REGULADOR LINEAR QUADRTICO VIA OTIMIZAO CONVEXA

Jos Tarcisio Costa Filho

Universidade Federal do Cear - UFC

Departamento de Engenharia de Teleinformtica - DETI

jtcosta@ufc.br

Andr Luz Sampaio de Alencar

Universidade Federal do Cear - UFC

Departamento de Engenharia de Teleinformtica DETI

alencarandre85@gmail.com

ABSTRACT The linear quadratic (LQ) regulator problem, based on symmetrical and positive

definite solutions of algebraic Riccati equation (ARE), can be efficiently solved since 1960s,

what, in a way, discouraged the development of alternative methods to solve it. In this way, this

paper presents a new solution to the LQ problem with no employment of ARE and set a

methodology that can be extended to more advanced topics, enabling on-line optimization

applications and providing relevant solutions strategies for dynamic systems subject to

uncertainties in the scope of optimal control theory.

KEYWORDS. LQ Theory, Riccati Equations, Nonlinear Optimization, Duality

RESUMO O problema do regulador linear quadrtico (LQ), baseado em solues simtricas e

definidas positivas da Equao Algbrica de Riccati (ARE), pode ser resolvido eficientemente

desde os anos 60, o que de certo modo, veio a desencorajar o desenvolvimento de mtodos

alternativos soluo do mesmo. Neste sentido, esse trabalho apresenta uma nova soluo para o

problema LQ sem o emprego da ARE, e estabelece uma metodologia que pode ser estendida

tpicos mais avanados, viabilizando aplicaes de otimizao on-line e fornecendo estratgias

de soluo relevantes para sistemas dinmicos sujeitos incertezas no escopo da teoria de

controle timo.

PALAVRAS-CHAVE. Teoria LQ, Equaes Riccati, Otimizao no Linear, Dualidade

2565

1. Introduo

Dentre as equaes matriciais no-lineares mais estudadas e utilizadas por matemticos

e engenheiros encontram-se as equaes de Riccati. De um modo geral, o termo equao de

Riccati pode significar uma classe de matrizes: quadrticas, algbricas, diferenciais ou a

diferenas finitas, dos tipos simtricas ou no-simtricas, surgida no estudo de sistemas

dinmicos contnuos ou discretos no tempo (Tamariz, A. D. R., 2005). A soluo das mesmas

desempenha um papel fundamental na teoria do controle moderno e no processamento de sinais

(Lancaster P., 1995), pois consiste em uma importante ferramenta em problemas de dupla

condio de contorno como, por exemplo, o problema do regulador linear quadrtico (LQR -

Linear Quadratic Regulator), o controle robusto, o filtro de Kalman, estimao de estado e de

parmetros de sistemas, modelagem de sries temporais multivariveis e em muitos outros ramos

da matemtica aplicada (Bittanti, S., 1991; Lancaster P., 1995; Tamariz, A. D. R., 2005).

Haja vista a importncia prtica de tais equaes, diversos mtodos numricos que

diferem em preciso, estabilidade numrica, custos de implementao computacional e eficincia,

tm sido propostos para a soluo das mesmas (Laub, A, 1991), como, por exemplo, os mtodos

de Newton (Blackburn, T. R., 1968; Hammarling, S. J., 1982), dos subespaos invariantes (Laub,

A, 1991) e, mais recentemente, estratgias via desigualdades lineares matriciais (LMIs -Linear

Matrix Inequalities) ( Stoorvogel, A. A., 1998), redes neurais artificiais (Tamariz, A. D. R., 2005)

e o Mtodo Costa Filho (MCF) (Costa Filho, J. T., 1997; Nascimento, V. A., 2007; Souza, V.

M., 2002).

O problema do regulador linear quadrtico (LQR), baseado em solues simtricas e

definidas positivas das equaes de Riccati, pode ser resolvido eficientemente desde os anos 60,

o que de certo modo, veio a desencorajar o desenvolvimento de mtodos alternativos soluo

do mesmo. Neste sentido, esse artigo apresenta uma nova soluo para o problema, independente

das ARE (Equaes Algbricas de Riccati), e estabelece uma metodologia que pode ser estendida

tpicos mais avanados, viabilizando aplicaes tempo real e fornecendo estratgias de soluo

relevantes para sistemas dinmicos sujeitos incertezas no escopo da teoria de controle timo.

