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I

Séries de Fourier

[Março de 2010]

(Draft!)

Séries de Fourier

Funções Periódicas.

Uma função é dita periódica com período se ) para qualquer x e T real diferente de zero. Portanto, , para n inteiro (n = 0, ±1, ±2, ±3...).

Exemplo:

1) Se f(x) = tang(x), sabe - se que tan(x+π) = tang(x), logo

2) Achar o período da função

Se a função for periódica, ela tem que satisfazer a condição:

Assim,

Em ambas as funções 2π/n.

Note que se duas funções g(x) e h(x) possuem ambas o período , então a função é periódica com o período da mesma forma.

Séries Trigonométricas (“Séries de Fourier”)

É uma série de funções do tipo:

Todos os coeficientes multiplicando as funções são números reais, podendo ter o valor zero inclusive, em algum caso particular. O fator ½ multiplicando o termo ao surge da diferença entre o “tamanho” do

vetor 1 (cuja norma (<1,1>) ao quadrado em CP[-π,π] = 2π) em relação aos vetores sen(nx) e cos(nx),

cujas normas (<sen(nx),sen(nx) e <cos(nx), cos(nx)>) ao quadrado são dados por π, também em CP[-

π,π]. A razão desta discrepância vai ficar mais clara posteriormente.

A soma acima pode ser escrita na forma compacta como:

Como esta é uma série de funções trigonométricas, a sua soma (no caso de existir, ou seja, se a série for convergente) será uma função periódica de período 2π. Por esta razão se estuda a série trigonométrica inicialmente em um intervalo de comprimento 2π, por exemplo: ou .

As funções periódicas de interesse prático (bem comportadas – Condições de Direchlet) podem sempre ser representadas por uma série trigonométrica.

Esta representação é possível se a satisfaz as condições necessárias previstas por Direchlet.

Condições de Direchlet.

Embora não sejam conhecidas as condições necessárias e suficientes para que uma função possa ser representada por uma série trigonométrica; as condições de Direchlet, apesar de mais restritivas, asseguram a convergência da série para a função.

Condição 1 – A função deve ser contínua e, portanto, limitada no intervalo , com exceção, talvez de um número finito de pontos de descontinuidade de primeira espécie (salto de descontinuidade finito – existem os limites a esquerda e a direita para o ponto de descontinuidade). Este tipo de função é comumente chamada de função contínua por partes, e o espaço (vetorial) cujos elementos são as funções continuas por partes é simbolizada por CP [a, b], onde a, b são números reais não simultaneamente nulos.

Exemplo:

,

com .

Esta função apresenta, no período, apenas um ponto de descontinuidade de salto finito em Portanto, esta é um bom exemplo de função contínua por partes.

Contra - exemplo:

Seja a função definida no intervalo e periódica fora dele ( ).

Esta função apresenta um ponto de descontinuidade de salto infinito no ponto . Portanto, esta função não é continua por partes no domínio apresentado. Contudo, em qualquer domínio que exclua os pontos +3 e -3 ela será bem comportada (continua). Assim, as propriedades de continuidade, descontinuidade, e continuidade por partes sempre devem ser consideradas levando em consideração o domínio onde a variável independente x toma valores

Condição 2 - Efetuando-se uma partição da função no intervalo , em um número finito de subintervalos, a função em cada um deles tem que ser monótona. Ou seja, a função tem que ter somente um número finito de máximos e mínimos em um sub - período pré estabelecido.

Exemplo:

No gráfico apresentado acima pode -se considerar três subintervalos:

No 1° é crescente.

No 2° é decrescente.

No 3° é crescente novamente.

Apresenta um período um ponto de máximo e um de mínimo.

Contra - exemplo:

Seja , definida no domínio

Esta função apresenta um número infinito de máximos e mínimos na vizinhança de .

Ortogonalidade – Integrais de Euler.

