Seance 6 Initiation au traitement du signal et …...Initiation au traitement du signal - Seance 6...
9
Initiation au traitement du signal - S´ eance 6 F. Sur - ENSMN Limite de l’analyse de Fourier Les fenˆ etres Les fenˆ etres Th´ eor` eme d’incertitude L’id´ ee de Dennis Gabor Transform´ ee de Fourier ` a fenˆ etre Le cas discret Quelques applications Introduction aux ondelettes Limite de la STFT Transform´ ee continue en ondelettes Transform´ ee discr` ete en ondelettes Conclusion Cours ´ electif CET42 Initiation au traitement du signal et applications S´ eance 6: analyse temps-fr´ equence Fr´ ed´ eric Sur ´ Ecole des Mines de Nancy www.loria.fr/∼sur/enseignement/signal/ 1/36 Initiation au traitement du signal - S´ eance 6 F. Sur - ENSMN Limite de l’analyse de Fourier Les fenˆ etres Les fenˆ etres Th´ eor` eme d’incertitude L’id´ ee de Dennis Gabor Transform´ ee de Fourier ` a fenˆ etre Le cas discret Quelques applications Introduction aux ondelettes Limite de la STFT Transform´ ee continue en ondelettes Transform´ ee discr` ete en ondelettes Conclusion S´ eance 6 1 Limite de l’analyse de Fourier 2 Les fenˆ etres Les fenˆ etres Th´ eor` eme d’incertitude 3 L’id´ ee de Dennis Gabor Transform´ ee de Fourier ` a fenˆ etre Le cas discret Quelques applications 4 Introduction aux ondelettes Limite de la STFT Transform´ ee continue en ondelettes Transform´ ee discr` ete en ondelettes 5 Conclusion 3/36 Initiation au traitement du signal - S´ eance 6 F. Sur - ENSMN Limite de l’analyse de Fourier Les fenˆ etres Les fenˆ etres Th´ eor` eme d’incertitude L’id´ ee de Dennis Gabor Transform´ ee de Fourier ` a fenˆ etre Le cas discret Quelques applications Introduction aux ondelettes Limite de la STFT Transform´ ee continue en ondelettes Transform´ ee discr` ete en ondelettes Conclusion Limite de l’analyse de Fourier But : extraire d’un signal des informations. signal analogique L 2 : transform´ ee de Fourier, spectre f (λ); signal analogique p´ eriodique L 2 : s´ erie de Fourier, coefficients cn(f ); signal num´ erique : transform´ ee de Fourier discr` ete. Limite : analyse globale, perte de l’information temporelle. exemples : d´ ebut et fin du signal, apparition d’une singularit´ e - et n´ ecessit´ e de connaˆ ıtre l’int´ egralit´ e du signal pour l’analyser. . . car f (λ) ou cn(f ) se calculent sur tout le signal. 4/36 Initiation au traitement du signal - S´ eance 6 F. Sur - ENSMN Limite de l’analyse de Fourier Les fenˆ etres Les fenˆ etres Th´ eor` eme d’incertitude L’id´ ee de Dennis Gabor Transform´ ee de Fourier ` a fenˆ etre Le cas discret Quelques applications Introduction aux ondelettes Limite de la STFT Transform´ ee continue en ondelettes Transform´ ee discr` ete en ondelettes Conclusion Exemple -15 -10 -5 0 5 10 15 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Probl` eme avec les signaux non-stationnaires : on peut (` a peu pr` es) retrouver les fr´ equences des composantes, mais pas leur localisation. 5/36
Transcript of Seance 6 Initiation au traitement du signal et …...Initiation au traitement du signal - Seance 6...
