Cours http://www.univ-bechar.dz/tamali

Pr. TAMALI Mohammed

mtamali@gmail.com

Plan 1. Généralités & positionnement de l’Opt./RO

2. Théorie des systèmes

3. Théorie des graphes

4. Outils de l’optimisation

5. Optimisation des systèmes linéaires

6. Optimisation des systèmes non-linéaires

7. Optimisation par méthodes I.A.

8. Sensibilité des systèmes

9. Conclusion

Généralité &Positionnement Opt./RO

La recherche opérationnelle (RO) vise à l'amélioration du fonctionnement

des organisations de systèmes par l'application de l'approche scientifique.

Reposant sur l'utilisation de méthodes scientifiques, de techniques

spécialisées et des ordinateurs, la RO permet d'obtenir une évaluation

quantitative des politiques, stratégies et actions possibles dans le cours des

opérations d'une organisation ou d'un système.

Une optimisation présume Une fonctionnelle F(X)

Des variables X

Des contraintes G(X)

Des liaisons H(X)

Un domaine de définition

Une frontière

Du courage, de la patience

et une bonne méthode

Théorie des systèmes

()

()

(S

)

{F (X)}opt

G(X)b1

H(X)=b2

Cond(X)

La théorie des systèmes introduite pour la première fois en 1968 par

Bertalanffy L. Von, dans son livre "General System Theory: Foundations,

Development, Applications".

Bertalanffy, décrivait dés lors que l'univers qui nous entoure n'est que

composition d'une infinité d'entités fonctionnelles pouvant être appelées

chacune SYSTEME.

De cette théorie en émerge d’autres, la cybernétique, la systhèmique

Théorie des graphes La théorie des graphes, Les graphes modélisent de nombreuses situations

concrètes où interviennent des objets en interaction. Les réseaux

d'ordinateurs, les éléments d’un moteur. Les graphes permettent de

manipuler plus facilement des objets et leurs relations avec une

représentation graphique naturelle. Comment minimiser ou plutôt optimiser

la longueur totale des interconnexions fonctionnelles dans un circuit?

Comment décider, étant donnée une situation caractérisée par un nombre

d'hypothèses?

La théorie des graphes est aussi importante dans beaucoup de

domaines scientifiques, on cite :

•Le problème du transport

•L'optimisation

•La robotique

•la théorie de l'information

•Optimisation de la coordination des composantes d’un système

Définitions : Sommet, arc,

Multi-Graphe, Matrices

incidence A

Matrice d’adjacence M,

Arbre

Connexité.

Outils de l’optimisation Les outils de l’optimisation se regroupe généralement dans la méthodologie adoptée

pour mener à bien une tâche éventuelle.

L’OBSERVATION : soumettre le système aux sens de la Perception naturels ou artificiels avec une totale objectivité.

LA FORMALISATION : fixer les observations par une symbolisation appropriée {ei, xi} LA MODELISATION : Composer les symboles et les relations en un équivalent

LA SIMULATION : faire travailler l’équivalent et observer le fait qu’il reflète les même manifestions que le système réel. L’OPTIMISATION : Déterminer, suivant une méthodologie, le Meilleur état du système répondant au compromis coût/Performance. LA PRISE DE DECISION : Adopter, vus les exigences du système et

De ceux qui lui sont adjacents/en interaction, une position par

Rapport aux résultats de l’optimisation.

Optimisation des systèmes linéaires

Soit une usine de fabrication de pièces mécanique. Trois types de pièces sont

dans la gamme de pièces produites et ceci avec 80 machines.

Considéré dans la durée d’un mois, l’usine est tenu de présenter une stratégie

de production dans les conditions suivantes.

Une pièce du type I est exécutée en 5 heures, une du type II est faite en 1.30

heures alors que celle du dernier type en 3 heures. Les débouchés au marché

de chaque type prit séparément sont de 3000, 1500 et 2000 unités

respectivement.

Les bénéfices par unité vendue sont à 8, 5 et 3 DA pour les types I, II et III.

Déterminer une stratégie de production

• Si les durée d’exécution augmentent

• Si les limites de vente au marché diminuent

• Si les imposition changent

Optimisation des systèmes non-linéaires Soit (S) un système non linéaire dont F(X) est le modèle mathématique le

représentant

Le problème s’écrit :

On peut toujours se contenter de XoptX* (où |X*-Xopt|; petit

Si m est le nombre de contraintes et les liaisons.

*

2

1

)(

)(

)(

)(

XestSdesolutionLa

X

bXH

bXG

bXF

n

opt

mjpourXL

nipourx

XL

sontsoptimalitédconditionslesdonc

XHXGXFXL

j

i

T

..10),(

..10),(

:'

)()(.)(),(

Optimisation par des méthodes I.A. Algorithmes Génétique Algorithme des colonies de fourmis

Début

Initialisation de la

population P0

Sélection

Mutation

Croisement

Convergenc

e? Non

Oui

résultats

Fin

Début

Répartition en bi(t) fourmis

Initialisation des

t(i,j) par arc

Calcul de Pt(x,y)

Des sommets

adjacents

Mouvement

Convergenc

e? résultats

Fin Mise à jour de t(i,j)

Pour un donné

Oui Non

Sensibilité des systèmes La sensibilité de (S) est égale à la dérivée de fonction le régissant par rapport à

ses variable. Elle indique clairement que n’import quelle variation sur les

variables pourrait induire un éloignement par rapport de la valeur optimale de

l’état du système.

De même, il est possible de voire comment F est sensible à une variable double

(dire multiple) d’un couple de variable xi, xj (dire xi, …,xk).

nkavecx

XF

k

..1;)(

njiavecxx

XF

ji

..1,;)(2

Conclusion

Il est bien clair que la meilleur position qu’un système

peut prendre est celle qui représente l’état suivant :

1. Une interaction homogène avec les systèmes

adjacents

2. Un consommation minimale de l’énergie

3. Une fiabilité meilleure

4. Des pertes minimes