Series de Fourier - 02
Transcript of Series de Fourier - 02
-
ANALISIS MATEMATICO IV
Ing. CIP Jaime D. Sandoval Ballarte
CIP N 85397
ELEMENTOS FINITOS
SERIES DE FOURIER - 2
-
7. Fenmeno de Gibbs
8. Forma Compleja de las Series de Fourier
9. Espectros de frecuencia discreta
10. Potencia y Teorema de Parseval
11. De la serie a la Transformada de Fourier.
12. Obtencin de la serie de Fourier usando FFT
13. Espectro de Frecuencia y medidores digitales
-
Simetras y Coeficientes de Fourier
Por ejemplo, la seal cuadrada, ya analizada en un ejemplo previo:
Es una funcin con simetra de de onda impar, por ello su serie de Fourier slo contiene trminos seno de frecuencia impar:
Series de Fourier. 3
1 f(t)
t . . . -T/2
0
T/2 T . . .
-1
...)t5(sen)t3(sen)t(sen4)t(f 0510310
-
Fenmeno de Gibbs
Si la serie de Fourier para una funcin f(t) se trunca para lograr una aproximacin en suma finita de senos y cosenos, es natural pensar que a medida que agreguemos ms armnicos, la sumatoria se aproximar ms a f(t).
Esto se cumple excepto en las discontinuidades de f(t), en donde el error de la suma finita no tiende a cero a medida que agregamos armnicos.
Por ejemplo, consideremos el tren de pulsos anterior:
Series de Fourier. 4
-
Fenmeno de Gibbs
Series de Fourier. 5
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 1 armnico
-
Fenmeno de Gibbs
Series de Fourier. 6
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 3 armnicos
-
Fenmeno de Gibbs
Series de Fourier. 7
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 5 armnicos
-
Fenmeno de Gibbs
Series de Fourier. 8
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 7 armnicos
-
Fenmeno de Gibbs
Series de Fourier. 9
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 13 armnicos
-
Fenmeno de Gibbs
Series de Fourier. 10
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 50 armnicos
-
Fenmeno de Gibbs
Series de Fourier. 11
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 100 armnicos
-
FORMA COMPLEJA DE LA
SERIE DE FOURIER
Ing. Jaime D. Sandoval Ballarte
-
Forma Compleja de la Serie de
Fourier
Consideremos la serie de Fourier para una funcin
periodica f(t), con periodo T=2/0.
Es posible obtener una forma alternativa usando las
frmulas de Euler:
Donde
Series de Fourier. 13
])tn(senb)tncos(a[a)t(f1n
0n0n021
)ee()tn(sen
)ee()tncos(
tjntjn
j21
0
tjntjn
21
0
00
00
1j
-
Forma Compleja de la Serie de Fourier
Sustituyendo
Y usando el hecho de que 1/j=-j
Y definiendo:
Lo cual es congruente con la frmula para bn,
ya que b-n=-bn, ya que la funcin seno es impar. Series de Fourier. 14
])ee(b)ee(a[a)t(f1n
tjntjn
j21
n
tjntjn
21
n021 0000
]e)jba(e)jba([a)t(f1n
tjn
nn21tjn
nn21
021 00
)jba(c),jba(c,ac nn21
nnn21
n021
0
-
Forma Compleja de la Serie de
Fourier
La serie se puede escribir como
O bien,
Es decir,
Series de Fourier. 15
)ecec(c)t(f1n
tjn
n
tjn
n000
1n
tjn
n
1n
tjn
n000 ececc)t(f
n
tjn
n0ec)t(f
-
Forma Compleja de la Serie de Fourier
A la expresin obtenida
Se le llama forma compleja de la serie de Fourier y sus coeficientes cn pueden obtenerse a partir de los coeficientes an, bn como ya se dijo, o bien:
Para n=0, 1, 2, 3, ...