Ao final do artigo, apresentaremos exemplos para ilustrar as principais vantagens do

novo mtodo, que consistem em se obter uma famlia de ganhos que possam viabilizar trajetrias

de estado ou controle timos equivalentes ou at melhores que as obtidas via Riccati. Com boas

propriedades de convergncia, estabilidade numrica e matrizes bem condicionadas. Para maiores

detalhes histricos e/ou tericos acerca das equaes de Riccati e do controle LQR as seguintes

referncias podem ser consultadas (Anderson B., 1990; Athans, M., 1966; Benner, P., 1997;

Bittanti, S., 1996; Lancaster P., 1995; Sielawa, J. R., 1997).

2. Formulao do Problema de Controle timo Discreto

Nesta seo, ser revisto o mtodo clssico de resolver o problema de controle timo

linear quadrtico (LQ) 1

0

1 1Minimizar ( , ) [ ]

2 2

NT T T

k k N N k k k k

k

J x u x Sx x Qx u Ru

(1)

0

1 }1,...,0{, :a Sujeito

x

NKkBuAxx kkk (2)

As variveis a serem otimizadas 1,...,n

Nx x R e 0 1,...,m

Nu u R , so

respectivamente as variveis de estado e de controle do sistema dinmico linear discreto. Os

dados do problema so: x x

0, ,n n n m nA R B R x R e as matrizes

x x x, , .n n m m n nQ R R R S R que ponderam, respectivamente, as variveis de estado, controle e

2566

1, 1( , , )k k k k kl x u x

estado final xN . Ser considerado, sem perda de generalidade, que as matrizes S, Q e R so

simtricas e definidas positivas.

O problema de controle timo gerar uma seqncia de vetores ),...,,( 110*

Nk uuuu

que minimiza a funo custo ),( kk uxJ sujeito a restrio (2).

2.1 Condies de Otimalidade

O problema de controle timo descrito pelas equaes (1) e (2) pode ser resolvido pelo

emprego de vetores de co-estado n

N R ,...,, 21 associados restrio (2) de modo que

0 0 e 1 0k para 1k N . Neste sentido, seja a funo custo aumentada: 1

1 1 1 1

0

1( , , , ) [ ( , , , )]

2

NT

a k k k k N N k k k k k

k

J x u x x Sx l x u x

(3)

onde o Lagrangeano definido por:

1 1 1 11

( , , , )2

T T T

k k k k k k k k k k k k kl x u x x Qx u Ru Ax Bu x (4)

pode-se reescrever (4) como:

1 1 1 1 1( , , , ) ( , , )T

k k k k k k k k k k kl x u x H x u x (5)

onde a funo Hamiltoniana definida por:

1 11

( , , )2

T T T

k k k k k k k k k k kH x u x Qx u Ru Ax Bu . (6)

Pode-se obter as condies necessrias de otimalidade como:

* * *

1*

1

kk k k

k

Hx Ax Bu

(7)

* * * *

1*

Tkk k k k

k

HQx A

x

(8)

* * * 1 *

1 1*0 T Tk k k k k k

k

HRu B u R B

u

(9)

* 1 *

N Nx S (10)

Para este problema convexo, as condies necessrias de otimalidade so tambm

suficientes.

3. Metodologia Proposta

Nesta seo ser apresentado um mtodo muito eficiente para resolver (1) e (2)

estendendo o conceito da teoria de dualidade para estabelecer relaes entre estruturas algbricas

resultantes de transformaes duais de um conjunto de equaes dinmicas complexas em um

conjunto de equaes estticas mais simples. Este mtodo apresenta aspectos computacionais

significativos para a sntese de controladores timos, uma vez que leva em conta a vantagem de

se explorar estruturas matriciais especiais.

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3.1 Formulao Dual

Um aspecto importante dos problemas de otimizao convexa com restries que tais

problemas podem ser transformados em problemas duais os quais, em muitos casos, so mais

fceis de resolver.

Seja o problema dual:

1

1max ( ))k

kL

(11)

. . (7),(8),(9),(10)s a (12)

onde: 1 1 1( ) min ( , , , )k k

k a k k k ku x

L J x u x .

A soluo dual pode ser obtida numericamente por tcnicas do tipo gradiente (Avriel,

M. 1996; Vilmar, A.N., 2007), entretanto computacionalmente dispendioso, pois envolve uma

grande quantidade de clculos (Vilmar, A.N., 2007).

Para se reduzir os custos computacionais e simplificar o processo de obteno da

soluo dual, tirando vantagem de estruturas matriciais especiais, prope-se, dada a concavidade

estrita da funo 1( )kL , uma reformulao do problema dual dinmico de modo a se obter um

forma quadrtica esttica definida na proposio a seguir.

Proposio 1 Dada a concavidade da funo