Pure mathematicians do it in theory.
100
1 Pure mathematicians do it in theory. 7. Teoría de Residuos
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7. Teoría de Residuos. Pure mathematicians do it in theory. Puntos singular es. Un punto singular z 0 de una f unción f ( z ) es un punto donde f ( z ) no es analítica. Singularidad no aislada. Singularidad aislada. aisladas. no aislada. Parte principal (Recordatorio). - PowerPoint PPT Presentation
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1
Pure mathematicians do it in theory.
7. Teoría de Residuos
2
Puntos singulares
Un punto singular z0 de una función f (z) es un punto donde f (z) no es analítica.
Singularidad aislada Singularidad no aislada
2)2(
1)(
zzzf
2,00 z
)/sin(/1)( zzf
0
,,,1
0
41
31
21
0
z
zaisladas
no aislada
3
Supongamos que z = z0 es una singularidad aislada de f(z) y que su serie de Laurent válida para 0 < |z – z0| < R es:
1 000 )()()(
kk
k
k
kk zz
bzzazf
Parte principal
Parte principal (Recordatorio)
Nota: Observa que el desarrollo tiene como centro al punto singular (por eso es válido en 0 < |z – z0| < R).
4
Singularidades aisladasHay dos tipos de singularidades aisladas: polos de orden m y esenciales. En ambos casos podemos desarrollar la función f(z) en serie de Laurent con centro en la singularidad z0 y la serie convergerá para 0 < |z-z0| < R.
Si z0 es un polo de orden m:
Si z0 es un singularidad esencial:
mm
zz
b
zz
b
zz
bzf
)()()(
02
0
2
0
1
2
0
2
0
1
)()(
zz
b
zz
bzf
La serie de Laurent “se para” en la m-ésima potencia negativa
La serie de Laurent es infinita en potencias negativas
El centro z0 es un
punto singular.
5
Clasificación de las singularidades aisladas
(i) Si la parte principal es cero, z = z0 se denomina singularidad evitable.
(ii) Si la parte principal contiene un número finito de términos, entonces z = z0 se denomina polo. Si el último coeficiente es bm, m 1, entonces decimos que es un polo de orden m. Un polo de orden 1 se llama polo simple.
(iii) Si la parte principal contiene infinitos términos, z = z0 se denomina singularidad esencial.
6
EjemplosClasificar la singularidad de la función
zzf
1)(
La serie de Laurent con centro z0= 0 es simplemente el término 1/z , válida para 0 < |z|< . z0= 0 es un polo simple.
1
1
)1(
1)(
3
zzzf
La serie de Laurent con centro z0=1 está formada
simplemente por los dos términos ,
válidos para 0 < |z-1| < . z0=1 Es un polo de orden 3.
3)1(
1
1
1
zz
Clasificar la singularidad de la función
7
Ejemplos
Clasificar la singularidad de la función 4
sinh)(
z
zzf
z0 = 0 es un polo de orden 3.0<|z|<
!7!5!3
11sinh)(
3
34
zz
zzz
zzf
Clasificar la singularidad de la función )/(1)( izezf
32 )(
1
!3
1
)(
1
!2
111)(
izizizzf
!7!5!3
sinh753 zzz
zz
z0 = -i es una singularidad esencial.
!3!2
132 zz
ze z
0<|z+i|<
8
z = 0 es una singularidad evitable.!5!3
1sin 42 zz
zz
...!5!3
1sin 3
2 zzzz
zz = 0 es un polo simple.
...16
)1(
8
1
)1(4
1
)1(2
1
)3()1(
1)(
22
z
zzzzzf
z = 1 es un polo de orden 2.
Ejemplos
9
...111
)1(
1)(
432
zzzzzzf
El punto z = 0 es una singularidad aislada de f y la serie de Laurent contiene infinitos términos. Viendo el desarrollo, ¿podemos decir que z = 0 es una singularidad esencial?
...11
)( 2 zzz
zf
¿Dónde es válido el desarrollo anterior?
Es válido en para 1 < |z| < . Y necesitamos el desarrollo para 0 < |z| < 1:
Donde vemos que se trata de un polo simple.
