sve točke jedne kružnice su izvan druge kružnice.

• C O < R  – r <=> C O – r < R <=> CB < R

Sve točke jedne kružnice su unutar druge kružnice.

Tangiranje kružnica

• C O = R + r <=> C O – r < R <=> CA = R

Točka  A druge kružnice pripada točkama prve kružnice. Sve ostale točke su izvan prve kružnice. Za kružnice koje

imaju jednu i samo jednu zajedničku točku i ona leži na pravcu C O kaže seda se one dodiruju izvana u točki A.

• C O = R  – r ( R > r ) <=> C O - r = R <=> CB = r 

Točka B pripada prvoj kružnici sve ostale točke druge kružnice su unutar prve kružnice. Ako dvije kružnice imaju

dijametralno raspoređene dvije zajedmočke točke M na pravoj CO onda su one dijametralno suprotne za svaku od te

dvije točke koje leže na pravoj . za svaku od te dvije kružnice pa se one poklapaju.

Presjek kružnica

 R  – r < C O < R + r ( R < r )

•  A je u B izvan K (C , R)

•  R  – r < C O => CB > R

 B je van K (C , R) C O < R + r => CA < RA je u kružnici.

Aksiom 2

Ako se jedan kraj luka nalazi u kružnici a drugi izvan je onda taj luk s kružnicom ima jednu i samo jednu zajedničku

točku.

Teorem 2

Zajednička točka dviju kružnica koje se dodiruju leži na njihovom zajedničkom središnjem pravcu, i obratno, dvije

različite kružnice koje imaju zajedničku točku na pravcu dodiruju se. Ako dvije kružnice imaju zajedničku točku

koja ne leži na središnjem pravcu imaju još jednu zajedničku točku.

Teorem 3

Dvije kružnice K (C , R) i k (O,r )

• Nemaju zajedničkih točaka ako i samo ako je• C O > R + r (svaka od križnica je izvan druge kružnice)

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 55/76

 

Kružnica 52

• C O < R - r (kružnica manjeg promjera je unutar kružnic večeg promjera)

• Imaju jednu i samo jednu zajedničku točku koja leži na zajedničkoj središnjem pravcu

• C O = R + r sve točke kružnice osim zajedničke su izvan druge kružnice

•  R  – r < C O < R + r imaju dvije i samo dvije zajedničke točke koje leže na raznim stranama središnjeg pravca.

Teorem 4

Kako bi dvije kružnice imale zajedničke točke u slučaju da se središte prve kružnice nalazi

1. na drugoj kružnici

2. u drugoj kružnici

potrebno je i dovoljno

1.  R ≤ 2r 

2. CA < R < CB

gdje su CA i CB odsječci na koje središte O dijeli promjer AB kružnice k (O,r ).

  Nedovršeni članak koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga [1] prema pravilima Wikipedije.

References[1] http://en.  wikipedia.  org/wiki/:Kružnica

PromjerPromjer   je pojam u geometriji koji označava duljinu dužine koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se

nalaze na kružnici. On je ujedno i skup polovišta međusobnmo paralelnih tetiva. Ukoliko znamo promjer kružnice,

možemo izračunati i površinu kruga unutar kružnice koristeći slijedeću formulu:

ili

gdje slovo označava promjer (lat. diametar), a π (čita se pi) je iracionalan broj koji iznosi približno 3,14159 .

Slovo označava polumjer (radijus), što je polovica promjera, odnosno udaljenost od središta kružnice do crte

kružnice.

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 56/76

 

Luk (matematika) 53

Luk (matematika)Luk je u matematici dio kružnice omeđen dvjema točkama i određen pripadnim kutom. Duljina luka za pripadni kut

α iznosi rπα/180.

  Nedovršeni članak koji govori o matematici treba dopuniti. (matematika) Dopunite ga  [1] prema pravilima

Wikipedije.

References[1] http://en.  wikipedia.  org/wiki/:Luk

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 57/76

 

54

Treći dio

Trokut Ovo je glavno značenje pojma Trokut. Za druga značenja, pogledajte Trokut (razdvojba).

Trokut je geometrijski lik koji ima 3 stranice, 3 kuta i 3 vrha.

Pravokutni trokut

Trokute prema vrsti kutova dijelimo na:pravokutan, šiljastokutan i

tupokutan trokut

Pravokutan trokut ima jedan pravi kut.

Šiljastokutan trokut ima sve kutove šiljaste.

Tupokutan trokut ima jedan tupi kut.

Trokuti se dijele i prema vrstama stranica: raznostranični,

 jednakostranični te jednakokračni.

Raznostraničan trokut je onaj trokut kome su sve stranice različitih

duljina.

Jednakostranični trokut je onaj kome su sve stranice istih duljina.

Jednakokračni trokut je onaj kome su dvije stranice istih duljina, i te

stranice se nazivaju krakovi, dok je treća stranica (osnovica) različite

duljine od duljine kraka.

Opseg, tj. zbroj duljina svih stranica se stoga može računati na tri načina, koristeći se gore navedenim svojstvima:

• za jednakostranični trokut: , gdje je duljina stranice;

• za jednakokračni trokut: , gdje je duljina kraka, a duljina treće stranice;

• za raznostranični trokut: , gdje su , i duljine pojedinih stranica.

Nadalje se definiraju još dvije karakteristične dužine:

• srednjica trokuta je dužina koja spaja polovišta dviju stranica trokuta,

• visina trokuta je dužina koja je okomita iz bilo kojeg vrha na njemu suprotnu stranicu.

Površina S se tada računa kao , gdje je stranica, a visina nad tom stranicom.

