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DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA

SECUENCIA DIDÁCTICA PARA 1° AÑO CICLO BÁSICO

Material para el Docente

Números naturales y sistema de numeración

SECUENCIA DIDÁCTICA PARA 1º AÑO CICLO BÁSICO

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Números naturales y sistema de numeración

¿Cuándo la humanidad necesitó comenzar a contar?

No se sabe a ciencia cierta cuándo lo hizo. La historia nos cuenta que hubo sociedades que

utilizaban para contar sólo las palabras: uno, dos, muchos… y que aún hoy, existen algunas de ellas. Sin

embargo cuando el hombre necesitó representar esos números en forma permanente, utilizó distintos

materiales como: piedras, arcilla, maderas y logró crear un conjunto de convenciones que conocemos

como sistemas de numeración. Así surgieron diferentes sistemas según cada pueblo.

Desde el punto de vista matemático el número es un objeto abstracto que alude a ciertas

relaciones lógicas (clasificación, seriación, iteración, adición) que cada persona comienza a construir

desde temprana edad.

Un sistema de numeración es una creación cultural con características propias y tiene sentido

para resolver problemas. Al respecto Gerard Vergnaud sostiene1:

No hay que confundir el número con su representación escrita (…) El número es un

concepto para el cual existen varios sistemas posibles de escritura; la numeración

posicional es uno de ellos.

Vimos (…) algunas dificultades afrontadas por los niños en la adquisición de la

noción de número, éstas se encuentran esencialmente en el nivel de concepto,

aunque rápidamente interfieren con las dificultades propias del sistema de

numeración y de las operaciones que la acompañan.

En cambio, el sistema de numeración es un soporte de la conceptualización y sería

imposible, por ejemplo, hablar de números grandes o de números decimales sin el

recurso de su representación escrita.

La construcción del sistema de numeración en los estudiantes es un proceso complejo y muchas

veces presenta dificultades en la comprensión de su funcionamiento. Por ello creemos esencial

repensar la enseñanza teniendo en cuenta que la apropiación del sistema de numeración no es natural

ni espontánea, por ser una creación cultural es una convención y por lo tanto arbitraria; es importante

que al resolver problemas y elaborar argumentaciones, los estudiantes, logren relaciones entre los

conocimientos previos y los saberes considerados como válidos.

La complejidad en el aprendizaje de nuestro sistema de numeración se advierte cuando se

analizan sus reglas y características:

1Gerard Vergnaud “El niño, las matemáticas y la realidad” México, Trillas. En Liliana Eguiluz y Mabel Pujadas números y sistemas de

numeración De la resolución de problemas a la formalización. Novedades Educativas


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Es un sistema que está constituido por diez símbolos, incluido el cero, que permite

escribir infinitos números.

Es decimal porque está organizado en base 10, lo que implica que diez unidades de un

orden equivalen a una unidad del orden inmediato superior.

Es posicional porque cada cifra adquiere diferente valor según la posición que ocupa

en el número.

En la construcción de un número se “ocultan” la multiplicación por una potencia de 10

de cada cifra y la suma.

Entre dos números de la misma cantidad de cifras, es mayor el que tiene mayor la

cifra de la izquierda.

Si dos números tienen diferente cantidad de cifras es mayor el que tiene más cifras.

La numeración escrita representa sólo una parte de su significado dado que sólo se escriben los

coeficientes de las potencias de diez, que es necesario inferir, al interpretar el número. Por su parte la

numeración oral tiene otras características: al leer un número se explicitan la descomposición aditiva y

multiplicativa de las cifras porque la numeración hablada no es posicional. Al leer por ejemplo 5.236

(cinco mil doscientos treinta y seis) nombramos cada cifra y la potencia de la base correspondiente.

…En la numeración hablada, la yuxtaposición de palabras supone siempre una operación

aritmética, operación que en algunos casos es una suma y en otros una multiplicación…2

“La numeración escrita es al mismo tiempo más regular y más hermética que

la numeración hablada. Es más regular porque la suma y la multiplicación se aplican

siempre de la misma manera: se multiplica cada cifra por la potencia de la base a la

que corresponde, se suman los productos resultantes de esa multiplicación. Es

hermética porque en ella no hay ningún rastro de las operaciones aritméticas

involucradas y porque –a diferencia de lo que ocurre con la numeración hablada– las

potencias de la base no se representan a través de símbolos particulares, sino que

sólo pueden inferirse a partir de la posición que ocupan las cifras”3

Autoras como Terigi y Wolman plantean para la enseñanza, un principio didáctico formulado

como: del uso a la conceptualización, usar la numeración escrita significa proponer a los estudiantes

situaciones en las que tienen que producir e interpretar escrituras numéricas, compararlas, ordenarlas

y operar con ellas para resolver diferentes problemas.

