Sistem Dinamiği 1

8/16/2019 Sistem Dinamiği 1

1/38

SĠSTEM DĠNAMĠĞĠ


2/38

Otomatik Kontrol

Kontrol : İncelenen davranışların belirli istenen değerler etrafında tutulması veyaistenen değişimleri göstermesi için yapılan genel anlamda kontrol işlemlerini tanımlar.

Otomatik Kontrol : Kontrol işlemlerinin kontrol edilmek istenen olay etrafındakurulmuş bir karar mekanizması tarafından doğrudan insan girişimi olmaksızıngerçekleştirilebilme-sidir.

Oto Kontr ol S istemlerinin Önemi

Kontrol işlemlerinin belirlenmesi ve otomatik kontrol mekanizmalarının kurulması veöncelikle bu işlem gerek amaçların istenen davranışların kesin bir şekilde tanımlanmasınave buna bağlı olarak da olayların oluştuğu ortamların,olayların sebep- sonuç ilişkilerini vedavranış özelliklerinin incelenmesi gerekir.Sistem dinamiği ve kontrolü bilim dalı bukonuları bilimsel görevlerle inceler.1- Otomatik kontrol insanlığın monoton tekrarlı işlerden kurtararak zeka ve düşünebilme

yeteneklerini dah a iyi kullanabilecekleri işlere yönelmelerini sağlar. 2- Otomatik kontrol insanın fizyolojik yeteneklerini aşan çok hızlı çok hassas büyük

kuvvetler gerektiren uygulamalarla insanın hakimiyetini kolaylaştırır. 3- Oto kontrol „ün mühendislik sistemlerinde kullanılması gerek teorik tasarım gerekse

gerçekleştirme ve uygulama bakımından daha sade ve daha esnek kolayca ayarlanabilen ve verimi yüksek çözümlere imkan vermektedir.

4- Bilgisayarların mühendislik uygulamalarında yaygın biçimde kullanılması kontrol veoto kon trol yöntemlerinin daha etkin olarak kullanılmasında yol açmıştır.

Sistem Kavramları : Değişik alanlardaki sistemlerin bilimsel biçimde incelenmesiaşağıdaki genel tanımın yapılmasını sağlamıştır.

Sistem : Belirli bir amaç sağlayan bir bütün oluşturacak biçimde fonksiyonel bağıntıları bulunan etkileşimli ya da ilişkili elemanlar kümesine denir.

Bi yoloj ik Sistem : Hücrelerden oluşur. Tüm hücreler birbirini etkiler. Hücrelerden bir kısmının farklı bir biçimde gelişmeye başlaması tüm biyolojik sistemi ve davranışınıetkiler.

F izyoloji k Sistem : Örneğin : Kan dolaşımı sistemi , kalp , damar ve kandan oluşur.Ancak besin oksijenli hormonlar yoluyla bilgi taşıdığı için vücudun fonksiyonlarınıetkileyen diğer sistemlerle (solunum , sindirim , beslenme gibi) etkileşim içindedir.

Demograf ik Sistem : Belirli bir bölgenin nüfusunun değişimi o bölgenin doğal veyaidari sınırları içindeki sosyal ve ekonomik koşulları , o bölgenin nüfusunu etkiler . Çeşitlifiziksel eleman ın bir araya getirilmesiyle oluşturulan mühendislik sistemlerindenaşağıdakiler vardır.


3/38

Termi k Si stem : Silindir- piston sistemi termodinamik genleşmeyi doğrusal kaymahareketine çevirir. Böylece yakıtın kimyasal enerjisini mekanik kayma enerjisinedönüştürür. Piston kolu krank mili sistemin kayma hareketini ve enerjisini dönme hareketive enerjisine dönüştürür. Birden fazla silindir , piston kolu , piston , krank sisteminin birbirine belirli bir düzende bağlanmasını ardışık git- gel hareketinden düzenli dönme

hareketinin elde edilmesini sağlar. Bu mekanik sisteme yakıt akışını düzenleyen karbüratörsisteminin ve yanma olayını düzenleyen ateşleme sisteminin eklenmesiyle motor sistemielde edilir.

Bir motorun istediği gibi çalışmasını sağlamak için yukarıda tanımlanan tüm altsistemlerin bireysel çalışmalarını ve birbirlerine etkilerinin istenenlere uygun biçimdeolması gerekir. Eksantrik milinin hareket verdiği supaplar ve distribütör bu uygunluğugerçekleştirir.

Güç Üretim Sistemleri : Elektrik gücü üretiminde kazan veya baraj, türbin, jeneratör, turbo jeneratör grubu hidrotermik santral ve bağlantılı güç üretim ve dağıtımşebekesi sınırları inceleme ve tasarım amaçlarına göre genişletilmiş sistemlerdir. Ülke

yüzeyine yayılmış bağlantılı güç üretim sistemi çok sayıda hidroelektrik ve termik santralayrıca güç dağıtım şebekesini içerir. Bir türbinin jeneratör grubunun devreden çıkması tümsistemin davranışını etkileyebilir.

Giriş Değişkeni : Bir sisteme o sistemin dışından uygulanan diğer değişkenlerden bağımsız içinde değişebilen bir sistemin davranışını etkileyen sistemlere giriş değişkenikısaca girişleri denir.

Çıkış Değişkeni : Bir sistemin davranışını belirleyen değişkenler arasında tasarımyada gözlem açısından en belirleyici olanlarına sistemin çıkış değişkenleri kısaca çıkışlarıdenir. Çıkışlar genellikle gözlenebilir değişkenlerdir. Bir sistemin girişleri ve çıkışlarıarasında sebep-sonuç ilişkisi vardır.

Kumanda Değişkenleri : Bir sistemin gi rişleri arasında istendiği gibi değiştirilen( kumanda edilebilen ) ve sistemin çıkışlarını en çok etkileyen girişlere kumandadeğişkenleri, kumanda girişleri kısaca kumanda denir.

Bozucu Değişkenler : Bir sistemin girişleri arasında kumanda edilmeyen vedeğişimi önceden kestirilemeyen girişlere denir. Bazı etkenler, kısaca bozucular denir.Sistemin girişleri arasında kumanda edilmediği halde değişimleri ölçülebilen yada önceden belirlenen girişler bozucu olarak nitelendirilmezler. Bir sistem çevresinden girişleriyleetkilenir. Çevresini çıkışlarıyla etkiler. Örnek olarak bir uçağın davranışını düşünürsekyukarıdaki değişkenler

Sistem : uçak Girişler : uçak motor itme kuvveti ( F ) , Yükseklik kumanda yüzeyi açısı ( α ) , Yönkumanda yüzeyi açısı ( β ) , kanatçık açısı ( γ ) , yatay rüzgar hızı ( u ) , düşey havaakımları hızı ( w )

Çıkışlar : uçağın yerden yüksekliği ( E ) hızı ( v ) yatma açısı ( Φ ) yönü ( θ) Kumandalar : İtme kuvveti [ F], yükseklik ve yön kumandaları [ β,α, γ ] Bozucular : Yatay rüzgar hızı [ u ], düşey hava akımları hızı [w] olarak

tanımlanabilir.Sistemin giriş ve çıkışlarını şematik biçimde gösterilmesi kolaylık sağlar. Genellikle

sistem bir dikdörtgenler, girişler bu dikdörtgene yöneltilmiş olan bu oklarla çıkışlarda budikdörtgenden çıkan oklarla gösterilirler. Alttaki uçak örneğine uygulanmıştır.


