!

"#

$ % %

&%'

$%'%%(

)

*

+

$ ,

%,%

- . /% &((.(/ .(/

,

-(./0 %((.(/(0 .(/.(0 /(0

,

(

12(3)43*43+

1)(3)53*53+

1)(3)53*43+

1)(3)43*53+

1)(3)53+43*

1)(3531)(3

0

'

" &

& & % &

6 % 77

& %

8 &

%'

'

9%%"#

:

$%

6 % ;

='

%

. %

,)%%

%

='(

% #

'

% # )

'::

>'(

- ?

>'

- #@'%'>

='%

. % , ) % %

)%% ,),,)4

%

='(

% # A

% # ),

'::

@'&%'

>'

'%'>

%

%

)4 @ %

,B

%'

>'

,#@%>

'

:'%(

( )22 xSK xN

=

%>

'

'%(

%>

'%(

:%'%

%%

#>

%&'%%%%

C)4,)C *4 ,

>%

>'%

&

6 &>

&

:%'%

%%

#>&

'%%%%

>%

>'%

:%'%

'%%%%

&

0%&

9D,=E;

!"#! !

9D,=0 &

&

&'0 &

%

0 (

(

F ,%'%%%

%%

XD S Q=

$)

$

12(4.4/

1)(./

=

>

1)(5.4

1)(.

1)(4.5

)

$

=

>

4/5

/4

5/5 1)(,

)

varijacija izmedju grupa 0,7544unutar grupa 0,

ukupno 1,

==

0,03790,3772F

F0,05 = 3,68 za df1 = 2 i dfNulta hipoteza se ne prihvata, negde postoji razlika izmeu srednjih vrednosti !

SK V 0,7544 2 0,3772

0,5684 15 0,0379

1,3228 17 -

953,9=

= 2 i df2 = 15Nulta hipoteza se ne prihvata, negde postoji razlika izmeu

1 = m-1 i 2 = N-m.

9%>

9%F ,

Primer 1 u SPSS-uPodaci se unose u jednu kolonu sa oznakom grupe u drugoj koloniAnalyzeCompare meansOne-Way ANOVA

dani tip elija

1,2 A 1,5 A 1,7 A 1,8 A 1,6 A 1,4 A 1,5 B 1,4 B 1,3 B 1,6 B 1,8 B 1,4 B 2,0 C 1,8 C 1,7 C 2,2 C 1,9 C 2,1 C

Options Oznaiti:

Descriptive Homogeneity-of-variance Means plot

Continue

Post Hoc Oznaiti:

Tukey Continue

OK

Descriptives

DANI

6 1,533 ,216 8,819E-02 1,307 1,760 1,2 1,86 1,500 ,179 7,303E-02 1,312 1,688 1,3 1,86 1,950 ,187 7,638E-02 1,754 2,146 1,7 2,2

18 1,661 ,279 6,575E-02 1,522 1,800 1,2 2,2

123Total

N Mean Std. Deviation Std. Error Lower Bound Upper Bound

95% Confidence Interval forMean

Minimum Maximum

ANOVA

DANI

,754 2 ,377 9,956 ,002,568 15 3,789E-02

1,323 17

Between GroupsWithin GroupsTotal

Sum ofSquares df Mean Square F Sig.

Ukoliko je vrednost Sig.

Primer 2. U standardnom uzorku krvi odreena je koncentracija kalcijumaprimenom 4 metode (A, B, C iD). Pokazati da li je razlika izmenu dobijenih srednjih vrednosti znaajna (vrednosti su date u mmol/L).

Grupa A B C D

2.50 2,51 2,49 2,52 2.51 2.50 2.48 2.532.52 2.53 2.49 2.532.52 2.50 2.48 2.512.50 2.50 2.47 2.522.53 2.52 2.48 2.532.52 2.52

2.52n 7 6 6 8

x2

xsr

Grupa A B C D2.50 2,51 2,49 2,52 2.51 2.50 2.48 2.532.52 2.53 2.49 2.532.52 2.50 2.48 2.512.50 2.50 2.47 2.522.53 2.52 2.48 2.532.52 2.52

2.52n 7 6 6 8 17.6 15.06 14.89 20.18x2 44,25

2237,8014

36,9523

50,9044

xsr 2.514 2.51 2.482 2.522

Varijacija SK VIzmeu grupaUnutar grupa Ukupno

SKtot =x2 C ( )2xCN

=

(x)2 - kvadrat sume svih vrednosti u svim grupama zajednoN - ukupan broj podataka u svim grupama zajedno.

gde je x2- suma kvadrata svih vrednosti (u svim grupama zajedno).

( ) ( ) ( ) ( )1 2 22 2 231 2 3

...

nnn n nig

n

xx x xSK C

n n n n= + + + +

SKug = SKtot - SKigig

ug

VF

V=

2 2

17,6 15,06 14,89 20.18 4587,352927 27

44,2522 37,8014 36,9523 50,9044) 169.9103 169.9016 0.008349,0 15,06 14,89 20,18 169,9081 169,90196 0,006135

6 80,00834 0,006

+ + += = =

= + + + = =

= + + + = =

=

2

tot2 2

ig

ug

( )C 169,90196SK ( C

SK C7 6

SK 135 0,002205=

Varijacija SK VIzmeu grupa

0,006135 3 0,002045

Unutar grupa

0,002205 23 0,000096

Ukupno 0,00834 26

21,331= =0,002045F0,000096

Tablina vrednost F za nivo znaajnosti 0,05 i broj stepena slobode1 = 3 i 2 = 23 iznosi 3,03, pa kako je izraunata vrednost F veaod ove, zakljuak je da se nulta hipoteza ne prihvata.

