Quaternions and Rotations in 3-Space

7/28/2019 Quaternions and Rotations in 3-Space

1/11

Q u a t e r n i o n s a n d R o t a t i o n s i n 3 - S p a c e :

T h e A l g e b r a a n d i t s G e o m e t r i c I n t e r p r e t a t i o n

L e a n d r a V i c c i

M i c r o e l e c t r o n i c S y s t e m s L a b o r a t o r y

D e p a r t m e n t o f C o m p u t e r S c i e n c e

U n i v e r s i t y o f N o r t h C a r o l i n a a t C h a p e l H i l l

2 7 A p r i l 2 0 0 1

S u m m a r y

T h i n k o f a q u a t e r n i o n Q a s a v e c t o r a u g m e n t e d b y a r e a l n u m b e r

t o m a k e a f o u r e l e m e n t e n t i t y . I t h a s a r e a l p a r t Q c

r e

a n d a v e c t o r

p a r t Q c

v e

I f Q c

r e

i s z e r o , Q r e p r e s e n t s a n o r d i n a r y v e c t o r ; i f Q c

v e

i s

z e r o , i t r e p r e s e n t s a n o r d i n a r y r e a l n u m b e r . I n a n y c a s e , t h e r a t i o b e -

t w e e n t h e r e a l p a r t a n d t h e m a g n i t u d e o f t h e v e c t o r p a r t Q c

v e

p l a y s

a n i m p o r t a n t r o l e i n r o t a t i o n s , a n d i s c o n v e n i e n t l y r e p r e s e n t e d b y t h e

p a r a m e t e r = t a n

, 1

Q c

v e

= Q c

r e

A u n i t m a g n i t u d e q u a t e r n i o n U h a s

a P y t h a g o r e a n s u m o f 1 o v e r i t s f o u r e l e m e n t s , a n d i t s p r o d u c t w i t h a n y

v e c t o r S

v

g i v e s a n o t h e r v e c t o r h a v i n g t h e s a m e m a g n i t u d e a s S

v

b u t

r o t a t e d i n s p a c e . I f S

v

? U c

v e

; t h e r o t a t i o n i s b y a n a n g l e a b o u t t h e

v e c t o r U c

v e

o r s i m p l y a b o u t U . I f S

v

i s a r b i t r a r y , h o w e v e r , c e r t a i n

c r o s s - t e r m s o f t h e p r o d u c t s p o i l t h i s c o n v e n i e n t r e l a t i o n s h i p . E v e n i n

t h i s g e n e r a l c a s e h o w e v e r , t h e s e c r o s s - t e r m s c a n c e l i n t h e t r i p l e p r o d u c t

R

v

= U S

v

U

, 1

; w h e r e U

, 1

1 = U . T h e r o t a t i o n s o f t h e t w o s u c c e s s i v e

p r o d u c t s a r e i n t h e s a m e d i r e c t i o n , s o R

v

r e p r e s e n t s a r o t a t i o n o f S

v

a b o u t U c

v e

b y a n a n g l e 2 ; w h i c h d e p e n d s o n l y o n U T h u s , t h e o p e r -

a t i o n U S

v

U

, 1

p e r f o r m s a r o t a t i o n o f S

v

w h i c h i s e n t i r e l y c h a r a c t e r i z e d

b y t h e u n i t q u a t e r n i o n U T h e r o t a t i o n o c c u r s a b o u t a n a x i s p a r a l l e l

t o U b y a n a m o u n t 2 t a n

, 1

U c

v e

= U c

r e

Q u a t e r n i o n n o t a t i o n c o n v e -

n i e n t l y h a n d l e s c o m p o s i t i o n o f a n y n u m b e r o f s u c c e s s i v e r o t a t i o n s i n t o

o n e e q u i v a l e n t r o t a t i o n : U = U

1

U

2

U

n

w h e r e e a c h u n i t q u a t e r n i o n U

i

r e p r e s e n t s o n e o f t h e s u c c e s s i o n o f r o t a t i o n s . O t h e r o p e r a t i o n s u s e f u l i n

i n e r t i a l n a v i g a t i o n p r o b l e m s a r e a l s o p r e s e n t e d .

T R 0 1 - 0 1 4 U N C C h a p e l H i l l , D e p a r t m e n t o f C o m p u t e r S c i e n c e p a g e 1


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L e a n d r a V i c c i , Q u a t e r n i o n s a n d R o t a t i o n s i n 3 - S p a c e 2 7 A p r i l 2 0 0 1

1 H i s t o r i c a l b a c k g r o u n d

Q u a t e r n i o n s w e r e d e v i s e d b y S i r W i l l i a m H a m i l t o n i n h i s e x t e n s i o n s o f v e c t o r a l g e b r a s

t o s a t i s f y t h e p r o p e r t i e s o f d i v i s i o n r i n g s r o u g h l y , q u o t i e n t s e x i s t i n t h e s a m e d o m a i n a s

t h e o p e r a n d s . I n 1 , A r t . 1 1 2 , H a m i l t o n n o t e s , . . . t h a t f o r t h e c o m p l e t e d e t e r m i n a t i o n ,

o f w h a t w e h a v e c a l l e d t h e g e o m e t r i c a l Q U O T I E N T o f t w o C o - i n i t i a l V e c t o r s , a S y s t e m o f

F o u r E l e m e n t s , a d m i t t i n g e a c h s e p a r a t e l y o f n u m e r i c a l e x p r e s s i o n , i s g e n e r a l l y r e q u i r e d .

