[수학]

과학고 연구과제(R&E) 결과보고서

행렬을 이용한 인구 모델

(Population models with matrices)

연 구 기 간 : 2012. 5. 1 ~ 12. 31

연구책임자 : 심성아(성신여대 수학과 교수)

지 도 교 사 : 최병철(한성과학고 수학전공)

참 여 학 생 : 최재윤(한성과학고 1년)

황준익(한성과학고 1년)

이정재(한성과학고 1년)

조민지(한성과학고 1년)

이 보고서는 2012년도 정부(과학기술진흥기금/복권기금)의

재원으로 한국과학창의재단의 지원을 받아 수행된 성과물입니다.

제 1 장 사업개요

□ 연구목적

○ 고전적인 인구모델이며 단순한 지수적 증가를 나타내는 Malthus 모델을 확장하여 나이 구조를

반영하도록 선형모델들은 인구증가의 특정 단계에서만 인구변화를 정확하게 묘사할 것으로

기대할 수밖에 없다. 모델에 여러 가지의 제한 요인들을 모두 반영시키는 과정에서 모델들은

아주 복잡해진다. 그런 복잡한 모델 대신 변수를 여러 개로 선택하여 행렬을 이용하는 재생

모델과 레슬리(Leslie) 모델은 컴퓨터를 이용하여 계산함으로써, 결과를 예측하는 데 유용하다. 이 과정을 수학적으로 연구하고자 한다.

나이분포와 인구 변화에 대한 그 영향을 연구하는 데 사용되는 방법은 몇 가지가 있는데, 그중 두 가지 기본적 접근법으로 재생이론(renewal theory)과 번식행렬(reproduction matrices)을이용하는 방법을 다룰 것이다.

인구 현상에 대한 몇 가지의 마르코프 연쇄 모델로서 두 가지 상태 연쇄, 초기하적 연쇄, 폴리아

연쇄, Fisher-Wright 연쇄[자연선택과 돌연변이가 없는 모델과 없는 모델], Reed-Frost 연쇄는

해당 전이행렬을 반복적으로 곱하는 방법으로 분석한다. 특별히 마팅게일이 되는 경우에는 이

커질 때의 점근적 성질이 초기 분포를 지배적 고유벡터 위로 정사영시키는 간단한 방법으로

결정될 수 있다는 사실이 중요하게 다루어 질 것이다. 이러한 방법들에 대한 연구가 마르코프

연쇄에 대한 여러 문제를 해결하는 바탕이 될 것이다.

□ 연구범위

○ Malthus 모델에 여러 가지의 제한 요인들을 모두 반영시키는 과정에서 모델들은 아주 복잡해진다. 그런 복잡한 모델 대신 변수를 여러 개로 선택하여 행렬을 이용하는 재생 모델과 레슬리(Leslie) 모델은 컴퓨터를 이용하여 계산함으로써, 결과를 예측하는 데 유용하다. 이 과정에 포함된 수학적

원리를 밝히고, 이를 이용하여 실제 상황을 분석하는 도구로 활용하고자 한다.

○ 일반적으로 인구총조사를 통하여 5년 간격으로 모아진 사람의 인구자료는 나이구조가 개략적으

로 어떻게 변하는지를 알려준다. 이것은 출생률이나 나이분포 벡터를 가지고 나타낼 수 있다. 나이분포와 인구 변화에 대한 그 영향을 연구하는 데 사용되는 방법은 몇 가지가 있는데, 그중 두 가지 기본적 접근법으로 재생이론(renewal theory)과 번식행렬(reproduction matrices)을이용하는 방법을 다룰 것이다. 먼저, 피보나치 수열을 이용하여 이 방법들을 흥미 있게 살펴보고

나서, 인구의 맥락에서 좀 더 일반적인 이론으로 발전시키도록 한다. 행렬의 특성방정식의 지배적

해가 인구분포의 장기적 변화의 핵심적 특징을 나타내게 되는 원리를 이해하고, 이를 바탕으로

실제 인구 데이터를 분석한다.