Da bi se ustanovilo koje se srednje vrednosti izmenu sebe znaajno razlikuju, primenjuje se Tukey-Snedecor test.

2 2 2 21 7 6 6 8 127 (27 6,852) 6,7163 27 3

+ + += = = =

2n1n Nm 1 N

0.000096 0.003786,716x

S = =

Vrednost Q uzimamo iz tabele za m = 4 i = 23, ova vrednost iznosiQ = 3,915.

D = 0,00378 3,915 = 0,015

Izraunata vrednost predstavlja maksimalnu razliku izmenu srednjihvrednosti i treba je uporediti sa apsolutnim vrednostima razlikaizmenu srednjih vrednosti posmatranih grupa.

=

=

=

x

ugx

2

D S Q

VSn

n1n N

m 1 N

Tukey test

Da bi se ustanovilo koje se srednje vrednosti izmenu sebe znaajno razlikuju, primenjuje se Tukey-Snedecor test.

2 2 2 21 7 6 6 8 127 (27 6,852) 6,7163 27 3

+ + += = = =

2n1n Nm 1 N

0.000096 0.003786,716x

S = =

Vrednost Q uzimamo iz tabele za m = 4 i = 23, ova vrednost iznosiQ = 3,915.

D = 0,00378 3,915 = 0,015

Izraunata vrednost predstavlja maksimalnu razliku izmenu srednjihvrednosti i treba je uporediti sa apsolutnim vrednostima razlikaizmenu srednjih vrednosti posmatranih grupa.

Hipoteza Razlika Statistiki zakljuak H0 : A = B H0 : A = C H0 : A = D H0 : B = C H0 : B = D H0 : C = D

Izraunata kritina razlika D jednaka je 0,015 i od nje su veesledee razlike: D - C = 0,040; A - C = 0,032 i B - C = 0,028.

Iz ovoga se izvodi zakljuak da se srednja vrednost grupe Crazlikuje od srednjih vrednosti ostale tri grupe, kao i da se srednjevrednosti grupa A, B i D ne razlikuju izmenu sebe (jer su njihoverazlike manje od kritine razlike D).

Hipoteza Razlika Statistiki zakljuak H0 : A = B 2.514-2.51=0.004 0.004 < 0,015 H0 se prihvata H0 : A = C 2.514-2.482=0.032 0.032 > 0.015 H0 se odbacuje H0 : A = D 2.514-2.522=I0.08I 0.008 < 0,015 H0 se prihvata H0 : B = C 2.51-2.482=0.028 0.028>0.015 H0 se odbacuje H0 : B = D 2.51-2.522=I0.012I 0.012< 0,015 H0 se prihvata H0 : C = D 2.482-2.522=I0.04I 0.04> 0.015 H0 se odbacuje

"#13)43*4G 43

D,/6 @" ,H D,"#

%%$!% !

#%&%!

& !% $ %!%

& '

0%&

D,/6 ," ,H D,"#@& !% ,() *%!+%! !

D,/6 @" ,H D,"#,, !(@,/

Descriptives

kalcijum

7 2.5143 .01134 .00429 2.5038 2.5248 2.50 2.536 2.5100 .01265 .00516 2.4967 2.5233 2.50 2.536 2.4817 .00753 .00307 2.4738 2.4896 2.47 2.498 2.5225 .00707 .00250 2.5166 2.5284 2.51 2.53

27 2.5085 .01791 .00345 2.5014 2.5156 2.47 2.53.00979 .00188 2.5046 2.5124

.00879 2.4806 2.5365 .00029

1.002.003.004.00Total

Fixed EffectsRandom Effects

Model

N Mean Std. Deviation Std. Error Lower Bound Upper Bound

95% Confidence Interval forMean

Minimum Maximum

Between-Component

Variance

ANOVA

kalcijum

.006 3 .002 21.337 .000

.002 23 .000

.008 26

Between GroupsWithin GroupsTotal

Sum ofSquares df Mean Square F Sig.

Kako je Sig. < 0,05 odbacuje se nulta hipoteza (hipoteza o jednakosti srednjih vrednosti).

Multiple Comparisons

Dependent Variable: kalcijumTukey HSD

.00429 .00545 .860 -.0108 .0194

.03262* .00545 .000 .0175 .0477-.00821 .00507 .387 -.0222 .0058-.00429 .00545 .860 -.0194 .0108.02833* .00565 .000 .0127 .0440

-.01250 .00529 .113 -.0271 .0021-.03262* .00545 .000 -.0477 -.0175-.02833* .00565 .000 -.0440 -.0127-.04083* .00529 .000 -.0555 -.0262.00821 .00507 .387 -.0058 .0222.01250 .00529 .113 -.0021 .0271.04083* .00529 .000 .0262 .0555

(J) grupe2.003.004.001.003.004.001.002.004.001.002.003.00

(I) grupe1.00

2.00

3.00

4.00

MeanDifference

(I-J) Std. Error Sig. Lower Bound Upper Bound95% Confidence Interval

The mean difference is significant at the .05 level.*.

Ukoliko je vrednost Sig.