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SESIÓN°. 8:
PROCESAMIENTO, YTRATAMIENTO ESTADÍSTICO DEDATOSDocente:
Dr. Ing. Jhonny Valverde Flores [email protected]
www.ucv.edu.pe
CURSO: DESARROLLO DE
PROYECTO DE INVESTIGACIÓN
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Capacidad a lograr
Aplica el procesamiento y tratamientoestadístico de sus datos.
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Contenido
1. El diseño experimental.2. La prueba de hipótesis.
3. Pruebas de hipótesis de las medias de muestrasgrandes4. Pruebas de hipótesis de las medias de muestras
pequeñas.
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1. EL DISEÑO EXPERIMENTAL
El Diseño es una etapa fundamental de laexperimentación, Experimentación comprendetoda investigación científica que se realiza por larepetición del mismo. El diseño comprende laforma de aplicar los tratamientos a las unidadesexperimentales. Mediante un modelo estadístico
se cuantifica la variación debido a factorescontrolables y no controlables.
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Donde:Unidades experimentales: (personas, elementos físicos,···)Factor: Variable controlable por el experimentador (Niveles del factor otratamientos)Variable de interés: Variable Respuesta.Error experimental o perturbación: Variables no controlables por elexperimentador.Tamaño del experimento: número total de observaciones.
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Ejemplos:
Una compañía algodonera que emplea diversosfertilizantes desea comprobar si éstos tienen efectosdiferentes sobre el rendimiento de la semilla de algodón.
Una profesora de estadística que imparte en gruposexperimentales de alumnos, en los que explica la mismamateria pero siguiendo distintos métodos de enseñanza,desea comprobar si el método de enseñanza utilizadoinfluye en las calificaciones de los alumnos.
Una industria química, que obtiene un determinadoproducto, está interesada en comprobar si los cambiosde temperatura influyen en la cantidad de productoobtenido.
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INTERÉS: Un solo factor con varios
niveles o tratamientos.TÉCNICA ESTADÍSTICA: Análisis de la Varianza de un factor o una vía.OBJETIVO: Comparar entre sí varios
grupos o tratamientos.MÉTODO: Descomposición de la
variabilidad total de un experimento encomponentes independientes.
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OTROS FACTORES QUE INFLUYEN
Pequeñas variaciones en la cantidad de riego, en lapureza de los insecticidas suministrados, etc. El nivel cultural del alumno, el grado de atención y de
interés del alumno, etc.
La pureza de la materia prima, la habilidad de losoperarios, etc.Teóricamente es posible dividir esta variabilidad en dos
partes, la originada por el factor de interés y la
producida por los restantes factores que entran en juego, conocidos o no, controlables o no, que recibe elnombre de perturbación o error experimental.
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Prueba estadística y
naturaleza de los datos
Datos de escala Prueba estadística
Nominal PruebaOrdinal no-paramétrica
De intervalo Prueba no-paramétrica yDe razón paramétrica
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Pruebas estadísticas
Hay dos clases de pruebasestadísticas
Las pruebas paramétricas yLas pruebas no paramétricas.
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Características comunes delas pruebas paramétricas
1. Independencia de las observaciones a excepción de datos pareados.2. Las observaciones para la variable dependiente se han obtenido demanera aleatoria de una población con distribución normal.
3. La variable dependiente es medida al menos en una escala deintervalo.
4. Se recomienda un tamaño de muestra mínimo de 30 sujetos por grupo.5. Los datos son obtenidos de poblaciones que tienen varianzas iguales
(una varianza no debe ser el doble o mayor que la otra).6. Habitualmente las hipótesis se hacen sobre valores numéricos,
especialmente el promedio de una población (µ), como ejemplo:
Ho: µ1 = µ2H1 : µ1 ≠ µ2
7. Otros posibles requisitos: variable independiente nominal o de intervalo,homocedasticidad (para cada nivel de la variable independiente hay
una variación similar de la variable dependiente) y casillas de igualtamaño.
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Características comunes delas pruebas no paramétricas.
1. Independencia de las observaciones aleatorias aexcepción de datos pareados.
2. Pocas asunciones con respecto a la distribución de lapoblación.
3. La variable dependiente es medida en escalacategórica.
4. El punto primario es el ordenamiento por rangos o porfrecuencias.
5. Las hipótesis se hacen sobre rangos, mediana ofrecuencias de los datos.
6. El tamaño de muestra requerido es menor (20 o <).
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¿CUANDO APLICAR UNA PRUEBA
DE HIPOTESIS PARAMETRICA?
Cuando se cumple las siguientes características: Permiten contrastar hipótesis referidas a algún
parámetro (promedio, varianza, proporción, coeficientes
de regresión, etc.) Exigen el cumplimiento de determinados supuestos
sobre las poblaciones originales de las que se extraenlos datos (normalidad, homocedasticidad, etc.).
Analizan datos obtenidos con una escala de medida deintervalo o razón.
Cuando al menos 1 de las características no se cumple, se aplica
Prueba de Hipotesis No Parametrica
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MÉTODOS O PRUEBAS ESTADÍSTICAS
PARAMÉTRICAS MÁS UTILIZADAS
Coeficiente de correlación de Pearson y regresión lineal.
