Siete ejemplos y un destino - Grupo Halley...Siete ejemplos y un destino Luis A. Núñez Esc. de...
Transcript of Siete ejemplos y un destino - Grupo Halley...Siete ejemplos y un destino Luis A. Núñez Esc. de...
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(2)(2)
Siete ejemplos y un destinoLuis A. Núñez
Esc. de Física Universidad Industrial de SantanderBucaramanga Colombia
Mediante 7 ejemplos, inspirados en las recetas Richard H. Enns, 2005, Computer Algebra Recipes for Mathematical Physics, Birkhauser Boston, presentamos estrategias de resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias utilizando manipulación simbólica.
restart: with(plots):Supongamos un muro de adobe que en su cara externa lo calienta el Sol. ¿cómo se puede modelar el calentamiento del Sol?
Ejemplo 1: La ecuación del calor tiene la formaEcCalor:=diff(T(x,t),t)-kappa*diff(T(x,t),x,x)=0;
EcCalor :=v
vt T x, t K k v2
vx2 T x, t = 0
donde k representa el coeficiente de difusión
La solución de esta ecuación puede ser escrita como T(x,t):=T[0]*exp(-a*sqrt(omega/kappa)*x)*cos(omega*t-b*sqrt(omega/kappa)*x);
T x, t := T0 eKa
wk
x cos Kw tC b
wk
x
Entoncesec1:=simplify(EcCalor);
ec1 := KT0 eKa
wk
x w 2 sin Kw tC b
wk
x a bC cos Kw tC b wk
x a2 K cos
Kw tC b wk
x b2 K sin Kw tC b wk
x = 0
collect(ec1,{cos,sin});
KeKa
wk
x w T0 a2 K b2 cos Kw tC b
wk
x K eKa
wk
x w T0 2 a bK 1 sin Kw t
C b wk
x = 0
Necesariamente a = b = 1/sqrt(2)aa := evalf(1/sqrt(2)); bb:= aa;
aa := 0.7071067810
> >
(7)(7)
(6)(6)
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(5)(5)
(8)(8)
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> >
> >
bb := 0.7071067810
Para calcular el coeficiente de difusion http://en.wikipedia.org/wiki/Thermal_diffusivity kappa[arcilla]:=2.7*10^(-7);
karcilla := 2.700000000 10-7
periodo:=24*60*60; frec:=evalf(2*Pi/periodo);periodo := 86400
frec := 0.00007272205218
T:=eval(T(x,t),{a=aa,b=bb,T[0]=13,kappa=kappa[arcilla],omega=frec});
T := 13 eK11.60476053 x cos 0.00007272205218 tK 11.60476053 x
Temp:=plot(23.0,x=0..0.5,color=blue,linestyle=3):animate(plot,[T+23.,x=0..0.5],t=0..periodo,frames=50, thickness=2,background=Temp);
x0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
15
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25
30
35t = 86400.
¿que pasa si la pared es de madera? kappa= 8.2*10**(-8)restart: with(plots):
Supongamos un muro de madera que en su cara externa lo calienta el Sol. ¿cómo se puede modelar el calentamiento del Sol?
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> > La ecuación del calor tiene la formaEcCalor:=diff(T(x,t),t)-kappa*diff(T(x,t),x,x)=0;
EcCalor :=v
vt T x, t K k v2
vx2 T x, t = 0
donde d representa el coeficiente de difusión
La solución de esta ecuación puede ser escrita como T(x,t):=T[0]*exp(-a*sqrt(omega/kappa)*x)*cos(omega*t-b*sqrt(omega/kappa)*x);
T x, t := T0 eKa
wk
x cos Kw tC b
wk
x
Entoncesec1:=simplify(EcCalor);
ec1 := KT0 eKa
wk
x w 2 sin Kw tC b
wk
x a bC cos Kw tC b wk
x a2 K cos
Kw tC b wk
x b2 K sin Kw tC b wk
x = 0
collect(ec1,{cos,sin});
KeKa
wk
x w T0 a2 K b2 cos Kw tC b
wk
x K eKa
wk
x w T0 2 a bK 1 sin Kw t
C b wk
x = 0
Necesariamente a = b = 1/sqrt(2)aa := evalf(1/sqrt(2)); bb:= aa;
aa := 0.7071067810
bb := 0.7071067810
Para calcular el coeficiente de difusion http://en.wikipedia.org/wiki/Thermal_diffusivity kappa[madera]:=8.2*10^(-8);
kmadera := 8.200000000 10-8
periodo:=24*60*60; frec:=evalf(2*Pi/periodo);periodo := 86400
frec := 0.00007272205218
T:=eval(T(x,t),{a=aa,b=bb,T[0]=13,kappa=kappa[madera],omega=frec});T := 13 eK21.05770992 x cos 0.00007272205218 tK 21.05770992 x
Temp:=plot(23.0,x=0..0.5,color=blue,linestyle=3):animate(plot,[T+23.,x=0..0.5],t=0..periodo,frames=50, thickness=2,background=Temp);
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(17)(17)
(5)(5)
(19)(19)
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(18)(18)
x0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
15
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30
35t = 86400.
Ejemplo 2: Una cuerda de piano restart: with(plots): #assume(v>0,L>=0):
Otra vez, consideremos una cuerda vibrante de extremos fijos en x= 0 y en x =L. Entonces, una vez mas la ecuación de la oscilación de la cuerda vibrante es
ec1 :=diff(u(x,t),x,x)=(1/c^2)*diff(u(x,t),t,t);
ec1 := v2
vx2 u x, t =
v2
vt2 u x, t
c2
Procedemos de la misma forma, mediante el método de separación de variablespdsolve(ec1,u(x,t),HINT=X(x)*T(t));
u x, t = X x T t &where d2
dt2 T t = _c1 T t c2,
d2
dx2 X x = _c1 X x
Y además le pedimos que la integrepdsolve(ec1,u(x,t),HINT=X(x)*T(t),INTEGRATE);
(20)(20)
> >
> >
> >
(23)(23)
(5)(5)
(21)(21)
(19)(19)
(22)(22)
(24)(24)
> >
> >
u x, t = X x T t &where T t = _C1 e_c
1 c t
C _C2 eK _c
1 c t
, X x
= _C3 e_c
1 xC _C4 e
K _c1
x
Nos quedan cuatro constantes que deben ser resueltas de las condiciones iniciales y de las condiciones de frontera. Antes de determinarlas veamos como queda la soluciónsol:=pdsolve(ec1,u(x,t),HINT=X(x)*T(t),INTEGRATE,build);
sol := u x, t = e_c
1 x _C3 _C1 e
_c1
c tC
e_c
1 x _C3 _C2
e_c
1 c t
C_C4 _C1 e
_c1
c t
e_c
1 x
C_C4 _C2
e_c
1 x e
_c1
c t
empezamos con un cambio de variable de C1 a -k^2u:=simplify(subs(_c[1]=-k^2,rhs(sol))) assuming k>0;
u := _C3 _C1 eI k c t C x C _C3 _C2 eKI k c t K x C _C4 _C1 eI k c t K x
C _C4 _C2 eKI k c t C x
¿cómo se vería la solución completa?u2:=expand(convert(u,trig));
u2 := _C3 _C1 cos c k t cos k x K _C3 _C1 sin c k t sin k x
K I _C4 _C2 sin c k t cos k x K I _C4 _C2 cos c k t sin k x
C _C3 _C2 cos c k t cos k x C _C3 _C2 sin c k t sin k x
C I _C3 _C1 sin c k t cos k x K I _C4 _C1 cos c k t sin k x
C _C4 _C1 cos c k t cos k x C _C4 _C1 sin c k t sin k x
