Principles of electronic materials PYL-102web.iitd.ac.in/~pintu/Slide04.pdf · •Energy bands in...

Principles of electronic materials

PYL-102

P. Das

Broad Research Area: Nanoscale magnetism, electronic transport fluctuations

Email: [email protected]

Tuesday, March 6, 18

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]

- providing basic foundation/training to understand

electronic, optoelectonic and other solid state devices

Course objective


• Energy bands in solids• Classification of electronic materials: metals, semiconductors, insulators • Free electron model. conductivity, concepts of Fermi surface• Effective mass and holes• Concepts of phonons• Thermoelectricity• Intrinsic, extrinsic semiconductors, degenerate semiconductors • Metal-semiconductor junctions, p-n junctions• Diffusion and drift transport - carrier lifetime and diffusion length• Direct and Indirect band gaps• Optical transitions, photon absorption, Exciton •Photovoltaic effect• Dielectrics and electrical polazation, depolarization field•Piezoelectricity, Pyroelectricity and ferroelectricity• Magnetism in metals - types of interactions, Magnetic susceptibility, Domains • Magnetic anisotropies, Spin-orbit interactions

Course-Content


• Semiconductor Physics and Devices, by D. A. Neamen, McGraw Hill publishers

• Band theory and electronic properties of solids, by John Singleton, Oxford University Press

• Introduction to Solid State Physics, by Charles Kittel, Wiley publishers

• Solid State Physics by N. Aschcroft and N. Mermin

Suggested books


PYL-102

Course evaluation and attendance policy

Attendance:

• Full attendance required, No entry after 5 minutes of the class.

Grading/Evaluation:

1. Minor-I: 25 points

2. Minor II: 25 points 3. Major: 50 points

No re-minor, No re-major !


Metallic state favoured by most elements


Metals

• Tightly bound ion cores

• Surrounded by a more loosly-bound valence electrons

• Large no. of nearest neighbor (hcp, fcc, bcc, etc.)2 HANDOUT 1. THE DRUDE AND SOMMERFELD MODELS OF METALS

- ( - )e Z Zc

-e�Z

- ( - )e Z Zc

- ( - )e Z Zc

- ( - )e Z Zc

Nucleus

Core�electrons

Valence�electrons

Nucleus

Core

Conduction�electrons

Ionf

Figure 1.1: Schematic representations of a single, isolated metal atom and a solid metal. The atom(left) consists of a nucleus (size greatly exaggerated!) of charge +eZc surrounded by the core electrons,which provide charge �e(Zc � Z), and Z valence electrons, of charge �eZ. In the solid metal (right),the core electrons remain bound to the nucleus, but the valence electrons move throughout the solid,becoming conduction electrons.

The large coordination numbers and the small numbers of valence electrons (⇠ 1) in metals implythat the outer electrons of the metal atoms occupy space between the ionic cores rather uniformly.This suggests the following things.

4. The bonds that bind the metal together are rather undirectional; this is supported by the mal-leability of metals. By contrast, ionic and covalent solids, with their more directional bonds(deduced from the smaller number of nearest neighbours mentioned above) are brittle.

5. There is a lot of “empty space” in metals; e.g. Li has an interatomic distance of 3 A, but the ionicradius is only ⇠ 0.5 A. This implies that there is a great deal of volume available for the valence(conduction) electrons to move around in.1

We therefore picture the metal as an array of widely spaced, small ionic cores, with the mobile va-lence electrons spread through the volume between (see Figure 1.1). The positive charges of the ioniccores provide charge neutrality for the valence electrons, confining the electrons within the solid (seeFigure 1.2).

1.2 The Drude model

1.2.1 Assumptions

The Drude model was the first attempt to use the idea of a “gas” of electrons, free to move betweenpositively charged ionic cores; the assumptions were

• a collision indicates the scattering of an electron by (and only by) an ionic core; i.e. the electronsdo not “collide” with anything else;

• between collisions, electrons do not interact with each other (the independent electron approxima-tion) or with ions (the free electron approximation);

• collisions are instantaneous and result in a change in electron velocity;

• an electron su↵ers a collision with probability per unit time ⌧�1 (the relaxation-time approxima-tion); i.e. ⌧�1 is the scattering rate;

• electrons achieve thermal equilibrium with their surroundings only through collisions.

1This is actually one of the reasons why solid metals are stable; the valence electrons have a much lower zero-pointenergy when they can spread themselves out through these large volumes than when they are confined to one atom.


• Array of widely spaced, small ion cores

• Mobile electrons move through the volume between the cores 1.2. THE DRUDE MODEL 3

-1

0

(b)(a)

Ene

rgy/

V0

Figure 1.2: Schematic of the electronic potential assumed in the Drude and Sommerfeld models ofmetals (a). The small-scale details of the potential due to the ionic cores (shown schematically in (b))are replaced by an average potential �V0. In such a picture, the ionic cores merely maintain chargeneutrality, hence keeping the electrons within the metal; the metal sample acts as a “box” containingelectrons which are free to move within it.

These assumptions should be contrasted with those of the kinetic theory of conventional gases.2 Forexample, in conventional kinetic theory, equilibrium is achieved by collisions between gas molecules; inthe Drude model, the “molecules” (electrons) do not interact with each other at all!

Before discussing the results of the Drude model, we examine how the scattering rate can be includedin the equations of motion of the electrons. This approach will also be useful in more sophisticatedtreatments.

1.2.2 The relaxation-time approximation

The current density J due to electrons is

J = �nev = � ne

mep, (1.1)

where me is the electron mass, n is the electron density and p is the average electron momentum.Consider the evolution of p in time �t under the action of an external force f(t). The probability of acollision during �t is �t

⌧

, i.e. the probability of surviving without colliding is (1� �t

⌧

). For electrons thatdon’t collide, the increase in momentum �p is given by3

�p = f(t)�t+O(�t)2. (1.2)

Therefore, the contribution to the average electron momentum from the electrons that do not collide is

p(t+ �t) = (1� �t

⌧)(p(t) + f(t)�t+O(�t)2). (1.3)

Note that the contribution to the average momentum from electrons which have collided will be of order(�t)2 and therefore negligible. This is because they constitute a fraction ⇠ �t/⌧ of the electrons andbecause the momentum that they will have acquired since colliding (each collision e↵ectively randomisestheir momentum) will be ⇠ f(t)�t.

Equation 1.3 can then be rearranged to give, in the limit �t ! 0

dp(t)

dt= �p(t)

⌧+ f(t). (1.4)

2See e.g. Three phases of matter, by Alan J. Walton, second edition (Clarendon Press, Oxford 1983) Chapters 5-7.3The O(�t)2 comes from the fact that I have allowed the force to vary with time. In other words, the force at time

t+ �t will be slightly di↵erent than that at time t; e.g. if �t is very small, then f(t+ �t) ⇡ f(t) + (df/dt)�t.


• Electrons collide only with ion cores and nothing else !

• No interaction with each other (independent electron approximation) or with ions (free electron approximation) between collisions!

• collisions are instantaneous, results in change in velocity

• Electron experiences a collision a rate (scattering rate)

• electrons achieve thermal equilibrium with surroundings only through collisions

The Drude model

⌧�1


Failure of Drude’s model

Drude’s results (equipartition of energy)

32nkBC =

Sp. heat is T-independentT

C

(obtained from M-B statisticsfor classical gas of density n)




1.3. THE FAILURE OF THE DRUDE MODEL 5

0.2

0.1

00 10 20

T (K)C

(J�m

olK

)-1

-1

A

C

B

Figure 1.3: Heat capacity of Co at low temperatures. A is the experimental curve, B is the electroniccontribution �T and C is the Debye component AT 3. (Data from G. Duyckaerts, Physica 6, 817 (1939).)

T2 2(K )

CT/

(mJ�

mol

K)

-1-2 1.6

1.2

0.8

0.4

00 2 4 6 8 10 12 14 1816

Figure 1.4: Plot of CV/T versus T 2 for Cu; the intercept gives �. (Data from W.S. Corak et al., Phys.Rev. 98, 1699 (1955).)

Experimental heat capacity

Sample: Co

32nkBC =

Ref.: G. Duyckaerts, Physica 6, 817 (1939).

Sp. heat is T-independent


CV = �T + ↵T 3



32nkBC =

Ref.: G. Duyckaerts, Physica 6, 817 (1939).

Sp. heat is T-independent

1.3. THE FAILURE OF THE DRUDE MODEL 5

0.2

0.1

00 10 20

T (K)

C(J

�mol

K)

-1-1

A

C

B

Figure 1.3: Heat capacity of Co at low temperatures. A is the experimental curve, B is the electroniccontribution �T and C is the Debye component AT 3. (Data from G. Duyckaerts, Physica 6, 817 (1939).)

T2 2(K )

CT/

(mJ�

mol

K)

-1-2 1.6

1.2

0.8

0.4

00 2 4 6 8 10 12 14 1816

Figure 1.4: Plot of CV/T versus T 2 for Cu; the intercept gives �. (Data from W.S. Corak et al., Phys.Rev. 98, 1699 (1955).)

Electrons Phonons


Specific heat of Cu

!!