Površinu S  možemo računati i po Heronovoj formuli (Heronov obrazac): gdje je

poluopseg trokuta;

Svojstvo kuteva trokuta je da se nasuprot većoj stranici nalazi veći kut, a nasuprot manjoj stranici se nalazi manji

kut. Zahvaljujući tom svojstvu možemo zaključiti puno o trokutima. Npr., kod jednakostraničnog trokuta imamo i

sve jednake kuteve, kod jednakokračnog trokuta imamo 2 jednaka i 1 različit kut, a kod raznostraničnog trokuta

imamo tri različita kuta. Zbroj sva tri kuta u trokutu uvijek iznosi °. Zahvaljujući ovom

svojstvu trokuta možemo riješiti neke zadatke, primjerice : Ako je: α=60°, β=80°, γ=? Primjećujemo da se u zadatku

traži treći kut, tj. . Ovaj ćemo zadatak riješiti koristeći svojastvo kuteva, pa ćemo dobiti: °,

iz čega uvrštavanjem proizlazi: . Dolazimo na rješavanje linearne jednadžbe,pa iz togaslijedi: , a odatle slijedi da je °. Dva ili više trokuta mogu biti sukladni. Sukladnost

se dokazuje poučcima o sukladnosti:S-S-S, to jest stranica-stranica-stranica. Trokuti su, po tom poučku, sukladni ako

se podudaraju u tri stranice, tj. ako imaju tri jednake stranice.(Sukladnost ujedno znači jednakost). Slijedeći poučak

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 58/76

 

Trokut 55

 je K-S-K, tj. kut-stranica-kut. Zatim je poučak S-K-S.

  Nedovršeni članak koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga [1] prema pravilima Wikipedije.

References

[1] http://en. 

wikipedia. 

org/wiki/:Trokut

TrigonometrijaTrigonometrija (grč. trigonon = trokut + metron = mjera) je dio matematike koji proučava odnose među

segmentima pravaca (dužinama) i kutovima trokuta na ravnini (ravninska trigonometrija) ili na površini kugle

(sferna trigonometrija).

Trigonometrijske funkcije su sljedeće:

Sinus kuta uz vrh A jednak je kvocijentu nasuprotne katete i hipotenuze pravokutnog trokuta.

Kosinus kuta uz vrh A jednak je kvocijentu prilazeće katete i hipotenuze pravokutnog trokuta.

Tangens kuta uz vrh A jednak je kvocijentu nasuprotne i prilazeće katete pravokutnog trokuta. (u praksi se rabe dvije

notacije: tg i tan za tangens)

Kotangens kuta uz vrh A jednak je kvocijentu prilazeće i nasuprotne katete pravokutnog trokuta. (u praksi se rabe

dvije notacije: ctg i cot za kotangens)

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 59/76

 

Trigonometrija 56

Vanjske poveznice• Trigonometrijska kružnica [1]

• Trigonometrijske funkcije (Ivan Slapničar, Matematika 1) [2]

References[1] http://andrej. fizika. org/ostalo/gimnazija/math/trigonometrija/index.  html

[2] http://lavica. fesb. hr/mat1/predavanja/node91.  html

Sinus

Sinus

Osnovne osobine

Parnost neparna

Period 2π

Specifične vrijednosti

Nule -{k}-π

Lok. maksimumi ((2-{k}-+1/2)π,1)

Lok. minimumi ((2-{k}--1/2)π,-1)

Specifične osobine

Prijevoji -{k}-π

Ulazak u nulu pod kutom π/4

Promjenjiva -{k}- je cijeli broj.

Sinus   je trigonometrijska funkcija. Definira se kao odnos hipotenuze i suprotne katete nekog odgovarajućeg

pravokutnog trokuta koji je izgrađen nad danim kutem, čiji se sinus određuje.

Vidi još• Sinusoida

Vanjske poveznice• Funkcija sinus na wolfram.com [1]

Trigonometrijske i hiperbolične funkcije

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 60/76

 

Sinus 57

Sinus Kosinus Tangens Kotangens Sekans Kosekans

Funkcija sin(x) cos(x) tg(x) ctg(x) sec(x) cosec(x)

Inverzna arcsin(x) arccos(x) arctg(x) arcctg(x) arcsec(x) arccosec(x)

Hiperbolična sinh(x) cosh(x) tgh(x) ctgh(x) sech(x) cosech(x)

Inv. hiperbolična arcsinh(x) arccosh(x) arctgh(x) arcctgh(x) arcsech(x) arccosech(x)

  Nedovršeni članak koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga [2] prema pravilima Wikipedije.

References[1] http://functions.wolfram. com/ElementaryFunctions/Sin/ 

[2] http://en.  wikipedia.  org/wiki/:Sinus

KosinusKosinus

Osnovne osobine

Parnost parna

Period 2π

Specifične vrijednosti

Nule -{k}-π

Lok. maksimumi (2kπ 0,1)

Lok. minimumi ((2k +1) π, -1)

Specifične osobine

Prijevoji (2k +1 / 2) πUlazak u nulu pod kutom π/4

Promjenljiva -{k}- je cijeli broj.

Kosinus je trigonometrijska funkcija koja se za neki kut definira kao odnos duljina hipotenuze i pripadajuće katete

nad njime konstruiranim pravokutnim trokutom.

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 61/76

 

Kosinus 58

Vanjske poveznice• Funkcija kosinus na wolfram.com [1]

Trigonometrijske i hiperbolične funkcije

Sinus Kosinus Tangens Kotangens Sekans KosekansFunkcija sin(x) cos(x) tg(x) ctg(x) sec(x) cosec(x)

Inverzna arcsin(x) arccos(x) arctg(x) arcctg(x) arcsec(x) arccosec(x)

Hiperbolična sinh(x) cosh(x) tgh(x) ctgh(x) sech(x) cosech(x)

Inv. hiperbolična arcsinh(x) arccosh(x) arctgh(x) arcctgh(x) arcsech(x) arccosech(x)

References[1] http://functions.wolfram. com/ElementaryFunctions/Cos/ 

Period

Animacija promjene perioda

Period   je u fizici veličina kojom se iskazuje trajanje jednog ciklusa

periodične promjene, kao što je npr. harmonijsko titranje. To je

najmanji vremenski interval nakon kojeg vremenska funkcija  f(t)

kojom se ta promjena opisuje poprima iste vrijednosti, tj. za period T 

vrijedi:

Mjerna jedinica SI za period je sekunda.

Odnos prema drugim veličinamaPeriod titranja frekvencije f :

Period kružnog gibanja kutne brzine ω:

Period vala valne duljine λ:

gdje je v fazna brzina vala.

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 62/76

 

Kompleksni broj 59

Kompleksni brojKompleksni brojevi su u izrazi oblika , gdje su a i realni brojevi, istaknuti simbol.

Zbrajanje, množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva definira se formulama:

,,

U kompleksnom broju broj se naziva realni dio, piše se , a broj je imaginarni dio, i

piše se .