Initiation autraitement du
signal - Seance 6
F. Sur - ENSMN
Limite de l’analysede Fourier
Les fenetres
Les fenetres
Theoremed’incertitude
L’idee de DennisGabor
Transformee deFourier a fenetre
Le cas discret
Quelques applications
Introduction auxondelettes
Limite de la STFT
Transformee continueen ondelettes
Transformee discreteen ondelettes
Conclusion
Cours electif CET42
Initiation au traitement du signalet applications
Seance 6: analyse temps-frequence
Frederic SurEcole des Mines de Nancy
www.loria.fr/∼sur/enseignement/signal/
1/36
Initiation autraitement du
signal - Seance 6
F. Sur - ENSMN
Limite de l’analysede Fourier
Les fenetres
Les fenetres
Theoremed’incertitude
L’idee de DennisGabor
Transformee deFourier a fenetre
Le cas discret
Quelques applications
Introduction auxondelettes
Limite de la STFT
Transformee continueen ondelettes
Transformee discreteen ondelettes
Conclusion
Seance 6
1 Limite de l’analyse de Fourier
2 Les fenetresLes fenetresTheoreme d’incertitude
3 L’idee de Dennis GaborTransformee de Fourier a fenetreLe cas discretQuelques applications
4 Introduction aux ondelettesLimite de la STFTTransformee continue en ondelettesTransformee discrete en ondelettes
5 Conclusion
3/36
Initiation autraitement du
signal - Seance 6
F. Sur - ENSMN
Limite de l’analysede Fourier
Les fenetres
Les fenetres
Theoremed’incertitude
L’idee de DennisGabor
Transformee deFourier a fenetre
Le cas discret
Quelques applications
Introduction auxondelettes
Limite de la STFT
Transformee continueen ondelettes
Transformee discreteen ondelettes
Conclusion
Limite de l’analyse de Fourier
But : extraire d’un signal des informations.
signal analogique L2 : transformee de Fourier,spectre f (λ) ;
signal analogique periodique L2 : serie de Fourier,coefficients cn(f ) ;
signal numerique : transformee de Fourier discrete.
Limite : analyse globale, perte de l’information temporelle.exemples : debut et fin du signal, apparition d’une singularite- et necessite de connaıtre l’integralite du signal pourl’analyser. . .car f (λ) ou cn(f ) se calculent sur tout le signal.
4/36
Initiation autraitement du
signal - Seance 6
F. Sur - ENSMN
Limite de l’analysede Fourier
Les fenetres
Les fenetres
Theoremed’incertitude
L’idee de DennisGabor
Transformee deFourier a fenetre
Le cas discret
Quelques applications
Introduction auxondelettes
Limite de la STFT
Transformee continueen ondelettes
Transformee discreteen ondelettes
Conclusion
Exemple
−15 −10 −5 0 5 10 15−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Probleme avec les signaux non-stationnaires : on peut (a peupres) retrouver les frequences des composantes, mais pasleur localisation.
5/36
Initiation autraitement du
signal - Seance 6
F. Sur - ENSMN
Limite de l’analysede Fourier
Les fenetres
Les fenetres
Theoremed’incertitude
L’idee de DennisGabor
Transformee deFourier a fenetre
Le cas discret
Quelques applications
Introduction auxondelettes
Limite de la STFT
Transformee continueen ondelettes
Transformee discreteen ondelettes
Conclusion
Seance 6
1 Limite de l’analyse de Fourier
2 Les fenetresLes fenetresTheoreme d’incertitude
3 L’idee de Dennis GaborTransformee de Fourier a fenetreLe cas discretQuelques applications
4 Introduction aux ondelettesLimite de la STFTTransformee continue en ondelettesTransformee discrete en ondelettes
5 Conclusion
6/36
Initiation autraitement du
signal - Seance 6
F. Sur - ENSMN
Limite de l’analysede Fourier
Les fenetres
Les fenetres
Theoremed’incertitude
L’idee de DennisGabor
Transformee deFourier a fenetre
Le cas discret
Quelques applications
Introduction auxondelettes
Limite de la STFT
Transformee continueen ondelettes
Transformee discreteen ondelettes
Conclusion
Localisation temporelleProbleme de la transformee de Fourier d’un signal f :
excellente resolution frequentielle (cas d’un signal trigo.)mais resolution temporelle nulle (integration sur ledomaine de f ).
Idee pour ameliorer la resolution temporelle : analyser lespectre sur des morceaux du signal.
Exemple : analyse sur intervalle [−A,A] −→ f multiplieepar le creneau χA (indicatrice de [−A,A]).