Series de Fourier. 16
T
0
tjn
T1
n dte)t(fc0
n
tjn
n0ec)t(f
-
Forma Compleja de la Serie de
Fourier
Los coeficientes cn son nmeros complejos, y tambin se pueden
escribir en forma polar:
Obviamente,
Donde,
Para todo n0,
Para n=0, c0 es un nmero real:
Series de Fourier. 17
nj
nn ecc
nj
n
*
nn eccc
2
n
2
n21
n bac )a
barctan(
n
nn
021
0 ac
-
Forma Compleja de la Serie de
Fourier
Ejemplo. Encontrar la forma compleja de la serie de Fourier para la funcin ya tratada:
Solucin 1. Como ya se calcularon los coeficientes de la forma trigonomtrica (an y bn):
an=0 para todo n
y
Series de Fourier. 18
1 f(t)
t . . . -T/2
0
T/2 T . . .
-1
ntodopara])1(1[b nn2
n
-
Forma Compleja de la Serie de
Fourier
Podemos calcular los coeficientes cn de:
Entonces la Serie Compleja de Fourier queda
Series de Fourier. 19
])1(1[j]jba[c nn2
21
nn21
n
])1(1[jc nn1
n
...)eee
eee(...j)t(f
t5j
51t3j
31tj
tjt3j
31t5j
512
000
000
-
Forma Compleja de la Serie de
Fourier
Solucin 2. Tambin podemos calcular los coeficientes cn mediante la integral
Series de Fourier. 20
T
0
tjn
T1
n dte)t(fc0
)dtedte(
T
2/T
tjn
2/T
0
tjn
T1 00
)ee(2/T
T
tjn
jn1
0
2/T
tjn
jn1
T1 0
o
0
o
)]ee()1e[(2/TjnTjn2/Tjn
Tjn1 000
o
-
Forma Compleja de la Serie de
Fourier
Como 0T=2 y adems
Lo cual coincide con el resultado ya obtenido.
Series de Fourier. 21
jsencose j
)])1(1()1)1[(c nnTjn
1n o
])1(1[j nTn
2
o
])1(1[j nn1
-
Forma Compleja de la Serie de
Fourier
Tarea: Calcular los coeficientes cn para la siguiente funcin de
periodo 2.
a) A partir de los coeficientes an,bn b) Directamente de la integral
Series de Fourier. 22
-6 -4 -2 0 2 4 6 -0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Senoidal rectificada de media onda
t
f(t)
-
Espectros de Frecuencia Discreta
A la grfica de la magnitud de los coeficientes cn contra la frecuencia angular de la componente correspondiente se le llama el espectro de amplitud de f(t). A la grfica del ngulo de fase n de los coeficientes cn contra , se le llama el espectro de fase de f(t). Como n slo toma valores enteros, la frecuencia angular =n0 es una variable discreta y los espectros
mencionados son grficas discretas.
Series de Fourier. 23
-
Espectros de Frecuencia Discreta
Dada una funcin peridica f(t), le corresponde una y
slo una serie de Fourier, es decir, le corresponde un
conjunto nico de coeficientes cn.
Por ello, los coeficientes cn especifican a f(t) en el
dominio de la frecuencia de la misma manera que f(t)
especifica la funcin en el dominio del tiempo.
Series de Fourier. 24
-
Espectros de Frecuencia Discreta
Ejemplo. Para la funcin ya analizada:
Se encontr que
Por lo tanto,
Series de Fourier. 25
1 f(t)
t . . . -T/2
0
T/2 T . . .
-1
])1(1[jc nn1
n
])1(1[c nn1
n
-
Espectros de Frecuencia Discreta
El espectro de amplitud se muestra a continuacin
Observacin: El eje horizontal es un eje de frecuencia,
(n=nmero de armnico = mltiplo de 0).
Series de Fourier. 26
-30 -20 -10 0 10 20 30 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7 Espectro de Amplitud de f(t)
n
C
n
Frecuencia negativa (?) Frecuencia
-
Espectros de Frecuencia Discreta
Tarea. Dibujar el espectro de amplitud para la
funcin senoidal rectificada de onda.