Cuando los estudiantes elaboran procedimientos originales para encontrar resultados de las

operaciones también construyen conocimientos sobre el sistema de numeración, porque la organización

de la numeración escrita y las operaciones están estrechamente relacionadas. Así comprender las

escrituras numéricas implica identificar cuáles son las operaciones subyacentes en la escritura de un

número y por otra parte resolver operaciones brinda posibilidades de profundizar la comprensión del

sistema de numeración.

2 Lerner Delia, Sadovsky Patricia. El sistema de numeración: un problema didáctico en Didáctica de matemáticas Aportes

y reflexiones. Paidós Educador (1994) 3Lerner Delia, Sadovsky Patricia, Wolman, Susana (1994)


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El segundo ciclo representa el momento en el que se recuperan los conocimientos numéricos

que los estudiantes han aprendido en el primer ciclo y se promueve que evolucionen. Cabe preguntarnos

¿Qué conocimientos disponibles tienen los estudiantes? ¿Qué cuestiones acerca del sistema de

numeración es importante recuperar? ¿Qué es necesario profundizar? ¿Qué propuestas permitirán

revisitar esos contenidos?

En la búsqueda de respuestas hemos elaborado esta propuesta cuya intencionalidad es

contribuir con algunas ideas acerca del enfoque de la enseñanza del sistema de numeración. En el marco

de la concepción de aprendizaje que se concibe en el Diseño Curricular Jurisdiccional, sostenemos que

las situaciones que favorecen la construcción de nuevos conocimientos son aquellas que plantean un

verdadero desafío, un problema...

Desde esta perspectiva, es importante considerar que la resolución de problemas y la reflexión

alrededor de los procedimientos de resolución, la validez de los mismos y los modos de registro forman

parte del proceso de aprendizaje. Tal como afirman Sadovsky, Etchemendy y Tarasow (2012) cuando

plantean que “la interacción sostenida del docente con los niños basada en la reflexión sobre los

problemas que ellos ya enfrentaron contribuye a la elaboración de conocimientos que no surgen

generalmente en el momento de la resolución de los problemas”.

Pensamos en una gestión de clase donde se generen las condiciones para la construcción de

conocimientos, proponiendo situaciones que permitan a los estudiantes explorar, elaborar conjeturas,

validarlas, justificar procedimientos, generalizar…

En primer año

En segundo Ciclo los estudiantes se han enfrentado a problemas que les permitieron no sólo

interpretar y registrar números naturales de más de cinco cifras sino también identificar regularidades

de la serie natural para producir y comparar escrituras numéricas.

Con el propósito de analizar el funcionamiento del sistema de numeración y contribuir a la

construcción de ideas acerca de las relaciones entre los órdenes del sistema posicional, los estudiantes

han realizado distintas tareas, como: reconocer las relaciones aditivas y multiplicativas que subyacen a

un número y elaborar argumentos para validar las equivalencias entre diferentes descomposiciones de

un número.

En primer año de la escuela secundaria se propone profundizar el estudio sobre los números

naturales resolviendo situaciones que impliquen leer, escribir y comparar diferentes escrituras

numéricas incluyendo aquellas de uso social como por ejemplo, 18 millones.

En esta secuencia las situaciones que se plantean tienen como propósito que los estudiantes

avancen en el estudio sistemático de las propiedades del sistema de numeración decimal posicional a

partir de composiciones y descomposiciones aditivas y multiplicativas que caracterizan al sistema

decimal, llegando a utilizar las potencias de diez relacionadas con el valor posicional de las cifras.


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Se proponen juegos, para determinar números y compararlos, como: “El que arma el número

mayor gana”. Las relaciones aditivas y multiplicativas para construir números se ponen en juego en

“Los billetes en un juego”.

La calculadora se introduce como una herramienta para anticipar caminos de resolución en la que

se utilicen los conocimientos sobre el valor posicional de la cifras para transformar un número en otro.

Con el propósito de contribuir al reconocimiento de regularidades y la ampliación de la serie

numérica se propone trabajar tanto en cuadros de números como en la recta numérica.

Las situaciones no sólo involucran contextos extramatemáticos relacionados con cantidades

que dan cuenta de poblaciones, dinero, distancias…, sino también contextos intramatemáticos en las que

se usan, relacionan y comparan diferentes escrituras.

