Semana 03 Cinematic A i en Una Dimension 2009 b

8/2/2019 Semana 03 Cinematic A i en Una Dimension 2009 b

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CINEMTICA I /MOVIMIENTO UNIDIMENSIONAL

CINE

MTICA I1. CONCEPTOEs una parte de la Mecnica, que tiene porfinalidad describir matemticamente todoslos tipos posibles de movimiento mecnicosin relacionarlo con las causas quedeterminan cada tipo concreto de movi-miento. La cinemtica estudia las

propiedades geomtricas del movimiento,independientemente de las fuerzas aplicadasy de la masa de la partcula.

2.MOVIMIENTOEn general es una propiedad fundamental dela materia asociada a ella y que se manifiestaa travs de cambios, transformaciones ydesarrollo. Los cuerpos macroscpicos

poseen internamente mltiples movimientosmoleculares tales como: MovimientoTrmico, Movimiento Biolgico,Movimiento Electrnico, etc. Externamente

los cuerpos macroscpicos con el tiempoexperimentan transformaciones, cambios encantidad y calidad, esta realidad objetiva es

precisamente la materia en movimiento. Elmovimiento mecnico es el movimientoms simple de la materia, es decir elcambio de posicin. El movimientomecnico es el cambio de posicin respectode un sistema de referencia. De otro modo,el movimiento mecnico es relativo.

3.MOVIMIENTO MECNICOEs aquel cambio de posicin que realiza oexperimenta un cuerpo con respecto a unsistema de referencia. La visual delobservador se considera en el origen decoordenadas y que la tierra no se mueve.

4.SISTEMA DE REFERENCIAEs aquel lugar del espacio en donde enforma real o imaginara se sita unobservador para analizar un fenmeno.

Sobre un cuerpo en el espacio se fijarigurosamente un sistema coordenado

1 WALTER PEREZ TERREL / [email protected]

X (m)

Y (m)

0

r

r

Trayectoria

Fig. 01. MOVIMIENTO MECNICO


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(cartesiano, cilndrico, polar, etc.), lugar en el cual se instala un reloj (sistema horario) y seubica un observador en forma real o imaginaria, quien estudiar el fenmeno (movimientomecnico) en el espacio y en el tiempo. A este conjunto se le denomina sistema de referencia.

5. ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO MECNICO

5.1) Mvil.- Es el cuerpo o partcula que realiza un movimiento mecnico o que puede moverse.

5.2) Trayectoria.- Es la lnea recta o curva que describe el mvil al desplazarse. si la trayectoria escurvilnea, el recorrido es mayor que la distancia. En cambio si la trayectoria es rectilnea, entoncesel recorrido es igual a la distancia.

5.3) Vector Posicin )r( .- Es aquel vector utilizado por el observador con el fin de ubicar en elespaci y en el tiempo, al mvil. Este vector se traza desde la visual del observador (origen decoordenadas) al mvil en un cierto instante.

5.4) Recorrido (e).- Es la medida de la longitud de la trayectoria entre dos puntos considerados. Esuna magnitud fsica escalar.

5.5) Desplazamiento )d( .- Es una magnitud fsica vectorial, que sirve para expresar el cambio deposicin efectivo entre dos puntos efectuado por un mvil. De la figura 02 , adicin de vectores:

1 2r d r+ = despejando el desplazamiento: 2 1d r r= El desplazamiento se define como el cambio de posicin: d r=

5.6) Distancia (d).- Es el mdulo del vector desplazamiento. Es la medida del segmento que une elpunto inicial con el punto final del movimiento.


Fig. 02. DESPLAZAMIENTO

Y (m)

0

1r

r

2r

rX (m)


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5.7) Tiempo: Es una forma real de existencia de la materia, que se encuentra asociada a sumovimiento y espacio ocupado.El Tiempo en Mecnica sirve para medir la duracin de unfenmeno fsico y su ubicacin respectiva.El Tiempo para un evento fsico definido previamente se

puede clasificar en:- Intervalo de Tiempo (t).- Denominado tambin tiempo transcurrido, es aquel que sirve paramedir la duracin de un evento fsico.- Instante de Tiempo (t0).- Es aquel intervalo de tiempo pequesimo que nos permitir ubicarla tendencia de ocurrencia de un fenmeno fsico y su ubicacin principalmente en el espacio.

6. MEDIDAS DEL MOVIMIENTOEl movimiento mecnico se puede expresar en funcin a la rapidez de cambio de posicin en eltiempo, a travs de la velocidad y la aceleracin, y tambin en funcin a la naturaleza de lastransformaciones y considerando la masa del cuerpo el movimiento se mide en base al concepto deENERGA y cantidad de movimiento, que estudiaremos ms adelante.

7. VELOCIDADEs una magnitud fsica vectorial que nos expresa el cambio de la posicin en un intervalo de tiempo.

8. VELOCIDAD MEDIA (Vm)Es aquella magnitud fsica vectorial que expresa la rapidez de cambio de posicin de un mvil,evaluada en un intervalo de tiempo. La velocidad media Vm es colineal y del mismo sentido que eldesplazamiento, es decir la velocidad media tiene la misma direccin del desplazamiento.La velocidad media se evala entre dos puntos de la trayectoria. Matemticamente se expresa as:

m

r dV

t t

r = =

La velocidad media es independiente de la trayectoria.

Para un movimiento unidimensional en el eje X se expresa as:

0Fm

X XXV

t t

r = =

9. VELOCIDAD INSTANTNEA (V)Es aquella magnitud fsica que expresa la rapidez probable de cambio de posicin que tiende a poseero posee un mvil en un instante de tiempo. Matemticamente la velocidad instantnea viene a ser ellmite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.Se define como:

instantanea m0V = lim Vt

Con el uso del clculo diferencial, la velocidad instantnea se expresa as:

drV

dt= Se lee derivada de la posicin respecto del tiempo.

Para un movimiento unidimensional en el eje X.

dXV

dt= , se lee derivada de la posicin en el eje X respecto del tiempo. Donde X es un polinomio

cuya variable es el tiempo.


Fig. 03 VELOCIDAD MEDIA

Y(m)

1r

r

2r

r Vr

X(m)

t (s)

V

Tangente

X (t)

t0

V = Tg

Fig. 04. VELOCIDAD INSTANTNEA

X (m)


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Unidades de la velocidad: cm/s; m/s; km/h

La velocidad instantnea se representa mediante un vector tangente a la curva.

EJEMPLO 01: La posicin de un partcula en el eje X se define mediante la ley:2 3( ) 4 5. 6. 2. X t t t t = + + + , donde t se mide en segundos y X en metros. Determine la velocidad de la

partcula en el instante t = 5 segundos.

ResolucinLa velocidad se define como la derivada de la posicin respecto del tiempo:

0 1 2( ) 0 5. 6.2 2.3.d x

V t t t t d t

= = + + +

1 2( ) 5 12 6V t t t = + +Clculo de la rapidez para t = 5 s

V = 5 + 60 + 150 = 215 m/sClculo de la velocidad para t = 5 sV = 215 i (m/s)

EJEMPLO 02: La posicin de un partcula en el eje X se define mediante la ley:2 4( ) 4. 5. 2.X t t t t = + , donde t se mide en segundos y X en metros. Determine la velocidad de la

partcula en el instante t = 4 segundos.

ResolucinLa velocidad se define como la derivada de la posicin respecto del tiempo:

0 1 3

( ) 4.1. 5.2 2.4.

d x

V t t t t d t= = + 1 3( ) 4 10. 8.V t t t = +

Clculo de la rapidez para t = 4 s1 34 10.4 8.4V= +

34 40 8.4 468V= + = La velocidad media para t = 4 sV = -458 i (m/s)

10. POSICIN DE UNA PARTCULALa posicin final de una partcula, es igual a la posicin inicial ms el desplazamiento. Eldesplazamiento se define como el producto de la velocidad por el intervalo de tiempo.

0.fr r v dt = + = dtvrrf .0 = dtvr . = dtvd .

El desplazamiento que experimenta un punto material es igual al producto de la velocidad por elintervalo de tiempo.

11. VELOCIDAD RELATIVAEs la velocidad del cuerpo A respecto de un observador ubicado en el cuerpo B que tambin semueve. La velocidad de A respecto de B, se define como la diferencia de las velocidades.

/ A B A BV V V

=



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La velocidad relativa de A respecto de B, es el vector diferencia entre la velocidad de A (minuendo)y la velocidad de B (sustraendo).

12. PRINCIPIO DE RELATIVIDAD DE GALILEO:La velocidad de absoluta del mvil A, es igual a la velocidad del mvil B ms la velocidad relativade A respecto de B.

/ A B A BV V V= +13. ACELERACIN RELATIVA

Es la aceleracin del cuerpo A respecto de un observador ubicado en el cuerpo B que tambin semueve con aceleracin constante. La aceleracin de A respecto de B, se define como la diferencia de

las aceleraciones. / A B A Ba a a=

La aceleracin relativa de A respecto de B, es el vector diferencia entre la aceleracin de A(minuendo) y la aceleracin de B (sustraendo).

14. TEOREMA PLUS UNO.La distancia de separacin entre dos mviles que se mueven sobre una recta, tomara un valorextremo (mximo o mnimo relativo) cuando sus velocidades se igualen.