Series de Fourier. 27
-
TEOREMA DE PARSERVAL
SERIE DE FOURIER
-
Potencia y Teorema de Parseval
El promedio o valor medio de una seal
cualquiera f(t) en un periodo dado (T) se puede
calcular como la altura de un rectngulo que
tenga la misma rea que el rea bajo la curva de
f(t)
Series de Fourier. 29
1 f(t)
t
h=Altura
promedio
T
0
dt)t(fArea
T
Area=Th
-
Potencia y Teorema de Parseval
De acuerdo a lo anterior, si la funcin peridica f(t)
representa una seal de voltaje o corriente, la potencia
promedio entregada a una carga resistiva de 1 ohm en
un periodo est dada por
Si f(t) es peridica, tambin lo ser [f(t)]2 y el promedio
en un periodo ser el promedio en cualquier otro
periodo.
Series de Fourier. 30
2/T
2/T
2
T1 dt)]t(f[
-
Potencia y Teorema de Parseval
El teorema de Parseval nos permite calcular la
integral de [f(t)]2 mediante los coeficientes com-
plejos cn de Fourier de la funcin peridica f(t):
O bien, en trminos de los coeficientes an, bn:
Series de Fourier. 31
n
2
n
2/T
2/T
2
T1 cdt)]t(f[
1n
2
n
2
n212
041
2/T
2/T
2
T1 )ba(adt)]t(f[
-
Potencia y Teorema de Parseval
Una consecuencia importante del teorema de Parseval es el siguiente resultado: El valor cuadrtico medio de una funcin peridica f(t) es igual a la suma de los valores cuadrticos medios de sus armnicos, es decir, Donde Cn es la amplitud del armnico n-simo y C0 es la componente de directa.
Series de Fourier. 32
1n
2
n2
0
2/T
2/T
2
T1
2
CCdt)]t(f[
-
Potencia y Teorema de Parseval
Para aclarar el resultado anterior es conveniente encontrar la relacin entre los coeficientes complejos cn de la serie
Y los coeficientes reales Cn de la serie Donde Cn es la amplitud del armnico n-simo y C0 es la componente de directa.
Series de Fourier. 33
n
tjn
n0ec)t(f
1n
n0n0 )tncos(CC)t(f
-
Potencia y Teorema de Parseval
Por un lado
Mientras que
Entonces, Por lo tanto,
Adems, para el armnico Su valor rms es , por lo tanto su valor cuadrtico medio es
Para la componente de directa C0, su valor rms es C0, por lo tanto su valor cuadrtico medio ser C0
2.
Series de Fourier. 34
,baC 2n2
nn
2
n
2
n21
n bac
n21
n Cc 2
n41
2
n Cc
)tncos(C)t(f n0nn 2/Cn
2/C2n
-
Potencia y Teorema de Parseval
Ejemplo. Calcular el valor cuadrtico medio de
la funcin f(t):
Solucin.
Del teorema de Parseval
y del ejemplo anterior
sustituyendo
Series de Fourier. 35
1 f(t)
t . . . -T/2
0
T/2 T . . .
-1
n
2
n
2/T
2/T
2
T1 cdt)]t(f[
])1(1[c nn1
n
...49
1
25
1
9
11
8c
2n
2
n
-
Potencia y Teorema de Parseval
La serie numrica obtenida converge a
Por lo tanto,
Como era de esperarse.
Series de Fourier. 36
2337.1...49
1
25
1
9
11
1)2337.1(8
cdt)]t(f[2
n
2
n
2/T
2/T
2
T1
-
Potencia y Teorema de Parseval
Tarea.
Calcular el valor cuadrtico medio para la seal
senoidal rectificada de media onda de periodo
2.
Series de Fourier. 37
-
TRANSFORMADA DE
FOURIER
Ing. Jaime D. Sandoval B.