O espaço vetorial CP[-π,π] munido de um produto interno característico se torna um espaço Euclidiano

(espaço munido de uma norma). Os temos da série são ditos ortogonais com relação ao período , isto é, a integral (produto interno) em um período do produto de quaisquer dois termos diferentes é nula.

Integrais de Euler

Demonstrando:

De fato,

De fato,

De fato,

Somando membro com .

Subtraindo os termos e , tem – se:

De fato,

...

...

Somando e , tem – se:

Somando termos e , tem – se:

Determinação dos coeficientes de Fourier.

Usando propriedades elementares das funções trigonométricas podemos facilmente determinar , em termos de de maneira que no intervalo , a série trigonométrica seja igual à função , isto é:

Integramos (fazendo o produto interno) os dois membros de , entre , tem – se:

Cálculo de :

Multiplicando por , sendo um número inteiro fixo dado e integrando (fazendo o produto interno) entre os limites .

Se (

Para n = p, tem – se:

Calculo de

Multiplicando por , sendo , n° fixo de dado e integramos entre os limites .

Se (

Se (n

Exemplo:

Determinara Série de Fourier - SF da função com período 2 e esboçar o gráfico de e das primeiras três somas parciais da SF.

As somas parciais são:

Vimos que para:

A série que Fourier é:

Vamos determinar a série de Fourier para:

A função é deslocada de unidade para baixo, logo

A função é a mesma exceto por uma alteração na escala do tempo,

Verificamos que alterar a escala de tempo, altera as freqüências angulares dos termos individuais, mas não altera seus coeficientes. Assim, para calcular os coeficientes, o período pode ser arbitrariamente mudado se isto parecer conveniente.

Exercícios:

Verificar se as funções abaixo satisfazem as condições de Direchlet.

1. ,

2. ,

3.

4. , 0 < x > π

Desenvolver em série de Fourier as funções supostas periódicas de período 2π.

1.

2.

3.

4.

, onde k é constante

Respostas

1.6.1 – Sim, pois no ponto t=2 onde temos uma indeterminação, e descontinuidade é de 1ª espécie.

2 - Não, pois temos descontinuidade infinita para t = +2 e t = -2

3 - Não, descontinuidade infinita na vizinhança de x=1

4 – Sim, as duas condições são satisfeitas.

5 – Não, pois na vizinhança de z=1 temos um número infinito de máximos e mínimos.

1.7.1 - f(x) = -x , -π < x < 0

x , 0 < x < π

A f(x) satisfaz as condições de Dirichlet.

Cálculo dos coeficientes de FOURIER

(-1)/π + = + =

Fazendo a Integração por partes:

An = - + –

An = +

An = +

An = ) =

An = 0 para n par

para n ímpar

Bn = = +

Fazendo a Integração por partes:

u = x Du = dx

dv = sen nx dx v=

Bn = - + –

Bn = + + = 0

Logo f(x) = - - -

1.7.2 – f(x) = 2 senx - sen2x + sen3x - ...

1.7.3 - f(t) = , -π < x < π

Cálculo dos coeficientes de Fourier:

Ao = = = = (

An = = =

u= du = dv= cos nt dt v =

=

u= du = dv= sen nt dt v =

= - -

= -

+ =

1 + =

Multiplicando por

=

=

Mas, sen n = sen ( -n )

cos n cos (-n ) =

= =

An =

De modo análogo calcula - se Bn

Bn = =

Logo,

f(t) = = +

ou

= + ( - )

Funções pares e impares.