4/38

Hata : E (t) = R (t) – Y(t)Sapma : y(t) = Y (t) - Ỹ

Düzeltme : u (t) = Δu (t) = u (t) – ū Referans değişmesi : r(t) = ΔR(t) = R(t)- R-------Hata değişmesi :

e(t) = ΔE(t) = E(t) – Ē = E(t) e(t) = ΔE(t) = Δ [R(t) – Y(t)]

= Δr(t) –Δy(t)

M odel Ku rma:

Geri beslemeli kontrol sistemlerinin analiz tasarım ve boyutlandırılmalarında başlangıç noktası kontrol edilen ve yöneten sistemin matematik modelinin kurulmasıdır.Matematik model sürekli , süreksiz zamanla değişmeyen , zamanla değişen , lineer , lineerolmayan , belirgin , belirgin olmayan sistemlerden biri yada birkaçı türünden olabilir. Eğermatematik model lineer zamanla değişmeyen bir model ise klasik kontrol teorisindesistemin analiz tasarım ve boyutlandırılmasında “ Laplace dönüşümü “ , “ Fourierdönüşümü “ , “ z dönüşümü “ kullanılır. Sırası ile s domaninde , w domanin ve z domaninyöntemleri adı altında klasik kontrol teorisinde kökleri yer eğrisi , blok diyagramları ,işaret akışı diyagramları , Bode diyagramları kullanılır. Stabilite ( kararlılık ) için ise Routh, Hurwitz , Nyguist kriterleri kulla nılır. Eğer sistem lineer değilse belli çalışma noktalarıetrafında lineerleştirme yapılacak gene klasik kontrol teorisinde yukarıdaki yöntemlerkullanılır.

Modern kontrol teorisi ile analiz , tasarım ve boyutlandırmada ise sisteminmatematik mo deli durum değişkenleri ve çıkış cinsinden

.

x = A x + B u

y = C x + D u

biçiminde yazılır. bu modelle “ x “ durum vektörü , “ u “ kontrol vektörü , “ y ” çikışvektörünü gösteriri ve a , b , c , d uygun boyutta parametre matrisleridir. Sistem lineer vesabit katsayılı ise klasik kontrol teorisinin bütün yöntemleri bu modelle kullanılabilir.

Ancak sistem lineer değilse yada zamanla değişirse bu yöntemler durum modelineuygulanmaz. Durum modelinde kontrol edilen sistemin çıkış büyüklüklerinden başkadurum değişkenleri de kontrol edilebilir. Çoğu zaman sistemin yalnız çıkışını değildurumunu da bilmek ve kontrol etmek isteriz.

Modern kontrol teorisi , işte bu matematik modeli ve computeri özellikle karmaşıklineer olmayan zamanla değişen çok giriş ve çıkışlı geri beslemeli kontrol sistemlerinindavranış ve özelliklerinin incelenmesi tasarım ve boyutlandırılması da kullanma olanağınasahiptir.


5/38

Modern kontrol teorisi ayrıca uyumlu ve optimal ( en uygun ) sistemlerinincelenmesinde gerekli olan yaklaşım yöntemlerini verirken klasik kontrol teorisi bualanda çok sınırlı bir uygulama yaklaşımına sahiptir. Ancak modern kontrol teorisi bu

kadar kuvvetli yaklaşım ve computer kullanma olanağına rağmen kullandığı matematik vesayısal analiz yöntemleri seviyesi nedeni ile şimdilik başlı başına ve kesin uygulamaolanağı bulamaz.

Biz kapalı çevrim kontrol sistemleri inceleme terimini de hem klasik hem de modernkontrol teorisi yaklaşımını kullanacağız.

Kontrol : Bir sistemin çıkışlarını istenen değerleri yöneltmek yada önceden belirlenmiş bir davranışı izlemelerini sağlamak için sistemin kumanda girişleri üzerineyapılan işleme kontrol denir.

Kontrol Sistemleri: Bir sistemin genel olarak davranışını ve çıkışlarını bozucudeğişkenlerin etkisine rağmen istenen değerleri yöneltmek için gerekli kontrol işlemlerinigerçekleştirmek üzere o sistem etrafına kurulan sisteme kontrol sistemi denir.Kontroledilmek istenen sistemde bir bütün oluşturur.Öyle ki bu yeni sistem istenen davranışı vediğer kontrol amaçlarını kolayca ayarlanabilir bir biçimde sağlar.

Otomatik Kontrol Sistemi: Oto kontrol sistemi bir sistem etrafında önceden belirlenmiş kontrol amaçlarını insan girişimi olmadan gerçekleştirmek üzere kurulmuş birbiriyle ve sistemle bağlantılı elemanlardan oluşur.Oto kontrol sistemlerde kumandakontrol çevrimi elamanlarınca bu elemanlar üzerinde ayarlanabilen kontrol amaçlarına vesistem çıkışlarındaki değişmelere göre hesaplanır.Sisteme uygulanır.Dolayısıyla otokontrol istemleri genelde kapalı çevrede geri beslemeli kontrol sistemleridir.


6/38

Negatif Ger i Besleme: Girişindeki artışların çıkışında da artışlara sebep olduğu birsistemi ele alalım.Ve kontrol amacı çıkışı sabit bir değerde tutmak olsun.Böyle birsistemde çıkış istenen değere göre bir artış(pozitif değişme)göstermiş ise kumandanınazaltılarak(negatif değişme)çıkışı istenen değere geri dönmesi sağlanmalıdır.Eğer çıkışistenen değere göre bir azalma (negatif değişme)göstermiş ise bu kez kumandada bir

artış(pozitif değişme)sağlanarak çıkışın istenen değere yükseltilmesi gerekir.Çıkıştakideğişmelerin kumandaya etkisi ters yönde olmaktadır.Bunun için çıkış değişmelerininkarşılaştırma ve kontrol elemanına negatif işaretle beslemesi gerekir.Negatif geri beslemeotomatik kontrol çevriminin genel özelliklerinden biridir.

H ata ve Sapma: Çıkışın herhangi bir anda istenen değeri değere göre farkına „hata‟denir.Karşılaştırma elemanı çıkışı istenen değerlerin karşılaştırılarak hata değişmelerini belirler.Kontrol organı bu hata değişmelerin bir fonksiyon olarak kumanda değişmelerini belirler ve kumanda organına gönderir.İstenen değeri + zaman değişkeni olmak üzerer(+)(referans) ile çıkışı y yada y(+) ile göstersek hata:

Hata : E(t)=R(t)-Y(t)

Sapma : y(t)=Δy(t)-Ỹ=ΔY(t) Düzeltme : u(t)=Δu(t)=u(t)- ū Referans değişmesi : r(t)=ΔR(t)=R(t)-rHata de ğişmesi : e(t)=ΔE(t)=E(t-e=E(t)

Eğer değişkenlerin belirli değerler etrafında değişkenlerin irdeliyorsa çıkışın belli birdeğeri Y‟ ye göre değişmesine sapma kumandanın belirli bir değeri u‟ ya göre değişmesinedüzeltme denir.Hata ve sapmanın belirli değeri olarak genellikle „0‟ alınır.(çıkışın istenendeğeri sağlandığı durum)Buna göre bu değişmeler yukarda kiler olaraktanımlanır.Otomatik kontrol sistemlerinin davranışları istenen değere referans değerinegöre incelendiği için bu sistemler „0‟ hata ve sapma etrafında çalışırlar.Hata değişmesiifadesini açarsak;

e(t)=ΔE(t)=Δ[R(t)-Y(t)]=Δr(t)-Δy(t)

buluruz. Çıkış değişmelerinin işareti negatif geri beslemeyi gösterir.

Kontrol Sistemlerin in Ġ ncelenmesi ve Tasar lan ması: Kontrol sistemlerinin kontrol edilecek sisteme (ana sisteme)bağlanarak onunla bir bütünoluşturur. Ve sistemin davranışın kontrol amaçlarına uygun bir şekilde gerçekleşmesinisağlar.Öncelikle ana sistemin giriş ve çıkışlarını belirleyip davranışın incelenmesigerekir.daha sonra kontrol sistemi elemanları seçilerek ana sisteme eklenir.Bu elemanlarınkendi arasındaki ve ana sistem üzerindeki etkileri kontrol amaçlarını sağlamak üzereayarlanır. Sistemler günümüzde kontrol sistemi ile birlikte tasarlanır .