La última actividad, de carácter evaluativo, propone que los alumnos pongan en juego los

aprendizajes logrados en relación a la escritura, lectura y comparación de números y al funcionamiento

del sistema de numeración decimal.

La propuesta está centrada en propiciar una actividad matemática en la que se explore, se

ensaye, se busquen caminos de solución, se analice, se elaboren estrategias y se comparen

procedimientos sobre el supuesto de que los conocimientos se construyen a partir de resolver

problemas y reflexionar sobre los mismos, en sucesivas ampliaciones y profundizaciones en forma

progresiva. Por ello es necesario crear espacios de debate e intercambio entre pares alrededor de los

conocimientos que comienzan a circular en la clase.


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Juego: El que arma el número mayor gana4

Analizar los valores de los dados para escribir el número mayor con una cifra significativa y ceros.

Comparar y tomar decisiones acerca de cuál es el mayor.

Dos dados y una tabla

para cada jugador.

4Adaptado de “Hacer Matemática en 6°” Buenos Aires Editorial Estrada

Se juega en equipos de cuatro integrantes. Por turno cada jugador tira los dos dados y

arma el número más grande posible con la siguiente condición: “El valor que sale en un

dado indica la primera cifra del número y el del otro dado el número de ceros que tendrá

el número que armen. Por ejemplo, si sacan el 3 y el 5 pueden elegir que el 5 sea la

primera cifra y el 3 el número de ceros entonces se armaría 5.000 o, se puede decidir

que el 3 sea el número de ceros y en ese caso el número será 300.000”

Cuando el jugador que tiró los dados arma el número, lo dice en voz alta.

Cada jugador lo anota en su tabla según la vuelta del juego que corresponda.

Gana la vuelta, el jugador que logra armar el número más grande posible.

Se juegan cuatro vueltas y gana el juego quien ganó más vueltas.


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°° ° °

¿Cuál es el número mayor que se puede armar en el

juego?

¿Cuál es el menor número que se puede armar?

Piensen una regla que permita decidir rápidamente cuál

de los valores del dado conviene elegir para el número

de ceros y cuál para la primera cifra del número para

estar seguros que se arma el número mayor posible.

Justifiquen lo que piensan.


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Tomar decisiones acerca de los valores de los dados para escribir el número mayor posible

Utilizar diferentes escrituras para un mismo número.


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a) Para determinar el número 20.000 ¿cuántas veces habrán multiplicado 10? ¿Por qué?

b) Juli sacó el 4 y otro número y registró 400.000. No sabemos qué dados sacó Fede pero escribió 4 x 105 ¿Es cierto que ambos escribieron el mismo número? Expliquen lo que piensan

Se juega en equipos de cuatro integrantes. Por turno cada jugador tira los dos

dados y arma el mayor número posible con la siguiente condición: “El valor que

sale en un dado indica la primera cifra del número y el del otro dado el número de

veces que hay que multiplicar por 10 al número elegido para que sea la primera cifra.

Por ejemplo, si sacan el 3 y el 5 pueden elegir que el 3 sea la primera cifra y el 5 el

número de veces que hay que multiplicar por 10 entonces se armaría 3 x 10 x 10 x10

x 10 x10 o sea o el número será 300.000”

Cada jugador registra de diferentes maneras el número que corresponda según los

puntos del dado.

Luego entre todos controlan las distintas formas de escritura y deciden si son

correctas o no (con números, con letras, con números y letras…).

Cada jugador obtiene diez puntos por cada forma de escritura correcta.

Se juegan tres vueltas y gana el juego quien suma más puntos.


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c) Julián registró 2.000.000 y Pedro 2 x 10 x 10 x 10 x10 x 10 x 10. Juan dice que lo que los dos escribieron el mismo número ¿Tiene razón? ¿Por qué?

d) Si salieron los dados escriban alguna de las formas que pudo haber escrito Any, si se sabe que ganó treinta puntos

e) Sol tiró los dos dados y salieron Javier dice que otra manera de escribir el número 200, es 2 x 102 ¿Cuál pudo ser la justificación de Javier?

¿Es cierto que todas las escrituras de los carteles representan el número 8.000.000? ¿Por qué?


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Los billetes en un juego

Utilizar relaciones aditivas y multiplicativas para construir números

En un juego de mesa, como el Monopoly, los puntos que se obtienen se pagan utilizando billetes.

