Regresión Espuria y Cointegración SimpleRegresión Espuria y Cointegración Simple

Jesús Gonzalo U. Carlos III de Madrid

Regresión EspuriaRegresión Espuria

Set-up:

k 0)ktvtv(E)ktutE(u

st, 0)sv,tE(u ; )2v,0(iidt v; tv1txtx

)2u,0(iidtu ; tu1tyty

Regresa ttxty ttxty

Que esperas conseguir?

óndistribuci

p

p

tt

R

ˆ

2 0

0ˆ

Regresión EspuriaRegresión Espuria (cont) (cont)

Que pasa realmente?

óndistribucialguna

0DW

óndistribucialguna

óndistribuci lgˆ

ˆ2/1

p

2

tT

R

unaa

Regresión Espuria (cont)Regresión Espuria (cont)

Problema de Reegresión Espuria (SPR):

La regresión de una serie I(1) sobre otra variable I(1) no relacionada, produce unos t-ratios del parámetro de la pendiente que indican la existencia de relación cuando sabemos que no la hay. Este problema no desaparece cuando el tamaño muestral aumenta.El problema de la Regresión Espuria puede aparecer tambien con series I(0) (vease Granger, Hyung and Jeon (1998)). Esto nos está diciendo que el problema está generado por el uso de VALORES CRITICOS EQUIVOCADOS!!!! En una Regresión Espuria los errores estarían correlacionados y los estadisticos “t” estarían mal calculados porque se esta usando un estimador de la varianza residual que no es consistente. En el mundo I(0) se puede hacer una correción como vimos en clase que resuelve este problema:

1/2ˆ )ˆ de plazo largo de(varianza ˆ donde , óndistribuci-t tˆˆ

Quizás se pueda hacer algo parecido cuando la regresión envuelve variables I(1).

Regresión Espuria (cont)Regresión Espuria (cont)

Como se detecta la Regressión Espuria (entre series I(1))?

Analizando el correlograma y realizando un contraste de raiz unitaria sobre los residuos.

Como convertimos una Regresión Espuria en una regresión valida?

Tomando diferencias en ambos lados de la regresión.

Resuelve esta transformación el problema?

Lo resuelve desde un punto de vista estadístico; pero desde el punto de vista económico estaríamos perdiendo información y además la información contenida en una regresión en tasas de crecimiento no es la misma que en una regresión en niveles.

Regresión Espurea (cont)Regresión Espurea (cont)

Tiene sentido una regresión entre variables I(1)?

Si si los errores de la regresión son I(0).

Puede ser esto posible?

La misma pregunta le pregunto David Hendry a Clive Granger hace tiempo Esta es la historia mas o menos…...

Clive answered NO WAY!!!!! but he also said that he would think about. In the plane trip back home to San Diego, Clive thought about it and concluded that YES IT IS POSSIBLE. It is possible when both variables share the same source of the I(1)’ness (co-I(1)), when both variables move together in the long-run (co-move), ... when both variables are

COINTEGRATED!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Algunos Ejemplos de CointegraciónAlgunos Ejemplos de Cointegración

Ejemplo 1: Teoria de la paridad del poder adquisitivo (PPP)

“Apart from transportation costs, good should sell for the same effective price in two countries”

*tP tStP

Un índice de precios en USA

$ per € Indice de precios en España

*tptstp

En logs :

Una versión de la PPP mas débil:

tz*tptstp

Si las tres variabes son I(1) y zt es I(0) entonces la teoría de la PPP está implicando que existe cointegración entre pt, st y p*

t .

Algunos Ejemplos de Cointegración (cont)Algunos Ejemplos de Cointegración (cont)

Ejemplo 2: Modelo del Valor Presente Actualizado (PVM)

c

0i

)ity(tEi)1(tY

Yt: Intereses Largo Plazo yt: Intereses corto plazo

Precios de Stocks dividendos

Consumo renta laboral

Si yt tiene una raiz unitaria y el PVM es cierto entonces Yt e yt estarán cointegrados (see Campbell and Shiller (1987)

I(0) is ty tYtZ

Interpretación Geometrica de CointegraciónInterpretación Geometrica de Cointegración

Que es un ATTRACTOR?

Considere el precio (en el tiempo) de un bien que se comercia en doslocalidades diferentes i y j.

.1

.2

.3 .

4 .5

jtp

itp45

jtit pp

),(:

),(:2

),(:1

22

11

jtit

ji

ji

ppt

pp

pp

Supongamos 11 ji pp Demanda irá al lugar j 11 y ji pp

El ajuste no será instantaneo; pero en el largo plazo

jtit pp

Interpretación Geométrica de Cointegración(cont)Interpretación Geométrica de Cointegración(cont)

El concepto de attractor es el concepto de long-run equilibrium entre dos procesos estocasticos. Permitimos que las dos variables diverjan en el corto plazo; pero en el largo plazo tienen que converger a una región común denominada región En otras palabras, si no hubiera ningún shock en el sistema de aquí al futuro, los dos procesos estocásticos convergerian a un conjunto attractor común.

Cuestión 1: Escribe en terminos intuitivos dos ejemplos económicos donde cointegración está presente. Por qué?

Cuestión 2: Un borracho saliendo de un bar sigue un paseo aleatorio. Su perro sigue otro paseo aleatorio por su cuenta. Llegan a un parque donde no están permitidos los perros sueltos. El borracho le pone la correa al perro y los dos entran en el parque. Estarán sus caminatas o sendas dentro del parque cointegradas? Por qué?