10
CerosDecimos que z0 es un cero de f(z) si f(z0) = 0. Una función analítica tiene un cero de orden n en z = z0 si:
,0)(,...,0)(,0)(,0)( 0)1(
000 zfzfzfzf n
0)( :pero 0)( zf n
Ejemplo: la función f(z) = z sin z2 tiene un cero de orden 3 en z = 0.
...!5!3
1sin)(
...!5!3
sin
8432
10622
zzzzzzf
zzzz
11
Observa que si las funciones f y g son analíticas en z = z0 y f tiene un cero de orden n en z = z0 y g(z0) 0, entonces la función F(z) = g(z)/f(z) tiene un polo de orden n en z = z0.
Por ejemplo:
4)2)(5)(1(
52)(
zzz
zzF
El denominador tiene ceros de orden 1 en z = 1 y z = −5, y un cero de orden 4 en z = 2. Puesto que el numerador no se hace cero en ninguno de estos puntos, F(z) tiene un polo simple en z = 1 y z = −5 y un polo de orden 4 en z = 2.
12
13
14
15
ResiduosEl residuo de una función f(z) en z = z0 es el coeficiente del término 1/(z-z0) en la expansión en serie de Laurent de f(z): el coeficiente b1.
40
43
0
32
0
2
0
1
303
202010
)()()(
)()()()(
zz
b
zz
b
zz
b
zz
b
zzazzazzaazf
10 ) ),((Res)(Res0
bzzfzfzz
El residuo de f(z) en z = z0 se denota como:
842
111
23
32
2
2
2
zz
zz
zz
z
11 b
Ejemplo:
16
¿Porqué es importante el residuo?
Para f (z) analítica dentro de un anillo, tenemos:
40
43
0
32
0
2
0
1
303
202010
)()()(
)()()()(
zzb
zzb
zzb
zzb
zzazzazzaazf
C
nn
Cnn dzzzzf
ibdz
zzzf
ia 1
010
))((2
1,
)()(
21
Así:
12)( ibdzzfC
C0z
Nos permite calcular integrales ...
n = 1
17
Ejemplo
iibdzzC
221
11
Integrar la función en sentido positivo para |z |=2.z1
1
2z
1111
11
11
32
32
zzzz
zzzz
z
Observemos que por la fórmula integral de Cauchy:
iigdzz
zgidzzzzg
CC
2)1(21
1)(2
)(0
0
puntosingular
z = 1centro
18
iibdzzC
221
11
Tomemos como centro z0=12z
10
,1
1
1
1)(
zzz
zf
centro z0=1punto
singular
La serie de Laurent posee un sólo término.
como antes.
Why did the mathematician name his dog "Cauchy?"
Because he left a residue at every pole.
19
iibdzzz
z
C
2223
3212
Ejemplo: Integrar la función en sentido positivo
para |z|=3/2.
Por la Fórmula Integral de Cauchy:
iigdzz
dzz
zgidzzzzg
CCC
2)1(21
12
1)(2
)(0
0
23
322
zz
z
zzzzz
zzz
zz
zzz
zz
z
29532
21842
111
18
9
4
5
2
3
23
32
432
2
2
2
2
0
2/3z
20
C is positively oriented circle | z – 2| = 1.
Integrand is analytic everywhere except z = 2 and z = 0. Find Laurent series of f(z) in the disk 0 < | z – 2 | < 2
Residue of f at the isolated singular point z0
C
dzzz 4)2(
1
16
1
)2(
1
2
1)( Res
41zz 0
C
dzzzi
bzf
)2|2|0()2(2
)1(
32
1
1
)2(2
1
)2(
1 4
0144
zz
zzzzn
nn
n
Otro ejemplo: Calcular
21
ALTERNATIVE METHOD
Residue of f at the isolated singular point 2 is the coefficient of 1/(z–2).