Sistemlerde Bi lgi A kışının veTemel ĠşlemlerinG österilmesi:


7/38

Sistemlerin sadece giriş ve çıkışlarının belirlenmesi ve bir önceki bölümde olduğu gibişematik biçimde gösterilmesi ayrıntılı bir inceleme için yeterli değildir.Sistemelemanlarının işlemlerinin bireysel giriş ve çıkışlarının ve sistem elemanları arasındaki

bilgi akışının da gösterilmesi gerekir.Sistem elemanlarının yetki ve sebep.sonuç bağıntılarına göre sıralanmaları sistemin yapısında „yapısı‟ incelenmesini sağlar. Bu

şekilde elde edilen diyagrama sistemin „fonksiyonel diyagramı‟ denir. Fonksiyoneldiyagramındaki elemanların diyagramları matematiksel diyagramlarla ifade edilir. Sisteminincelenmesine matematik bir temel oluşturduğu zaman bu diyagrama sistemin „blokdiyagramı‟ denir. Bu bölümde „fonksiyonel diyagram ve blok diyagramı‟nın nasıloluşturulduğu basit örneklerle gösterilecek.Bu konu daha ayrıntılı şekilde işlenecektir.

F onksiyonel Di yagram:

Şekilde bir depo ve girişine bağlanmış olan bir vanadan oluşmuş olan b ir sistem

gösterilmiştir. Parametreler:

A-depo kesit alanı

C1- C2 vana katsayıları

S sıvı yoğunluğu

G yer çekim ivmesi

Değişkenler:

Pb besleme basıncı

P depo dibi basıncı

H sıvı yüzeyi yüksekliği

Qg-Qç depo giriş çıkış debileri

Bu sistemin elemanlarını teker teker inceleyelim

Vana: vanada geçen devir vananın iki ucu arasındaki basınç farkına ve vananınaçıklığına bağlıdır. Küçük değişmeler için doğrusal yaklaşımla vana elemanın davranışınışöyle ifade edebiliriz.

ΔQ g = C 1 Δa + C 2 Δ(Pb – P)

C1 , C 2 orantı katsayısı


8/38

Depo: Kesit alanı A olan depo girişi ve çıkış debileri arasındaki farkı depolamaktadır.Buna göre depo hacmi ve seviyesi “H” harfi için:

dV/dt = Q g – Qç , V = AH , A = dH/dt = Q g – Qç

küçük değişimler için son ifade:

A d( ΔH)/dt = Δ ( Q g – Q ç )

ΔH = 1/At

0 ( ΔQ g – ΔQç ) dt

biçiminde yazılır. Depo Vana Etkileşimi:

Depo girişindeki basınç P‟nin sıvı seviyesine bağlılığı aşağıdaki şekildedir:

P = . g . H : sıvı yoğunluğu

ΔP = . g . ΔH g : yer çekim ivmesi

Giriş ve Çıkışlar :

Bu sistemde depo sıvı seviyesinin değişmelerinin incelendiği ve sıvı seviyesinin kontrolü içingiriş vanasının açılıp kapatıldığı düşünülerek eleman giriş ve çıkışları tanımlanır.

Vana:

- Girişler:

Vana kesme basıncı: P v , değişmesi: ΔP v

Depo girişindeki basınç değişmesi: ΔP

Vana açıklığı: a

Vana açıklığı değişmesi: Δa

- Çıkış: Depo giriş debisi θ değişimi Δθ


9/38

Girişler: Depo giriş debisi θ g değişmesi Δθ g

Depo çıkış debisi Q ç değişmesi ΔQ ç

Çıkış: Depo sıvı seviyesi H , değişmesi ΔH

Depo vana etkileşimi P = . g . H , değişmesi ΔP = . g . ΔH

Sistemin yapısal diyagramı bu tanıma göre şekildeki gibidir:

Sistemin kumanda girişi , vana açıklığı ( a ) , çıkışı da depo seviyesi ( H ) dır. Diğerdeğişkenlerden ( P , H )‟ye bağlı bir iç değişken niteliğindedir. P v ve Q ç‟ nin ΔP v ve ΔQ ç‟nindeğişmeleri ise önceden belirlenemedikleri varsayılarak bozan etkenler olarak kabuledilecektir.

Sistemin fonksiyonel diyagramı , sistemdeki matematik işlemleri ve elemen bağlantılarının özel sembollerle yapısal diyagramda gösterilmesi yoluyla elde edilir. Şekilde

depo vana sisteminin fonksiyonel diyagramı gösterilmiştir.


10/38

Kazan Tr ansfer F onksiyonu:

Giriş ve çıkış belirlenmiş bir eleman için giriş ve çıkış arasındaki bağıntıyı iki türlü ifadeetmek mümkündür.

Kendine özgü dinamik davranış göstermeyen yada dinamik davranışı sabit kararlıdeğerlere yakınsamış elemanlar için “statik kazanç” veya doğrudan “kazanç” ile

Kendine özgü dinamik davranışı olan elemanlar için ise giriş - çıkış bağıntısının birmatematik operatör ile ifade edildiği “transfer fonksiyonu” ile

Kazanç ( Statik Kazanç ):

“Sistemin içindeki birim değişme için çıkışında gözlenen değişmedir” Sistem girişi x , çıkışı yise basınç K =Δ y/Δx olarak tanımlanır. Bir elemanın statik kazancını ( K ) biliniyorsagirişindeki Δx değişmesinin çıkışında neden olduğu Δy , Δy = K . Δx olarak bul unur.

Transfer Fonksiyonu ( Geçiş Fonksiyonu ):

Dinamik davranışı olan sistemdeki diferansiyel işlemler ( türev , integral ) bir matematikoperatör yardımıyla ifade edilerek sistemin çıkışının bu operatör cinsinden ifadesine oranı o

sistemin “transfer fonksiyonu”dur. Sistemin girişi bir “s” operatöre göre “X (s)” çıkışı da “Y (s)” bir fonksiyonu olarak Y (s) = G (s) . X (s) biçiminde yazılabiliyorsa sistemin transfer ( geçiş )fonksiyonu G (s) = Y (s)/X (s) olarak tanımlanır. Transfer fonksiyonu G (s) olan (bilinen) birsistemin girişinin zaman içerisindeki değişimleri X (s) biçiminde biliniyorsa çıkışınındeğişimleri yine “s” operatörü cinsinden Y (s) = G (s) . X (s) olarak bulunur.

Vana Girişleri: Δa , Δ ( Pb -P)Çıkışı: ΔQ g

Eleman Bağıntısı: ΔQ g = c 1 Δa + c2 ( ΔPb – ΔP )

Depo Girişler: ΔQ g , ΔQ ç

Çıkışı: ΔH

Eleman Bağıntısı: A d ( ΔH )/dt = Δ ( Q g – Q ç ) = ΔQ g - ΔQ ç

Bu denklemin her iki tarafında Laplace dönüşümünü uygulayarak aslında 1. mertebeden bir diferansiyel denklem olan eleman bağıntısını

As . ΔH (s) = ΔQ g(s) – ΔQ ç(s)


11/38

dolayısıyla

ΔH (s) = ( 1/A . s ) ( ΔQ g(s) – ΔQ ç(s) )

biçiminde yazılır. Vana bağıntısı basınç ile seviye etkileşimini bağıntısı (s) cinsinden

ΔQ g(s) = c 1 Δa (s) + c 2 ( ΔPb (s) – ΔP (s) )

ΔP (s) = . ğ .ΔH (s)

biçiminde yazılırlar.

Son üç denklemle sistemin “blok” diyagramı şekilde gösterildiği gibi oluşturulur.

