ACADEMIA PRE UNIVERSITARIA SEMESTRAL 10 - II“VESALIUS” 2010

ALUMNO: .................................................................................................. FECHA: 18 – 08 – 2010

PROFESOR: Erick Vásquez Llanos

ASIGNATURA: MATEMÀTICA

TEMA Nº 02 - ECUACIÒN DE LA CIRCUNFERENCIA

TAREA DOMICILIARIA 2º - SOLUCIONARIO

01. Una cuerda ante la circunferencia x2 + y2 =

25 esta sobre la recta cuya ecuación es 7x

+ y = 25. La longitud de dicho cuerda es:

[UNT – 07 - II]

Solución:

En el triángulo rectángulo:

*d) d(O(0;0) ; L)

= [7(0) + (0) - 25]/rad(72+1)

d = 25/rad(50) = 5/rad(2)

x2 = r2 - d2 = 52 – (5/rad(2))2 =5[/rad(2)] 2

2x = rad(5)

02. La ecuación de la circunferencia que pasapor los puntos (2; 3) y (– 1; 1), cuyo centroestá situado en la recta x – 3y – 11 = 0, es:

[UNT – 09 – I]

Solución:

*) Hallemos mediatriz de AB: LM

AB LM : mM = -3/2 PM = (1/2; 2)

mAB = 2/3

LM : 3x + 2y = 11/2

*) Hallemos centro: C = L LM

3x + 2y = 11/2

x – 3y = 11

C(7/2; -5/2)

C: x2 + y2 – 7x + 5y – 14 = 0

03.Dada la circunferencia circunscrita altriángulo de vértices A(–4;3), B(5;2) yC(1;8), el circuncentro del triángulo es:

[CEPUNT – 07 – I]

Solución:

*) Hallemos mediatriz de AB: LM1

AB LM1 : mM1 = 9/1 PM1 = (1/2; 5/2)

mAB = -1/9

LM : 9x – y = 2

*) Hallemos mediatriz de BC: LM2

BC LM2 : mM2 = 2/3 PM2 = (3; 5)

mBC = -3/2

LM2 : 2x – 3y = – 13

*) Hallemos centro: C = LM1 LM2

9x – y = 2

2x – 3y = – 13

C(

5

17;

5

3

04.La ecuación de la circunferencia que pasapor los puntos de intersección de las

circunferencias x2 + y2 + 5x – 3y – 4 = 0; y

x2 + y2 – x + 2y – 8 = 0; y por el punto(2; 1) es:

Solución:

*) Tenemos la familia de circunferencias

C: C1 + kC2= 0

C: (x2 + y2 + 5x – 3y – 4)

+ k (x2 + y2 – x + 2y – 8) = 0

Pero P(2; 1) C

(22 + 12 + 5.2 – 3.1 – 4)

+ k (22 + 12 – 2 + 2.1 – 8) = 0

k = 8/3

*) Luego C: C1 + (8/3)C2= 0

C: 3.C1 + 8C2= 0

C: 11x2 + 11y2 + 7x + 7y – 76 = 0

05. La ecuación de la circunferencia, cuyocentro se encuentra en la recta 3x+2y–6=0 y pasa por la intersección de lascircunferencias:

x2 + y2 – 4x – 2y + 1 = 0 y

x2 + y2 + 4x – 6y + 4 = 0 es:[UNT – 05 - II]

*) Tenemos la familia de circunferencias

C: C1 + kC2= 0

C: (x2 + y2 – 4x – 2y + 1)

+ k (x2 + y2 + 4x – 6y +4) = 0

C: (1+ k )x2 + (1+ k)y2 + (– 4 + 4k)x

+( – 2 – 6 k)y + (1 + 4k ) = 0

C: x2 + y2 + [(– 4 + 4k)/(1+ k)]x

+[(– 2 – 6k)/(1+ k)]y +

(1 + 4k)/ (1+ k) = 0

Pero

Centro C[ (–2k + 2)/((1+ k) ; (3k +1)/(1+ k)]

L: 3x+2y– 6=0

3(–2k + 2) +2(3k + 1) = 6(k + 1)

k = 1/3

C: 4x2 + 4y2 – 8x – 12y + 7 = 0

06. La ecuación de la circunferencia con centroen (1,3) y que es tangente a la recta: 5x – y+ 5 = 0 es:

[CEPUNT – 06 – II]

Solución:

*) Tenemosr = d[c ; L: 5x – y + 5 = 0]

r = | 5(1) – (3) + 5| / rad[52 + 12] r = 7/ rad(26)