Sus valores son 1, 10, 100, 1.000, 10.000, 100.000 y 1.000.000

a) ¿Cuánto dinero obtuvo Benja si recibió 5 billetes de $1.000, 3 de $10, 12 de $ 100 y 4 de $10.000?

b) Al terminar el juego Flor obtuvo $1.504.090. ¿Cuántos billetes y de qué valor podrían entregarle?

c) Alexis reunió $4.006.321. Escribí dos maneras distintas de armar esa cantidad con billetes

d) Un jugador obtuvo $250.000 y pidió que le paguen con billetes de mil ¿cuántos billetes de ese valor deben darle? Si los billetes fueran de 100, ¿Cuántos le entregarán?


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e) ¿Cuál de estas cantidades no pueden pagarse usando sólo billetes de $100? 3.400 6.103 24.500 23.190

f) En el juego dos jugadores recibieron cierta suma de dinero. Para saber cuánto tenían, hicieron este cálculo:

¿Es cierto que ambos recibieron la misma cantidad de dinero? ¿Cómo lo justifican?

g) Alexis le planteó un desafío a su compañero Pedro, y le mostró el siguiente registro:

¿Qué billetes habrá recibido en su jugada? ¿Cuánto dinero ganó?

3 x 1.000.000 + 5 x 100.000 + 4 x 10.000 + 2 x 1.000 + 6 x 10=

3 x 106 + 5 x 105 4 x 104 + 2 x 103 + 6 x 10=

Jugador

2

Jugador

1

4 x 106 + 2 x 105 + 5 x 103 + 6 x 102=


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Resolvé las situaciones que siguen:

1. En otro juego Maxi obtuvo 3.240.603 puntos. Decidí cuál o cuáles de los siguientes cálculos

permiten encontrar su puntaje

a) 3 x 1.000.000 + 2 x 100.000 + 4 x 10.000 + 6 x100 + 3 x1=

b) 3 x 106+ 2 x 105 + 4 x 103 + 6 x 102 + 3 =

c) 32 x 100.000 + 4 x 10.000 + 6 x 100 + 3=

2. En una distribuidora recibieron una caja con 35.400 hojas

a) ¿Cuántos paquetes de 1.000 hojas se pueden armar?

b) Si los paquetes fueran de 100 hojas. ¿Cuántos es posible armar?

c) Si deciden hacer paquetes de 10 hojas. ¿Cuántos podrían hacer?

Cálculos y calculadora

Anticipar cálculos que permitan transformar un número en otro

Utilizar la calculadora como herramienta para verificar.

calculadoras


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1. Escribí el 658.394

a) Sin borrar el número, encontrá un único cálculo que permita que en el visor aparezca

658.094

b) ¿Desde el número original qué único cálculo permite que

aparezca 708.394?

c) ¿Y también desde el número original 2.658.394?

2. Si en el visor de la calculadora está el número 15.234.758

a) ¿Qué número tengo que sumar o restar para que la unidad de mil sea 1,

manteniendo las otras cifras?

b) ¿Cuánto hay que agregar al número inicial para que la unidad de millón sea 7,

manteniendo las otras cifras?

c) ¿Qué único cálculo harían para que la decena de mil y la centena sean 0, manteniendo las

otras cifras?

d) ¿Cuántas veces hay que restar 100.000 para que en el lugar de las decenas de mil figure

un cero, manteniendo las otras cifras?

e) ¿Cuántas veces hay que restar 1.000 para que aparezca un 2 en lugar de 3, manteniendo

las otras cifras?

3. Juli puso en su calculadora el número 12.654.830 luego sin borrar nada hizo cálculos de

modo que fueron apareciendo en el visor los siguientes números:

Escriban qué cuenta hizo Juli en cada caso

12.654.830 12.054.830 12. 054.000 10.054.000 10.000.000


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Regularidades numéricas

Establecer relaciones entre los elementos de una serie numérica.

Identificar números ubicados

entre otros dos.

1. En clase de matemática se les propuso a los estudiantes que escriban algunos números contando de 10.000 en 10.000, en un cuadro como el que sigue, pero cuando lo expusieron en el pizarrón había números que no estaban bien ubicados. Analícenlo en el grupo y escríbanlos en el lugar que corresponda:

15.000.000 15.010.000 15.020.000 15.040.000

15.100.000 15.120.000 15.180.000

15.260.000

15.290.000 15. 350.000

15.440.000 15.490.000

a) Si te dicen que en el cuadro está el número 15.370.000 ¿Cuáles son los cuatro números que están a la izquierda, a la derecha, arriba y debajo de ese número?

b) ¿Es cierto que si se agrega una fila más al cuadro, el primer número de la fila es 15.500.000? ¿Por qué están seguros?

c) ¿Cuántas filas habría que agregar a la tabla para poder escribir el número 16.000.000?