Prueba t. Prueba de contraste de las diferencias de proporciones. Análisis de varianza unidireccional (ANOVA en un solo sentido o oneway) Análisis de Varianza factorial (ANOVA)
Análisis de covarianza (ANCOVA)Otra lista de pruebas paramétricas: Prueba del valor Z de la distribución normal Prueba T de Student para datos relacionados (muestras dependientes) Prueba T de Student para datos no relacionados (muestras independientes) Prueba T de Student-Welch para dos muestras independientes con
varianzas no homogéneas Prueba de ji cuadrada de Bartlett para demostrar la homogeneidad de
varianzas
Prueba F (análisis de varianza o ANOVA)
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2. PRUEBA DE HIPÓTESIS
DEFINICIONES PRELIMINARES:
HIPÓTESIS: Es una respuesta a priori a un problema.HIPÓTESIS ESTADÍSTICA: En un enunciado acercadel valor de un parámetro poblacional.
PRUEBA DE HIPOTESIS: Es un procedimiento
basado en la información muestral y en la teoría deprobabilidad, para determinar si una hipótesisestadística debe ser aceptada o rechazada.
Dr. Ing. Jhonny Valverde Flores
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CLASES DE HIPOTESIS:
HIPOTESIS NULA.Se denota por Ho.Es una afirmación o enunciado tentativo que se realiza
acerca del valor de un parámetro poblacional.
Por lo común es una afirmación acerca del parámetro depoblación cuando toma un valor específico.
HIPOTESIS ALTERNATIVA.Se denota por H1.Es una afirmación o enunciado contraria a la presentada en
la hipótesis nula.
Dr. Ing. Jhonny Valverde Flores
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Prueba de Hipótesis
Trata de responder a la pregunta: ¿es elparámetro poblacional igual a ciertovalor específico?Se compone de cinco partes:Hipótesis NulaHipótesis AlternativaRegión de RechazoEstadística de PruebaConclusión
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Prueba de hipótesis de la mediapoblacional (μ)
2.1. Hipótesis Nula (H0):
Afirma el valor conocido del parámetro:
μ0 es el valor conocido del parámetropoblacional.
H 0 0:
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2.2. Hipótesis Alternativa(Ha):
Es la hipótesis que propone elinvestigador a partir de la evidenciamuestral.
Generalmente contradice lo que afirmala Hipótesis Nula.
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2.2. Hipótesis Alternativa (Ha):
Puede tomar una de las siguientes tresformas:
i. cuando > μ0 (unilateral)ii. cuando < μ0 (unilateral)
iii. en cualquier caso (bilateral)
X H H
H
a
a
a
:
:
:
0
0
0
X
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2.3. Región de Rechazo:
Es una región en la distribución deprobabilidad del estimador muestral,en nuestro caso utilizamos ladistribución Normal Estándar.
Se ubica en concordancia con lahipótesis alternativa seleccionada:
i. Cola derechaii. Cola izquierdaiii. Ambas colas
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2.3. Región de Rechazo:
La región de rechazo está delimitada porel valor teórico correspondiente a ladistribución de probabilidad delestimador.Para la prueba de media poblacional,
con muestra grande (n≥30), utilizamos
la distribución Normal Estándar.
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2.3. Región de Rechazo:
En Excel utilizamos la función:DISTR.NORM.ESTAND.INV
con probabilidad de:i. Cola derecha: 1-αii. Cola izquierda: 1-α
iii. Ambas colas: α /2 A este valor de Z le llamamos “teórico”
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0
0 . 0 5
0 . 1
0 . 1 5
0 . 2
0 . 2 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1
1-α
α
2.3. Región de Rechazo (i)
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0
0 . 0 5
0 . 1
0 . 1 5
0 . 2
0 . 2 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1
1-α
α
2.3. Región de Rechazo (ii)
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0
0 . 0 5
0 . 1
0 . 1 5
0 . 2
0 . 2 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1
1-α
α/2 α/2
2.3. Región de Rechazo (iii)
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2.4. Estadística de Prueba:
Se utiliza un estadístico construido apartir del estimador (se transforma elestimador) para tomar una decisión
sobre la veracidad de la HipótesisNula
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2.4. Estadística de Prueba:
En esta prueba para la media, seestandariza el valor de paraubicarlo en la distribución Normal
Estándar:
Esta es la Z “calculada”
X
n
-XZ
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2.5. Conclusión
si el valor de Z calculada cae dentro de la región derechazo delimitada por la Z teórica, se Rechaza lahipótesis nula (H0). Esto significa que lo más probablees que la hipótesis alternativa sea cierta.
si el valor de Z calculada NO cae dentro de la regiónde rechazo delimitada por la Z teórica, No se Rechazala hipótesis nula (H0). Lo que significa que es muyprobable que la hipótesis nula sea cierta.