○ 인구 현상에 대한 몇 가지의 마르코프 연쇄 모델로서 두 가지 상태 연쇄, 초기하적 연쇄, 폴리아

연쇄, Fisher-Wright 연쇄(자연선택과 돌연변이가 없는 모델과 없는 모델), Reed-Frost 연쇄는

해당 전이행렬을 반복적으로 곱하는 방법으로 분석한다. 특별히 마팅게일이 되는 경우에는 이

커질 때의 점근적 성질이 초기 분포를 지배적 고유벡터 위로 정사영시키는 간단한 방법으로

결정될 수 있다는 사실이 중요하게 다루어 질 것이다. 다른 종류의 연쇄들의 문제는 더 어렵다. 다른 연쇄들의 행동의 어떤 면들은 다른 방법들, 예를 들어, 가지치기 과정, Monte carlo simulation, Kermack-McKendrick 모델같은 결정론적 근사법 등을 사용하여 밝힐 수 있을 것이

다. 다른 유용한 방법으로 diffusion approximation이 있다. 이러한 방법들에 대한 연구가 마르코

프 연쇄에 대한 여러 문제를 해결하는 바탕이 될 것이다.

제 2 장 사업 추진전략 및 방법

○ 피보나치(1202)가 설명한 이론적인 토끼 개체 수 모델은 암수 한 쌍으로부터 시작한다. 이쌍은 두 번 번식하고, 각 번식에서 암수 한 쌍을 낳는다. 이들이 또 두 번 번식하고, 그렇

게 계속 진행된다. 을 번째 번식에서 새로 태어난 암토끼의 수라고 하면, ⋯ 에 대하여

(피보나치 재생 방정식) 이고, 초기조건은 이다. ○ 5년 간격으로 모아진 사람의 인구자료는 나이구조가 개략적으로 어떻게 변하는지를 알려

준다. 이것은 출생률이나 나이분포 벡터를 가지고 나타낼 수 있다. 먼저 출생률에 대하여

알아보자. 번째 인구조사 때 출생한 여아의 수로 두자. 출생자 중에서 다음 인구조

사 때까지 살아남는 그룹의 비율(확률)을 이라고 하고, 또 이 그룹 중에서 다음 인구조

사 때까지 살아남 는 그룹의 비율을 , ⋯ 이라고 하는 식으로 계속 둔다.

○ 세포 주기 동안 DNA의 한 부분은 번식(reproduction) 과정에서 복제되고, 전사

(transcription) 과정에서 복사되는 등의 몇 단계의 과정을 거친다. 이러한 과정에서 오류가

생길 수 있다. 예를 들어 복제과정에서 뉴클레오티드 하나가 지워지거나 삽입될 수 있다. ○ 하나의 유전자 자리와 두 개의 대립형질을 고려하는 경우, 이배체 생물 집단의 개체 수가

이면 유전자 풀의 크기는 이다. 대립형질을 와 로 나타내고, 번째 세대의 유

전자의수를 으로 나타내자. 그러면 유전자 풀에서 유전자의 비율은

이다. 집

단 안에서 세대들은 겹치지 않게 진행되며, 개체들은 동시에 무작위 교배를 한다고 가정하

자. 그리고 집단의 개체 수는 세대가 흘러도 변하지 않고 상수 으로 고정되어 있다고 하

자. 확률변수 은 계속 이어지는 각 세대에서 번식 직후의 자손 유전자 풀을 나타낸다.

□ 연구주제의 선정

○ 나이분포와 인구 변화에 대한 그 영향을 연구하는 데 사용되는 방법은 몇 가지가 있는데, 그중 두 가지 기본적 접근법으로 재생이론(renewal theory)과 번식행렬(reproduction matrices)을

