PO Ingénierie de la construction –Semestre 5

Institut National des Sciences Appliquées de Toulouse – 135, Avenue de Rangueil 31077 Toulouse Cedex 4 – France / www.insa-toulouse.fr Stéphane LAURENS

PO Ingénierie de la construction – Semestre 5

Introduction à la théorie des poutres

Responsable UF :

Stéphane LAURENSDépartement de Génie Civil

[email protected]

Résistance des matériaux


• Introduction

• Approche MMC vs Approche RDM

• Modélisation : du système réel au modèle

• Structure du formalisme RDM

• Rappels de statique

• Propriétés géométriques des poutres

Programme de la séance

RDM … introduction


La MMC… … mère de plusieurs « sous-disciplines » de mécanique

appliquée :

• RDM (théorie des poutres, des plaques et coques, mécanique des

structures en général…)

• Dimensionnement des structures (aéronautique, réservoirs, béton armé,

béton précontraint, construction métallique, bois, mixte…)

• Mécanique des sols

• Mécanique de la rupture

• …

Rappels MMC – 2IC



Autrement dit :

La MMC constitue un socle de connaissances fondamentales indispensables

pour une poursuite d’études sereine en génie mécanique ou en génie civil.

Rappels MMC – 2IC



Extrémité fixe

(i.e. encastrée)

Géométrie du solide

+

Chargement extérieur

+

Conditions de liaison au milieu extérieur

Distribution des efforts internes dans le solide

(contraintes)

+

Champ de déformation du solide

+

Champ de déplacement du solide

MMC

Données du problèmeSolution du problème

Approche MMC



Approche RDM

Poutre ?

Elément élancé

= dimension longitudinale grande devant les dimensions transversales

E,I

LExtrémité fixe

(i.e. encastrée)



Approche RDM

Théorie des Poutres ?

Formalisme de calcul simplifié (dérivant de la MMC) des structures ou

éléments de structure présentant une géométrie générique de type poutre

(éléments élancés). Exemple : poutres, poteaux, arbres de transmission…

Autre théorie RDM : théorie des plaques et coques

Formalisme de calcul simplifié (dérivant de la MMC) des structures

présentant une géométrie générique de type plaque (éléments dont 2

dimensions sont grandes devant la 3ème).Exemple : mur en béton, plancher…



1. Données du problème

2. Modèle RDM (ici, plan)Géométrie du solide

+


+


Ligne moyenne & Propriétés de la section

+

Matériau élastique linéaire

+

Chargement extérieur & Liaisons


3. Solution du problème

Contraintes et Déformations dans le solide

Calcul RDM


Approche RDM

E,I

L

Modélisation



Approche RDM

E,I

L

Modèle RDM

(…ici, modèle plan…)

E : module d’élasticité du matériau constitutif de la poutre

I : information géométrique (définie plus loin dans le cours…) relative à la géométrie de la section droite

transversale de la poutre…

… ici section en C !

Liaison de la poutre au

milieu extérieur

Longueur de la ligne moyenne

de la poutre




Approche RDM : exemple

Pont à poutre-caisson soumis à un vent latéral



Structure du formalisme RDM…

Système

réel

Modèle

Poutre

Propriétés géométriques des poutres :

- ligne moyenne

- sections

Chargement

Liaisons et actions associées


Efforts

internes

Effort normal+ Contraintes / Déformations / Déplacement

Moment fléchissant+ Contraintes / Déformations / Déplacement

Moment de torsion+ Contraintes / Déformations / Déplacement

Effort tranchant+ Contraintes / Déformations / Déplacement

Energie potentielle élastique

Démarches générales de résolution des problèmes isostatiques et hyperstatiques : - cas élastique linéaire ;

- cas thermoélastique.

Equilibre statique

Systèmes iso et hyperstatiques



Forces : notion à revoir (Cours A. Boyer)

Liaisons extérieures et intérieures - Actions associées

Equilibre et stabilité d’un système matériel

Isostaticité et hyperstaticité

Chapitre 1

Rappels de statique



Une structure est dépendante du milieu extérieur par le biais de liaisons dites « extérieures ».

Une liaison intérieure relie deux ou plusieurs éléments d’une même structure.

Liaison : dispositif conçu pour empêcher totalement ou partiellement un ou plusieurs ddl de

déplacement d’un système (la structure ou un de ses éléments) par rapport à un autre (respectivement

le milieu extérieur ou un autre de ses éléments).