−15 −10 −5 0 5 10 15
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
7/36
Initiation autraitement du
signal - Seance 6
F. Sur - ENSMN
Limite de l’analysede Fourier
Les fenetres
Les fenetres
Theoremed’incertitude
L’idee de DennisGabor
Transformee deFourier a fenetre
Le cas discret
Quelques applications
Introduction auxondelettes
Limite de la STFT
Transformee continueen ondelettes
Transformee discreteen ondelettes
Conclusion
Localisation par un creneauSoit g(t) = χA(t)f (t).
Que devient le spectre g = χA · f ?
g(λ) =sin 2πAλ
πλ∗ f (λ) =
∫ +∞
−∞f (µ)
sin 2πA(µ− λ)
π(µ− λ)dµ.
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−5
0
5
10
15
20
25
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−20
−10
0
10
20
30
40
50
60
70
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−50
0
50
100
150
200
250
A petit : bonne resolution en temps, faible resolution en frequence ;
A grand : faible resolution en temps, bonne resolution en
frequence.8/36
Initiation autraitement du
signal - Seance 6
F. Sur - ENSMN
Limite de l’analysede Fourier
Les fenetres
Les fenetres
Theoremed’incertitude
L’idee de DennisGabor
Transformee deFourier a fenetre
Le cas discret
Quelques applications
Introduction auxondelettes
Limite de la STFT
Transformee continueen ondelettes
Transformee discreteen ondelettes
Conclusion
Exemple : signal trigonometrique
Cas ou f (t) = e2iπωt est un signal trigonometrique.(donc parfaitement localise en frequence)
Alors f = δω.
Comme : g(λ) = sin 2πAλπλ ∗ f (λ)
on a : g(λ) = sin 2πA(λ−ω)π(λ−ω) . . .
Interpretation : pour estimer correctement la frequenced’un signal trigonometrique, il faut l’observer sur unintervalle de temps suffisamment long.
9/36
Initiation autraitement du
signal - Seance 6
F. Sur - ENSMN
Limite de l’analysede Fourier
Les fenetres
Les fenetres
Theoremed’incertitude
L’idee de DennisGabor
Transformee deFourier a fenetre
Le cas discret
Quelques applications
Introduction auxondelettes
Limite de la STFT
Transformee continueen ondelettes
Transformee discreteen ondelettes
Conclusion
Les fenetres
Meme raisonnement si on remplace le creneau χA par unefonction reelle wA jouant le meme role.→ recherche des wA bien localises en temps et en frequence.
Definition - fenetres
On appelle fenetres de telles fonctions.
Idee : pour ameliorer la localisation en frequence de lafenetre, il faut prendre une fenetre plus reguliere que lecreneau. (wA decroıt alors plus vite)
10/36
Initiation autraitement du
signal - Seance 6
F. Sur - ENSMN
Limite de l’analysede Fourier
Les fenetres
Les fenetres
Theoremed’incertitude
L’idee de DennisGabor
Transformee deFourier a fenetre
Le cas discret
Quelques applications
Introduction auxondelettes
Limite de la STFT
Transformee continueen ondelettes
Transformee discreteen ondelettes
Conclusion
Exemples de fenetres
−0.25 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250
0.2
0.4
0.6
0.8
1
creneautriangleHanning
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−5
0
5
10
15
20
25
TF creneauTF triangleTF Hanning
differentes fenetres. . . et leurs transformees de Fourier
Fenetre ideale : bonne localisation (concentration)en temps et en frequence.
→ Impossible d’apres le theoreme d’incertitude. . .
11/36
Initiation autraitement du
signal - Seance 6
F. Sur - ENSMN
Limite de l’analysede Fourier
Les fenetres
Les fenetres
Theoremed’incertitude
L’idee de DennisGabor
Transformee deFourier a fenetre
Le cas discret
Quelques applications
Introduction auxondelettes
Limite de la STFT
Transformee continueen ondelettes
Transformee discreteen ondelettes
Conclusion
“Principe” d’incertitude (dit de Heisenberg)Soit un signal f ∈ L2(R),
σ2t =
1
||f ||22
∫R
t2|f (t)|2dt (dispersion d’energie en temps)
σ2f =
1
||f ||22
∫Rλ2|f (λ)|2dλ (dispersion d’energie en frequence)
Theoreme d’incertitude
On ne peut pas localiser un signal simultanement en tempset en frequence car :
σ2t · σ2
f > 1
4π.