x
x z
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OTRAS PRUEBAS DE HIPÓTESIS
Prueba de
Hipótesis para
Hipótesis
nula
Hipótesis
alternativa
Región de
Rechazo
Estadística
de PruebaHa: μ > μ 0 N o r m a l Z ( 1 - α )
H a : μ < μ 0 N o r m a l Z ( α )
M e d i a
p o b l a c i o n a l ( μ )
( n ≥ 3 0 )
H o : μ = μ 0
H a : μ ≠ μ 0 Normal Z (α /2)
Z =
nσ
μX 0
H a : μ > μ 0 + t c o n n - 1 , ( 2 α )
H a : μ < μ
0
- t c o n n - 1 , ( 2 α )
M e d i a
p o b l a c i o n a l ( μ )
( n < 3 0 )
H o : μ = μ 0
H a : μ ≠ μ 0 t con n-1, (α)
t =
nS
μX 0
H a : p > p 0 N o r m a l Z ( 1 - α )
H a : p < p 0 N o r m a l Z ( α )
Proporciónp o b l a c i o n a l ( p )
H o : p = p 0
H a : p ≠ p 0 Normal Z (α /2)
Z =
n
qp
pp
00
0ˆ
H a : σ
2 > σ
2
0
2
con n-1, (α)H a : σ
2 < σ
2
0
2 con n-1,(1-α)
V a r i a n z a
p o b l a c i o n a l
( σ
2)
H o : σ
2= σ
2
0
H a : σ
2 ≠ σ
2
0
2 con n-1,(1-α/2)
y
2 con n-1,(α/2)
2 = 20
2
σS1n
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a Hipótesis
La suposición que se desea probar, se denomina hipótesis nula y se representapor H0. Si se rechaza la hipótesis nula, la conclusión que debemos aceptar sellama hipótesis alternativa y se simboliza por H1.
Supongamos que se quiere probar la hipótesis de que el promedio de calificaciónde los alumnos de cierta Universidad es de 8.5, entonces:
H0 : = 8.5 Establece que la media de la población es igual a 8.5
La hipótesis alternativa se puede interpretar de tres maneras:
H1 : 8.5 Establece que la media de la población no es igual a 8.5.H1 :
8.5 Establece que la media de la población es mayor que 8.5.H1 : 8.5 Establece que la media de la población es menor que 8.5.
La prueba de hipótesis tiene como finalidad emitir un juicio sobre la diferencia
que existe entre el valor calculado del estadístico muestral y el parámetrosupuesto de la población. No consiste en poner en duda el valor calculadodel estadístico muestral.
Después de formular las hipótesis nula y alternativa, se debe decidir el criterioque se va a aplicar para aceptar o rechazar la primera.
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b Nivel de significancia
Supongamos que la media de calificaciones delejemplo anterior de 8.5, se expresa con un nivelde confianza del 95%, entonces el nivel de
significancia será de 0.05, es decir: = 1 – 0.95Entonces: = 0.05 Que representa el nivel de
significancia.Se puede comprender mejor observando lagráfica siguiente:
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El nivel de significancia está repartido en las zonas derechazo, 0.025 + 0.025 = 0.05, significa que existeuna diferencia significativa entre el estadístico de lamuestra y el supuesto parámetro de la población, esdecir, que si esto se demuestra, se rechaza la hipótesis
nula H0 de que el promedio de la población sea de 8.5y se acepta la hipótesis alternativa H1.
Entonces se concluiría que el promedio de lascalificaciones de la población, no es de 8.5, puede ser
diferente, mayor o menor de 8.5.El nivel de significancia representa la zona de rechazo dela hipótesis nula y el nivel de confianza de la zona deaceptación.
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c Selección de un nivel de significancia
No hay un nivel de significancia que sea oficial ouniversal con el cual probar las hipótesis. Perola elección del criterio mínimo de unaprobabilidad aceptable, o nivel de significancia,es asimismo el riesgo que se corre de rechazaruna hipótesis nula aunque sea verdadera.Cuando más alto sea el nivel de significanciaque utilizamos al probar una hipótesis, mayores
probabilidades habrá de rechazar una hipótesisnula que sea verdadera.
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d Errores de tipo I y II
Si se rechaza una hipótesis nula que sea verdadera es un error de tipoI, y su probabilidad se representa con . Si se acepta una hipótesisnula que sea falsa se llama error de tipo II, y su probabilidad serepresenta con . La probabilidad de cometer uno de estos erroresse reduce si se aumenta la probabilidad de incurrir en otro tipo deerror. A fin de conseguir una baja, habremos de conformarnos conuna alta. Para sortear esto en situaciones personales yprofesionales, los encargados de tomar decisiones eligen el nivelapropiado de significancia examinando los costos o castigos queconllevan a ambos tipos de error.
Por ejemplo: supóngase que el cometer un error de tipo I implica eltiempo y el trabajo de reelaborar un lote de sustancias químicas que
debería haber sido aceptado. En cambio, el incurrir en un error detipo II significa correr el riesgo de que se envenene un grupo enterode usuarios de la sustancia. La gerencia de esta compañía preferiríael error de tipo I al de tipo II y, en consecuencia, estableceríaniveles muy elevados de significancia en sus pruebas para conseguir bajas.
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Tipos de Error
Resultado de
la Prueba:
Hipótesis
Nula
Verdadera
Hipótesis Nula
Falsa
Rechazo laHipótesis
Nula
ERROR TIPO I CORRECTO
No rechazo laHipótesis
Nula
CORRECTO ERROR TIPO II
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e Pasos para seleccionar la
distribución correcta
1.- Se define el nivel de significancia a usar.2.- Determinar la distribución adecuada de
probabilidad: puede ser la distribución normal o
la distribución t. Las reglas para elegir ladistribución apropiada al efectuar pruebas delas medias son:
a. Si la muestra tomada es mayor de 30
(muestras grandes), debe elegirse ladistribución normal (Z).b. Si la muestra tomada es igual o menor que
30 (muestras pequeñas), debe elegirse la
distribución t.