Kompleksan broj čiji je realni dio jednak nuli naziva se čisto imaginarni broj.

Realni brojevi predstavljaju poseban slučaj kompleksnih brojeva (kad je koeficijent uz jednak nuli). Iako se

kompleksnim brojevima ne izražavaju količine, kao što je to slučaj s realnim brojevima, njihovo uvođenje koristi u

rješavanju problema sastavljenih u terminima realnih brojeva, na primjer, problema o prolazu struje kroz vodič, oprofilu krila aviona itd.

Ništa manje važna nije primjena kompleksnih brojeva na čisto matematičke probleme. Tako na primjer, za

određivanje korijena kubne jednadžbe potrebne su operacije s kompleksnim brojevima. Povijesno, kompleksni su

brojevi uvedeni radi rješavanja kvadratne jednadžbe. Činjenica da kompleksni brojevi ne izražavaju veličine dala je

povoda za idealističko tumačenje kompleksnih brojeva (G. Leibnitz). Velika zasluga u smislu materijalističkog

tumačenja kompleksnih brojeva pripada L. Euleru. Kompleksni broj se aksiomatski definira kao uređen par realnih

brojeva . Formule zbrajanja, množenja, dijeljenja se postuliraju ovako:

,

,

.

Par se naziva imaginarna jedinica i označava simbolom . Iz potonjih formula slijedi da je .

Operacije nad kompleksnim brojevima zadovoljavaju obične zakone komutativnosti, distributivnosti i asocijativnosti

(kao i u slučaju realnih brojeva). Međutim, operacije nad kompleksnim brojevima pod radikalima (korijenima)

donekle se razlikuju od analognih operacija s realnim brojevima. Tako je

.

Trigonometrijski oblikPonekad je kompleksne brojeve pogodno pisati u trigonometrijskom obliku:

,

, za i za ; kada je onda je

, ako je i , ako je . Broj se naziva modul kompleksnog broja, a je argument

kompleksnog broja. Množiti kompleksne brojeve je vrlo pogodno baš u ovom obliku: u množenju kompleksnih

brojeva množe se njihovi moduli, a argumenti se zbrajaju. Iz ovog pravila proizlazi [[De Moivre|De Moivreova

formula:

.

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 63/76

 

Kompleksni broj 60

Kompleksni se brojevi često predstavljaju vektorima u kompleksnoj ravnini (slika dolje). Geometrijski smisao

brojeva vidi se na crtežu. U sabiranju kompleksnih brojeva njihovi vektori se zbrajaju po pravilu

paralelograma.

Duljina vektora je modul kompleksnog broja, a kao što se vidi na gornjoj slici, može se dobiti pomoću

Pitagorinog teorema. Modul, intenzitet kompleksnog broja često označavamo kao apsolutnu vrednost, tj. udaljenost

broja od ishodišta koordinatnog sustava: .

Kompleksni brojevi u trigonometrijskom obliku su usko povezani s eksponencijalnom funkcijom imaginarnog

argumenta. Vrijedi sljedeća Eulerova formula:

;preko nje se definira stupnjevanje kompleksnih brojeva, logaritam kompleksnog broja i dr.

Kompleksni brojevi oblikuju algebarsko zatvoreno polje. Polje kompleksnih brojeva je proširenje polja realnih

brojeva pridruživanjem ovom polju elementa , takvog da je .

Imaginarni brojImaginarni broj jest broj koji ne postoji u skupu realnih brojeva. Označava se oznakom i, te ima vrijednost √-1. Tu je

vrijednost nemoguće dobiti kvadriranjem dva jednaka realna broja (i2=-1), jer dva pomnožena eksponenta (+*+=+,

-*-=+) daju pozitivan eksponent, a ne negativan. Taj se broj koristi kad se treba odrediti vrijednost negativnog

korijena, npr. √-16=√16*√-1=4*i=4i, te se još koristi kod kompleksnih brojeva: a + b i.

  Nedovršeni članak koji govori o matematici treba dopuniti. broj Dopunite ga [1] prema pravilima Wikipedije.

References[1] http://en.  wikipedia.  org/wiki/:Imaginarni

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 64/76

 

Vektor 61

Vektor

 Ovo je glavno značenje pojma Vektor. Za druga značenja, pogledajte Vektor (razdvojba).

Vektor je pojam iz matematike, grane linearna algebra, koji je uveden da bi se razlikovale veličine koje se pojavljuju

u prirodi, a imaju pravac, smjer i intenzitet, te se kao takve razlikuju od veličina koje imaju samo intenzitet i zovu se

skalari.

Vektorske veličine su veličine određene s tri ili više parametara. Najpoznatiji su primjeri vezani za geometriju u

prostoru gdje se vektor određuje pravcem, smjerom i intenzitetom (iznosom, veličinom, dužinom), a predstavlja

strjelicom orijentiranom duž pravca, duljine proporcionalne intenzitetu, a čiji vrh pokazuje smjer na zadanom

pravcu. Poopćeni vektor ne mora biti ograničen na tri dimenzije. Vektor se u n-dimenzionalnom prostoru opisuje sa

n parametara.

Fizikalno se tumačenje vektora obično svodi na trodimenzionalni prostor. Tako su vektorske veličine brzina, sila,

ubrzanje, moment količine kretanja... a skalarne masa, temperatura, obujam.

Fizikalne veličine čija vektorska vrijednost ovisi i od koordinate nazivaju se tenzorske. One se matematičkipredstavljaju matricom, u najjednostavnijem slučaju 3×3. Tenzorskim se veličinama opisuju vektorske veličine u

anizotropnoj sredini - npr. kod nekubičnih kristala. Tenzorske su veličine toplinska vodljivost, električna vodljivost,

koeficijent difuzije, indeks loma itd.

DefinicijaVektor može biti definiran uređenim parom točaka. Recimo da su to A i B iz Rn. Tada je:

, a

Vektor se može predstaviti i polaznom točkom, jediničnim vektorom koji određuje njegov smjer i intenzitetom:

Ako ovdje ||AB|| zamijenimo sa l koji može biti bilo koji broj iz R, definirali smo pravac koji prolazi kroz točku  A a

za vektor pravca ima vektor  AB. Ukoliko je l samo nenegativno ili samo nepozitivno, definiran je polupravac, s

početkom u točki A.