Preuve : cf poly.
Remarque : peut-on trouver des fonctions a supportcompact dont la transformee de Fourier (ou la TF inverse)est encore a support compact ?(interet : ex. conversion digital → analogique, cf seance 5)→ Non. . . (cf Mallat chap. 2, th. de Paley-Wiener)
12/36
Initiation autraitement du
signal - Seance 6
F. Sur - ENSMN
Limite de l’analysede Fourier
Les fenetres
Les fenetres
Theoremed’incertitude
L’idee de DennisGabor
Transformee deFourier a fenetre
Le cas discret
Quelques applications
Introduction auxondelettes
Limite de la STFT
Transformee continueen ondelettes
Transformee discreteen ondelettes
Conclusion
Consequence du principe d’incertitude
On ne peut pas trouver de fenetre possedant une bonnelocalisation en temps et en frequence. . .
Mais les gaussiennes realisent l’optimum dans le theoremed’incertitude, i.e.
Proposition
Si f = αe−ct2avec c > 0, alors :
σ2t · σ2
f =1
4π.
Conclusion : les fenetres gaussiennes realisent le “meilleur”compromis entre localisation temporelle et frequentielle.
13/36
Initiation autraitement du
signal - Seance 6
F. Sur - ENSMN
Limite de l’analysede Fourier
Les fenetres
Les fenetres
Theoremed’incertitude
L’idee de DennisGabor
Transformee deFourier a fenetre
Le cas discret
Quelques applications
Introduction auxondelettes
Limite de la STFT
Transformee continueen ondelettes
Transformee discreteen ondelettes
Conclusion
Seance 6
1 Limite de l’analyse de Fourier
2 Les fenetresLes fenetresTheoreme d’incertitude
3 L’idee de Dennis GaborTransformee de Fourier a fenetreLe cas discretQuelques applications
4 Introduction aux ondelettesLimite de la STFTTransformee continue en ondelettesTransformee discrete en ondelettes
5 Conclusion
14/36
Initiation autraitement du
signal - Seance 6
F. Sur - ENSMN
Limite de l’analysede Fourier
Les fenetres
Les fenetres
Theoremed’incertitude
L’idee de DennisGabor
Transformee deFourier a fenetre
Le cas discret
Quelques applications
Introduction auxondelettes
Limite de la STFT
Transformee continueen ondelettes
Transformee discreteen ondelettes
Conclusion
Transformee de Fourier a fenetre
ou STFT (Short Time Fourier Transform)introduit par Dennis Gabor(1900-1979, prix Nobel 71, inventeur de l’holographie).
Rappel : transformee de Fourier de f ∈ L2(R)
f (λ) =
∫R
f (t) exp(−2iπλt)dt.
Definition - Transformee de Fourier a fenetre
Soit Wf (λ, b) =
∫R
f (t)w(t − b) exp(−2iπλt)dt.
Wf s’appelle la transformee de Fourier a fenetre de f .
Remarque : bien sur, depend du choix de w .
15/36
Initiation autraitement du
signal - Seance 6
F. Sur - ENSMN
Limite de l’analysede Fourier
Les fenetres
Les fenetres
Theoremed’incertitude
L’idee de DennisGabor
Transformee deFourier a fenetre
Le cas discret
Quelques applications
Introduction auxondelettes
Limite de la STFT
Transformee continueen ondelettes
Transformee discreteen ondelettes
Conclusion
Theoreme
Wf (λ, b) =
∫R
f (t)w(t − b) exp(−2iπλt)dt.