DEMOSTRACINSean 1 1( )= x x t y 2 2 ( )= x x t las leyes del movimiento de los mviles que se mueven sobreel eje x. La distancia de separacin entre estos ser: 1 2= x x xEsta distancia tomar un valor mximo o mnimo cuando su derivada respecto del tiempo, sea cero:

0=d x

d tentonces

( )1 2 0

=d x x

d t

1 2=d x d x

d t d t

finalmente podemos decir que:1 2

=v v


d

Fig. 05. VELOCIDAD RELATIVA

VB

VA

Mvil BMvil A

d

Fig. 05. ACELERACIN RELATIVA

aB

aA

Mvil BMvil A


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15. TEOREMA PLUS DOS.La velocidad relativa entre dos mviles que se mueven sobre una misma rectatomar un valorextremo (mximo o mnimo relativo) cuando sus aceleraciones se igualen.

DEMOSTRACIN

Sean 1 1( )=v v t y 2 2 ( )=v v t la velocidad de dos mviles que se mueven sobre el eje x. Lavelocidad relativa entre estos ser: 1 2= relv v vEsta velocidad relativa tomar un valor mximo o mnimo cuando su derivada respecto del tiempo,

sea nula: 0=reld v

d tentonces

( )1 2 0

=d v v

d t

1 2=d v d v

d t d t finalmente podemos decir que:

1 2=a a

Frmulas de derivadas inmediatas1. Derivada de una constante

ktX =)( la derivada es ktX = )(

2. Derivada de x

ttX =)( la derivada es 1)( = tX

3. Derivada de funcin af n

btatX += .)( la derivada es atX = )(4. Derivada de una potencia

)(tuu =kutX =)( la derivada es uuktX k = ..)( 1

5. Derivada de una raz cuadrada

utX =)( la derivada esu

utX

.2)(

=

6. Derivada de una raz

k utX =)( la derivada es k kuk

utX

1.)(

=

7. Derivada de suma

)(tuu = y )(tvv =vutX =)( su derivada es vutX = )(



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8. Derivada de una constante por una funcin

uktX .)( = la derivada es uktX = .)(9 . Derivada de un producto

vutX .)( = su derivada es vuuvtX += ..)(

10. Derivada de constante part ida por una funcin

v

ktX =)( la derivada es

2

.)(

v

vktX

=

11. Derivada de un cociente

v

utX =)( la derivada es

2

..)(

v

vuuvtX

=

12. Derivada de la funcin exponencial

a es un nmero real .

uatX =)( la derivada es aLnautX u ..)( =

13. Derivada de la funcin exponencial de base e

e es un nmero real .

uetX

=)( la derivada es ueutX .)( =

1 4. D er iv ad a d e u n l og ar it mo

1 5. D er iv ad a de u n lo ga ri tm o ne pe ri an o

16. Derivada del seno

17. Derivada de l coseno

18. CALCULO DE LA DERIVADA. OPERADOR DERIVADA.



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A) Determinar la primera derivada de las siguientes funciones. Determinar la VELOCIDADpara: t = 2 segundos.

1. ttX .5)( = 2. ttX .6)( = 3. 4)( =tX 4.3

)(t

tX = 5.2

)(t

tX =

6. 3.4)( ttX = 7.3

)(3t

tX = 8. 2.3)( ttX = 9.2

)(2t

tX = 10.4

)(4t

tX =

11. 4.4)( ttX = 12.4

)(4t

tX = 13. 5.2)( ttX = 14. ttttX .5.3)( 24 =

15. 8.5.3.2)( 24 ++= ttttX 16. 2.5.5.2)( 23 = ttttX 17.5

( )X tt

=

18.2

3( )X t

t= 19.

3

2( )X t

t= 20. ttX =)( 21. 3)( += ttX

22. 3)( 2 += ttX 23. tttX .3)( 2 += 24. 5.3)( 2 ++= tttX 25. )()( tSentX =

26. )(.5)( tSentX = 27. ).2(.4)( tSentX = 28. ).3(.8)( tSentX =

29. ).3(.8)( 2tSentX = 30. )2.3(.8)( += tSentX 31. )2.3(.8)( 2 += tSentX

32. ).2.3(.2)( 2 ttSentX += 33. )5.2.3(.4)( 2 += ttSentX 34. )()( tSentX =

35. )1.2()( 2 ++= ttSentX 36. )1.2()( 2 ++= ttCostX 37. )()( tCostX =

38. )()( tCostX = 39. ).2()( tCostX = 40. ).3()( 2tCostX = 41. )()( tCostX =

42. ).2.3()( 2 ttCostX += 43. 24 .3)( tttX += 44. 5)( ttX = 45. 46)( tttX +=

46.23

)(46 tt

tX += 47.23

)(46 tt

tX = 48.46

)(46 tt

tX += 49. )(.)( tSenttX =

50. )(.)( 2 tSenttX = 51. )2(.)( 2 tSenttX = 52. )(.)( tCosttX = 53. )2(.3)( tCosttX =

54. )3(.)( tCosttX = 55. )(.)( 2 tCosttX =

B) Determinar la segunda derivada de las siguientes funciones. Determinar la ACELERACIN para: t

= 3 segundos.

1. 2.5)( ttX = 2. ttX .4)( = 3. 3.4)( ttX = 4. 4.3)( ttX = 5. 5.4)( ttX =

6. ttttX .5.3)( 23 = 7. 8.5.3.2)( 24 ++= ttttX 8. 2.5.5.2)( 23 = ttttX

9.t

tX5

)( = 10. 23

)(t

tX = 11. 32

)(t

tX = 12. )()( tSentX = 12. )(.5)( tSentX =

13. ).2(.4)( tSentX = 14. ).3(.8)( tSentX = 15. )2.3(.8)( += tSentX

16. )()( tSentX = 17. )()( tCostX = 18. ).2()( tCostX = 19. ).3()( 2tCostX =



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20. )()( tCostX = 21. ttX =)( 22. 3)( += ttX

C) Determinar la tercera derivada de las siguientes funciones. Determinar la CELERIDADpara: t = 1 segundo.

1.2

)(2t

tX = 2.3

)(3t

tX = 3.8

)(4t

tX = 4. ).3()( tSentX = 5. ).4()( tSentX =

6. )()( += tSentX 7. )2()( += tSentX 8. )()( 2 += tSentX 9. ).2()( += tSentX

10. ).2()( tCostX = 11. ).3()( tCostX = 12. ).4()( tCostX = 13. )()( += tCostX

14. ( )tCostX .2)( = 15. ( ) = tCostX .2)( 16.

+=

2.2)(

tCostX

17.

=

2.2)( tCostX

19. EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS

Tema: MOVIMIENTO UNIDIMENSIONAL (Nivel Bsico)

1. Un cuerpo tiene la siguiente ley del movimiento: X (t) 23 4.t t+ + , donde t se mide ensegundos y X se mide en metros. Determine la distancia que recorre entre los instantes t = 2 s y t= 5 s.

2.La posicin de un partcula en el eje X se define mediante la ley: 2 3( ) 4 5. 6. 2. X t t t t = + + + , dondet se mide en segundos y X en metros. Determine la velocidad de la partcula en el instante t = 5segundos.

3.Se conoce la ley del movimiento de una partcula que se mueve en el eje x.

( )X t t t23 12 5= + , donde t se mide en segundos y x en metros.a) Determine la velocidad en el instante t = 1 s.b) Determine la velocidad en el instante t = 5 s.c) En qu instante la velocidad es nula?

4. Se conoce la ley del movimiento de una partcula que se mueve en el eje x.( )X t t t25 24 10= + , donde t se mide en segundos y x en metros.a) Determine la velocidad en el instante t = 2 s.b) Determine la velocidad en el instante t = 5 s.c) En qu instante la velocidad es nula?





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6. Se conoce la ley del movimiento de una partcula que se mueve en el eje x.



( )X t t t23 12 5= + , donde t se mide en segundos y x en metros. Determine la velocidadmedia entre los instantes t = 1 s y t = 5 s.


( )X t t t25 24 10= + , donde t se mide en segundos y x en metros. Determine la velocidadmedia entre los instantes t = 2 s y t = 5 s


( )X t t t3 18 20= + , donde t se mide en segundos y x en metros. Determine la velocidadmedia entre los instantes t = 3 s y t = 9 s


( )X t t t3 26 10= + , donde t se mide en segundos y x en metros. Determine la velocidadmedia entre los instantes t = 3 s y t = 8 s.


( )X t t t3 22 12 5= + , donde t se mide en segundos y x en metros.a) Determine la aceleracin en el instante t = 1 s.b) Determine la aceleracin en el instante t = 5 s.c) En qu instante la aceleracin es nula?


( )X t t t3 215 10= + , donde t se mide en segundos y x en metros.a) Determine la aceleracin en el instante t = 3 s.b) Determine la aceleracin en el instante t = 9 s.c) En qu instante la aceleracin es nula?


( )X t t t4 218 20= + , donde t se mide en segundos y x en metros.a) Determine la aceleracin en el instante t = 2 s.b) Determine la aceleracin en el instante t = 4 s.

c) En qu instante la aceleracin es nula?14. Se conoce la ley del movimiento de una partcula que se mueve en el eje x.