. . . w e h a v e a l r e a d y a m o t i v e f o r s a y i n g , t h a t ` t h e Q u o t i e n t o f t w o V e c t o r s i s g e n e r a l l y a

Q u a t e r n i o n . ' "

Q u a t e r n i o n s c a n a l s o b e c o n s i d e r e d t o b e a n e x t e n s i o n o f c l a s s i c a l a l g e b r a i n t o t h e

h y p e r c o m p l e x n u m b e r d o m a i n D , s a t i s f y i n g a p r o p e r t y t h a t p

2

q

2

= p q

2

f o r p ; q 2 D

2 . T h i s d o m a i n c o n s i s t s o f s y m b o l i c e x p r e s s i o n s o f n t e r m s w i t h r e a l c o e c i e n t s w h e r e n

m a y b e 1 r e a l n u m b e r s , 2 c o m p l e x n u m b e r s , 4 q u a t e r n i o n s , 8 C a y l e y n u m b e r s , b u t

n o o t h e r p o s s i b l e v a l u e s p r o v e d b y H u r w i t z i n 1 8 9 8 . T h u s , q u a t e r n i o n s a l s o s h a r e m a n y

p r o p e r t i e s w i t h c o m p l e x n u m b e r s .

W h i l e H a m i l t o n p r o v i d e s g e o m e t r i c a l i n t e r p r e t a t i o n s o f v a r i o u s p r o v e d p r o p e r t i e s

t h r o u g h o u t 1 , t h e d e v e l o p m e n t i t s e l f i s f u n d a m e n t a l l y a l g e b r a i c , t h a t i s , b a s e d o n t h e

p r o p e r t i e s o f a p a r t i c u l a r a x i o m a t i c s e t o f s y m b o l i c o p e r a t i o n s . T h e g e o m e t r i c p r o p e r t i e s

o f q u a t e r n i o n s a r e n e v e r t h e l e s s s w e e p i n g , t h e c o m p o s i t i o n o f s u c c e s s i v e r o t a t i o n s t h r o u g h

s u c c e s s i v e m u l t i p l i c a t i o n s b e i n g j u s t o n e , a l b e i t a n i m p o r t a n t o n e .

2 A x i o m a t i c p r o p e r t i e s o f q u a t e r n i o n s

Q u a t e r n i o n s a r e d e n e d a s s u m s o f 4 t e r m s o f t h e f o r m Q = 1 q

1

+ i q

2

+ j q

3

+ k q

4

w h e r e q

1

; q

2

; q

3

; q

4

a r e r e a l s , 1 i s t h e m u l t i p l i c a t i v e i d e n t i t y e l e m e n t , a n d i ; j ; k a r e s y m b o l i c

e l e m e n t s h a v i n g t h e p r o p e r t i e s :

i

2

= , 1 ; j

2

= , 1 ; k

2

= , 1 ;

i j = k ; j i = , k ;

j k = i ; k j = , i ;

k i = j ; i k = , j

C u s t o m a r i l y , t h e e x t e n s i o n o f a n a l g e b r a s h o u l d a t t e m p t t o p r e s e r v e t h e p r o p e r t i e s o f t h e

o p e r a t o r s d e n e d i n t h e o r i g i n a l a l g e b r a . G e n e r a l i z i n g f r o m t h e c l a s s i c a l a l g e b r a o f r e a l

a n d c o m p l e x n u m b e r s t o q u a t e r n i o n s m o t i v a t e s t h e f o l l o w i n g o p e r a t o r r u l e s .

2 . 1 A d d i t i o n o f q u a t e r n i o n s

T h e a d d i t i o n r u l e f o r q u a t e r n i o n s i s c o m p o n e n t - w i s e a d d i t i o n :

P + Q = p

1

+ i p

2

+ j p

3

+ k p

4

+ q

1

+ i q

2

+ j q

3

+ k q

4

= p

1

+ q

1

+ i p

2

+ q

2

+ j p

3

+ q

3

+ k p

4

+ q

4

T h i s r u l e p r e s e r v e s t h e a s s o c i a t i v i t y a n d c o m m u t a t i v i t y p r o p e r t i e s o f a d d i t i o n , a n d p r o v i d e s

a c o n s i s t e n t b e h a v i o r f o r t h e s u b s e t o f q u a t e r n i o n s c o r r e s p o n d i n g t o r e a l n u m b e r s , i . e . ,

P

r

+ Q

r

= p + 0 i + 0 j + 0 k + q + 0 i + 0 j + 0 k = p + q



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2 . 2 M u l t i p l i c a t i o n o f q u a t e r n i o n s

T h e m u l t i p l i c a t i o n r u l e f o r q u a t e r n i o n s i s t h e s a m e a s f o r p o l y n o m i a l s , e x t e n d e d b y

t h e m u l t i p l i c a t i v e p r o p e r t i e s o f t h e e l e m e n t s i ; j ; k g i v e n a b o v e . W r i t t e n o u t f o r c l o s e

i n s p e c t i o n , w e h a v e :