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3. PRUEBA DE HIPÓTESIS DE
LAS MEDIAS DE MUESTRAS
GRANDES
Realizaremos algunos ejemplos, endiferentes condiciones cuando seconocen las desviaciones
estándar de la población.
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a Prueba de dos extremos para las
medias
Es cuando el nivel de significancia (zona de
rechazo) abarca los dos extremos o colasde la campana de Gauss.
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Ejemplo 1.-
El fabricante de una llanta especial para camiones afirmaque la duración media de la parte rodante de agarre esde 60,000 mi. La desviación estándar de los millajes esde 5,000 mi. Una empresa de transportes compró 48
llantas y halló que la duración media para sus vehículosfue de 59,500 mi. ¿Es la experiencia distinta de laexpresada por el fabricante al nivel de significación de0.05?
= 60,000 mi
= 5,000 miDatos: n = 48 llantas= 59,500 mi
= 0.05 x
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Solución:
Las hipótesis se expresan de la siguiente manera:
H0 : = 60,000 mi La duración de las llantas es de 60,000 millasH1 : 60,000 mi La duración de las llantas es distinta a 60,000
millas
Primero, vamos a calcular el error estándar de la media y para elloemplearemos la expresión del error estándar:
n
x
Sustituyendo valores en ella, se tiene:
mi x x x 69.7219282.6
000,5
48
000,5
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Segundo paso, vamos a obtener el valor de “Z” y para ello
vamos a apoyarnos en la gráfica siguiente:
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Recurrimos a las tablas de la distribución normal y en ellas localizamos0.475, que se ubica en un valor de Z = 1.96En el tercer paso, vamos a determinar los límites superior einferior de confianza para el intervalo de la media poblacional ya
que se trata de una prueba de dos extremos. Para ello aplicaremosla expresión siguiente:
x
Sustituyendo valores en ella, se tiene:
Lc = 60,000 1.96 (721.69)
Ls = 60,000 + 1,414.51 Ls = 61,414.51 millas.
Li = 60,000 – 1,414.51 Li = 58,585.49 millas
Entonces la media de la población fluctúa entre58,585.49 y 61,414.51 millas en un nivel deconfianza del 95%.
x Z Lc H 0
á í
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Regresemos a la gráfica anterior para ubicar los límites deconfianza y la media muestral. Con ello analizaremos si seacepta la hipótesis nula además de verificar si es verdadera ofalsa.
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La media muestral se ubica dentro de la zona de aceptación, por loque podemos decir que la hipótesis nula es verdadera, perovamos a verificar está aseveración por medio de la expresiónsiguiente:
x
x Z
x Z
Z
693.069.721
000,60500,59
Entonces la media muestral se ubica en -0.693 y se confirma que cae
en la zona de aceptación.
Concluimos que la duración media de las llantas es muy cercana ala que afirma el fabricante de 60,000 millas, con un nivel designificancia de 0.05. Por lo tanto, se acepta la hipótesis nula.
x
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b Prueba de un extremo para las
medias
En este caso, el nivel de significancia (zonade rechazo) sólo abarca un extremo o colade la campana de Gauss.
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Ejemplo 2.-
Una cadena de restaurantes afirma que el tiempo medio deespera de clientes por atender está distribuido normalmentecon una media de 3 minutos y una desviación estándar de 1minuto. Su departamento de aseguramiento de la calidad hallóen una muestra de 50 clientes en un cierto establecimientoque el tiempo medio de espera era de 2.75 minutos. Al nivelde significación de 0.05, ¿Es dicho tiempo menor de 3minutos?
= 3 minutos. = 1minutos.
Datos: n = 50 clientes.= 2.75 minutos. = 0.05 x
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Representemos estos datos en la campana de Gauss:
Las hipótesis son:
Ho : = 3 El tiempo promedio de espera es de 3 minutos.
H1 : 3 El tiempo promedio de espera es menor de 3 minutos.
P i l l l tá d d l di
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Primero calculemos el error estándar de la media:
Ahora determinemos el valor de Z, ya que tenemos una muestramayor de 30:
Como = 0.05 y es una prueba de hipótesis para un extremo, en estecaso, el extremo izquierdo, entonces, el nivel de significancia estácontenido en este extremo, por lo que el nivel de confianza es 0.5 –
0.05 = 0.45 .Buscando en las tablas de la distribución normal 0.45, encontramosque: Z= 1.64
El límite izquierdo del intervalo de confianza será:
L i = 3 – 1.64 (0.1414)L i = 3 – 0.2319Li = 2.768
Gráficamente esto se representa así:
1414.007.7
1
50
1 x x x
x
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L di t l 2 75 l li l d h
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La media muestral 2.75, se localiza en la zona de rechazo,por lo que se puede establecer que se rechaza lahipótesis nula y se acepta la alternativa.
Comprobemos con :
x
x Z
x Z Z Z 77.1
1414.0
25.0
1414.0
375.2
Como podemos observar 1.77 está localizado más hacia la
izquierda del límite de confianza 1.64.