C I _C3 _C1 cos c k t sin k x C I _C4 _C1 sin c k t cos k x
C _C4 _C2 cos c k t cos k x K _C4 _C2 sin c k t sin k x
K I _C3 _C2 sin c k t cos k x C I _C3 _C2 cos c k t sin k x
Si el extremo x=0 está fijo entonces es claro que u3:=subs({cos(k*x)=0},u2);
u3 := K_C3 _C1 sin c k t sin k x K I _C4 _C2 cos c k t sin k x
C _C3 _C2 sin c k t sin k x K I _C4 _C1 cos c k t sin k x
C _C4 _C1 sin c k t sin k x C I _C3 _C1 cos c k t sin k x
K _C4 _C2 sin c k t sin k x C I _C3 _C2 cos c k t sin k x
Imponemos las condiciones de frontera u(x=0,t) = 0 y luego u(x =L,0) = 0 => k=n*Pi/L y luego la velocidad inicial = 0 u4:=subs({cos(k*x)=0,sin(c*k*t)=0,k=n*Pi/L},u3);
> >
(27)(27)
(25)(25)
> >
(5)(5)
(19)(19)
> >
(24)(24)
> >
(28)(28)
(26)(26)
u4 := KI _C4 _C2 cosc n p t
L sin
n p xL
K I _C4 _C1 cosc n p t
L sin
n p xL
C I _C3 _C1 cosc n p t
L sin
n p xL
C I _C3 _C2 cosc n p t
L sin
n p xL
factorizandou5:=factor(u4);
u5 := I cosc n p t
L sin
n p xL
_C1C _C2 _C3K _C4
Construimos los términos que se pueden expresar como una serieu6:=A[n]*select(has,u5,{sin,cos});
u6 := An cosc n p t
L sin
n p xL
Entonces
Entonces vamos a suponer que la forma inicial alguna forma inicial del pulso. Para ello evaluamos para t=0f :=piecewise(x<= L/2, 2*h*x/L, x>L/2, -2*h*x/L +2*h);
f :=
2 h xL
x %12
L
K2 h x
LC 2 h
12
L ! x
Vale decirL:=1; h:=0.1; c:=5;
L := 1
h := 0.1
c := 5
> >
(5)(5)
(19)(19)
> >
(24)(24)
(29)(29)
(30)(30)
> >
plot(f(x),x=0..1);
x0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
Por cierto si queremos hacer que MAPLE nos muestre como luce una ecuación hacemos algo asíec20:=Int(f*sin(n*Pi*x/L),x=0..L)=Int(subs(t=0,u6)*sin(n*Pi*x/L),x=0..L);
ec20 :=
0
1
0.2 x x %12
K0.2 xC 0.212
! x sin n p x dx =
0
1An cos 0 sin n p x
2dx
con lo cual utilizando la ortogonalidad de las funcinones senos y cosenosec2:=int(f*sin(n*Pi*x/L),x=0..L)=int(subs(t=0,u6)*sin(n*Pi*x/L),x=0..L);
ec2 :=0.01013211836 K3.141592654 cos 1.570796327 n nC 2. sin 1.570796327 n
n2
K1n2 0.01013211836 K3.141592654 cos 1.570796327 n nC 2. sin 3.141592654 n
> >
(31)(31)
(32)(32)
(5)(5)
(19)(19)
> >
(24)(24)
> >
> >
(30)(30)
> >
K 2. sin 1.570796327 n = K12
An cos n p sin n p K n p
n p
y despejamos AnA[n]:=solve(ec2,A[n]) assuming n::integer;
An :=0.04052847344 2. sin 1.570796327 n K 1. sin 3.141592654 n
n2
con lo cualu7:=Sum(u6,n=1..25);
u7 := >n = 1
25
1n2 0.04052847344 2. sin 1.570796327 n
K 1. sin 3.141592654 n cos 5 n p t sin n p x
#L:=1: h:=2: c:=5:animate(value(u7),x=0..L,t=0..160,frames=500,thickness=2,tickmarks=[4,3],scaling = constrained);
(34)(34)
(5)(5)
(19)(19)
> >
> >
(24)(24)
> >
(30)(30)
(33)(33)
> >
x0.5 1
0.00
una forma mas general de la posici'on inicialp:=8;
p := 8
fp :=piecewise(x<= L/p, h*x/(L/p), x>L/p, -h*x/(L-(L/p)) +h*L/(L-(L/p)));
fp :=0.8 x x %
18
K0.1142857143 xC 0.114285714318
! x
plot(fp(x),x=0..1);
(35)(35)
> >
> >
(5)(5)
(19)(19)
> >
> >
(24)(24)
(37)(37)
(30)(30)
(36)(36)
x0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
Repetimos los cálculos anteriores a ver cómo queda la funciónu6p:=Ap[n]*select(has,u5,{sin,cos});
u6p := Apn cos 5 n p t sin n p x
ec3:=int(fp*sin(n*Pi*x/L),x=0..L)=int(subs(t=0,u6p)*sin(n*Pi*x/L),x=0..L);
ec3 :=0.01013211836 K3.141592654 cos 0.3926990817 n nC 8. sin 0.3926990817 n
n2
K1n2 0.001447445481 K21.99114858 cos 0.3926990817 n n
C 8. sin 3.141592654 n K 8. sin 0.3926990817 n =
K12
Apn cos n p sin n p K n p
n p
Ap[n]:=solve(ec3,Ap[n]) assuming n::integer;
Apn :=1n2 4.000000000 10-20 1.244301977 109 cos 0.3926990817 n n
(39)(39)
> >
> >
(5)(5)
(19)(19)
> >
(24)(24)
(37)(37)
> >
> >
(30)(30)
(38)(38)
C 4.631825536 1018 sin 0.3926990817 n K 5.789781924 1017 sin 3.141592654 n
u7p:=Sum(u6p,n=1..25);
u7p := >n = 1
251n2 4.000000000 10-20 1.244301977 109 cos 0.3926990817 n n
C 4.631825536 1018 sin 0.3926990817 n K 5.789781924 1017 sin 3.141592654 n
cos 5 n p t sin n p x
animate(value(u7p),x=0..L,t=0..260,frames=500,thickness=2,tickmarks=[4,3],scaling = constrained);
x0.5 1
0.00
Si suponemos una forma inicial del pulso mas general, de la siguiente maneraff:=h*x^3*(L-x)/L^4;
ff := 0.1 x3 1K x
plot(ff(x),x=0..1);
> >
(41)(41)
> >
(5)(5)
(19)(19)
> >
(42)(42)
(24)(24)
(40)(40)
(37)(37)
(30)(30)
> >
x0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.010
u6f:=Af[n]*select(has,u5,{sin,cos});u6f := Afn cos 5 n p t sin n p x
ec4:=int(ff*sin(n*Pi*x/L),x=0..L)=int(subs(t=0,u6f)*sin(n*Pi*x/L),x=0..L);
ec4 := K1n5 0.0003267763643 31.00627668 n3 sin 3.141592654 n
C 59.21762641 n2 cos 3.141592654 n K 56.54866776 sin 3.141592654 n n
K 24. cos 3.141592654 n C 24. = K12
Afn cos n p sin n p K n p
n p
Af[n]:=solve(ec4,Af[n]) assuming n::integer;
Afn := K1n5 6.535527286 10-12 3.100627668 109 n3 sin 3.141592654 n
C 5.921762641 109 n2 cos 3.141592654 n K 5.654866776 109 sin 3.141592654 n n
K 2.400000000 109 cos 3.141592654 n C 2.400000000 109
> >
> >
(5)(5)
(19)(19)
> >
> >
(24)(24)
(37)(37)
(30)(30)
(44)(44)
> >
(43)(43)
u7f:=Sum(u6f,n=1..25);
u7f := >n = 1
25
K1n5 6.535527286 10-12 3.100627668 109 n3 sin 3.141592654 n
C 5.921762641 109 n2 cos 3.141592654 n K 5.654866776 109 sin 3.141592654 n n
K 2.400000000 109 cos 3.141592654 n C 2.400000000 109 cos 5 n p t sin n p x
animate(value(u7f),x=0..L,t=0..260,frames=500,thickness=2,tickmarks=[4,3],scaling = constrained);
x0.5 1
K0.01
0.00
0.01
restart: with(plots): assume(v>0,L>0):Ejemplo 3: Esta vez la cuerda (con los extremos fijos en x=0 y x=L) le vamos a imprimir un perfil de velocidades g(x) y una amplitud inicial f(x)f(x):=0: g(x):=piecewise(x<L/4,4*v*x/L,x<L/2,(4*v/L)*(L/2-x),x<L,0);
(45)(45)
> >
> >
(5)(5)
> >
> >
(37)(37)
(30)(30)
(44)(44)
> >
> >
(47)(47)
(46)(46)
> >
(19)(19)
(48)(48)
(24)(24)
> >
(43)(43)
g x :=
4 v~ xL~
x !14
L~
4 v~ 12
L~K x
L~x !