Degrés de liberté de déplacement pour un solide :

- Dans l’espace 3D : 6 ddl (3 ddl de translation + 3 ddl de rotation)

- Dans le plan : 3 ddl (2 ddl de translation + 1 ddl de rotation)

Rappels de statique

Chapitre 1



Actions (ou réactions) de liaison

Pour empêcher un ddl de déplacement, la liaison exerce une action mécanique sur

la structure :

- Une force pour empêcher un déplacement de translation

- Un moment pour empêcher un déplacement de rotation

Il y a autant d’actions de liaison que de ddl empêchés dans la structure.

Rappels de statique

Chapitre 1



Actions (ou réactions) de liaison :

Les actions de liaisons extérieures sont des actions externes subies par la structure,

au même titre que les autres efforts externes appliqués (poids, charge ponctuelle…).

Elles interviennent donc dans l’écriture de l’équilibre global de la structure.

Les liaisons internes sont régies par le principe d’action-réaction et n’apparaissent

donc pas dans l’équilibre global.

L’ordre d’une liaison est défini par le nombre de ddl qu’elle supprime.

Rappels de statique

Chapitre 1


Liaisons et actions associées : exemples

Rappels de statique

Chapitre 1


Equilibre statique (Principe fondamental de la statique)

A l’équilibre statique, le torseur de toutes les forces extérieures �⃗ appliquées à un système

matériel quelconque est nul à chaque instant :

Rappels de statique

Chapitre 1


Nous étudions ici l’équilibre stable de systèmes mécaniques

Stabilité :

Equilibre statique (Principe fondamental de la statique)

De façon générale, la stabilité d’un système physique est définie par le

comportement de ce système lorsqu’il subit une petite perturbation.

Rappels de statique

Chapitre 1


Isostaticité et Hyperstaticité

des actions extérieures données connues (efforts appliqués)

des réactions de liaisons, a priori inconnues

Suivant le nombre m d’inconnues de liaison, le système est dit :

- hypostatique : le système est instable ou libre (liasons insuffisantes)

- isostatique : le système est stable ; le problème est statiquement soluble

- hyperstatique : liaisons surabondantes ; le problème est statiquement insoluble

Classification des systèmes mécaniques vis-à-vis de la statique externe

Système mécanique en

équilibre sous l’effet :

Rappels de statique

Chapitre 1


Isostaticité et Hyperstaticité

Classification des systèmes mécaniques vis-à-vis de la statique interne

Système mécanique complexe constitué de sous-systèmes : efforts appliqués à ces sous-systèmes ?

Définitions analogues à celles définies pour la statique externe :

hypostatique : dispositifs de liaison entre les sous systèmes insuffisants pour interdire tous

les ddl de déplacements entre eux

isostatique : dispositifs de liaison entre les sous systèmes juste suffisants pour que l’équilibre de

chacun soit assuré.

hyperstatique : dispositifs de liaison entre les sous systèmes sont surabondants par

rapport à la condition suffisante d’équilibre stable de chacun d’eux.

Rappels de statique

Chapitre 1


1. Généralités

Poutre =

Section (S) + Ligne moyenne

Solide engendré par le déplacement le long d'une ligne d'une surface plane

→ On parle de section droite

Les centres des sections décrivent la ligne moyenne.

La ligne (ou fibre) moyenne, reste perpendiculaire en tout point au plan

contenant S.

Propriétés géométriques des poutres

Chapitre 2


1. Généralités

Ligne moyenne : - ouverte ou fermée

- gauche, plane ou droite

Section droite : - pleine

- creuse (mince ou épaisse)

- non évolutive (section constante le long de la ligne moyenne)

- évolutive


Chapitre 2


2. Propriétés géométriques des sections droites

Aire :

y

z

O

G

M

dS

(S)A � � ��

Centre d’une section droite (G) :

G est le barycentre de cette section suposée de

densité surfacique uniforme.

En projection sur les axes…

S. ��

S. �� . ��S. �� . ��

�, � �� , ��M : point quelconque de la section

G : centre de la section


Chapitre 2



y

z

O

G

M

dS

(S)Centre d’une section droite (G) :

Lorsque la surface (S) est formée de plusieurs surfaces

élémentaires :

Exemple :

�, � �� , ��M : point quelconque de la section

G : centre de la section

�. �� . ��

�. �� . ��


Chapitre 2



Moment du premier ordre : moment statique

Utilité du moment statique :

- Calcul de la position du centre de section ;

- Calcul du cisaillement d’effort tranchant.