Vana besleme basıncının sabit olduğu varsayılırsa ( ΔP B = 0 ) şeklindeki sadeleştirilmiş“blok diyagramı” elde edilir.

Blok d iyagramının elde edilmesinde kazançlar ve transfer fonksiyonları elemanlarıngiriş ve çıkışlarındaki küçük değişmeler için yazılmış , bu küçük değişmeler için sistemin

davranışının “doğrusal” olduğu varsayılmıştır. Buda vana ve depo karakteristiklerindedoğrusal sistemlerin “süper pozisyon ilkesini” kullanma yani cebirsel toplama yapma imkanısağlamıştır. Sonuç olarak:

1- kazanç , transfer fonksiyonu ve blok diyagramı , giriş ve çıkış değişkenlerindeki küçükdeğişmeler için tanımlanırlar.

2- Blok diyagramında tüm bağıntılar doğrusaldır. Süper pozisyon ilkesi kullanılabilir.Doğrusal olmayan karakteristikler , küçük değişmeler için doğrusallaştırılmıştır.

Bu özelliklere göre , depo vana sistemi için şu tanımlar yapılabilir.

Vana Açıklık -Debi Kazancı: c1 = ΔQ g /Δa ( ΔPb – ΔP =0 )

varsayılır.


12/38

Vana Basınç-Debi Kazancı: c2 = ΔQg /ΔPb ( Δa = 0 )varsayılır. Depo Giriş Debisi-Seviye Transfer Fonksiyonu: Gs = ΔH(s) / ΔQç(s) = 1/A.sDepo Transfer Fonksiyonu: Gs = 1/A.s = ΔH(s) / ΔQg(s) – ΔQç(s)

Kazanç , transfer fonksiyonu ve blok diyagramı kavramındaki küçük değişmelergenellikle sistemin kararlı denge durumu etrafındaki küçük değişmelerdir. Önce sistemin girişve çıkışları arasındaki bağıntılardan kararlı denge durumu bulunmalıdır. Sonra giriş veçıkışların bu durumunu sağlayan sabit değerleri etrafında küçük değişmeler için elemanlarınkazanç ve transfer fonksiyonları tanımlanarak blok diyagramı oluşturulmalıdır. Mühendisliksistemlerinde kullanılan elemanların giriş-çıkış bağıntıları genellikle doğrusal değildir.Dolayısıyla kazanç ve transfer fonksiyonlarının bulunması bu bağıntıların denge durumuetrafında küçük değişmeler için doğrusallaştırılmasını gerektirir.

El ektr o Mekani k Tahr ik Sistemi:

Elektro mekanik tahrik sisteminin fonksi yonel ve blok diyagramını ele alalım.

Sistemin güç kaynağı olan doğru akım motorunun sabit bir Φ manyetik alanı için

statöründen geçen akım ile orantılı bir moment verdiğini , elektrik motorunun bir J ataletinindöndürdüğü varsayalım. Sistemin sürtünme momenti hızı ile orantılı olsun (vizkos sürtünme)Sistemin belirli bir Mm direnç momenti için belirli bir w = Ω hızında dönmek üzeretasarlanacağını düşünelim. Elemen bağıntıları aşağıdaki gibi hesaplanacaktır. Motor Sürtünme Momenti: Mm = k . I

İvmelendirme Momenti: M i = J W‟ M s = B . W

Mm = M 1 + M s + M d

→ KI = JW‟ + BW + Md Bu sistem sabit hızla dönerken ki dengesi W = Ω = sabit , W = 0 „ dan


13/38

Ön Sistem Sabit Hızla Dönerken: KI d = BW + M d bulunur.Sistem girişlerinin Id , M d çıkışında W olduğunu düşünürsek aşağıdaki statik blok

diyagramı elde edilir.

Ancak bu sistemin girişindeki I akımına ve direnç momenti Md „ deki değişmelere görediferansiyel denklemi ile tanımlanan bir dinamik davranışı vardır. Eğer , sistemlerde şekilhızlandırdığını yavaşlattırdığını yani zaman içindeki dinamik davranışlarını incelemekistiyorsak blok diyagramı değişik bir dönüşüm olacaktır. KId denklemiyle ifade edilen dengedurumu ile :

I = I d + ΔI M = M d + ΔM W = Ω + Δ W Biçiminde yazıp KI denkleminde yerine koyarsak:( KI d + ΔI ) = J d/dt ( Ω + ΔW ) +B ( Ω + ΔW + ( Md + Δm ) elde edilir.

Ancak sabit Ω değeri için :

KId = B Ω + Md

Olduğu için değişmelerin davranışı k ΔI = I ΔW‟ + BΔW + ΔM ile ifade edilmektedir. Sistemin çıkışı ΔW‟ ; Δu‟nın zamana göre integre edilmesi ile eldeedileceğinden ΔW‟ = ( k ΔI – BΔW – ΔMm )/Jile aşağıdaki fonksiyonel diyagrama gelinir.

Elektro Mekanik Tahrik Sisteminin Fonksiyonel Diyagramı:


14/38

( ΔW( t) ) = ΔΩ(s) , ( ΔI(t) ) = ΔI(s)

Lapl ace dönüşümü ve operatörü kullanılacak.

( ΔM(t) ) = ΔM(s) ( ΔW(t) ) = s ΔΩ(s) – ΔΩ(o)

ilk koşulunu (0) sıfır olarak sistemin statik denge durumunda olduğu varsayarak sekildeki blok diyagramı elde edilir.

K ( I d + ΔI )İfadesinin aynı yaklaşımla kullanılmasıyla aynı blok diyagramı değişkenlerindenge durumu etrafındaki değişimleri yerine mutlak değişimlerin cinsinden oluşturulacaktır.Ancak statik denge durumu ayrıca incelenmemekte , sistem sanki sıfır (0) değeri etrafındaçalışıyormuş gibi gözükmektedir. Halbuki kontör sistemleri hep istenen değerler için kurulur.

Blok diyagramı bu biçimde ancak sistem büyük değişmeler içinde doğrusal kalıyorsageçerlidir. Halbuki fiziksel sistemlerin çok az bir bölümü büyük değişmeler için doğrusalkarakteristikliklidir.


15/38

Açık Çevrimli ve Kapalı Çevrimli Çalışma:

Bir otomatik kontrol sistemi açık çevrimde çalışıyorsa kontrol edilen fiziksel büyüklüğün kontrol hareketi üzerine etkisi yoktur.Açık çevrimli sistemin şematik olarakgösterimi:

Evlerde kullanılan kontrollü cihazların çoğu açık çevrimde çalışır.Örneğin;çamaşırmakinesi.Makine şehir elektriğine ve su şebekesine bağlanıp sabun gözüne toz sabunkonularak uygun bir program seçilir ve çalıştırılır.Makine ön yıkama işleminden durulama vesıkma işlemine kadar ardışık işlemleri yapar ve durur.Fakat çalışması sırasında kontrol büyüklüğü olan çamaşır temizlik mertebesini ölçmez , sisteme referans değeri uygun biryıkama programı seçilerek sağlanmaktadır. Açık çevrimli kontrol sistemi başlangıçta imalatçıfirma tarafından dikkatli kalibre edilmesi ve kullanma sırasında kalibrasyon şartlarınauyulmalıdır. Açık çevrimli çalışmaya diğer bir örnek gündüz bir pilot tarafından bir bulutüzerinde sadece pusula ile yön tayini yaparak uçurulması.

Bununla ilgili olarak pilot diyagramı çizersek;

Bu örnekte referans değeri pilotun pusuladan okuduğu değere göre beynini ve kaslarınıkullanarak uçak kumanda sistemine uyguladığı karardır. Ancak uçağın istenilen yönü bulup

b ulmamasında yandan esen rüzgarın etkisi büyüktür. Kapalı çevrim çalışmayı incelersek burada geri besleme söz konusu olur. Burada kontrol büyüklüğü ölçülür.