16
1)( Res
0zzzf
4
324
4
2344
)2(
)2()2()2()2(
)2(
1
)2|2|0()2()2()2()2()2(
1
zz
zEzzDzzCzBzzA
zz
zz
E
z
D
z
C
z
B
z
A
zz
Solve for A, B, C, D, E by setting coefficients of z, z2, z3, z4 equal to 0.A + E = 0(A(z – 2) – Az)(z – 2)3 = – 2A(z – 2)3
D – 2A = 0(– 2A (z – 2) + 2A z)(z – 2)2 = 4A (z – 2)2
4A + C = 0(– 4A z + 4A (z – 2)) (z – 2) = –8A(z – 2)B – 8A =0 8A z – 8A (z – 2) = 16 A = 1A = 1/16, E = – 1/16
22
Partial Fraction Expansion Review
BBz
zA
zz
zz
Az
BzA
zz
zz
z
B
z
A
zz
)2(
2
1
)2(
)2(,2When
)2(2
1
)2(,0When
)2()2(
1
75.1
5.025.01)1(1
1)2(
1,1Pick
)2(
)2()2(
2
1
)2(
)2(,2When
)2()2(4
1
)2(,0When
)2()2()2(
1
2
22
2
2
22
22
B
BCBA
zzz
CCz
zB
z
zA
zz
zz
Az
Cz
z
BzA
zz
zz
z
C
z
B
z
A
zz
23
C is positively oriented circle | z – 2| = 1.Integrand is analytic everywhere except z = 2 and z = 0. Find Laurent series of f(z) in the disk 0 < | z – 2 | < 2
Residue of f at the isolated singular point z0
C
dzzz 4)2(
1
16
1
)2(
1
2
1)( Res
41zz 0
C
dzzzi
bzf
n
n
n
z
zzz
zzz
zzzzzzz
zzzzzzzz
)2(2
1
32
1
...2
)2(
2
)2(
2
21
32
1
2/)2(1
1
32
1
12/)2(
1
32
11
)2(
16/1
)2(
8/1
)2(
4/1
)2(
2/1
2)2(
16/1
)2(
1
)2|2|0()2(
16/1
)2(
8/1
)2(
4/1
)2(
2/116/1
)2(
1
0
3
3
2
2
2344
2344
All terms have positive exponents
b1
24
5. Hallar el residuo de una función compuesta en el punto donde se verifican las siguientes condiciones:
zf az
B. es residuosu y )(
punto elen orden primer de poloun tieneffunción La
0)(y en analítica es )(
a
aazz
(2) ...!2
...!2!1
:Taylor de desarrolloen analítica
2
aza
aazaz
aza
aza
az
az
Ba
af
Expresamos la segunda condición
(1)
az
zzf
25
:(1)en (3)y (2) doReemplazan
(3) ...!1
:Taylor de desarrollo(1))(por en analítica
azaa
az
az
B
a
Bazzf
aza
aaz
azaaB
az
zzf
;)(Res
...!2
...
26
Observemos que el residuo nos permite calcular integrales de funciones analíticas f (z) sobre una curva cerrada C cuando f (z) tiene un punto singular dentro de C.
12)( ibdzzfC
C0z
donde b1 es el residuo de la serie de Laurent que representa a f (z) alrededor de z0 en un anillo que contiene a C.
27
La serie de Laurent de f(z) en 0 < | z – 2 | < 2:
C
dzzz 4)2(
1
16
1
)2(
1
2
1)( Res
41zz 0
C
dzzzi
bzf
)2|2|0()2(2
)1(
22
1
1
)2(2
1
)2(
1
4
01
44
zz
zzzz
n
nn
n
Con C: | z – 2| = 1.Ejemplo:
28
¿De dónde viene el nombre de residuo?
0
0 1
0
0 1
)(
1
2
1)(
2
1
)()(
2
1
)(2
1)(Res
0
Cn
on nn
C
non
C n nn
o
nnon
Czz
dzzz
bi
dzzzai
dzzz
bzza
i
dzzfi
zf
para todo n, excepto para n = 1, que vale:
De aquí el nombre de “residuo”.
C0z
i2
1122
1)(Res
0
bibi
zfzz
29
¿Es preciso hallar la serie de Laurent de f(z) para calcular la integral?
No, si los puntos singulares z0 son polos. En esos casos hay formas rápidas y simples de hallar el residuo.
Veremos:1. Cómo hallar el residuo para un polo
simple, z0=1, como en el caso2. Cómo hallar el residuo para un polo de
orden 2, z0=1, como en el caso3. Cómo hallar el residuo para un polo de
cualquier orden ...