이용하는 방법을 연구하고 학생들이 직접 발표하도록 하였다. 행렬의 특성방정식의 지배적

해가 인구분포의 장기적 변화의 핵심적 특징을 나타내게 되는 원리를 이해하고, 이를 바탕으로

실제 인구 데이터를 컴퓨터 프로그램을 이용하여 분석하고 결과를 그래프 등의 시각 자료로

제시하도록 하였다. 행렬을 이용한 인구 모델의 수학적 원리를 밝혀 컴퓨터를 이용한 계산

결과의 수학적, 실제적 의미를 이해하고 활용할 수 있는 능력을 배양하였다. 우리나라의 여러

시기의 인구 데이터에 대한 분석에 행렬 모델을 적용하여 미래 시점의 인구 변화를 예측해

볼 수 있었다. 다양한 생물학적 개체 수에 대한 자료를 분석하는 도구로 활용하는 과정을

통하여 실험 과학에 대한 수학적 접근 방법을 익히는 소기의 목적을 충실히 이루는 것을 주안점

으로 삼았다.

제 3 장 사업추진 내용 및 수행 결과

○ 피보나치 수열의 점화식의 일반해는

꼴이고, 여기에서 는 특성방정식

의 두 근, 즉

이다. 초기조건을 대입하여 상수 를

구하면,

이다.

lim → ∞

lim → ∞

이므로, 이 크면 근사적으로

≈

이며, 이 근사의 오차백분율(percent error)은 다음과 같이 0으로 수렴한다. 오차백분율

×

×

→∞

매 번식에서 번식하는 토끼 쌍의 수는 수열 으로부터 쉽게 계산할 수 있다. 번째 번식에서 처음 번식하는 쌍의 수는 이고, 두 번째 번식하는 쌍의 수는 이다. 피보나치 번식 모델은 뒤에서부터 계속 대입하여 풀 수 있다.

v v v v ⋯ v

여기에서 v 이다. 초기 벡터 v 에 행렬 을 반복하여 곱하여 나이 계급을 설명할 수

있다. 을 분석하는 데 행렬 의 고유값들(eigenvalues)이 중요한 역할을 한다. 고유값

는 방정식 det 의 해이다. 즉, det

으로부터

이다. 행렬 을 스펙트럼 분해(spectral decomposition) 형태로 쓸 수 있다.

○ 번째 나이계급에 속하는 여자들의 여아출산율을 이라고 하자. 그러면, 예를 들어, 번째

인구조사 때 태어난 여자들이 차 인구조사 때 출산하는 여아의 수는 이다. 그리고 출생에서 번째 나이계급까지 살아남을 확률을 ⋯ 로 나타내자. 인구조사

결과에서 들을 표로 나타낸 것을 생명표(life table)이라고 한다. 첫 번째 인구조사의 나이분포를

u ⋯ 라고 하면, 이 분포가 어떻게 변화되어 가는지를 표로 나타내어 본다. 이것을

하나의 식으로 나타내면 다음과 같다.

(재생방정식)

일 정 연구 활동 내용연구활동 지도 계획 연구비

(천원)비고

연구책임자 지도교사

5월 1일 ~

5월 31일

피보나치수열과

번식행렬

연구 주제와 관련된

연구실 세미나에 참

여하게 함

세미나 참석 및 해당

내용으로 학생 지도1,000

6월 1일 ~

6월 30일

재생방정식의 성질

및 활용

매주 1회, 3시간 동안

관련 컴퓨터실습을

할 수 있도록 실습실

에 조치함.

실습에 있어서 세부

방법 교육을 실시하

고, 실습 시 관찰함

1,000

7월 1일 ~

7월 31일

번식행렬의 유형

(honest matrices)

매주 1회, 3시간 동안

관련 컴퓨터실습을

할 수 있도록 실습실

에 조치함.