Theoreme
Si w ∈ L1 ∩ L2 reelle et ||w ||2 = 1 alors
1 Conservation de l’energie :∫∫R2
|Wf (λ, b)|2 dλdb =
∫R|f (t)|2 dt
2 Formule de reconstruction :
f (t) =
∫∫R2
Wf (λ, b)w(t − b)e2iπλt dλdb (dans L2)
Preuve : cf Gasquet-Witomski chap. 41 ou Mallat chap. 4.
16/36
Initiation autraitement du
signal - Seance 6
F. Sur - ENSMN
Limite de l’analysede Fourier
Les fenetres
Les fenetres
Theoremed’incertitude
L’idee de DennisGabor
Transformee deFourier a fenetre
Le cas discret
Quelques applications
Introduction auxondelettes
Limite de la STFT
Transformee continueen ondelettes
Transformee discreteen ondelettes
Conclusion
Remarque : “bases” des decompositionsFourier : f (t) =
∫R f (λ)ωλ(t)dt
ou ωλ(t) = e2iπλt .
Fourier a fenetre : f (t) =∫∫
R2 Wf (λ, b)wλ,b(t)dλdbou wλ,b(t) = w(t − b)e2iπλt
et Wf (λ, b) =∫
R f · wλ,b =∫
R f · wλ,b (Parseval)
Cas de la fenetre Gaussienne (→Gaborettes) :
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
20
40
60
80
100
120
140
160
Re(wλ,b) |wλ,b|(autour de b) (autour de λ)
. . .a comparer a ωλ et ωλ dans le cas de Fourier classique.17/36
Initiation autraitement du
signal - Seance 6
F. Sur - ENSMN
Limite de l’analysede Fourier
Les fenetres
Les fenetres
Theoremed’incertitude
L’idee de DennisGabor
Transformee deFourier a fenetre
Le cas discret
Quelques applications
Introduction auxondelettes
Limite de la STFT
Transformee continueen ondelettes
Transformee discreteen ondelettes
Conclusion
Spectrogramme
De la meme maniere que l’on considerait le module descoefficients de Fourier pour caracteriser les frequencespresentes dans le signal, on definit :
Definition - spectrogramme
Le spectrogramme d’un signal f est :(λ, t) 7→ Sf (λ, t) = |Wf (λ, t)|2.
18/36
Initiation autraitement du
signal - Seance 6
F. Sur - ENSMN
Limite de l’analysede Fourier
Les fenetres
Les fenetres
Theoremed’incertitude
L’idee de DennisGabor
Transformee deFourier a fenetre
Le cas discret
Quelques applications
Introduction auxondelettes
Limite de la STFT
Transformee continueen ondelettes
Transformee discreteen ondelettes
Conclusion
Transformee de Fourier discrete a fenetre
On considere un signal discret (fn)06n6N−1, et une fenetrediscrete (wn)06n6N−1 (tous deux periodises).
Definition - Discrete STFT
La transformee de Fourier discrete a fenetre de f est lafamille des N2 coefficients :
Wm,l =N−1∑n=0
fnwn−me−2iπln
N avec 0 6 m, l 6 N − 1.
Complexite algorithmique : O (N2 log(N)).
(en fait depend de la taille du support de (wn). . .)
Comme dans le cas continu, si ||w ||2 = 1 on a une formulede reconstruction. (admis)
19/36
Initiation autraitement du
signal - Seance 6
F. Sur - ENSMN
Limite de l’analysede Fourier
Les fenetres
Les fenetres
Theoremed’incertitude
L’idee de DennisGabor
Transformee deFourier a fenetre
Le cas discret
Quelques applications
Introduction auxondelettes
Limite de la STFT
Transformee continueen ondelettes
Transformee discreteen ondelettes
Conclusion
Application 1 : compression
1 compression MP3 : DCT a fenetre.
cf cours compression avec perte :annulation des coefficients en-dessous d’un certain seuil+ modele psycho-acoustique.
2 compression JPEG.
idem, mais fenetres decorrelees. . .