P Q = p

1

+ i p

2

+ j p

3

+ k p

4

q

1

+ i q

2

+ j q

3

+ k q

4

= p

1

q

1

, p

2

q

2

, p

3

q

3

, p

4

q

4

+ i p

1

q

2

+ p

2

q

1

+ p

3

q

4

, p

4

q

3

+ j p

1

q

3

+ p

3

q

1

+ p

4

q

2

, p

2

q

4

+ k p

1

q

4

+ p

4

q

1

+ p

2

q

3

, p

3

q

2

A t e r m - w i s e i n s p e c t i o n r e v e a l s t h a t c o m m u t a t i v i t y i s n o t p r e s e r v e d . A s s o c i a t i v i t y a n d

d i s t r i b u t i v i t y o v e r a d d i t i o n a r e p r e s e r v e d , h o w e v e r , t h e p r o o f b e i n g l e f t t o t h e r e a d e r . A n d

a s d e s i r e d f o r t h e s u b s e t o f r e a l s , P

r

Q

r

= p q

2 . 3 C o n j u g a t e s o f q u a t e r n i o n s

C o n s i s t e n t w i t h c o m p l e x n u m b e r s , l e t u s d e n e t h e c o n j u g a t e o p e r a t i o n o n a g i v e n

q u a t e r n i o n Q t o b e ,

Q = q

1

+ i q

2

+ j q

3

+ k q

4

q

1

, i q

2

, j q

3

, k q

4

A s w i t h c o m p l e x n u m b e r s , n o t e t h a t b o t h Q + Q a n d Q Q a r e r e a l . M o r e o v e r , i f w e

d e n e t h e a b s o l u t e v a l u e o r n o r m o f Q t o b e ,

Q =

q

q

2

1

+ q

2

2

+ q

2

3

+ q

2

4

;

t h e n a p p a r e n t l y Q Q = Q Q = Q

2

. T h e c o n j u g a t e o p e r a t i o n i s d i s t r i b u t i v e o v e r a d d i t i o n ,

t h a t i s , P + Q = P + Q W i t h r e s p e c t t o m u l t i p l i c a t i o n h o w e v e r , P Q = Q P ; t h e p r o o f

o f w h i c h i s l e f t a s a n e x e r c i s e t o t h e r e a d e r .

3 O t h e r p r o p e r t i e s o f q u a t e r n i o n s

T h e a x i o m s i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n c o m p l e t e l y d e n e q u a t e r n i o n s i n t e r m s o f t h e

d e s i r e d p r o p e r t i e s u n d e r t h r e e b a s i c o p e r a t i o n s . M a n y o t h e r p r o p e r t i e s m a y b e p r o v e d .

3 . 1 G e n e r a l p r o p e r t i e s

M a t h e m a t i c a l l y , t h e m o s t i m p o r t a n t p r o p e r t y i s t h a t t h e q u a t e r n i o n s f o r m a d i v i s i o n

r i n g i . e . , q u a t e r n i o n q u o t i e n t s e x i s t .

3 . 1 . 1 D i v i s i o n o f q u a t e r n i o n s

S i n c e m u l t i p l i c a t i o n i s n o t c o m m u t a t i v e , l e t u s d e r i v e b o t h a l e f t q u o t i e n t Q

, 1

L

a n d a

r i g h t q u o t i e n t Q

, 1

R

b y d e n i n g t h e s y m b o l i c e x p r e s s i o n P = Q t o b e s o l u t i o n s o f t h e f o l l o w i n g

t w o i d e n t i t i e s ,

Q Q

, 1

L

= P ; Q

, 1

R

Q = P



4/11


M u l t i p l y i n g b o t h s i d e s o f t h e s e i d e n t i t i e s r e s p e c t i v e l y o n t h e l e f t a n d r i g h t b y Q = Q

2

w e

h a v e i m m e d i a t e l y ,

Q

, 1

L

=

Q P

Q

2

; Q

, 1

R

=

P Q

Q

2

T h u s i n g e n e r a l t w o d i s t i n c t q u o t i e n t s w i l l o c c u r , h o w e v e r i n t h e s p e c i a l c a s e w h e r e P = 1 ,

w e h a v e b y d e n i t i o n t h e m u l t i p l i c a t i v e i n v e r s e o f a q u a t e r n i o n ,

Q

, 1

L

= Q

, 1

R

= Q

, 1

=

Q

Q

2

3 . 1 . 2 Q u a t e r n i o n m u l t i p l i c a t i o n i s d i s t r i b u t i v e o v e r a d d i t i o n

A t e r m - w i s e e x p a n s i o n o f P Q + S = P Q + P S p r o v e s t h i s p r o p e r t y a n d i s l e f t a s a n

e x e r c i s e f o r t h e r e a d e r .