"!

dx x2 exp x#exp x$ 1%"2 & !2!3 #6"45%

ist aus einschlägigen Formeltabellen bekannt.Es folgt allgemein für die spezifische Wärme der „freien“ Me-

tallelektronen:

cV '!2

3D#EF% 2T " #6"46%

In der Ableitung von (6.46) wurde an keiner Stelle die expliziteForm der Zustandsdichte D (E) benutzt. Gleichung (6.46) gilt des-halb auch für den Fall, dass die Zustandsdichte, wie im allgemei-nen zu erwarten, von der des „freien“ Elektronengases abweicht.Die Messung der elektronischen spezifischen Wärme wird deshalbbei Metallen dazu benutzt, die Zustandsdichte D (EF) am Fermi-Ni-veau zu bestimmen.

Im Modell des „freien“ Elektronengases lässt sich D (EF) sehreinfach durch die Elektronenkonzentration ausdrücken. Wegen derbei Metallen gültigen Näherung T(TF gilt

n &!EF

0

D#E%dE " #6"47%

Hierbei lässt sich die Zustandsdichte schreiben

D#E% & D#EF%#E!EF%1!2 " #6"48%Damit folgt

n & 23

D#EF%EF # #6"49%

sowie aus (6.46)

!

148 6. „Freie“ Elektronen im Festkörper

Abb. 6.8. Auftragung der auf die Tem-peratur bezogenen spezifischen Wärmec über dem Quadrat der Temperatur Tfür Kupfer. Die Messpunkte stammenaus zwei verschiedenen Messungen.(Nach Bailey u. Smith [6.3])

c/T

(10–

4J

Mol

–1

K–

2 )


Quantum mechanical treatment of electrons in solids


tung. Wir werden also auf das Thema Elektronenkorrelation noch zu-rückkommen müssen. Im Augenblick beschränken wir uns jedochdarauf, ein periodisches, lokales Potential anzunehmen und die Schrö-dinger-Gleichung für ein einziges Aufelektron in diesem Potential zulösen. Für das eine Elektron ergeben sich Einelektronen-Quantenzu-stände, die dann sukzessive mit den zur Verfügung stehenden Elektro-nen aufgefüllt werden. Hierbei verlangt das Pauli-Prinzip, dass einsolcher Quantenzustand nur von einem einzigen Elektron eingenom-men werden darf.

6.1 Das freie Elektronengas im Potentialkasten

Ein weiter vereinfachtes Modell, das zum erstenmal von Sommerfeldu. Bethe (1933) [6.1] betrachtet wurde, nimmt nicht einmal Notizvom periodischen Potential im Kristall. Trotzdem hat dieses Modellzum ersten Mal ein vertieftes Verständnis vieler elektronischer Eigen-schaften, insbesondere der Metalle, gebracht. In dem Modell wird einMetallkristall (Kubus mit den Längen L ) durch einen dreidimensio-nalen „Potentialkasten“ mit unendlich hoher Energieschwelle an derOberfläche beschrieben (Abb. 6.1); d. h. Elektronen können das Me-tall nicht verlassen, was sicherlich eine grobe Vereinfachung ange-sichts von Austrittsarbeiten im Bereich von 5 eV (Abschn. 6.6) dar-stellt. Die stationäre Schrödinger-Gleichung für das Aufelektron derEinelektronennäherung im Kastenpotential schreibt sich damit

! !h2

2 m!" "!# $ V "!#" "!# % E &" "!# ! "6"1#

wobei für ein Kastenpotential gilt:

V "x! y! z# % V0 % const f"ur 0!x! y! z!L' sonst"

!"6"2#

Mit E % E & ! V0 gilt:

! !h2

2 m!" "!# % E" "!# " "6"3#


Abb. 6.1. Qualitativer Verlauf des Po-tentials für ein Kristallelektron im peri-odischen Gitter der positiven Rümpfe(+). EVac ist das Vakuum-Energieniveau,auf das ein Elektron gebracht werdenmuss, wenn es aus dem Kristallinnernins Unendliche gebracht wird. Die ein-fachste Näherung zur Beschreibung istdurch ein Kastenpotential (gestrichelt)mit unendlich hohen Energiewänden ander Oberfläche angedeutet position coordinate X


430 13. Elektronen im Festkörper

0

E

EF

L

En

x

E

EF

n(E)

T = 0

N klein N groß

N n E dE

EF

= ! ( )0

Abb. 13.1. Energieniveaus und Fermi-Energie im eindimen-sionalen Potentialkasten

Wollen wir jetzt N Elektronen in dieses Kasten-potential packen, so muß das Pauliprinzip beachtetwerden, nach dem jeder Energiezustand höchstensmit zwei Elektronen (mit antiparallelem Spin) besetztwerden kann (siehe Abschn. 6.1.4 und Abb. 13.1).

Vernachlässigen wir zunächst die Wechselwirkung(elektrostatische Coulombabstoßung) zwischen denElektronen (Modell des freien Elektronengases), so istdas höchste Energieniveau, das bei minimaler Gesamt-energie noch mit Elektronen besetzt ist, das Niveau mitn = N/2 in (13.4), dessen Energie

EF = h2

2m

!N

4L

"2

(13.5)

Fermi-Energie heißt.

Die Fermi-Energie EF ist also die obere Energie-grenze, bis zu der bei der Temperatur T = 0 alletieferen Energieniveaus E < EF voll besetzt sind,und alle höheren Niveaus E > EF leer sind.

Die Gesamtenergie aller Elektronen ist dann

Etotal = 2 ·N/2#

n=1

En = h2

m

!1

2L

"2

·N/2#

n=1

n2 . (13.6)

Nun gilt für große Werte von N:N/2#

n=1

n2 = 16

(N/2)(N/2+1)(N +1)

!!!!"N"#

13

(N/2)3 ,

so daß aus (13.6) für die Gesamtenergie folgt:

Etotal = h2

3m

!1

2L

"2 !N2

"3

. (13.7)

Die mittlere Energie pro Elektron ist dann

Ekin = 1N

Etotal = h2

6m

!N

4L

"2

= 13

EF .

(13.8)

Im eindimensionalen Potentialkasten ist im Mo-dell des freien Elektronengases die mittlere Ener-gie pro Elektron gleich 1/3 der Fermienergie.

BEISPIEL

In einer linearen Anordnung von N Atomen mit demAbstand a = 0,1 nm und der Gesamtlänge L = N ·a = 1 cm ($ N = 108), wo jedes Atom ein freies Elek-tron liefert, wird die Fermi-Energie im Modell deseindimensionalen freien Elektronengases nach (13.5)

EF = 1,5 ·10!18 J % 9 eV $ Ekin % 3 eV .

Ordnen wir Ekin gemäß Ekin = 3/2 kBT eine Tempera-tur zu, so würde sich eine Temperatur von T % 35000 Kergeben.

Diese auf Grund des Pauliprinzips erzwungenehohe Energie ist also um zwei Größenord-nungen höher als die thermische Energie beiRaumtemperatur T = 300 K.

Das dem Pauliprinzip unterworfene Ensemble vonFermionen in einem Potentialkasten heißt entartetesFermigas, wenn EF & kBT ist. Insbesondere ist dasElektronengas bei T = 0 immer entartet (siehe unten).

Die Zustandsdichte D(E) gibt die Zahl der mögli-chen Energiezustände pro Energieeinheit an. Die Zahln der Zustände, die sich aus (13.4) zu

n =$

2mEn

h2·2L (13.9)

ergibt, ist eine sehr große Zahl.

Filling of quantized energy states


(2⇡)2

Lx

Ly

Lx

Ly

(2⇡)2

kx

Wieder liegen bei makroskopischen Dimensionen L die Zustands-punkte quasikontinuierlich, so dass für viele Zwecke Summen imk-Raum durch Integrale ersetzt werden können.

Wie im Fall der Phononen können wir eine Zustandsdichte be-rechnen. Dazu dividieren wir das Volumen eines Achtels der Ku-gelschale, begrenzt durch die Energieflächen E (k) und E (k)+dE,durch das Volumen Vk eines k-Punktes:

dZ! " 18

4 ! k2dk!#!!L$3 " #6"9$

Wegen dE " #!h2k!m$dk folgt für die Anzahl der Zustandspunktepro Kristallvolumen L 3:

dZ " #2m$3!2

4!2!h3 E1!2dE " #6"10$

In der Schrödingerschen Wellenmechanik, wie sie bisher benutztwurde, wird dem Eigendrehimpuls, d.h. dem Spin des Elektrons,keine Rechnung getragen. Wie man schon am Aufbau des Perio-densystems (Abschn. 1.1) sehen kann, muss man dem Elektron ei-nen Spin zuordnen, der in einem äußeren Magnetfeld zwei mögli-


Abb. 6.2. Ortsabhängigkeit in x-Richtung fürdie ersten drei Wellenfunktionen eines freienElektrons in einem rechteckigen Potentialka-sten der Länge L in x-Richtung. Die Wellen-längen zu den Quantenzahlen nx =1,2, 3, . . .sind "= 2L, L, 2

3 L . . .

Abb. 6.3 a, b. Darstellung der Zuständeeines Elektrons im Potentialkastendurch das Punktgitter im k-Raum derWellenzahlvektoren. Wegen der beidenSpineinstellungen beschreibt ein Punkt2 Zustände. (a) Für feste Randbedin-gungen liegen die Zustandspunkte nurin einem Oktanten und haben einen li-nearen Abstand von !/L. (b) Für peri-odische Randbedingungen wird der ge-samte k-Raum überdeckt, dafür ist derlineare Abstand zwischen 2 Punkten2!/L. Dargestellt ist ein Schnitt längsder kx, ky-Ebene (vgl. Abb. 5.1).