M : point quelconque de la section

∆ : droite quelconque

H : projection orthogonale de M sur ∆

HM : distance entre M et sa projection H

Dimension du moment statique ???

L3

��,∆ � � � . ��


Chapitre 2



Moment du premier ordre : moment statique

Si ∆ = ∆G, droite quelconque passant par G :

��,∆ � � � . ��M : point quelconque de la section



HM : distance entre M et sa projection H

Dimension du moment statique ???��,∆ � � � . �� 0

L3


Chapitre 2



Moment du second ordre : moment d’inertie

Moment quadratique de (S) par rapport à ∆ :

�∆ � � � ². ��M : point quelconque de la section



Dimension du moment d’inertie ???

L4


Chapitre 2




Moment polaire de (S) par rapport à O :

Si O est l’origine du repère Oyz :

�# � � $². �� M : point quelconque de la section

O : point quelconque

ρ : distance entre O et M

Dimension du moment d’inertie ???

L4�# � �#% & �#'


Chapitre 2




Changement d’axe en translation :

�∆ � � � ². �� ( & ( ². ��

�∆ � �(² � �� & 2�( � ( . �� & � ( ². ��


G : centre de section


∆G : droite parallèle à ∆ passant par G

D : distance entre les droites ∆ et ∆G


K : projection orthogonale de M sur ∆G


Chapitre 2




Changement d’axe en translation :

Ou encore :

Théorème de Huygens


G : centre de section


∆G : droite parallèle à ∆ passant par G

d : distance entre les droites ∆ et ∆G


K : projection orthogonale de M sur ∆G

�∆ � �(² � �� & � ( ². ��∆ � �(². � & �∆

�∆ � �∆ & �². �


Chapitre 2



Moment du second ordre : axes principaux d’inertie

En général, il est possible de trouver 2 axes perpendiculaires tels que le moment-produit

relatif à ces axes soit nul.

On parle d’axes principaux d’inertie.

Les axes principaux d’inertie passant par G sont qualifiés d’axes centraux principaux.

Les moments quadratiques relatifs aux 2 axes principaux sont les moments minimum et

maximum de la section.


Chapitre 2

�#*+ � � ��. ��




Tenseur des moments quadratiques

Connaissant les moments quadratiques et le moment-produit de la section (S) par rapport

aux axes du repère (O,yz) :

�#* � � �². �� #+ � � �². �� #*+ � � ��. ��


Chapitre 2




Tenseur des moments quadratiques

On peut représenter l’ensemble des moments d’ordre 2 sous la forme d’un tenseur des

moments quadratiques :

Les axes principaux d’inertie sont alors définis par les vecteurs propres de ce tenseur. Les

valeurs propres correspondent aux moments quadratiques minimium et maximum de la

section.

� � �#% ,�#%',�#%' �#'


Chapitre 2


3. Ligne moyenne

Rappel

3 types de ligne moyenne : - gauche (3D)

- plane (2D)

- droite

Repérage spatial

2 possibilités : - repère fixe global

- repère mobile local ou repère de Frénet… ?


Chapitre 2


3. Ligne moyenne

Repère de Frénet

Repère orthonormé mobile d’origine G (point courant ou

point générique de la ligne moyenne)

Soit s, l’abscisse curviligne du point courant G sur la ligne

moyenne :

- Premier vecteur de base : vecteur unitaire tangent .⃗�s�- Deuxième vecteur de base : vecteur normal principal /�0�- Troisième vecteur de base : vecteur binormal 1�2� � .⃗ � /

.⃗/1


Chapitre 2


3. Ligne moyenne

Repère de Frénet : exemple ligne moyenne plane AB

L’interprétation physique des efforts intérieurs est immédiate lorsqu’ils sont

exprimés dans le repère de Frénet…

.⃗

/

1 .⃗/

1

.⃗/

1

3

4

5

67

89 8:8;


Chapitre 2


1. Introduction

Rappel

Un poutre est en équilibre statique sous l’effet des actions extérieures (incluant les

actions de liaison).