1
sin4
z
z
7)3(2
ize z
2)1(
33
z
z
30
Fórmula para hallar el residuo para un polo simple
Si f (z) tiene un polo simple en z0, la serie de Laurent es:
Rzzzz
bzzaazf
0
0
1010 0)()(
12
01000 )()()()( bzzazzazfzz
10 )()(lim0
bzfzzzz
)()(lim)(Res 000
zfzzzfzzzz
Situamos el centro enel punto singular
31
Ejemplo
Hallar el residuo de en z=i
4)()2(
lim)1)(()2)((
lim
)()(lim)(Res
22
000
iiziz
ziziziz
zfzzzf
iziz
zzzz
)1)((2
)( 2 ziz
izzf
Comprobémoslo mediante la serie de Laurent:
2
3
3
2
2
222
222
)(21
)(165
411
4
)2()(
4)2()(
32
)(21
)2)(()(2
)2/()(1
1)2)((
)(2
)(2
1)(2)(
1)(2)1)((
2)(
iziziz
i
iiz
iiz
iiz
iiziiz
iiziiziiz
iziiziiz
iziziiz
ziziz
zf
20 iz
i
i
32
Ejemplo
Hallar el residuo en los polos de
2
1
2
1lim
)2(
1lim)(Res
000
z
z
zz
zzzf
zzz
zz
zzf
2
1)(
2
16
3
8
3
4
3
2
1
221
2
1
2/1
1
2
1
)2(
1)(
2
2
2 zz
z
zz
z
z
zz
z
zz
zzf
20 z
2
31lim
)2(
1)2(lim)(Res
222
z
z
zz
zzzf
zzz
8
)2(
4
)2(
2
1
)2(2
3
2
)2(
2
21
)2(2
3)2(
2/)2(1
1
)2(2
3)2(
)2(2
1
)2(
3)2(
)2(
1)(
2
2
2 zz
z
zz
z
z
zz
z
zz
z
zz
zzf
220 z
Comprobarlo a través de la de Laurent:
0 2
33
Fórmula para hallar el residuo para un polo de orden 2
Si f (z) tiene un polo de orden 2 en z0, la serie de Laurent es:
20
2
0
1010 )()()(
zz
b
zz
bzzaazf
)()(lim)(Res 20
00
zfzzdz
dzf
zzzz
2013
012
002
0 )()()()()( bzzbzzazzazfzz
derivando obtenemos:
12
01002
0 )(3)(2)()( bzzazzazfzzdz
d
12
0 )()(lim0
bzfzzdz
dzz
34
Ejemplo
Hallar el residuo de en z=1
9
2
)2(
2lim
2lim
)()(lim)(Res
211
20
00
zz
z
dz
d
zfzzdz
dzf
zz
zzzz
2)1)(2()(
zz
zzf
81
)1(2
27
2
)1(9
2
)1(3
1
3
)1(
3
1
)1(3
1
)1(
1
3
1)1(
3
)1(
3
11
)1(3
1)1(
)3/)1((1
1
)1(3
1)1(
)1(3
1
)1(
1)1(
)1)(2()(
2
3222
2
2
222
z
zz
z
zz
zzz
z
z
zz
z
zz
z
zz
zzf
310 z
Comprobarlo a través de la serie de Laurent:
2 1
35
Ejemplo: f(z) = 1/(z – 1)2(z – 3) tiene un polo simple en z = 3 y un polo de orden 2 en z = 1. Encontrar los residuos:
4
1
)3(
1lim
3
1lim)()1(lim)1 ),((sRe
4
1
)1(
1lim)()3(lim)3 ),((sRe
21
1
2
1
233
z
zdz
dzfz
dz
dzf
zzfzzf
z
zz
zz
36
Calcular con C: |z – i|= 2.
Cdz
z
z
4
622
Cizfidz
z
z)2,)((sRe2
4
522
)2)(2(62
)2(lim22 iziz
ziz
iz
)23(2
232 i
ii
i
37
Evaluar donde el contorno C
es el círculo |z|= 2.