3 . 1 . 3 U n i t q u a t e r n i o n s

T h e s u b s p a c e U o f u n i t q u a t e r n i o n s w h i c h s a t i s f y t h e c o n d i t i o n U = 1 h a v e s o m e

i m p o r t a n t p r o p e r t i e s . A t r i v i a l l y a p p a r e n t o n e i s ,

U

, 1

= U

A l e s s o b v i o u s , b u t v e r y u s e f u l o n e i s ,

U = U

r

c o s + U

v

s i n = c o s + U

v

s i n ;

w h e r e U

r

= 1 ; 0 ; 0 ; 0 i s a r e a l u n i t q u a t e r n i o n , U

v

= 0 ; i u

2

; j u

3

; k u

4

i s a v e c t o r u n i t

q u a t e r n i o n p a r a l l e l t o t h e v e c t o r p a r t o f U ; a n d i s a r e a l n u m b e r . T h e p r o o f i s s t r a i g h t -

f o r w a r d :

U

2

= U U = U

r

c o s + U

v

s i n U

r

c o s + U

v

s i n

= U

r

U

r

c o s

2

+ U

r

U

v

+ U

v

U

r

s i n c o s + U

v

U

v

s i n

2

= c o s

2

+ s i n

2

= 1

A t t h i s t i m e , l e t ' s i n t e r p r e t a s s i m p l y q u a n t i f y i n g t h e r a t i o o f t h e r e a l p a r t t o t h e

m a g n i t u d e o f t h e v e c t o r p a r t o f a q u a t e r n i o n . I t s g e o m e t r i c a l r e p r e s e n t a t i o n a s s p e c i f y i n g

a n a n g l e o f r o t a t i o n w i l l b e p r e s e n t e d l a t e r .

3 . 2 V e c t o r p r o p e r t i e s o f q u a t e r n i o n s

T h e q u a t e r n i o n Q = q

1

+ i q

2

+ j q

3

+ k q

4

c a n b e i n t e r p r e t e d a s h a v i n g a r e a l p a r t q

1

,

a n d a v e c t o r p a r t i q

2

+ j q

3

+ k q

4

, w h e r e t h e e l e m e n t s f i ; j ; k g a r e g i v e n a n a d d e d g e o m e t r i c

i n t e r p r e t a t i o n a s u n i t v e c t o r s a l o n g t h e x ; y ; z a x e s , r e s p e c t i v e l y . A c c o r d i n g l y , t h e s u b s p a c e

Q

r

= q

1

+ 0 i + 0 j + 0 k o f r e a l q u a t e r n i o n s m a y b e r e g a r d e d a s b e i n g e q u i v a l e n t t o t h e r e a l

n u m b e r s , Q

r

= q . S i m i l a r l y , t h e s u b s p a c e Q

v

= 0 + i q

2

+ j q

3

+ k q

4

o f v e c t o r q u a t e r n i o n s

m a y b e r e g a r d e d a s b e i n g e q u i v a l e n t t o t h e o r d i n a r y v e c t o r s , Q

v

= q i q

x

+ j q

y

+ k q

z



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6/11


p e r p e n d i c u l a r t o U . T h u s T

v

= T

v 1

+ T

v 2

c a n b e g e o m e t r i c a l l y i n t e r p r e t e d a s a r o t a t i o n

o f S

v

b y a n a n g l e i n t h i s p l a n e , i . e . , a b o u t a n a x i s p a r a l l e l t o U

N o w c o n s i d e r t h e p r o d u c t ,

R

v

= T

v

U

, 1

= T

v

U = c o s T

v

+ s i n T

v

U

v

= c o s T

v

, s i n T

v

U

v

T h e v e c t o r i d e n t i t y T

v

U

v

= , U

v

T

v

c a n b e u s e d t o r e w r i t e t h i s a s ,

R

v

= c o s T

v

+ s i n U

v

T

v

;

w h i c h i s a n o t h e r r o t a t i o n o f a n g l e a b o u t U . T h e r o t a t i o n i s i n t h e s a m e s e n s e f o r t h e s e

t w o p r o d u c t s , s o t h e o p e r a t i o n

R

v

= U S

v

U

, 1

p e r f o r m s a r o t a t i o n o f S

v

a b o u t U b y a n a n g l e 2

3 . 3 G e n e r a l r o t a t i o n s i n 3 - s p a c e ; R e f e r e n c e f r a m e s

I n s e c t i o n 3 . 2 . 5 w e s a w h o w t h e o p e r a t i o n U S

v

U

, 1

r o t a t e d a p e r p e n d i c u l a r v e c t o r

S

v

a b o u t a u n i t q u a t e r n i o n U . N o w l e t ' s c o n s i d e r h o w t h i s o p e r a t i o n b e h a v e s w i t h a n

a r b i t r a r y v e c t o r V

v

. W e c a n d e c o m p o s e V

v

= W

v

+ S

v

w h e r e W

v

k U a n d S

v

? U T h e n ,

U V

v

U

, 1

= U W

v

+ S

v

U

, 1

= U W

v

U

, 1

+ U S

v

U

, 1

= U W

v

U

, 1

+ R

v

;

w h e r e R

v

i s S

v

r o t a t e d a b o u t U b y a n a n g l e 2 . T o e v a l u a t e t h e r s t t e r m , n o t e t h a t s i n c e

W

v

k U w e c a n w r i t e W

v

= z U

v

; w h e r e z i s a r e a l n u m b e r a n d u n i t v e c t o r U

v

k U . T h u s ,

U W

v

U

, 1

= U z U

v

U

, 1

= z U U

v

U

, 1

= z U

v

U U

, 1

= z U

v

= W

v

T h a t U U

v

= U

v

U i s l e f t a s a n e x e r c i s e t o t h e r e a d e r . F i n a l l y t h e n , w e h a v e :