Definición de CointegracónDefinición de Cointegracón

Desde un punto de vista económico estamos interesados en responder(1) Podemos contrastar la existencia de este conjunto attractor?(2) Si existe, como lo podemos tener en cuenta en nuestra modelización?

Algunas reglas sobre combinaciones lineales entre I(0) e I(1)

general en )1()1(,4.

dominante es )1(

)1()1(),0(.3

)0()0(,.2

)1()1(

)0()0(.1

IbYaXIYX

I

IbYaXIYIX

IbYaXIYX

IbXaIX

IbXaIX

tttt

tttt

tttt

tt

tt

Definición

as.cointegrad están que dice se , entonces I(0), es que tal

Z

digamos

lineal, ncombinacióuna existe pero I(1) son e Si

t

ttt

tt

tt

YXZ

bYaXm

YX

Por Qué dos series están cointegradas?Por Qué dos series están cointegradas?

Considera la siguiente estructura

ttt

ttt

YWY

IIIXAWX~

3)(regla )0()1()1(~

La siguiente combinación lineal

común. I(1)factor un tienen, que lopor

2)(regla )0(~~

~~

tt

ttt

ttttttt

YX

IYAXZ

YAAWXAWAYXZ

Resultado 1.

Si dos series I(1) tienen un factor común I(1) y un componente I(0)idiosincrásico, entonces ellas están cointegradas.

Se puede probar que el Resultado 1 es un resultados de SI y SOLO SI.

Un Contraste Simple de CointegraciónUn Contraste Simple de Cointegración

• Este contraste es debido a Engle y Granger (1987)

• Estima la siguiente regresión en niveles

•Realiza un contraste ADF sobre los residuos:

I(1) t x, ty ; tztxty

p

1i

erroritzi1tztz

• La hipotesis nula 0 :oH

• Esto significa que los residuos tienen una raíz unitaria y entonces y t y xt no están cointegradas.

• Si los residuos son I(0) entonces yt y xt están cointegradas

Modelo de Correción del ErrorModelo de Correción del Error

Modelo de Correción del Error Vectorial(VECM)

Para un VAR bivariante, donde son I(1) y estan cointegradas

yttttt

xttttt

YXZcY

YXZcX

.........

.........

1111122

1111111

yttttt

xttttt

YXZcY

YXZcX

.........

.........

1111122

1111111

tt YX ,

0 un minimo como

y ),0(

ybivariante blanco ruido un es )',( donde

i

ttt

ytxt

IAYXZ

0, i.e. I(0),explicar puede no I(1) ECM,el En

4)(regla )1(ascointegrad están no , Si

21

tt

ttt

YX

IZYX

Resultado 2.

Si están cointegradas, entonces existe una representacion ECMy viceversa (Teorema de Representación de Granger).

tt YX ,

Intuición Geometrica del Modelo de Correción del ErrorIntuición Geometrica del Modelo de Correción del ErrorIntuición sobre el ECM

equilibrio deerror :ttt AXYZ

tY

tX

tt AXY 0tZ

Donde vaya el sistema en el tiempo t+1 , depende de la magnitud y el signo del error de equilibrio en el periodo anterior.

Dinámica de Corto-Plazo: movimientos en el corto plazo dentro del ECM, que guian a la economía hacia el Equilibrio de Largo Plazo tt AXY

Cointegración y Modelización EconométricaCointegración y Modelización Econométrica

1. Determina el grado de integración de : usa el contraste de Dickey-Fuller 2. Contrasta por cointegración entre . Encuentra la relación de cointegración via MCO

)1(, IYX tt

tt YX e

)0(ˆ ióncointegrac :

)1(ˆ ióncointegrac-no :

ˆˆˆ

1

0

IZH

IZH

ZXcY

t

t

ttt

Aviso: Estamos tentados a usar los CV del DF pero nuestrocontraste esta basado en los residuos esto hace que necesitamosdiferentes CVs (vease McKinnon (90)).

KinnonGranger/Mc-Engle%5)34.3(

ondistributiFuller -Dickey%5)86.2(

ondistributi Normal%5)65.1(

wP

wP

wP

ascointegrad están ,rechazada es Si 0 tt YXH

Cointegración y Modelización Economica (cont)Cointegración y Modelización Economica (cont)

óndistribucialguna )ˆ(T( econsistent-super es ˆ

ióncointegrac de vector el es )ˆ,1(

3. ECM

yttytxttt

xttytxttt

YXXYcY

YXXYcX

.........)ˆ(

.........)ˆ(

11111122

11111111

yttytxttt

xttytxttt

YXXYcY

YXXYcX

.........)ˆ(

.........)ˆ(

11111122

11111111

Metodo de dos etapas de Engle-Granger:(i) Estimatar (ii) Introducir en el ECM (estimación SURE) : MCO estimadores en el ECM son consistentes y eficientes.

tZˆ

tZ

Y esto sigue y sigue…..Y esto sigue y sigue…..

Cointegración da para casi un curso entero. Que nos quedaria por estudiar???:

1. Cointegración entre mas variables2. Metodos de Estimación y Contraste mas generales y

poderosos que los MCO uni-ecuacionales3. Aprender a extraer los factores comunes que hacen

que un conjunto de variables esten cointegradas4. Aplicaciones Economicas