실습에 있어서 세부

방법 교육을 실시하

고, 실습 시 관찰함

1,000

8월 1일 ~

8월 31일

파동형의 인구변화

모형(dishonest

matrices)

자료검색과 컴퓨터실

습 및 세미나에 참여

하게 함

학생들의 자료 검색

지도 및 강연 및 세

미나 참석

1,200

9월 1일 ~

9월 30일

행렬모델에 대응되는

연속모델과의 비교

자료검색과 컴퓨터실

습 및 세미나에 참여

하게 함

학생들의 자료 검색

지도 및 강연 및 세

미나 참석

1,000

10월 1일 ~

10월 31일

박테리아 유전형질의

마르코프 연쇄 모형

자료검색과 컴퓨터실

습 및 세미나에 참여

하게 함

학생들의 자료 검색

지도 및 강연 및 세

미나 참석

1,000

11월 1일 ~

11월 30일

초기하적 연쇄와

Polya 연쇄

자료검색과 컴퓨터실

습 및 세미나에 참여

하게 함

학생들의 자료 검색

지도 및 강연 및 세

미나 참석

1,000

12월 1일 ~

12월 31일

연구 내용 정리 및

연구 보고서 작성

연구논문 작성

지도

연구 내용 정리

과정 지도1,000

제 4 장 성과 및 활용계획

1991년 인구분포에 대하여 원래 인구추이식으로 구한 결과와 실제 인구조사 결과를 비교하여 나타낸 그래프를

분석하는 데 연구의 결과를 적용할 수 있다. 인구추이식으로 구한 결과가 실제 조사결과보다 약간씩 적은

것을 볼 수 있다. 또 연령분포의 모양도 조금 다르다. 이러한 불일치의 원인으로 다음과 같은 것이 있을

수 있다. (1) 이민에 의한 인구 유입과 유출

(2) 지나치게 큰 연령 계급의 크기

(3) 출산율과 기대수명의 변화

이러한 원인들을 모델의 매개변수들에 반영하여 모델을 좀 더 현실적으로 발전시킬 수 있다.

제 5 장 결 론

행렬을 이용한 인구 모델의 수학적 원리를 밝혀 컴퓨터를 이용한 계산 결과의 수학적, 실제적 의미를

이해하고 활용할 수 있을 것으로 기대한다.우리나라의 여러 시기의 인구 데이터에 대한 분석에 행렬 모델을 적용하여 미래 시점의 인구

변화를 예측해 볼 수 있다. 다양한 생물학적 개체 수에 대한 자료를 분석하는 도구로 활용하는

과정을 통하여 익힌 실험 과학에 대한 수학적 접근 방법을 여러 응용 연구에 적용할 수 있을

것이다.

제 6 장 참고문헌

F. Hoppensteadt, Mathematical methods of population biology, Cambridge University Press, 1982

N. Keyfitz and W. Flieger, World population: AN Analysis of Vital Data, The University of chicago Press, 1968.

N. Keyfitz and W. Flieger, world Population growth and Aging : demographic Trends in the Late Twentieth century, The University of chicago Press, 1990

A. Coale. Convergence of a human population to a stable form. J. Amer. Statist. Assoc. 63(1968), 395–435.

제 7 장 부록

행렬을 이용한 인구 모델

Ⅰ.서론

선형모델들은 인구증가의 특정 단계에서만 인구변화를 정확하게 묘사할 것으로 기대할 수밖에 없다. 모델에 여러 가지의 제한 요인들을 모두 반영시키는 과정에서 모델들은 아주 복잡해진다. 그런 복잡한

모델 대신 변수를 여러 개로 선택하여 행렬을 이용하는 재생 모델과 레슬리(Leslie) 모델은 컴퓨터를

이용하여 계산함으로써, 결과를 예측하는 데 유용하다. 이 과정을 수학적으로 연구하고자 한다.

나이분포와 인구 변화에 대한 그 영향을 연구하는 데 사용되는 방법은 몇 가지가 있는데, 그 중 두 가지

기본적 접근법으로 재생이론(renewal theory)과 번식행렬(reproduction matrices)을 이용하는 방법을 다룰

것이다.