( )X t t t3 215 10= + , donde t se mide en segundos y x en metros.a) Determine la velocidad en el instante t = 4 s.b) Determine la velocidad en el instante t = 8 s.c) Determine la aceleracin media entre los instantes t = 4 s y t = 8 s.


( )X t t t3 22 12 5= + , donde t se mide en segundos y x en metros.a) Determine la velocidad en el instante t = 1 s.

b) Determine la velocidad en el instante t = 3 s.



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c) Determine la aceleracin media entre los instantes t = 1 s y t = 3 s.


( )X t t t4 218 20= + , donde t se mide en segundos y x en metros.a) Determine la velocidad en el instante t = 2 s.b) Determine la velocidad en el instante t = 4 s.c) Determine la aceleracin media entre los instantes t = 1 s y t = 3 s.


( ) ( )X t Sen t20. .= + , donde t se mide en segundos y x en metros.a) Determine la velocidad en el instante t = 1 s.b) Determine la velocidad en el instante t = 3 s.c) En qu instante la velocidad es nula?


( )t

X t Sen

2.10. 8 2

= , donde t se mide en segundos y x en metros. En qu instante la

velocidad es nula?

19. Conociendo la ley de l movimiento: 10.1223

)(23

+= ttt

tX , donde X se mide

en metros y t se mide en segundos. Determinar :a) Determinar la ve loc idad en cualqu ier instante de t iempo.b) En qu instante la ve loc idad es nu la?c) En qu posic in su ve loc idad es nu la?d) Cul es su recorr ido y desplazamiento entre st 0= y st 5= ?

e) Cul es su velocidad media entre st 1= y st 5= ?f) Cul es su ace lerac in media entre st 2= y st 5= ?g) Determinar la ace lerac in en cualqu ier instante de t iempo.h) Cul es su ace lerac in en st 4= ?i ) En qu instante la ace lerac in es nu la? j ) En qu posicin su aceleracin es nula?


.3

3)(

23

+= ttt



e) Cul es su velocidad media entre st 1= y st 5= ?

f) Cul es su ace lerac in media entre st 2= y st 5= ?g) Determinar la ace lerac in en cualqu ier instante de t iempo.h) Cul es su ace lerac in en st 4= ?i ) En qu instante la ace lerac in es nu la? j ) En qu posicin su aceleracin es nula?



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)(23

+= ttt






.3

3)(

23

+= ttt





23. Conociendo la ley de l movimiento: 10.16.33

)( 23

+= ttt





24. Conociendo la ley de l movimiento: 5)( 23 += ttttX , donde X se mide enmetros y t se mide en segundos. Determinar :a) Determinar la ve loc idad en cualqu ier instante de t iempo.b) En qu instante la ve loc idad es nu la?c) En qu posic in su ve loc idad es nu la?

d) Cul es su recorr ido y desplazamiento entre st 0= y st 2= ?e) Cul es su velocidad media entre st 3= y st 5= ?



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f ) Cul es su ace lerac in media entre st 2= y st 5= ?g) Determinar la ace lerac in en cualqu ier instante de t iempo.h) Cul es su ace lerac in en st 5= ?i ) En qu instante la ace lerac in esnula? j ) En qu posicin su aceleracin es nula?


.5

3)(

23

++= ttt




f) Cul es su ace lerac in media entre st 2= y st 5= ?

g) Determinar la ace lerac in en cualqu ier instante de t iempo.h) Cul es su ace lerac in en st 5,2= ?i ) En qu instante la ace lerac in es nu la? j ) En qu posicin su aceleracin es nula?


.7

3)(

23

++= ttt


en metros y t se mide en segundos. Determinar :a) Determinar la ve loc idad en cualqu ier instante de t iempo.b) En qu instante la ve loc idad es nu la?c) En qu posic in su ve loc idad es nu la?

d) Cul es su recorr ido y desplazamiento entre st 0= y st 6= ?e) Cul es su velocidad media entre st 3= y st 5= ?

f) Cul es su ace lerac in media entre st 1= y st 4= ?g) Determinar la ace lerac in en cualqu ier instante de t iempo.h) Cul es su ace lerac in en st 5,3= ?i ) En qu instante la ace lerac in es nu la? j ) En qu posicin su aceleracin es nula?


.9

3)(

23

++= ttt







14/47



.13

3)(

23

++= ttt




f) Cul es su ace lerac in media entre st 3= y st 6= ?g) Determinar la ace lerac in en cualqu ier instante de t iempo.h) Cul es su ace lerac in en st 6= ?



15/47


29. i ) En qu instante la ace lerac in es nu la? j ) En qu posicin su aceleracin es nula?

FUNDAMENTO TERICOI. La velocidad es la anti-derivada de la aceleracin:

1).()( CdttatV +=

II. La Posicin en un eje de coordenadas es la anti-derivada de la velocidad.

2).()( CdttVtX +=

III. Variacin o cambio de la velocidad:

=b

a

dttaV ).(

IV. Variacin o cambio de la posicin o desplazamiento:

=b

a

dttVX ).(

Resolver cada caso:

1. dtt. 2. dtt .2

3. dtt .3

4. dxx .4

5. dxx .5

6. dxxN

.

7. ( ) + dyy .3 8. ( ) + dyyy .32

9. ( ) +++ dxxxx 5223

10. ( ) +++ dxxxxx .1234

11. ( ) ++ dxxxx .235

12. kdxxkN

... 13. 4

2

.dxx 14. ( ) +4

2

1 dxx 15.

( ) +4

2

2 1. dxx 16. 4

0

.dtt 17. ( ) 3

0

23 dtt 18. ( ) +1

0

2 23. dttt 19. ( ) +4

3

2 3. dttt 20.

( ) 1

0

2 2. dtt 21. dttSen ).( 22. dttSen ).2( 23. dttSen ).3( 24. dttSen ).4( 25.

dttSen ).5( 26. dttCos ).( 27. dttCos ).2( 28. dttCos ).3( 29.

dttCos ).4( 30. dttCos ).5(

PROBLEMAS PROPUESTOS (NIVEL INTERMEDIO)

1. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley:2.)32()( += smtta En el instante st 2= la velocidad es ).(20 1smi . Determine la velocidad

en el instante st 10=

FSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931Pgina 15


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2. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley:2.)32()( = smtta

En el instante st 5= la velocidad es ).(10 1smi . Determine la velocidad en el instante st 8=


En el instante st 3= la velocidad es ).(20 1smi . Determine la velocidad en el instante

st 10=



st 10=

5. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley:22 .)5.3()( = smtta


st 10=

6. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley:22 .).3()( = smtta


st 10=

7. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley:23 .)4()( = smtta


st 10=

8. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley:2.)5()( = smta


st 10=

9. Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley:2.)10()( = smta


st 10=

10.Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley:2.)5()( = smta



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En el instante st 5= la velocidad es ).(10 1smi . En el instante st 0= la posicin es )(10 mi

Determine la posicin en el instante st 10=

11.Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley:2

.)10()(

= smtaEn el instante st 5= la velocidad es ).(10 1smi . En el instante st 0= la posicin es )(10 mi


12.Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley:2.)5()( = smtta






14.Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley:2.)5()( += smtta

En el instante st 5= la velocidad es ).(20 1smi En el instante st 0= la posicin es )(10 mi


15.Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley:

2.)1.2()( += smttaEn el instante st 5= la velocidad es ).(20 1smi

En el instante st 0= la posicin es )(10 mi



En el instante st 5= la velocidad es ).(20 1smi






Determine la posicin en el instante st 10=}



18/47





Determine la posicin en el instante st 10= }


En el instante st 5= la velocidad es ).(20 1 smi









En el instante st 0= la posicin es )(10 miDetermine la posicin en el instante st 10=





23.Una partcula se mueve en el eje X cuya aceleracin vara con el tiempo con la siguiente ley:22 .).10()( = smtta








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25.Determinar el cambio de la velocidad:

4

2

.V t dt =

26.Determinar el cambio de la velocidad: ( )

4

2

1V t dt = +


( ) =6

2

2 2 dttV

28.Determinar el cambio de la velocidad: ( ) =

4

3

2

1 dttV


( )=4

0

.2 dttV

30.Determinar el cambio de la velocidad: ( ) =3

0

23 dttV

31.Determinar el cambio de la velocidad: ( )=3

0

23 dttV

32.Determinar el cambio de la velocidad: =3

0

)( dttSenV

33.Determinar el cambio de la velocidad: =

3

0

)( dttCosV

34.Determinar el desplazamiento: ( )3 2

1

3 2 X t dt =

35.Determinar el desplazamiento:

( ) +=4

2

53 dttX


( ) +=5

2

210.3 dttX



20/47



( ) +=6

2

210.3 dttX

38.Determinar el desplazamiento: ( )

=

9

3

22 dttX

39.Determinar el desplazamiento: =9

3

)( dttSenX


3

)2( dttSenX


3 )( dtostCosX


3

)2( dttCosX

PROBLEMAS PROPUESTOS

30.Una partcula que se mueve sobre el eje x tiene la aceleracin variable segn la ley:( )Xa t i= +r 8 donde t se mide en segundos y la aceleracin en m.s-2. Para 0=t la rapidez es

V y para 4=t s la rapidez es 3V. Determinar la rapidez para 6=t s

31. Una partcula que se mueve sobre el eje x tiene la aceleracin variable segn la ley:

( )Xa t i= + 6 2 donde t se mide en segundos y la aceleracin en m.s-2. Inicia su movimiento0=t , desde el reposo, en x m=5 . Determinar la posicin en el instante 2=t s .