Referans değeri ile karşılaşılarak geri besleme yapılır ve ara değer bulunur. Hataanlaşılır. Farkı yok etmek için gerekli kontrol hareketi sağlanır. Yani kapalı çevrim çalışmalarkontrol büyüklüğü , kontrol hareketi üzerinde etkilidir. Blok diyagramını çizersek :


16/38

Şekilde görüldüğü gibi kontrol büyüklüğü bir ölçme organı ile ölçülüp geri

beslemelidir. Bir açık çevrim kapatılır. Geri besleme ile kapalı çevrim deyimleri eş anlamlıdır.Böyle bir çevrimde referans değerinden itibaren kontrol büyüklüğünden akış hattı üzerindekielemanlara ileri besleme elemanları denir. Kontrol elemanları ileri besleme ölçme elemanı birgeri besleme elemanıdır. Kapalı çevrimli otomatik kontrol sistemine örnek olarak binalardauygulanan ısıtma ( otomatik kontrollü ) sistemi gösterir.


17/38

Akış Diyagramı:

Akış diyagramının blok diyagramı ile en önemli farklılığı ( giriş çıkışlarıdır ) noktalarla , blokdiyagramında bloklar içerisinde gösterilen matematik işlemleri ısı transfer hataları ilegösterilmesidir. Şekilde bu gösterme biçimine örnekler verilmiş ve önceki kısımda incelenen

mekanik tahrik sisteminin akış diyagramı gösterilmiştir.

Kontrol Çevriminin Temel Elemanları:

1- Ölçme elemanı ve devresi 2- Kontrol elemanı ve devresi

3- Kumanda elemanı ve devresi Kontrol çevriminin kontrol edilen sistemle birlikte oluşturduğu genel yapı şekilde

gösterilmiştir;

Kontrol çevriminin temel elemanları , fonksiyonlara göre değişik güç düzeyindeçalışırlar. Güç düzeyi seçilen kontrol teknolojisine bağlı olup eleman yapısını etkiler. Bu bakımdan kontrol çevriminin kontrol teknolojileri ve güç düzeyleri açısından incelemekteyarar vardır.

Ölçme Elemanı ve Devresi:

Sistem çıkışındaki değişmelerin gözlenmesi genellikle çıkış büyüklüğü değişmesine bilgiiletmek ve işleme için daha uygun fiziksel büyüklük değişimlerine çevrilmesi ile yapılır. İki bölümden oluşur :

1- Duyar Eleman: sistemin çıkış büyüklüğündeki değişmeleri seçilen ölçme ve kontrolteknolojisine göre gözlenebilir ve yükseltilebilir biçimde çıkış ile aynı yada başka birfiziksel büyüklüğün değişmelerine dönüştürülür. Ölçme işlemi sistem çıkışını vedevresini etkilememesi için sistem güç düzeyine kıyasla çok küçük güçlerle çalışan “

duyar elemanlar ” kullanılır.


18/38

2- Ölçme Yükseltici Devresi: Duyar eleman çıkışının sistem çıkışının değişim aralığınagöre ölçülebilmesi ( kalitrasyon ) gerekir. Ayrıca çok küçük güç düzeyindeki buçıkışın kontrol elemanı standart değişme aralığına uydurulması da gerekir.

Ölçme yükseltici devresi bu fonksiyonları gerçekleştirmek üzere önceden seçilmişkontrol teknolojisine uygun elemanlardan oluşur. Yükseltici devre için gerekli güç yasistemin en az etkilenecek biçimde sistem gücünden , yada özellikle hassas kontrolsistemlerinde sistem dışındaki bir güç kaynağından sağlanır.

Ko ntrol Elemanı ve Devresinin Temel Fonksiyonları:

- Sistem çıkışının kontrol amaçlarına uygunluğunu belirlemek - Sistemin kontrol amaçları doğrultusunda yönetmek için gerekli kontrol değişmelerini

belirlemek

Kontrol elemanı ve devresinde bu temel fonksiyonları gerçekleştirmek için üç ana bölüm vardır.

1- kontrol amaçlarının tanımlandığı ve seçilen kontrol teknolojisine uygun fiziksel büyüklüklere çevrildiği ( referans girişi ) bölümü.

2- ölçme değişmelerinin referans girişleri ile karşılaştırıldığı ve referansa göre sapmanın belirlendiği ( karşılaştırma ) bölüm.

3- Kontrol edilen sistemin yapısı ve istenilen performans gözetilerek önceden belirlenen“ kontrol algoritmasına ” göre sapma değişmelerine gerekli hesap işlemlerineuygulanan ve kontrol değişmelerini üreten kontrol hesap bölümü.

Kontrol elemanı ve devresinin girişleri ölçme sisteminde gelen standart değişmearalığındaki ölçülmüş sistem çıkışı ile referans giriş bölümünde aynı aralığa getirilmişreferans girişidir.

Kontrol devresi çıkışı ise yine aynı standart aralıktaki kontrol değişmeleridir. Kontroleleman ve devresi çok çeşitli alanlarda esnek bir biçimde kullanılabilmeleri için belirliteknolojilerde ( elektronik , binomatik , sayısal elektronik ) gerçekleştirilir. Konrol elemanıvedevresinin güç düzeyi seçilen teknolojiye ve bilgi aktarma işleminin karmaşıklığına göredeğişir. Kontrol elemanı ve devresinin gücü duyar elemanın ki kadar olmasa bile sistemgücüne kıyasla küçüktür.

Son Kontrol Elemanı ( Kumanda ) ve Devres i :

Kontrol edilen sistemi doğrudan etkileyen son kontrol elemanı ve bu elemanı gerekligüçleri kumanda eden sürücü eleman ve devresinden oluşur. Sürücü eleman girişindekistandart aralıkta kontrol değişmelerinin son kontrol elemanının değişmelerine çevirir. Sonkontrol elemanı kontrol edilen sistemin özelliklerine göre seçilir yada boyutlandırılır.Sistemin uygulama elemanının ve son kontrol elemanının türüne göre kontrol teknolojisi ileayrı yada aynı teknolojide seçilebilirler. Kumanda elemanı ve devresinin girişi , kontrolelemanın devresinin girişi , kontrol elemanın güç düzeyde çıkışı ise sistem gücünündeğiştirilebilecek orta güç düzeyindedir.

Kumanda elemanı ve devresinin girişi , kontrol elemanı ve devresinin girişi , kontrolelem anın güç düzeyde çıkışı ise sistem gücünün değiştirebilecek orta güç düzeyidir.


19/38

Kumanda elemanı ve devresi hem sistemi doğrudan etkiledikleri için hem de artıkstandart bir aralığa ayarlanamayan kumanda değişmeleri ve güç düzeyi bakımından kontroledilen sistemin bir parçası olarak kabul edilir. Kumanda elemanı seçimi boyutlandırması vekumanda değişim aralığının belirlenmesi kumanda etkinliği bakımından ana sistemtasarımının çok önemli bir bölümüdür. Kumanda elemanı belirlenirken yalnızca statik çalışma

karakteristikleri değil sistemin dinamik davranışına etkisi ve sistemden istenen davranışnitelikleri gözlenmelidir. Kontrol Çevriminin İncelenmesi ve Tasarımı:

Kontrol çevrimi oluşturulurken gerek ölçme elemanı ve devresigerekse kumandaelemanı ve devresi kontrol edilmek istenen sistemin yapısına özelliklerine ve kontrolamaçlarına uygun bir biçimde seçilirler. Bu aşamadan sonra hem ölçme elemanı hamdakumanda elemanı kontrol edilmek istenen sistemin parçası olarak düşünülür. Ölçme vekumanda elemanları ile birlikte düşünülen sistemin girişi seçilen teknolojiye göre standart birdeğişme aralığındaki kontrol değişmeleri çıkışı da yine standart bir değişme aralığındakiölçülmüş çıkış değerleridir.