Ukoliko je l neki broj različit od ||AB||, rezultat je vektor koji je s prethodnim kolinearan. Ako je novi vektor  AB',

tada vrijedi:

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 65/76

 

Vektor 62

Nul-vektor

Nul-vektor a0 je vektor čiji je intenzitet jednak nuli. Označuje se kao nula s naznakom za vektor.

Jedinični vektor

Jedinični je vektor vektor čiji je intenzitet jednak jedinici. Za svaki se ne-nul vektor a može odrediti odgovarajući

 jedinični vektor v iste orijentacije i smjera.

Ovaj se postupak zove normiranje vektora.

Operacije nad vektorimaNad vektorima se, kao i svim ostalim elementima analitičke matematike, mogu uvesti aritmetičke operacije. Pri tome

se vektor predstavlja kao uređena n-torka skalara koji pripadaju nekom polju K . Na primjer:,

  je jedan n-dimenzionalni vektor nad poljem  K . Pojam n-dimenzionalni dolazi od činjenice da je vektor definiran

pomoću n skalara. Prostor ovih vektora se još naziva  K n, a skalari koji čine vektor zajedno sa informacijom o

njihovoj poziciji u uređenoj n-torci koordinate vektora. Na primjer, a1

  je prva koordinata vektora, a2

  je druga

koordinata vektora itd.

Slijede osnovne operacije nad vektorima, koje se u principu definiraju nad vektorima istih dimenzija.

Intenzitet vektora

Intenzitet vektora se u euklidskoj geometriji definira kao kvadratni korijen zbroja kvadrata njegovih koordinata.

Množenje vektora skalarom

Množenje vektora nekim skalarom je definirano kao množenje svake koordinate vektora tim

skalarom. Ova je operacija komutativna.

= = :

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 66/76

 

Vektor 63

Zbrajanje vektora

Zbrajanje vektora

Oduzimanje vektora

Uzmimo dva vektora :

Njihovo se zbrajanje u principu definira kao zbrajanje komponenti sa istim indeksima.

,

, gde je

Pri ćemu će vektor c biti iz prostora . Oduzimanje vektora bi se vršilo po sličnom principu:

Pri čemu .

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 67/76

 

Vektor 64

Skalarno množenje vektora

Slično zbrajanju, skalarno se množenje vektora definira kao broj umnoška svih parova koordinata dva vektora, koje

imaju iste indekse. Ovaj se zbroj i umnožak preuzimaju iz polja K . Razlika u odnosu na zbrajanje je ta što je rezultat

skalarnog produkta dva vektora iz  K n u stvari jedan skalar iz  K . Konkretno za dva vektora a i b iz K 

n bi umnožak k 

izgledao ovako:

,

, gdje je

Ovdje treba primjetiti da je skalarni produkt vektora također jednak

pri čemu je ω kut između a i b.

Ovo zapravo znači i:

To jest da su dva vektora okomiti ako im je skalarni produkt jednak nuli.

Vektorski produkt

Još jedan tip umnoška karakterističan za trodimenzionalne euklidske prostore ( E 3) je vektorski produkt. Definira se

na sljedeći način:

 

Jer su , i : vektori kanonske baze E 3.

Kod vektorskog je produkta bitno primjetiti sljedeće osobine:

, tj. vektorski produkt dva vektora je okomit na njih same.

, gdje je : kut između ova dva vektora. Ovo zapravo znači da je intenzitet

vektorskog proizvoda dva vektora jednak površini paralelograma koga čine ovi vektori.

, tj. vektorski produkt nije komutativan.

, gdje je . Tj. vektorski produkt se lijepo ponaša prema množenju

skalarom slijeva.

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 68/76

 

Vektor 65

Mješoviti produkt

Mješoviti produkt vektora je ternarna matematička operacija koja uređenu trojku vektora iz  E 3 preslikava u skalar iz

 E . Zapisuje se sa

A po definiciji je:

:

Što znači da je vrijednost mješovitog produkta tri vektora jednaka volumenu paralelepipeda kojeg oni oblikuju.

Slijede neka osnovna svojstva mješovitog produkta:

•

•

•

•

Vidjeti također• Vektorski prostor

• Vektorsko polje

Matrica (matematika)U matematici, matrica je pravokutna tablica brojeva, ili općenito, tablica koja se sastoji od apstraktnih objekata koji

se mogu zbrajati i množiti.Matrice se koriste za opisivanje linearnih jednadžbi, za praćenje koeficijenata linearnih transformacija, kao i za

čuvanje podataka koji ovise od dva parametra. Matrice se mogu zbrajati, množiti i razlagati na razne načine, što ih

čini ključnim konceptom u linearnoj algebri i teoriji matrica.

Organizacija matrice

Definicije i notacije

Horizontalne se linije u matrici zovu retcima, a vertikalne stupcima

matrice. Matrica sa m redaka i n stupaca se naziva m-sa-n matricom

(kaže se i zapisuje da je formata m×n) a m i n su dimenzije matrice.

Član matrice  A koji se nalazi u i-tom retku i  j-tom stupcu se naziva(i, j)-ti član matrice A. Ovo se zapisuje kao A

i,jili A[i,j]. Uvijek se prvo

naznačuje redak, pa stupac.

Često se piše kako bi se definirala m × n matrica A čiji se svaki član A[i,j] naziva ai,j

za sve 1 ≤ i

≤ m i 1 ≤ j ≤ n. Međutim, konvencija da i i j počinju od 1 nije univerzalna: neki programski jezici započinju od nule,

u kom slučaju imamo 0 ≤ i ≤ m − 1 i 0 ≤ j ≤ n − 1.Matricu čija je jedna od dimenzija jednaka jedinici često nazivamo vektorom, i interpretiramo je kao element realnog

koordinatnog prostora. 1 × n matrica (jedan redak i n stupaca) se naziva vektor redak , a m × 1 matrica (jedan stupac i

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 69/76

 

Matrica (matematika) 66

m redaka) se naziva vektor stupac.

PrimjerMatrica

 je 4×3 matrica. Element A[2,3] ili a2,3

 je 7.

Matrica

 je 1×9 matrica, ili vektor redak sa 9 elemenata.

