Programacion Dinamica I.pptx

Investigación Operativa IIProgramación Dinámica

Ing. Antonio Alban

Antonio Alban

• Ing. Industrial titulado - Universidad Nacional del Callao• MBA – Centrum Católica• Experiencia laboral de 20 años en empresas industriales y de

servicio.• Textil del Valle, Industrias Nettalco, Cortexsa, Tortas

Charlotte, Texfina, Servitejo y la Camara de Comercio del Callao.

• Actualmente me desempeño como Gerente de Planta de Calzado Chosica S.A.C (Ex – BATA), desde 2007 a la actualidad.

• E-mail: [email protected]

ContenidoPARTE I

DefiniciónCaracterísticas de los problemas de

programación dinámica determinística : etapas, estados, formula recursiva, programación en avance y en retroceso.

Modelos de programación dinámica

Contenido

PARTE II

Programación Dinámica Probabilística Problemas de programación e inventarios

PARTE I - PD

Técnica matemática orientada a la solución de problemas con decisiones secuenciales en etapas sucesivas donde se debe minimizar el costo de esas decisiones. O en su defecto optimizar la mejor alternativa.

Definición de PD

1. Etapas:

Son las divisiones en que se subdivide el problema, por lo general encontramos más de 3 etapas.

2. Estados asociados:

Cada etapa tiene cierto número de estados asociados con su inicio.

Características de PD

3. Política de decisión:

El efecto de la política de decisión en cada etapa es transformar el estado actual en un estado asociado con el inicio de la siguiente etapa.

4. Diseño de solución:

El procedimiento de solución está diseñado para encontrar una política óptima para el problema completo, es decir, una receta para la política de decisión óptima en cada etapa para cada uno de los estados posibles.

Características de PD

Problema de la diligencia y el viajero

Ejemplo: ruta mas corta

Se desea seleccionar la ruta más corta entre dos ciudades.

A

D

C

B

F

E

H

7

5

8

12

9

8

137

9

6

Distancia km.

Solución del Problema

Solución 1 : Seleccionar el camino mas barato ofrecido en cada etapa sucesiva A-D-E-H-> Distancia mas corta 5 + 7 + 9 = 21 km.


Solución 2 : Por tanteos, El numero de rutas probables es 5


Solución 3: Partir de una pequeña porción del problema y encontrar laSolución optima para ese problema mas pequeño.Entonces gradualmente agranda el problema, hallado la solución optima en curso a partir de la anterior, hasta que se resuelva por completo el problema original.

De atrás hacia delante : Etapa 3 resolver primero.

Etapa 3Etapa 1 Etapa 2

Método de Solución 3 : utilizaremos la formula recursiva.

Sea fn(S) = min C( S , Xn) + fn-1(Xn) , n= 1,2,3,4 todas las rutas (xn-1,x) viables

n, es la etapa o sub problema que estamos resolviendo.Xn, variable de decisión, estado inmediato en la etapa n.S, estado.c, costo, distancia del estado S a Xn.fn, costo total de la mejor política global para las etapas restantes, dado que el vendedor se encuentra en el nodo S (listo para iniciar la etapa n) y se selecciona a Xn como destino inmediato.

PROGRAMACION EN RETROCESO : INICIAMOS CON LA ETAPA 3 HASTA LA ETAPA1

Método de solución

Etapa 3; n = 3

Etapa 2; n = 2

E 9 HF 6 H

S ƒ3(S)* X*3

E FB 12 + 9 = 21 21 EC 8 + 9 = 17 9 + 6 = 15 15 FD 7 + 9 = 16 13 + 6 = 19 16 E

S

ƒ2(S, X2)= CsX2 + ƒ3 (X2) ƒ2(S)* X*2X2



Etapa 1; n = 1

B C DA 7 + 21 = 28 8 + 15 = 23 5 + 16 = 21 21 D

S

ƒ1(S, X1)= CsX1 + ƒ2(X1) ƒ1(S)* X*1X1



Etapa 1; n = 1

Etapa 2; n = 2Etapa 3; n = 3

Recorrido optimo21 km

E 9 HF 6 H

S ƒ3(S)* X*3

E FB 12 + 9 = 21 21 EC 8 + 9 = 17 9 + 6 = 15 15 FD 7 + 9 = 16 13 + 6 = 19 16 E

S

ƒ2(S, X2)= CsX2 + ƒ3 (X2) ƒ2(S)* X*2X2

B C DA 7 + 21 = 28 8 + 15 = 23 5 + 16 = 21 21 D

S

ƒ1(S, X1)= CsX1 + ƒ2(X1) ƒ1(S)* X*1X1

5 7 9

A D E H

Ejercicio: Problema del Viajero

El viajero desea ir de la ciudad A hacia la J por el camino mas corto.

