Series de Fourier !!!

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REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAREPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION

INSTITUTO UNIVERSITARIO TECNOLOGICO DEL ESTADO BOLIVAR INSTITUTO UNIVERSITARIO TECNOLOGICO DEL ESTADO BOLIVAR SECCION “10N” ELECTRICIDADSECCION “10N” ELECTRICIDAD

Serie de FourierSerie de Fourier

Febrero de 2010Febrero de 2010

Profesor:Wuilmer Colmenares

Integrantes

Kelvin Rodríguez C.I: 19.728.679

Christofer Pabuena C.I: 19.730.501

Julio Mongua C.I: 19.870.762

Arelis Prieto C.I: 17.839.682

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Series de FourierSeries de Fourier

ContenidoContenido

1. 1. Reseña HistóricaReseña Histórica

2.2. Definición y Formula Definición y Formula

3. Propiedades 3. Propiedades

4. Ejercicios 4. Ejercicios

Aplicaciones BásicasAplicaciones Básicas

Campo de Ing. Eléctrica Campo de Ing. Eléctrica

5.Referencias Bibliografiítas 5.Referencias Bibliografiítas

33

PreámbuloPreámbulo

El análisis de Fourier fue introducido en 1822 El análisis de Fourier fue introducido en 1822 en la “Théorie analyitique de la chaleur” para en la “Théorie analyitique de la chaleur” para tratar la solución de problemas de valores en la tratar la solución de problemas de valores en la frontera en la conducción del calor.frontera en la conducción del calor.

Más de siglo y medio después las aplicaciones Más de siglo y medio después las aplicaciones de esta teoría son muy bastas: Sistemas de esta teoría son muy bastas: Sistemas Lineales, Comunicaciones, Física moderna, Lineales, Comunicaciones, Física moderna, Electrónica, Óptica y por supuesto, Redes Electrónica, Óptica y por supuesto, Redes Eléctricas entre muchas otras.Eléctricas entre muchas otras.

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Reseña HistóricaReseña Histórica

Una Una serie de Fourierserie de Fourier es una serie infinita que es una serie infinita que converge puntualmente a una función continua converge puntualmente a una función continua y periódica. Las series de Fourier constituyen y periódica. Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinitesimal de dicha función en una suma infinitesimal de funciones senoidales mucho más simples funciones senoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras).frecuencias enteras).

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El nombre se debe al matemático francés El nombre se debe al matemático francés Jean-Jean-

Baptiste Joseph Fourier Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la que desarrolló la

teoría cuando estudiaba teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. la ecuación del calor.

Fue el primero que estudió tales series Fue el primero que estudió tales series

sistemáticamente, y publicando sus resultados sistemáticamente, y publicando sus resultados

iniciales en 1807 y 1811. Esta área de iniciales en 1807 y 1811. Esta área de

investigación se llama algunas veces Análisis investigación se llama algunas veces Análisis

armónico.armónico.

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Es una aplicación usada en muchas ramas de Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones,caso de los sistemas de telecomunicaciones,

77


a través del uso de los componentes a través del uso de los componentes

espectrales de frecuencia de una señal dada, espectrales de frecuencia de una señal dada,

se puede optimizar el diseño de un sistema se puede optimizar el diseño de un sistema

para la señal portadora del mismo. Refiérase al para la señal portadora del mismo. Refiérase al

uso de un analizador de espectros. Las series uso de un analizador de espectros. Las series

de Fourier tienen la forma:de Fourier tienen la forma:

Donde y se denominan coeficientes de Donde y se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la funciónFourier de la serie de Fourier de la función

88

Definición y FormulaDefinición y Formula

Si es una función (o señal) periódica y su Si es una función (o señal) periódica y su período es 2período es 2TT, la serie de Fourier asociada , la serie de Fourier asociada a es: a es:

Donde y son los coeficientes de Fourier que Donde y son los coeficientes de Fourier que toman los valores:toman los valores:

99

Definición y FormulaDefinición y Formula

Por la identidad de Euler, las fórmulas de arriba pueden expresarse también en su forma compleja:

Los coeficientes ahora serían:

1010

Cálculo Básicos de la Serie FourierCálculo Básicos de la Serie Fourier

Dada una función periódica f(t) ¿cómo se Dada una función periódica f(t) ¿cómo se obtiene su serie de Fourier?obtiene su serie de Fourier?