In beiden Fällen sind Kugeln kon-stanter Energie E (k) bzw. E (k)+dE dar-gestellt

ky

Area per point =

No. of states per unit k-space area =


48

aus: Ibach/Lüth, Festkörperphysik, 7. Aufl., Springer (2009)


Density of states, F-D distribution function, etc.. 13.1. Freies Elektronengas 433

e k E! "( ', )e k E! "

( , )

#E

#E#E0

e k E E! "+( ', )# e k E E! "

+( , )#Abb. 13.3. Zur Herleitung der Fermi-Dirac-Verteilung

Verteilung (siehe Bd. 1, Abschn. 7.2)

p(!E)

p(0)= e!!E/kBT (13.22)

ein, so ergibt sich aus der Forderung W = W ":

f(E +!E)

1! f(E +!E)· 1! f(E)

f(E)= e!!E/kBT . (13.23)

Dies läßt sich erfüllen, wenn

1! f(E)

f(E)= C · eE/kBT

gilt, wie man durch Einsetzen sofort verifiziert.Auflösen nach f(E) liefert:

f(E) = 1C · eE/kBT +1

. (13.24)

Die Konstante C kann aus der Forderung f(EF) = 1/2bestimmt werden zu C = e!EF/kBT , so daß man schließ-lich für die Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion (oftabgekürzt als Fermifunktion bezeichnet) den Ausdruck

f(E) = 1e(E!EF)/kBT +1

(13.25)

erhält, der die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, daßein Zustand der Energie E mit Elektronen besetzt ist(Abb. 13.4).

Aus (13.25) liest man folgende Eigenschaften derFermifunktion ab (Abb. 13.5):

f(EF +!E) = 1! f(EF !!E) , (13.26a)

f(EF) = 12

. (13.26b)

Für T = 0 gilt:

f(E < EF) = 1 ,

f(E > EF) = 0 , (13.26c)

E

E

0,5

1

1

0

0

f(E)

f(E)

n(E)

D(E)

EF

T 0=

T 0>

n(E)

a)

b)

Abb. 13.4a,b. Fermi-Verteilungsfunktion f(E), Zustands-dichte D(E) und Elektronenbesetzungszahl N(E) = 2D(E) ·f(E) für ein freies Elektronengas im dreidimensionalenPotentialkasten (a) für T = 0, (b) für T > 0

so daß die Forderung f(EF) = 1/2, durch die die Kon-stante C normiert wurde, den Wert von f(E) beimSprung von 1 auf Null als Mittelwert festsetzt. DieDichte ne(E) dE der Elektronen im EnergieintervalldE ist dann:

ne(E) dE = 2 · D(E) · f(E) dE . (13.27a)

f(E)

#E #E

EF

0,5

1T = 0

( )E EF ! # ( )E EF + #

T > 0

f E E f E EF F( ) ( )! = ! +# #1

1! !f E EF( )#f E EF( )+ #

Abb. 13.5. Eigenschaften der Fermi-Funktion


F-D distribution function

T = 0

T ≠ 0


EFFECT OF TEMPERATURE ON THE FERMI-DIRAC DISTRIBUTION

The ground state is the state of the N electron system at absolute zero. What happens as the temperature is increased? This is a standard problem in elementary statistical mechanics, and thc sohition is given by the Fermi-Dirac distribution function (Appendix D and TP, Chapter 7).

The kinetic cncrgy of the electron gas increases as the temperature is increased: some energy levels are occupied which were vacant at absolute zero, and some levels are vacant which were occupied at absolute zero (Fig. 3). Thc Fermi-Dirac distribution gives the probability that an orbital at energy E

will be occupied in art ideal electron gas in thermal cq~iilihrium:

The quantity p is a function of the temperature; p is to be chosen for the particular problcm in siich a way that the total number of in the system comcs out correctly-that is, equal to N . At absolute zero = E ~ , because in the limit T + 0 the functionf(e) changes discontinuously from the value 1 (filled) to the value 0 (empty) at = cF = p. At all iemperatures f j ~ ) is equal to when E = p, for then the denominator of ( 5 ) has the valuc 2.

6/kB, in units of 1@ K

Figure 3 Femi-Dirac distrihutiorr function (5) at the valious labelled temperah~res, for T, - cl /kB = 50,000 K. The results apply to a gas in three di~ne~lsions. The total number of parti- cles is constant, independent of temperature. The chemical potential p at each te~nperaturc may be read off the graph as the energy at whichj = 0.5.

T- dependence of F-D distribution function


On substituting (9) in (6) we have the energy ek of the orbital with wavevector k:

The magnitude k of the wavevector is related to the wavelength h by k = 2?rlh. The linear momentum p may be represented in quantum mechanics by

the operator p = -ifiV, whence for the orbital (9)

so that the plane wave $k is an eigenfunction of the linear momentum with the eigenvalue fik. The particle velocity in the orbital k is given by v = fiklm.

In the ground state of a system of N free electrons, the occupied orbitals may be represented as points inside a sphere in k space. The energy at the surface of the sphere is the Fermi energy; the wavevectors at the Fermi surface have a magnitude k, such that (Fig. 4):

From (10) we see that there is one allowed wavevector-that is, one dis- tinct triplet of quantum numbers k,, k,,, k,-for the volume element ( 2 7 r / ~ ) ~ of k space. Thus in the sphere of volume 4?rk23 the total number of orbitals is

where the factor 2 on the left comes from the two allowed values of the spin quantum number for each allowed value of k. Then (15) gives

which depends only on the particle concentration.

Figure 4 In the ground state of a system of N free electrons the occupied orbitals of the system fill a sphere of radius k , where EF = fL2k,22m is the energy of an electron having a wavevector k,.


kx

= 2⇡/L

51

�k

Beschreibung ist äquivalent zu der mit festen Randbedingungen → Übung

Bemerkung zur Wahl der Randbedingungen bei der

Beschreibung von Elektronen im Festkörper

positive und negative -Werte entsprechen einer Wellenausbreitung in

Vorwärts- bzw. Rückwärtsrichtung


Radial Probability density function of hydrogen atom/s

Isolated atom Two atoms Splitting of states


Formation of energy bands


Potential energy for an isolated atom (e.g., hydrogen atom)

Lecture Notes Prepared by: Dr. Amr Bayoumi, Dr. Nadia Rafat

Solid State Electronics EC210, Fall 2014 Arab Academy for Science and Technology

AAST – Cairo,

Lecture 8: Band Theory: Kronig-Penny Model and Effective Mass 5

Remember for the Hydrogen atom

rerU2

041)(


Potential energy for a multiple atoms (periodically placed)



AAST – Cairo,


Fig 5.48

The electron PE, V(x), inside the crsytal is periodic with the sameperiodicity as that of the crystal, a. Far away outside the crsytal, bychoice, V = 0 (the electron is free and PE = 0).

When N atoms arearranged to form thecrystal then there is anoverlap of individualelectron PE functions.

r

PE(r)

PE of the electron aroundan isolated atom

x

V(x)

x = Lx = 0 a 2a 3a

0

aaPE of the electron, V(x),inside the crystal isperiodic with a period a.

Surface SurfaceCrystal

From Principles of Electronic Materials and Devices, Third Edition, S.O. Kasap (© McGraw-Hill, 2005)

U


Kronig-Penney simplification of 1D potential



AAST – Cairo,


Fig 5.48

The electron PE, V(x), inside the crsytal is periodic with the sameperiodicity as that of the crystal, a. Far away outside the crsytal, bychoice, V = 0 (the electron is free and PE = 0).

When N atoms arearranged to form thecrystal then there is anoverlap of individualelectron PE functions.

r

PE(r)

PE of the electron aroundan isolated atom

x

V(x)

x = Lx = 0 a 2a 3a

0

aaPE of the electron, V(x),inside the crystal isperiodic with a period a.

Surface SurfaceCrystal




AAST – Cairo,


Kronig-Penney Model

• Approximate crystal periodic Coulomb potential by rectangular periodic potential

ΨII ΨI




AAST – Cairo,


Kronig-Penney Model

• Approximate crystal periodic Coulomb potential by rectangular periodic potential

ΨII ΨI



Bloch function �k(x) = uk(x) · eikxx

52

Konstruktion einer Blochfunktion

1D-Gitter:

aus: Hunklinger, Festkörperphysik, 1. Aufl., Oldenbourg (2007)

U, potential energy

I

p, probability density

eling wave x

Figure 3 (a) Variation of potential energy of a conduction electron in the field of the ion cores of a linear lattice. (b) Distribution of probability density p in the lattice for I$(-)I2 a sinZ m l a ; I$(+)I2 = cosZ m l a ; and for a traveling wave. The wavefunction $(+) piles up electronic charge on the cores of the positive ions, thereby lowering the potential energy in comparison with the average potential energy seen by a traveling wave. The wavefnnction $(-) piles up charge in the region between the ions, thereby raising the potential energy in comparison with that seen by a traveling wave. This figure is the key to understanding the origin of the energy gap.

Figure 3a pictures the variation of the electrostatic potential energy of a conduction electron in the field of the positive ion cores. The ion cores bear a net positive charge because the atoms are ionized in the metal, with the valence electrons taken off to form the conduction band. The potential energy of an electron in the field of a positive ion is negative, so that the force between them is attractive.