인구 현상에 대한 몇 가지의 마르코프 연쇄 모델로서 두 가지 상태 연쇄, 초기하적 연쇄, 폴리아 연쇄, Fisher-Wright 연쇄[자연선택과 돌연변이가 없는 모델과 없는 모델], Reed-Frost 연쇄는 해당 전이행렬을

반복적으로 곱하는 방법으로 분석한다. 특별히 마팅게일이 되는 경우에는 이 커질 때의 점근적 성질이

초기 분포를 지배적 고유벡터 위로 정사영시키는 간단한 방법으로 결정될 수 있다는 사실이 중요하게

다루어 질 것이다. 이러한 방법들에 대한 연구가 마르코프 연쇄에 대한 여러 문제를 해결하는 바탕이

될 것이다. Malthus 모델에 여러 가지의 제한 요인들을 모두 반영시키는 과정에서 모델들은 아주 복잡해진다. 그런

복잡한 모델 대신 변수를 여러 개로 선택하여 행렬을 이용하는 재생 모델과 레슬리(Leslie) 모델은 컴퓨터를

이용하여 계산함으로써, 결과를 예측하는 데 유용하다. 이 과정에 포함된 수학적 원리를 밝히고, 이를

이용하여 실제 상황을 분석하는 도구로 활용하고자 한다.

일반적으로 인구총조사를 통하여 5년 간격으로 모아진 사람의 인구자료는 나이구조가 개략적으로 어떻

변하는지를 알려준다. 이것은 출생률이나 나이분포 벡터를 가지고 나타낼 수 있다. 나이분포와 인구 변화에

대한 그 영향을 연구하는 데 사용되는 방법은 몇 가지가 있는데, 그 중 두 가지 기본적 접근법으로 재생이론

(renewal theory)과 번식행렬(reproduction matrices)을 이용하는 방법을 다룰 것이다. 먼저, 피보나치 수열

을 이용하여 이 방법들을 흥미 있게 살펴보고 나서, 인구의 맥락에서 좀 더 일반적인 이론으로 발전시키도록

한다. 행렬의 특성방정식의 지배적 해가 인구분포의 장기적 변화의 핵심적 특징을 나타내게 되는 원리를

이해하고, 이를 바탕으로 실제 인구 데이터를 분석한다.

Ⅱ. 연구방법 및 이론

갱신이론과 번식행렬

나이분포와 인구 변화에 대한 그 영향을 연구하는 데 사용되는 두 가지 기본적 접근법은 재생이론과 번

식행렬이다. 먼저, 피보나치 수열을 이용하여 이 방법들을 살펴보도록 하고, 인구의 맥락에서 좀 더 일반

0 1 2 3 4 5 6 7 8…

출생률 번식하는 나이

0 1 2 1 1

1 1 1

2 2 1 1

3 3 2 1 1

4 5 3 2 1 1

5 8 5 3 2 1 1

6 13 8 5 3 2 1 1

7 21 13 8 5 3 2 1 1

8 34 21 13 8 5 3 2 1 1

적인 이론으로 발전시켜보자. 여러 가지 요인을 반영한 복잡한 모델들이 있지만, 여기에서는 복잡한 모델

들 대신 널리 사용되고 있는 재생 모델과 레슬리 모델에 중점을 둔다.

A. 피보나치 수열

피보나치는 이론적인 토끼 개체 수 모델은 갓 태어난 암수 한 쌍으로 시작한다. 이 쌍은 태어난 직후부터

같은 시간 간격으로 두 번 번식하고, 각 번식에서 암수 한 쌍을 낳는다. 이들이 또 두 번 번식하고, 그렇

게 계속 진행된다. <표1>은 이 역학적 변화를 요약하고 있다. 단, 나이는 번식 간격을 단위로 세고, 토끼

가 죽는 것은 고려하지 않기로 한다.

을 n 번째 번식에서 새로 태어난 암토끼의 수라고 하면, n=1,2,3,4,…에 대하여

(피보나치 재생 방정식) 이고, 초기조건은 , 이다.

<표 1. 암토끼의 수>

점화식의 일반해는 Bn=C1(r1)n+C2(r2)

n꼴이고, 여기에서 r1,r2는 특성방정식 r

2-r-1=0의 두 근, 즉

r1=

, r2=

이다. 초기조건을 대입하여 상수 C1,C2를 구하면,

이다.

lim→∞

lim→∞

이므로, 이 크면 근사적으로

≈

이며, 이 근사의 오차백분율(percent error)은 다음과 같이 0으로 수렴한다.