Divisons virtuellement la poutre en 2 parties P1 et P2 (coupure de la poutre)…

… la partie P1 est en équilibre statique sous l’effet des actions extérieures Fext,1 qu’il

subit et des actions provenant de P2, notées F21

… la partie P2 est en équilibre statique sous l’effet des actions extérieures Fext,2 qu’il

subit et des actions provenant de P1, notées F12

Efforts internes

Chapitre 3


1. Introduction

Illustration

Coupure virtuelle

P1 P2

P1 P2

P1 en équilibre statiqueP2 en équilibre statique

F21

F12

F

F

Chapitre 3

Efforts internes


1. Introduction

Illustration

Coupure virtuelle

P1 P2

P1 P2

Les efforts de P1 sur P2 ou de P2 sur P1 sont qualifiés d’efforts internes. On parle également de sollicitations internes.

Les efforts F12 et F21 sont exactement opposés (principe d’action-réaction)

F

F

F21

F12

Chapitre 3

Efforts internes


Torseur des efforts internes au centre G d’une section quelconque

Exemple : Poutre droite à plan moyen (xy) chargée dans ce plan

Eléments de réduction :

<� � = � . �⃗ & > � . �⃗ � � ? � . �⃗

2. Nature des efforts internes

F

x

3

45 8

�� <� �

Chapitre 3

Efforts internes


Torseur des efforts internes au centre G d’une section quelconque

Poutre droite chargée dans son plan

Eléments de réduction :

<� � = � . �⃗ & > � . �⃗ � � ? � . �⃗N = effort normal T = effort tranchant Mf = moment de flexion


F

x

3

45 = �

> �

? �8

Chapitre 3

Efforts internes


Torseur des efforts internes au centre G0 d’une section quelconque

Poutre quelconque


Chapitre 3

Efforts internes


Etat de contrainte en un point d’une section quelconque

3. Relations « Contraintes-Sollicitations internes »

Chapitre 3

Efforts internes


Etat de contrainte en un point d’une section quelconque

Relations d’équivalence « Contraintes – Efforts internes »

3. Relations « Contraintes-Sollicitations internes »

Chapitre 3

Efforts internes


Cas général

4. Relations d’équilibre des poutres

Chapitre 3

Efforts internes


Exemple: équilibre en force de l’élément de poutre selon �avec

D’où :

Cas général : équilibre d’un élément de poutre de longueur dx


Chapitre 3

Efforts internes

=@ � & d� , =@ � & B@ . �� 0

>%�� & d��

>'�� & d��

�

�

� C%�� & d��

C'�� & d�� @�� & d��

,=@��,>%��

,>'��

, C%��, C'��

, @��

�′

B⃗B⃗ EB@B%B'

=@ � & d� � =@ � & �=@�� . d�= � & �=@�� . d� , =@ � & B@ . d� � �=@ �� . d� & B@ . d� � 0 �=@ �� & B@ � 0

Charge répartie [N/m]

=@�� & d��


Poutre droite


Chapitre 3

Efforts internes


Poutre droite – CAS PLAN


Chapitre 3

Efforts internes


5. Calcul des efforts internes

Méthode de la coupure…

Exprimer l’équilibre de la partie P1

de longueur x…

P1

F

x

= � ?' �8Ou Exprimer l’équilibre de la partie P2 de

longueur (L-x)…

Ou Intégration des relation d’équilibre !

P2= � ?' �

8

L-x

>% � >% �

Chapitre 3

Efforts internes



Méthode de la coupure… en pratique

Exprimer l’équilibre de la partie P1 de longueur x…

P1

F

x

= � ?' �8

=��>% �� ?'�� , { Résultante en G des efforts exercés en « amont » de la section }

>% �

Chapitre 3

Efforts internes



Méthode de la coupure… en pratique

Exprimer l’équilibre de la partie P2 de longueur (L-x)…

=��>% �� ?'�� & { Résultante en G des efforts exercés en « aval » de la section }

P2= �>% �

?' �8

L-x

Chapitre 3

Efforts internes


6. Diagrammes des sollicitations internes

… en TD !

Chapitre 3

Efforts internes


Structure du formalisme RDM…

Système

réel

Modèle

Poutre

Propriétés géométriques des poutres :

- ligne moyenne

- sections

Chargement



Efforts

internes

Effort normal+ Contraintes / Déformations / Déplacement

Moment fléchissant+ Contraintes / Déformations / Déplacement

Moment de torsion+ Contraintes / Déformations / Déplacement

Effort tranchant+ Contraintes / Déformations / Déplacement

Energie potentielle élastique

Démarches générales de résolution des problèmes isostatiques et hyperstatiques : - cas élastique linéaire ;

- cas thermoélastique.