Podemos concluir que el tiempo medio de espera de clientespor atender en este establecimiento es menor de 3minutos. Por lo tanto, se rechaza la hipótesis nula.
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Ahora realizaremos un ejemplo cuando sedesconoce la desviación estándar de
la población.
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Ejemplo 3.-
Una cadena grande de tiendas de autoservicio, expidesu propia tarjeta de crédito. El gerente de créditodesea averiguar si el saldo insoluto medio mensuales mayor que 400 dólares. El nivel de significación sefija en 0.05. Una revisión aleatoria de 172 saldosinsolutos reveló que la media muestral es 407dólares y la desviación estándar de la muestra es 38
dólares. ¿Debería concluir ese funcionario que lamedia poblacional es mayor que 400 dólares, o esrazonable suponer que la diferencia de 7 dólares(obtenida de 407- 400 = 7) se debe al azar?
= 400 dólares.
n = 172 saldos insolutos.Datos: = 407 dólares.s = = 38 dólares (desviación estándar
estimada). = 0.05
x ̂
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Las hipótesis son:Ho :
= 400 dólares.
H1 : 400 dólares.Debido a que la hipótesis alternativa nosindica un sentido a la derecha de la
media, debemos aplicar una prueba deuna cola. Veamos la gráfica:
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Si calculamos el error estándar estimados tenemos que:
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Si calculamos el error estándar estimados, tenemos que:
n x
ˆˆ
897.2ˆ
115.13
38ˆ
172
38ˆ x x x
Si leemos en las tablas de la distribución normal 0.45,encontramos que: Z = 1.64
Determinando el límite superior del intervalo de confianza, se
tiene:
Ls = 400 + 1.64 (2.897)Ls = 404.75 dólares.
Gráficamente esto ocurre:
x ̂
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C b d
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Comprobando con:
x
x Z
ˆ
x Z Z Z ˆ416.2897.2
7
897.2
400407
Con esto comprobamos que el valor de la mediamuestral, cae dentro de la zona de rechazo, por lo
que se rechaza la hipótesis nula y se acepta laalternativa.
Con esto el gerente de crédito debe concluir que elsaldo insoluto medio mensuales es mayor que400 dólares.
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4. PRUEBAS DE
HIPOTESIS DE LAS
MEDIAS DE MUESTRAS
PEQUEÑAS.
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a Prueba de dos extremos para
medias
Mediante el siguiente ejemplo explicaremosel razonamiento a seguir para demostrar
una prueba de hipótesis de dos extremoscon una muestra menor a 30, en dondeaplicaremos la distribución t.
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Ejemplo 1.-
Un especialista en personal que labora en una gran corporación, estáreclutando un vasto número de empleados para un trabajo en elextranjero. Durante la realización de pruebas, la gerencia preguntacómo marchan las cosas y el especialista contesta: “Bien, creo quela puntuación promedio en el test de actitudes será 90” . Cuando la
gerencia revisa 20 de los resultados de la prueba, averigua que lapuntuación media es 84 y la desviación estándar de estapuntuación es 11. Si la gerencia quiere probar la hipótesis delespecialista en personal en el nivel de significancia de 0.10, ¿cuálserá el procedimiento a que recurra?
= 90
n = 2 0Datos: = 84s = = 1 1 = 0.10
x
Las hipótesis son:
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pHo: = 90’’
H1 : 90’’
El error estándar estimado de la media será:
46.2ˆ
472.411ˆ
2011ˆ
ˆˆ x x x
n x
En la tabla t de Student se localiza = 0.10, (donde: iz=
0.05 y der= 0.05 y gl = 20 – 1, o sea gl = 19 y se
encuentra que: t = 1.729
Con estos datos ya podemos determinar los limites superior
e inferior del intervalo de confianza, mediante la
expresión:
x ̂
xt Lc ˆ
Lc = 90” 1.729 (2.46) Ls = 90” + 4.246 Ls = 94.25”Li = 90” – 1.729 (2.46) Li = 90” – 4.246 Li = 85.75”
Gráficamente esto sucede:
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Tabla: Distribución t Student
Dr. Ing. Jhonny Valverde Flores
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Como la media muestral cae en la zona de rechazo, entonces se rechaza lahipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa.
Concluimos que la gerencia tiene suficientes evidencias parademostrar que el especialista está equivocado, que lapuntuación media no es 90.
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b Prueba de un extremo para medias
Para este caso, ya sabemos que el nivel designificancia (zona de rechazo) sólo
abarca un extremo o cola de la campanade Gauss.
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Ejemplo 2.-
Una persona tomó una muestra aleatoria de 7 casas en unsuburbio muy elegante de una gran ciudad y encontróque el valor promedio estimado del mercado era de$560,000, con una desviación estándar de $49,000.Pruebe la hipótesis de que, para todas las casas delárea, el valor medio estimado es de $600,000, contra laalternativa de que sea menor que $600,000. Use elnivel de significancia de 0.05.
n = 7 casas= $560,000
Datos: s = = $49,000 = $600,000 = 0.05
x ̂ x
Las hipótesis son:
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Ho : = $600,000H1 : $600,000Calculando el error estimado de la muestra, se tiene que:
52.518,18$ˆ
646.2000,49ˆ
7000,49ˆ
ˆˆ x x x
n x
Sabemos que el nivel de significancia es de 0.05, para una cola, por lo que se supone,
que si fuera una prueba para dos colas, cada una tendría 0.05, es decir, el nivel de
significancia = 0.10. Por lo tanto 0.10 es el valor que debemos localizar en la
tabla correspondiente de la distribución t de Student, con 6 grados de libertad (7 – 1).