U V

v

U

, 1

= W

v

+ R

v

G e o m e t r i c a l l y , w e i n t e r p r e t t h i s a s a r o t a t i o n o f V

v

a b o u t U b y a n a n g l e o f 2

F i g u r e 1 :

A r b i t r a r y v e c t o r V

v

i s r o t a t e d b y

u n i t q u a t e r n i o n U a b o u t a u n i t

v e c t o r U

v

k U , t h r o u g h a n g l e 2

Uv

Vv

UVvU-1

2o

T h i s o p e r a t i o n p e r f o r m s t h e s a m e r o t a t i o n o n a l l v e c t o r s i n c l u d i n g t h e u n i t v e c t o r s o f a

c o o r d i n a t e s y s t e m . T h e r e f o r e , i t c a n b e u s e d t o r i g i d l y t r a n s f o r m t h e c o o r d i n a t e s o f a n y

r e f e r e n c e f r a m e i n t o a n e w f r a m e o f d i e r e n t o r i e n t a t i o n . T h i s i s a v e r y u s e f u l p r o p e r t y .



7/11


3 . 4 C o m p o s i t i o n o f s u c c e s s i v e r o t a t i o n s

L e t Q

1

a n d Q

2

b e t w o u n i t q u a t e r n i o n s r e p r e s e n t i n g a r b i t r a r y r o t a t i o n s i n 3 - s p a c e a s

d e s c r i b e d i n s e c t i o n 3 . 3 . A p p l y i n g t h e m i n s u c c e s s i o n t o a v e c t o r V

v

,

Q

2

Q

1

V

v

Q

, 1

1

Q

, 1

2

= Q

2

Q

1

V

v

Q

, 1

1

Q

, 1

2

= Q

2

Q

1

V

v

Q

2

Q

1

, 1

= Q

i

V

v

Q

, 1

i

;

w h e r e t h e u n i t q u a t e r n i o n Q

i

= Q

2

Q

1

i s t h e s u c c e s s i v e c o m p o s i t i o n o f t w o r o t a t i o n s .

T h i s p r o p e r t y g e n e r a l i z e s t o t h e c o m p o s i t i o n o f a n y n u m b e r o f r o t a t i o n s . I n t h i s r e v e r s e

o r d e r c o m p o s i t i o n , e a c h s u c c e s s i v e r o t a t i o n i s r e l a t i v e t o t h e i n i t i a l r e f e r e n c e f r a m e a s i s

i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 2 a .

z'''

x'''

y'''

x

y

z

z'

x'

y'

z''

x''

y''

F i g u r e 2 a : 9 0

r o t a t i o n s o f a r e f e r e n c e f r a m e a b o u t t h e i n i t i a l x ; y ; z a x e s , r e s p e c t i v e l y

C o m p o s i n g a r o t a t i o n i n t h e f o r w a r d o r d e r , Q

c

= Q

1

Q

2

, h a s t h e e e c t o f p e r f o r m i n g

e a c h s u c c e s s i v e r o t a t i o n r e l a t i v e t o i t s c u r r e n t r e f e r e n c e f r a m e , i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 2 b .

z'''

x'''

y'''

x

y

z

z'

x'

y'

z''

x''

y''

F i g u r e 2 b : 9 0

r o t a t i o n s o f a r e f e r e n c e f r a m e a b o u t i t s c u r r e n t x ; y ; z a x e s , r e s p e c t i v e l y .

4 S t r a p d o w n i n e r t i a l n a v i g a t i o n s y s t e m I N S a p p l i c a t i o n s

U s a g e o f q u a t e r n i o n s b y t h i s b r a n c h o f e n g i n e e r i n g i s c o m m o n , b u t t h e n o t a t i o n o f t e n

d i e r s i n s o m e r e s p e c t s f r o m t h e a b o v e , a n d a m o r e d e t a i l e d a n n o t a t i o n i s p r o v i d e d t o

r e l a t e v a r i a b l e s t o r e f e r e n c e f r a m e s . S p e c i c a l l y i n t h i s s e c t i o n , I ' l l f o l l o w t h e n o t a t i o n

u s e d i n T i t t e r t o n a n d W e s t o n 3 . I w i l l i n t r o d u c e t h i s n o t a t i o n , t h e n d e r i v e e x p r e s s i o n s

f o r s o m e o f t h e c o m m o n l y u s e d o p e r a t i o n s f o r I N S e n g i n e e r i n g .



8/11


4 . 1 F r a m e s a n d c o o r d i n a t e s

I t i s o f t e n c o n v e n i e n t t o r e p r e s e n t t h e s a m e p h y s i c a l s i t u a t i o n i n a n u m b e r o f d i e r e n t

f r a m e s o f r e f e r e n c e w h i c h m a y d i e r b y d i s p l a c e m e n t , r o t a t i o n , a n d s y s t e m o f c o o r d i n a t e s .

E a c h f r a m e c o m p r i s e s a c o m p l e t e d e n i t i o n o f t h e s e p a r a m e t e r s . A p r i v i l e g e d , i n e r t i a l

f a m i l y o f f r a m e s a r e t h o s e i n w h i c h p h y s i c a l o b j e c t s e x p e r i e n c e n o i n e r t i a l f o r c e s .