Sejam g(x) e h(x) funções definidas no intervalo ( ),

diz-se que:

g(x) é par se g(-x) = g(x), para todo x

h(x) é ímpar se h(-x) = -h(x), para todo x

Observações: O gráfico da função par g(x) é simétrico em relação ao eixo das ordenadas. E o valor da função ímpar no ponto zero: h(0) = 0

Para calcular os coeficientes de Fourier de uma função par e de uma função ímpar verifiquemos que:

1) = 2

De fato:

= - +

= - +

Então:

= - +

=

2)

= 0

De fato = -

= - +

= - +

Então:

= - + = 0

3) O produto de uma função par g(x) por uma função ímpar h(x), é impar.

q(x) = g(x).h(x)

q(-x) = g(-x).h(-x)

q(-x) = g(x). –h(x)

q(-x)= -g(x).h(x)

q(-x) = -q(x)

4) O produto de uma função par por uma função par resulta em uma função par.

q(x) = g(x).g(x)

q(-x) = g(-x).g(-x)

q(-x) = g(x). g(x)

q(-x) = q(x)

5) O produto de uma função ímpar por uma função ímpar resulta em uma função par.

q(x) = h(x).h(x)

q(-x) = h(-x).h(-x)

q(-x) = -h(x). –h(x)

q(-x)= h(x).h(x)

q(-x) = q(x)

Conclusão:

Se f(x) é uma função par, f(x) sem (nx) é uma função ímpar e

Bn = = 0

Se f(x) é uma função ímpar, f(x) cos (nx) é ímpar e

An = = 0

A série de Fourier de uma função par, periódica, f(x), que possui período 2 , é uma série de Fourier em cossenos.

f(x) = + ,

onde os coeficientes são dados por:

Ao =

An =

A série de Fourier de uma função periódica ímpar f(x) que possui período 2 é uma série de Fourier em senos.

f(x) = ,

com coeficientes:

Bn =

Consideremos f(x) par, então:

f(x) = + (1)

f(-x) = +

Mas como f é par, ou seja, f(-x) = f(x), tem – se,

f(x) = + (2)

(1) + (2) = 2 f(x) = Ao +

f(x) = +

Por outro lado,

An =

Como f(x) e cos (nx) são funções pares, temos:

An = +

= +

= + =

Considere f(x) ímpar

f(x) = + (1)

f(-x) = +

Como f é ímpar, f(-x) = -f(x)

-f(x) = + (2)

(1) - (2) :

2 f(x) = 2

f(x) =

Por outro lado,

Bn =

Como f(x) e sem(nx) são funções ímpares,

Bn = +

= +

= +

= +

Bn =

Logo, ao calcular os coeficientes na Série de Fourier para funções que tenham simetria, é conveniente integrar de a ao invés de 0 a .

Algumas vezes é interessante deslocar temporariamente ou o eixo vertical ou o horizontal ou ambos, de maneira a criar uma função par ou ímpar e usar as simplificações para formas de onda simétrica.

Exemplo:

Determine a Série de Fourier da função:

f(x) = , 0 < x <

2 - ,

Como f(x) é uma função que apresenta simetria é conveniente integrá-la no intervalo de ( a ).

Cálculo dos coeficientes:

Como f(x) é par Bn = 0.

Integral que foi calculada anteriormente.

Portanto

Determine a Sério de Fourier para F(t).

Embora pudéssemos determinar a serie de f(t) diretamente pode –se relocalizar os eixos a fim de usar as relações de simetria, pois a f(t) não é nem par nem ímpar.

1º CASO: A subtração de uma constante de produz uma função ímpar .

Logo

Portanto,

2º CASO: Vamos mudar o eixo vertical para obter uma função par

Logo:

Portanto,

Como,

Pode - se reescrever

Como no resultado anterior.

Funções com período arbitrário

Até agora foram consideradas funções periódicas de período . Por uma simples mudança de variável pode - se encontrar a Série de Fourier de uma função de período T qualquer.

Esta mudança de variável é feita pela seguinte transformação linear.

Seja definida no intervalo

(1)

(2)Somando membro a membro (1) e (2):

Substituindo em (1);

Então x

<t<

x=-

Mudança de Variável

Trocando a variável t por x, onde tem – se que fica definida no intervalo :

Assim,

,

Onde,

e

Para simplificar os cálculos faça

Onde

,

, e

.

O intervalo de integração pode ser substituído por qualquer intervalo de comprimento T, por exemplo, 0<t<T.

