Sistem - Sistem Khusus - Osilator Teredam
-
Upload
pandu-pandawa -
Category
Documents
-
view
235 -
download
5
Transcript of Sistem - Sistem Khusus - Osilator Teredam
-
8/17/2019 Sistem - Sistem Khusus - Osilator Teredam
1/14
SISTEM-SISTEM KHUSUS
Perihal Gaya sebagai Fungsi Posisi: F = F(x)
Hukum kekekalan energi mekanik:
T + V = E = konstan
dengan V(x) berkaitan dengan F(x)melalui F(x) = -(dV/dx)
sehingga: v = v(x) = (2/m)(E-V) *)
dengan v(x) = (dx/dt), maka dapat ditulis
(dx/v(x)) = dt
-
8/17/2019 Sistem - Sistem Khusus - Osilator Teredam
2/14
Apabila v(x) kita substitusikan pada pers. *) dan
pilihan tanda dilakukan berdasarkan arah
gerak sistem pada saat tersebut, maka pers.Terakhir menghasilkan:
t = t(x) yang dapat diinversikan menghasilkan:
x = x(t)
Soal:
Bahaslah gerak suatu benda yang massanya m di
bawah pengaruh gaya pegas F = - kx
m
-
8/17/2019 Sistem - Sistem Khusus - Osilator Teredam
3/14
Solusi:
Suatu benda yang massanya m di bawah
pengaruh gaya pegas F = - kx, karenanyaenergi potensialnya V(x) = (1/2) kx2. Sistem ini
menjalani gerak harmonis dan disebut “ osilator
harmonis”
F = -(dV/dt), V = (1/2) kx2
sehingga
F = -d/dx (1/2) kx2
F = -kx = m(d2x/dt2)
(d2x/dt2) = -(k/m)x (1)
-
8/17/2019 Sistem - Sistem Khusus - Osilator Teredam
4/14
Untuk getaran harmonis:
x = Aept
(dx/dt) = Apept
(d2x/dt2) = Ap2ept (2)
dari (1) dan (2) diperoleh:-(k/m)x = Ap2ept
-(k/m) Apept = Ap2ept
p2 = -(k/m)
p = i(k/m) (k/m) =
Jadi x = Aeit + Be-it
-
8/17/2019 Sistem - Sistem Khusus - Osilator Teredam
5/14
dengan eit = cos t + i sin t
e-it = cos t - i sin t
-
8/17/2019 Sistem - Sistem Khusus - Osilator Teredam
6/14
OSILATOR TEREDAMPerihal Gaya sebagai Fungsi Posisi dan
Kecepatan: F = F(x,v) Sebagai salah satu contoh F = F(x,v) adalah osilator
teredam, dengan redaman linier –bv. Sifat ini didekati oleh
suatu osilator yang bergetar di dalam fluida.
Kehadiran gaya hambat tersebut membuat sistem tak lagikonservatif, bahkan energinya turun terus dengan waktu.
Konstanta b mewakilkan taraf redaman yang dialami.
Gerak sistem tsb bergantung pada taraf redamannya.
Untuk redaman kecil sifatnya masih osilasi, namun denganamplitudo yang mengecil (karena E nya menurun), dan
frekuensi juga menurun (karena sifat redaman yang
memperlambat).
-
8/17/2019 Sistem - Sistem Khusus - Osilator Teredam
7/14
Apabila fluida itu kental, maka hambatannya cukup tinggi
sehingga geraknya hanya berupa gerak balik menuju titik
keseimbangannya secara asimtotis.
Hasil penalaran fisik ini memang benar, kita lihat dari yangberikut.
Karena gaya resultan pada massa m sekarang adalah
– kx – bv, maka hk.II Newton baginya adalah:
ma + bv + kx = 0 atau(d2x/dt2) + 2 (dx/dt) + 02x = 0
dengan = b/2m dan 02 = k/m
Persamaan tersebut adalah p.d. linier homogen dengan
koefisien-koefisien konstan, dengan mencobakan
x = ept diperoleh p2 + 2p + 02 = 0
yang akar-akarnya adalah:
p1,2
= – 2 – 0
2
-
8/17/2019 Sistem - Sistem Khusus - Osilator Teredam
8/14
Perihal 0> atau < 0 : teredam kurang
Dalam hal ini, persamaan terakhir di atas dapat dituliskan
p1,2 = – i1dengan 12 = 02 – 2
Maka solusi umum dari p.d. linier homogen di atas berupa
kombinasi linier dari ep1t dan ep2
t
misalnya
e-t (Cei1t + De-i1
t)
mengingat x real, maka lebih sesuai ditulis dalam bentuk:
x(t) = Ae-t
Cos(1t + )dengan A dan adalah konstanta-konstanta yang dapatditentukan dari kondisi awal. Bentuk gerak ini adalah:
getaran harmonis dengan amplitudo yang menurun.
-
8/17/2019 Sistem - Sistem Khusus - Osilator Teredam
9/14
Amplitudo di sini adalah Ae-t yang secara asimtotis menuju
0 dengan waktu. Frekuensi getarannya adalah 1 yang
< 0 menurut persamaan 12 = 02 – 2. Semuanya inimenunjukkan, dugaan kita tentang sifat “redaman kecil”adalah benar adanya.
Grafik x(t) untuk hal teredam kurang adalah sebagai
berikut.
Ae-t teredam lebih
teredam kurang t
teredam kritis
-
8/17/2019 Sistem - Sistem Khusus - Osilator Teredam
10/14
Bagi energi mekanis sistem, yaitu E, untuk redaman kecil
( 0 : teredam lebih
Akar-akar persamaan karakteristik di sini adalah
p1,2 = – 2 – 02 = – 1,2
sehingga solusi umum dari p.d. linier homogen di atas
adalah
x(t) = Ce-
1
t
+ De-
2
t
-
8/17/2019 Sistem - Sistem Khusus - Osilator Teredam
11/14
dengan C dan D adalah konstanta-konstanta. Kita lihat
geraknya merupakan superposisi dua gerak yang masing-
masing berupa gerak secara asimtotis ke titik
keseimbangan. Namun, karena 2>>1 maka suku keduadi ruas kanan lebih cepat menghilangnya dengan waktu,sehingga untuk t >>
x(t) ~ e-1t
Perihal = 0 : teredam kritis
Dalam hal ini terdapat satu akar p tunggal, yaitu = –,sehingga suatu solusinya adalah e-t . Solusi lainnyaadalah te-t, sehingga solusi umumnya adalah
x(t) = (C1 + C2t) e-t
Sifatnya yang pada t besar ~ e-t menunjukkan, ia juga
-
8/17/2019 Sistem - Sistem Khusus - Osilator Teredam
12/14
mendekati titik keseimbangannya secara asimtotis, namun
dengan cara yang lebih cepat dari perihal teredam lebih
(karena >1).Perihal teredam kritis ini merupakan transisi dari teredam
lebih dan teredam kurang. Sifat yang paling cepat kembali
ke titik keseimbangannya tanpa overshoot menunjukkan
banyak dikehendaki, misalnya pada jarum penunjuk alat-alat pengukur, pegas penutup pintu, shock absorber, dll.
-
8/17/2019 Sistem - Sistem Khusus - Osilator Teredam
13/14
x (t )
t
overdamped
critical damping
underdamped
Critical damping
provides the fastest
d iss ipat ion o fenergy .
-
8/17/2019 Sistem - Sistem Khusus - Osilator Teredam
14/14
TERIMA KASIH