오차백분율 = ×

×

→∞

매 번식에서 번식하는 토끼 쌍의 수는 수열 으로부터 쉽게 계속 계산할 수 있다. 번째 번식에서

처음 번식하는 쌍의 수는 이다.

B. 피보나치 번식 행렬

번식 나이로부터 나이 구조를 바로 알려주는 또 다른 관점이 있다. 이 방법을 설명하는 데 필요한 변수는

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89

1 2 1.5 1.625 1.619 1.618 1.618 1.618 1.618 1.618 1.618

표 5. 피보나치 수열과 그 연속한 항의 비

다음 두 개 뿐이다.

번째 번식에서 새로 태어난 암토끼의 수 ,

번째 번식에서 나이 살인 암토끼의 수 ,

이들을 벡터

로 나타내자. 또한 다음 관계가 만족된다.

따라서 행렬 을 써서 다음과 같이 나타낸다.

(피보나치 번식 모델)

이 모델은 뒤에서부터 계속 대입하여 풀 수 있다.

…

여기에서 이다. 초기 벡터 에 행렬 을 반복하여 곱하여 나이 계급을 설명할 수 있다. 을

분석하는 데 행렬 의 고유값들(eigenvalues)이 중요한 역할을 한다. 고유값 는 방정식

det 의 해이다. 즉,

det

으로부터

,

이다.

행렬 을 다음과 같이 스펙트럼 분해(spectral decomposition) 형태로 쓸 수 있다.

여기에서 과 는 다음 조건을 만족하는 행렬이다.

, , ,

이 사실로부터 새로 태어난 암토끼의 수와 1살인 암토끼의 수는 시간이 흐르면서 각각 지수적으로 증가

하지만, 그 비율은 일정하게 유지된다는 것을 알 수 있다.

피보나치수열 에 대하여 이므로, 앞에서 재생 방정식을 통하여 얻었던

결과와 일치한다. <표 2>는 실제로 ≥ 이면 ≈ 임을 보여준다.

○ Renewal Theorem에서

와

에 대하여 다음을 조사하여보자. (단, ≥ ≥ ⋯) (a) 이면 방정식 의 임의의 근 는 을 만족한다. (b) 이고 방정식 의 모든 근이 단근이면 ≠인 근 는 을 만족한다.

(c) 이면 방정식 이 을 만족하는 양의 실근 를 가진다.

⋯ 을 만족하는 임의의 한 근을 라고 하자. 이므로

⋯ , ≤ 이라고 가정하자. …① ⋯ ≤ ⋯ ⋯ ≤ ⋯ (by ①) ⋯ (by ≥ ≥ ⋯)

이 되어 모순이다. ∴

(b) ⋯ 을 만족하는 임의의 한 근을 라고 하자. 이므로

⋯ 그런데 조건에서 이므로 ⋯ 이 되어 1은 의 한

근이다. 을 만족하는 1이 아닌 근을 라고 하자. 임을 보이자. 을 만족하는 1이 아닌 어떤 근 에 대하여 이라고 가정하자. 그러면

⋯ ≤ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ (by ≥ ≥ ⋯) 이 되어 모순이다. 따라서 을 만족하는 1이 아닌 임의의 근을 라 할 때 이다.

(c) , 실수 에 대하여 는 연속이므로 중간값 정리에 의하여 을 만족하는 어떤 실수

가 존재한다.

○ 이고 ≥ 일 때 으로 정의된 재생방정식에 대하여 다음 각 경우에

대하여 Renewal theorem을 적용하여 n이 큰 자연수일 때 을 근사적으로 구해보자.

(a)

(b)

(c)

′

(는 의 근)

∞

,

∞

,

(a)

일 때,

, ≥ 일 때, 이다. , 이다.

그리고,

이고, ≥ 일 때, 이다.

∞

,

,

. 즉, ,

,

±

±,

′ , ′

, ′

,

Renewal Theorem에 의하여 이므로 →∞일 때, →이고

∞

이다.