Kontrol elemanı ve devresinin girişi ( ölçülmüş sistem çıkışı ) ve çıkışı da aynıaralıklarda değişmeyeceğinden kontrol çevrimindeki tüm değişkenler aynı standart değişmearalığı için ölçülendirilmiştir.

Bu konuyu örneklemek için fonksiyonel diyagramı çıkardığımız vana depo sisteminiinceleyelim. Bu sistem üzerine bir seviye ölçer şamandıra bir de levye sistemi ekleyerek girişvanasının açıklığını değiştirdiğimiz , böylece şekilde gösterilen kapalı çevrim kontrolçevrimini gerçekleştirdiğimizi düşünelim. Bu sistemin fonksiyonel diyagramı:


20/38

Sistemin tasarım değeri ( anma değeri ) şöyle verilmiş olsun

Besleme basıncı _ P b = 6 bar = 6x10 5 N/mm 2( sıvı su – P = 10 3 Kg/m 3)

En büyük giriş debisi _ Q max = 10 3 m 3/sn ( 60 lt/dak )

En büyük seviye _ H max = 1,2m

Depo kesit alanı _ A = 10 -2m2

Ortalama vana direnç kuvveti _ F v = 10N

Kararlı çalışma değeri _ H = 1m

Q p = Q ç = 0,5x10 -3 m3/sn

Vana açıklığı _ %50

a) Sistemin Gücü: Akışkan gücü , E` = ΔF x ifad esine herhangi bir kesit alanı s ile bölünüp çarpılarak :

E` = ( P b - b - g

= ( 6 x 10 5 – 10 3 x 9.81 N ) x 0.5 x 10 -3

= 295 Watt (Mertebesindedir )

sistemin girişindeki güç ise:

E ̀b = P b Qmax = 6 x 10 5 X 10 -3

= 600 Watt

b) Ölçme Sistemi: Kütlesi 0.2 kg olan bir şamandıra kullandığımızı varsayalım. Bu şamandırada H

seviyesi ile birlikte hareket edecektir. Sistemden ölçme sırasında çekebileceği en büyük güç:

E` = f u = mgH

Olacaktır.

Bunu hesaplamak için:

Qç = O,Q g = Q max

Olduğunu varsayalım. O zaman

H` = Q max / A= 0.2 x 9.81 x 10 3 / 10 -2

= 0.196 Watt

c) Kumanda Sistemi :

Şamandıra hareketli bir sistemi ile vana kumandasına iletildiğine göre N bu levha sisteminiletme oranı Δ a max vana açıklığının değişme aralığı , ΔH max do seviye değişme aralığı olmaküzere:

1 / N = Δamax / ΔH max

Buna göre vana açıklığının değişme hızı da:

a` = H’ / N


21/38

olacaktır.Vana kumandası için gerekli güç

E` = F v . a`

olduğuna göre yine

Qç = O`,Q g = Q max

olacak ve N = 2 varsayarak

Ev = F v . a` = F v . H` / N = F v ( Q max ) / N

= 10 x ( 10 -3/ 10 -2 ) / 2

= 0.5 Watt

bulunur. Bu aralıkta suyun hacmi :

ΔVsu . g = m ş . g → Δ Vsu = m ş / g

=0.2 x 10 -3 m³

bu hacim değişmesi yüzünden seviye H’da oluşan hata ise ΔH o = ΔV su / A

= 0.2 x 10 -3 / 10 -2m

= 0.02m

Ölçme ve kumanda durumunda:g . ΔV su . g = m ş.g + F v / N

ΔVsu = ( m ş / g ) + ( F v / gN )

= 0.2 x 10 -3 / ( 2 x 9.81 )

= 0.71 x 10 -3m

ΔH = ΔV su / A

= 0.71 x 10 -3 / 10 -2

= 0.071m

Kontrol Teknoloji leri

Kumanda ve kontrol sistemleri genellikle aşağıdaki teknolojilerlegerçekleştirilmektedir.

Elektronik: Gerek ölçme gerekse bilgi iletme ve işleme elemanlarının çeşitliliği kontroldevresinin gerçekleştirilmesinde çok geniş olanakları sağlaması bakımından en çok kullanılanteknolojidir. Kontrol techisatı , ölçme , yükseltme , kalibrasyon kontrol ve kumanda , güçelektroniği katlarından oluşur. Geometrik boyutları küçüktür. Gösterge ve kaydetmeelemanlarına kolayca bağlanabilir.


22/38

Elektronik teknolojisi de kendi içerisinde iki önemli kola ayrılır: 1-) sürekli elektronik 2-) sayısal ( dijital ) elektronik

Sürekli Elektronik: Ölçme devresi çıkışı genellikle -10 volt , +10 volt standartaralığındadır. Bilgi iletimi uzak mesafelere yapılıyorsa ( 30 metreden fazla ) akış çıkışlı ölçmedevreleri kullanılır. Bunların standart değişim aralığı 4mA – 20mA dır. Kontrol elemanı vedevresi de seçilen ölçme elemanına göre gerilim girişli yada akım girişi seçilir. Ölçme vekontrol devrelerinde “ tüm devre “ ( Ic ) elemanlar kullanılır. Kumanda devresi kullanılacakkumanda elemanına yada kontrol edilen sisteme göre ayarlanabilir. 3’te 1 güç yükseltici devrenitel iğindedir.

Sayısal ( dijital ) Elektronik: Ölçme elemanı ve devresi sayısal veya sürekli çıkışverebilir. Sürekli değişmeler bir analog dijital çevirici ile sayısal biçime dönüştürülür. Güçdüzeyi genellikle ( +5 volt ,-5 volt ) referans gerilimleri ile mA mertebesindedir. Kontrolelemanı ve devresi ya tüm devre mantık elemanlarından yada genellikle bir mikro işlemci

sisteminden oluşur. Bu durum programlanabilme kolaylığı uygulamalar için büyük biresneklik sağlar. Sistem dışındaki bilgi işlem sistemlerine sayısal gösterge ve kolaylıksağlanabilir.

Kumanda devresi kumandanın sürekli olduğu hallerde kontrol devresi ile bağlantıyısağlayan bir dijital analog çeviriciden ve son kontrol elemanını süren bir güç elekroniğindevresinden oluşur.

Elektro_Mekanik:

Yüksek güçlü sistemlere ve son kontrol elemanlarına özellikle sıralamalı işlemler içinkumanda edildiğinde röleler , kontaktörler ve elektro manyetik elemanlar kullanılabilir. Butürden uygulamalarda ölçme sistemi çıkışı elektro_mekanik elemanlara doğrudan kumandaedebilecek düzeydedir. Kontrol sistemi bu elemanlardan kurulu bir mantık devresiniteliğindedir. Gerek ölçme gerek kontrol gerekse kumanda elemanları için 220 volt tek fazlı ,380 volt üç fazlı alternatif akım veya 24 volt doğru akım elektrik gücü kullanılır.

Son kontrol elemanına kumanda eden rölelerin en büyük akım değerleri gerekli gücegöre 16A’e kadar yükselirken ölçme ve kontrol sisteminde genellikle daha küçük ( 0.1_1.6A )akım devreleri kullanılır. Elektro_mekanik elemanlar genellikle aç kapa türü süreksiz kontrolsistemler için kullanılır.

Pnömatik ( Basınçlı Hava ):

Pnömatik teknolojisi elektronik ve elektro_mekanik elemanların yangın tehlikelerinedeni ile kullanılmadığı uygulama alanlarında veya basınçlı havanın ölme tekniği kumandatekniği bakımından daha elverişli olduğu durumlarda benimsenir. Eğer kullanma yerinde basınçlı hava besleme devresi zaten kurulmuş ise bu da bir tercih nedenidir.