C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s y s t e m s , w h i l e n o t n e c e s s a r y , a r e g e n e r a l l y u s e d a s c o o r d i n a t e

s y s t e m s o f t h e f r a m e s d i s c u s s e d i n 3 . T h e n o n - s c a l a r d a t a t y p e s u s e d a r e v e c t o r s , m a t r i c e s ,

a n d q u a t e r n i o n s . D i s t i n c t f r o m t h e d a t a t y p e s , a r e t h e k i n d s o f v a r i a b l e s t r e a t e d , i . e . ,

p o s i t i o n s , l i n e a r v e l o c i t i e s , a n d a n g u l a r r a t e s .

4 . 2 S u p e r s c r i p t s a n d s u b s c r i p t s

S u p e r s c r i p t s a n d s u b s c r i p t s a r e u s e d t o a s s o c i a t e c e r t a i n a t t r i b u t e s o f a v a r i a b l e w i t h

c o o r d i n a t e f r a m e s . O n a g r o s s l e v e l , t h e n o t a t i o n i s c o n s i s t e n t , b u t t h e r e a r e n e n u a n c e s ,

d e p e n d i n g o n t h e k i n d o f t h e v a r i a b l e b u t n o t i t s t y p e .

S u p e r s c r i p t s a r e u s e d c o n s i s t e n t l y f o r a l l k i n d s o f v a r i a b l e s . S

i

i n d i c a t e s t h a t t h e

v a r i a b l e S i s e x p r e s s e d i n t h e c o o r d i n a t e s o f t h e i

t h

f r a m e .

4 . 2 . 1 T h e p o s i t i o n v a r i a b l e X

i

j

X

i

j

r e p r e s e n t s t h e p o s i t i o n o f a p o i n t r e l a t i v e t o t h e o r i g i n o f t h e j

t h

f r a m e , e x p r e s s e d

i n t h e c o o r d i n a t e s o f t h e i

t h

f r a m e . I n m o s t c a s e s i = j , a n d i t i s c o m m o n t o u s e i m p l i c i t

n o t a t i o n s . X

j

a n d X

j

b o t h r e p r e s e n t X

j

j

, w h e r e t h e c h o i c e o f s u p e r - o r s u b s c r i p t d e p e n d s

o n w h a t i s b e i n g e m p h a s i z e d .

4 . 2 . 2 T h e v e l o c i t y v a r i a b l e V

i

j

T h e v a r i a b l e V

i

j

r e p r e s e n t s a v e l o c i t y t a k e n r e l a t i v e t o t h e j

t h

f r a m e , e x p r e s s e d i n

c o o r d i n a t e s o f t h e i

t h

f r a m e . T h e v e l o c i t y i n a n y f r a m e i s n o t d e p e n d e n t o n t h e l o c a t i o n

o f t h e o r i g i n o f t h e f r a m e ; r a t h e r i t m a y b e t a k e n r e l a t i v e t o t h e v e l o c i t y o f a n y x e d p o i n t

i n t h a t f r a m e . J u s t a s f o r p o s i t i o n v a r i a b l e s , V

j

= V

j

j

i s i m p l i e d .

4 . 2 . 3 T h e a n g u l a r r a t e v a r i a b l e

i

j k

T h e v a r i a b l e

i

j k

r e p r e s e n t s a n a n g u l a r r a t e o f r o t a t i o n o f t h e k

t h

e n t i t y r e l a t i v e t o t h e

j

t h

f r a m e , e x p r e s s e d i n c o o r d i n a t e s o f t h e i

t h

f r a m e . J u s t a s f o r v e l o c i t i e s , t h e l o c a t i o n o f

o r i g i n o f r e f e r e n c e f r a m e j i s n o t r e l e v a n t ; r a t h e r t h e a n g u l a r r a t e i s t a k e n r e l a t i v e t o t h e

a n g u l a r r a t e o f a n y x e d p o i n t i n t h e j

t h

f r a m e . O f t e n , t h e k

t h

e n t i t y i s a n o t h e r f r a m e , s o

t h i s n o t a t i o n c o n v e n i e n t l y e x p r e s s e s t h e a n g u l a r r a t e o f r o t a t i o n o f t h e k

t h

f r a m e r e l a t i v e

t o t h e j

t h

4 . 3 A p u r e v e c t o r r e p r e s e n t a t i o n o f a r o t a t i o n

I t i s a l s o p o s s i b l e t o c o m p l e t e l y r e p r e s e n t a 3 D r o t a t i o n w i t h a p u r e v e c t o r . T h e

g e o m e t r i c p r o p e r t i e s o f a l g e b r a i c o p e r a t i o n s o n t h i s r e p r e s e n t a t i o n a r e n a t u r a l l y q u i t e

d i e r e n t t h a n f o r u n i t q u a t e r n i o n s . F o r s o m e p u r p o s e s t h e s e p r o p e r t i e s a r e p a r t i c u l a r l y

u s e f u l .