12
L~
0 x ! L~
Notese que se le imprime una velocidad a una parte de la cuerdau:=N->Sum(sin(n*Pi*x/L)*(a[n]*cos(n*Pi*c*t/L)+b[n]*sin(n*Pi*c*t/L)),n=1..N);
u := N/>n = 1
N
sinn p x
L an cos
n p c tL
C bn sinn p c t
L
En este caso, supondremos que para la parte temporal la expansión en series de Fourier completa incluyendo coeficientes pares e impares. Los cuales son las proyecciones de la función u(x,t) a lo largo delos vectores base. Entonces para t=0 la forma inicial de u(x,0) esa[n]:=simplify((2/L)*int(f(x)*sin(n*Pi*x/L),x=0..L));
an := 0
mientras que para un perfil de velocidades para t=0 tendremos que es el coeficiente bn el que interviene ¿por qué?b[n]:=simplify((2/(n*Pi*c))*int(g(x)*sin(n*Pi*x/L),x=0..L));
bn := K
8 L~ v~ sin12
n p K 2 sin14
n p
n3 p3 c
Siguiendo el mismo procedimiento uno desarrolla la serie hasta 25 términossol:=u(25);
sol := >n = 1
25
K
8 sinn p xL~
L~ v~ sin12
n p K 2 sin14
n p sinn p c t
L~
n3 p3 c
Evaluando las constantes que caracterizan al problema, tendremossol2:=subs({L=20,v=5,c=1},sol): vel:=diff(sol2,t):
graficamos el perfil de velocidades en t=0plot([subs({L=20,v=5,c=1},g(x)),eval(vel,t=0)],x=0..20,color=[blue,red],thickness=2,scaling=constrained,tickmarks=[4,4]);
> >
(5)(5)
(19)(19)
> >
> >
(24)(24)
(37)(37)
(30)(30)
(44)(44)
(43)(43)
x0 10 20
0
2
4
animate(sol2,x=0..20,t=0..50,frames=100,thickness=2,scaling=constrained,tickmarks=[4,3]);
> >
(49)(49)
(5)(5)
> >
> >
(37)(37)
> >
(30)(30)
(44)(44)
> >
(50)(50)
(19)(19)
(24)(24)
> >
(43)(43)
x10 20
K10
0
10
restart: with(plots):Como i, la utilizan los ingenieros para indicar intensidad, un imaginario puro lo vamos denotar por jinterface(imaginaryunit=j):
Ejemplo 4: La ecuación del TelegrafistaConsideremos al ecuación del Telegrafista (http://en.wikipedia.org/wiki/Telegrapher's_equations). Uno delos casos que esta ecuación describe es el de líneas de trasmisión pero también describe la propagación de un pulso de calor en materiales, cuando se considera una descripción relativista.
Su derivación va más o menos así. Consideremos un voltage variable V(x,t), una inductacia L, una capacitancia C, una resistencia R, y una pérdida G. Entonces, la variación de voltaje en la línea puede ser descrita como:eq1:=diff(V(x,t),x)=-R*I(x,t)-L*diff(I(x,t),t);
eq1 :=v
vx V x, t = KR I x, t KL
v
vt I x, t
Es decir, la caida de voltaje en la línea se debe a dos factores: la resistencia y la inductancia.
Por otro lado, la variación de la intensidad viene dada por:eq2:=diff(I(x,t),x)=-G*V(x,t)-C*diff(V(x,t),t);
(55)(55)
(57)(57)
> >
(51)(51)
(5)(5)
> >
> >
> >
(53)(53)
(37)(37)
(30)(30)
(44)(44)
> >
> >
(56)(56)
(54)(54)
> >
(50)(50)
> >
(19)(19)
> >
(24)(24)
(52)(52)
(43)(43)
eq2 :=v
vx I x, t = KG V x, t KC
v
vt V x, t
Derivando esas ecuaciones, respecto a x y respecto a t respectivamente, tendremoseq3:=diff(eq1,x); eq4:=diff(eq2,t);
eq3 := v2
vx2 V x, t = KR v
vx I x, t KL v2
vx vt I x, t
eq4 := v2
vx vt I x, t = KG
v
vt V x, t KC v2
vt2 V x, t
Estamos buscando una ecuación diferencial para V(x,t), por lo tanto debemos eliminar I(x,t), para ello lo despejamos de la ecuación (7) y (8b) para sustituirlos en la ecuación (8a). eq5:=subs({eq2,eq4},eq3);
eq5 := v2
vx2 V x, t = KR KG V x, t KC v
vt V x, t KL KG
v
vt V x, t
KC v2
vt2 V x, t
Acomodando un poco, tenemos la ecuación del telegrafista.TE:=collect(eq5,diff(V(x,t),t));
TE := v2
vx2 V x, t = C RCG L v
vt V x, t CL C v2
vt2 V x, t CR G V x, t
Es claro que si no hay resistencias ni pérdidas, el voltage cumple con una ecuación de onda, en la cual el
voltage se propaga con una velocidad c :=1
LCWE:=eval(TE,{R=0,G=0});
WE := v2
vx2 V x, t = L C v2
vt2 V x, t
y, curiosamente, si no existe inductancia ni pérdida, lo que obtenemos es la ecuación de difusión con un
coeficiente de difusión d :=1
RCDE:=eval(TE,{L=0,G=0});
DE := v2
vx2 V x, t = R C v
vt V x, t
Procedemos igual que en el primer caso, vamos a intuir una solución y la ajustamos (mediante unas variables) al problema. Es decir a las condiciones de borde e iniciales.ansatz:=V(x,t)=exp(-k*t)*f(alpha*x+beta*t);
ansatz := V x, t = eKk t f a xC b t
Ajustaremos tres constantes arbitrarias: k, a, y b.
Esta estrategia de uso de la intuición puede apoyarse en la capacidad de MAPLE para probar si una función es o no solución para una determinada ecuación.eq6:=pdetest(ansatz,TE);
(57)(57)
> >
> >
(5)(5)
> >
> >
(61)(61)
(58)(58)
(37)(37)
> >
(30)(30)
(44)(44)
> >
(60)(60)
(62)(62)
(50)(50)
(19)(19)
(59)(59)> >
> >
(24)(24)
(43)(43)
eq6 := KeKk t C L D 2 f a xC b t b2CC L f a xC b t k2 K 2 C L D f a x
C b t b kKC f a xC b t R kCC D f a xC b t R bKG L f a xC b t k
CG L D f a xC b t bCR G f a xC b t KD 2 f a xC b t a2
por inspecci'on si hacemos una elección inteligente de las constantes, entonces podemos simplificar apreciablemente esta ecuación.
Si b =a
L C y G =
R CL
tendremos
beta:=alpha/sqrt(L*C): G:=R*C/L: k:=R/L: ansatz2:=ansatz;
ansatz2 := V x, t = eK
R tL f a xC
a t
C L
Note que solo nos queda una constante arbitraria. Procedemos entonces a probar si V(x,t) es solución, o mejor, qué necesitamos para que esa forma funcional de V(x,t) sea solución. pdetest(ansatz2,TE);
0
¡ bingo ! Tenemos solución de la ecuación del telegrafista, una ecuación diferencial, lineal, de segundo orden que describe las variaciones de voltage a lo largo de una línea de trasmisión
Ejemplo 5: Volvamos a la ecuación de difusión para una barra de longitud L=3 y coeficiente de difusiónd=2. El sistema se mantiene a temperatura constante (0 grados) en sus extremos y se le aplica perfil de temperatura inicial T(x,0)= g(x).restart: with(plots): d:=2: L:=3:pde:=diff(T(x,t),t)=d*diff(T(x,t),x,x);
pde :=v
vt T x, t = 2 v2
vx2 T x, t
Igual que antes, para la cuerda vibrante, resolvámosla por separación de variablessol:=pdsolve(pde,HINT=X(x)*Y(t),INTEGRATE,build);
sol := T x, t = _C3 e_c
1 t 2
_C1 e_c
1 xC
_C3 e_c
1 t 2
_C2
e_c
1 x
De un solo envión, le hemos propuesto a MAPLE una solución por separación, le pedimos que la integre y, que finalmente nos la presente la solución armada.