C: (x – 1) 2 + (y – 3) 2 = 49/26

07. El centro de una circunferencia C está sobrela rectaL: x + y = 2. Si C es tangente a los ejescoordenados entonces la ecuación de C, es:

[CEPUNT – 07 – I]

Solución:

*) Tenemos:C(r; r) L: x + y = 2

r + r = 2 r = 1

C: (x – 1)2 +(y – 1)2 = 1

C: x2 + y2 – 2x –2y + 1 = 0

08. La siguiente ecuación:

x2 + y2 –6x – 4y + 13 = 0, nos presenta:a) Una circunferencia de Centro (2 ; 3) y

radio 13

b) Una circunferencia de Centro (3 ; 2) yradio 13

c) Una circunferencia Imaginariad) Un punto de Coordenadas: (3 ; 2)e) Un punto de Coordenadas: (-3 ; -2)

Solución:

*) Tenemos D =– 6E =– 4F =– 13

C(3; 2) r =(1/2)rad(36 + 16 – 52) = 0

Un punto de Coordenadas: (3 ; 2)

09. La ecuación de una circunferencia esx2 + 4x + y2 – 6y + 8 = 0. Hallar la abscisadel punto A, sabiendo que pertenece a lacircunferencia y que su ordenada es 1.

Solución:

*) Tenemos:

A(x; 1) C : x2 + 4x + y2 – 6y + 8 = 0

x2 + 4x + (1)2 – 6(1) + 8 = 0

x2 + 4x + 3 = 0

A {(-3; 1); (-1; 1)}

10. Hallar el área de la región formada por elsemieje positivo de las abscisas, lacircunferencia x2 + y2 = 144 y la recta y

– 3 x = 0.

Solución:

*) Tenemos: r = 12; α = 60º

A = [ (12)2].[60º/360º]

A = 24

11. Halle el valor de K siL: 3x-2y+k=0 es tangente a lacircunferencia C: x2 + y2 – 4x + 6y – 39 = 0

Solución:

*) Tenemos

C: x2 + y2 – 4x + 6y – 39 = 0 c(2; – 3) r = (1/2)rad(16 + 36 + 156) = rad(52)

*) Además:r = d(c; L)

rad(52) =|3(2) – 2(–3) + k|/rad(32 +22) (26) = |k + 12|

k {14; – 38}

12. La ecuación de la circunferencia que estangente a las dos rectas paralelas

L1: 2x+y-5=0L2: 2x+y+15=0y una de ellas en el punto P(2,1)

Solución:

*) Tenemos:

L1: 2x+y – 5 = 0 P(2; 1) L1L2: 2x+y+15 = 0

*) Hallemos: Q = L2 LN

L2: LN : x – 2y = 0

Q: x – 2y = 0

2x+y = 15

Q(– 6; –3 )

*) Hallemos C : Punto medio de PQ

C(– 2; –1 ) r = (1/2)PQ = rad(20)

C: (x + 2) 2 + (y +1) 2 = 20

13. Halle la ecuación de la circunferenciaconcéntrica con x2 + y2 – 4x + 8y +19 = 0Si es tangente a L: 3x+4y+5=0

*) Tenemosr = d[c ; L: 3x + 4y + 5 = 0]

r = | 3(2) +4(– 4) + 5| / rad[32 + 42] r = 1

C: (x – 2) 2 + (y + 43) 2 = 1

14. La ecuación de una circunferencia esx2 + 4x + y2 – 6y + 8 = 0. Hallar la abscisadel punto A, sabiendo que pertenece a lacircunferencia y que su ordenada es 1.

Solución:

*) Tenemos:

A(x; 1) C : x2 + 4x + y2 – 6y + 8 = 0

x2 + 4x + (1)2 – 6(1) + 8 = 0

x2 + 4x + 3 = 0

A {(-3; 1); (-1; 1)}

15. Hallar el área de la región formada por elsemieje positivo de las abscisas, lacircunferencia x2 + y2 = 144 y la recta y

– 3 x = 0.

Solución:

*) Tenemos: r = 12; α = 60º

A = [ (12)2].[60º/360º]

A = 24

16. Hallar la distancia máxima y mínima delpunto (– 3 ; – 8) a la circunferencia:

x2 + y2 – 10x – 14y – 151 = 0

Solución:

*) Tenemos

C: x2 + y2 – 10x – 14y – 151 = 0

c(5; 7)

r = (1/2)rad(100 + 196 + 604) = 15

dmin + r = d(A; C)

dmin + 15 = rad(82 + 152) = 17

dmin = 2

*) Además

dmin + 2r = dmax

2 + 2(15) = dmax

dmin = 2 dmax = 32

Profesor: Erick Vásquez LLanos