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2016 年 10 月 7 日 （10 月 14 日訂正）

第 2 章：メカニズムデザイン

Tadelis Chapter 12, 松島第 4 回（および第６回の一部）

2.1. 不完備情報下の配分問題

Set of Allocations（配分集合） A, a A

例: 私的財： Single-unit: {0}A N , i A implies winner

Multi-Unit: Total supply Q

1( , ..., )na a a A , 1

n

ii

a Q

, 0ia

∴ 11

{ ( ,..., ) | , 0}n

nn i i

iA a a a a Q a

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Multi-Item: Set of Items (commodities) B

1( , ..., )na a a A ia B ：Package of commodities i ja a for i j

∴ 1 }{ ( , ..., ) | ,n i i jA a a a a B a a for i j 公共財： 数量、種類、質… その他 Side Payments Vector: ( ) n

i i Nt t R Agent i pays money it R . To whom?: Central planner (CP) （Mediator, Government, Seller…）

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Agent’s utility function（完備情報）

:iU A R R

( , )i iU a t is decreasing in payment it

( )iu m との違いに注意せよ！

完備情報下の配分問題：定義

( , ,( ) )i i NN A U

配分 a A 支払い it に対する効用は ( , )i iU a t

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Agent’s utility function（不完備情報）

:iU A R R

( , , )i iU a t is decreasing in payment it

( , )iu m との違いに注意せよ！

不完備情報の配分問題：定義

( , , ,( ) ,(( ( , )) ) )i i N i i NN A U

状態 における、配分 a A 支払い it に対する効用は ( , , )i iU a t

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Basic Assumptions on :iU A R R

Quasi-Linearity（準線形性）：所得効果ゼロ ( , , ) ( ( , ) , )i i i i iU a t W v a t

( , )iv a implies valuation function: Reservation Value for allocation a

(Independent of monetary payment it )

:iW R R

( , )iW y is increasing in y

Additional Assumption: ( , )iW y is independent of state ( ) ( , )i iW y W y

Risk Neutrality（リスク中立性）：Quasi-Linear とともに

( , , ) ( , )i i i iU a t v a t

＊リスク態度については神取「ミク力」６．６など

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Properties of Valuation Function iv

Private Values ( , ) ( , )i i iv a v a

Interdependent Values： ( , )iv a 例：アカロフのレモン：品質についての情報非対称性

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2.2. メカニズム

配分および支払い決定の手続き

分権的メカニズム（制度、ルール、契約……）

Mechanism ( , , )M g x ・ iM Set of messages (bids) for player i ・ ii N

M M

Set of message profiles

・ :g M A Allocation Rule ・ ( )i i Nx x , :ix M R Payment Rule

[Players announce independently and simultaneously a message profile ( )i i Nm m M ]

⇒ [Determination of Allocation ( )g m A and Payments ( )ix m R ]

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Mechanism

Mediator (Central planner, Auctioneer, Seller, Government)

Agents (Players, Bidders,

Buyers, Participants)

Agent 1 Agent 2

...... Agent n

Allocation ∈

Message Payment

Message Payment (m)

Message Payment (m)

Mediator’s Revenue ∑ (m)

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メカニズム＋配分問題と 不完備情報ゲームとの関係

配分問題をゲーム理論で分析する

Incomplete Information Game Associated with ( )i i NU and ( , , )M g x

( , , ( ) , , ( ( , )) ) )i i N i i NN M u

where

( , ) ( ( ), ( ), )i i iu m U g m x m

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2.3. メカニズムデザイン

・実証的（事実解明的、Descriptive, Positive）アプローチ メカニズム( , , )M g x とゲーム理論分析 「配分問題が実際にどのように決定されるか」

・規範的（Normative）アプローチ

「各 state にてどの配分が望ましいか（どう配分されるべきか）」 社会的選択ルール（Social Choice Function、SCF） :f A 各 state において配分 ( )f A が望ましい