Sin perder generalidad, podemos imponer particularizamos algunas de las constantes:T:=subs({_C3=1,_C1=A,_C2=B,_c[1]=-k^2},rhs(sol));
T := eKk2 t2 A e Kk2 xC
eKk2 t2 B
e Kk2 x
Hemos impuesto C3=1 y renombramos C1 y C2, como A y B respectivamente. Además hemos rebautizado _c1 = Kk2
> >
(57)(57)
(65)(65)
(5)(5)
> >
> >
> >
(37)(37)
> >
(30)(30)
(44)(44)
(63)(63)
(50)(50)
> >
(64)(64)
(19)(19)
(24)(24)
(66)(66)
> >
(43)(43)
Acomodando un poco másT2:=simplify(T,symbolic);
T2 := A ek I x K 2 k t CB eKk I x C 2 k t
Si queremos satisfacer las condiciones de frontera, entonces T(0,t) = 0, entonces B= -A, con lo cual T3:=evalc(subs(B=-A,T2));
T3 := 2 I A eK2 k2 t sin k x
Tal y como dijimos, en el otro extremo también lo conservamos a 0 grados. Entonces
A =K12
I y adicionalmente k :=13
m p
k:=m*Pi/L: T4:=subs(A=1/(2*I),T3);
T4 := eK
29
m2 p2 t sin
13
m p x
La solución general tendrá la forma
En general, para un perfil genérico de temperatura inicila, T(x,0)=g(x) , tendremos que calcular los coeficientes como lo hicimos en el caso de la cuerda vibrante. Es decir, a partir de la proyección del perfil a lo largo de las funciones base. Esto es
Cm =0
2 p
g x sin13
m p x dx
Si suponemos un perfil inicial de temperatura T x, 0 = 5 sen 4 p x K 3 sen 8 p x C 2 sen 10 p x ,
entonces sobreviven únicamente algunos términos de la serie,T5:=5*eval(T4,m=12)-3*eval(T4,m=24)+2*eval(T4,m=30);
T5 := 5 eK32 p2 t sin 4 p x K 3 eK128 p2 t sin 8 p x C 2 eK200 p2 t sin 10 p x
animate(T5,x=0..L,t=0..0.025,frames=100,numpoints=500,thickness=2,labels=["x","T"]);
(67)(67)
(57)(57)
(5)(5)
> >
> >
> >
(37)(37)
> >
(30)(30)
(44)(44)
(68)(68)
> >
(50)(50)
(19)(19)
(69)(69)
(24)(24)
(43)(43)
x1 2 3
T
K8
K6
K4
K2
0
2
4
6
8
Claramente, como conservamos los extremos a 0 grados, vamos enfriando la barra, hasta que alcanza la temperatura de los extremos.
Consideremos ahora un perfil diferente. Supongamos que la barra inicialmente se encuentra a 25 grados, entonces g(x) = 25 y los coeficientes seránC[m]:=(2/L)*Int(25*sin(m*Pi*x/L),x=0..L);
Cm :=23
0
3
25 sin13
m p x dx
IntegrandoC[m]:=(2/L)*int(25*sin(m*Pi*x/L),x=0..L) assuming m::integer;
Cm := K50 K1C K1 m
m p
con lo cual la temperatura será descrita por la serie infinita (infinita hasta el témino m=20 :-) )Temp:=Sum(C[m]*T4,m=1..20);
(70)(70)
(57)(57)
(5)(5)
> >
> >
(37)(37)
(30)(30)
> >
(44)(44)
(50)(50)
> >
(19)(19)
(69)(69)
(24)(24)
(43)(43)
Temp := >m = 1
20
K
50 K1C K1 m eK
29
m2 p2 t sin
13
m p x
m p
evaluándolaTemp:=value(Temp);
Temp :=100 e
K29
p2 t sin
13
p x
pC
1003
eK2 p2 t sin p x
pC
20 eK
509
p2 t sin
53
p x
p
C1007
eK
989
p2 t sin
73
p x
pC
1009
eK18 p2 t sin 3 p x
p
C10011
eK
2429
p2 t sin
113
p x
pC
10013
eK
3389
p2 t sin
133
p x
p
C203
eK50 p2 t sin 5 p x
pC
10017
eK
5789
p2 t sin
173
p x
p
C10019
eK
7229
p2 t sin
193
p x
p
y mirándolaanimate(Temp,x=0..L,t=0..2,frames=50,thickness=2,numpoints=500,labels=["x","T"]);
(57)(57)
(50)(50)
> >
(5)(5)
(19)(19)
> >
(69)(69)
> >
(24)(24)
(37)(37)
(30)(30)
(44)(44)
(43)(43)
x0 1 2 3
T
0
5
10
15
20
25
Miren que pasa cuando aumento los términos de la expansión de Fourier m=50Temp:=Sum(C[m]*T4,m=1..50);Temp:=value(Temp):animate(Temp,x=0..L,t=0..2,frames=100,thickness=2,numpoints=500,labels=["x","T"]);
Temp := >m = 1
50
K
50 K1C K1 m eK
29
m2 p2 t sin
13
m p x
m p
(57)(57)
> >
(5)(5)
> >
> >
(37)(37)
(30)(30)
(44)(44)
(50)(50)
(19)(19)
(69)(69)
(24)(24)
(43)(43)
x0 1 2 3
T
0
5
10
15
20
25
o m = 100Temp:=Sum(C[m]*T4,m=1..100);Temp:=value(Temp):animate(Temp,x=0..L,t=0..2,frames=200,thickness=2,numpoints=500,labels=["x","T"]);
Temp := >m = 1
100
K
50 K1C K1 m eK
29
m2 p2 t sin
13
m p x
m p
(57)(57)
(5)(5)
> >
> >
> >
(37)(37)
(30)(30)
(44)(44)
> >
(71)(71)
(50)(50)
(19)(19)
(69)(69)
(24)(24)
(43)(43)
x0 1 2 3
T
0
5
10
15
20
25
Obsérvese el fenómeno de Gibbs en los extremos.
¿Que pasaría le damos un pulso de calor en algún segmento de la barra ?