(b)

일 때,

, ≥ 일 때, 이다. , 이다.

그리고,

이고, ≥ 일 때, 이다.

∞

,

,

. 즉, , , ,

′ , ′

, ′

, ,

또한, Renewal Theorem에 의하여 이므로 →∞일 때, →

이다.

(c)

≥ 이다. 또, , 이다.

v

⋮

나이계급

인구조사0번째 1번째 2번째 ⋯ 번째 번째

차 ⋯

차 ⋯

표 6. 인구 나이구조의 변화

≥ 일 때, 이다.

,

,

± ± ,

, ′

′

≈

번식행렬 : 정직한 행렬 (reproduction matrix : honest matrices)

번째 인구조사에서 출산 가능한 최대 나이까지의 나이계급의

인구분포를 오른쪽과 같이 벡터로 나타내자.

다음 번 인구조사에서의 나이계급별 인구분포는 다음 방정식들에 의하여 결정된다.

⋯

⋮

이 관계식을 다음과 같이 행렬 을 써서 나타낼 수 있다.

v v

⋯ ⋯

⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯

×

따라서 번째 인구조사에서의 나이계급별 인구분포는 다음 식으로 주어진다.

v v (Leslie 모델)

이제 을 풀어내야 하는데, 이를 위해서 스펙트럼 분해(spectral decomposition)와 Perron-Frobenius

정리(a real square matrix with positive entries has a unique largest real eigenvalue and that the

corresponding eigenvector has strictly positive components)를 이용한다.

먼저, 행렬 가 개의 서로 다른 고유값 ⋯ 과 각각에 대응되는 고유벡터 ⋯

를 가진다고 가정하자(앞에서 본 피보나치수열 등과 같은 경우). 즉,

( ⋯ )

이 경우, ⋯ 은 1차 독립이고 차원 벡터공간을 생성한다. 따라서 주어진 v 을

v ⋯ 으로 표현할 수 있고,

v ⋯ 이다. 을 번 반복하여 양변에 곱하면 다음을 얻는다.

v ⋯ 이 식이 에 대한 스펙트럼 분해이다. 여기에서 ⋯ 인 순서로 번호가 매겨져 있

다고 하면, →∞ 일 때 다음이 성립한다.

v →

여기에서 절댓값이 가장 큰 고유값을 지배적 고유값이라고 부르고 로 나타내자. 위 결과로부터 지배적

고유값 에 대응되는 고유벡터 가 안정적 인구분포 벡터, 즉, 여러 세대가 지난 후 수렴하게 되는 인

구분포를 나타내는 벡터임을 알 수 있다. 따라서 여러 세대가 지난 후에 인구분포를 분석할 때는 다른 지

배적 고유값인 만을 가지고 분석 할 수 있다.

예를 들어 인 경우의 Leslie 모델의 번식행렬

에 대하여 특성 방정식과 모든

다른 고유값 들에 대하여 을 만족

하는 실수 고유값 가 존재함은 다음과 같이 보일 수 있다.

det

위 특성방정식의 근이 고유값 들이 되므로 그래프를 통하여 분석 해보면 을 만족 하는 실수

고유값 가 존재함을 알 수 있다.

Leslie 모델의 번식행렬

⋯ ⋯

⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯

×

에 대한 안정적 인구 벡터 를

라하면 M = 을 만족하기 때문에

× ····· ×

×

× ····· ×

×

× ····· ×

×

위식을 만족하게된다. 여기서 구한 의 성분들을 다음에 대입하게되면

인구 벡터 는 다음과 같이 구해지게 된다.

⋯ ⋯

⋮

지배적 고유값 가 존재하는 경우 외에도 일반적인 경우에는 고유값 ⋯ 이 서로 다르지 않

을 수 있는데, 이런 경우 Perron-Frobenius 정리가 유용한 정보를 준다.

이 정리를 설명하기 위해서는 한 가지 기술적인 조건이 필요하다. 행렬 의 특성다항식

det

에서 서로소인 두 첨자 와 ′ 이 존재하여 계수 와 ′ 가 영이 아니면, 행

렬 을 ‘정직하다(honest)'고 한다. 예를 들어, 는 정직하고, 은 아니다.