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2. En la siguiente recta numérica se han colocado números de siete cifras con cierta regularidad:

a) Completá los recuadros con los números que faltan.

b) Escribí el número que está en el medio entre 3.125.200 y 3.125.500

c) Alexis dice que el número tres millones ciento veintisiete mil cien está entre

3.127.000 y 3.127.300 ¿Están de acuerdo? ¿Cómo lo explicarías?

d) Explicá dónde ubicarías aproximadamente el número 3.125.245

e) ¿Es cierto que si se extendiera la recta, el número tres millones ciento veintiocho mil

no estaría en alguno de los puntos marcados? ¿Por qué?

Números en palabras

Producir estrategias para determinar

la cantidad de cifras de un número a

partir de las palabras.

Elaborar criterios para ordenar

números expresados con palabras

3.125.200 3.124.000

3.127.900 3.126.700 3.125.500 3.124.300


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Analicen y resuelvan las siguientes situaciones:

1. Los chicos de un grupo escribieron números con las palabras ocho, cuatro, mil y

millones ¿Cuál es el número que tiene más cifras? Traten de decidirlo sin escribir los

números. Expliquen por qué están seguros

2. Sin escribirlos anoten cuántas cifras tiene cada uno de los

siguientes números:

a) Tres mil doscientos

b) Ciento tres mil

c) Doscientos mil tres

d) Mil doscientos tres

3.

a) ¿Si al leer un número se dice la palabra millón/millones se

puede afirmar cuántas cifras tiene? ¿Por qué?

b) Si al decir el nombre de un número se dice sesenta y ocho mil se puede asegurar

cuántas cifras tiene ¿Por qué?

4. En un grupo los chicos jugaban a armar números con palabras. Armaron los siguientes

números, y luego los ordenaron de menor a mayor.

a) Cinco mil doscientos

b) Doscientos cinco mil

c) Cientos dos mil cinco

¿Están ordenados correctamente? ¿Cómo se dan cuenta?

Any dice que ella se da cuenta cuál es el menor porque mira dónde está la

palabra mil ¿Qué creen que está pensando Any? Expliquen si están de acuerdo o

no.

Ocho millones dos mil Ocho mil dos millones

Ocho mil millones dos Ocho millones mil dos


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Números grandes: poblaciones y distancias

Establecer relaciones entre la

escritura de los números y su

nombre

Elaborar criterios para comparar

números

Interpretar diferentes formas de

expresar el mismo número.

A partir de las palabras

dos, seis, cien (o cientos) y

mil escribir (con palabras),

usándolas todas y sin

repetir, todos los números

posibles.

a) Ordenarlos de menor a

mayor

b) Traducirlos en escritura

con cifras.


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1. Según el Censo Nacional de Población, Hogares y Viviendas realizado en el 2010 por el INDEC

(Instituto Nacional de Estadística y Censos) la población de diez provincias argentinas es la que se

muestra en la tabla que sigue:

a) Escribí en letras la población que corresponde a la provincia de Córdoba

b) La población de la provincia de Misiones es un millón ciento un mil quinientos noventa y tres, anótalos en la tabla.

c) ¿Cuál te parece que tiene mayor población, Córdoba o Santa Fe?

d) Ordena la cantidad de habitantes de las siguientes provincias: Entre Ríos, Mendoza, Salta y Tucumán

e) Si te dicen que la población de Chaco es un millón cincuenta y cinco mil doscientos cincuenta y nueve, ubicalo en el orden que realizaste en el ítem anterior.

2. En la siguiente tabla se muestra la distancia media del Sol a algunos planetas del Sistema Solar

a) ¿Cuál es la distancia, en km, del planeta más cercano al Sol?

b) Sin usar palabras, registren la distancia al Sol, de la Tierra y Júpiter que aparecen en la tabla.

c) Escriban los números de la distancia de Neptuno y Urano en letras.

d) Si te dicen que la distancia de Plutón al Sol es de cinco mil millones novecientos treinta y cuatro millones cuatrocientos cincuenta y seis mil quinientos Anótenlo en la tabla

e) Sofía dice que la distancia entre la Tierra y Saturno es de 1.200 millones de km. Escriban ese número con cifras

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