Para ello utilizaremos la distribución de Heaviside, TT:=5;LL:=4;d:=1;
TT := 5
LL := 4
d := 1
Heaviside(x -L/LL);plot(%,x=0..L);Heaviside(x -(L/LL+d));plot(%,x=0..L);
Heaviside xK34
(57)(57)
(5)(5)
> >
> >
(37)(37)
(30)(30)
(44)(44)
(50)(50)
(19)(19)
(69)(69)
(24)(24)
(43)(43)
x0 1 2 3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Heaviside xK74
(57)(57)
(5)(5)
> >
> >
(37)(37)
(30)(30)
(44)(44)
> >
(50)(50)
(19)(19)
(69)(69)
(24)(24)
(43)(43)
x0 1 2 3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Heaviside(x -L/LL)-Heaviside(x -(L/LL+d));plot(%,x=0..L);
Heaviside xK34
KHeaviside xK74
(57)(57)
(5)(5)
> >
> >
(37)(37)
(30)(30)
(44)(44)
(50)(50)
(19)(19)
(69)(69)
> >
(24)(24)
(43)(43)
x0 1 2 3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
g(x):= 25*(Heaviside(x -L/LL)-Heaviside(x -(L/LL+d)));plot(%,x=0..L);
g x := 25 Heaviside xK34
K 25 Heaviside xK74
> >
(57)(57)
> >
> >
(5)(5)
> >
> >
(37)(37)
(30)(30)
(44)(44)
(74)(74)
(75)(75)
(72)(72)
(50)(50)
(73)(73)
(19)(19)
> >
(69)(69)
(24)(24)
(43)(43)
x0 1 2 3
0
5
10
15
20
25
Los nuevos coeficientes seránC[m]:=(2/L)*Int(g(x)*sin(m*Pi*x/L),x=0..L);
Cm :=23
0
3
25 Heaviside xK34
K 25 Heaviside xK74
sin13
m p x dx
integrandoC[m]:=(2/L)*int(g(x)*sin(m*Pi*x/L),x=0..L) assuming m::integer;
Cm :=50 cos
14
m p
m pK
50 cos712
m p
m p
con lo cual la temperatura será descrita por la serie infinita (infinita hasta el témino m=20 :-) )Temp:=Sum(C[m]*T4,m=1..40);
Temp := >m = 1
40 50 cos14
m p
m pK
50 cos712
m p
m p eK
29
m2 p2 t sin
13
m p x
evaluándolaTemp:=value(Temp);
(57)(57)
(5)(5)
> >
> >
(37)(37)
(30)(30)
(44)(44)
(75)(75)
(50)(50)
(19)(19)
(69)(69)
(24)(24)
(43)(43)
Temp := K2514
3 e
K392
9 p2 t
sin143
p x
pC
103
2 eK50 p2 t sin 5 p x
p
K5021
2 eK98 p2 t sin 7 p x
pC
2522
3 e
K968
9 p2 t
sin223
p x
p
C2526
3 e
K1352
9 p2 t
sin263
p x
pK
5027
2 eK162 p2 t sin 9 p x
p
C5033
2 eK242 p2 t sin 11 p x
pK
2534
3 e
K2312
9 p2 t
sin343
p x
p
K2538
3 e
K2888
9 p2 t
sin383
p x
pC
5039
2 eK338 p2 t sin 13 p x
p
C252
3 e
K89
p2 t sin
23
p x
pK
503
2 eK2 p2 t sin p x
p
C509
2 eK18 p2 t sin 3 p x
pK
52
3 e
K200
9 p2 t
sin103
p x
pC K
2537
2p
K5037
cos
512
p
p eK
27389
p2 t sin
373
p x C158
eK
32009
p2 t sin
403
p x
p
K7528
eK
15689
p2 t sin
283
p x
pC K
2529
2p
C5029
cos
112
p
p eK
16829
p2 t sin
293
p x C2531
2p
K5031
cos
112
p
p eK
19229
p2 t sin
313
p x C7532
eK
20489
p2 t sin
323
p x
pC
(57)(57)
(5)(5)
> >
> >
> >
(37)(37)
(30)(30)
(44)(44)
(75)(75)
(50)(50)
(19)(19)
(69)(69)
(24)(24)
(43)(43)
K57
2p
K107
cos
512
p
p eK
24509
p2 t sin
353
p x C K2519
2p
C5019
cos
112
p
p eK
7229
p2 t sin
193
p x K154
eK
8009
p2 t sin
203
p x
p
C2523
2p
C5023
cos
512
p
p eK
10589
p2 t sin
233
p x C2p
C
2 cos512
p
p eK
12509
p2 t sin
253
p x C K2511
2p
K5011
cos
512
p
p eK
2429
p2 t sin
113
p x C K2513
2p
K5013
cos
512
p
p eK
3389
p2 t sin
133
p x C7516
eK
5129
p2 t sin
163
p x
p
C2517
2p
K5017
cos
112
p
p eK
5789
p2 t sin
173
p x
K754
eK
329
p2 t sin
43
p x
pC K
5 2p
C
10 cos112
p
p eK
509
p2 t sin
53
p x
C25 2p
C
50 cos512
p
p eK
29
p2 t sin
13
p x C257
2p
K507
cos
112
p
p eK
989
p2 t sin
73
p x C758
eK
1289
p2 t sin
83
p x
p
y mirándolaanimate(Temp,x=0..L,t=0..2,frames=50,thickness=2,numpoints=500,labels=["x","T"]);
(57)(57)
> >
(5)(5)
> >
> >
(37)(37)
(30)(30)
(44)(44)
(75)(75)
(50)(50)
(19)(19)
(69)(69)
(24)(24)
(43)(43)
x1 2 3
T
0
5
10
15
20
25
Supongamos ahora que calentamos puntualmente el medio de la barra. Para ello utilizamos la distribución delta de DiracDirac(x-L/2);plot(%,x=0..L);
Dirac xK32
(57)(57)
> >
(5)(5)
> >
> >
(77)(77)
> >
(37)(37)
(30)(30)
(44)(44)
(76)(76)
> >
(75)(75)
> >
(78)(78)
(50)(50)
(19)(19)
(79)(79)
(69)(69)
(24)(24)
(43)(43)
x1 2 3
K1
K0.5
0
0.5
1
Igual que siempre calculamos los coeficientesg(x):=Dirac(x-L/2); C[m]:=(2/L)*Int(g(x)*sin(m*Pi*x/L),x=0..L);
g x := Dirac xK32
Cm :=23
0
3
Dirac xK32
sin13
m p x dx
C[m]:=(2/L)*int(g(x)*sin(m*Pi*x/L),x=0..L) assuming m::integer;
Cm :=23
sin12
m p
Temp:=Sum(C[m]*T4,m=1..50);
Temp := >m = 1
5023
sin12
m p eK
29
m2 p2 t sin
13
m p x
Temp:=value(Temp);
(57)(57)
(5)(5)
> >
> >
(37)(37)
(30)(30)
(44)(44)
(75)(75)
(50)(50)
(19)(19)
(79)(79)
(69)(69)
(24)(24)
> >
(43)(43)
Temp :=23
eK
48029
p2 t sin
493
p x C23
eK242 p2 t sin 11 p x
C23
eK
27389
p2 t sin
373
p x C23
eK
33629
p2 t sin
413
p x
C23
eK450 p2 t sin 15 p x C23
eK
3389
p2 t sin
133
p x C23
eK
5789
p2 t sin
173
p x
C23
eK98 p2 t sin 7 p x C23
eK
12509
p2 t sin
253
p x C23
eK
16829
p2 t sin
293
p x
C23
eK
509
p2 t sin
53
p x C23
eK
29
p2 t sin
13
p x C23
eK18 p2 t sin 3 p x
K23
eK338 p2 t sin 13 p x K23
eK
36989
p2 t sin
433
p x
K23
eK
44189
p2 t sin
473
p x K23
eK
7229
p2 t sin
193
p x
K23
eK
10589
p2 t sin
233
p x K23
eK162 p2 t sin 9 p x
K23
eK
19229
p2 t sin
313
p x K23
eK
24509
p2 t sin
353
p x K23
eK2 p2 t sin p x
K23
eK
989
p2 t sin
73
p x K23
eK
2429
p2 t sin
113
p x K23
eK50 p2 t sin 5 p x
animate(Temp,x=0..L,t=0..2,frames=100,thickness=2,numpoints=500,labels=["x","T"]);
(80)(80)
(57)(57)
(5)(5)
> >
> >
> >
(81)(81)
(37)(37)
(30)(30)
(44)(44)
> >
(75)(75)
(50)(50)
> >
(19)(19)
(79)(79)
(69)(69)
(24)(24)
(43)(43)
x1 2 3
T
K2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Ejemplo 6: Ahora vamos a considerar el caso bidimensional.restart: with(plots):
El problema será calcular el potencial (¿eléctrico?) en una región (x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ a) sin cargas eléctricas, con las siguientes condiciones de frontera *) V(0,y)=V0 *) V(x,0)= 0 y V(x,a)=0