Encontramos entonces que t = 1.943
Con estos datos, ya podemos determinar el límite inferior del intervalo de confianza en
donde se encuentra la verdadera media de la población.
x ̂
xt Li ˆ
Li = 600,000 – 1.943 (18,518.52) Li = $564,018.52
En la campana de Gauss:
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Tabla: Distribución t Student
Dr. Ing. Jhonny Valverde Flores
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Como la media muestral cae la zona de rechazo, entonces se
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,rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa.
Comprobando lo anterior, se tiene que:
Podemos concluir que el valor medio estimado del valorde todas las casas es menor de $600,000.
x Z Z Z 16.252.518,18
000,40
52.518,18
000,600000,560
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PRUEBA DE HIPOTESIS PARA
PROPORCIONES
a) Prueba de dos extremos paraproporciones.
La prueba de hipótesis para proporciones,tiene algunas variantes en lademostración de las hipótesis respecto ala prueba de hipótesis de medias,
variantes que se irán explicando conformese vayan aplicando.
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Ejemplo 1.-
Una compañía que está evaluando la promovibilidad de susempleados; es decir, está determinando la proporción deaquellos cuya habilidad, preparación y experiencia en lasupervisión los clasifica para un ascenso a niveles superiores dela jerarquía. El director de recursos humanos le dice alpresidente que el 80%,o sea el 0.8, de los empleados son “promovibles” . El presidente crea un comité especial para
valorar la promovibilidad de todo el personal. El comité realizaentrevistas en profundidad con 150 empleados y en su juicio seda cuenta que sólo el 70% de la muestra llena los requisitos dela promoción. El presidente quiere probar, en un nivel designificancia de 0.05, la hipótesis de que 0.8 de los empleadospueden ser promovidos.
p = 0.8q=0 . 2Datos: n = 150
= 0.7= 0.3
= 0.05
p
q
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Las hipótesis son:Ho : p = 0.8 80% de los empleados son
promovibles.
H1 : p 0.8 La proporción de empleadospromovibles no es 80%.Primero calculamos el error estándar de la proporción,
mediante la siguiente expresión:
n
q p H H 00
Sustituyendo valores:
0327.00010666.0150
)2)(.8(. p p p
En este caso, la compañía quiere saber si la verdadera
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, p qproporción es mayor o menor que la supuesta proporción.Por consiguiente, es apropiada una prueba de dosextremos para una proporción. El nivel de significancia
corresponde a las dos regiones sombreadas, cada una delas cuales contiene 0.025 del área. La región deaceptación de 0.95 se ilustra como dos áreas de 0.475cada una. Puesto que la muestra es mayor que 30,podemos recurrir la distribución normal. Basándonos enla tabla de ésta distribución, podemos calcular que elvalor correspondiente de Z para 0.475 del área bajo lacurva es 1.96 . Por tanto, los limites de la región deaceptación son:
Lc = PH0 ZLc = 0.8 1.96(0.0327)
Ls = 0.8 + 0.06409 Ls = 0.8641Li = 0.8 – 0.06409 Li = 0.7359
Viéndolo en la campana de Gauss:
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La probabilidad de la muestra = 0 7 se p
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La probabilidad de la muestra = 0.7, selocaliza en la zona de rechazo, por lo que serechaza la hipótesis nula y se acepta la
alternativa. Vamos a demostrarlo:
p
p Z Z Z 058.30327.0
1.0
0327.0
8.07.0
Podemos concluir que existe una diferenciasignificativa entre la supuesta proporción deempleados promovibles comunicada por eldirector de recursos humanos y la observada enla muestra, la proporción de toda la compañíano es del 80%.
b Prueba de un extremo para
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proporciones
Ejemplo 2.- Un artículo reciente en el periódico Reformareportó que un empleado está disponible sólo para que unode tres egresados universitarios con grado. Las principalesrazones aportadas fueron que existe una sobreabundanciade graduados de universidad y una economía débil.Suponga que una encuesta con 200 graduados recientes dela institución de usted, revela que 80 estudiantes teníanempleo. Al nivel de significancia de 0.02, ¿se puedeconcluir que una proporción mayor de estudiantesegresados tienen trabajo?
p = 0.8
q = 0.2
Datos: n = 150
= 0.7
= 0.3
= 0.05
p
q
Las hipótesis son:
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Las hipótesis son:Ho : p = 0.3333H1 : p 0.3333
Calcularemos primero el error estándar de laproporción:
n
q p p
Ho Ho
Sustituyendo valores:
0333.00011.200
2222.0
200
)6667.0()3333.0( p p p p
En este caso, se quiere saber si la verdadera proporción es mayor que lat ió P i i t i d b d
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supuesta proporción. Por consiguiente, es apropiada una prueba deun extremo para una proporción. El nivel de significancia correspondea la región derecha de rechazo. La región de aceptación de 0.98 seilustra como un área de 0.5 y otra de 0.48 como la muestra es mayor
de 30, podemos recurrir a la distribución normal. Basándonos en latabla de de esta distribución el valor correspondiente de Z, para 0.48del área bajo la curva es 2.05, por tanto, el límite de la región deaceptación es:
Ls = 0.3333 + 2.05 (0.0333) Ls = 0.3333 + 0.068265 Ls =0.4016
Como = 0.4, y es menor que 0.4016, se localiza en la zona deaceptación, entonces, se acepta la hipótesis nula.Demostrando lo anterior se tiene:
p
p
p p Z
p Z Z Z 003.20333.0
0667.0
0333.0
3333.04.0
En la campana de Gauss:
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Concluimos que no es mayor la proporción de estudiantesegresados que tienen trabajo.