32. Una partcula se mueve en el eje X con velocidad: ( )2 2 2= + +xv t t i m/s. Si el mvil inicia sumovimiento en 6=x m , determinar la posicin en el instante 3=t s .

33. Una partcula se mueve en el eje X con velocidad: ( )2 3 3= xv t i m/s. Determinar la longituddel recorrido en el intervalo 0 2= =t hasta t s .

34. Una partcula se mueve en el eje X con velocidad: ( )2 3 12= xv t i m/s. Determinar eldesplazamiento en el intervalo 1 3= =t s hasta t s .


( )a t t12. 36= , donde t se mide en segundos y a en m.s-2. Si en el instante t = 3 s, la

velocidad es nula; y en el instante t = 1,0 s, su posicin es x = 3 m, determine la ley del



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movimiento.

36. Una partcula se mueve en el eje X con velocidad: ( )2 3 4= xv t i m/s. Si e mvil inicia sumovimiento en 5=x m , determinar1) el recorrido que experimenta en los primeros 2 segundos.2) el desplazamiento que experimenta en los primeros 4 segundos.

37. Si la ley de movimiento de una partcula que se mueve sobre el eje x es:2 3( ) 24. 9.X t t t t = +

Determinar la longitud del recorrido en el intervalo 0 6t y t s= =


( )a t t24. 8= , donde t se mide en segundos y a en m.s -2. Si en el instante t = 2 s, lavelocidad es +42 i (m/s); y en el instante t = 1,0 s, su posicin es x = 15 m, determine la ley delmovimiento.

39. Una partcula se mueve sobre el eje X, cuya velocidad en funcin de la posicin es:

iXV .2= (m/s). Determine la aceleracin en funcin de la posicin.

40. El movimiento de una partcula viene definido por la relacin ( ) itttx 61562 23 += , dondex se expresa en metros y t en segundos. Determine:1) la posicin de la partcula en el instante en que la aceleracin sea nula.2) la velocidad de la partcula en el instante en que la aceleracin sea nula.

41. Una partcula se mueve en el eje x, desde 0t = , con la siguiente ley de movimiento:

( )2

. 3

3

t t

X

= donde X se expresa en metros t en segundos. Determine en qu intervalos de

tiempo el movimiento es acelerado y en qu intervalos es desacelerado.

42. Sean: 21 8 2 X t t = + y2

210 X t t = las leyes de movimiento de dos mviles (1) y (2) que

partiendo del origen de coordenadas ( )0x = se mueven en el eje X.a) Despus de cuntos segundos se encuentran juntos por segunda vez?b) En qu posicin se encuentran cada uno de los mviles cuando se detieneninstantneamente?c) Determine la distancia de mximo alejamiento entre los mviles.

43. Un mvil se mueve a lo largo del eje x d acuerdo a la ley:2

2 2 3xV t t= + + donde xV se mideen m/s y t en segundos. Sabiendo que cuando 0t= la posicin es 1x m=a) Encontrar el valor de x cuando 2t s= b) Determine la aceleracin cuando 3t s=

44. Una partcula se mueve en el eje X con velocidad: ( )2 1= r

xv t i donde xv se mide en m/s y t

en segundos. Determinar:

a) La aceleracin cuando 24=x

v i m/s.

b) El desplazamiento en el intervalo de 0t = a 3=t s

c) El recorrido en el intervalo de 0t = a 3=t s



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45. Si x e y se miden en metros y t en segundos, entonces determinar las frmulasdimensionales de las expresiones:

I.dt

dyII.

xd

yd2

2

III.td

yd2

2

IV. dxx .2 V. dtx .2

46. Si v se mede en m/s, a se miden en m/s2 y t en segundos, entonces determinar lasfrmulas dimensionales de las expresiones:

I.dt

dxII.

td

xd2

2

III.td

vd2

2

IV. dtv. V. dta. VII. dta.



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PROBLEMAS PROPUESTOS (NIVEL avanzado)

1.Una partcula de mueve rectilneamente sobre el eje X, donde la aceleracin instantnea est dadapor 4.xa x= donde x se mide en metros y xa en 2.m s . Si el mvil parte del reposo en laposicin 3x m= + , determinar la velocidad cuando pasa por 0x = .

2.La grafica x t muestra la ley de movimiento de los mviles A y B que se mueven rectilneamentesobre el eje x. Determinar la mxima distancia de separacin entre A y B, adems en que instanteocurre esto.

3.La grafica v t mostrada describe el movimiento de dos mviles A y B que se mueven son el ejex. Si los dos mviles parten desde un mismo punto en 0t= , hallar la ventaja que le sac el mvilA al mvil B hasta el instante en que sus aceleraciones se hacen iguales. En la figura las curvas soncuartos de circunferencias.

4.La grafica muestra la manera como vara la velocidad de un mvil, que se mueve rectilneamente en

funcin del tiempo transcurrido. Determinar el desplazamiento que experimenta el mvil hasta elinstante en su aceleracin es numricamente igual al tiempo transcurrido. El la figura la curva es uncuarto de circunferencia.

5.La figura muestra la grafica x t de un mvil A que parte del origen de coordenadas en el instante0t= , y sigue la trayectoria rectilnea en el eje x. Si despus de 5 segundos, otro mvil B

comienza a moverse con M.R.U sobre el eje x, determinar con qu velocidad mnima debedesplazarse para alcanzar al mvil B.

6.Las leyes del movimiento de dos partculas A y B estn dadas por: 25 2 2+ +A x .t t y2

6 +B x .t t donde x se mide en metros y t en segundos. Determinar el mnimo valor quetoma la distancia de separacin entre los mviles A y B.7.Las leyes del movimiento de dos partculas A y B que se mueven en el eje x estn dadas por:

363

= A x .sen t y ( )2B x .Sen .t donde x se mide en metros y t en segundos.Determinar el instante en que, por primera vez, la velocidad relativa entre A y B toma su mximovalor.

8.Las leyes del movimiento de dos partculas A y B estn dadas por: ( )2 2A x t t y( ) 22Bx t donde x se mide en metros y t en segundos. Determinar el mnimo valor que

toma la velocidad relativa entre los mviles A y B.

9.La aceleracin de una partcula se define mediante la relacin 2a k .t en (m/s2) y t en segundos.

Si para 0t= la velocidad es 32v i (m/s), y para 4t s la velocidad es 32v i+ y laposicin es 0x = en metros. Determinar:a) La constante k.

b) La velocidad y posicin en cualquier instante de tiempo.c) El instante de tiempo en el cual la velocidad es nula.


(A)

t (s)

Para el problema 5X (m)

10

105O(B)

O

t (s)

Para el problema 2

-3

3

(B)

X (m)

126 9

(A)

+6

+3

O t (s)

Para el problema 3

(B)

V (m/s)

2

2

(A)

O

t (s)

Para el problema 4

V (m/s)

2

2


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10. El punto material se desplaza con velocidad: ( )2 3 2x v t t i + en (m/s). Si para 0t= laposicin es 0x i (m). Calcular:a) la posicin en el instante en que la velocidad es nula.

b) el valor de la velocidad cuando la aceleracin es nula.

11. Una partcula tiene un movimiento rectilneo con aceleracin: ( )6 4x a k.t i en (m/s2) y t ensegundos. Si para 0t= la velocidad es 3v i (m/s) y la posicin es 0x = en metros.Determinar:

a) el valor de la constante k, si para 4t s la velocidad es 3v i+ (m/s)b) la velocidad cuando 5t sc) el desplazamiento en los primeros 4 segundos.d) En qu instante pasa por 0x = ?

12. Un punto material se desplaza en el eje x con velocidad: 81 8160x

v x + . Si para 0t= segundos la posicin es 0x = metros. Calcular:a) la aceleracin y la velocidad en cualquier instante.c) el tiempo que demora en recorrer los primeros 60 metros.

13. Un punto material se desplaza en el eje x con aceleracin ( )2x a k .v i en (m/s2) y t ensegundos donde 10 5k , m= . Si para 0t= la velocidad es 0 2v i (m/s) y la posicin es

0x = en metros. Determinar la posicin del punto material en funcin de la velocidad v.14. Un punto material se desplaza en el eje x con aceleracin ( )220x a . .x i= en (m/s2), si el mvilparte de 0 2x = metros y la velocidad inicial es 0 2v i (m/s). Determina la posicin de lapartcula y el valor del desplazamiento cuando se detiene.