23/38

Basınçlı hava ile kontrolde bilgi taşıyan değişken basınçtır. Standart değişme aralığı 0.2 bar – 1 bar arasındadır. Pnömatik ölçme ve kontrol elemanlarına bu elemanlar içindekikayıtları da karşılamak üzere 1.6 bar besleme basıncı uygulanır. Kumanda elemanları dastandart 0.2 bar – 1 bar değişme aralığında genel kontrol değişmelerine arzulanan kumandayaçevirecek biçimde tasarlanırlar. Ölçme elemanlarının giriş aralığı ayarlanabilir olduğu halde

çıkışları yine 0.2 bar – 1 bar aralığındadır. Ölçme veya kontrol değişmelerinin uzakmesafelere itilmesi gerektiğinde ya pnömatik iticilerle genliği azalan basınç değişmeleristandart aralığa yükseltilir veya yeni gelişmekte olan sayısal pnömatik teknolojisi kullanılır.

Pnömatik kontrol teknolojisi elektrik - pnömatik ve pnömatik_elektrik çevirici yardımıile elektronik veya elektro mekanik teknolojisi ile birlikte kullanılmaktadır. Sıralamalıişlemlerin gerçekleştirilmesinde pnömatik valfler ve mantık elemanları kullanılır. Buelemanlarla gerçekleştirilen pnömatik güç uygulamalarında , sürekli değişmelerin kontrolüsöz konusu değilse kullanılan besleme basıncı genellikle 6 bar kumanda basıncı ise 4 barmertebesindedir.

Hidrolik ( Basınçlı Yağ ):

Küçük hacimlerde yüksek güçlerin kontrolünü gerektiren uygulamaklarda hidrolikkumanda teknolojisi kullanılır. Genellikle kumanda elemanlarının girişi elektronik çıkışıhidroliktir. Yine de değişik teknolojilerde ölçme yapmamak amacı ile hidrolik ölçme hidrolikgeri besleme yapılabilir. Hidrolik kontrol devrelerine besleme vakum anında basıncı 300 bar’a kadar çıkarılabilir. Bilgi taşıma ve işleme değişkeni yine basınçtır. Ölçme kontroldevresinde kumanda basıncından çok daha küçük en fazla 20 bar mertebesinde basınçlarlaçalışır. Son kontrol elemanı bir hidrolik silindir veya bir hidrolik motordur.


24/38

Fiziksel Sistemlerin Blok Diyagramlarının ve Çıkışı Girişe Bağlayan TransferFonksiyonlarının Elde Edilmesi :

Transfer fonksiyonun blok diyagramını çizmeden elde etmek için uygun olan yapılır.Bir fiziksel sistemin blok diyagra mının elde edilmesi için önce sistemi teşkil eden bileşenlereait dinamik davranışı belirten esas denklem elde edilir. Daha sonra gerekiyorsa lineerleştirmeyapılıp Laplace dönüşümü yapılır. Burada n ilgili blok diyagramına bundan sonra indirgemeyoluyla t ransfer fonksiyonu yani giriş değişkeni ile çıkı değişkeni arasındaki ifade elde edilir.Blok diyagramını çizmeden evvel transfer fonksiyonunu yazmak gerekir.

El ektr i ksel Sistem

Elektriksel Direnç:

a) Şekildeki direnci göz önüne aldım. Direnç elemanının iki ucu arasındaki voltaj farkınedeniyle şekilde e 2 > e 1 kabul edilmiştir. Direnç üzerinden bir i akımı akar. Burada voltajfarkı sebep ( giriş ) ve akım sonuçtur ( çıkıştır ).

e = e 2 – e1 = R i

Laplace dönüşümü uygulanırsa

E(s) = R I(s)

Çıkış büyüklüğü olan akıma göre yazılırsa

I(s) = ( 1 / R ) E(s)

Buradan ilgili blok

Direnç elemanlarının transfer fonksiyonu

[ I(s) / E(s) ] = [ 1 / R ]

R direnci burada ideal olarak kabul edildiği için sabit olup 1 / R sabit bir sayıdır. Sabit sayıolan eleman orantı elemanı tipindedir.

b) Elektriksel Kapasite

i = c de / dt dir. Buradan e = e 2 – e1 ( e2 > e 1 )’dir.

Başlangıç şartları 0 olmak üzere Laplace dönüşümü ile

I(s) = c s E(s) → E(s) = ( 1 / c s ) → [ E(s) / I(s) ] = 1 / c s


25/38

olur. 1 7 s integral alma işlemi gösterir. Blok diyagramında ilgili blok diyagramı , bakılarakelektriksel kapasite elemanlarının girişi akımına integralini aldığını söylenir.

Transfer fonksiyonu benzer şekilde olan elemanlara kapasite tipindedir denir. Bütünkapasite elemanları giriş büyüklüğünün integralini alarak çıkış büyüklüğünü belirler.

c) Rc Devresi :

Bir elektrik sel direnç ile bir elektriksel kapasite alanı seri olarak bağlıdır. Seri bağlı olmanınözelliği iç değişken i akımı her elemanda aynıdır. Uç değişken e voltajı

e = e r + e c

şeklindedir. Buradan

er = e – ec

olup

i = e – ec /R

RC devresinin denklemleridir

ec = idt /c

Başlangıç şartları = 0 olmak üzere Laplace dönüşümü

I(s) = [ E(s) – Ec(s) ] / R

Ec(s) = I(s) / c s

Genel blok diyagramı:

elde olur.

“ zaman şartı “ τ + RC olarak alınmıştır. τ zaman boyutundadır ve zaman sabiti adını alır.


26/38

olarak ortaya çıkan sistem transfer fonksiyonu için zaman sabiti tipindedir. Zaman domeninde1. mertebeden sabit katsayılı diferansiyel denklemi gösterir. Bu bakımdan zaman sabiti

tipin de sistem veya diğer değişle zaman sabiti elemanı 1. mertebeden bir sistemdir.

d) RLC Devresi :

Seri bağlı bir RLC devresi

e = e R + e L + e c eR = R i → ER (s) = R I (s)

L.D. e L = L di / dt → E c(s) = LSI(s)

ec = idt / c → E c(s) = I(s) / c s

E(s) = E R (s) + E L(s) + E C(s)

Blok Diyagramları :


27/38

indirgeyerek

LC = T 2 , T= karakteristik zaman T = 1 / W n , W n : doğal frekans RC=2 τ T veya RC=2 τ / W n

( τ : söndürme oranı )


28/38

RLC devrensin transfer fonksiyonu:

[ E c(s) / E(s) ] = 1 / T 2 s2 + 2 τ T s + 1

[ E c(s) / E s ] = Wn 2 / s2 + 2 τ 1 w n s + w n 2

Transfer fonksiyonu domenind e 2. mertebeden sabit katsayılı lineer bir diferansiyeldenklemle ifade edilir. Bu şekilde 2. mertebeden bir sisteme örnek olarak gösterilebilir.Söndürme oranına bağlı sistem titreşebileceğinden transfer fonksiyonu denklemlerinde olduğugibi bu fiziksel e lemanlara titreşim elemanları denir.

Mekanik Sistem:

Mekanik yay bir orantı elemanı, hareket halindeki kütle ise kapasite elemanı(integratör) olarak düşünülebilir.

a) Şekil 4.25 de gösterilen dönen kütle ve rotasyon damperi ele alınsın. Buradagiriş büyüklüğü M momenti çıkış büyüklüğü:

ise dt d / açısal hızıdır. Burada açısal yer değiştirme ve t zamandır. İlgili dengedenklemi Newton Kanunu ile belirlenir:


29/38

B M dt

d J

M Bdt

d J

B il e bölerek

B

M

dt

d

B

J

J/B = T: zaman sabiti olarak tanımlanır. Gerçekten J nin boyutunun FLT² ve B nin boyutunun FLT olduğu dikkate alınırsa τ nun boyutunun zaman boyutunda olduğugörülür. Böylece

B

M

dt

d

olur. Başlangıç şartları sıfır olması kaydı ile Laplace dönüşümü alınarak

B s M s s )()()1.(

elde edilir. Buradan transfer fonksiyonu

1./1

)()(

s

B

s M

s

dir. İlgili blok diyagramı Şekil 4.26 da gösterilmiştir.