20/36
Initiation autraitement du
signal - Seance 6
F. Sur - ENSMN
Limite de l’analysede Fourier
Les fenetres
Les fenetres
Theoremed’incertitude
L’idee de DennisGabor
Transformee deFourier a fenetre
Le cas discret
Quelques applications
Introduction auxondelettes
Limite de la STFT
Transformee continueen ondelettes
Transformee discreteen ondelettes
Conclusion
Application 2 : analyse de la parole
→ a e i o u
21/36
Initiation autraitement du
signal - Seance 6
F. Sur - ENSMN
Limite de l’analysede Fourier
Les fenetres
Les fenetres
Theoremed’incertitude
L’idee de DennisGabor
Transformee deFourier a fenetre
Le cas discret
Quelques applications
Introduction auxondelettes
Limite de la STFT
Transformee continueen ondelettes
Transformee discreteen ondelettes
Conclusion
Application 3 : effets speciaux sonores
filtrage, equalization
vocoder (voice-encoder)
22/36
Initiation autraitement du
signal - Seance 6
F. Sur - ENSMN
Limite de l’analysede Fourier
Les fenetres
Les fenetres
Theoremed’incertitude
L’idee de DennisGabor
Transformee deFourier a fenetre
Le cas discret
Quelques applications
Introduction auxondelettes
Limite de la STFT
Transformee continueen ondelettes
Transformee discreteen ondelettes
Conclusion
Application 4 : debruitageDonnee : signal sonore bruite par un bruit blanc gaussien.Modelisation : s(t) = s0(t) + b(t) ou b(t) i.i.d.∼ N (0, σ).
spectre de s0 spectre de b spectre de s
Deux methodes de debruitage :
lineaire : filtre passe-bas (⇔ convolution en temps) ;
non-lineaire : e.g. mise a zero des coefficients endessous d’un seuil donne.
Base sur la remarque : le spectre du signal decroıt avec lafrequence et contribue davantage que celui du bruit.
Remarque : bruit non-stationnaire compatible avec STFT.
23/36
Initiation autraitement du
signal - Seance 6
F. Sur - ENSMN
Limite de l’analysede Fourier
Les fenetres
Les fenetres
Theoremed’incertitude
L’idee de DennisGabor
Transformee deFourier a fenetre
Le cas discret
Quelques applications
Introduction auxondelettes
Limite de la STFT
Transformee continueen ondelettes
Transformee discreteen ondelettes
Conclusion
Seance 6
1 Limite de l’analyse de Fourier
2 Les fenetresLes fenetresTheoreme d’incertitude
3 L’idee de Dennis GaborTransformee de Fourier a fenetreLe cas discretQuelques applications
4 Introduction aux ondelettesLimite de la STFTTransformee continue en ondelettesTransformee discrete en ondelettes
5 Conclusion
24/36
Initiation autraitement du
signal - Seance 6
F. Sur - ENSMN
Limite de l’analysede Fourier
Les fenetres
Les fenetres
Theoremed’incertitude
L’idee de DennisGabor
Transformee deFourier a fenetre
Le cas discret
Quelques applications
Introduction auxondelettes
Limite de la STFT
Transformee continueen ondelettes
Transformee discreteen ondelettes
Conclusion
Limite de la transformee de Fourier a fenetre
STFT : analyse des signaux par une sinusoıde de frequence λrestreinte a une fenetre translatee en temps de b.
Inconvenient : la taille de la fenetre est fixee a priori.Probleme pour analyser un signal presentant des variationsa des echelles tres differentes.
C’est en fait le cas de beaucoup de signaux, par exemple :
modelisation d’une note de musique : attaque,maintien, chute ;
image presentant des textures ;
→ une reponse : la theorie des ondelettes.
25/36
Initiation autraitement du
signal - Seance 6
F. Sur - ENSMN
Limite de l’analysede Fourier
Les fenetres
Les fenetres
Theoremed’incertitude
L’idee de DennisGabor
Transformee deFourier a fenetre
Le cas discret
Quelques applications
Introduction auxondelettes
Limite de la STFT
Transformee continueen ondelettes
Transformee discreteen ondelettes
Conclusion
Ou l’on joue de l’accordeonOndelettes / Wavelets : geophysicien Jean Morlet(Elf-Aquitaine) + physicien Alex Grossmann, 1984.A partir de ψ (ondelette-mere) on construit les fonctions :
ψs,u =1√|s|ψ
(t − u
s
)avec s 6= 0, u ∈ R.