La ecuación de Laplace espde:=diff(V(x,y),x,x)+diff(V(x,y),y,y)=0;
pde := v2
vx2 V x, y Cv2
vy2 V x, y = 0
Iguale que los casos anteriores, le pedimos a MAPLE todosol:=pdsolve(pde,HINT=X(x)*Y(y),INTEGRATE,build);
sol := V x, y = _C3 sin _c1 y _C1 e_c
1 xC
_C3 sin _c1 y _C2
e_c
1 x
> >
(86)(86)
(30)(30)
(44)(44)
(50)(50)
> >
(19)(19)
(79)(79)
(69)(69)
> >
(24)(24)
(43)(43)
> >
(57)(57)
(83)(83)
> >
(5)(5)
> >
(81)(81)
(37)(37)
(85)(85)
(75)(75)
(84)(84)
> >
(82)(82)
C _C4 cos _c1 y _C1 e_c
1 xC
_C4 cos _c1 y _C2
e_c
1 x
Como siempre (ya ahora más) nos sobran varias constantes que debemos ajustar con las condiciones de frontera. Otra vez, renombramos la constante _c1sol:=simplify(subs(sqrt(_c[1])=k,rhs(sol)));
sol := _C3 sin k y _C1 e2 k xC _C4 cos k y _C1 e2 k xC _C3 sin k y _C2
C _C4 cos k y _C2 eKk x
si tenemos V(x,0)= 0 tenemos que anular los términos
cos k y . Adicionalmente, como V x, a = 0 tendremos que los términos sin k y = 0, con cual k =n pa
sol2:=subs({cos(k*y)=0,exp(2*k*x)=0,k=n*Pi/a},sol);
sol2 := _C3 sinn p y
a _C2 e
Kn p x
a
Acomodandosol3:=A*op(2,sol2)*op(4,sol2);
sol3 := A sinn p y
a eK
n p xa
Los coeficientes se pueden calcular haciendo x=0 y utilizando la ortogonalidad de las funciones senoA:=(2/a)*int(V0*sin(n*Pi*y/a),y=0..a) assuming n::integer;
A := K2 V0 K1 n K 1
p n
y la serie la cortamos (modestamente) en 100 términosa:=1: V0:=2: V:=sum(sol3,n=1..100);
V :=893
sin 93 p y eK93 p x
pC
895
sin 95 p y eK95 p x
pC
897
sin 97 p y eK97 p x
p
C899
sin 99 p y eK99 p x
pC
887
sin 87 p y eK87 p x
pC
889
sin 89 p y eK89 p x
p
C891
sin 91 p y eK91 p x
pC
879
sin 79 p y eK79 p x
pC
881
sin 81 p y eK81 p x
p
C883
sin 83 p y eK83 p x
pC
885
sin 85 p y eK85 p x
pC
873
sin 73 p y eK73 p x
p
C875
sin 75 p y eK75 p x
pC
877
sin 77 p y eK77 p x
pC
865
sin 65 p y eK65 p x
p
(57)(57)
(5)(5)
> >
> >
(81)(81)
(86)(86)
(37)(37)
(30)(30)
(44)(44)
(75)(75)
(50)(50)
(19)(19)
(79)(79)
(69)(69)
(24)(24)
> >
(43)(43)
C867
sin 67 p y eK67 p x
pC
869
sin 69 p y eK69 p x
pC
871
sin 71 p y eK71 p x
p
C857
sin 57 p y eK57 p x
pC
859
sin 59 p y eK59 p x
pC
861
sin 61 p y eK61 p x
p
C863
sin 63 p y eK63 p x
pC
849
sin 49 p y eK49 p x
pC
851
sin 51 p y eK51 p x
p
C853
sin 53 p y eK53 p x
pC
855
sin 55 p y eK55 p x
pC
843
sin 43 p y eK43 p x
p
C845
sin 45 p y eK45 p x
pC
847
sin 47 p y eK47 p x
pC
835
sin 35 p y eK35 p x
p
C837
sin 37 p y eK37 p x
pC
839
sin 39 p y eK39 p x
pC
841
sin 41 p y eK41 p x
p
C829
sin 29 p y eK29 p x
pC
831
sin 31 p y eK31 p x
pC
833
sin 33 p y eK33 p x
p
C821
sin 21 p y eK21 p x
pC
823
sin 23 p y eK23 p x
pC
825
sin 25 p y eK25 p x
p
C827
sin 27 p y eK27 p x
pC
815
sin 15 p y eK15 p x
pC
817
sin 17 p y eK17 p x
p
C819
sin 19 p y eK19 p x
pC
89
sin 9 p y eK9 p x
pC
811
sin 11 p y eK11 p x
p
C813
sin 13 p y eK13 p x
pC
8 sin p y eKp x
pC
83
sin 3 p y eK3 p x
p
C85
sin 5 p y eK5 p x
pC
87
sin 7 p y eK7 p x
p
graficando, obtendremoscontourplot(V,x=0..2,y=0..a,contours=[seq(i*V0/10,i=1..9)],thickness=2,grid=[50,50]);
(57)(57)
(5)(5)
> >
> >
(81)(81)
(86)(86)
(37)(37)
(30)(30)
(44)(44)
(75)(75)
(50)(50)
> >
(19)(19)
(79)(79)
(69)(69)
(24)(24)
(43)(43)
x0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
y
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
si hacemos un gráfico tridimensionalcontourplot3d(V,x=0..1,y=0..a,contours=[seq(i*V0/10,i=1..9)],grid=[60,60],shading=zhue,filled=true,axes=boxed,tickmarks=[2,2,2]);
(57)(57)
> >
(5)(5)
(87)(87)
> >
> >
(81)(81)
(86)(86)
(37)(37)
(30)(30)
(44)(44)
> >
(75)(75)
(88)(88)
(50)(50)
(19)(19)
(79)(79)
(89)(89)
(69)(69)
(24)(24)
> >
> >
(43)(43)
Ejemplo 7: ¿Una cama elástica?restart: with(plots): F:=v->diff(u(x,y,t),v,v): pde:=F(x)+F(y)=F(t)/c^2;
pde := v2
vx2 u x, y, t Cv2
vy2 u x, y, t =
v2
vt2 u x, y, t
c2
sol:=pdsolve(pde,HINT=X(x)*Y(y)*T(t));
sol := u x, y, t = X x Y y T t &where d2
dt2 T t = _c1 T t c2 C _c2 T t c2,
d2
dx2 X x = _c1 X x ,d2
dy2 Y y = _c2 Y y
Como se puede apreciar esta ecuación depende de dos variables espaciales y un temporal.
Al igual que en los casos anteriores, le pedimos a MAPLE que la resuelvasol:=pdsolve(pde,HINT=X(x)*Y(y)*T(t),INTEGRATE,build);
(57)(57)
(5)(5)
> >
> >
(81)(81)
(86)(86)
(37)(37)
(90)(90)
(30)(30)
(44)(44)
> >
(75)(75)
(50)(50)
(19)(19)
(79)(79)
(89)(89)
(69)(69)
(24)(24)
(43)(43)
sol := u x, y, t = e_c
2 y e
_c1
x _C5 _C3 _C1 sin c K_c1 K _c2 t
C e_c
2 y e
_c1
x _C5 _C3 _C2 cos c K_c1 K _c2 t
Ce
_c2
y _C5 _C4 _C1 sin c K_c1 K _c2 t
e_c
1 x
Ce
_c2
y _C5 _C4 _C2 cos c K_c1 K _c2 t
e_c
1 x
Ce
_c1
x _C6 _C3 _C1 sin c K_c1 K _c2 t
e_c
2 y
Ce
_c1
x _C6 _C3 _C2 cos c K_c1 K _c2 t
e_c
2 y
C_C6 _C4 _C1 sin c K_c1 K _c2 t
e_c
2 y e
_c1
xC
_C6 _C4 _C2 cos c K_c1 K _c2 t
e_c
2 y e
_c1
x
suplicamos una simplificaciónu1:=simplify(subs({_c[1]=-alpha^2,_c[2]=-beta^2},rhs(sol)),symbolic);
u1 := _C5 _C3 _C1 sin c a2C b
2 t eI a x C b y
C _C5 _C3 _C2 cos c a2C b
2 t eI a x C b y
C _C5 _C4 _C1 sin c a2C b
2 t eKI a x K b y
C _C5 _C4 _C2 cos c a2C b
2 t eKI a x K b y
C _C6 _C3 _C1 sin c a2C b
2 t eI a x K b y
C _C6 _C3 _C2 cos c a2C b
2 t eI a x K b y
C _C6 _C4 _C1 sin c a2C b
2 t eKI a x C b y
(91)(91)
> >
(86)(86)
(30)(30)
(44)(44)
> >
(50)(50)
(92)(92)
(19)(19)
(79)(79)
(89)(89)
(69)(69)
(24)(24)
(43)(43)
(57)(57)
> >
(5)(5)
> >
(81)(81)
(37)(37)
(90)(90)
(75)(75)
C _C6 _C4 _C2 cos c a2C b
2 t eKI a x C b y
y algo ganamos.