For the other standing wave $(- ) the probability density is

which concentrates electrons away from the ion cores. In Fig. 3b we show the electron concentration for the standing waves $(+), $(-), and for a traveling wave.

When we calculate the average or expectation values of the potential energy over these three charge distributions, we find that the potential energy of p ( + ) is lower than that of the traveling wave, whereas the potential energy of p ( - ) is higher than the traveling wave. We have an energy gap of width E, if


kx

= 2⇡/L

51

�k

Beschreibung ist äquivalent zu der mit festen Randbedingungen → Übung

Bemerkung zur Wahl der Randbedingungen bei der

Beschreibung von Elektronen im Festkörper

positive und negative -Werte entsprechen einer Wellenausbreitung in

Vorwärts- bzw. Rückwärtsrichtung


Psin↵a

↵a+ cos↵a = cos ka

Energy band in Kronnig Penney model

Psin↵a

↵a+ cos↵a

E t (PI&) sin Ka + cos Ka

Figure 5 Plot of the function (PIKa) sin Ka + cos Ka, for P = 3 ~ 1 2 , The allowed values of the energy e are given by those ranges of Ka = ( 2 r n ~ f f i ' ) ~ a for which the function lies between 51 . For'other values of the energy there are no traveling wave or Bloch-like solutions to the wave equation, so that forbidden gaps in the energy spectrum are formed.

Figure 6 Plot of energyvs. wavenumber for the Kronig-Penney potential, with P = 3 ~ 1 2 . Notice the energy gaps at ka = W , ZW, 377. . . .

values of k. Let U(x) denote the potential energy of an electron in a linear lattice of lattice constant a. We know that the potential energy is invariant under a crystal lattice translation: U(x) = U(x + a). A function invariant under a crystal lattice translation may be expanded as a Fourier series in the reciprocal lattice vectors G. We write the Fourier series for the potential energy as

The values of the coefficients UG for actual crystal potentials tend to decrease rapidly with increasing magnitude of G. For a bare coulomb potential U, decreases as 1/G2.

+1

-1

AllowedForbidden

↵a


E ⇥ 8mw2

h2




Reduced zone schemeExtended zone scheme


E ⇥ 8mw2

h2

Reduced zone scheme



Reduced zone scheme

Energy band in weak periodic potential

Im Dreidimensionalen wird das E (k)-Schema im Grenzfall desverschwindenden Potentials schon alleine dadurch komplizierter,dass nun in (7.16) G-Beiträge aus drei Koordinatenrichtungen auf-treten. Für ein einfaches kubisches Gitter mit verschwindendemPotential ist der E (k)-Verlauf längs kx innerhalb der ersten Brillou-in-Zone in Abb. 7.3 dargestellt.

Der Effekt eines endlichen, wenn auch sehr kleinen Potentialslässt sich jetzt unmittelbar an den Abb. 7.2 u. 7.3 diskutieren:

Beim eindimensionalen Problem der Abb. 7.2 liegt an den Gren-zen der 1. Brillouin-Zone, d.h. bei +G/2 =!/a und –G/2 =–!/a eineEntartung der Energiewerte vor, die aus dem Schnittpunkt jeweilszweier Parabeln herrührt. Die Beschreibung des Zustandes einesElektrons mit diesen k-Werten besteht zumindest in einer Superpo-sition der beiden entsprechenden ebenen Wellen. Für verschwin-dendes Potential (nullte Näherung) sind diese Wellen

eiG x!2 bzw" ei!"G!2#$G%x & e$i G x!2 " "7"17#

164 7. Elektronische Bänder in Festkörpern

Abb. 7.2. Im reziproken Raum periodisch fortgesetzte Energieparabel des freienElektrons in einer Dimension. Das Periodizitätsintervall im Realraum ist a. DieseE (k)-Abhängigkeit ergibt sich für ein periodisches Gitter mit verschwindendem Git-terpotential („leeres“ Gitter)

Abb. 7.3. Bänderschema für das freie Elektronen-gas in einem kubisch primitiven Gitter (Gitter-konstante a), dargestellt als Schnitt längs kx inner-halb der ersten Brillouin-Zone. Das periodischePotential ist als verschwindend angenommen(„leeres“ Gitter). Die verschieden dargestelltenÄste rühren von Parabeln her, deren Ursprung imreziproken Raum mittels der Miller-Indizes h k langegeben ist. (—–) 000, (– – –) 100, 100, (– · –)010, 010, 001, 001, (· · ·) 110, 101, 110, 101, 110,101, 110, 101

Abschnitt 8.1 FESTKORPERPHYSIK 281

kx

E

-!/a !/a0-2!/a 2!/a

1

2 2´33´

kx-!/a !/a0-2!/a 2!/a

E

4!/a-4!/a

(a)

(b)

3´ ĺ 32´ ĺ 2

G

E1(k) E3(k)E2(k)

Abbildung 8.4: (a) Parabolische Energiebander fur ein freies Elektron in einer Dimension. Die Gitter-periode im realen Raum ist a. (b) Reduziertes Zonenschema. Die 1. Brillouin-Zone ist grau hinterlegt.

8.1.5 Reduziertes Zonenschema

Um sich das allgemeine Konzept von elektronischen Bandern klar zu machen, ist es instruk-tiv, den Fall eines verschwindenden periodischen Potenzials, also vollig freie Elektronen zubetrachten. In diesem Fall verschwinden in (8.1.4) alle Fourier-Koeffizienten VG, wir mussenaber trotzdem die oben diskutieren Symmetrieanforderungen berucksichtigen. Die allgemeineForderung nach raumlicher Periodizitat erfordert gemaß (8.1.31), dass die moglichen Elektro-nenzustande nicht auf eine einzige Parabel im k-Raum beschrankt sind, sondern mit gleicherWahrscheinlichkeit auf Parabeln gefunden werden konnen, die um einen beliebigen reziprokenGittervektor G verschoben sind. Es gilt:

E(k) =h2k2

2m= E(k + G) =

h2

2m|k + G|2 . (8.1.34)

Fur den eindimensionalen Fall, fur den G = G = h · 2⇡a (h = ganze Zahl) gilt, ist dieser Sach-

verhalt in Abb. 8.4a dargestellt. Da E(k) periodisch im k-Raum ist, ist es ausreichend, dieseAbhangigkeit in der ersten Brillouin-Zone darzustellen. Dies konnen wir einfach dadurch er-halten, indem wir die interessierende Parabel um ein geeignetes Vielfaches von G = 2⇡

a ver-schieben. Wir gelangen auf diese Weise zum reduzierten Zonenschema, das in Abb. 8.4b gezeigtist. In Abb. 8.4b erhalten wir den Kurventeil 3, indem wir 30 um G = +2⇡/a verschieben. DenKurventeil 2 erhalten wir, indem wir 20 um G = �2⇡/a verschieben.

Es ist wichtig festzuhalten, dass bei Elektronenwellen im Festkorper kein Grund dafur besteht,den Wellenvektor auf die 1. Brillouin-Zone zu beschranken. Im Gegensatz zu den Gitterschwin-

2004


Reduced zone scheme

V ~ 0

Energy band in weak periodic potentialAbschnitt 8.1 FESTKORPERPHYSIK 281

kx

E

-!/a !/a0-2!/a 2!/a

1

2 2´33´

kx-!/a !/a0-2!/a 2!/a

E

4!/a-4!/a

(a)

(b)

3´ ĺ 32´ ĺ 2

G

E1(k) E3(k)E2(k)

Abbildung 8.4: (a) Parabolische Energiebander fur ein freies Elektron in einer Dimension. Die Gitter-periode im realen Raum ist a. (b) Reduziertes Zonenschema. Die 1. Brillouin-Zone ist grau hinterlegt.

8.1.5 Reduziertes Zonenschema

Um sich das allgemeine Konzept von elektronischen Bandern klar zu machen, ist es instruk-tiv, den Fall eines verschwindenden periodischen Potenzials, also vollig freie Elektronen zubetrachten. In diesem Fall verschwinden in (8.1.4) alle Fourier-Koeffizienten VG, wir mussenaber trotzdem die oben diskutieren Symmetrieanforderungen berucksichtigen. Die allgemeineForderung nach raumlicher Periodizitat erfordert gemaß (8.1.31), dass die moglichen Elektro-nenzustande nicht auf eine einzige Parabel im k-Raum beschrankt sind, sondern mit gleicherWahrscheinlichkeit auf Parabeln gefunden werden konnen, die um einen beliebigen reziprokenGittervektor G verschoben sind. Es gilt:

E(k) =h2k2

2m= E(k + G) =

h2

2m|k + G|2 . (8.1.34)

Fur den eindimensionalen Fall, fur den G = G = h · 2⇡a (h = ganze Zahl) gilt, ist dieser Sach-

verhalt in Abb. 8.4a dargestellt. Da E(k) periodisch im k-Raum ist, ist es ausreichend, dieseAbhangigkeit in der ersten Brillouin-Zone darzustellen. Dies konnen wir einfach dadurch er-halten, indem wir die interessierende Parabel um ein geeignetes Vielfaches von G = 2⇡

a ver-schieben. Wir gelangen auf diese Weise zum reduzierten Zonenschema, das in Abb. 8.4b gezeigtist. In Abb. 8.4b erhalten wir den Kurventeil 3, indem wir 30 um G = +2⇡/a verschieben. DenKurventeil 2 erhalten wir, indem wir 20 um G = �2⇡/a verschieben.