Equilibre statique

Systèmes iso et hyperstatiques

Rappel 1


1. Données du problème

2. Modèle RDM (ici, plan)Géométrie du solide

+


+


Ligne moyenne & Propriétés de la section

+


+

Chargement extérieur & Liaisons


3. Solution du problème

Contraintes et Déformations dans le solide

Calcul RDM


Approche RDM

E,I

L

Modélisation

Rappel 2


4 types de flexion :

- Flexion pure

- Flexion simple

- Flexion composée

- Flexion déviée

?'�� ?' � ?'�� ?'��

>%��=��>%��

?%��

Etude du moment de flexion

Chapitre 4



Sous l’effet de la flexion :

- les points de la ligne moyenne se déplacent transversalement d’une quantité F��- les sections subissent des rotations.

- la poutre présente une certaine courbure.

Poutre en flexion


Chapitre 4

ForceFibre supérieure comprimée

Fibre inférieure tendueDéformée

Force�F��

Déformée

G


Définitions

- Champ de déplacement transversal (perpendiculaire à l’axe de la poutre) :

- Champ de rotation des sections :

- Champ de courbure de la poutre :

Poutre en flexion


Chapitre 4

Force�F��

Déformée

G

F�� G � � �F�� F′��H � � �G�� IF�� I � F′′��

Convention de signe : courbure

�� H � � 0H � J 0H � K 0


Poutre en flexion


Chapitre 4

ForceZone comprimée

Zone tendueDéformée

G Diagramme de répartition des

contraintes associées à la flexion ?' �


Flexion pure ?'��


Chapitre 4


Flexion pure

Hypothèses :

- La ligne moyenne reste plane.

- Hypothèse de Navier-Bernouilli : les sections droites transversales restent planes dans la

transformation géométrique.

- La déformation s’apparente uniquement à des rotations de sections droites.

- Surface Neutre

- Axe Neutre

?'��


Chapitre 4


Flexion pure

Elément de poutre de longueur dx

Rotation relative entre x et x+dx :

Déformation

Contrainte

?'��

L@ � . d� � ,�. dG'

M@ � � ,N. �. �G'd�

L@ � � ,�. �G'd�Loi de Hooke

�G'd�

Courbure locale

de la poutre


Chapitre 4

Hypothèse de

Navier-Bernouilli


Flexion pure

Contrainte normale sur une section d’abscisse x

Distribution linéaire de la contrainte dans la

hauteur de la section

?'��

M@ � � ,N. �. �G'd�

�

M@ �

ℎ 2P

, ℎ 2P�

Axe neutre


Chapitre 4


Flexion pure

De plus, retour sur la relation d’équivalence associées à

On injecte la relation précédente et on obtient la relation Moment-Courbure :

?'�� ?'��

?' � � N��' �G'd�


Chapitre 4


Flexion pure

Relation entre moment de flexion et contrainte normale dans une section

?'��

M@ � � ,N. �. �G'd� M@ � � , ?'��' � ?' � � N��' �G'd�


Chapitre 4


Flexion pure

Calcul de la déformée d’une poutre due à la flexion :

- On intègre 1 fois la fonction courbure pour obtenir la fonction rotation.

- On intègre 1 fois la fonction rotation pour obtenir la fonction déformée.

- On calcule toutes les constantes d’intégrations en exprimant les conditions aux

limites de liaison.

?'��G'd� � ?' �N��'


Chapitre 4


Flexion pure

Energie potentielle de déformation élastique associée à la flexion pure

Ou Potentiel élastique

Concept à la base des méthodes énergétiques de calcul des structures.

Q � 12 S ?'��²N. ��' �� 12 S ?'�� T ?'��N. ��' ��UV.�UV.