Zbrajanje i množenje matrica

Zbrajanje

Ako su dane matrice  A i  B, dimenzija m-sa-n, njihov zbroj   A + B je m-sa-n matrica, izračunata zbrajanjem

odgovarajućih elemenata (t.j. ( A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] ). Na primjer:

Množenje skalarom

Ako uzmemo matricu  A i broj c, skalarni produkt cA se računa množenjem skalarom c svakog elementa  A (t.j.(cA)[i, j] = cA[i, j] ). Na primjer:

Operacije zbrajanja i množenja skalarom pretvaraju skup M(m, n, R) svih m-sa-n matrica sa realnim članovima u

realni vektorski prostor dimenzije mn.

Množenje matrica

Množenje dvije matrice je dobro definirano samo ako je broj stupaca lijeve matrice jednak broju redaka desne

matrice. Ako je  A matrica dimenzija m-sa-n, a  B   je matrica dimenzija n-sa- p, tada je njihov umnožak  AB matricadimenzija m-sa- p (m redaka, p stupaca) dan formulom:

za svaki par i i j.

Na primjer:

Množenje matrica ima sljedeća svojstva:

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 70/76

 

Matrica (matematika) 67

• ( AB)C = A( BC ) za sve k -sa-m matrice A, m-sa-n matrice B i n-sa- p matrice C (asocijativnost).

• ( A + B)C = AC + BC za sve m-sa-n matrice A i B i n-sa-k matrice C (desna distributivnost).

• C ( A + B) = CA + CB za sve m-sa-n matrice A i B i k -sa-m matrice C (lijeva distributivnost).

Valja znati da komutativnost ne vrijedi u općem slučaju; ako su dane matrice  A i  B, čak i ako su oba umnoška

definirana, u općem slučaju je AB ≠ BA.

Posebno, skup M(n, R) svih kvadratnih matrica reda n   je realna asocijativna algebra sa jedinicom, koja jenekomutativna za n ≥ 2.

Linearne transformacije, rang, transponirana matricaMatrice mogu na zgodan način predstaviti linearne transformacije jer množenje matrica odgovara slaganju

preslikavanja, kao što će dalje biti opisano. Upravo ovo svojstvo matrice čini moćnom strukturom podataka u višim

programskim jezicima.

Ovdje i u nastavku, promatramo Rn kao skup stupaca ili n-sa-1 matrica. Za svako linearno preslikavanje f : Rn → Rm

postoji jedinstvena m-sa-n matrica A, takva da f ( x) =  Ax za svako x u Rn. Kažemo da matrica A  predstavlja linearno

preslikavanje  f . Ako k -sa-m matrica  B predstavlja drugo linearno preslikavanje g : Rm

  → Rk 

, tada je njihovakompozicija g o  f  također linearno preslikavanje Rm → Rn, i predstavljeno je upravo matricom  BA. Ovo slijedi iz

gorepomenute asocijativnosti množenja matrica.

Općenito, linearno preslikavanje iz n-dimenzionog vektorskog prostora u m-dimenzioni vektorski prostor je

predstavljeno m-sa-n matricom, ako su izabrane baze za svaki.

Rang matrice  A   je dimenzija slike linearnog preslikavanja predstavljenog sa A; ona je ista kao dimenzija prostora

generiranog retcima A, i također je iste dimenzije kao prostor generiran stupcima A.

Transponirana matrica, matrice m-sa-n,  A  je n-sa-m matrica  Atr (nekad se zapisuje i kao  A

T ili t A), koja nastaje

pretvaranjem stupaca u retke i redaka u stupce, to jest  Atr[i,  j] =  A[ j, i] za svaki i i  j. Ako  A predstavlja linearno

preslikavanje u odnosu na dvije baze, tada matrica  Atr predstavlja linearno preslikavanje u odnosu na dualne baze

(vidi dualni prostor).

Vrijedi ( A + B)tr = Atr + B

tr i ( AB)tr = Btr  Atr.

Vidjeti također• Rang matrice

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 71/76

 

Jedinična matrica 68

Jedinična matricaJedinična matrica je u linearnoj algebri naziv za kvadratnu matricu kojoj su elementi na glavnoj dijagonali jedinice,

a ostali nule. Ova se matrica još naziva matricom identiteta, jer množenjem s drugim matricama daje upravo njih

kao rezultat množenja tj. ne mijenja ih. Ova se matrica označuje velikim slovom  E a indeks koji može i ne mora

stajati pored oznake označuje dimenziju iste. Oznaka za matricu identičnog preslikavanja je Id ili samo I .

Što se također može definirati i Kroeneckerovom deltom:

,

gdje je:

Alternativni zapisi su:

Osobine

Množenje

Jedna od bitnih osobina jedinične matrice E n nekog prostora K n × n

 jest ta da je ona jedina za koju vrijedi:

Štoviše, vidi se da je matrica nad prostorom  K n × n komutativna, tj. nije bitno množi li se njome slijeva ili zdesna.

Ovo ne vrijedi za prostore K n × m

 , m ≠ n, gdje se ovom matricom može množiti samo slijeva odnosno samo zdesna.

Iz ove osobine također slijedi i:

Primjer:

Determinanta i inverz

Determinanta ove matrice je uvijek 1, dok je ona sama sebi inverz.

Druga se osobina može dokazati na sljedeći način:

, opće pravilo koje vrijedi za sve matrice

, množenje slijeva sa E 

-1

, matrica pomnožena svojim inverzom uvijek daje E 

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 72/76

 

Jedinična matrica 69

, matrica pomnožena jediničnom daje samu sebe

, kraj dokaza

Rang matriceRang matrice   je jedan od najvažnijih pojmova linearne algebre, područja matematike. U izvjesnom smislu, rang

mjeri "punoću" matrice i njoj odgovarajućeg linearnog preslikavanja. Pojam komplementaran rangu je defekt

matrice.

DefinicijaPostoji nekoliko ekvivalentnih definicija ranga matrice. Najčešće se on definira kao dimenzija slike matrice, odnosno

kao dimenzija prostora koji generiraju (katkad se kaže i "razapinju") njeni stupci. Drugim riječima, rang matrice je

najveći broj njenih linearno nezavisnih stupaca.

Vektorski prostor koji generiraju stupci matrice naziva se i njenim prostorom stupaca, a njegova dimenzija rangom

stupaca. Analogno, prostor redaka je vektorski prostor koji generiraju redci matrice, dok njegovu dimenziju

nazivamo rangom redaka. Rang redaka i rang stupaca svake matrice su jednaki, odakle i slijedi zajednički naziv

"rang". Posebno je rang matrice jednak rangu njoj transponirane matrice.