-
De la Serie a la Transformada de
Fourier
La serie de Fourier nos permite obtener una
representacin en el dominio de la frecuencia para
funciones peridicas f(t).
Es posible extender de alguna manera las series de
Fourier para obtener el dominio de la frecuencia de
funciones no peridicas?
Consideremos la siguiente funcin periodica de periodo
T
Series de Fourier. 39
-
De la Serie a la Transformada de
Fourier
Tren de pulsos de amplitud 1, ancho p y periodo
T:
Series de Fourier. 40
1 f(t)
t
. . . -T -T/2 0
T/2
T . . .
p
-p/2 p/2
2T
2
p
2
p
2
p
2
p
2T
t0
t1
t0
)t(f
-
De la Serie a la Transformada de
Fourier
Los coeficientes de la Serie Compleja de Fourier en este
caso resultan puramente reales:
El espectro de frecuencia correspondiente lo obtenemos
(en este caso) graficando cn contra =n0.
Series de Fourier. 41
)n(
)n(sen)(c
2
p
0
2
p
0T
p
n
-
De la Serie a la Transformada de
Fourier
Espectro del tren de pulsos para p=1, T=2
Series de Fourier. 42
-60 -40 -20 0 20 40 60-0.2
0
0.2
0.4
0.6
w=nw0
cn
-
Si el periodo del tren de pulsos aumenta:
Series de Fourier. 43
-20 -10 0 10 20 0
0.5
1
1.5
p=1, T=2
t
f(t)
t -20 -10 0 10 20 0
0.5
1
1.5
p=1, T=5
f(t)
-20 -10 0 10 20 0
0.5
1
1.5
p=1, T=10
t
f(t)
-20 -10 0 10 20 0
0.5
1
1.5
p=1, T=20
t
f(t)
-
De la Serie a la Transformada de
Fourier
En el lmite cuando T, la funcin deja de ser
peridica:
Qu pasa con los coeficientes de la serie de
Fourier?
Series de Fourier. 44
-20 -10 0 10 20 0
0.5
1
1.5
p=1, T=
t
f(t)
-
De la Serie a la Transformada de Fourier
Series de Fourier. 45
-50 0 50 -0.1
0
0.1
0.2
0.3
p=1, T=5
-50 0 50 -0.05
0
0.05
0.1
0.15
p=1, T=10
-50 0 50 -0.02
0
0.02
0.04
0.06 p=1, T=20
-50 0 50 -0.2
0
0.2
0.4
0.6 p=1, T=2
=n0
cn
-
De la Serie a la Transformada de
Fourier
Si hace T muy grande (T): El espectro se
vuelve continuo!
Series de Fourier. 46
-
De la Serie a la Transformada de
Fourier El razonamiento anterior nos lleva a reconsiderar la expresin de una funcin f(t) no peridica en el dominio de la frecuencia, no como una suma de armnicos de frecuencia n0, sino como una funcin continua de la frecuencia . As, la serie Al cambiar la variable discreta n0 (cuando T) por la variable continua , se transforma en una integral de la siguiente manera:
Series de Fourier. 47
n
tjn
n0ec)t(f
-
Como
La serie queda
O bien,
cuando T, n0 y 0d y la sumatoria
se convierte en
Series de Fourier. 48
n
tjn
2/T
2/T
tjn
T1 00 edte)t(f)t(f
2/T
2/T
tjn
T1
n dte)t(fc0
n
tjn
0
2/T
2/T
tjn
21 00 edte)t(f)t(f
dedte)t(f)t(f tjtj
21
-
De la Serie a la Transformada de
Fourier Es decir,
Donde
Estas expresiones nos permiten calcular la expresin F() (dominio de la frecuencia) a partir de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa
Series de Fourier. 49
de)(F)t(ftj
21
dte)t(f)(F tj
Identidad
de Fourier
Transformada
De Fourier
-
TRANSFORMADA INVERSA
DE FOURIER
Ing. Jaime D. Sandoval B.