9/11


L e t v e c t o r a = a

^

a r e p r e s e n t a r o t a t i o n w h e r e i t s u n i t v e c t o r

^

a s p e c i e s t h e a x i s o f

r o t a t i o n a n d i t s m a g n i t u d e a s p e c i e s t h e a n g u l a r a m o u n t o f r o t a t i o n . F r o m t h i s w e c a n

u n i q u e l y c o n s t r u c t a u n i t q u a t e r n i o n , A = c o s a = 2 + s i n a = 2

^

a ; s u c h t h a t A S

v

A p e r f o r m s

a r o t a t i o n o f S

v

a b o u t

^

a b y a n a n g l e e q u a l t o a

L e t u s d e n e a t r a n s f o r m Q o f t h e v e c t o r r e p r e s e n t a t i o n a t o t h e u n i t q u a t e r n i o n

r e p r e s e n t a t i o n A o f a 3 D r o t a t i o n :

A = Q a = Q a

^

a = c o s a = 2 + s i n a = 2

^

a

L i k e w i s e , l e t u s d e n e t h e i n v e r s e t r a n s f o r m ,

a = Q

, 1

A = Q

, 1

A

r

+ A

v

^

a = 2 t a n

, 1

A

v

= A

r

^

a

4 . 4 T i m e d e r i v a t i v e o f a r o t a t i o n q u a t e r n i o n

A s s u m e a b - f r a m e t h a t i s r o t a t i n g w i t h r e s p e c t t o a r e f e r e n c e n - f r a m e . A t a n y i n s t a n t ,

l e t t h e u n i t q u a t e r n i o n U r e p r e s e n t a r o t a t i o n o f a n a r b i t r a r y c o n s t a n t v e c t o r C

b

i n t h e b -

f r a m e i n t o a v e c t o r C

n

= U C

b

U i n t h e n - f r a m e . S i n c e t h i s r o t a t i o n p r o g r e s s e s c o n t i n u o u s l y

i n t i m e , U = U t h a s a t i m e d e r i v a t i v e

_

U w h i c h w e n o w d e r i v e .

A p p l y i n g t h e d e r i v a t i v e o f p r o d u c t s r u l e t o C

n

, w e h a v e , s i n c e

_

C

b

= 0 ,

_

C

n

=

_

U C

b

U + U C

b

_

U =

_

U C

b

U +

_

U C

b

U =

_

U C

b

U ,

_

U C

b

U

I n t h e v e c t o r f o r m u l a t i o n o f c l a s s i c a l m e c h a n i c s 4 , a v e c t o r p i s u s e d t o r e p r e s e n t

a n i n s t a n t a n e o u s r a t e o f r o t a t i o n ,

_

c = p c ; w h e r e c i s a n a r b i t r a r y v e c t o r , a n d

_

c i s i t s

v a r i a t i o n w i t h t i m e . I n t h e n - f r a m e , a q u a t e r n i o n f o r m u l a t i o n o f t h i s e q u a t i o n i s ,

_

C

n

= P

n

C

n

, P

n

C

n

= 2

S i n c e c i s a r b i t r a r y , t h i s e q u a t i o n c a n b e a p p l i e d t o a n e n t i r e c o o r d i n a t e s y s t e m , a n d w e

c a n r e p r e s e n t t h e r a t e o f r o t a t i o n o f t h e b - f r a m e i n t h e n - f r a m e a s P

n

= P

n

n b

E q u a t i n g t h e e x p r e s s i o n s f o r

_

C

n

, w e h a v e ,

_

U C

b

U = P

n

n b

C

n

= 2 = P

n

n b

U C

b

U = 2 ; o r

_

U = P

n

n b

U = 2 I t i s o f t e n t h e c a s e t h a t t h e r o t a t i o n a l r a t e i s m e a s u r e d i n t h e r o t a t i n g

b - f r a m e , s o w e c a n s u b s t i t u t e t h e i d e n t i t y P

n

n b

= U P

b

n b

U ; t o o b t a i n

_

U = U P

b

n b

= 2

4 . 5 I n t e r p o l a t i o n b e t w e e n r o t a t i o n s

G i v e n t w o a r b i t r a r y r o t a t i o n s U

1 0

; U

2 0

f r o m t h e 0 - f r a m e t o t h e 1 a n d 2 - f r a m e s r e s p e c -

t i v e l y , g e o m e t r i c i n t u i t i o n w o u l d s u g g e s t a n i n t e r p o l a t i o n b e t w e e n t h e m w o u l d b e a l o n g

t h e s i n g l e r o t a t i o n U

2 1

t a k i n g t h e 1 - f r a m e i n t o t h e 2 - f r a m e . I n f a c t , t h i s c a n b e v i s u a l i z e d

a s a g r e a t c i r c l e o n a u n i t 4 - s p h e r e w h i c h c o n n e c t s t h e i m a g e s o f U

1 0

a n d U

2 0

. T h i s g r e a t

c i r c l e l i e s i n a p l a n e n o r m a l t o U

2 1

c

v e

. T h e l o c u s o f p o i n t s l y i n g b e t w e e n U

1 0

a n d U

2 0

o n

t h e g r e a t c i r c l e c o r r e s p o n d s t o a r o t a t i o n a l a n g l e o f b e t w e e n 0 a n d c o s