Elementarne operacije nad redcima i stupcima matrice ne mijenjaju njen rang. Stoga ekvivalentne (i posebno slične)

matrice imaju jednak rang. Sve matrice linearnog preslikavanja između dva vektorska prostora u odnosu na

proizvoljan par njihovih baza su ekvivalentne; njihov zajednički rang se naziva i rangom danog linearnog

preslikavanja i jednak je dimenziji njegove slike. Rang matrice je također jednak broju vodećih kolona u po redcima

svedenom ešelonskom obliku matrice; ova definicija se često koristi u uvodnim kolegijima linearne algebre.

Alternativno, matrica se može rabeći elementarne operacije i nad redcima i nad stupcima svesti na točno jednuekvivalentnu joj matricu čiji su svi elementi nule, osim što na izvjesnom broju prvih mjesta duž glavne dijagonale

stoje jedinice - rang polazne matrice jednak je broju jedinica u njenom tako svedenom obliku.

Determinantni rang matrice je red najveće njene inverzibilne podmatrice, odnosno najvećeg njenog ne-nul minora.

Determinantni rang matrice jednak je njenom rangu.

Svojstva rangaRang m×n matrice je cijeli broj između 0 i min(m,n). Jedina matrica ranga nula je nul-matrica. Kvadratna matrica

reda n   je ranga n ako i samo ako je inverzibilna, te stoga za inverzibilne matrice kažemo i da su "punog ranga".

Općenitije, rang dijagonalizabilne kvadratne matrice jednak je broju njenih ne-nul svojstvenih vrijednosti,

uračunavajući kratnosti. Ako je 0≤k ≤n i  P matrica projekcije prostora Rn na neki njegov k -dimenzioni potprostor

(ortogonalne ili duž bilo kojeg komplementarnog (n − k )-dimenzionalnog potprostora), tada je  P ranga k . Svaka

matrica ranga k  je umnožak inverzibilne matrice i matrice projekcije na neki k -dimenzionalni potprostor.

Linearno preslikavanje  L : Rn → Rm   je monomorfizam (injektivno) ako i samo je r ( L) = n, a epimorfizam

(surjektivno) ako i samo ako je r ( L) = m. Za m × n matricu kažemo da je "punog ranga stupaca" ako je r ( A) = n,

odnosno "punog ranga redaka" ako je r ( A) = m.

Jedan od najvažnijih iskaza o rangu matrice, koji ponekad naziva i osnovni teorem linearne algebre, je sljedeći

Teorem o rangu i defektu: Za svaku m × n matricu A je

δ( A) + r ( A) = n.

Značajno svojstvo ranga matrice je i sljedeća Sylvesterova nejednakost:

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 73/76

 

Rang matrice 70

r ( B) + r ( ABC ) ≥  r ( AB) + r ( BC ),

koja vrijedi za svake tri matrice  A,  B, C  formata takvog da su svi matrični produkti u nejednakosti definirani.

Posebno je za svake dvije m × n i n × p matrice A i B

r ( A) + r ( B) − n  ≤  r ( AB) ≤ min(r ( A), r ( B)).

Rang umnoška AB je jednak rangu matrice A ako je B punog ranga redaka, i rangu matrice  B ako je A punog ranga

stupaca.

Konačno, kako je ker( AT A) = ker(A), to je prema teoremu o rangu i defektu i

r ( AT A) = r ( A).

Prema ovoj jednakosti je rang realne matrice jednak broju njenih ne-nul singularnih vrijednosti.

Rang i sustavi linearnih jednadžbiKronecker-Capelijev teorem tvrdi da je sustav linearnih jednadžbi

 Ax = b

konzistentan ako i samo ako je rang proširene matrice sustava [  A : b ] jednak rangu matrice koeficijenata sustava A.Rang matrice može ponuditi i dodatne informacije o broju rješenja linearnog sustava (formata m × n), na primjer:

• Ako je r ( A) = m, tada će sustav u VSEO imati vodeću varijablu (pivot) u svakoj od jednadžbi i stoga je nužno

konzistentan, sa jedinstvenim rješenjem ako je m = n ili beskonačno mnogo rješenja (koja čine afin potprostor

dimenzije n − m ako je m < n).

• Ako je r ( A) = n, tada su sve varijable vodeće u svedenom obliku, pa je sustav ili nekonzistentan ili ima

 jedinstveno rješenje, ovisno od toga je li rang proširene matrice sustava jednak n + 1 ili n.

• Ako je r ( A) < n, tada sustav ima i slobodnih varijabli u svedenom obliku, pa je ili nekonzistentan ili ima

beskonačno mnogo rješenja, ovisno od toga je li rang proširene matrice sustava veći ili jednak r ( A).

Numeričko izračunavanjeRang matrice se uvijek može izračunati Gaussovim postupkom eliminacije, ali je u numeričkim izračunavanjima

koja koriste aritmetiku pomičnog zareza ovaj postupak ( LU  dekompozicija) nestabilan. Umjesto njega, češće se

koriste dekomopozicija po singularnim vrijednostima ili QR dekompozicija s pivotima. Numeričko određivanje

ranga uvijek uključuje i praktični izbor praga pomoću kojeg se određuje kad element jako male numeričke

vrijednosti treba tretirati kao nulu, koji će ovisiti od svojstava matrice i konkretne primjene.

PoopćenjaRang se definira i za matrice nad proizvoljnim prstenovima. U ovim poopćenjima, rang stupaca (najveći broj

linearno nezavisnih stupaca), rang redaka, dimenzija prostora stupaca, dimenzija prostora redaka, determinantni

rang, itd. mogu biti međusobno različiti ili ne biti definirani.

Rang glatkog preslikavanja između dvije glatke mnogostrukosti u nekoj točki se definira kao (linearni) rang

njegovog diferencijala.