Es ist wichtig festzuhalten, dass bei Elektronenwellen im Festkorper kein Grund dafur besteht,den Wellenvektor auf die 1. Brillouin-Zone zu beschranken. Im Gegensatz zu den Gitterschwin-

2004

286 R. GROSS UND A. MARX Kapitel 8: Energiebander

kx

E

-!/a !/a0 kx

E

-!/a !/a0

(a) (b)

1. Band

2. Band

Bandlücke

freie Elektronen

Band-Elektronen

Abbildung 8.8: Zur Entstehung der Energielucke am Zonenrand durch stehende Elektronenwellen. (a)ausgedehntes Zonenschema, (b) reduziertes Zonenschema Die E(k)-Beziehung fur freie Elektronen istgestrichelt eingezeichnet.

Wir konnen die zugrundeliegende Physik wie folgt zusammenfassen: Bragg-Reflexion vonElektronenwellen am Zonenrand fuhrt zur Ausbildung von stehenden Wellen. Die beidenmoglichen Losungen haben unterschiedliche Energie, je nachdem ob die Elektronendichte ander Position der positiven Atomrumpfe oder dazwischen maximal ist. Nach dieser qualitati-ven Diskussion wollen wir im nachsten Abschnitt die Energieaufspaltung nahe am Zonenrandquantitativ berechnen.

8.2.2 Quantitative Diskussion

Fur unsere Rechnung beginnen wir mit der Schrodinger-Gleichung im k-Raum (8.1.10). In(8.1.10) kann ein Wellenvektor k0 beliebige durch die Randbedingungen erlaubte Werte an-nehmen. Wir konnen aber immer einen reziproken Gittervektor G finden, so dass k = k0 + Gin der 1. Brillouin-Zone liegt. Mit dieser Translation um den reziproken Gittervektor G ergibtsich aus (8.1.10)

E� h2

2m|k�G|2

!Ck�G = Â

G0VG0Ck�G0�G = Â

G00VG00�GCk�G00 , (8.2.10)

wobei wir die Umbenennung G00 = G0 + G vorgenommen haben. Falls das Gitterpotenzialverschwindet, erhalten wir daraus

E� h2

2m|k�G|2

!Ck�G = 0 . (8.2.11)

Das heißt, es muss entweder die Klammer Null sein, was nur fur ein G moglich ist, oder esmussten alle Ck�G = 0 sein. Aus (8.1.14) erhalten wir dann k�G(r) = Ck�Geı(k�G)·r, also wieerwartet eine ebene Welle.

c� Walther-Meißner-Institut

Freeelectrons

Bandelectrons

Band gap

Reduced zone scheme

V ~ finite


Reduced zone scheme

Energy band in weak periodic potential

286 R. GROSS UND A. MARX Kapitel 8: Energiebander

kx

E

-!/a !/a0 kx

E

-!/a !/a0

(a) (b)

1. Band

2. Band

Bandlücke

freie Elektronen

Band-Elektronen

Abbildung 8.8: Zur Entstehung der Energielucke am Zonenrand durch stehende Elektronenwellen. (a)ausgedehntes Zonenschema, (b) reduziertes Zonenschema Die E(k)-Beziehung fur freie Elektronen istgestrichelt eingezeichnet.

Wir konnen die zugrundeliegende Physik wie folgt zusammenfassen: Bragg-Reflexion vonElektronenwellen am Zonenrand fuhrt zur Ausbildung von stehenden Wellen. Die beidenmoglichen Losungen haben unterschiedliche Energie, je nachdem ob die Elektronendichte ander Position der positiven Atomrumpfe oder dazwischen maximal ist. Nach dieser qualitati-ven Diskussion wollen wir im nachsten Abschnitt die Energieaufspaltung nahe am Zonenrandquantitativ berechnen.

8.2.2 Quantitative Diskussion

Fur unsere Rechnung beginnen wir mit der Schrodinger-Gleichung im k-Raum (8.1.10). In(8.1.10) kann ein Wellenvektor k0 beliebige durch die Randbedingungen erlaubte Werte an-nehmen. Wir konnen aber immer einen reziproken Gittervektor G finden, so dass k = k0 + Gin der 1. Brillouin-Zone liegt. Mit dieser Translation um den reziproken Gittervektor G ergibtsich aus (8.1.10)

E� h2

2m|k�G|2

!Ck�G = Â

G0VG0Ck�G0�G = Â

G00VG00�GCk�G00 , (8.2.10)

wobei wir die Umbenennung G00 = G0 + G vorgenommen haben. Falls das Gitterpotenzialverschwindet, erhalten wir daraus

E� h2

2m|k�G|2

!Ck�G = 0 . (8.2.11)

Das heißt, es muss entweder die Klammer Null sein, was nur fur ein G moglich ist, oder esmussten alle Ck�G = 0 sein. Aus (8.1.14) erhalten wir dann k�G(r) = Ck�Geı(k�G)·r, also wieerwartet eine ebene Welle.

c� Walther-Meißner-Institut

Freeelectrons

Bandelectrons

Band gap

Bandstructure – HT10 – RJ Nicholas 7

Repeated Zone Scheme

Number of states per Zone (Band)

Use periodic boundary conditions for electrons:

! (x) = ! (x + L), with ! (x) = eikx uk (x)

but as uk (x) is periodic with lattice constant a, and L = Nxa

eikNa = 1 and so: "k = 2#/Nxa

Number of states in one Brillouin Zone is:

$ 2 for spin statesNN

ka

x 222

2 3

3

==¸¸

¹

·

¨¨

©

§$

"

#


Band structure of Cu

beschrieben werden kann. Die Aufspaltung an den Brillouin-Zonen-kanten ist vergleichsweise gering, und die Komplexität der Band-struktur ist im wesentlichen auf die Reduktion der Energieparabelnauf die 1. Brillouin-Zone zurückzuführen. Dies ist ein Charakteristi-kum der einfachen Metalle. Man findet solche Ähnlichkeiten zumfreien Elektronengas vor allem auch bei den Alkalimetallen Li,Na, K.

Die Auffüllung der Bandstruktur mit den zur Verfügung stehen-den Elektronen geschieht bis zu der in Abb. 7.11 eingezeichnetenFermi-Energie EF. Es ist zu erkennen, dass die Fläche konstanterEnergie, bis zu der die Bänder aufgefüllt sind, die sog. Fermi-Flä-che E (k)=EF, mehrere Bänder schneidet. Schon beim Al ist alsodiese Fermi-Fläche keine einfach zusammenhängende Fläche:Während bei den einwertigen Alkalimetallen die näherungsweisekugelförmigen Fermi-Flächen voll in die 1. Brillouin-Zone hinein-passen, durchsetzt die „Fermi-Kugel“ bei Al gerade die Berandung

7.4 Beispiele von Bandstrukturen 175

Abb. 7.12. Bandstruktur E (k) längs Richtungen hoher Kristallsymmetrie für Kupfer(rechts). Die experimentellen Daten stammen von verschiedenen Autoren und wur-den von Courths und Hüfner [7.4] zusammengestellt. Die ausgezogenen Linien desE (k)-Verlaufes und die Zustandsdichte (links) wurden von Eckhardt et al. [7.5] be-rechnet. Bemerkenswert ist die gute Übereinstimmung sowohl der experimentellenDaten untereinander als auch die Übereinstimmung mit der Theorie

Text

Wave vector


Velocity and effective mass of Bloch electrons


Metal and insulator: band structure

Valence band

conduction band

Valence band

conduction band

Valence band

Valence band

Me

tal

Valence band

Insu

lato

r

⇡

a0


Electrical conductivity

63

5 Semiconductor Crystals

temperature

ele

ctrica

l resi

stiv

ity

semiconductor

metal

superconductor

(insulator for T → 0)

• materials with Eg ~ 1eV

• characteristic resistivity behavior

• direct/indirect bandgap

→ otpical absorption

VEX4B (Festkörper) J. Müller - 10. Vorlesung, 13.06.2012

Temperature


Wigner Seitz cell for 2D lattices


Wigner Seitz cell for 3D (BCC) lattices


Resistivity of materials

binding energy greatly exceeds that of shallow, hydrogenic defects.The energy level lies “deep” within the forbidden energy band gap.Despite the availability of highly sophisticated computational tools,deep defects still represent one of the most difficult family of prob-lems of current semiconductor theory. Many atoms around the dis-torting defect must be considered when a first-principles calculation isattempted; the defect extends over many lattice constants. The carriersinteract strongly with the lattice. The effects of deep defects are todrastically reduce minority carrier lifetimes and to act as traps forcharge carriers. Some deep defects can be used to pin the Fermi levelnear the middle of the energy gap and thus lead to highly resistivematerials. The EL2 defect is widely used for growing semi-insulatingGaAs crystals.

Doping to Control Electrical ConductivityDoping a semiconductor with foreign atoms (impurities or dopants)can alter the electrical conductivity by many orders of magnitude. Aphosphorus atom with five valence electrons is a donor of an electronto the conduction band when it is used to replace a silicon host atomthat has four valence electrons; thus, the conduction by electrons isenhanced. An atom from group III of the periodic table, on the otherhand, accepts an electron to complete its Lewis octet in the siliconlattice and thus introduces conduction by holes, each displaying apositive charge. Many, but not all, semiconductors can therefore bedoped for n-type or electron conduction as well as for p-type or holeconduction. The range of doping for Si, our technologically mostimportant semiconductor, is shown in Fig. 1. The name semiconductoris justified by this vast variation, ranging from metallic conduction toessentially insulation behavior.