15. El movimiento de una partcula esta expresado por la siguiente ley: 2x t , ( ) 21y t ,8 z .t donde x, y, z se expresan en metros t en segundos. Calcular;

a) el instante para el cual la velocidad es mnima

b) el valor de la velocidad mnimac) el valor de la aceleracin normal y tangencial para 0 5t , sd) el radio de curvatura para 0 5t , s

BIBLIOGRAFA VIRTUAL Y FUENTES DE INFORMACIN:http://grups.es/didactika/yahoo.comhttp://grups.es/albert_einstein_koch/yahoo.comwww.didactika.comBlog: DIDACTIKA.COM

http://grups.es/didactika/yahoo.comhttp://grups.es/albert_einstein_koch/yahoo.comhttp://www.didactika.com/http://grups.es/didactika/yahoo.comhttp://grups.es/albert_einstein_koch/yahoo.comhttp://www.didactika.com/


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M.R.U.(MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORME)

1. CONCEPTO. El mvil describe una trayectoria rectilnea, avanzando distancias iguales enintervalos de tiempos iguales. El cuerpo se mueve con velocidad constante (mdulo y direccin).El movimiento rectilneo uniforme, es el movimiento ms simple de la materia.

2. VELOCIDAD CONSTANTELa particula se mueve con velocidad constante en mdulo y direccion. Es decir la trayectoria esrectilinea siempre.

3. CARACTERSTICASDE LA VELOCIDAD EN EL M.R.U.La velocidad instantnea es constante. La velocidad media es constante. La velocidad instantnea

es igual a la velocidad media.La velocidad es una cantidad fsica vectorial, es decir tiene mdulo y direccin.La rapidez es el mdulo de la velocidad.

Clculo de la rapidez:d

Vt

=

Clculo de la distancia: .d V t=

Clculo del tiempo transcurrido: d

tV

=

Unidades: d : metros ; t : segundos ; V : m/s

4. ECUACIN DEL MOVIMIENTO (M.R.U.)La posicin final de la partcula es igual a la adicin de la posicin inicial ms el desplazamiento.

0.

F x x V t = +El signo positivo o negativo representan la direccin de la cantidad vectorial. De otro modo, sereemplaza en la ecuacin en signo de cada cantidad fsica vectorial.

fx : Posicin final 0x : Posicin inicialV : Velocidad t: tiempo transcurrido

5. EQUIVALENCIA

Un kilmetro equivale a mil metros.Una hora equivale a 3 600 segundos. Una hora equivale a 60minutos. Un minuto equivale a 60 segundos. La rapidez 36 km/h equivale a 10 m/s.

6. SONIDO Y ECOEl eco es un fenmeno acstico. El sonido en una onda mecnica. El sonido necesita para

propagarse un medio diferente al vaco. En el aire se propaga con una rapidez promedio de 340m/s. El eco se produce cuando el observador percibe el mismo sonido por segunda vez debido alrebote de la onda sonora en algn obstculo (montaa, cerro, pared, muro, etc.).La rapidez del sonido en el aire seco a 0 C es de unos 330 m/s. La presencia de vapor de agua enel aire incrementa ligeramente dicha rapidez. Un aumento de la temperatura del aire tambinaumenta la rapidez del sonido. La rapidez del sonido en aire aumenta en 0,6 m/s por cada grado

centgrado. La rapidez del sonido en un material dado no depende de la densidad material, sinode su elasticidad. El acero en un material elstico. Los tomos de un material elstico estn



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relativamente juntos. El sonido se propaga unas quince veces ms a prisa en el acero que en elaire, y unas cuatro veces ms a prisa en agua que en el aire.La ecuacin muestra la variacin de la rapidez del sonido en el aire debido al cambio de latemperatura en grados Celsius.

( ) ( ) 0330 0 6 0Tm

V , .T T C s= + >EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Un auto que tiene M.R.U., se mueve en direccin a una montaa con rapidez constante de 20 m/s,en cierto instante el chofer toca la bocina y escucha el eco luego de 4 segundos. Si la rapidez delsonido en el aire es 340 m/s, A qu distancia de la montaa se encontrar el auto cuando el choferescucha el eco?

2. Un auto que tiene M.R.U., se mueve alejndose de una montaa con rapidez constante de 20 m/s,

en cierto instante de la montaa el chofer toca la bocina y escucha el eco luego de 4 segundos. Si larapidez del sonido en el aire es 340 m/s, A qu distancia de la montaa toc la bocina?

3. Una persona ubicada entre dos montaas, en cierto instante emite un grito y percibe el primer eco alos 3,0 segundos y a los 3,6 segundos correspondientes a la otra montaa. Sabiendo que la rapidezdel sonido en el aire es 340 m/s, determinar la distancia entre las montaas.

4. Dos relojes electrnicos estn separados 1 020 metros, cuando dan la hora, uno de ellos se adelanta2,0 segundos. A qu distancia del reloj adelantado una persona oir a los dos relojes dar la hora almismo instante?

5. Un hombre dispara una bala en direccin horizontal con rapidez 170 m/s, contra un blanco y

escucha el impacto luego de 3 segundos. Si la rapidez del sonido en el aire es 340 m/s, A qudistancia del hombre se encuentra el blanco?

6. Dos personas A y B estn separadas unadistancia X. En cierto instante la personaA dispara una bala horizontalmente conrapidez de 170 m/s, en direccin del

blanco que se encuentra junto a la personaB. Sabiendo que B escucha el disparo y3,0 segundos despus percibe el impactocon el blanco. Si la rapidez del sonido enel aire es 340 m/s, determine el valor de Xen metros.

7. Se tiene dos velas (1) y (2) de tamaosiguales, los cuales tienen una duracin T1= 4 horas y T2 = 3 horas emitiendoenerga luminosa. Si las velas empiezan eemitir luz simultneamente, despus decuanto tiempo en tamao de uno e deellos es el doble que el otro?


L

Para el problema 07

(1) (2)

d d d

H

Para el problema 08


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8. Dos velas cuyas alturas H, en el momento inicial eran iguales, se encuentran a una distanciad una de otra, la distancia entre cada una de las velas y la pared mas prxima es tambind. Con qu rapidez se mueven las sombras de las velas por las paredes, si una vela seconsume durante un tiempo T1 y la otra durante T2?

M.R.U.V.(MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORMEMENTE VARIADO)

1. CONCEPTO.Es aquel movimiento donde el mvil describe una lnea recta y adems en intervalos de tiempo

iguales los cambios de velocidad son iguales y las distancias recorridas son diferentes. Tieneaceleracin constante.Los cambios de velocidad son iguales en tiempos iguales. La trayectoria o

camino de la partcula es una lnea recta.El mvil recorre distancias diferentes en tiempos iguales.

2. ACELERACIN LINEAL O TANGENCIAL.La aceleracin lineal mide la rapidez de cambio de la velocidad en mdulo. En el M.R.U.V. laaceleracin lineal es constante, es decir no cambia la direccin ni el mdulo de la aceleracin.

dt

vda =

La aceleracin es igual a la derivada de la velocidad respecto del tiempo.

2

2

dt

rda =

La aceleracin es igual a la segunda derivada de la posicin respecto del tiempo.

dtavd .=

= dtavvf .0La velocidad final de la partcula, es igual a la velocidad inicial mas el producto de la aceleracin

por el intervalo de tiempo:

+= dtavvf .0

Pero en el M.R.U.V la aceleracin es constante:

0fv v a dt = + +=t

f dtavv0

0 tavvf .0 +=

Unidad de la aceleracin en el S.I.: m/s o m.s-2

Va

t

= . (1) 0F

V Va

t

= . (2) 0 .FV V a t = + . (3)

3. VELOCIDAD MEDIA EN EL M.R.U.V.


V0

VF

t0

t (s)

VELOCIDAD MEDIA

VMEDIA

V (m/s)


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Dado que la velocidad vara linealmente, la velocidad media es igual a la semisuma de lasvelocidades inicial y final en cierto intervalo de tiempo.La velocidad media, es una velocidad constante en intervalo de tiempo t donde el mvil recorreuna distancia d, cumplindose la siguiente ecuacin:

.md V t= . (4)0( )

.2FV V

d t

+

= . (5)Reemplazando (3) en (5):

0 0 0( ) ( . ). .2 2

+ + += =F

V V V V a t d t d t

Obtenemos:21

0 2. .d V t a t = + (6)

De (2): 0 .FV V a t = (7) De (5): 02

F

dV V

t+ = . (8)

Multiplicado miembro a miembro (7) y (8): 2 20 2FV V ad =

Despejando tenemos que:0

2 2 2FV V ad = + . (9)De (3): 0 .FV V a t = (10)Reemplazando (10) en (5)

0( ) ( . )

. .2 2

F F FV V V a t V

d t d t + +

= =

Obtenemos: 212

. .Fd V t a t =

4. SIGNOS DE LA ACELERACIN


Cuando aumenta la velocidad Cuando disminuye la velocidadAcelera

1) 210 2. .d V t a t = +

2) 212

. .F

d V t a t =

3) 0 .FV V a t = +

4) 2 20 2 .FV V a d = +

5) 0( ) .2

FV Vd t+=

Desacelera

1) 210 2. .d V t a t =

2) 212

. .F

d V t a t = +

3) 0 .FV V a t =

4) 2 20 2 .FV V a d =

5) 0( ) .2

FV Vd t+=


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Si la velocidad aumenta en mdulo decimos que el movimiento es acelerado, en cambio si lavelocidad disminuye en mdulo decimos que el movimiento es desacelerado.

0 .FV V a t = V0 : velocidad inicial VF : velocidad final

(+) : Movimiento acelerado (-) : Movimiento desacelerado

En el movimiento acelerado la aceleracin y la velocidad tienen la misma direccin. En cambio siel movimiento es desacelerado la aceleracin tiene direccin opuesta (sentido opuesto) a lavelocidad.