Comparaison gaborettes / ondelettes : (source : Gasquet-Witomski)
26/36
Initiation autraitement du
signal - Seance 6
F. Sur - ENSMN
Limite de l’analysede Fourier
Les fenetres
Les fenetres
Theoremed’incertitude
L’idee de DennisGabor
Transformee deFourier a fenetre
Le cas discret
Quelques applications
Introduction auxondelettes
Limite de la STFT
Transformee continueen ondelettes
Transformee discreteen ondelettes
Conclusion
Exemples d’ondelettes-meres
Verifie les conditions d’admissibilite, si possible reguliere. . .
Mexican Hat Ondelette d’Yves Meyer
27/36
Initiation autraitement du
signal - Seance 6
F. Sur - ENSMN
Limite de l’analysede Fourier
Les fenetres
Les fenetres
Theoremed’incertitude
L’idee de DennisGabor
Transformee deFourier a fenetre
Le cas discret
Quelques applications
Introduction auxondelettes
Limite de la STFT
Transformee continueen ondelettes
Transformee discreteen ondelettes
Conclusion
Transformee continue en ondelettes
Theoreme - Calderon 1964 / Grossmann Morlet 1984
Soit ψ ∈ L1 ∩ L2 (ondelette-mere) telle que :
1 ||ψ||2 = 1
2
∫R
|ψ(λ)|2|λ| dλ = K < +∞ (condition d’admissibilite)
Soient ψs,u(t) = 1√|s|ψ
(t−u
s
)et : Wf (s, u) =
∫R f (t)ψs,u(t)dt.
Alors :
11
K
∫∫R2
|Wf (s, u)|2 dsdu
s2=
∫R|f (t)|2dt (conserv. energie)
2 f (t) =1
K
∫∫R2
Wf (s, u)ψs,u(t)dsdu
s2(reconstruction L2)
Remarque : la condition d’admissibilite impliqueψ(0) =
∫R ψ = 0, soit ψ oscillante.
28/36
Initiation autraitement du
signal - Seance 6
F. Sur - ENSMN
Limite de l’analysede Fourier
Les fenetres
Les fenetres
Theoremed’incertitude
L’idee de DennisGabor
Transformee deFourier a fenetre
Le cas discret
Quelques applications
Introduction auxondelettes
Limite de la STFT
Transformee continueen ondelettes
Transformee discreteen ondelettes
Conclusion
Exemple de transformee en ondelettes Wf (s, u)
source : Mallat.
echelle s petite → singularites “microscopiques”.
echelle s grande → singularites “macroscopiques”.
29/36
Initiation autraitement du
signal - Seance 6
F. Sur - ENSMN
Limite de l’analysede Fourier
Les fenetres
Les fenetres
Theoremed’incertitude
L’idee de DennisGabor
Transformee deFourier a fenetre
Le cas discret
Quelques applications
Introduction auxondelettes
Limite de la STFT
Transformee continueen ondelettes
Transformee discreteen ondelettes
Conclusion
Transformee discrete en ondelettesIdee : transformee en ondelettes redondante, on doit pouvoirse contenter de garder “moins” de coefficients.
→ on cherche donc des bases orthonormees d’ondelettesde L2 : (ψj ,k)j ,k∈Z (ou ψ est une ondelette) avec :
ψj ,k(t) = 2j/2 ψ(2jx − k).
On a alorsf (t) =
∑j ,k∈Z
Wf (j , k)ψj ,k(t).
Autrement ecrit :
f (t) =∑j∈Z
fj ou fj =∑k∈Z
Wf (j , k)ψj ,k .
fj represente les details a l’echelle 2−j (ou a la resolution j)du signal f
On peut approcher f par Fn =n−1∑
j=−∞fj (Fn → f dans L2).