C
z
dzzz
e34 5
iz
ezzi
zz
ez
dz
di
zfidzzz
e
z
z
z
z
C
z
12517
)5(
)178(lim
)5(lim
!21
2
)0,)((Res25
3
2
0
33
2
2
0
34
38
Fórmula para el residuo para un polo de cualquier orden
Si f (z) tiene un polo de orden m en z0, la serie de Laurent es:
mm
zz
b
zz
b
zz
bzzaazf
)()()()(
02
0
2
0
1010
)()(lim)!1(
1)(Res 0)1(
)1(
00
zfzzdz
d
mzf m
m
m
zzzz
mm
mmmm
bzzb
zzbzzazzazfzz
2
02
101
101000
)(
)()()()()(
Derivamos m-1 veces. Cuando zz0 obtenemos: 10)1(
)1(
)!1()()(lim0
bmzfzzdz
d mm
m
zz
39
Un punto singular aislado z0 de una función f es un polo de orden m si y solo si f(z) puede ser escrito en la forma:
donde (z) es analítica y no cero en z0. Entonces:
mzz
zzf
)(
)()(
0
1 si )()( Res 00
mzzfzz
2 si )!1(
)()( Res 0
)1(
0
m
m
zzf
m
zz
De otra manera...
y
40
Demostración:
mn
nn
mm
zzn
zzz
m
z
zzz
zzz
zz
)(!
)()(
)!1(
)(...
)(!2
)('')(
!1
)(')()(
00
)(1
00
)1(
20
00
00
)!1(
)()( Res 0
)1(
1zz 0
m
zbzf
m
mn
mnnm
mmm
zzn
z
zz
mz
zz
z
zz
z
zz
zzf
)(!
)()!1/()(...
)(
!2/)(''
)(
!1/)('
)(
)()(
00
)(
0
0)1(
20
01
0
0
0
0
mzz
zzf
)(
)()(
0
)(
f(z) tiene un polo de orden m en z=z0
41
)(Si f(z) tiene un polo de orden m en z=z0 entonces tiene una representación en serie de Laurent en la región| z-z0|<R:
mm
n
nn zz
b
zz
b
zz
b
zz
bzzazf
)()()()()(
03
0
32
0
2
0
1
00
0
00
cuando
cuando)()()(
zzb
zzzfzzz
m
m
00
10101 )()()()(
n
nmn
mmmm zzazzbzzbbz
42
43
44
45
46
Hemos visto que la integral de una función analítica f (z) sobre una curva cerrada C cuando f (z) tiene un punto singular z0 dentro de C es:
12)( ibdzzfC
C
0zdonde b1 es el residuo de f (z) en z0
C
El teorema del residuo generaliza este resultado: Sea f (z) una función analítica dentro y sobre un camino cerrado C, excepto para k puntos singulares dentro de C. Entonces:
k
izz
C
zfidzzfi1
)(Res2)(
2z
1z
3zkz
47
Evalúa donde
(a) El contorno C es el rectángulo definido por x = 0, x = 4, y = −1, y = 1.(b) El contorno C es el círculo |z|= 2.
czd
zz 31
12
)3,)((Res)1,)((Res2)3()1(
12 zfzfidz
zzC
041
41
2
i
(a)
ii
zfidzzzC
241
2
)1,)((Res2)3()1(
12
(b)
48
Ídem con C: |z|= 2. C
z
dzzz
e34 5
iz
ezzi
zz
ez
dz
di
zfidzzz
e
z
z
z
z
C
z
12517
)5(
)178(lim
)5(lim
!21
2
)0,)((Res25
3
2
0
33
2
2
0
34
Observa que z = 0 es un polo de orden 3:
49
Demostración del teorema del residuo
Rodeemos todos los puntos singularescon los círculos C1, C2, Ck.
f (z) es analítica en C y aquí dentroexcepto en los k puntos singulares.