5. NMEROS DE GALILEO GALILEI.Analicemos el movimiento rectilneo uniformemente acelerado, cuando tiene velocidad inicialdiferente de cero.

210 2. .d V t a t = +

Para. t = n 211 0 2. .d V n a n= +

Para. t = n-1 212 0 2.( 1) .( 1)d V n a n= +

Restando: 1 2nd d d=

Obtenemos que: 10 2 .(2 1)nd V a n= +

CASO PARTICULARSi la partcula inicia su movimiento desde el reposo, con M.R.U.V., entonces el mvil recorre encada segundo distancias directamente proporcionales a nmeros los impares.Cuando 0 0V =

12 .(2 1) .(2 1)n nd a n d K n= = Donde el valor de K es la mitad del valor de la

aceleracin.2

aK=

6. DESPLAZAMIENTO EN EL ENSIMO SEGUNDOAnalicemos el caso, cuando el cuerpo acelera.El ensimo segundoest comprendido entre losinstantes t = n-1 y t = n. Entonces la distancia que recorre en el ensimo segundo se determinarestando, las distancias que recorre el mvil en los primeros n segundos y en los (n-1) segundos.

210 2. .d V t a t = +

Para. t = n: 211 0 2. .d V n a n= +Para. t = n-1: 212 0 2.( 1) .( 1)d V n a n= +

Restando: 1 2nd d d=

Obtenemos que: 10 2 .(2 1)nd V a n= +

CASOS PARTICULARES

a) Cuando el cuerpo acelera desde el reposo ( )0 0V = , se cumple que:12

.(2 1)nd a n= b) Cuando el cuerpo desacelera: 10 2 .(2 1)nd V a n= * Si dn es positivo el cuerpo se aleja del punto de lanzamiento.


3K 5K

a

K

V0 = 0

t = 0 t = 2 st = 1 s t = 3 s


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* Si dn es negativo el cuerpo se aleja del punto de lanzamiento en la direccin opuesta.* Si dn es cero el cuerpo regresa al punto inicial.

7. POSICIN DE LA PARTCULA EN EL EJE XAnalizamos el movimiento de la partcula con aceleracin constante, sobre el eje X, respecto de

un sistema de referencia.Cambio de posicin: 0Fd X X= (1)La posicin final: 0F X X d = + (2)

Para el M.R.U.V.: 210 2. .d V t a t = + (3)

Reemplazando (3) en (2) tenemos:

21

0 0 2. .F X X V t a t = + +

0 1 2

0 0. . .

0! 1! 2!F

X t V t a tX = + +

8. MOVIMIENTO RECTILNEO CON ACELERACIN VARIABLE

Si el mvil tiene movimiento con aceleracin que vara linealmente, entonces definimos unanueva medida del movimiento, denominada CELERIDAD (c), que mide la rapidez de cambio deaceleracin en mdulo.

0

0

Fa aact t

= =

Despejando tenemos que, la aceleracin final es:

0 .Fa a c t = +

La velocidad final es:2

0 0

..

2F

c tV V a t = + +

La posicin final en el eje X es:

2 3

00 0

. ..

2 6F

a t c t X X V t = + + +

0 1 2 3

0 0

. . . .

0! 1! 2! 3!FX t V t a t c t

X = + + +

En la grfica la razn tangente nos da el valor de la celeridad: 0

= = Fa a

c Tgt

Ahora podemos generalizar el movimiento rectilneo:

0 1 2 3

0 0. . . . ....0! 1! 2! 3! !

n

F

X t V t a t c t Z t X

n= + + + + +

Donde, Z es la ltima medida del movimiento de mdulo constante.


t (s)

a (m/s2)

t

ACELERACIN vs. TIEMPO

a0

af

0


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PROBLEMAS PROPUESTOS DE M.R.U.V

1. Un mvil que parte del reposo se mueve en lnea recta y desarrolla una velocidad cuya grafica esmostrada en la figura. Calcular el que instante t de tiempo el mvil vuelve al punto de partida.

2. Se muestra la variacin de la velocidad de un mvil. Determine el mdulo del desplazamiento enlos 10 primeros segundos.

3. En el instante t = 0, dos partculas parten de un mismo punto y se mueven en lnea recta en lamisma direccin y sentido. Una de ellas se mueve con velocidad constante y la otra conaceleracin constante. La figura muestra las graficas de ambas velocidades. La distancia d, enmetros, que recorren y en tiempo empleado t en segundos que tardan hasta que vuelven aencontrarse, respectivamente son:

4. Un patrullero est estacionado al lado de una carretera rectilnea, frente a l pasa una mujer en unauto deportivo a 100 m/s. Despus de varios intentos de poner en marcha su motocicleta, elOficial arranca 2 segundos despus con M.R.U.V con aceleracin de modulo 10 m/s2 y su rapidezmxima es 120 m/s. despus de cuntos segundos, desde que sale el oficial, alcanza al auto?

5. Se muestra la variacin de la velocidad de un mvil. Determine el modulo del desplazamiento enlos 18 primeros segundos.

6. La grfica indica el comportamiento de la aceleracin de un auto que se mueve a lo largo del ejex, en funcin al tiempo. Si en t = 0 se encuentra en 20 (m) con una velocidad 3 (m/s) Culser la posicin (en m) del auto cuando t = 8 s?

7. Un automvil que parte del reposo se mueve con M.R.U.V. con aceleracin de mdulo constatede 1 m/s2, en direccin a una montaa. Al partir el chofer toca la bocina y cuando ha recorrido 32metros escucha el eco. Determinar la distancia de separacin inicial entre el auto y la montaa.Rapidez del sonido en el aire 340 m/s.

8. Con una velocidad de 10 i m/s el chofer de un automvil observa el semforo cuando cambia laluz de Verde a Rojo, reacciona despus de 0,2 segundo y aplica los frenos generando una


VX (m/s)

t (s)0 512 15 18

10

- 4

Para el problema 2

06

8

10

V (m/s)

t(s)

Para el problema 01

Para el problema 05

t (s)0 5

12 15 18

10

- 4

VX

(m/s)

120

100

00

V (m/s)

t(s)

Para el problema 04

OFICIAL

AUTO

2

a (m/s2)

t (s)

3

-3

04 6 8

Para el problema 06

2

1

2

0

3 6

t(s)

V (m/s)

Para el problema 03


32/47


desaceleracin de 20 i m/s2. Qu distancia recorri el auto hasta detenerse desde el momentoque el chofer observo la luz roja?

9. Un automvil se mueve con velocidad de 30 i m/s, cuando cambia la luz de Verde a Roja de unsemforo ubicado a 150 m de l. Si el tiempo de reaccin del conductor es 0,5 segundo y el auto

desacelera con -5 i m/s2 tan pronto el conductor aplica los frenos. A qu distancia del semforose detiene?

10. Un mvil que tiene M.R.U.V. se mueve en el eje X, pasa por el punto A con velocidad 40 i (m/s),pero 50 segundos despus su velocidad es 60 i (m/s). Sabiendo que el mvil parte del reposo en elpunto P, qu distancia recorre desde el punto de partida hasta el punto A?

11. Un cuerpo parte del reposo con M.R.U.V., si al transcurrir t segundos posee una rapidez V yluego de recorrer 15 m en 3 s su rapidez es 4V. Determinar t.

12. Un mvil parte del reposo con M.R.U.V, y avanza 54 m en los 6 primeros segundos. Cuntos

metros avanza en los 4 segundos siguientes?

13. Un auto parte del reposo desde el punto P con M.R.U.V. y recorre entre los puntos A y B de sutrayectoria la distancia de 1 km durante 10 segundos, si al pasar por el punto B su rapidez es eltriple de la que tuvo en el punto A. Determine la distancia que recorre entre el punto de partida yel punto A.

14. Un automvil que tiene M.R.U.V, se mueve en el eje X con aceleracin 2 i (m/s2), despus de 5segundos de pasar por un punto P posee una velocidad 20 i (m/s). Qu velocidad tena el autocuando le faltaban 9 m para llegar al punto P?

15. Un ciclista que tiene M.R.U.V. inicia su movimiento con velocidad 2 i (m/s), despus de 2segundos recorre 12 m. Qu distancia recorre el ciclista en el tercer segundo?

16. Un mnibus se encuentra detenido y hacia el corre un pasajero con una rapidez constante de 4m/s. En el instante que se encuentra a 8 m del mnibus, ste parte y se mueve con aceleracinconstante cuyo valor es 2 m/s2. Determinar al cabo de qu tiempo la distancia de separacin entreel pasajero y el mnibus es mnima.



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CADA LIBRE VERTICAL1. CONCEPTO. Es aquel tipo de movimiento rectilneo uniformemente variado (M.R.U.V.) cuya

trayectoria es una lnea recta vertical y que se debe a la presencia del campo de gravedad. La nica

fuerza que acta sobre el cuerpo es su propio peso, ya que no considera la resistencia del aire. Estetipo de movimiento se obtiene, cuando un cuerpo es lanzado hacia arriba, hacia abajo, osimplemente es soltado. En las ecuaciones cinemticas no se considera la masa ni la fuerzaresultante. La cinemtica en general estudia as propiedades geomtricas del movimiento.