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 74/76

 

Article Sources and Contributors 71

Article Sources and ContributorsSkup  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2484400 Contributors: ALE! on Commons, Argo Navis, Dalibor Bosits, Donatus, Dubby, Fraxinus, Ivan Štambuk, Roza, SvekY,Tycho Brahe, VKokielov, Xeniorn, 4 anonymous edits

Prazni skup  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2826039 Contributors: Ivan Štambuk

Funkcija (matematika)  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2757689 Contributors: Ivan Štambuk, Jakiša Tomić, Sanya, SpeedyGonsales, Stazh, Stevo-88, SvekY, Th dalibor,Zmaj, 21 anonymous edits

Domena (matematika)  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2782164 Contributors: Ivan Štambuk

Slika (matematika)  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2587280 Contributors: Andre Engels, Ilija Pavlic, Ivan Š tambuk, 1 anonymous edits

Injektivna funkcija  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2755857 Contributors: Ilija Pavlic, 2 anonymous edits

Surjektivna funkcija  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2789554 Contributors: Ilija Pavlic, Ozi64, 1 anonymous edits

Bijekcija  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2700226 Contributors: Ilija Pavlic, Ivan Štambuk

Kodomena  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=1603536 Contributors: Ilija Pavlic, Ivan Štambuk, 1 anonymous edits

Niz  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2803817 Contributors: Argo Navis, Dubby, Ilija Pavlic, Raf 2.a, 1 anonymous edits

Geometrijski niz  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2752008 Contributors: Frka, Saxum, Systat, Trudbenik, 4 anonymous edits

Prirodni broj  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2775611 Contributors: Argo Navis, Ivan444, SpeedyGonsales, Zmaj, 4 anonymous edits

Zbrajanje  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2775276 Contributors: -vega, Raf 2.a, Sanya, SpeedyGonsales, 1 anonymous edits

Nula  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2812323 Contributors: AmyMirka, Croq, Kubura, 2 anonymous edits

Cijeli broj  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2832761 Contributors: -vega, Ivan Štambuk, Kurtelacić, Sanya, SpeedyGonsales, Zmaj, 4 anonymous edits

Množenje  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2795929 Contributors: SpeedyGonsales, 2 anonymous edits

Racionalni broj  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2817762 Contributors: -vega, Ivan Štambuk, Raf 2.a, Roza, SpeedyGonsales, Svjetlana3, Zmaj, 4 anonymous edits

Realni broj  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2592279 Contributors: -vega, Gemini1980, Ivan Štambuk, Ma ria Sieglinda von Nudeldorf, SpeedyGonsales

Kvadratna funkcija  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2560721 Contributors: Bracodbk, Dubravko1, 1 anonymous edits

Eksponencijalna funkcija  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2254822 Contributors: Dubravko1, Fraxinus

Logaritam  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2819584 Contributors: Armend, Donatus, F0ggY, Jure Grm, Lasta, MayaSimFan, SpeedyGonsales, Tycho Brahe, 8 anonymousedits

Broj e  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2710762 Contributors: Aradic, Argo Navis, 2 anonymous edits

Kartezijev koordinatni sustav  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2720986 Contributors: Dubravko1, Gdje je nestala duša svijeta, Svjetlana3, 2 anonymous edits

Krivulja  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2781591 Contributors: Svjetlana3

Ortodroma  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2766435 Contributors: Dtom, Vhorvat, 2 anonymous edits

Jednadžba pravca  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2753351 Contributors: Bracodbk, Dubravko1, Kubura, Txus.aparicio

Koeficijent smjera pravca  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2560648 Contributors: Tupars, 1 anonymous edits

Parabola (krivulja)  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2652782 Contributors: Bracodbk, Dubravko1, MayaSimFan, Svjetlana3

Hiperbola (krivulja)  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2663183 Contributors: Culo-sija, Dubravko1, MayaSimFan

Elipsa  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2758537 Contributors: Abyssus, Argo Navis, Dubravko1, Ivan Bajlo, Ivan T., MayaSimFan, Tycho Brahe

Kružnica  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2781355 Contributors: Aradic-es, Argo Navis, Donatus, Dubravko1, Fraxinus, Jure Grm, Kubura, MayaSimFan, Roza, Svjetlana3,Tycho Brahe, 9 anonymous edits

Promjer  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2753214 Contributors: Argo Navis, DarkoS, Kal-El, S peedyGonsales, Vodomar, 3 anonymous edits

Luk (matematika)  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=1816780 Contributors: Argo Navis, MayaSimFan, Prof saxx

Trokut  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2846956 Contributors: Angler, Argo Navis, DarkoS, Donatus, F0ggY, Herr Mlinka, Ivo grdjan, Kubura, Kurtelacić, Mozak, RobertaF., Rosier, Saxum, Sombrero, SpeedyGonsales, Stoos, Tycho Brahe, 14 anonymous edits

Trigonometrija  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2794494 Contributors: 4ndY, Argo Navis, Kubura, Pokemon, Sombrero, SpeedyGonsales, 4 anonymous edits

Sinus  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2662856 Contributors: BlackArrow, Fraxinus, Roberta F., Sokac121, 3 anonymous edits

Kosinus  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2662862 Contributors: Anton008, Roberta F., 1 anonymous edits

Period  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2419011 Contributors: Bethnim, Kurtelacić, Smiljan, Tycho Brahe, 2 anonymous edits

Kompleksni broj  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2343612 Contributors: Ivan Štambuk

Imaginarni broj  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2791368 Contributors: Tvrtko26

Vektor  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2660853 Contributors: Argo Navis, Babalu, Deternamor, Dubby, Duh Svemira, Generalisimus, Ivan Štambuk, SpeedyGonsales,Stazh, 5 anonymous edits

Matrica (matematika)  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2788200 Contributors: Baqu11, DarkoS, Ivan Štambuk, 1 anonymous edits

Jedinična matrica  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2774366 Contributors: Ivan Štambuk

Rang matrice  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=2673056 Contributors: Ivan Štambuk, 1 anonymous edits

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 75/76

 

Image Sources, Licenses and Contributors 72

Image Sources, Licenses and ContributorsDatoteka:Venn-diagram-AB.svg  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Venn-diagram-AB.svg  License: GNU Free Documentation License Contributors: Ivan Štambuk

Datoteka:Venn_A_subset_B.png  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Venn_A_subset_B.png  License: GNU Free Documentation License Contributors: Darapti,EugeneZelenko, Porao, Yuval Madar

Datoteka:Venn_A_union_B.png  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Venn_A_union_B.png  License: GNU Free Documentation License Contributors: Darapti,EugeneZelenko, Lipedia, Romanm, Teox, Yuval Madar, Ævar Arnfjörð Bjarmason

Datoteka:Venn_A_intersect_B.svg  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Venn_A_intersect_B.svg  License: Public Domain Contributors: User:Cepheus

Datoteka:Venn_B_minus_A.png  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Venn_B_minus_A.png  License: GNU Free Documentation License Contributors: User:PaulAugust

Datoteka:Venn A complement.png  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Venn_A_complement.png  License: GNU Free Documentation License Contributors: Originaluploader was Paul August at en.wikipedia Later versions were uploaded by Dcoetzee at en.wikipedia.