メカニズムデザインの目的：

「ことなるゲーム比較」＝「ことなる制度（メカニズム）比較」 どのメカニズムがより望ましい？（ f を実現できる？）

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Implementation Problem（履行問題、実行問題） 社会的選択ルール f が示す望ましい配分は達成可能か？

どのようなメカニズムをデザインすればいいか？

Mechanism ( , , )M g x と Strategy Profile s S がみたすべき条件 ( ( )) ( )g s f for all

チェックすべき諸項目：

Weak Implementation: 戦略プロファイル s S はなんらかの均衡条件をみたしているか？ 優位戦略プロファイル、事後均衡、あるいはＢＮＥ？ Full (Unique) Implementation (Abreu-Matsushima Mechanism): s S 以外に別の均衡は存在するか？ それは社会的選択ルールの示す配分を達成するか？

参加制約： プレーヤーはこの配分問題にちゃんと参加してくれるだろうか？

＊（当面は）Weak Implementation をみたすメカニズムを考えよう！

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例：配分集合 A N Allocation i A implies winner 「ことなるゲーム」＝「ことなる制度（オークションルール）」

一位価格入札 ( , , )M g x

0 1[ , ]iM player i makes bid [0,1]im

( )g m im m for all i N Winner ( )g m makes highest bid

( ) ( )( )g m g mx m m Winner ( )g m pays his bid (pay-as-bid)

0( )ix m for ( )i g m Losers never pay

二位価格入札 ( , , )M g x

0 1[ , ]iM player i makes bid [0,1]im

( )g m im m for all i N Winner ( )g m makes highest bid

( ) ( )( ) maxg m ii g m

x m m

Winner ( )g m pays losers’ highest bid

0( )ix m for ( )i g m Losers never pay

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2.4. 直接メカニズム（Direct Mechanism）と 表明原理（Revelation Principle）

Direct Mechanism ( , )g x

プレイヤーは自身のタイプを表明： i iM for all i N

ii NM

: ii Ng A

:i ii Nx R

現実は Indirect Mechanism（ i iM ）しかし

「Indirect Mechanism によって達成できる社会的選択ルールは なんらかの Direct Mechanism によっても達成できる」

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表明原理（優位戦略ヴァージョン）

任意の Indirect Mechanism ˆ ˆ( , , )M g x を考えよう。

そのメカニズムには優位戦略プロファイル sが存在するとしよう。 直接メカニズム( , )g x を

For every ii N

ˆ ˆ( ) ( ( ))g g s and ˆ ˆ( ) ( ( ))i ix x s for all i N

と特定化しよう。つまり、直接メカニズム( , )g x と正直戦略プロファイル*s （

*( )i i is ）は、間接メ

カニズム ˆ ˆ( , , )M g x と優位戦略プロフアイル sとまったく同じ配分と所得移転をもたらすように直接メカ

ニズム( , )g x をデザインしよう。 このとき 正直戦略プロファイルはこの直接メカニズムにおいて優位戦略プロファイルになっている

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正直戦略プロファイルが優位戦略プロファイルになっている場合 その直接メカニズムは

優位戦略誘因整合性（Incentive Compatibility in Dominant Strategy） をみたしている、と呼ぶ事にしよう

Definition (Incentive Compatibility in Dominant Strategy):

A Direct Mechanism ( , )g x is said to be incentive compatible in dominant strategy if

for every i N , honest strategy *

is is a dominant strategy, i.e.,

for every , and every i N ,

( ( , ), ) ( , ) ( ( ), ) ( )i i i i i i i iv g x v g x for all jj N

.