The elemental semiconductors Si and Ge are easily doped for bothconductivity types. These elements are thus beautifully suitable for thefabrication of bipolar devices with both n- and p-type regions, such astransistors, solar cells, or junction diodes. The essential physicalphenomena occur at the interfaces between the n-type and p-typeportions of the material. These p-n junctions are strongly nonlinear incurrent transport. The result is a rectifier with a large current flowingwhen a positive voltage is applied to the p-type portion and very littlecurrent crossing the junction for the opposite polarity. The firstjunction transistors made 50 years ago demonstrated superiority overinitial devices with metallic contact needles (6).

The ability to precisely control the concentration of donors andacceptors inside a single crystal is essential for the integration ofelectronic functions on a semiconductor wafer. The fabrication of amodern integrated circuit (for example, a processor chip) assembles

more than 100 million device functions on one chip, an approachcompletely different from the preceding vacuum tube technologywhere devices were built out of individual components. The technicaland commercial success to continually miniaturize microelectroniccircuits depends on this principle of integration and defined doping.Many doping methods are used: for example, donors and acceptorscan be diffused from the surface inward at elevated temperatures. Inanother method bombardment of the lattice with specific energeticions from an accelerator (ion implantation) circumvents the highdiffusion temperatures and long times and can achieve intricatedoping profiles. Thermal annealing of the radiation damage is a muchmore benign process than diffusion at high temperatures.

Optoelectronic devices, such as light-emitting diodes or p-n junc-tion lasers, consist of compound semiconductors, such as galliumarsenide, gallium phosphide, indium phosphide, and numerous ternary(such as AlxGa1!xAs and InxGa1!xAs) and quaternary (such asInxGa1!xAsyP1!y) alloys. Their electronic band structure favors directand efficient coupling of the crystal’s electrons and holes to electro-magnetic radiation. These compounds often resist bipolar doping. Forexample, gallium nitride (GaN) is well suited with its large forbiddenenergy gap for the emission of blue light when a bias is applied in theconduction direction to a p-n GaN junction diode. Donor or n-typedoping is easily achieved, but the opposite—efficient p-type dop-ing—cannot be easily attained. There are two reasons for this: first,the shallowest acceptors are Mg impurities on Ga sites with energylevels higher than 160 meV above the valence band top. Only about1% of these strongly bound holes reside in the valence band at roomtemperature. Second, the maximum Mg concentration that can beintroduced in GaN is between 1018 to 1019 cm!3. Together, these twoproperties result in relatively small free-hole concentrations. Muchcurrent research effort is therefore directed at an understanding ofthese asymmetries of doping and at searching for useful impuritiesand intelligent ways of introducing these impurities without damagingthe lattice. A review in this issue by S. Nakamura (7), one of thepioneers of the group III nitrides, is devoted to the exciting develop-ments in the nitride semiconductors. One result of recent theoreticalcalculations (8) for the nitrogen vacancy, a native defect for a whilethought to be the source of unintentional n-type doping, is shown inFig. 2. These theoretical results, however, conclusively showed thatnitrogen vacancies require energies that are too high for normalgrowth and processing conditions to form, making them unlikelycandidates for the donors found in As-grown nitride semiconductors.

Doping to Control Carrier LifetimesWhen electrons cross the boundary from n-type to p-type or holesfrom p-type to n-type material, they change from being majority tominority carriers. The transistor inventors made the important, seren-

Fig. 1. Range of electri-cal resistivities of pureand donor-doped sil-icon single crystalsshown in compari-son with metals andinsulators.

Fig. 2. Atomic geome-try and charge den-sity contour surfaceof a nitrogen vacancyin GaN. Gallium at-oms are green, nitro-gen is blue, and the de-fect wave function isshown in pink. Thestrong interaction ofthe Ga dangling bondspushes the donor levelup into the conductionband; reprinted withpermission from (8).

S P E C I A L S E C T I O N C O N T R O L A N D U S E O F D E F E C T S I N M A T E R I A L S

14 AUGUST 1998 VOL 281 SCIENCE www.sciencemag.org946

on August 23, 2017

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H. Queisser et al., Science, 1998


Energy bands in metal, semiconductor and insulators

14. Halbleiter

Halbleiter sind Materialien, deren elektrische Leitfä-higkeit bei tiefen Temperaturen sehr gering ist, abermit zunehmender Temperatur stark ansteigt. Es gibtsogenannte Elementhalbleiter, die aus chemischen Ele-menten aus der Mitte des Periodensystems bestehen(Abb. 14.1), oder Verbindungshalbleiter wie GaAs,InSb, AlP, CdS. Für technische Anwendungen spie-len dotierte Halbleiter eine besonders große Rolle, beidenen gezielt Fremdatome in das Kristallgitter einesHalbleiters eingebaut werden.

14.1 Reine Elementhalbleiter

Allen Elementhalbleitern ist gemeinsam, daß sie, wieelektrische Isolatoren, bei der Temperatur T = 0 einvoll besetztes Valenzband und ein leeres Leitungsbandaufweisen und deshalb Nichtleiter sind. Die Bandlückezwischen Valenz- und Leitungsband ist jedoch klei-ner als bei Isolatoren (Abb. 14.2 und Tabelle 14.1). BeiHalbleitern aus Elementen der vierten Spalte hat jedesAtom bei kovalenter Bindung vier nächste Nachbarn(Diamantstruktur) und liefert je ein Valenzelektronen-paar pro Bindung (Abb. 14.3), lokalisiert zwischen denNachbaratomen.

III IV V VI VII

5B 6C 7N 8O 9F

13Al 14Si 15P 16S 17Cl

31Ga 32Ge 33As 34Se 35Br

49In 50Sn 51Sb 52Te 53I

Abb. 14.1. Elemente im Periodensystem, die Halbleiter sind

Abb. 14.2. Vergleich zwischen den Bandschemata vonLeitern, Halbleitern und Isolatoren

Tabelle 14.1. Bandlücke Eg bei T = 300 K für Stoffe aus dervierten Hauptgruppe

Stoff Eg!

eV

Diamant 5,60Si 1,11Ge 0,66

4+

4+

4+

4+

4+

4+

4+

4+

4+

2e! 2e!

2e!2e!

2e!

2e!

Abb. 14.3. Kovalente Bindung bei vierwertigen Halbleitern

metalsemiconductor Insulator

Fermi energy

Valence bands

EC

EC

EC

EC

Energy

T=0



14. Halbleiter




III IV V VI VII

5B 6C 7N 8O 9F

13Al 14Si 15P 16S 17Cl


49In 50Sn 51Sb 52Te 53I




Stoff Eg!

eV


4+

4+

4+

4+

4+

4+

4+

4+

4+

2e! 2e!

2e!2e!

2e!

2e!



Fermi energy

Valence bands

EC

EC

EC

EC

Energy



14. Halbleiter




III IV V VI VII

5B 6C 7N 8O 9F

13Al 14Si 15P 16S 17Cl


49In 50Sn 51Sb 52Te 53I




Stoff Eg!

eV


4+

4+

4+

4+

4+

4+

4+

4+

4+

2e! 2e!

2e!2e!

2e!

2e!



Fermi energy

EC

EC

EC

EC

Energy

Valence bands


Electrical conductivity

63

5 Semiconductor Crystals

temperature

ele

ctrica

l resi

stiv

ity

semiconductor

metal

superconductor

(insulator for T → 0)

• materials with Eg ~ 1eV

• characteristic resistivity behavior

• direct/indirect bandgap

→ otpical absorption

VEX4B (Festkörper) J. Müller - 10. Vorlesung, 13.06.2012

Temperature


Semiconducting materials

14. Halbleiter




III IV V VI VII

5B 6C 7N 8O 9F

13Al 14Si 15P 16S 17Cl


49In 50Sn 51Sb 52Te 53I




Stoff Eg!

eV


4+

4+

4+

4+

4+

4+

4+

4+

4+

2e! 2e!

2e!2e!

2e!

2e!


Material Band gap (eV)

Diamond

GaAs

InSb

GaNInP

CdS

1.43

0.18

3.4

1.352.42

14. Halbleiter




III IV V VI VII

5B 6C 7N 8O 9F

13Al 14Si 15P 16S 17Cl


49In 50Sn 51Sb 52Te 53I




Stoff Eg!

eV


4+

4+

4+

4+

4+

4+

4+

4+

4+

2e! 2e!

2e!2e!

2e!

2e!




14. Halbleiter




III IV V VI VII

5B 6C 7N 8O 9F

13Al 14Si 15P 16S 17Cl


49In 50Sn 51Sb 52Te 53I




Stoff Eg!

eV


4+

4+

4+

4+

4+

4+

4+

4+

4+

2e! 2e!

2e!2e!

2e!

2e!