Como la velocidad inicial es cero tenemos que eliminar los términos en senou2:=remove(has,u1,sin);
u2 := _C5 _C3 _C2 cos c a2C b
2 t eI a x C b y
C _C5 _C4 _C2 cos c a2C b
2 t eKI a x K b y
C _C6 _C3 _C2 cos c a2C b
2 t eI a x K b y
C _C6 _C4 _C2 cos c a2C b
2 t eKI a x C b y
covertimos en funciones trigonométrica a ver si se ve mejoru3:=expand(convert(u2,trig));
u3 := _C5 _C3 _C2 cos c a2C b
2 t cos a x cos b y
K _C5 _C3 _C2 cos c a2C b
2 t sin a x sin b y
C I _C6 _C3 _C2 cos c a2C b
2 t sin a x cos b y
K I _C6 _C3 _C2 cos c a2C b
2 t cos a x sin b y
C _C5 _C4 _C2 cos c a2C b
2 t cos a x cos b y
C _C5 _C4 _C2 cos c a2C b
2 t sin a x sin b y
C I _C5 _C3 _C2 cos c a2C b
2 t cos a x sin b y
K I _C6 _C4 _C2 cos c a2C b
2 t sin a x cos b y
C _C6 _C3 _C2 cos c a2C b
2 t cos a x cos b y
C _C6 _C3 _C2 cos c a2C b
2 t sin a x sin b y
K I _C5 _C4 _C2 cos c a2C b
2 t sin a x cos b y
C I _C5 _C3 _C2 cos c a2C b
2 t sin a x cos b y
C _C6 _C4 _C2 cos c a2C b
2 t cos a x cos b y
K _C6 _C4 _C2 cos c a2C b
2 t sin a x sin b y
K I _C6 _C4 _C2 cos c a2C b
2 t cos a x sin b y
> >
> >
> >
(86)(86)
> >
(30)(30)
(44)(44)
> >
(50)(50)
(92)(92)
(19)(19)
(79)(79)
(89)(89)
(69)(69)
(24)(24)
(95)(95)
(43)(43)
> >
(57)(57)
(97)(97)
(5)(5)
> >
> >
(81)(81)
> >
(37)(37)
(90)(90)
(96)(96)
(75)(75)
(94)(94)
(93)(93)
(98)(98)
(99)(99)
C I _C5 _C4 _C2 cos c a2C b
2 t cos a x sin b y
Imponemos las condiciones de frontera en la cual los extremos están fijos. Para ello u(0,y,t)=u(x,0,t)=0
Entonces cos b y = 0 ; cos a x = 0 ; a =m pb
; b =n pb
u4:=factor(subs({cos(beta*y)=0,cos(alpha*x)=0,alpha=m*Pi/b,beta=n*Pi/b},u3));
u4 := Kcos c p m2 C n2
b2 t sinm p x
b sin
n p yb
_C2 _C5K _C6 _C3K _C4
u5:=B[m,n]*select(has,u4,{sin,cos});
u5 := Bm, n cos c p m2 C n2
b2 t sinm p x
b sin
n p yb
Si la deformación inicial de la superficie se modela comof:=A*x^2*y*(b-x)*(b-y)^3;
f := A x2 y bK x bK y 3
los coeficientes se calculan a partir de las relaciones de ortogonalidad.B[m,n]:=(2/b)^2*int(int(f*sin(m*Pi*x/b)*sin(n*Pi*y/b),x=0..b),y=0..b) assuming m::integer,n::integer;
Bm, n := K48 b7 A 2 K1 m p
2 n2 C n2 p
2C 8 K1 n C mC 4 K1 n C 8 K1 mC 1 K 4
m3 p8 n5
y se procede con una doble sumatoria Sum(Sum(u5,m=1..N),n=1..N);
>n = 1
N
>m = 1
N
K1
m3 p8 n5
48 b7 A 2 K1 m p2 n2 C n2 p
2C 8 K1 n C mC 4 K1 n C 8
K1 mC 1 K 4 cos c p m2 C n2
b2 t sinm p x
b sin
n p yb
Con lo cual se construye la función solución comoG:=N->sum(sum(u5,m=1..N),n=1..N);
G := N/>n = 1
N
>m = 1
N
u5
y hacemos la suma hasta 10 términosA:=1/5: b:=2: c:=1: N:=10: u:=G(N);
u := K204898415
K81 p
2C 8 cos
12
p 41 2 t sin12
p x sin92
p y
p8
(57)(57)
(5)(5)
> >
> >
(81)(81)
(86)(86)
(37)(37)
(90)(90)
(30)(30)
(44)(44)
(75)(75)
(50)(50)
(92)(92)
(19)(19)
(79)(79)
(89)(89)
(69)(69)
(24)(24)
(99)(99)
(43)(43)
K256
98415
243 p2K 24 cos
14
p 85 4 t sin p x sin92
p y
p8
K2048
2657205
K81 p2C 8 cos
12
p 45 2 t sin32
p x sin92
p y
p8
K32
98415
243 p2K 24 cos
14
p 97 4 t sin 2 p x sin92
p y
p8
K2048
12301875
K81 p2C 8 cos
12
p 53 2 t sin52
p x sin92
p y
p8
K256
2657205
243 p2K 24 cos
14
p 117 4 t sin 3 p x sin92
p y
p8
K2048
33756345
K81 p2C 8 cos
12
p 65 2 t sin72
p x sin92
p y
p8
K4
98415
243 p2K 24 cos
14
p 145 4 t sin 4 p x sin92
p y
p8
K2048
71744535
K81 p2C 8 cos
12
p 81 2 t sin92
p x sin92
p y
p8
K256
12301875
243 p2K 24 cos
14
p 181 4 t sin 5 p x sin92
p y
p8
K614484035
K49 p
2C 8 cos
12
p 25 2 t sin12
p x sin72
p y
p8
K768
84035
147 p2K 24 cos
14
p 53 4 t sin p x sin72
p y
p8
(57)(57)
(5)(5)
> >
> >
(81)(81)
(86)(86)
(37)(37)
(90)(90)
(30)(30)
(44)(44)
(75)(75)
(50)(50)
(92)(92)
(19)(19)
(79)(79)
(89)(89)
(69)(69)
(24)(24)
(99)(99)
(43)(43)
K2048
756315
K49 p2C 8 cos
12
p 29 2 t sin32
p x sin72
p y
p8
K96
84035
147 p2K 24 cos
14
p 65 4 t sin 2 p x sin72
p y
p8
K6144
10504375
K49 p2C 8 cos
12
p 37 2 t sin52
p x sin72
p y
p8
K256
756315
147 p2K 24 cos
14
p 85 4 t sin 3 p x sin72
p y
p8
K6144
28824005
K49 p2C 8 cos
12
p 49 2 t sin72
p x sin72
p y
p8
K12
84035
147 p2K 24 cos
14
p 113 4 t sin 4 p x sin72
p y
p8
K2048
20420505
K49 p2C 8 cos
12
p 65 2 t sin92
p x sin72
p y
p8
K768
10504375
147 p2K 24 cos
14
p 149 4 t sin 5 p x sin72
p y
p8
K2048
140625
K25 p2C 8 cos
12
p 17 2 t sin32
p x sin52
p y
p8
K96
15625
75 p2K 24 cos
14
p 41 4 t sin 2 p x sin52
p y
p8
K6144
1953125
K25 p2C 8 cos
12
p 25 2 t sin52
p x sin52
p y
p8
(57)(57)
(5)(5)
> >
> >
(81)(81)
(86)(86)
(37)(37)
(90)(90)
(30)(30)
(44)(44)
(75)(75)
(50)(50)
(92)(92)
(19)(19)
(79)(79)
(89)(89)
(69)(69)
(24)(24)
(99)(99)
(43)(43)
K256
140625
75 p2K 24 cos
14
p 61 4 t sin 3 p x sin52
p y
p8
K6144
5359375
K25 p2C 8 cos
12
p 37 2 t sin72
p x sin52
p y
p8
K12
15625
75 p2K 24 cos
14
p 89 4 t sin 4 p x sin52
p y
p8
K2048
3796875
K25 p2C 8 cos
12