Por el teorema integral de Cauchy para regiones múltiplemente conexas:
kCCCC
dzzfdzzfdzzfdzzf )()()()(21
C
Las integrales a lo largo de cada uno de esos pequeños círculos son el residuo en cada punto singular dentro del círculo, por tanto:
k
izz
C
zfidzzfi1
)(Res2)(
C1
C2
Ck
50
Ejemplo Integrar la función sobre
C
zz
z
2
2
zzz
zzz
idzzzz
zzC
21202
2Res
2Res2
2
2z
32
lim2
Res
21
2lim
2Res
121
020
z
z
zz
zz
z
zz
z
zz
zz
iidzzz
z
C
2)32(22
2
10
51
z = 0 es una singularidad esencial, así que no nos queda más remedio que calcular la serie de Laurent alrededor de z = 0, que nos proporciona como residuo Res(f, 0) = 3.
zdeC
z /3
izfizdzdeC
z 6)0,)((sRe2/3
C: |z|= 1.Calcular
52
Otra fórmula útil para calcular el residuo en un polo simple cuando f (z) es una función racional f(z) = p(z)/q(z) es:
)(
)()(Res
0
0
0 zq
zpzf
zz
)('
)(
...)(!2
)('')(')(
)()(lim
)(
)()(lim)(Res
...)(!2
)(''))((')(
0
0
00
00
0
0
20
000
0
00
zq
zp
zzzq
zqzz
zpzz
zq
zpzzzf
zzzq
zzzqzq
zz
zzzz
Demostración:
53
dzzz 22
z
1
e4. Calcular ,donde γ es el contorno
indicado en la figura.-1
01
ezz
ef
fffidzzz
z
z
z
doblepoloz
simplespolosz
z
z
2
1
11,Res
1,Res0,Res21,Res21
e
11
20
11
:simples cerrados contornos de Número
0
1
:aislados singulares Puntos
1
2
22
z
ExamenJUNIO 02/03: P-1
54
)1(222
22
12
1
e
11
21
10,Res
211,Res
22
z
0
22
2
0
2
1
2
chie
eidz
zz
z
zze
z
ef
e
zz
ef
z
z
z
z
z
z
55
C: |z|= 2.C dzztan
tan z = sin z / cos z tiene polos simples en los puntos donde cos z = 0: z = (2n + 1)/2, n = 0, 1, 2, …
Pero solamente −/2 y /2 están dentro del círculo
1)2/sin(
)2/sin()'(cos
sin2
,)(Res2
zz
zzf
1)2/sin(
)2/sin(2
,)(Res
zf
2
,Res2
,Res2tan zfzfidzz
C
iidzzC
4112tan
56
2. Calcular la integral
dzz
eC
z
12
12
Respuesta.
aislados singulares ptos.
03
2
1
z
iz
iz
siendo C : |z – i| = 3/2, simple y orientado positivamente.
C de interiores y 31 zz
57
))((sRe))((sRe2)(
31 zzzfzfidzzf
C
z1 es un polo simple
eiizf
ziziz
e
izzf
z
1
2
1)()(Res
)(11
)(
iz
12
58
z3 es un punto singular esencial
10 ,)(
1
!
1)()(
)(1
1
1)(
2
02
0
2
1
22
1
2
2
zzn
zzf
ezz
ezf
nn
n
n
zz
f(z) se representa por potencias pares positivas y negativas de z.
El coeficiente c-1 es cero.
0)(Res0z
zf
59
0
1
2
12)(
eiidzzf
C
edzzf
C
)(
60
d) Obtener la solución de la integral
donde , orientado en sentido positivo.
C
dziziziz
22
)(312
)(
6
4: izC
Re(z)i4f analítica dentro y sobre C, excepto en el punto singular aislado z0=i
2
2
0
6231
a en torno f deLaurent de Desarrollo
izizizzf
iz
2),Res( 0 izf
iizfidzzfC
4),Res(2)( 0 ExamenJUNIO 04/05: P-1
61
e) Obtener la solución de la integral
donde , orientado en sentido positivo. Considérese que n es un entero positivo y
C
n
dzzz
z2)cos(21
2: zC
0
)Res(f,)Res(f,2
en contenidas ,21
cos1coscos
0)cos(21 :f de adesSingularid
)cos(21)(
21
2121
2
2
2
zziI
Czzzz
isenz
zz
zz
zzf
n
i
i
ez
ez
2
1
2
2: zC
ExamenJUNIO 04/05: P-1
62
iez 1
iez 2
ii
in
i
i
n
ee
e
ezez
z
zf
)zRes(f,)( 1
ii
in
i
i
n
ee
e
ezez
z
zf
)zRes(f,)( 2
0 , ; )(
22 nsen
nseni
ee
eeiI
ii
inin
63
2. Haciendo uso de la teoría de residuos, calcular la integral
donde C es la circunferencia , orientada positivamente.2z
C
dzz
senz
1
1
1
0y 1 :2en singulares Puntos zzz
)1(1
1
1Res
1sen
zsen
zz
z=1 : polo simple :
z=0 :
...1
...!5
1
!3
11
...1
!5
11
!3
11...1
1
1
11
1
1)(
33
22
532
z
c
z
c
z
zzzzz
zsen
zzsen
zzf
64
01121
1
1
sensenidzz
senzC
)1(...!5
1
!3
11Res
0sen
z
Luego es:
Y entonces:
ExamenSEPTIEMBRE 02/03: P-1
65
3. Calcular la integral ,donde C es la
circunferencia orientada positivamente, utilizando el concepto de residuo en el infinito.