2.CONSIDERACIONES DEL MOVIMIENTO DE CADA LIBRE*No se considera la resistencia del aire.* La altura mxima alcanzada es suficientemente pequea como parar despreciar la variacin de laaceleracin de la gravedad.* La velocidad mxima alcanzada por el cuerpo es suficientemente pequea para despreciar laresistencia del aire.

* La altura alcanzada es suficientemente pequea para considerar un campo gravitatorio homogneoy uniforme.

* El valor o mdulo de la aceleracin de la gravedad es: 29,8 9,8m N

g s kg

= =

dt

vdga ==

La aceleracin es igual a la derivada de la velocidad respecto del tiempo:

2

2

dt

rda =

La aceleracin es igual a la segunda derivada de la posicin respecto del tiempo:

dtgvd .=

La velocidad final de la partcula, es igual a la velocidad inicial mas el producto de la aceleracinpor el intervalo de tiempo:

+= dtgvvf .0Pero la aceleracin de la gravedad es constante:

+= dtgvvf 0tgvvf .0 +=

La altura es el desplazamiento de la partcula en el eje Y o eje vertical y se define como elproducto de la velocidad media por el intervalo de tiempo:

221

0 .. tgtvyyf ++=2

21

0 .. tgtvyyf +=2

21 .. tgtvh +=

El desplazamiento vertical o altura se define como el producto de la velocidad media por el

tiempo transcurrido: tvv

hf .

2

)( 0 +=



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3.ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE CADA LIBRE VERTICALAnalticamente el movimiento de cada libre es un caso es especial del M.R.U.V., donde la distanciase reemplaza por la altura y la aceleracin lineal por la aceleracin de la gravedad.

4. TIEMPO DE VUELO

Consideremos un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba. Cuando el cuerpo alcanza la alturamxima su velocidad es nula.De la ecuacin:

0.

FV V g t = reemplazando los datos:

00 .V g T= Despejando:

0V

Tg

=

Tempo de subida:

0

SUBIDA

Vt T

g= =

Tiempo de vuelo:02. 2VUELO

Vt T

g= =

5. ALTURA MXIMA (H)Un cuerpo que es lanzado verticalmente hacia arriba alcanza su altura mxima cuando suvelocidad final en el punto ms alto es igual a cero.

Aplicando la ecuacin: 2 20 2 .FV V g h=

Reemplazando los datos: 200 2 .V g H= 2

0

2

VH

g=

6. CAMBIO DE LA ACELERACIN DE LA GRAVEDADLa intensidad de la gravedad no es el mismo para todos los lugares de la Tierra, depende de laaltura sobre el nivel del Mar y de la latitud.El movimiento de cada libre plantea la misma aceleracin para todos los cuerpos cualquiera quesea su masa, a esta aceleracin se le llama aceleracin de la gravedad normal, cuyo valor es 45 de

latitud es: 29,8 9,8m N

g s kg

= =

* En los polos: g = 9,83 m/s (Mxima)* En el Ecuador: g = 9,78 m/s (Mnima)

7. CAMPO GRAVITACIONALNo slo la Tierra atrae a los cuerpos, tambin el Sol, la Luna y todo astro. Se entiende porgravedad a la regin de espacio que rodea a un astro gracias al cual atrae a los cuerpos. Todoslos planetas (Tierra) y satlites (Luna) generan a su alrededor un campo de gravedad.

= TierraLuna gg 68. INTENSIDAD DEL CAMPO GRAVITATORIOLa aceleracin de la gravedad g depende de la masa y el radio terrestre. Es decir la aceleracin


VF= 0

TIEMPO DE VUELO Y ALTURA MXIMA

g

V0

T H


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de la gravedad depende de la forma que tiene el cuerpo creador del campo gravitatorio.

Donde:T

2T

Mg G

R=

G: Constante de gravitacin universal.

G = 6,67.10-11

N.m2

.kg-2

MT = masa de la tierra = 5,9.1024 kgRT = radio de la tierra = 6 400 km

9. NMEROS DE GALILEOSi abandonamos un cuerpo de cierta altura,entonces la altura que recorre en cada segundoes directamente proporcional a los nmerosimpares.

Primer segundo 1K = 5 m

Segundo segundo 3K = 15 mTercer segundo 5K = 25 mCuarto segundo 7K = 35 mQuinto segundo 9K = 45 mSexto segundo 11K = 55 mStimo segundo 13K = 65 mOctavo segundo 15K =75 m

210 2. .h V t g t = +

Para. t = n21

1 0 2. .h V n g n= +

Para. t = n-121

2 0 2.( 1) .( 1)h V n g n= +

Restando:

1 2nh h h= Obtenemos que:

10 2

.(2 1)n

h V g n= +

CASO PARTICULARCuando 0 0V =

12

.(2 1)nh g n= .(2 1)

nh K n= Donde el valor de K es la mitad del valor de laaceleracin.

2

gK= = 5

Considerando: g = 10 m/s2.

En el primer segundo recorre 5 metros.


3K

5K

KV

0= 0 t = 0 s

t = 1 s

t = 2 s

t = 3 s

g


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En el segundo segundo recorre 15 metros.En el tercer segundo recorre 25 metros.En el cuarto segundo recorre 35 metros.En el quito segundo recorre 45 metros.En el ensimo segundo recorre 5(2n-1) metros.

10. CUANDO EL CUERPO ASCIENDE (DESACELERA)Analicemos el movimiento de subida respecto de un sistema de referencia.Ecuaciones:1) 210 2. .h V t g t = 2)

212

. .F

h V t g t = + 3) 0 .FV V g t =

4) 2 20 2 .FV V g h= 5)0

( ).

2F

V Vh t

+= 6) 10 2 .(2 1)nh V g n=

11. CUANDO EL CUERPO DESCIENDE (ACELERA)Analicemos el movimiento de bajada respecto de un sistema de referencia.

Ecuaciones:1) 210 2. .h V t g t = + 2)21

2. .

Fh V t g t = 3) 0 .FV V g t = +

4)2 2

02 .

FV V g h= + 5) 0

( ).

2F

V Vh t

+= 6) 10 2 .(2 1)nh V g n= +

12. LA ALTURA ES DESPLAZAMIENTO VERTICALSi lanzamos un cuerpo verticalmente hacia arriba respecto de un sistema de referencia. Ahoraanalizamos el movimiento de cuerpo en cada libre en forma vectorial, es decir considerando lossignos. Entonces la altura tendr signos positivo o negativo:(1) Si la altura tiene signo positivo significa que el cuerpo se encuentra sobre el nivel dereferencia, subiendo o bajando.(2) Si la altura tiene signo negativo significa que el cuerpo se encuentra debajo de la lnea dereferencia descendiendo.(3) Si la altura es cero significa que el cuerpo ha regresado o est pasando en ese instante por elnivel de referencia (N.R.).

13. DISTANCIA QUE RECORRE EN EL ENSIMO SEGUNDOAnalicemos el caso, cuando el cuerpo es lanzado verticalmente hacia abajo.El ensimo segundoest comprendido entre los instantes t = n-1 y t = n. Entonces la distancia que recorre en elensimo segundo se determina restando las distancias que recorre el mvil en los primeros nsegundos y en los (n-1) segundos.

210 2. .= +h V t g t

Para. t = n 211 0 2. .h V n g n= +

Para. t = n-1 212 0 2.( 1) .( 1)h V n g n= +

Restando: 1 2nh h h=

Obtenemos que: 10 2 .(2 1)nh V g n= +

CASOS PARTICULARES


C

A

+h1

-h3

N.R.B

g

DESPLAZAMIENTO VERTICAL

h2 = 0


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a) Cuando el cuerpo es abandonado, soltado o dejado caer ( )0 0V = , se cumple que:12

.(2 1)nh g n=

b) Cuando el cuerpo es lanzado verticalmente hacia ARRIBA, el cuerpo inicia su movimiento encontra del campo de gravedad, es decir desacelera.

10 2

.(2 1)nh V g n=

* Si hn es positivo el cuerpo se desplaza verticalmente hacia arriba.

* Si hn es negativo el cuerpo se desplaza verticalmente hacia abajo.

* Si hn es cero el cuerpo regresa al punto inicial.