, 1

U

2 1

c

r e

N o w U

2 0

= U

1 0

U

2 1

U

2 1

= U

1 0

U

2 0

L e t U

2 1

= c o s

2 1

+

^

u

2 1

s i n

2 1

; w h e n c e w e

c a n c a l c u l a t e

2 1

= c o s

, 1

U

2 1

c

r e

a n d

^

u

2 1

= U

2 1

c

v e

= s i n

2 1

G i v e n

x 1

3 0

x 1

2 1

w e c o n s t r u c t U

x 1

= c o s

x 1

+

^

u

2 1

s i n

x 1

; f r o m w h i c h

w e c a l c u l a t e t h e i n t e r p o l a t e d r o t a t i o n ,

U

x 0

= U

1 0

U

x 1



10/11


A P P E N D I X A S u m m a r y o f f o r m a l p r o p e r t i e s

A . 1 N o t a t i o n

r a s c a l a r r e a l n u m b e r

v a v e c t o r

^

u a u n i t v e c t o r , u u = 1

i ; j ; k s y m b o l i c c o n s t a n t s w i t h s p e c i a l p r o p e r t i e s s e c t i o n 2

Q a q u a t e r n i o n q

1

; q

2

; q

3

; q

4

= q

1

+ i q

2

+ j q

3

+ k q

4

Q t h e c o n j u g a t e q

1

; , q

2

; , q

3

; , q

4

o f q u a t e r n i o n Q

Q t h e n o r m , o r m a g n i t u d e

p

q

2

1

+ q

2

2

+ q

2

3

+ q

2

4


Q

, 1

t h e r e c i p r o c a l Q = Q Q , o r m u l t i p l i c a t i v e i n v e r s e o f q u a t e r n i o n Q

Q

r

a p u r e l y r e a l q u a t e r n i o n q

1

; 0 ; 0 ; 0

Q

v

a p u r e l y v e c t o r q u a t e r n i o n 0 ; q

2

; q

3

; q

4

U a u n i t q u a t e r n i o n , Q = 1

Q c

r e

t h e r e a l p a r t q = q

1


Q c

v e

t h e v e c t o r p a r t q = q

2

; q

3

; q

4


Q P t h e v e c t o r p a r t s o f P a n d Q a r e p a r a l l e l

Q ? P t h e v e c t o r p a r t s o f P a n d Q a r e p e r p e n d i c u l a r

A . 2 P r o p e r t i e s

P + Q + S = P + Q + S a d d i t i o n i s a s s o c i a t i v e

P + Q = Q + P a d d i t i o n i s c o m m u t a t i v e

P Q S = P Q S m u l t i p l i c a t i o n i s a s s o c i a t i v e

P Q 6= Q P m u l t i p l i c a t i o n i s n o t c o m m u t a t i v e

p Q = Q p s c a l a r m u l t i p l i c a t i o n i s c o m m u t a t i v e

P Q + S = P Q + P S l e f t m u l t i p l i c a t i o n i s d i s t r i b u t i v e o v e r a d d i t i o n

P + Q S = P S + Q S r i g h t m u l t i p l i c a t i o n i s d i s t r i b u t i v e o v e r a d d i t i o n

Q =

p

Q Q =

p

Q Q t h e n o r m o f Q

Q c

r e

= Q + Q = 2 t h e r e a l p a r t o f Q

Q c

v e

= Q , Q = 2 t h e v e c t o r p a r t o f Q

Q

, 1

= Q = Q

2

t h e r e c i p r o c a l o f Q

U

, 1

= U t h e r e c i p r o c a l o f u n i t U

Q

, 1

P = Q P = Q

2

t h e l e f t q u o t i e n t

P Q

, 1

= P Q = Q

2

t h e r i g h t q u o t i e n t

P Q = Q P c o n j u g a t e o f a p r o d u c t

P

v

Q

v

= , p q + p q p r o d u c t o f v e c t o r q u a t e r n i o n s

T R 0 1 - 0 1 4 U N C C h a p e l H i l l , D e p a r t m e n t o f C o m p u t e r S c i e n c e p a g e 1 0


11/11


R e f e r e n c e s

1 S i r W i l l i a m R o w a n H a m i l t o n , E l e m e n t s o f Q u a t e r n i o n s , " T h i r d E d i t i o n , C h e l s e a

P u b l i s h i n g C o . , N e w Y o r k , 1 9 6 3 .

2 I . L . K a n t o r a n d A . S . S o l o d o v n i k o v , H y p e r c o m p l e x N u m b e r s , " E n g l i s h t r a n s l a t i o n ,

S p r i n g e r - V e r l a g , N e w Y o r k , 1 9 8 9 .

3 D . H . T i t t e r t o n a n d J . L . W e s t o n , S t r a p d o w n i n e r t i a l n a v i g a t i o n t e c h n o l o g y , " P e t e r

P e r e g r i n u s , L t d . , I E E , S t e v e n a g e , U K , 1 9 9 7 .

4 H e r b e r t G o l d s t e i n , C l a s s i c a l M e c h a n i c s , " A d d i s o n - W e s l e y , R e a d i n g M A , 1 9 5 0 , p p .

1 3 2 1 3 4 .

5 J . P . W a r d , Q u a t e r n i o n s a n d C a y l e y N u m b e r s , " K l u w e r A c a d e m i c P u b l i s h e r s , D o r -

d r e c h t , T h e N e t h e r l a n d s , 1 9 9 7 .

T R 0 1 - 0 1 4 U N C C h a p e l H i l l , D e p a r t m e n t o f C o m p u t e r S c i e n c e p a g e 1 1

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