30/36
Initiation autraitement du
signal - Seance 6
F. Sur - ENSMN
Limite de l’analysede Fourier
Les fenetres
Les fenetres
Theoremed’incertitude
L’idee de DennisGabor
Transformee deFourier a fenetre
Le cas discret
Quelques applications
Introduction auxondelettes
Limite de la STFT
Transformee continueen ondelettes
Transformee discreteen ondelettes
Conclusion
Exemple de bases d’ondelettes orthonormees1) L’ondelette d’Yves Meyer (1985) fournit une b.o.n.
2) La remarque precedente permet de construire“automatiquement” des b.o.n. d’ondelettes a partird’analyses multiresolutions de L2.
Dans ce cadre, Ingrid Daubechies (1988) propose desondelettes :
a support compact (interet : localisation temporelle)
et a p moments nuls (interet : coefficients des echellesfines negligeables la ou f est regulier).
source : Mallat.
31/36
Initiation autraitement du
signal - Seance 6
F. Sur - ENSMN
Limite de l’analysede Fourier
Les fenetres
Les fenetres
Theoremed’incertitude
L’idee de DennisGabor
Transformee deFourier a fenetre
Le cas discret
Quelques applications
Introduction auxondelettes
Limite de la STFT
Transformee continueen ondelettes
Transformee discreteen ondelettes
Conclusion
Exemples / applications (1)
Analyse d’un electrocardiogramme.
(source : http://pagesperso-orange.fr/michel.hubin/physique/signal/chap_si1.htm)
32/36
Initiation autraitement du
signal - Seance 6
F. Sur - ENSMN
Limite de l’analysede Fourier
Les fenetres
Les fenetres
Theoremed’incertitude
L’idee de DennisGabor
Transformee deFourier a fenetre
Le cas discret
Quelques applications
Introduction auxondelettes
Limite de la STFT
Transformee continueen ondelettes
Transformee discreteen ondelettes
Conclusion
Exemples / applications (2)
Debruitage, “declicage”.
(source : Donoho & Johnstone wavelet shrinkage, 1993)
33/36
Initiation autraitement du
signal - Seance 6
F. Sur - ENSMN
Limite de l’analysede Fourier
Les fenetres
Les fenetres
Theoremed’incertitude
L’idee de DennisGabor
Transformee deFourier a fenetre
Le cas discret
Quelques applications
Introduction auxondelettes
Limite de la STFT
Transformee continueen ondelettes
Transformee discreteen ondelettes
Conclusion
Exemples / applications (3)
Compression : JPEG 2000.
TIFF JPEG JPEG200065ko 4 ko 4 ko
Block effect ? Ringing ? Derive des couleurs ?
Bonne introduction :http ://en.wikipedia.org/wiki/JPEG_2000
34/36
Initiation autraitement du
signal - Seance 6
F. Sur - ENSMN
Limite de l’analysede Fourier
Les fenetres
Les fenetres
Theoremed’incertitude
L’idee de DennisGabor
Transformee deFourier a fenetre
Le cas discret
Quelques applications
Introduction auxondelettes
Limite de la STFT
Transformee continueen ondelettes
Transformee discreteen ondelettes
Conclusion
Seance 6
1 Limite de l’analyse de Fourier
2 Les fenetresLes fenetresTheoreme d’incertitude
3 L’idee de Dennis GaborTransformee de Fourier a fenetreLe cas discretQuelques applications
4 Introduction aux ondelettesLimite de la STFTTransformee continue en ondelettesTransformee discrete en ondelettes
5 Conclusion
35/36
Initiation autraitement du
signal - Seance 6
F. Sur - ENSMN
Limite de l’analysede Fourier
Les fenetres
Les fenetres
Theoremed’incertitude
L’idee de DennisGabor
Transformee deFourier a fenetre
Le cas discret
Quelques applications
Introduction auxondelettes
Limite de la STFT
Transformee continueen ondelettes
Transformee discreteen ondelettes
Conclusion
Conclusion
Probleme de l’analyse de Fourier “standard” :
bien adaptee aux signaux stationnaires. . .
mais ne permet pas d’obtenir d’information temporelle.
Solution : transformee de Fourier a fenetre.
Mais :
compromis precision temporelle / frequentielle,
fenetre d’analyse fixee a priori.
“Mieux” : les ondelettes permettent une decompositionmulti-echelle.
36/36