Abb. 14.3. Kovalente Bindung bei vierwertigen HalbleiternTuesday, March 6, 18

Energy bands for Si, Ge

toren gegeben (!, d. h. k=(0,0,0), im Valenzband und k auf [111]bei Ge bzw. k auf [100] bei Si im Leitungsband). Leitungselektro-nen im Leitungsband, die sich auf den energetisch niedrigsten Zu-ständen befinden, haben also bei Si k-Vektoren auf den [100]-Rich-tungen und bei Ge solche auf den [111]-Richtungen. Diese Berei-che des k-Raumes, in denen sich also Leitungselektronen bei Siund Ge befinden, sind in Abb. XV.2 dargestellt.

Die Flächen konstanter Energie in diesem Bereich sind Ellip-soide um die [111] bzw. [100]-Richtung, falls man E (k) nur bis

12.1 Daten einiger wichtiger Halbleiter 405

Abb. 12.2. Die Bandstrukturen von Sili-zium und Germanium. Für Ge ist auchdie Spin-Bahnaufspaltung berücksich-tigt. (Nach Chelikowsky u. Cohen[12.1]). Beide Halbleiter sind sog. indi-rekte Halbleiter, d. h., das Maximum desValenzbandes und das Minimum desLeitungsbandes liegen an verschiedenenStellen der Brillouin-Zone. Das Mini-mum des Leitungsbandes liegt bei Sili-zium auf der !X=[100]-Richtung undbei Germanium auf der !L=[111]-Richtung. Man beachte die Ähnlichkeitder Bandverläufe für Ge mit denen ausAbb. 7.13, die aus andersartigen Rech-nungen stammen









Ener

gy

Ener

gyWave vector Wave vector















Ener

gy

Ener

gyWave vector Wave vector

[000][111][000] [100]


Energy bands for GaAs

!"#" $%&'() $&''*)' +),-*./ *, 0,.'*,-*1 2)3*14,561.4'-

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& Q- #H+FI H+FI H+FI

G6!: <24= <2CP N2NR N2NS N24 N2<4 N2PCG61. N2S< N2R N2NCR N2N4 N2P N2<C N2SD'1. N2=C N2<S N2N<4 N2N= N2C N2<< N2SD'!: N2CP N2P4 N2N=T N2N=4 N2C N2<C N2CD'U <2C= <2P4 N2NRP N2<= N2T N2<= N2<<



zur parabolischen Näherung, d.h. bis zu quadratischen Gliedern ink betrachtet. In der Hauptachsendarstellung (große Hauptachsensind [100] bei Si und [111] bei Ge) sind die Energieflächen derLeitungselektronen also

E!!" # !h2 k2x $ k2

y

2mt% $

k2z

2ml%

! "# const ! !12!1"

Hierbei heißen m t% und m l

% die „transversale“ bzw. „longitudinale“effektive Masse. Der Nullpunkt der Energieskala ist in das Mini-mum des Leitungsbandes gelegt worden.

Bezogen auf die Elementarmasse m des Elektrons folgen ausMessungen der Zyklotronresonanz die Werte in Tabelle 12.2.

Ein detailliertes Studium (s. Tafel XV „Zyklotronresonanz“) derEigenschaften von Löchern in Si und Ge zeigt, dass die Strukturdes Valenzbandmaximums in der Nähe von ! (k=0) komplizierterist, als aus Abb. 12.2 zu ersehen ist: Neben den auch in Abb. 12.2zu erkennenden zwei Valenzbändern mit verschieden starker Krüm-mung bei ! existiert ein weiteres Valenzband, das von den beidenanderen nur um einen kleinen Betrag "= 0,29 eV bei Ge bzw."=0,044 eV bei Si abgespalten ist. Diese Aufspaltung zweier Bän-der rührt her von der Spin-Bahn-Wechselwirkung, die in den Rech-nungen für Si in Abb. 12.2a nicht berücksichtigt ist. Es ergibt sichalso für Si und Ge in der Nähe von ! der in Abb. 12.3 qualitativdargestellte Verlauf der Valenzbänder. In „parabolischer“ Näherung

406 12. Halbleiter

Tabelle 12.2. Verhältnisse der transversalen!!!%" und longitudinalen !!"

%" effektiven Massezur Masse m des freien Elektrons für Siliziumund Germanium

!!%"! !"

%"!

Si 0,19 0,92Ge 0,082 1,57

Abb. 12.3. Bandstruktur von Siliziumbzw. Germanium in der Nähe der Ober-kante des Valenzbandes unter Berück-sichtigung der Spin-Bahnaufspaltung "(qualitativ)

Light holes

Heavy holes


Intrinsic carrier concentration - T dependence4. i Charge Carriers n Sem~conductors

Figure 4.2 I The intrinsic carrier concentration of Ce, Si, and GaAs as a function of temperature. (From S x //3/.1

TEST YOUR UNDERSTANDING I E4.3 Find the intrinsic carrier concentration in silicon at (0) T = 200 K and (b) 7 = 400 K.

IE-m3 ,,0l x 8E.Z (9) ' S - ~ J * O I x 891 ("1 '"Vl E4.4 Repeat E4.3 for GaAs. [1-"2 601 X 8Z.E (4 ) 'c.lU3 8E-I (0) 'SUV]

E4.5 Repeat E4.3 for Ge. [%-ma *,01 X 9'8 (4) ' r - ~ 3 ,,,O[ X 91.Z (0) 'SUV]

4.1.4 The Intrinsic Fermi-Level Position

We have qualitatively argued that the Fermi energy level is located near the center of the forbidden bandgap for the intrinsic semiconductor. We can specifically calculate


Doping for Si

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

<3 '(&!")&' &8' '6*!&)&!3- )-, !3-!I)&!3- '-'%?0 35 &8' '6&%) #83(9#83%$( '+'*&%3- BC!?1 D=1E)F. 3-' *)- )##%36!")&' &8' (*%''-!-? 'K'*& 35 &8'($%%3$-,!-? 4! :0 !-('%&!-? &8' ,!'+'*&%!* *3-(&)-& 35 4! B!4!LDD1MF !-&3 &8''6#%'((!3- 53% &8' '-'%?0 +'/'+( 35 &8' 80,%3?'- )&3"1 <8' '-'%?0 +'/'+( 53%&8' N0,:'%? ('%!'( 35 &8' 80,%3?'- )&3" )%'

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D=1> R3#!-? 35 4'"!*3-,$*&3%( P=S

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Energy bands and carrier concentration in Semi Cond.

456 14. Halbleiter

14.1.1 Elektronen und Löcher

Da der Bandabstand Eg bei Halbleitern relativ klein ist,kann bei Temperaturen T > 0 der energiereiche Aus-läufer der Fermi-Verteilung bis ins Leitungsband hin-einreichen (Abb. 14.4), so daß die Konzentration n derfreien Leitungselektronen und damit auch die elektri-sche Leitfähigkeit mit T ansteigt.

Jedes Elektron, das ins Leitungsband gelangt, läßtim Valenzband eine freie Stelle (Loch) zurück, die alsfehlende negative Ladung wie ein positiver Ladungs-träger erscheint.

Die Elektronendichte n(E) im Leitungsband istdann im Volumen V nach (13.27a) das Produkt

n(E) = 2 · D(E) · f(E) (14.1)

aus Zustandsdichte D(E), Fermi-Verteilung f(E) undZahl der möglichen Spinorientierungen. Die Energiefreier Elektronen im Leitungsband ist

E = EL + !2k2

2me, (14.2)

wobei EL die Energie an der Unterkante des Leitungs-bandes ist. Der Bandabstand Eg (band-gap) ist dannEg = EL ! EV. Oft wird als Energienullpunkt EV = 0gewählt (Abb. 14.4). Die Zustandsdichte im Leitungs-band ist dann im Volumen V nach (13.14) gegebendurch

D(E) = V4!2

!2me

!2

"3/2

(E ! EL)1/2 . (14.3)

Abb. 14.4. Zur Erklärung der temperaturunabhängigenLeitfähigkeit von Elementhalbleitern

Wir werden in Abschn. 14.1.2 sehen, daß man dieseRelation auch für die nicht mehr völlig freien Elek-tronen im periodischen Kristallpotential übernehmenkann, wenn die Elektronenmasse me durch eine effek-tive Masse m"

e ersetzt wird. Sie berücksichtigt indirektdie Wirkung des Kristallpotentials auf die Bewegungund die kinetische Energie der Elektronen.

Da der Bandabstand Eg im allgemeinen groß ge-gen kBT ist, folgt (E ! EF) # kBT , und wir könnendie Fermi-Verteilung f(E) (13.25) im Leitungsbanddurch f(E) $ e(EF!E)/(kBT ) annähern. Damit ergibt sichfür genügend tiefe Temperaturen die Gesamtzahl derElektronen pro Volumeneinheit im Leitungsband zu

ne = 2V

·%#

EL

D(E) · f(E) dE

= 2V

!m"

e

2!!2· kBT

"3/2

e!(EL!EF)/kBT

= nc · e!(EL!EF)/kBT , (14.4)

wobei

nc $ 0,38!

m"e · kBT!2

"3/2

(14.5)

die bereits in (13.30) eingeführte kritische Elektronen-dichte ist, bei der die mittlere Energie E = 3EF/5 gleichder thermischen Energie 3kBT/2 ist.

Man sieht aus (14.4), daß für EL ! EF # kBT dieDichte n(E) im Leitungsband klein gegen die kritischeDichte ist. Der hier betrachtete Fall n & n0 wird auch alsnicht entartet bezeichnet, weil die Elektronendichte nim Leitungsband klein ist gegen die maximal möglicheDichte N $ n0/2 besetzbarer Zustände.