A

D

C

B

G

F

E

J

I

H2

3

4

64

7

42

3

514

1

4

63

33

3

4

Costo distancia


Solución 1 : Seleccionar el camino mas barato ofrecido en cada etapa sucesiva A-B-F-I-J-> Costo Total de 13

Pero sacrificando un poco en una etapa es posible obtener ahorros mayores de allí en adelante.A-D-F es mas barato que A-B-F.

7


Solución 2 : Por tanteos,

7

El numero de rutas es muy grande( 1 x 3 x 3 x 2 x 1 = 18 )

7

Solución 3 : Programación Dinámica

A

D

C

B

G

F

E

J

I

H2

3

4

64

7

42

3

514

1

4

63

33

3

4

Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3 Etapa 4

Partir de una pequeña porción del problema y encontrar laSolución optima para ese problema mas pequeño.Entonces gradualmente agranda el problema, hallado la solución optima en curso a partir de la anterior, hasta que se resuelva por completo el problema original.

De atrás hacia delante : Etapa 4 resolver primero.

A

D

C

B

G

F

E

J

I

H2

3

4

64

7

42

3

514

1

4

63

33

3

4




H 3 JI 4 J

S ƒ4(S)* X*4

H IE 1 + 3 = 4 4 + 4 = 8 4 HF 6 + 3 = 9 3 + 4 = 7 7 IG 3 + 3 = 6 3 + 4 = 7 6 H

ƒ3(S, X3)= C3X3 + ƒ4 (X3)

Sƒ3(S)* X*3

X3

A

D

C

B

G

F

E

J

I

H2

3

4

64

7

42

3

514

1

4

63

33

3

4


Etapa 4; n = 4

Etapa 3; n = 3

A

D

C

B

G

F

E

J

I

H2

3

4

64

7

42

3

514

1

4

63

33

3

4




Etapa 2; n = 2

E F GB 7 + 4 = 11 4 + 7 = 11 6 + 6 = 12 11 E ó FC 3 + 4 = 7 2 + 7 = 9 4 + 6 = 10 7 E D 4 + 4 = 8 1 + 7 = 8 5 + 6 = 11 8 E ó F

S

ƒ2(S, X2)= CsX2 + ƒ3 (X2) ƒ2(S)* X*2X2

A

D

C

B

G

F

E

J

I

H2

3

4

64

7

42

3

514

1

4

63

33

3

4




Etapa 1; n = 1

B C DA 2 + 11 = 13 4 + 7 = 11 3 + 8 = 11 11 C ó D

S

ƒ1(S, X1)= CsX1 + ƒ2(X1) ƒ1(S)* X*1X1



Etapa 1; n = 1

B C DA 2 + 11 = 13 4 + 7 = 11 3 + 8 = 11 11 C ó D

S

ƒ1(S, X1)= CsX1 + ƒ2(X1) ƒ1(S)* X*1X1

E F GB 7 + 4 = 11 4 + 7 = 11 6 + 6 = 12 11 E ó FC 3 + 4 = 7 2 + 7 = 9 4 + 6 = 10 7 E D 4 + 4 = 8 1 + 7 = 8 5 + 6 = 11 8 E ó F

S

ƒ2(S, X2)= CsX2 + ƒ3 (X2) ƒ2(S)* X*2X2

Etapa 2; n = 2

H IE 1 + 3 = 4 4 + 4 = 8 4 HF 6 + 3 = 9 3 + 4 = 7 7 IG 3 + 3 = 6 3 + 4 = 7 6 H

ƒ3(S, X3)= C3X3 + ƒ4 (X3)

Sƒ3(S)* X*3

X3

A

D

C

B

G

F

E

J

I

H2

3

4

64

7

42

3

514

1

4

63

33

3

4


Etapa 3; n = 3

H 3 JI 4 J

S ƒ4(S)* X*4

Etapa 4; n = 4

A C E H J

A D E H J

A D F I J

Costo total optimo

11

5. Principio de optimalidad:

a. Dado el estado actual, una política óptima para las etapas restantes es independiente de la política adoptada en etapas anteriores.

b. La decisión inmediata óptima depende sólo del

estado actual y no de cómo se llegó ahí.