Obviamente, el problema se resuelve si Obviamente, el problema se resuelve si sabemos como calcular los coeficientes sabemos como calcular los coeficientes aa00,a,a11,a,a22,...,b,...,b11,b,b22,...,...

Esto se puede resolver considerando la Esto se puede resolver considerando la ortogonalidad de las funcionesortogonalidad de las funciones

])tn(senb)tncos(a[a)t(f1n

0n0n021

1111

Cálculo Básicos de Serie de FourierCálculo Básicos de Serie de Fourier

Multiplicando ambos miembros por cos(nMultiplicando ambos miembros por cos(n00t) e t) e

integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:

Similarmente, multiplicando por sen(nSimilarmente, multiplicando por sen(n00t) e t) e

integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:

Similarmente, integrando de –T/2 a T/2, Similarmente, integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:obtenemos:

,...3,2,1,0ndt)tncos()t(fa2/T

2/T0T

2n

,...3,2,1ndt)tn(sen)t(fb2/T

2/T0T

2n

2/T

2/TT2

0 dt)t(fa

1212

Cálculo Básicos de la Serie de Cálculo Básicos de la Serie de FourierFourier

El intervalo de integración no necesita ser El intervalo de integración no necesita ser simétrico respecto al origen.simétrico respecto al origen.

Como la ortogonalidad de las funciones seno y Como la ortogonalidad de las funciones seno y coseno no sólo se da en el intervalo de –T/2 a coseno no sólo se da en el intervalo de –T/2 a T/2, sino en cualquier intervalo que cubra un T/2, sino en cualquier intervalo que cubra un periodo completo:periodo completo:

(de t(de t00 a t a t00+T, con t+T, con t00 arbitrario) arbitrario)

las fórmulas anteriores pueden calcularse en las fórmulas anteriores pueden calcularse en cualquier intervalo que cumpla este requisito.cualquier intervalo que cumpla este requisito.

1313


EjemploEjemplo: Encontrar la Serie de Fourier para la : Encontrar la Serie de Fourier para la siguiente función de periodo T:siguiente función de periodo T:

SoluciónSolución: La expresión para f(t) en : La expresión para f(t) en –T–T//22<t<<t<TT//22 es es

1f(t)

t. . . -T/2

0

T/2 T . . .

-1

2T

2T

t0para1

0tpara1)t(f

1414


Coeficientes aCoeficientes ann::

2/T

2/T0T

2n dt)tncos()t(fa

2/T

00

0

2/T0T

2 dt)tncos(dt)tncos(

0

2/T

002/T

0

00

T2 )tn(sen

n

1)tn(sen

n

1

0npara0

1515

Cálculo Básicos de la Serie FourierCálculo Básicos de la Serie Fourier

CoeficienteCoeficiente aa00::

2/T

2/TT2

0 dt)t(fa

2/T

0

0

2/TT2 dtdt

0

2/T

2/T

0

T2 tt

0

1616


Coeficientes bCoeficientes bnn::

2/T

2/T0T

2n dt)tn(sen)t(fb

2/T

00

0

2/T0T

2 dt)tn(sendt)tn(sen

0

2/T

002/T

0

00

T2 )tncos(

n

1)tncos(

n

1

)1)n(cos())ncos(1(n

1

0npara))1(1n

2 n

1717


Serie de FourierSerie de Fourier: Finalmente la Serie de : Finalmente la Serie de Fourier queda como Fourier queda como

En la siguiente figura se muestran: la En la siguiente figura se muestran: la componente fundamental y los armónicos 3, componente fundamental y los armónicos 3, 5 y 7 así como la suma parcial de estos 5 y 7 así como la suma parcial de estos primeros cuatro términos de la serie para primeros cuatro términos de la serie para 00==, es decir, T=2:, es decir, T=2:

...)t5(sen)t3(sen)t(sen4

)t(f 051

031

0

1818


-1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Componentes de la Serie de Fourier

t

Co

mp

on

ente

s

Sumafundamentaltercer armónicoquinto armónicoseptimo armónico

1919

En el Campo de la Ing. EléctricaEn el Campo de la Ing. Eléctrica

Consideremos la serie de Fourier para una Consideremos la serie de Fourier para una función periodica f(t), con periodo T=2función periodica f(t), con periodo T=2//00..