C
dzzz
z4332
17
32
3z
iI
zf
zzzz
zz
z
z
zz
zzz
fz
zf
ziI
z
z
2
111
Res 3121
11
3121
1
31
21
1111
11Res2
204332
4332
18
194
3
3
2
17
22
20
ExamenSEPTIEMBRE 02/03: P-1
66
c) Calcular el valor de la integral:
dz
z )1sin(
1
Respuesta.
positivo 5 ;sin
1
)1sin(
1
1 positivo;
5
1 ;
)1sin(
1
2
wC:dwww
dz
z
zwzΓ:dz
z
C
siendo Γ la curva |z| = 1/5 con orientación positiva.
67
22
22
22
22
1,
sin
1Res
;1
,sin
1Res
0,sin
1Res,
sin
1Res
,sin
1Res2
sin
1
ww
ww
wwww
wwidw
wwC
68
6
10,
sin
1Res
...!5!3
11
...)!5!3
1(
1
...)!5!3
(
1
sin
1
2
3
423
532
2
ww
w
ww
www
wwww
ww
2
2
6
12
)1sin(
1
idz
z
69
3. Calcular la integral
donde el contorno C es la circunferencia orientada de forma positiva.
dzz
zLogz
i C
1
1
2
1 2
2z
0020)Im(
110)Re(
:principalión determinac la estudia Se
1
11)Im(;
1
11)Re(
1
11
1
1
1
1
1
1
:logaritmofunción laen Problemas
2
2222
2
22
2
1
yyw
yxxw
yx
xyxyw
yx
yxxw
yx
iyxiyx
iyx
iyxw
z
z
z
z
0
11
y
x
70
2
2: zC
-1 1
Segmento donde f(z) no es analítica
zLogzLogz
z
zLog
zz
zLogzzz
fz
zF
zz
fz
dzz
zLogz
iI
C
111
1
11
11
111111)(
0;11
Res1
1
2
1
:infinito elen residuo de
concepto el aplicamosanalítica) es C de (fuera
C de dentro singulares puntos de infinito conjuntoun
4
4
2
22
22
71
...!3
2
!21
2)0(1
2)(
1)0(1
1)(
1)0(1
1)(
;0)0(
1 )(
:0en 1 dey 1 de serieen sdesarrollo los Obtengamos
32
3
2
0
zzzzLog
gz
zg
gz
zg
gz
zg
g
zLogzg
zzLogzLog
...!3
2
!21
2)0(1
2)(
1)0(1
1)(
1)0(1
1)(
;0)0(
1 )(
32
3
2
zzzzLog
hz
zh
hz
zh
hz
zh
h
zLogzh
3
2
3
2
!3
40);(Res
...!342
...!3
2
!2...
!3
2
!2
1)(
3
3232
4
IzzF
zz
zzz
zzz
zzF
72
c) Calcular la integral
Cdz
zLog
cos
siendo C : |z| = 4, orientado en sentido positivo.
Respuesta.
C : |z| = 4 → Circunferencia de centro z = 0 y radio 4 orientada
positivamente.
zLogzf
cos)( analítica sobre C y su exterior
(apartado b)
73
22
)(
2
)(cos)(
0,11
Res2)(
z
zg
z
zLogzF
zz
fz
idzzfI
zF
C
g(z) analítica en z = 0
0
)(
!