6. Inicio de solución:

El procedimiento de solución se inicia al encontrar una política óptima para la última etapa.

7. Relación recursiva:

Se dispone de una relación recursiva que identifica la política óptima para la etapa n, dada la política óptima para la etapa n + 1.

La forma precisa de relación recursiva difiere de un problema a otro de programación dinámica, pero usaremos una notación análoga a la siguiente:

N = número de etapas. n = etiqueta para la etapa actual ( n = 1,2,…,N) Sn = estado actual para la etapa n

Xn = variable de decisión para la etapa n Xn* = valor óptimo de xn (dado sn) f n(sn , xn) = contribución a la función objetivo de las etapas n,n+1,…,N, si el sistema se encuentra en el estado sn en la etapa n, la decisión inmediata es xn y en adelante se toman decisiones óptimas. f n*(sn) = f n(sn , xn*)

La relación recursiva siempre tendrá la forma:

f n*(sn) = mín fn(sn , xn) ó

f n*(sn) = máx fn(sn , xn)

8. Retroceso:

Cuando se use esta relación recursiva, el procedimiento de solución comienza al final y se mueve hacia atrás etapa por etapa – encontrando cada vez la política óptima para esa etapa – hasta que se encuentra la política óptima desde la etapa inicial.

La programación dinámica se adapta bien a problemas de carácter secuencial como por ejemplo:

- Búsqueda del camino mas corto entre dos puntos.- Planificación de Tareas- Gestión de recursos escasos- Gestión de stocks

Aplicaciones de la PD

A

D

C

B

G

F

E

J

I

H2

3

4

64

7

42

3

514

1

4

63

33

3

4


PROGRAMACION EN AVANCE : INICIAMOS CON LA ETAPA 1 HASTA LA ETAPA 4


B 2 AC 4 AD 3 A

S ƒ1(S)* X*1

X2

A

D

C

B

G

F

E

J

I

H2

3

4

64

7

42

3

514

1

4

63

33

3

4


Etapa 1; n = 1

Etapa 2; n = 2

B C DE 7 + 2 = 9 3 + 4 = 7 4 + 3 = 7 7 C ó DF 4 + 2 = 6 2 + 4 = 6 1 + 3 = 4 4 DG 6 + 2 = 8 4 + 4 = 8 5 + 3 = 8 6 B ó C ó D

X*2 S

ƒ2(S, X2)= CsX2 + ƒ1 (X1) ƒ2(S)*

A

D

C

B

G

F

E

J

I

H2

3

4

64

7

42

3

514

1

4

63

33

3

4


X4

A

D

C

B

G

F

E

J

I

H2

3

4

64

7

42

3

514

1

4

63

33

3

4



E F GH 1 + 7 = 8 6 + 4 = 10 3 + 6 = 9 8 E I 4 + 7 = 11 3 + 4 = 7 3 + 6 = 9 7 F

Sƒ3(S, X3)= CsX3 + ƒ2 (X2) ƒ3(S)* X*3

J H E

J H E

J I F

Etapa 3; n = 3

A

D

C

B

G

F

E

J

I

H2

3

4

64

7

42

3

514

1

4

63

33

3

4



H IJ 3 + 8 = 11 4 + 7 = 11 11 H ó I

Sƒ4(S)* X*4

ƒ4(S, X4)= CsX4 + ƒ3(X3)