Es posible obtener una forma alternativa Es posible obtener una forma alternativa usando las fórmulas de Euler:usando las fórmulas de Euler:

DondeDonde

])tn(senb)tncos(a[a)t(f1n

0n0n021

)ee()tn(sen

)ee()tncos(tjntjn

j21

0

tjntjn21

0

00

00

1j

2020


SustituyendoSustituyendo

Y usando el hecho de que 1/j=-jY usando el hecho de que 1/j=-j

Y definiendo:Y definiendo:

Lo cual es congruente con la fórmula para bLo cual es congruente con la fórmula para bnn, ,

ya que bya que b-n-n=-b=-bnn, ya que la función seno es , ya que la función seno es

impar.impar.

])ee(b)ee(a[a)t(f1n

tjntjnj21

ntjntjn

21

n021 0000

]e)jba(e)jba([a)t(f1n

tjnnn2

1tjnnn2

102

1 00

)jba(c),jba(c,ac nn21

nnn21

n021

0

2121


La serie se puede escribir comoLa serie se puede escribir como

O bien,O bien,

Es decir,Es decir,

)ecec(c)t(f1n

tjnn

tjnn0

00

1n

tjnn

1n

tjnn0

00 ececc)t(f

n

tjnn

0ec)t(f

2222


A la expresión obtenidaA la expresión obtenida

Se le llama Se le llama forma compleja de la serie de forma compleja de la serie de FourierFourier y sus coeficientes c y sus coeficientes cnn pueden obtenerse pueden obtenerse a partir de los coeficientes aa partir de los coeficientes ann, b, bnn como ya se como ya se dijo, o bien:dijo, o bien:

Para n=0, Para n=0, 1, 1, 2, 2, 3, ...3, ...

T

0

tjnT1

n dte)t(fc 0

n

tjnn

0ec)t(f

2323


Los coeficientes cLos coeficientes cnn son números complejos, son números complejos,

y también se pueden escribir en forma polar:y también se pueden escribir en forma polar:

Obviamente,Obviamente,

DondeDonde , ,

Para todo nPara todo n0,0,

Para n=0, cPara n=0, c00 es un número real: es un número real:

njnn ecc

njn

*nn eccc

2n

2n2

1n bac )

ab

arctan(n

nn

021

0 ac

2424


EjemploEjemplo. Encontrar la forma compleja de la . Encontrar la forma compleja de la serie de Fourier para la función ya tratada:serie de Fourier para la función ya tratada:

Solución 1Solución 1. Como ya se calcularon los . Como ya se calcularon los coeficientes de la forma trigonométrica (acoeficientes de la forma trigonométrica (ann y y bbnn):a):ann=0 para todo n y=0 para todo n y

1f(t)

t. . . -T/2

0

T/2 T . . .

-1

ntodopara])1(1[b nn2

n

2525


Podemos calcular los coeficientes cPodemos calcular los coeficientes cnn de: de:

Entonces la Serie Compleja de Fourier Entonces la Serie Compleja de Fourier quedaqueda

])1(1[j]jba[c nn2

21

nn21

n

])1(1[jc nn1

n

...)eee

eee(...j)t(ft5j

51t3j

31tj

tjt3j31t5j

512

000

000

2626


Solución 2Solución 2. También podemos calcular los . También podemos calcular los coeficientes ccoeficientes cnn mediante la integral mediante la integral