?'��


Chapitre 4

Moment Rotation


Formules de Bresse

Expression des déplacements relatifs des points de la poutre (utile pour résoudre des

problèmes hyperstatiques )

Exple : poutre droite

Flexion pure ?'��

G'W � G'X & S ?'��N. ��' ��@Y@Z

FW � FX & G'X �W , �X & S ?'��N. ��' �W , � ��@Y@Z


Chapitre 4


Flexion composée

A voir après le chapitre sur l’effort normal…

?'�� >%�� =��


Chapitre 4


Etat de contrainte associé à l’effort normal

�

M@ �

ℎ 2P

, ℎ 2P�

E,I

L

F

Contrainte normale constante

dans la hauteur de la poutre

Etude de l’effort normal

Chapitre 5


Etat de déformation et champ de déplacement associés à l’effort normal

etL@ � M@N

[W � [X & S L@ � . ��@Y@Z

M@ � =�


Chapitre 5


TQ � 12 S = ��²N. � �� 12 S = � T = ��N. � ��UV.�UV.


Chapitre 5

Force Déplacement

Elément d’énergie potentielle emmagasinée dans une élément de poutre

de longueur ��

Energie potentielle de déformation élastique associée à la l’effort normal

= �

= ��N. � ��

Elasticité linéaire

QIci, la déformation et le déplacement dépendent linéairement des

efforts exercés. L’énergie s’apparente à l’aire d’un triangle.

Origine du coefficient 12


Retour sur la flexion composée

+


Chapitre 5

?'�� =�� ?' � & =��


Moment de torsion

1. Introduction

Chapitre 6

\⃗ � \@% �⃗ & \@' �⃗

�

�


Moment de torsion

1. Introduction

Chapitre 6


Moment de torsion

1. Introduction

Chapitre 6

Γ^


Moment de torsion

1. Introduction

Chapitre 6

U��

G@�_�G@��

_


Moment de torsion

2. Théories simplifiées de la torsion des poutres prismatiques

Chapitre 6


Moment de torsion


Chapitre 6

C


Moment de torsion


Chapitre 6

\@`


Moment de torsion


Chapitre 6


Moment de torsion


Chapitre 6

Exercice : cisaillement de torsion dans une poutre de section pleine carrée (a T a) soumise à un moment �

�

�

U

U � Ф. �Ф � U� � Ua²

\@`�c, dW�

\@`�c, dI�

\@`�c, d� � 2 U�. <�d�² . c\@` c, dW � 2 U�. < dW I . c � 2 U�. a2 I . c � 8 Uaf . c

\@` c, dI � 2 U�. < dI I . c � 2 U�. a 2�2 I . c � 4 Uaf . c

a/2

\@` c, dW J \@` c, dI car < dW K < dI


Moment de torsion


Chapitre 6


Moment de torsion


Chapitre 6

2i

2iSection carrée profilée

Contour moyen de la section = carré de côté 2i


Moment de torsion


Chapitre 6


Effort tranchant

1. Introduction

Chapitre 7


Effort tranchant

2. Théories simplifiées du cisaillement d’effort tranchant des poutres prismatiques

Chapitre 7


Structures hyperstatiquesChapitre 8

Poutre

YB

B

X

Y

q

_

YA

MA

AXA

4 actions de liaison extérieures : XA, YA, MA et YB

1 poutre = 3 équations d’équilibre en plan

Le nombre d’équations d’équilibre statique est

insuffisant pour calculer les actions de liaison…

... Cette structure est donc hyperstatique !

Degré d’hyperstaticité de cette structure : � � 4 , 3 � 1

Exemple N�

On a en effet 4 inconnues de liaison (XA, YA, MA et YB) pour seulement 3 équations d’équilibre. On va privilégier une de

ces 4 inconnues dans la démarche de résolution.



Poutre

YB

q

_

YA

MA

XA

Démarche de résolution

1. Choix d’une inconnue hyperstatique (par exemple YB) et structure isostatique associée (SIA)

2. Equilibre statique de la poutre et expression des inconnues de liaison en fonction de l’inconnue hyperstatique choisie

3. Calcul du moment de flexion ?' en fonction de l’inconnue hyperstatique

4. Calcul de l’inconnue hyperstatique par l’écriture d’une équation complémentaire – Deux méthodes possibles :

a) Méthode basée sur le calcul de la déformée

b) Méthode énergétique : théorème de Castigliano

5. Calcul des actions de liaison

6. Calcul des efforts internes et diagrammes associés

N�



Poutre

YB

q

_

YA

MA

XA


1. Choix d’une inconnue hyperstatique (par exemple YB) et structure isostatique associée (SIA)

On supprime l’appui simple en B, mais on conserve l’action de liaison qu’il génère (YB). Cela revient à considérer à ce stade

que la force YB est connue. Attention, on n’oublie cependant pas le déplacement en B imposé par l’appui simple (Fk � 0).