O teorema 1 se verifica para funções pares e ímpares, periódicas de período T qualquer.

Exemplo:

Determinar a Série de Fourier da função , periódica de período T=4

Temos que:

Como é par, e

Séries em senos e séries em cossenos

Desenvolvimento de meio período.

Seja de período , se for par a série de Fourier fica:

ou

(1)

Com coeficientes:

Como é par:

(2) ,

Se for ímpar:

(3)

Com coeficientes:

(4)

Obs: Pode – se observar que equações (2) e (4) “consideram” unicamente os valores de no intervalo

Para uma função definida somente neste intervalo podemos formar as séries (1) e (3). Se a função satisfaz as condições de Dirichlet, ambas as séries representem a função no intervalo . Fora deste intervalo, a série (1) representará o prolongamento periódico par da , tendo período 2L; e a (3) o prolongamento periódico ímpar da

Exemplo:

Encontrar a Série de Fourier em cossenos da função definida no intervalo e fazer o gráfico do prolongamento periódico correspondente.

Logo,

Exercícios

I - Verificar se as funções abaixo são pares, ímpares, ou sem paridade:

1.

2.

3.

4.

5.

II - Desenvolver em Séries de Fourier as funções, periódicas de

período , abaixo:

1. e obter o seguintes resultados devido a Euler:

2. , ; e mostrar que

3.

4. e mostrar que

III - Determinar a Série de Fourier das funções periódicas de período T:

1.

2.

3.

4.

IV - Representar por meio da Série de Fourier em cossenos as funções 1. E 2. Por meio da Série de Fourier em senos as funções 3 e 4. Fazer o prolongamento periódico correspondente:

1.

2.

3.

4.

Resposta

I

1 -

, logo a função em tela não tem paridade.

2 - par

3 -

, função ímpar

4 - Sem paridade

5.

, função par

II

1 -

Como é par,

ou

2 - Fazendo , tem - se:

Fazendo obtém-se o resultado.

3 -

Como par

Fazendo x = 0 obtém-se o resultado.

III

1 -

Como f(t) é ímpar a0= an = 0

Logo,

2 -

3 -

Cálculo da integral:

f(t)=

4 -

Apêndice

Mudança de intervalo - Série de Fourier (outra forma de ver o problema da mudança de intervalo)

Até agora tratamos apenas de funções no intervalo , agora vamos generalizar o resultado para um intervalo arbitrário . Mas antes de tratar do caso mais geral considera - se primeiramente intervalos da forma .

Assim sendo tem - se que as funções 1, são ortogonais no espaço euclidiano

CP .

Portanto, se considerarmos p = comprovaremos que tais funções formam uma base desse espaço e que suas séries de Fourier convergem em média, levando em consideração o comprimento do intervalo nós temos que todas as observações em relação à convergência pontual são verdadeiras.

A série de Fourier pode ser escrita da seguinte maneira:

Onde:

Para que se considere o espaço CP deve-se fazer de modo que =

Para o espaço euclidiano acima (CP[a,b]), as equações assumem as seguintes formas:

Exemplo

Determine a série de Fourier em CP da função f(x) = x.

Neste caso, b – a = 1

Calculando as integrais, teremos os seguintes resultados:

Portanto,

Exemplo:

Determine a Série de Fourier da função f, mostrada no gráfico a seguir:

Temos que f(x) =

Dessa forma:

Seja F a extensão periódica da função f em todo o eixo x:

Sendo assim

Então as funções F(x) e são de período p = 2

Para qualquer número real a.

Fazendo a = -1

Mas, no intervalo F(x) é igual a que é uma função par, portanto

Assim sendo, a série de Fourier para f(x)

Forma Complexa das Séries de Fourier

O desenvolvimento de Fourier

,

onde , pode ser escrito sobre a forma complexa:

.

Introduza estas expressões na série.

É conveniente definir:

Então a série de Fourier pode ser escrita em sua forma complexa como:

Então:

Exemplo

Seja a série complexa de Fourier de

.