T

0

tjnT1

n dte)t(fc 0

)dtedte(T

2/T

tjn2/T

0

tjnT1 00

)ee(2/T

Ttjn

jn1

0

2/Ttjn

jn1

T1 0

o

0

o

)]ee()1e[( 2/TjnTjn2/TjnTjn

1 000

o

2727


Como Como 00T=2T=2 y además y además

Lo cual coincide con el resultado ya Lo cual coincide con el resultado ya obtenido.obtenido.

jsencose j

)])1(1()1)1[(c nnTjn

1n o

])1(1[j nTn2o

])1(1[j nn1

2828


TareaTarea: Calcular los coeficientes c: Calcular los coeficientes cnn para la para la

siguiente función de periodo 2siguiente función de periodo 2..a)a) A partir de los coeficientes aA partir de los coeficientes ann,b,bnn

b)b) Directamente de la integralDirectamente de la integral

-6 -4 -2 0 2 4 6-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Senoidal rectificada de media onda

t

f(t)

2929

ReferenciasReferencias Bibliograficas Bibliograficas

httphttp://://www.math2www.math2..orgorg//mathmath//advancedadvanced/es-/es-fourier.htmfourier.htm

http://mwt.e-technik.uni-ulm.de/lehre/basic_mathematics/http://mwt.e-technik.uni-ulm.de/lehre/basic_mathematics/fourier_es/node2.php3fourier_es/node2.php3

http://www.geocities.com/informal8m/Historiamates.htmhttp://www.geocities.com/informal8m/Historiamates.htm

http://www.mor.itesm.mx/~rfernand/SeriFou.dochttp://www.mor.itesm.mx/~rfernand/SeriFou.doc

http://www.mor.itesm.mx/~rfernand/SeriFou.dochttp://www.mor.itesm.mx/~rfernand/SeriFou.doc

Glyn James,David Burley(2002). (Glyn James,David Burley(2002). (http://http://books.google.co.ve/books?idbooks.google.co.ve/books?id=R7Ryiml5Yd8C&pg=PA281&dq==R7Ryiml5Yd8C&pg=PA281&dq=series+de+fourier+matematica&cdseries+de+fourier+matematica&cd=1#v==1#v=onepage&q&fonepage&q&f=false=false. ). )

-Consultado el 18 de abril de 2010.-Consultado el 18 de abril de 2010.

3030

Referencias BibliograficasReferencias Bibliograficas

Tom M. Apostol,Enrique Linés Escardó (2006).Tom M. Apostol,Enrique Linés Escardó (2006). ( (httphttp://://books.google.co.vebooks.google.co.ve//books?idbooks?id==aaiyKfviI2gCaaiyKfviI2gC&&pgpg=PA373&=PA373&dqdq=series+de+=series+de+fourierfourier++matematica&cdmatematica&cd=2=2#v#v==onepage&q&fonepage&q&f==falsefalse))-Consultado el 18 de abril de 2010.-Consultado el 18 de abril de 2010.Luis Manuel Sánchez Ruiz, Matilde Pilar Legua Fernández,Matilde Luis Manuel Sánchez Ruiz, Matilde Pilar Legua Fernández,Matilde Pilar Legua Fernández (2000). Pilar Legua Fernández (2000). http://books.google.co.ve/books?id=5L33-http://books.google.co.ve/books?id=5L33-4PrNAYC&pg=PA199&dq=series+de+fourier+matematica&cd=4#v=4PrNAYC&pg=PA199&dq=series+de+fourier+matematica&cd=4#v=onepage&q&f=falseonepage&q&f=false-Consultado el 18 de abril de 2010.-Consultado el 18 de abril de 2010.[http://cnx.org/content/m12897/latest/][http://cnx.org/content/m12897/latest/][http://translate.google.co.ve/translate?hl=es&langpair=en[http://translate.google.co.ve/translate?hl=es&langpair=en%7Ces&u=http://mathstat.carleton.ca/~amingare/calculus/%7Ces&u=http://mathstat.carleton.ca/~amingare/calculus/Exercises-Fourier-Series.pdf]Exercises-Fourier-Series.pdf]

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