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表明原理とは 「正直が優位戦略になっている直接メカニズム「だけ」を考えれば事足りる！」

ということを意味する定理： 定理 2-1（Revelation Principle in dominant strategy）： For every indirect mechanism ˆ ˆ( , , )M g x , and for every dominant strategy profile s in this mechanism ˆ ˆ( , , )M g x , the associated direct mechanism ( , )g x , which is specified as

ˆ ˆ( ) ( ( ))g g s and ˆ ˆ( ) ( ( ))x x s for all ii N

satisfies incentive compatibility in dominant strategy. 証明： sは ˆ ˆ( , , )M g x における優位戦略プロファイルだから: For every , every i N , and every jj N

,

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ( ( , ), ) ( ( , )) ( ( ( ), ) ( ( ))i i i i i i i iv g s x s v g s x s , which implies ( ( , ), ) ( , ) ( ( ), ) ( )i i i i i i i iv g x v g x .

Q.E.D.

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表明原理（BNE）

Definition: Bayesian Incentive Compatibility (Incentive Compatibility in Bayesian Nash Equilibrium, BIC)

Direct Mechanism ( , )g x is said to be Bayesian incentive compatible

if honest strategy profile * *( )i i Ns s is a BNE in the associated Bayesian game;

for every i N , i i , and i i ,

[ ( ( ), ( ), ) | ] [ ( ( , ), ( , ), ) | ]i i i i i i i i i iE U g x E U g x

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Revelation Principle in BNE

定理 2-2 (Revelation Principle in BNE):

For every indirect Mechanism ˆ ˆ( , , )M g x and every BNE s in associated Bayesian game, the direct mechanism ( , )g x defined by

ˆ ˆ( ) ( ( ))g g s and ˆ ˆ( ) ( ( ))x x s for all satisfies Bayesian incentive compatibility.

任意の間接メカニズムとＢＮＥに対して それと同じ配分と支払いを常にもたらす BIC direct mechanism が存在する

∴ BIC direct mechanism だけを考えればいい！

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宿題８： 1m 種類のアイテムを、複数の経済主体に配分する。各アイテム

{1,..., }h m の個数は {1,2, ...}hl である。配分集合を数理的に定義せよ。

宿題９： 二位価格入札において、 ( , ) 3i

i iv i とする。

（１） 優位戦略を求めよ。 （２） 優位戦略についての表明原理にもとづいて、二位価格入札と同値になる直接メカニ

ズムを示せ。 ＊宿題６，７，８，９を提出せよ。

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第２章：メカニズムデザイン：まとめ ・ 経済学の中心的な関心事は配分問題である。配分の決定は分権的なメカニズム（制度、ルール）を通じ

てなされる。経済主体（プレイヤー、Agent）は分権的に行動（メッセージ）を選択し、選択されたメ

ッセージプロファイルをもとに、配分ルールと支払いルールにしたがって、配分と支払いが確定する。 ・ 配分問題がメカニズムをつうじて解決される状況を不完備情報静学ゲームとして記述される。よって、

メカニズムによる配分問題の解決は、ゲーム理論によって、均衡概念（優位戦略、事後均衡、ＢＮＥ）

を使って分析される。 ・ メカニズムデザインは、事実解明アプローチ（メカニズム）と規範的アプローチ（社会的選択ルール）

の両面から考察される。メカニズムにともなう不完備情報ゲームのある均衡が社会的選択ルールの配

分を常に達成できる場合、weakly implementable という。 ・ 任意のメカニズム（間接）の均衡分析は Incentive Compatible な直接メカニズムにおきかえて考察でき

る（表明原理）。 ・ Quasi-linearity とリスク中立性を仮定する。

・ 次回は、効率的な配分ルールを達成する Dominant Strategy Incentive Compatible な Direct Mechanism

を考察する。その名は Groves Mechanism!

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補論：Side-Payments をともなわないメカニズムデザイン マッチング・マーケットデザイン

学校選択 進路振り分け 臓器交換移植：腎臓、肝臓、肺 その他 金銭を伴わない配分にこそ人生の重大決定が宿る！ 簡単な入門を「社会的選択理論と履行問題」にて紹介する予定