-
De la Serie a la Transformada de
Fourier
Notacin: A la funcin F() se le llama transformada de Fourier de f(t) y se denota por F, es decir
En forma similar, a la expresin que nos permite
obtener f(t) a partir de F(w) se le llama transformada
inversa de Fourier y se denota por F 1 ,es decir
Series de Fourier. 51
de)(F)t(f)](F[ tj211F
dte)t(f)(F)]t(f[ tjF
-
De la Serie a la Transformada de
Fourier
Ejemplo. Calcular F(w) para el pulso
rectangular f(t) siguiente
Solucin. La expresin en el dominio del tiempo
de la funcin es
Series de Fourier. 52
-p/2 0 p/2
1 f(t)
t
t0
t1
t0
)t(f
2
p
2
p
2
p
2
p
-
De la Serie a la Transformada de
Fourier
Integrando
Usando la frmula de Euler
Obsrvese que el resultado es igual al obtenido
para cn cuando T , pero multiplicado por T.
Series de Fourier. 53
2/p
2/p
tjtj dtedte)t(f)(F
2/p
2/p
tj
j1 e
)ee( 2/pj2/pjj1
2/p
)2/p(senp)(F
-
De la Serie a la Transformada de
Fourier
En forma Grfica
Series de Fourier. 54
-50 0 50
0
0.5
1
F(w) con p=1
w
F(w
)
-
De la Serie a la Transformada de
Fourier Tarea. Calcular la Transformada de Fourier de la funcin escaln unitario u(t):
Graficar U()=F[u(t)] Qu rango de frecuencias contiene U()? Cul es la frecuencia predominante?
Series de Fourier. 55
u(t)
0
1
t
-
La Transformada Rpida de
Fourier
Cuando la funcin f(t) est dada por una lista de N valores f(t1),
f(t2), ...f(tN) se dice que est discretizada o muestreada, entonces
la integral que define la Transformada de Fourier:
Se convierte en la sumatoria
(Donde k es la frecuencia discreta), Llamada Transformada
Discreta de Fourier
Series de Fourier. 56
dte)t(f)(F tj
Nn1para,e)t(f)n(FN
1k
)1k(j
kN
n2
-
La Transformada Rpida de
Fourier La Transformada Discreta de Fourier (DFT) requiere el clculo de N funciones exponenciales para obtener F(n), lo cual resulta un esfuerzo de clculo enorme para N grande. Se han desarrollado mtodos que permiten ahorrar clculos y evaluar de manera rpida la Transformada discreta, a estos mtodos se les llama Transformada Rpida de Fourier (FFT)
Series de Fourier. 57
-
La FFT y la Serie de Fourier
Podemos hacer uso de la FFT para calcular los
coeficientes cn y c-n de la Serie compleja de Fourier
como sigue:
Ejemplo: Sea f(t) el tren de pulsos de ancho p y periodo
T.
Series de Fourier. 58
1 f(t)
t
. . . -T -T/2 0
T/2
T . . .
p
-p/2 p/2
-
La FFT y la Serie de Fourier
La versin muestreada f(k) de f(t) slo puede tomar un
nmero finito de puntos. Tomemos por ejemplo N=32
puntos cuidando que cubran el intervalo de 0 a T (con
p=1, T=2):
Series de Fourier. 59
0 1 2 0
0.5
1
1.5 32 muestras de f(t), de 0 a T
k
f(k)
-
La FFT y la Serie de Fourier
Para obtener estas 32 muestras usando Matlab se
puede hacer lo siguiente:
k=0:31
f=[(k23)]
Plot(k,f,o)
Series de Fourier. 60
-
La FFT y la Serie de Fourier
Con los 32 puntos f(k) calculamos F(n) mediante la
FFT, por ejemplo, en Matlab: F=fft(f)/N;
Con lo que obtenemos 32 valores complejos de F(n).