J H E

J H E

J I F

Etapa 4; n = 4

PROGRAMACION EN AVANCE : INICIAMOS CON LA ETAPA 1 HASTA LA ETAPA4




Costo total optimo

11

B 2 AC 4 AD 3 A

S ƒ1(S)* X*1

X2

A

D

C

B

G

F

E

J

I

H2

3

4

64

7

42

3

514

1

4

63

33

3

4


B C DE 7 + 2 = 9 3 + 4 = 7 4 + 3 = 7 7 C ó DF 4 + 2 = 6 2 + 4 = 6 1 + 3 = 4 4 DG 6 + 2 = 8 4 + 4 = 8 5 + 3 = 8 6 B ó C ó D

X*2 S

ƒ2(S, X2)= CsX2 + ƒ1 (X1) ƒ2(S)*

A

D

C

B

G

F

E

J

I

H2

3

4

64

7

42

3

514

1

4

63

33

3

4


X4

E F GH 1 + 7 = 8 6 + 4 = 10 3 + 6 = 9 8 E I 4 + 7 = 11 3 + 4 = 7 3 + 6 = 9 7 F

Sƒ3(S, X3)= CsX3 + ƒ2 (X2) ƒ3(S)* X*3

J H E

J H E

J I F

H IJ 3 + 8 = 11 4 + 7 = 11 11 H ó I

Sƒ4(S)* X*4

ƒ4(S, X4)= CsX4 + ƒ3(X3)

J H E

J H E

J I F

J H E C A

J H E D A

J I F D A

Ejercicio: ForestalUn ingeniero forestal, requiere saber: i) ¿Cuál es el costo mínimo? Y ii) ¿Cuál es la ruta de ese costo mínimo, para ir desde su oficina hasta el lugar donde esta la cosecha. En su camino debe pasar por tres sectores o ciudades antes de llegar a su destino.



Etapa 4; n = 4

Etapa 3; n = 3


9 12 1310 16 1311 15 1312 14 13

S ƒ4(S)* X*4

X3

9 10 11 126 3 + 12 = 15 2 + 16 = 18 1 + 15 = 16 3 + 14 = 17 15 97 4 + 12 = 16 1 + 16 = 17 4 + 15 = 19 6 + 14 = 20 16 98 2 + 12 = 14 3 + 16 = 19 6 + 15 = 21 5 + 14 = 19 14 9

X*3

Sƒ3(S)*

ƒ3(S, X3)= CsX3 + ƒ4 (X3)X3



Etapa 2; n = 2


6 7 82 9 + 15 = 24 4 + 16 = 20 6 + 14 = 20 20 7 ú 83 5 + 15 = 24 7 + 16 = 23 4 + 14 = 18 18 84 9 + 15 = 24 10 + 16 = 26 8 + 14 = 22 22 85 9 + 15 = 24 10 + 16 = 26 11 + 14 = 25 24 6

S

ƒ2(S, X2)= CsX2 + ƒ3 (X2) ƒ2(S)* X*2X2

X1



Etapa 1; n = 1


2 3 4 51 7 + 20 = 27 6 + 18 = 24 5 + 22 = 27 6 + 24 = 30 24 3

Sƒ1(S)* X*1

ƒ1(S, X1)= CsX1 + ƒ2(X1)X1





9 12 1310 16 1311 15 1312 14 13

S ƒ4(S)* X*4

X3

9 10 11 126 3 + 12 = 15 2 + 16 = 18 1 + 15 = 16 3 + 14 = 17 15 97 4 + 12 = 16 1 + 16 = 17 4 + 15 = 19 6 + 14 = 20 16 98 2 + 12 = 14 3 + 16 = 19 6 + 15 = 21 5 + 14 = 19 14 9

X*3

Sƒ3(S)*

ƒ3(S, X3)= CsX3 + ƒ4 (X3)X3

6 7 82 9 + 15 = 24 4 + 16 = 20 6 + 14 = 20 20 7 ú 83 5 + 15 = 24 7 + 16 = 23 4 + 14 = 18 18 84 9 + 15 = 24 10 + 16 = 26 8 + 14 = 22 22 85 9 + 15 = 24 10 + 16 = 26 11 + 14 = 25 24 6

