Realne Funkcije Vise Varijabli

Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several VariablesCopyright 2007 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Realne funkcije vie varijabliOznakeNeka je D neprazan podskup trodimenzionalnog realnog prostora R3.

Funkcija f koja pridruuje realan broj f (x, y, z) svakoj toki (x, y, z) iz D naziva se realna funkcija tri varijable.

Skup D se naziva domena od f, a skup vrijednosti f (x, y, z) naziva se slika od f.



Kratki katalog ploha drugog redaKrivulje u xy-ravnini definirane jednadbama drugog stupnja u x i y su konike (unjosjenice): krunica, elipsa, parabola, hiperbola. Plohe u trodimenzionalnom prostoru definirane jednadbama drugog stupnja u x, y, z

() Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Hx + I y + Jz + K = 0,zovu se kvadrike (plohe drugog reda). Jednadba () sadri lanove s xy, xz, yz. Ovi lanovi mogu se eliminirati prikladnom zamjenom varijabli. Zato su kvadrike kod nas definirane jednadbom

Ax2 + By2 + Cz2 + Dx + Ey + Fz + H = 0

gdje nisu svi A, B,C nula. (Ako su svi A, B,C nula, nemamo jednadbu drugog stupnja.)



Kratki katalog ploha drugog redaKvadrike moemo promatrati kao trodimenzionalne analogone konika. One spadaju u devet razliitih klasa.

1. Elipsoid.2. Jednoploni hiperboloid.3. Dvoploni hiperboloid.4. Eliptiki konus (stoac).5. Eliptiki paraboloid.6. Hiperboliki paraboloid.7. Paraboliki cilindar.8. Eliptiki cilindar.9. Hiperboliki cilindar.



Kratki katalog ploha drugog redaElipsoidElipsoid ima sredite u ishoditu i simetrian je s obzirom na sve tri koordinatne osi. Sijee koordinatne osi u est toaka: (a, 0, 0), (0,b, 0), (0, 0,c) koje zovemo tjemenima. Ova ploha je omeena jer je sadrana u kugli x2 + y2 + z2 a2 + b2 + c2. Sva tri traga su elipse, npr. trag u xy-ravnini (skup z = 0) je elipsa



Kratki katalog ploha drugog redaJednoploni hiperboloidOva ploha je neograniena, ima sredite u ishoditu i simetrina je s obzirom na koordinatne ravnine. Sijee koordinatne osi u etiri toke: (a, 0, 0), (0,b, 0). Trag u xy-ravnini (skup z = 0) je elipsa



Kratki katalog ploha drugog redaDvoploni hiperboloidPloha sijee koordinatne osi samo u dva vrha (0, 0,c). Sastoji se od dva dijela: jedan za koji je z c, drugi za koji je z c. To moemo vidjeti napisavi jednadbu u drugom obliku

Mora biti Svaki od ovih dvaju dijelova je neogranien.



Kratki katalog ploha drugog redaEliptiki stoacPloha sijee koordinatne osi samo u ishoditu. Ploha je neograniena. Simetrina je s obzirom na sve tri koordinatne ravnine. Trag u xz-ravnini je par pravaca: z = x/a. Trag u yz-ravnini je takoer par pravaca: z = y/b. Trag u xy-ravnini je samo ishodite. Presjek s ravninom paralelnom xy-osi je elipsa. Ako je a = b, ovi presjeci su krunice i imamo rotacionu plohu koja se najee naziva dvostrani kruni stoac ili samo stoac.



Kratki katalog ploha drugog redaEliptiki paraboloidOva ploha nema toaka ispod xy-ravnine, a odozgo je neograniena. Ishodite se naziva tjeme. Presjeci plohe s ravninama paralelnim xy-ravnini su elipse, presjeci plohe s ravninama paralelnim drugim dvjema koordinatnim ravninama su parabole. Zato se ploha i zove eliptiki paraboloid. Ploha je simetrina s obzirom na xz-ravninu i yz-ravninu. Takoer je simetrina s obzirom na z-os. Ako je a = b, onda je ploha rotacioni paraboloid.



Kratki katalog ploha drugog redaOvdje imamo simetriju s obzirom na xz-ravninu i yz-ravninu. Presjeci s ravninama paralelnim xy-ravnini su hiperbole, presjeci s ravninama paralelnim drugim koordinatnim ravninama su parabole. Stoga i naziv hiperboliki paraboloid.Ishodite je minimum za trag u xz-ravnini, ali maksimum za trag u yz-ravnini.Ishodite se zove sedlasta toka ove plohe.Hiperboliki paraboloid



Kratki katalog ploha drugog redaNeka je C proizvoljna krivulja u ravnini. Svi pravci koji sijeku C i okomiti su na ravninu u kojoj C lei ine plohu. Takva ploha naziva se cilindara okomiti pravci zovu se izvodnice tog cilindra.Paraboliki cilindarx2 = 4cy

Ova ploha sastoji se od svih pravaca koji prolaze tokama parabole x2 = 4cy (parabola lei u xy-ravnini) i okomiti su na xy-ravninu.



Kratki katalog ploha drugog redaEliptiki cilindarPloha se sastoji od svih pravaca koji prolaze tokama elipse(elipsa lei u xy-ravnini) i okomiti su na xy-ravninu. Ako je a = b, imamo uobiajeni uspravni kruni cilindar.



Kratki katalog ploha drugog redaHiperboliki cilindarPloha ima dva dijela, svaki od njih generiran jednom granom hiperbole (u xy-ravnini)



PloheProjekcijeNeka su S1 : z = f (x, y) i S2 : z = g(x, y) dvije plohe u trodimenzionalnom prostoru koje se sijeku u prostornoj krivulji C.Krivulja C je skup svih toaka (x, y, z) za koje jez = f (x, y) i z = g(x, y). Skup svih toaka (x, y, z) takvih da je f (x, y) = g(x, y) (Ovdje je z neogranien.)je vertikalni cilindar koji prolazi kroz C.Skup svih toaka (x, y, 0) takvih da jef (x, y) = g(x, y) (Ovdje je z = 0.)

zove se projekcija od C na xy-ravninu. Na slici gore to je krivulja u xy-ravnini koja lei upravo ispod C.



Nivo krivuljeNivo krivuljeNeka je f nekonstantna funkcija definirana na nekom podruju u xy-ravnini. Ako je c broj u slici funkcije f, onda moemo odrediti krivulju f (x, y) = c. Takva krivulja zove se nivo krivulja od f. Dobiva se kao projekcija presjeka grafa funkcije f (skupa toaka oblika (x,y,f(x,y)), gdje (x,y) ide po domeni funkcije f ) i horizontalne ravnine z = c na xy-ravninu.



Nivo krivuljeNa ovim i iduim slikama ucrtane su nivo krivulje za vie razliitih realnih brojeva c.


Nivo krivuljeSalas, Hille, Etgen Calculus: One and Several VariablesCopyright 2007 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Applet za bolje upoznavanje nivo krivulja.Na webu, adresa: http://higheredbcs.wiley.com/legacy/college/salas/0471698040/calc_applets/figure15_3_6/contours.htmTrebate imati instaliranu i omoguenu upotrebu Jave u vaem pregledniku


Realne Funkcije Vise Varijabli

Documents

Transcript of Realne Funkcije Vise Varijabli