PROBLEMAS PROPUESTOS DE CADA LIBRE

1. Un cuerpo es lanzado con velocidad 60j (m/s). A qu distancia del nivel de lanzamiento seencuentra el cuerpo despus de 4 segundos?. (g = 10 m/s2)

2. De lo alto de una Torre, un cuerpo es lanzado con velocidad 20j (m/s). A qu distancia del nivelde lanzamiento se encuentra el cuerpo despus de 8 segundos?. (g = 10 m/s2)

3. Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba desde la azotea de un edificio, si luego de 6 s surapidez se duplica, determinar la velocidad de lanzamiento. (g = 10 m/s 2)

4. Un globo aerosttico sube con velocidad 10j (m/s) y cuando se encuentra a una altura de 75 mrespecto del suelo desde el globo se deja caer una piedra. Qu tiempo demora la piedra en llegar alsuelo? (g = 10 m/s2)

5.Un cuerpo se suelta desde 80 m de altura respecto del piso. Qu velocidad tendr 35 m antes deimpactar con el piso?. (g = 10 m/s2)

6. Desde el piso se lanza verticalmente hacia arriba un proyectil y cuando le falta 2 segundos paraalcanzar la altura mxima se encuentra a 60 m del piso. Cul fue la velocidad de lanzamiento?. (g= 10 m/s2)

7. Un globo aerosttico sube con velocidad constante Vj (m/s), si el piloto suelta una piedra, quseparacin existir entre el globo y la piedra luego de 3 segundos?. (g = 10 m/s2)

8. Un globo se encuentra subiendo con velocidad de 5j (m/s) y en el instante que se encuentra a 360m del piso, desde el globo se deja caer una piedra. Qu tiempo tarda la piedra en llegar a la


t = n

t = n-1

t = 0

h1

h2

hn

V0

g


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superficie terrestre?. (g = 10 m/s2)

9. Coquito suelta un objeto y observa que durante el penltimo segundo de su movimiento recorri 25m. Con qu velocidad impacto en el piso?. (g = 10 m/s2)

10. Desde una altura de 20 m respecto de la superficie de un lago, se suelta una esfera pequea, elcual tarda 2,8 s en llegar hasta el fondo. Si cuando ingresa al agua mantiene su velocidad constante,determinar la profundidad del lago. (g = 10 m/s2)

11. Desde 5 m de altura sobre el nivel de un lago, se suelta una esfera pequea. Hasta quprofundidad mxima llegar la esfera?, si la desaceleracin que experimenta dentro del agua es

j8 (m/s2). (g = 10 m/s2)

12. Una partcula es lanzada hacia arriba con rapidez V0. Determinar la altura mxima que alcanzadicha partcula (m) si despus de 2 segundos retorna a su posicin inicial. (g = 10 m/s 2)

13. Desde la azotea de un edificio de 20 m de altura, una pelota A es lanzada verticalmente haciaarriba con rapidez de 15 m/s. Al mismo instante se lanza una pelota B verticalmente hacia abajo conigual rapidez. Cul es el intervalo de tiempo entre las llegadas de las pelotas al nivel del piso? (g =10 m/s2)

14. Una persona se encuentra en un globo aerosttico en reposo, desde una altura H suelta una piedray despus de 8,75 segundos escucha el impacto con el piso, Despreciando la resistencia del aire yconsiderando la rapidez del sonido en el aire 300 m/s, determinar la rapidez de la piedra (en m/s) enel instante de chocar con el piso. (g = 10 m/s2)

15. Un cuerpo de lanza desde la superficie terrestre verticalmente hacia arriba con rapidez 40 m/s. Unsegundo despus se lanza otro, desde el mismo punto de manera que cuando de crucen ambos tienenla misma rapidez. Determina la altura mxima (en m) que alcanza el segundo cuerpo. (g = 10 m/s 2)

16. Un globo aerosttico se encuentra a 50 m del suelo subiendo en forma vertical con una rapidezconstante de 5 m/s. Una piedra en lanzada desde el globo hacia arriba con rapidez de 10 m/s conrespecto del globo. Determine la velocidad de la piedra instante antes de chocar con el suelo.

17. Un automvil se mueve con velocidad constante iv 20= (m/s). Con que velocidad se debelanzar una piedra desde el automvil, para que despus de recorrer 80 m la piedra regrese al puntode lanzamiento?

18. Se lanzan simultneamente dos partculas P y Q desde la superficie de la tierra, con velocidades

iniciales de ( )196 .Pv j m s= y ( )132 .Qv j m s

= Despus de que tiempo de haber sidolanzados la velocidad del punto medio del segmento imaginario que los unes es nula?

19. Una esfera pequea se abandona en el extremo A del tubo AB. El radio de la circunferencia es R= 10 m. Si no hay rozamiento, determine el intervalo de tiempo que invierte en recorre el tramo AB.(g = 10 m/s2)

R

R

g

A

B



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MOVIMIENTO ARMNICO SIMPLE (M.A.S.)

Podemos observar en la figura que la

partcula realiza un movimientocircunferencial uniforme y la proyeccin desta realiza sobre el dimetro horizontal haceun movimiento oscilatorio armnico.Analicemos el movimiento armnicosimple de una partcula que se mueve sobreuna lnea recta horizontal. Cuando la

partcula inicia su movimiento en uno de losextremos, la distancia x respecto del origende coordenadas vara segn la ley:

( ). .x ACos k t = donde A es la amplitud yk es la frecuencia angular o la rapidezangular.

22 .k f

t T

= = = =

Cuando nos referimos a la velocidad angular, estamos relacionando con el movimiento circunferencial uniforme. En cambio cuando nosreferimos a la frecuencia f estamos relacionndolo con el movimiento oscilatorio. El mximo

alejamiento del origen de coordenadas se denomina amplitud de oscilacin cuyo valor es x A= .El movimiento oscilatorio es peridico; en cada intervalo de tiempo t T= , la partcula completa

una vuelta: .k t = entonces . 2k T = y 2Tk=

CLCULO DE LA VELOCIDAD SOBRE EL EJE HORIZONTALLa velocidad del punto material sobre el eje X se obtiene derivando la posicin x respecto deltiempo:

. . ( . )xd x

v v A k Sen k t d t

= = = r r

La mxima velocidad se consigue cuando ( . ) 1Sen k t = es decir cuando pasa por el origen de

coordenadas ( )0x = , entonces .max

v A k=

CLCULO DE LA ACELERACIN SOBRE EL EJE HORIZONTALLa aceleracin del punto material se obtiene derivando la velocidad v respecto del tiempo:

2. . os( . )xd v

a a A k C k t d t

= = = r r

La mxima aceleracin se consigue cuando ( . ) 1Cos k t = es decir cuando se encuentra en los

extremos ( )x A= , entonces 2.maxa A k=

Relacin entre el M.C.U y el M.A.S.

Si una partcula realiza un movimiento circunferencial uniforme sobre un plano vertical, sus


A

x

A


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proyecciones sobre el dimetro realizan un M.A.S.a) Proyeccin sobre el dimetro horizontal: ( ) . ( )= x t ACos t

b) Proyeccin sobre el dimetro vertical: ( ) . ( )= x t A Sen t

PROBLEMAS PROPUESTOS DE MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

1. Un cuerpo est vibrando con movimiento armnico simple ( ). . x A Sen t = + de amplitud 8cm y frecuencia es 2 ciclos por segundo. Determinar los valores mximos de la velocidad y laaceleracin.

2. La ecuacin del movimiento de un objeto pequeo es: 2. 0,5. 4 x Cos t i

= + r

Determine el

valor mximo de la velocidad y de la aceleracin.

3. Un bloque asociado a un resorte tiene la siguiente ley de movimiento:

+=

88

..20)(

tSentX donde t se mide en segundos y X se mide en centmetros.

Determine:a) La velocidad en cualquier instante.

b) La velocidad en el instante st 8=c) En qu instante la velocidad es nula?d) la aceleracin en cualquier instante.

e) La aceleracin en el instante st 8=f) En qu instante la posicin es 10 cm por primera vez?g) En qu instante la posicin es -10 cm por primera vez?

h) La posicin inicial ( )st 0=i) El periodo de oscilacin.

j) el valor mximo de la velocidad.k) el valor mximo de la aceleracin.i) la frecuencia de oscilacin.


+=

55

..80)(



b) La velocidad en el instante st 5=



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c) En qu instante la velocidad es nula?d) la aceleracin en cualquier instante.

e) La aceleracin en el instante st 10=f) En qu instante la posicin es 40 cm por primera vez?

g) En qu instante la posicin es -40 cm por primera vez?h) La posicin inicial ( )st 0=i) El periodo de oscilacin.



+= 22.

.10)(

t

CostX donde t se mide en segundos y X se mide en centmetros.







+=

3..10)(

tSentX

donde t se mide en segundos y X se mide en centmetros. Determine:a) La velocidad en cualquier instante.



h) La posicin inicial ( )st 0=

i) El periodo de oscilacin.



42/47




+=

42

..20)(






j) el valor mximo de la velocidad.i) la frecuencia de oscilacin.k) el valor mximo de la aceleracin.


+=

42

.3.30)(

tCostX donde t se mide en segundos y X se mide en centmetros.



e) La aceleracin en el instante st 3=

f) En qu instante la posicin es 15 cm por primera vez?g) En qu instante la posicin es -40 cm por primera vez?





43/47



+=

33

.2.50)(

tCostX donde t se mide en segundos y X se mide en centmetros.

Determine:

a) La velocidad en cualquier instante.b) La velocidad en el instante st 1=c) En qu instante la velocidad es nula?d) la aceleracin en cualquier instante.




10. Un bloque asociado a un resorte tiene la siguiente ley de movimiento:).3(.60)( tSentX = donde t se mide en segundos y X se mide en centmetros. Determine:

a) La velocidad en cualquier instante.


c) En qu instante la velocidad es nula?d) la aceleracin en cualquier instante.



j) el valor mximo de la velocidad.k) el valor mximo de la aceleracin.

i) la frecuencia de oscilacin.


= tSentX .

2

5.20)(

donde t se mide en segundos y X se mide en centmetros. Determine:

a) La velocidad en cualquier instante.


Semana 03 Cinematic A i en Una Dimension 2009 b

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