p 53 2 t sin92
p x sin52
p y
p8
K768
1953125
75 p2K 24 cos
14
p 125 4 t sin 5 p x sin52
p y
p8
K256
10935
27 p2K 24 cos
14
p 45 4 t sin 3 p x sin32
p y
p8
K2048
138915
K9 p2C 8 cos
12
p 29 2 t sin72
p x sin32
p y
p8
K4
405
27 p2K 24 cos
14
p 73 4 t sin 4 p x sin32
p y
p8
K2048
295245
K9 p2C 8 cos
12
p 45 2 t sin92
p x sin32
p y
p8
K256
50625
27 p2K 24 cos
14
p 109 4 t sin 5 p x sin32
p y
p8
K614415625
K25 p
2C 8 cos
12
p 13 2 t sin12
p x sin52
p y
p8
(57)(57)
(5)(5)
> >
> >
(81)(81)
(86)(86)
(37)(37)
(90)(90)
(30)(30)
(44)(44)
(75)(75)
(50)(50)
(92)(92)
(19)(19)
(79)(79)
(89)(89)
(69)(69)
(24)(24)
(99)(99)
(43)(43)
K768
15625
75 p2K 24 cos
14
p 29 4 t sin p x sin52
p y
p8
K2048405
K9 p
2C 8 cos
12
p 5 2 t sin12
p x sin32
p y
p8
K256405
27 p
2K 24 cos
14
p 13 4 t sin p x sin32
p y
p8
K204810935
K9 p
2C 8 cos
12
p 9 2 t sin32
p x sin32
p y
p8
K32405
27 p
2K 24 cos
14
p 25 4 t sin 2 p x sin32
p y
p8
K204850625
K9 p
2C 8 cos
12
p 17 2 t sin52
p x sin32
p y
p8
C768625
cos
14
p 101 4 t sin12
p x sin 5 p y
p6
K288625
cos p 26 t sin p x sin 5 p y
p6
C2565625
cos
14
p 109 4 t sin32
p x sin 5 p y
p6
K36625
cos p 29 t sin 2 p x sin 5 p y
p6
C768
78125
cos14
p 125 4 t sin52
p x sin 5 p y
p6
K32
1875
cos p 34 t sin 3 p x sin 5 p y
p6
(57)(57)
(5)(5)
> >
> >
(81)(81)
(86)(86)
(37)(37)
(90)(90)
(30)(30)
(44)(44)
(75)(75)
(50)(50)
(92)(92)
(19)(19)
(79)(79)
(89)(89)
(69)(69)
(24)(24)
(99)(99)
(43)(43)
C768
214375
cos14
p 149 4 t sin72
p x sin 5 p y
p6
K9
1250
cos p 41 t sin 4 p x sin 5 p y
p6
C256
151875
cos14
p 181 4 t sin92
p x sin 5 p y
p6
K288
78125
cos p 50 t sin 5 p x sin 5 p y
p6
C125
cos
14
p 65 4 t sin12
p x sin 4 p y
p6
K910
cos p 17 t sin p x sin 4 p y
p6
C445
cos
14
p 73 4 t sin32
p x sin 4 p y
p6
K980
cos p 20 t sin 2 p x sin 4 p y
p6
C12625
cos
14
p 89 4 t sin52
p x sin 4 p y
p6
K130
cos p 25 t sin 3 p x sin 4 p y
p6
C12
1715
cos14
p 113 4 t sin72
p x sin 4 p y
p6
K9
640
cos p 32 t sin 4 p x sin 4 p y
p6
C4
1215
cos14
p 145 4 t sin92
p x sin 4 p y
p6
(57)(57)
(5)(5)
> >
> >
(81)(81)
(86)(86)
(37)(37)
(90)(90)
(30)(30)
(44)(44)
(75)(75)
(50)(50)
(92)(92)
(19)(19)
(79)(79)
(89)(89)
(69)(69)
(24)(24)
(99)(99)
(43)(43)
K9
1250
cos p 41 t sin 5 p x sin 4 p y
p6
C2561215
cos
14
p 45 4 t sin32
p x sin 3 p y
p6
K415
cos p 13 t sin 2 p x sin 3 p y
p6
C2565625
cos
14
p 61 4 t sin52
p x sin 3 p y
p6
K32405
cos p 18 t sin 3 p x sin 3 p y
p6
C256
15435
cos14
p 85 4 t sin72
p x sin 3 p y
p6
K130
cos p 25 t sin 4 p x sin 3 p y
p6
C256
32805
cos14
p 117 4 t sin92
p x sin 3 p y
p6
K32
1875
cos p 34 t sin 5 p x sin 3 p y
p6
K36625
cos p 29 t sin 5 p x sin 2 p y
p6
C25645
cos
14
p 37 4 t sin12
p x sin 3 p y
p6
K3215
cos p 10 t sin p x sin 3 p y
p6
C965
cos
14
p 17 4 t sin12
p x sin 2 p y
p6
(57)(57)
(5)(5)
> >
> >
(81)(81)
(86)(86)
(37)(37)
(90)(90)
(30)(30)
(44)(44)
(75)(75)
(50)(50)
(92)(92)
(19)(19)
(79)(79)
(89)(89)
(69)(69)
(24)(24)
(99)(99)
(43)(43)
K365
cos p 5 t sin p x sin 2 p y
p6
C3245
cos
14
p 25 4 t sin32
p x sin 2 p y
p6
K910
cos p 8 t sin 2 p x sin 2 p y
p6
C96625
cos
14
p 41 4 t sin52
p x sin 2 p y
p6
K415
cos p 13 t sin 3 p x sin 2 p y
p6
C96
1715
cos14
p 65 4 t sin72
p x sin 2 p y
p6
K980
cos p 20 t sin 4 p x sin 2 p y
p6
C32
1215
cos14
p 97 4 t sin92
p x sin 2 p y
p6
C768625
cos
14
p 29 4 t sin52
p x sin p y
p6
K3215
cos p 10 t sin 3 p x sin p y
p6
C7681715
cos
14
p 53 4 t sin72
p x sin p y
p6
K910
cos p 17 t sin 4 p x sin p y
p6
C2561215
cos
14
p 85 4 t sin92
p x sin p y
p6
(57)(57)
(5)(5)
> >
> >
(81)(81)
(86)(86)
(37)(37)
(90)(90)
(30)(30)
(44)(44)
(75)(75)
(50)(50)
(92)(92)
(19)(19)
(79)(79)
(89)(89)
(69)(69)
(24)(24)
(99)(99)
(43)(43)
K288625
cos p 26 t sin 5 p x sin p y
p6
C7685
cos
14
p 5 4 t sin12
p x sin p y
p6
K2885
cos p 2 t sin p x sin p y
p6
C25645
cos
14
p 13 4 t sin32
p x sin p y
p6
K365
cos p 5 t sin 2 p x sin p y
p6
K6144
5
Kp2C 8 cos
12
p 2 t sin12
p x sin12
p y
p8
K7685
3 p
2K 24 cos
14
p 5 4 t sin p x sin12
p y
p8
K204845
Kp
2C 8 cos
12
p 5 2 t sin32
p x sin12
p y
p8
K965
3 p
2K 24 cos
14
p 17 4 t sin 2 p x sin12
p y
p8
K6144625
Kp
2C 8 cos
12
p 13 2 t sin52
p x sin12
p y
p8
K25645
3 p
2K 24 cos
14
p 37 4 t sin 3 p x sin12
p y
p8
K61441715
Kp
2C 8 cos
12
p 25 2 t sin72
p x sin12
p y
p8
(57)(57)
(5)(5)
> >
> >
(81)(81)
(86)(86)
(37)(37)
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(44)(44)
(75)(75)
(50)(50)
(92)(92)
> >
(19)(19)
(79)(79)
(89)(89)
(69)(69)
(24)(24)
(99)(99)
(43)(43)
K125
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2K 24 cos
14
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p y
p8
K20481215
Kp
2C 8 cos
12
p 41 2 t sin92
p x sin12
p y
p8
K768625
3 p
2K 24 cos
14
p 101 4 t sin 5 p x sin12
p y
p8
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