Datoteka:Nullset.png  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Nullset.png  License: GNU Free Documentation License Contributors: User:Spindled

Datoteka:Quadratic function.svg  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Quadratic_function.svg  License: Public Domain Contributors: Kilom691, Luks, OsamaK

Datoteka:Injection.svg  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Injection.svg  License: Public Domain Contributors: Sl, 2 anonymous edits

Slika:P math.png  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:P_math.png  License: GNU Free Documentation License Contributors: Abnormaal, Bayo, Booyabazooka, HoboLifting Aroma, Kontos, Rocket000, WeFt

Datoteka:Surjection.svg  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Surjection.svg  License: Public Domain Contributors: Darapti, Sl

Datoteka:Bijection.svg  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Bijection.svg  License: Public Domain Contributors: Darapti, Manscher, Ramac

Datoteka:Bijective_composition.svg  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Bijective_composition.svg  License: Public Domain Contributors: Darapti, Sl

Datoteka:Codomain.SVG  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Codomain.SVG  License: Creative Commons Attribution-Sharealike 2.5 Contributors: Cronholm144,Darapti

Datoteka:Three by Four.svg  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Three_by_Four.svg  License: Public Domain Contributors: User:Jim.belk

Datoteka:Odnos_skupova_brojeva.png  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Odnos_skupova_brojeva.png  License: unknown Contributors: -vegaDatoteka:Polynomialdeg2.svg  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Polynomialdeg2.svg  License: Public Domain Contributors: User:N.Mori

file:exp.svg  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Exp.svg  License: Creative Commons Attribution-Sharealike 2.5 Contributors: User:Pjacklam

Image:Exp series.gif   Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Exp_series.gif  License: Public Domain Contributors: User:Oleg Alexandrov

Image:Expo02.svg  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Expo02.svg  License: GNU Free Documentation License Contributors: EnEdC, Jalanpalmer

Slika:Common Logarithms.svg  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Common_Logarithms.svg  License: Public Domain Contributors: User:Pafcu

Datoteka:Cartesian-coordinate-system.svg  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Cartesian-coordinate-system.svg  License: GNU Free Documentation License Contributors: K. Bolino

Image:Cartesian coordinates 2D.svg  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Cartesian_coordinates_2D.svg  License: GNU Free Documentation License Contributors:Darapti, Gustavb

Image:Coord system CA 0.svg  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Coord_system_CA_0.svg  License: Public Domain Contributors: User:Jorge Stolfi

Image:Cartesian-coordinate-system-with-circle.svg  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Cartesian-coordinate-system-with-circle.svg  License: GNU FreeDocumentation License Contributors: User 345Kai on en.wikipedia

File:Cycloid f.gif   Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Cycloid_f.gif  License: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contributors: User:Zorgit

Image:KUGSPI-9_Loxodrome.gif   Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:KUGSPI-9_Loxodrome.gif  License: GNU Free Documentation License Contributors:w:de:Benutzer:Karl BednarikGerman Wikipedia User Karl Bednarik

Datoteka:Greatcircle Jetstream routes.svg  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Greatcircle_Jetstream_routes.svg  License: Public Domain Contributors: ChaosNilDatoteka:Spherical triangle 3d opti.png  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Spherical_triangle_3d_opti.png  License: GNU Free Documentation License Contributors:User:DemonDeLuxe

File:Graf of linear equation.png  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Graf_of_linear_equation.png  License: Public Domain Contributors: Pietros Sacanis

Datoteka:Slope picture.svg  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Slope_picture.svg  License: Public Domain Contributors: User:Oleg Alexandrov

File:Conicas2.PNG  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Conicas2.PNG  License: GNU Free Documentation License Contributors: Marcelo Reis

Slika:Qfunction.png  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Qfunction.png  License: GNU Free Documentation License Contributors: Derbeth, EugeneZelenko, MarceloReis, Myukew, 1 anonymous edits

Slika:ParabolicWaterTrajectory.jpg  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:ParabolicWaterTrajectory.jpg  License: GNU Free Documentation License Contributors:User:GuidoB

Slika:Disambig.svg  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Disambig.svg  License: Creative Commons Attribution-Sharealike 2.5 Contributors: User:Baumst

Datoteka:Elipse.png  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Elipse.png  License: Public Domain Contributors: Andre Engels, Duesentrieb, EugeneZelenko, Muffin,Ricky81682, SpeedyGonsales, Stanmar, W!B:

Datoteka:Kreis.svg  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Kreis.svg  License: GNU Free Documentation License Contributors: User:Sven

Datoteka:Trokut (trigonometrija).svg  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Trokut_(trigonometrija).svg  License: GNU Free Documentation License Contributors:User:SpeedyGonsales

Image:Sin.svg  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Sin.svg  License: Public Domain Contributors: User:Keytotime

Image:Cos.svg  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Cos.svg  License: Public Domain Contributors: User:Keytotime

Datoteka:Wave period.gif   Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Wave_period.gif  License: Creative Commons Attribution-Sharealike 2.5 Contributors: Cdang, KerstiNebelsiek, Mike.lifeguard, Superborsuk

Datoteka:Kompleksna-ravan.gif   Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Kompleksna-ravan.gif  License: unknown Contributors: Ivan Štambuk

Datoteka:sabiranje.vektora.png  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Sabiranje.vektora.png  License: unknown Contributors: Ivan Štambuk

Datoteka:oduzimanje.vektora.png  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Oduzimanje.vektora.png  License: unknown Contributors: Original uploader was МихајлоАнђелковић at sr.wikipedia

Datoteka:Matrica_hr.svg  Source: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Matrica_hr.svg  License: GNU Free Documentation License Contributors: User:DarkoS, User:Lakeworks

5/11/2018 skripta matematika - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skripta-matematika 76/76

 

Licencija 73

LicencijaCreative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unportedhttp://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/