Estos valores son los coeficientes de la serie compleja
ordenados como sigue:
Series de Fourier. 61
n 1 2 3 4 ... 16 17 18 19 ... 32
F(n) c0 c1 c2 c3 ... c15 c-16 c-15 c-14 ... c-1
-
La FFT y la Serie de Fourier
Podemos graficar el espectro de amplitud reordenando previamente F(n) como
sigue aux=F;
F(1:16)=aux(17:32);
F(17:32)=aux(1:16);
F(n) queda:
Y para graficar el espectro de amplitud :stem(abs(F))
Obtenindose:
Series de Fourier. 62
n 1 ... 13 14 15 16 17 18 19 ... 32
F(n) c-16 ... c-3 c-2 c-1 c0 c1 c2 c3 ... c15
-
La FFT y la Serie de Fourier
Si deseamos una escala horizontal en unidades de frecuencia (rad/seg):
Series de Fourier. 63
0 10 20 30 0
0.2
0.4
0.6 Para el tren de pulsos p=1,
T=2
n
|F(n
)
|
Espectro de Amplitud |F(n)|
-
La FFT y la Serie de Fourier
w0=2*pi/T;
n=-16:15;
w=n*w0;
Stem(w,abs(F))
Obteniendo:
Series de Fourier. 64
-50 0 50 0
0.2
0.4
0.6 para el tren de pulsos, p=1,T=2
w
|F(w
)|
Espectro de Amplitud |F(n)|
-
La FFT y la Serie de Fourier
Tambin podemos obtener los coeficientes de la forma
trigonomtrica, recordando que:
Podemos obtener
Para el ejemplo se obtiene: a0=0.5, an=bn=0 (para n par), adems
para n impar:
Series de Fourier. 65
)jba(c),jba(c nn21
nnn21
n
)cIm(2b),cRe(2a,ca nnn00
n 1 3 5 7 9 11 13 15
an 0.6346 -0.2060 0.1169 -0.0762 0.0513 -0.0334 0.0190 -0.0062
bn -0.0625 0.0625 -0.0625 0.0625 -0.0625 0.0625 -0.0625 0.0625
-
La FFT y la Serie de Fourier
Como el tren de pulsos es una funcin par, se esperaba
que bn=0; (el resultado obtenido es errneo para bn, pero
el error disminuye para N grande):
Series de Fourier. 66
0 10 20 30 -0.5
0
0.5
1
Coeficientes bn Coeficientes an
a0
-
La FFT y la Serie de Fourier Tarea: Usar el siguiente cdigo para generar 128 puntos de una funcin peridica con frecuencia fundamental 0=120 (60 hertz) y dos armnicos impares en el intervalo [0,T]: N=128;
w0=120*pi;
T=1/60;
t=0:T/(N-1):T;
f=sin(w0*t)+0.2*sin(3*w0*t)+0.1*sin(11*w0*t)
;
Usando una funcin peridica diferente a la subrayada: a) Graficar la funcin. b) Obtener y graficar el espectro de amplitud de la seal usando la funcin FFT
Series de Fourier. 67
-
Medidores Digitales
La FFT ha hecho posible el desarrollo de equipo electrnico
digital con la capacidad de clculo de espectros de frecuencia
para seales del mundo real, por ejemplo:
1) Osciloscopio digital Fuke 123 ($ 18,600.00 M.N.)
2) Osc. digital Tektronix THS720P ($3,796 dls)
3) Power Platform PP-4300
Series de Fourier. 68
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Medidores Digitales
El Fluke 123 scope meter
Series de Fourier. 69
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Medidores Digitales
Tektronix THS720P (osciloscopio digital)
Series de Fourier. 70
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Medidores Digitales
Analizador de potencia PP-4300
Es un equipo especializado en monitoreo de la
calidad de la energa: permite medicin de 4
seales simultneas (para sistemas trifsicos)
Series de Fourier. 71