)0()(
n
nn
zn
gzg
0cos
sin)0( ,0)0(
0
zz
zgg
74
3
)(22
2
0
2
2
!
)0(
2)(
0)(cos
)0(
n
nn
z
zn
gzzg
zg
z = 0 es un polo
de orden 2
3
2)(2
!
)0(
2)(
n
nn
zn
gzF
z = 0 singularidad
evitable de F(z)
Res[F(z), z = 0] = 0 00),(Res2 zzFiI
75
b) (3 puntos) Calcular el valor de la integral
dzzzzC )4)(9()1(
124
Respuesta.
simple polo ,4
simples polos ,3
4orden de polo ,1
,)4)(9()1(
1)(
24
z
z
z
zzzzf
siendo C : |z| = 2, orientado positivamente.
76
C
z=-1
z=4
z=3z=-3 Re(z)
Por el teorema del residuo en el infinito:
0
020;
1
z
1Res2)(
z
zz
fidzzf
Por el teorema de Cauchy-Goursat en
dominios múltiplemente conexos:
3
1
)()()(i
CCzdzfzdzfdzzf
i
C2
C3
C1
)7)(6()2(
2)(Res2)(
431
i
zfizdzfzC
77
0)41)(91()1(
1Res2)(
)5()5(
2)(Res2)(
)1)(6()4(
2)(Res2)(
24
7
20
44
43
3
2
zzz
z
zizdzf
izfizdzf
izfizdzf
z
zC
zC
5424 5
1
16
1
7
1
26
12
)4)(9()1(
1idz
zzzC
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
Residuo logarítmico
Sea una función f(z) analítica dentro y sobre un contorno cerrado simple C, orientado positivamente, tal que no tenga ceros sobre él, pero con posiblemente un número finito de ceros en su interior. Si z0 es uno de ellos, entonces es un
punto singular aislado del cociente f'(z)/f(z). El residuo de este cociente en z0 se denomina residuo logarítmico de f(z) en z0, ya que:
)(
)(')(log
zf
zfzf
dz
d
96
Supongamos que z0 es un cero de f(z) de orden m0, entonces en algún entorno de z0 podemos escribir:
)()()( 00 zgzzzf m
con g(z) analítica en dicho entorno y g(z0) 0. Derivando y dividiendo entre f(z):
)(
)('
)()(
)('
)(')()()()('
0
0
01
0000
zg
zg
zz
m
zf
zf
zgzzzgzzmzf mm
Analítico en z0
Tiene un polo simple en en z0 con residuo m0
97
Denotemos por Nf la suma de las multiplicidades de todos los ceros de f(z) dentro de C:
n
kfk
n
kzz
C
Nmzf
zfdz
zf
zf
i k 11 )(
)('Res
)(
)('
2
1
98
5. Hallar el residuo logarítmico de la función
respecto a la circunferencia
z
zzf
2cos1
1)(
2
z
z
pNNdzzf
zf
i 0)(
)(
2
1
Ceros de f(z): 01 2ziz
iz
2
12 ceros simples
Polos de f(z):
3;2;1;0;1;2;3
:nciacircunfere la a Interiores
; 12cos
02cos1
7654321
zzzzzzz
kkzz
z
k
ExamenSEPTIEMBRE 02/03: P-1
99
042cos1
02cos1
02cos1
:que ya ,)2cos(1
de dobles cerosser por f de dobles polosson Todos
2
k
k
z
z
k
z
z
z
z
12272)(
)(
2
1
:Entonces
z
dzzf
zf
i
100
1. Hallar el residuo logarítmico de la función compleja
respecto del contorno
chzzf )(
8z
8
0
2
8
0
6)(
)(
2
1
63,2,1,0
:a ientescorrespond ceros los encuentran se 8En
;2
121202
)1log(2100
:8en )( de ceros los Calculamos
0enterafunción una es )(
)(
)(
2
1
z
k
zzz
p
z
p
dzzf
zf
i
Nk
z
kki
zkiz
zeeechz
zzf
Nchzzf
NNdzzf
zf
i