Die Integration in (14.4), die sich eigentlich nurbis zur Oberkante des Leitungsbands erstrecken sollte,wird hier bis % durchgeführt, weil der Fehler wegender für E # EF stark abgefallenen Fermifunktion f(E)vernachlässigt werden kann. Das Leitungsband wirdaußerdem bei der Berechnung der Zustandsdichte D(E)als parabolisch angesehen, obwohl dies nach Abb. 13.13nicht überall der Fall ist.

Für die Dichte p(E) der Löcher im Valenzbanderhält man analog zu (14.4) für EF # kBT

p(E) = p0 · e!(EF!EV)/kBT (14.6)

mit

p0 = 2 ·!m"

p · kBT

2!!2

"3/2

. (14.7)

Conduction band

Valence band

Fermi energy


Doping in semiconductor

14.2. Dotierte Halbleiter 461

Eg

EE

f E( )0

EF

Elektronen

LöcherD E( ) N Ep( )

f E( )1

EF

Abb. 14.11. Zustandsdichten und Besetzungszahlen vonLöchern im Valenzband und von Elektronen im Leitungsband

Die Zustandsdichten von Elektronen bzw. Löchernin den Standardbändern sind nach (13.14)

De(E) = V4!2

!2m!

e

!2

"3/2

(E " EL)1/2 , (14.24a)

Dp(E) = V4!2

!2m!p

!2

"3/2

(EV " E)1/2 . (14.24b)

Man sieht daraus, daß die Besetzungsdichten

n(E) = 2De(E) f(E) , (14.25a)

p(E) = 2Dp(E)#1" f(E)

$(14.25b)

an den Rändern von Leitungsband bzw. Valenzbandgegen Null geht (Abb. 14.11).

14.2 Dotierte Halbleiter

Man kann in einen reinen Halbleiter Fremdatome ein-bauen. Technisch läßt sich dies realisieren, indem manden Kristall bei höherer Temperatur in einen heißenDampf der gewünschten Fremdatome bringt, die sichdann durch Diffusion im Kristall verteilen. Eine an-dere Methode verwendet die Ionen-Implantation, beider die Fremdatome als Ionen hoher Energie (einige100 eV–keV) in den Kristall eingeschossen werden.

Die Fremdatome können dann entweder auf Zwi-schengitterplätzen eingebaut werden oder auf regulärenGitterplätzen, wenn sie das vorher dort sitzendeKristallatom verdrängt haben. Diese Fremdatome wir-

ken als Störstellen im Kristall (siehe Abschn. 11.5).Man nennt einen solchen Kristall daher auch störstel-lendotiert.

Die relative Fremdatomkonzentration ist bei sol-chen Dotierungen im allgemeinen sehr klein(10"8"10"4). Trotzdem kann sie die elektri-schen Eigenschaften des Halbleiters drastischverändern, wie im folgenden gezeigt wird.

14.2.1 Donatoren und n-Halbleiter

Werden in einen Kristall aus vierwertigen Atomen(z. B. Silizium oder Germanium) fünfwertige Fremd-atome (z. B. Arsen) auf Gitterplätzen eingebaut, sokönnen vier Valenzelektronen zum Aufbau der vier ko-valenten Bindungen zu den regulären Nachbaratomenverwendet werden. Sie sind damit auf das Raumgebietzwischen Fremdatom und den nächsten Nachbarato-men lokalisiert (Abb. 14.12). Das fünfte Valenzelektrondes Fremdatoms erfährt hingegen im wesentlichen nurnoch die schwächere Coulombanziehung durch denIonenrumpf seines Atoms, die noch durch die Wechsel-wirkung mit den Umgebungs-Kristallatomen teilweisekompensiert wird. Die Elektronenhüllen dieser Atomekönnen nämlich durch das Elektron polarisiert werden,so daß eine anziehende Kraft in alle Richtungen re-sultiert, die entgegengesetzt und nur wenig kleiner istals die Anziehung durch das Fremdatom. Die Netto-

4+ 4+ 4+

4+ 5+ 4+

4+

4+

4+

4+

e!

Ase!

e! e!e!

e!e!e!

e!

e!

e!

e!e!

e!

e! e!e!

e!

e!

e!e!

e!

e!

!e!

Abb. 14.12. Vierwertiger Halbleiterkristall, dotiert mit fünf-wertigen Fremdatomen


Impurity Si GeP 45 12As 50 13B 45 11Al 60 10

Ionization energy (mV)

Impurity GaAsSe 6Te 5.8Si* 5.8Ge 6.1Be 28Si 34.5Ge* 40.4

Donors

Acceptors


Extrinsic semiconductor24 CHAPTER 1. PHYSICS AND PROPERTIES OF SEMICONDUCTORS--A REVIEW

Fig. 11 Schematic band diagram, density of states, Fermi-Dirac distribution, and carrier concentrations for (a) intrinsic, (b) n-type, and (c) p-type semiconductors at thermal equilibrium. Note that pn = n? for all three cases.

EC-EF - N D Ncexp(- 7) - 1 +2exp[(EF-ED)lkT]

Thus for a set of given N,, ED, N,, and T, the Fermi level EF can be uniquely deter- mined implicitly. Knowing Ep the carrier concentrations n can be calculated. Equation 38 can also be solved graphically. In Fig. 12, the values of n and NA are plotted as a function of Ep Where the two curves meet determines the position of Ep


Temperature dependence of carrier concentration

464 14. Halbleiter

Für n < ni ! p > ni ist es umgekehrt. Die De-fektelektronen (Löcher) tragen den Hauptteil derLeitfähigkeit. Sie sind jetzt Majoritätsträger und dieElektronen die Minoritätsträger. Der Halbleiter heißtp-leitend.

14.2.4 Störstellen-Leitung

Die Leitfähigkeit !el wird nach (14.19) durch die tempe-raturabhängige Ladungsträgerdichte n im Leitungsbandbzw. p im Valenzband bestimmt. Die Dichte n derdurch die Donatoren gelieferten Leitungselektronenhängt gemäß (14.29) ab von der Konzentration ND derDonatoren und dem Energieabstand "ED = EL " EDdes Donatorniveaus vom Leitungsband.

Bei genügend tiefer Temperatur T ist nur ein klei-ner Bruchteil aller Donatoratome ionisiert. Wir könnenND als praktisch konstant ansehen, so daß gemäß(14.29) die Dichte der Leitungselektronen und damitdie Leitfähigkeit exponentiell mit der Temperatur an-steigt (Donator-Reserve). Bei höheren Temperaturenwird ein merklicher Bruchteil aller Donatoratome io-nisiert. Es tritt eine Donatorenerschöpfung auf, und dieLeitfähigkeit steigt wesentlich schwächer an, bis beinoch höheren Temperaturen die Elektronen aus demValenzband angeregt werden können, so daß dann dieEigenleitung stärker wird und damit !el wieder stärkeransteigt (Abb. 14.15).

Für genügend tiefe Temperaturen T , bei denenEF/kBT # ED/kBT und damit n $ ND gilt, ergibt sichnach (14.29) für die Dichte der von den Donatorengelieferten Leitungselektronen

n = 12

ND · e"(EF"ED)/kBT . (14.32)

Andererseits ist nach (14.4)

n = n0 · e"(EL"EF)/kBT . (14.33)

Aus den Gleichungen (14.32, 33) folgt für die Fermi-Energie

EF(T ) = 12

(ED + EL)+ 12

kBT · ln(ND/2n0) .

(14.34)

Für T = 0 liegt die Fermi-Energie genau in derMitte zwischen den Donatorniveaus ED und der Un-terkante EL des Leitungsbandes. Mit zunehmenderTemperatur nimmt die Fermi-Energie bei schwacherDonatorkonzentration (ND < 2n0(T )) ab.

n Ne D=

Störstellen-erschöpfung

Eigen-leitung

Störstellen-reserven < Ne D

1 / T

ln ne

a)

100

1 / T

! "el / m# #1 1

0,02 0,04 0,06 0,08 0,1

10#1

101

102

103

b)

ND $ 10 m21 3/ND $ 10 m19 3/

Abb. 14.15a,b. Temperaturabhängigkeit der elektrischenLeitfähigkeit eines dotierten Halbleiters

Wird die Temperatur so hoch, daß Sättigung der Io-nisation der Donatoren eintritt, muß die Fermi-Energieunter die Donatorenenergie sinken, damit fast alleDonatoren ionisiert werden. Bei vollständiger Ioni-sierung (n % ND) erhält man analog zu (14.34) dieFermi-Energie

EF(T ) = EL " kBT · ln(n0/ND) .

Bei p-dotierten Halbleitern liegt die Fermigrenze beiT = 0 genau in der Mitte zwischen Valenzband undAkzeptorniveaus

EF(T = 0) = 12

(EV + EA) , (14.35)

während sie bei höheren Temperaturen ansteigt.

14.2.5 Der p-n-Übergang

Bringt man einen n-dotierten und einen p-dotiertenHalbleiter in Kontakt miteinander (Abb. 14.16), so be-steht in der Übergangszonen ein steiler Gradient derKonzentrationen n von beweglichen Leitungselektro-nen und p von beweglichen Löchern im Valenzband.Diese Konzentrationsgradienten bewirken eine Dif-fusion von Elektronen in den p-Teil, wo sie von

Intr

insi

c

Saturation/Extrinsic

Partial ionization


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