La structure ainsi obtenue est qualifiée de structure isostatique équivalente ou encore de structure isostatique associée.

N�

Poutre

YB

q

_

YA

MA

XA N� Avec : Fk � 0



Poutre

YB

q

_

YA

MA

XA


1. Choix d’une inconnue hyperstatique et structure isostatique associée (SIA)

A titre d’exemple, on aurait pu choisir une autre inconnue hyperstatique, par exemple MA. Dans ce cas, on génère une

autre structure isostatique associée : on transforme ici l’encastrement en articulation, on conserve MA (considéré comme

connu à ce stade) et on impose Gl � 0 pour respecter la condition de déplacement imposée par l’encastrement.

N�

Poutre

YB

q

_

YA

MAXA N� Avec : Gl � 0



Poutre

YB

q

_

YA

MA

XA


2. Equilibre statique de la poutre et expression des inconnues de liaison en fonction de l’inconnue hyperstatique YB

Reprenons la SIA basée sur YB.

N�

Equilibre / X ml � 0Equilibre / Y nl & nk , o. _ � 0Equilibre en moment selon Z / point A

l & nk . _ , o. _I2 � 0nl � o. _ , nk

l � ,nk . _ & o. _I2



Poutre

YB

q

_

YA

MA

XA


3. Calcul du moment de flexion ?' en fonction de l’inconnue hyperstatique

N�

?' � � nk _ , � , o. �_ , ��I2Moment dû à nk Moment dû à o



Poutre

YB

q

_

YA

MA

XA




N�

?' � � nk _ , � , o _ , � I2 � N� T F′′ �

F′′ � � ?' �N� � 1 N� nk _ , � , o _ , � I2F′ � � 1 N� ,nk _ , � I2 & o _ , � p6 & ^Intégration 1

F � � 1 N� nk _ , � p6 , o _ , � f24 & ^. � & rIntégration 2



Poutre

YB

q

_

YA

MA

XA




N�

Pas de déplacement en A (encastrement)• F � � 0 � 0• F′ � � 0 � 0 Pas de rotation en A (encastrement)

La fonction F � admet 3 inconnues : ^, r et nk…

… et on dispose de 3 conditions aux limites en déplacement de la poutre.

Conditions aux limites de cette poutre

On exprime ces 3 conditions aux limites et on en déduit nk.

• F � � _ � Fk � 0 Pas de déplacement en B (appui simple)

nk � 38 o_ ?

F′ � � 1 N� ,nk _ , � I2 & o _ , � p6 & ^F � � 1 N� nk _ , � p6 , o _ , � f24 & ^. � & r



Poutre

YB

q

_

YA

MA

XA




N�

Q � 12 S ?'��²N� ��UV.Rappel : énergie potentielle de déformation élastique en flexion

Théorème de Castigliano

On montre que lorsqu’une charge ponctuelle � s’exerce en un point d’une poutre :

Où Ft est le déplacement transversal du point (dans le sens de �).

Dans le cas de notre poutre, on peut donc écrire que :

Ft � �Q��Fk � �Q�nk � 0



Poutre

YB

q

_

YA

MA

XA




N�

Application au calcul de nkFk � �Q�nk � ��nk

12 S ?'��²N� ��uX � 12N� T ��nk S ?'��²��u

X � 0

��nk S ?'��²��uX � 0

S � ?'��²�nk ��uX � 0

S 2 ?'�� T � ?'�� nk ��uX � 0

S ?'�� T � ?'�� nk ��uX � 0

Rappel : Cv w � x T CvyW T C′



Poutre

YB

q

_

YA

MA

XA




N�

Application au calcul de nkS ?'�� T � ?'�� nk ��u

X � 0 ?' � � nk _ , � , o �_ , ��I2� ?'�� nk � _ , �

S nk _ , � , o �_ , ��I2 T _ , � ��uX � S nk _ , � I , o �_ , ��p2 ��u

X � 0

nk T S _ , � I��uX , o2 T S �_ , ��p��u

X � 0 nk � o2 T z �_ , ��p��uXz _ , � I��uXnk � 38 o_

PO Ingénierie de la construction –Semestre 5

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