Denklem (4.40) ve Şekil (4.26) dan transfer fon ksiyonunun zaman sabiti tipinde


30/38

olduğu görülmektedir. Zaman sabitini belirleyen transfer fonksiyonu )1./1( s dir.Payında bulunan l/B terimi ise girişteki Mo ment'in boyutu ile çıkıştaki açısal hızın

boyutu arasındaki gerekli dengeyi sağlamaktadır.

b) Şekil 4.27de gösterilen öteleme yapan mekanik sistem göz önüne alınsın.

Burada hareketin denge denklemi yazılırsa

F kxdt

dxb

dt

xd m

2

2

tarafları k ile bölerek ve başlangıç şartları sıfır kabulü ile Laplace dönüşümü alınarak

k

s F s X s sX

k

b s X s

k

m )()()()(2

bulunur.

Burada: )/(2 k mT , )/( k mT karakteristik zaman

)/(2 k bT , mk b 2/( Söndürme oranı

tanımları yapılarak


31/38

12/1

)()(

22 Ts sT

k

s F

s X

transfer fonksiyonu elde edilir. Yine, l /k nın görevi giriş çıkış arasındaki boyut farkınıdengelemektedir. İlgili blok diyagramı Şekil 4.28 de verilmiştir.

Evvelce yapıldığı gibi n doğal frekans olmak üzere nT /1 olduğu yazılırsa (4.43)transfer fonksiyo nu Denklem (4.44) şeklini alır:

22

2

2

)/1()()(

nn

n

s s

k

s F

s X

Görülür ki, denklem (4.43) veya (4.44) ile verilen transfer fonksiyonu titreşimelemanı tipindedir.


32/38

1

H idr olik Sistem :

Basınçlı sıvı bulunan ve makinelerde hidrolik kuvvet ve hareketlerle ilgili hidroliksistemlerden ayrı olarak endüstriyel prosesler içinde borularla birbirine bağlı depolardan oluşan ve

borularda sıvı akışı reynolt sayısına bağlı olarak laminer veya türbilanslı olabilir.(R


33/38

2

b) hidrolik zaman sabiti:

qg = giriş debisi

qc = çıkış debisi

h = seviye

CH = hidrolik kapasite

R H = hidrolik direnç

CH =dt

dH = q g - q ç

R H =q çh

qç = R H

h CH =

Rq

H g

hdt

dH

R HCH

dt

dh +h = R H qg ( τ = R HCH dönüşümü ile )

H(s) =1 s

H R Qg(s)

Tr ansfer F onksiyonu :

sQg

s H =

1 s

H R

Blok D iyagra mı:


34/38

3

sQg

sQç =

1

1

s :

c) 2 depolu hidrolik sistem

Birbirine e tkileyen iki depolu sıvı seviyesi sistemi

qH =

R H H

Rhh s s sQ

1

21

1

21

C1 s sQg s sdt

d Q H C qq H g 1111

1 .

q2= h 2 / R 2 → Q 2(s) =

R

H s

2

2

C2 = ( dH 2 / dt ) = q 1-q2 → C s(s) H 2(s) = Q 1(s) + Q 2(s)


35/38

4

Blok Diyagramı :

İndirgenerek:

İndirgenerek:


36/38

5

1

1

2211

2

2211

2

s s

s

C RC RS C RC RQQ

q

olur.

τ1 = R 1C1 yazılırsa τ2 = R 2C2

Termik Sistem

Qg = Su girişi sıcaklığı, CQç=Su çıkışı sıcaklığı, CW=Kütlesel su debisi, kg/sn m= depo üzerindeki su kütlesi C=Suyun özgül ısısı CT=Isıl kapasite R T=Isıl direnç, C

olarak alınsın. Deponun mükemmel yalıtıldığı ve dışarı ısı kaçağı olmadığı ve depoiçindeki suyun sıcaklığının uniform olduğu kabul edilsin. Giriş suyu sıcaklığı sabit alınsın.Isıtıcının verdiği ısı ani olarak A g kadar artsın. Su ısıtıcı ile dışarıya Q ç kadar ısı alsın.Böylece;

Dışarı atılan ısı: q ç=W ç . v Isıl kapasite: C T= M . L ü Isıl direnç: R T= ( v / q ç)= (1/ W c) ‘dı r.

Isıl denge denklemi yazılırsa: CT dv /dt= q g-qçqç’nin yerine v /R T yazılarak

R cr .d v /dt + Ø = R i . q ç


37/38

6

elde edilir. Buradan τ =R.C T zaman sabiti dersek ve laplace dönüşümünü uygularsak(τs+1).Ø(s)=R T Qg(s)ve buradan

Q(s)/Q g(s)= R T/τs+1

sisteme ait transfer fonksiyonu olarak bulunur. Verilmiş bulunan birimler ise τ’nun yerinezaman boyutunda olduğu açıktır. Sistem yine bir zaman sabiti elemanı olup ilgili blokdiyagramı Şekil (4) ile verilmiştir.

Binalarda Isıtma Sitemi: Binalarda ısıtmada kullanılan otomatik kontrol sistemlerinde bina içinde olması istenen

sıcaklık termostat üzerinden ayarlanır, referans girişi ayarlanmış olur.Oda sıcaklığı ölçülür vegeri beslenir. Oda sıcaklığı ile olması istenen sıcaklık arasında hata değeri varsa termostat

hatayı küçültücü bir kumanda sistemi (+) veya ( -) doğrultuda ısıtıcıya gönderilir. Gaye bozucu etkilere rağmen oda sıcaklığını istenilen değerde kontrol etmektir.

a)

Bir odanın sıcaklığını istenilen değerde sabit tutan kapalı çevrim sistemini göz önüne alalım.Odada ısıtıcı radyatörler bulunduğunu ve radyatörlerin suyunun akaryakıt fuel oil kullanılan

bir kazandan sağlandığını ve fuel oilin bir kazan ısıtmak için kullanılarak yakıtın belli birdeğerden ayarlandığını varsayalım. Radyatörlerden geçecek su miktarının bir pompa ve servomotor tarafından ayarlanabildiğini kabul edelim. Bu servo motorun kontrolü odada bulunan

bir referans kaynakla yapılacaktır. Referansın belli bir değere (oda sıcaklığı istediğimiz değer)ayarlanmış olduğunu kabul edelim. Oda sıcaklığının belli bir termo elemanı ile ölçülerek veölçüm gerilime transtükrör yardımıyla dönüştürülecektir. Benzer biçimde referans değerde

belli oda sıcaklığı derecesi başka bir transtüktörle gerilime dönüştürülür. Oda sıcaklığı istenendeğerden küçük olunca kontrol işareti bir yönde büyür. Bu işaret kontrol elemanı tarafındankuvvetlendirilir ve servo motor dönerek pompanın vereceği sıcak suyun debisini arttırır. Bu


38/38

işlem oda sıcaklığını istenen sıcaklığa (referans sıcaklığına) çıkartıncaya kadar devam eder.Oda sıcaklığı arttığı zaman ise kontrol işareti diğer yönde büyür. Bu işaret kontrol elemanıtarafından kuvvetlendirilir. Servo motor yine belli bir yönde dönerek sıcak suyun debisini odasıcaklığını referans sıcaklığa düşünceye kadar azaltır. Sistemin geri besleme blok diyagramışekilde gösterilmiştir.

b)

Sistem Dinamiği 1

Documents

Transcript of Sistem Dinamiği 1