인구의 파동 : 비정직한 행렬 (population wave : dishonest matrices)

Bernardelli(1942)는 만일 가임성이 한 나이 그룹에 집중되어 있으면, 출생률은 시간에 대한 주기함수가

될 수 있음을 지적하였다. 이것은 인구 파동(population wave)의 극단적 예이다. 몇 개의 특성해가 허수

이면서 지배적 실수 특성해와 같은 크기를 가지면 출생률이 진동하게 되는데, 이는 Leslie 모델에서 이

정직하지 않은 행렬일 때 일어난다. 다음 예는 이러한 현상을 보여준다.

×크기의 행렬 에서 와 을 제외한 들은 모두 영으로 두자.

위 행렬 의 특성다항식과 특성 방정식의 해를 구해 보면 특성 방정식 해 는 8개임을 알 수 있다.

이것은 다음과 같이 구할 수 있다.

인 경우에는 4개의 근의 크기가 모두 이고, 번식모델 v v 의 해 v 은 주기적이다. 이

는 Bernardelli 인구파동(population wave)의 극단적 예이다.

≠ ≈ 인 경우에는 해가 진동하면서 증가하거나 감소한다. 이러한 현상도 인구파동이라고 일컬어

진다. 구파동 현상은 사람 인구에서 관찰된다. [Keyfitz and Flieger(1990) 참고]

Ⅲ. 연구결과 및 고찰

위 결과로부터 지배적 고유값 에 대응되는 고유벡터 가 안정적 인구분포 벡터, 즉, 여러 세대가 지

난 후 수렴하게 되는 인구분포를 나타내는 벡터임을 알 수 있다. 따라서 여러 세대가 지난 후에 인구분포

를 분석할 때는 다른 지배적 고유값인 만을 가지고 분석 할 수 있다. 크기가 ×인 Leslie 모델의 행

렬 에서 와 을 제외한 들은 모두 영으로 두면 ( ⋯ )이고 ,

일 때,

이렇게 특성방정식의 그래프로 지배적 고유값의 크기를 알아볼 수 있고, 번식모델 v v 에 대하

여 초기조건은 v 로 놓았을 때 ⋯ 에 대하여 의 값의 변화를 그리게 되면 아래와 같이 경향

을 표현할 수 있다. 더 나아가

⋯

를 보았을 때 일정한 값으로 수렴함을 확인하여 일

정한 규칙을 통해 인구의 변화를 예측 가능하다는 것을 확인 할 수 있었다.

Ⅳ. 결론 및 논의

행렬을 이용한 인구 모델의 수학적 원리를 공부하고 컴퓨터를 이용한 계산 결과의 수학적, 실제적 의미

를 살펴보았다. 우리나라의 여러 시기의 인구 데이터에 대한 분석에 행렬 모델 을 적용하여 미래 시점의

인구 변화를 예측해 볼 수 있었다. Mathematica를 통하여 인구 모델의 일반해를 구할 수 있고 인구 변화

의 경향을 파악 해 볼 수 있다. 인구의 분포가 일정한 값으로 수렴함을 확인하여 일정한 규칙을 통해 인

구의 변화를 예측 가능하다는 것을 확인 할 수 있었다. 다양한 생물학적 개체 수에 대한 자료를 분석하

는 도구로 활용하는 과정을 통하여 익힌 실험 과학에 대한 수학적 접근 방법을 여러 응용 연구에 적용할

수 있을 것이다.

Ⅴ. 인용문헌

F. Hoppensteadt, Mathematical methods of population biology, Cambridge University Press, 1982

N. Keyfitz and W. Flieger, World population: AN Analysis of Vital Data, The University of chicago Press, 1968.

N. Keyfitz and W. Flieger, world Population growth and Aging : demographic Trends in the Late Twentieth century, The University of chicago Press, 1990

A. Coale. Convergence of a human population to a stable form. J. Amer. Statist. Assoc. 63(1968), 395–435.