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C Prueba de hipótesis para proporciones
de muestras pequeñas.
Si usamos la distribución t para una prueba hipótesis paraproporciones en muestras pequeñas, de dos colas, seguimos elmismo procedimiento que se utilizó en la prueba para medias demuestras pequeñas.
Lo mismo sucede si se trata de una prueba de un extremo,
recordando que, para obtener el valor apropiado de t en un nivel designificancia de 0.05 con 10 grados de libertad, buscaremos en latabla de la distribución t bajo la columna 0.10, frente al renglón 10grados de libertad. Esto es verdad porque la columna 0.10 delárea bajo la curva contenida en ambos extremoscombinados; por ello también representa 0.05 del área bajola curva contenida en cada uno de los extremos. Por estarazón en lugar de buscar en la columna 0.05, se busca 0.10.
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PRUEBAS NO PARAMÉTRICA
Para realizar análisis no paramétricos, debe partirse de lassiguientes consideraciones:
• La mayoría de estos análisis no requieren de supuestos
acerca de la forma de la distribución poblacional. Aceptan distribuciones no normales.• Las variables no necesariamente deben estar medidas
en un nivel por intervalo o de razón, pueden analizar
datos nominales u ordinales.• Si se quieren aplicar análisis no paramétrica a datos porintervalos o razón, éstos deben ser resumidos acategorías discretas (a unas cuantas). Las variablesdeben ser categorías.
MÉTODOS O PRUEBAS ESTADÍSTICAS NO
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PARAMÉTRICAS MÁS UTILIZADAS
Las principales pruebas no paramétricas son las siguientes:Prueba de chi-cuadradoPrueba binomialPrueba de Anderson-DarlingPrueba de CochranPrueba de Cohen kappaPrueba de Fisher
Prueba de FriedmanPrueba de KendallPrueba de Kolmogórov-SmirnovPrueba de Kruskal-WallisPrueba de KuiperPrueba de Mann-Whitney o prueba de WilcoxonPrueba de McNemarPrueba de la medianaPrueba de Siegel-TukeyCoeficiente de correlación de SpearmanPrueba de Wald-Wolfowitz
Prueba de los signos de Wilcoxon
Distribución Ji-Cuadrada o
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Chi-cuadrada o X
Es una prueba útil para variables categóricas yestadística, es aplicable cuando la variablenominal está compuesto por dos o más
categorías. Tiene dos aplicaciones:1. La prueba de bondad de ajuste Chi-cuadrada.2. La prueba Chi-cuadrada de asociación.
Ambas pruebas se utilizan para determinar si lasfrecuencias observadas (O) en las categoríasdifieren significativamente de las frecuenciasesperadas (E).
Es una prueba estadística para evaluar hipótesis acerca de la
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p p p
relación entre dos variables categóricas.
Símbolo: X
2
Hipótesis a probar: Correlaciones
Variables
involucradas:
Dos variables (la prueba Chi-cuadrada no
considera relaciones causales).Nivel de medición de
las variables
Nominal u ordinal (o intervalos o razón reducidasa ordinales)
Procedimiento La Chi-cuadrada se calcula por medio de unatabla de contingencia o tabulación cruzada, quees una tabla de dos dimensiones y cadadimensión contiene una variable. A su vez, cadavariable se subdivide en dos o más categorías.
CARACTERÍSTICAS
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Total de Fila x Total de ColumnaF. Esperada=
Total General
CARACTERÍSTICAS1. La Distribución X2 se lee con grados de libertad G.L =
(Nº de filas - 1)(Nº de columnas - 1).
2. No tiene valores negativos. El valor mínimo es 0.3. Todas las curvas son asimétricas4. Cuando aumentan los grados de libertad las curvas son
menos elevadas y más extendidas a la derecha.
5. Se utiliza para variables medidas en escala nominal uordinal.6. Las fórmulas son:
Ejemplo 1. Estudio de Tabla de contingencia 3x2:S di 1040 di d l i l d d ió
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Se estudia a 1040 estudiantes de los niveles de educaciónprimaria y secundaria y a los cuales se aplica un instrumentoque mide el aprendizaje de la matemática, en las dimensionesde aprendizaje conceptual, procedimental y actitudinal. Variables: APRENDIZAJE categorías: Conceptual, Procedimental, Actitudinal.NIVEL DE EDUCACIÓN categorías: Primaria, Secundaria.