S

ƒ2(S, X2)= CsX2 + ƒ3 (X2) ƒ2(S)* X*2X2

X1

2 3 4 51 7 + 20 = 27 6 + 18 = 24 5 + 22 = 27 6 + 24 = 30 24 3

Sƒ1(S)* X*1

ƒ1(S, X1)= CsX1 + ƒ2(X1)X1

6 4 2 12 24

1 3 8 9 13

Ejercicio: DiligenciaEste problema esta referido a encontrar la ruta optima (ruta mínima o más confiable) para viajar desde un punto llamado nodo inicial o fuente, hacia otro nodo final o destino a través de una red de caminos que los conecta



Etapa 5; n = 5

Etapa 4; n = 4

12 4 1413 3 14

S ƒ5(S)* X*5

12 138 9 + 4 = 13 13 129 3 + 4 = 7 6 + 3 = 9 7 1210 7 + 4 = 11 8 + 3 = 11 11 12 ó 1311 5 + 3 = 8 8 13

S

ƒ4(S, X4)= CsX4 + ƒ5 (X4) ƒ4(S)* X*4X4



Etapa 3; n = 3

8 9 10 115 3 + 13 = 16 2 + 7 = 9 9 96 8 + 13 = 21 11 + 7 = 18 5 + 11 = 16 9 + 8 = 17 16 107 4 + 8 = 12 12 11

S

ƒ3(S, X3)= CsX3 + ƒ4 (X3) ƒ3(S)* X*3X3



Etapa 2; n = 2

5 6 72 11 + 9 = 20 20 53 8 + 9 = 17 4 + 16 = 20 9 + 12 = 21 17 54 6 + 16 = 22 6 + 12 = 18 18 7

S

ƒ2(S, X2)= CsX2 + ƒ3 (X2) ƒ2(S)* X*2X2



Etapa 1; n = 1

2 3 41 5 + 20 = 25 2 + 17 = 19 3 + 18 = 21 19 3

ƒ1(S, X1)= CsX1 + ƒ2(X1) X*1

Sƒ1(S)*X1



Etapa 1; n = 1

Etapa 2; n = 2

Etapa 4; n = 4

Etapa 5; n = 5

2 3 41 5 + 20 = 25 2 + 17 = 19 3 + 18 = 21 19 3

ƒ1(S, X1)= CsX1 + ƒ2(X1) X*1

Sƒ1(S)*X1

5 6 72 11 + 9 = 20 20 53 8 + 9 = 17 4 + 16 = 20 9 + 12 = 21 17 54 6 + 16 = 22 6 + 12 = 18 18 7

S

ƒ2(S, X2)= CsX2 + ƒ3 (X2) ƒ2(S)* X*2X2

8 9 10 115 3 + 13 = 16 2 + 7 = 9 9 96 8 + 13 = 21 11 + 7 = 18 5 + 11 = 16 9 + 8 = 17 16 107 4 + 8 = 12 12 11

S

ƒ3(S, X3)= CsX3 + ƒ4 (X3) ƒ3(S)* X*3X3

Etapa 3; n = 3

12 138 9 + 4 = 13 13 129 3 + 4 = 7 6 + 3 = 9 7 1210 7 + 4 = 11 8 + 3 = 11 11 12 ó 1311 5 + 3 = 8 8 13

S

ƒ4(S, X4)= CsX4 + ƒ5 (X4) ƒ4(S)* X*4X4

12 4 1413 3 14

S ƒ5(S)* X*5

2 8 2 3 4 19

1 3 5 9 12 14

Existen tres modelos diferentes manejados por

WINQSB. ( Software que utilizaremos)

• Problema de la diligencia (Stagecoach Problem)

• Problema de la mochila (Snapsack Problem)

• Programación de producción e inventarios (Production and Inventory Scheduling)

Modelos de Programación Dinámica

Un camionero que trabaja por su cuenta tiene 8 m3 de espacio disponible en un camión que saldrá para la ciudad de Lima. Un distribuidor que tiene grandes cantidades de tres artículos diferentes, todos destinados para esa ciudad, ha ofrecido al camionero los siguientes pagos por transportar tantos artículos como quepan en el camión.

¿Cuántas unidades de cada artículo deberá aceptar el camionero a fin de maximizar los pagos de embarque, sin exceder la capacidad del camión?

El modelo de la mochila

Artículo Pago ($/art.)Volumen

(Vn) m3/artI 11 1II 32 3III 58 5


Variables de decisión:

X1: Cantidad de artículos tipo I a embarcar en camión.X2: Cantidad de artículos tipo II a embarcar en camión.X3: Cantidad de artículos tipo III a embarcar en camión.

La función objetivo será maximizar el beneficio total.

El modelo matemático será:

Max BT = 11X1 + 32 X2 + 58 X3X1 + 32X2 + 5X3 ≤ 8

Xj ≥0 y entero


Para utilizar la metodología de la programación dinámica, debemos dividir el problema en tres etapas (sub problemas), en cada etapa debe decidirse cuantas unidades se deben embarcar.


Para n = 3

0 10 58 x 0 + 0 = 0 0 01 58 x 0 + 0 = 0 0 02 58 x 0 + 0 = 0 0 03 58 x 0 + 0 = 0 0 04 58 x 0 + 0 = 0 0 05 58 x 0 + 0 = 0 58 x 1 + 0 = 58 58 16 58 x 0 + 0 = 0 58 x 1 + 0 = 58 58 17 58 x 0 + 0 = 0 58 x 1 + 0 = 58 58 18 58 x 0 + 0 = 0 58 x 1 + 0 = 58 58 1

f3(D3) D3(S3)S3D3


Para n = 2

0 1 20 32 x 0 + 0 = 0 0 01 32 x 0 + 0 = 0 0 02 32 x 0 + 0 = 0 0 03 32 x 0 + 0 = 0 32 x 1 + 0 = 32 32 14 32 x 0 + 0 = 0 32 x 1 + 0 = 32 32 15 32 x 0 + 58 = 58 32 x 1 + 0 = 32 58 06 32 x 0 + 58 = 58 32 x 1 + 0 = 32 32 x 2 + 0 = 64 64 27 32 x 0 + 58 = 58 32 x 1 + 0 = 32 32 x 2 + 0 = 64 64 28 32 x 0 + 58 = 58 32 x 1 + 58 = 90 32 x 2 + 0 = 64 90 1

S2D2 f2(D2) D2(S2)


Para n = 1

0 1 2 3 4 5 6 7 88 11 x 0 + 90 = 90 11 x 1 + 64 = 75 11 x 2 + 64 = 86 11 x 3 + 58 = 91 11 x 4 + 32 = 76 11 x 5 + 32 = 87 11 x 6 + 0 = 66 11 x 7 + 0 = 77 11 x 8 + 0 = 88 91 3

S2D2 f2(D2) D2(S2)

Entonces la respuesta sería:

Embarcar 3 unidades del artículo I con beneficio 3 x 11 = 33Embarcar 0 unidades del artículo II con beneficio 0 x 32 = 0Embarcar 1 unidad del artículo III con beneficio 1 x 58 = 58

Beneficio total : $ 91

Ejercicios Propuestos

PREGUNTA N° 1

Los datos corresponden a los costos que le significa a una empresa enviar unidades de cierto artículo de una ciudad a otra. Se pide determinar la ruta óptima de envío desde la ciudad A a la ciudad N.

B C D

A 7 6 5

E F G

B 8 7 6

C 7 6 5

D 8 7 6

H I J

E 6 5 0

F 6 0 7

G 7 6 6

K L M

H 6 7 5

I 7 6 7

J 6 7 8

N

K 6

L 7

M 8

PREGUNTA N° 2

Un estudiante que se acaba de graduar, está planeando ir de vacaciones a Rioacha. Dado que tiene poco dinero, desea determinar cuál es la ruta aérea más económica. Un aumento reciente en ciertas tarifas de avión ha complicado la labor de encontrar la ruta más económica. El recién graduado ha investigado varias opciones y ha listado la siguiente información:

Con base en esta información, plantee la información de red de esteproblema como un problema de ruta mas corta.

Destinos Costo

De Quibdo a Medellín 280

De Quibdo a Bogota 370

De Quibdo a Monteria 340

De Medellin a Cartagena 200

De Bogota a Cartagena 400

De Monteria a Rioacha 220

De Cartagena a Rioacha 150

Ejercicios Propuestos

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