NIVEL DE EDUCACIÓN
Primaria Secundaria
APRENDIZAJEConceptual
Procedimental
Actitudinal
180 100
190 280
170 120
TABLA DE CONTINGENCIA
Tabla de frecuencias observadas (O):
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NIVEL DE EDUCACIÓN TOTAL
Primaria Secundaria
APRENDIZAJEConceptual
Procedimental
Actitudinal
180 100 280
190 280 470
170 120 290
TOTAL 540 500 1040
La Chi-cuadrada es una comparación entre las tablas de
frecuencias observadas y la denominada tabla defrecuencias esperadas (la tabla que esperaríamos encontrar
si las variables fueran estadísticamente independientes o no
estuvieran relacionadas).
Tabla de frecuencias esperadas (E):
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La frecuencia esperada de cada celda, casilla o recuadro, se calcula
mediante la siguiente fórmula aplicada a la tabla de frecuencias
observadas: N = es el número total de frecuencias observadas.
E = (marginal del reglón)(marginal de columna) / N.
NIVEL DE EDUCACIÓN
Marginalde filas
Primaria Secundaria
APRENDIZAJE
Conceptual
Procedimental
Actitudinal
(280)(540)/1040 (280)(500)/1040 280
(470)(540)/1040 (470)( 500)/1040 470
(290)(540)/1040 (290)(500)/1040 290
marginal de columnas 540 500 1040
Frecuencia observada:
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NIVEL DE EDUCACIÓN TOTAL
Primaria Secundaria
APRENDIZ AJE
Conceptual
Procedimental
Actitudinal
145,4 134,6 280
244,0 226,0 470
150,6 139,4 290
TOTAL 540 500 1040
NIVEL DE EDUCACIÓN TOTAL
Primaria secundaria
APRENDIZAJE
Conceptual
Procedimental
Actitudinal
180 100 280
190 280 470
170 120 290
TOTAL 540 500 1040
Frecuencia esperada:
Donde:
O: frecuencia observada
en cada celda
E: frecuencia esperada
en cada celda
E
E O X
2
2
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Celda O E O-E (O-E)2 (O-E)2 / E
Conceptual/Primaria 180 145,4 34,6 1197,16 8,23
Procedimental/ Primaria 190 244,4 -54,4 2959,36 12,11
Actitudinal / Primaria 170 150,6 19,4 376,36 2,50
Conceptual / Secundaria 100 134,6 -34,6 1197,16 8,69
Procedimental /Secundaria 280 226,0 54,0 2916,00 12,80
Actitudinal / Secundaria 120 139,4 -19,4 376,36 2,70X2 = 47,33
Para saber si el valor de X2 es o no significativo, debemos calcular
los grados de libertad.
G.L. = (Nº de filas - 1)(Nº de columnas - 1).
Para el ejemplo: Nº de filas = 3 y Nº de columnas = 2; entonces
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j p y ;
G.L. = (3-1)(2-1) = 2.
Luego, acudimos a la “tabla de distribución de Chi-cuadrado”,eligiendo nuestro nivel de confianza ( = 0,05 ó = 0,01).
Si el valor obtenido de X2 es igual o superior al valor de la “tabla”,
decimos que las variables están relacionadas o no son
independientes.
Aplicación:
Para el nivel de confianza de =0,05 y g.l. = 2, el X2 de tabla es
5,9915 (ver tabla).X2
Obtenido = 47,33
X2Crítico = 5,9915
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Prueba de hipótesis:
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p
H0: No existe relación entre el aprendizaje y los
niveles de educación.
H1: Existe relación entre el aprendizaje y niveles deeducación.
X2obtenido X2
crítico entonces variables no sonindependientes; es decir existe una relación entre Aprendizaje y los niveles educativos
X2obtenido X2
crítico entonces se rechaza lahipótesis nula (H0), y por lo tanto se acepta la hipótesisalterna (H1).
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Establezca la Ho a ser probada; por ejemplo,
Ho: 1 = 2 = 0,5
Especifique el nivel de significancia α, por ejemplo: α = 0.5
Haga una tabla de frecuencias obtenidasDeduzca las frecuencias esperadas a partir de Ho:
Calcule el grado de libertad: Producto de (categorías - 1)Calcule el valor de X2 a partir de las frecuencias obtenidas yfrecuencias esperadas.Mediante la tabla de X2 obtenga el valor teórico.Compara dichos valores.
Establezca la conclusión con respecto a Ho:Retenga Ho si valor de tabla > Valor calculado.Retenga Ho si valor de tabla < Valor calculado.
Paso Nº 1
Paso Nº 2
Paso Nº 3
Paso Nº 4
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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ARIAS, F. Metodología de Investigación. México: Trillas.2007
BUENDÍA, L., González, D. y Llorente, T. Temas
fundamentales en la Investigación Educativa.Madrid:La Muralla. 2004 HERNÁNDEZ, R., Fernández, C. y Baptista, P.
Metodología de la Investigación. (5. ª ed.). México: McGraw-Hill. 2010.
SÁNCHEZ, H. y Reyes, C. Metodología y diseños en lainvestigación científica. (4ª ed.). Lima: VisiónUniversitaria. 2006
Dr. Ing. Jhonny Valverde Flores
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Trabajo individual
Presentar:
Avance del desarrollodel proyecto deinvestigación.
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GRACIAS
Docente:Dr. Ing. Jhonny Valverde Flores